Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalarni (LNDU-2) yechish asoslari. doimiy koeffitsientlar(Kompyuter)
$p$ va $q$ doimiy koeffitsientli 2-tartibli LDDE $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $f\left(x) \right)$ uzluksiz funksiyadir.
Kompyuter bilan LNDU 2 bilan bog'liq holda, quyidagi ikkita bayonot to'g'ri.
Faraz qilaylik, ba'zi $U$ funksiyasi bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning ixtiyoriy qisman yechimi bo'lsin. Aytaylik, $Y$ funksiyasi mos keladigan chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ umumiy yechimi (GS) bo‘lsin, deb faraz qilaylik. LHDE-2 ko'rsatilgan xususiy va umumiy yechimlar yig'indisiga teng, ya'ni $y=U+Y$.
Agar 2-tartibli LMDE ning o'ng tomoni funksiyalar yig'indisi bo'lsa, ya'ni $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, keyin biz mos keladigan $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ni topamiz. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ funksiyalarining har biriga va undan keyin CR LNDU-2 ni $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ shaklida yozing.
Kompyuter bilan 2-darajali LPDE yechimi
Ko'rinib turibdiki, berilgan LNDU-2 ning u yoki bu PD $U$ turi uning o'ng tomoni $f\left(x\right)$ning o'ziga xos shakliga bog'liq. PD LNDU-2 ni qidirishning eng oddiy holatlari quyidagi to'rtta qoida shaklida tuzilgan.
№1 qoida.
LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ya'ni a deyiladi. $n$ darajali polinom. Keyin uning PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ shaklida qidiriladi, bu erda $Q_(n) \left(x\right)$ boshqa. $P_(n) \left(x\right)$ bilan bir xil darajadagi polinom va $r$ mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining nolga teng ildizlari soni. $Q_(n) \left(x\right)$ polinomining koeffitsientlari noaniq koeffitsientlar (Buyuk Britaniya) usuli bilan topiladi.
2-qoida.
LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left( x\right)$ - $n$ darajali polinom. Keyin uning PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ shaklida qidiriladi, bu yerda $Q_(n) ) \ left(x\right)$ - $P_(n) \left(x\right)$ bilan bir xil darajadagi boshqa ko'phad, $r$ esa mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining ildizlari soni. $\alpha $ ga teng. $Q_(n) \left(x\right)$ polinomining koeffitsientlari NC usulida topiladi.
3-qoida.
LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ko'rinishiga ega. \o'ng) $, bu erda $a$, $b$ va $\beta$ ma'lum raqamlar. Keyin uning PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) shaklida qidiriladi. \right )\cdot x^(r) $, bu yerda $A$ va $B$ nomaʼlum koeffitsientlar va $r$ mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining ildizlari soni, $i\cdot ga teng. \beta $. $A$ va $B$ koeffitsientlari buzilmaydigan usul yordamida topiladi.
4-qoida.
LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left(x\right)$ $ n$ darajali ko'phad, $P_(m) \left(x\right)$ $m$ darajali ko'phad. Keyin uning PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ shaklida qidiriladi, bunda $Q_(s) \left(x\right)$ va $ R_(s) \left(x\right)$ $s$ darajali koʻphadlar, $s$ soni $n$ va $m$ning maksimal ikki soni, $r$ esa ildizlar soni mos keladigan LODE-2 ning xarakteristik tenglamasining $\alpha +i\cdot \beta $ ga teng. $Q_(s) \left(x\right)$ va $R_(s) \left(x\right)$ polinomlarining koeffitsientlari NC usulida topiladi.
NK usuli quyidagi qoidani qo'llashdan iborat. Bir jinsli bo'lmagan LNDU-2 differensial tenglamasining qisman yechimiga kiruvchi polinomning noma'lum koeffitsientlarini topish uchun quyidagilar zarur:
- umumiy shaklda yozilgan PD $U$ ni ga almashtiring chap tomoni LNDU-2;
- LNDU-2 ning chap tomonida bir xil kuchlar bilan soddalashtirish va guruh shartlarini bajaring $x$;
- hosil bo'lgan o'ziga xoslikda, chap va o'ng tomonlarning $x$ bir xil kuchlari bilan atamalar koeffitsientlarini tenglashtiring;
- noma'lum koeffitsientlar uchun hosil bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimini yeching.
1-misol
Vazifa: YOKI LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ni toping. PD ni ham toping. , $x=0$ uchun $y=6$ va $x=0$ uchun $y"=1$ boshlang'ich shartlarini qondirish.
Biz mos keladigan LOD-2 ni yozamiz: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Xarakteristik tenglama: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Xarakteristik tenglamaning ildizlari: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Bu ildizlar to'g'ri va aniq. Shunday qilib, mos keladigan LODE-2 ning OR quyidagi ko'rinishga ega: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Ushbu LNDU-2 ning o'ng tomonida $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ shakli mavjud. $\alpha =3$ ko'rsatkichining koeffitsientini hisobga olish kerak. Bu koeffitsient xarakterli tenglamaning hech bir ildiziga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, ushbu LNDU-2 ning PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ko'rinishiga ega.
$A$, $B$ koeffitsientlarini NC usuli yordamida qidiramiz.
Biz Chexiya Respublikasining birinchi hosilasini topamiz:
$U"=\left(A\cdot x+B\o'ng)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\o'ng)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\chap(A\cdot x+B\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\chap (A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot e^(3\cdot x) .$
Biz Chexiya Respublikasining ikkinchi hosilasini topamiz:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot \chap(e^(3\cdot x) \o'ng)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\chap(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\chap(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\o'ng)\cdot e^(3\cdot x) .$
Berilgan NLDE-2 $y""-3\cdot y" ga $y""$, $y"$ va $y$ o'rniga $U""$, $U"$ va $U$ funktsiyalarini almashtiramiz. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $) Bundan tashqari, $e^(3\cdot x) $ koʻrsatkichi omil sifatida kiritilgan barcha komponentlarda, keyin uni o'tkazib yuborish mumkin:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \chap(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o‘ng)-18\cdot \chap(A\ cdot x+B\o'ng)=36\cdot x+12.$
Olingan tenglikning chap tomonidagi amallarni bajaramiz:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Biz NDT usulidan foydalanamiz. Biz ikkita noma'lum chiziqli tenglamalar tizimini olamiz:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Bu tizimning yechimi: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ bizning muammomiz quyidagicha ko'rinadi: $U=\left(-2\cdot x-1\o'ng) \cdot e^(3\cdot x) $.
Bizning muammomiz uchun OR $y=Y+U$ quyidagicha ko‘rinadi: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Berilgan dastlabki shartlarga javob beradigan PDni izlash uchun biz OPning $y"$ hosilasini topamiz:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Biz $y$ va $y"$ ning dastlabki shartlarini $x=0$ uchun $y=6$ va $x=0$ uchun $y"=1$ bilan almashtiramiz:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Biz tenglamalar tizimini oldik:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Keling, buni hal qilaylik. Biz $C_(1) $ ni Kramer formulasidan foydalanib topamiz va $C_(2) $ birinchi tenglamadan aniqlaymiz:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(massiv)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(massiv)\o'ng|)(\left|\ start(massiv)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(massiv)\o'ng|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Shunday qilib, ushbu differentsial tenglamaning PD quyidagi ko'rinishga ega: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1) \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
Ushbu maqola doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish masalasini ko'rib chiqadi. Nazariya berilgan muammolar misollari bilan birga muhokama qilinadi. Noaniq atamalarni ochish uchun differensial tenglamalar nazariyasining asosiy ta'riflari va tushunchalari haqidagi mavzuga murojaat qilish kerak.
y "" + p · y " + q · y = f (x) ko'rinishdagi doimiy koeffitsientlarga ega bo'lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani (LDE) ko'rib chiqaylik, bu erda p va q ixtiyoriy sonlar va mavjud f funktsiya. (x) x integrallash intervalida uzluksizdir.
Keling, teoremani shakllantirishga o'tamiz umumiy yechim LNDU.
Yandex.RTB R-A-339285-1
LDNU uchun umumiy yechim teoremasi
Teorema 1y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ko'rinishdagi bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamaning x oralig'ida joylashgan umumiy yechimi. . . + f 0 (x) · y = f (x) x oralig'ida uzluksiz integratsiya koeffitsientlari bilan f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) va uzluksiz funktsiya f (x) umumiy yechim y 0 yig'indisiga teng bo'lib, u LOD va ba'zi bir maxsus yechim y ~ ga mos keladi, bu erda dastlabki bir jinsli bo'lmagan tenglama y = y 0 + y ~.
Bu shuni ko'rsatadiki, bunday ikkinchi tartibli tenglamaning yechimi y = y 0 + y ~ ko'rinishga ega. Y 0 ni topish algoritmi doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil ikkinchi tartibli differensial tenglamalar haqidagi maqolada muhokama qilinadi. Shundan so'ng biz y ~ ta'rifiga o'tishimiz kerak.
LPDE uchun ma'lum bir yechimni tanlash tenglamaning o'ng tomonida joylashgan mavjud f (x) funktsiyasining turiga bog'liq. Buning uchun o'zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning yechimlarini alohida ko'rib chiqish kerak.
f (x) n-darajali ko'phad deb hisoblansa, f (x) = P n (x), LPDE ning ma'lum bir yechimi y ~ = Q n (x) ko'rinishdagi formula yordamida topiladi. ) x g, bu yerda Q n ( x) n darajali ko‘phad, r xarakteristik tenglamaning nol ildizlari soni. Qiymati y ~ ma'lum bir yechim y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , keyin polinom tomonidan belgilanadigan mavjud koeffitsientlar.
Q n (x), y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligidan noaniq koeffitsientlar usuli yordamida topamiz.
1-misol
Koshi teoremasidan y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 dan foydalanib hisoblang.
Yechim
Boshqacha qilib aytganda, y "" - 2 y " = x 2 + 1 doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan differensial tenglamaning ma'lum bir yechimiga o'tish kerak, bu berilgan shartlarni y (0) qondiradi. = 2, y "(0) = 1 4 .
Lineerning umumiy yechimi bir jinsli bo'lmagan tenglama y 0 tenglamaga yoki bir jinsli bo'lmagan y ~ tenglamaning muayyan yechimiga mos keladigan umumiy yechim yig'indisi, ya'ni y = y 0 + y ~.
Birinchidan, biz LNDU uchun umumiy yechim topamiz, keyin esa alohida.
Keling, y 0 ni topishga o'tamiz. Xarakteristik tenglamani yozish ildizlarni topishga yordam beradi. Biz buni tushunamiz
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2
Biz ildizlarning har xil va haqiqiy ekanligini aniqladik. Shuning uchun, keling, yozaylik
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
y ~ ni topamiz. Ko'rinib turibdiki, berilgan tenglamaning o'ng tomoni ikkinchi darajali ko'phad, u holda ildizlardan biri nolga teng. Bundan biz y ~ uchun ma'lum bir yechim bo'lishini olamiz
y ~ = Q 2 (x) x g = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, bu erda A, B, C qiymatlari aniqlanmagan koeffitsientlarni oladi.
Ularni y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ko'rinishdagi tenglikdan topamiz.
Keyin biz buni olamiz:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Koeffitsientlarni x ning bir xil ko'rsatkichlari bilan tenglashtirib, chiziqli ifodalar tizimini olamiz - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Har qanday usullar bilan yechishda koeffitsientlarni topamiz va yozamiz: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 va y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.
Ushbu yozuv doimiy koeffitsientli dastlabki chiziqli bir hil bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi.
y (0) = 2, y "(0) = 1 4 shartlarni qondiradigan muayyan yechimni topish uchun qiymatlarni aniqlash kerak. C 1 Va C 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ko'rinishdagi tenglikka asoslangan.
Biz buni olamiz:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Olingan C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ko'rinishdagi tenglamalar tizimi bilan ishlaymiz, bu erda C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Koshi teoremasini qo'llasak, bizda shunday bo'ladi
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Javob: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Agar f (x) funktsiya n darajali ko'phad va f (x) = P n (x) · e a x ko'paytmasi sifatida tasvirlangan bo'lsa, biz ikkinchi tartibli LPDE ning ma'lum bir yechimi bo'lishini olamiz. y ~ = e a x · Q n ( x) x g ko'rinishdagi tenglama, bu erda Q n (x) - n-darajali ko'phad, r - a ga teng xarakterli tenglamaning ildizlari soni.
Q n (x) ga tegishli koeffitsientlar y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligi bilan topiladi.
2-misol
y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ko'rinishdagi differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechim
Tenglama umumiy ko'rinish y = y 0 + y ~ . Ko'rsatilgan tenglama LOD y "" - 2 y " = 0 ga mos keladi. Oldingi misoldan uning ildizlari teng ekanligini ko'rish mumkin. k 1 = 0 va xarakteristik tenglama bo'yicha k 2 = 2 va y 0 = C 1 + C 2 e 2 x.
Ko'rinib turibdiki, tenglamaning o'ng tomoni x 2 + 1 · e x . Bu yerdan LPDE y ~ = e a x · Q n (x) · x g orqali topiladi, bu erda Q n (x) ikkinchi darajali ko'phad, bu erda a = 1 va r = 0, chunki xarakteristik tenglama emas. 1 ga teng ildizga ega. Bu erdan biz buni olamiz
y ~ = e a x · Q n (x) · x g = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C.
A, B, C - y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x tengligi bilan topilishi mumkin bo'lgan noma'lum koeffitsientlar.
Tushundim
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Biz ko'rsatkichlarni bir xil koeffitsientlar bilan tenglashtiramiz va chiziqli tenglamalar tizimini olamiz. Bu yerdan biz A, B, C ni topamiz:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Javob: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 LNDDE ning maxsus yechimi ekanligi aniq va y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ikkinchi tartibli bir jinsli dif tenglamaning umumiy yechimi.
Funktsiya f (x) = A 1 cos (b x) + B 1 sin b x shaklida yozilsa va A 1 Va IN 1 raqamlar bo'lsa, LPDE ning qisman yechimi y ~ = A cos b x + B sin b x · x g ko'rinishdagi tenglama hisoblanadi, bu erda A va B ko'rib chiqiladi. noaniq koeffitsientlar, va r - ± i b ga teng, xarakterli tenglama bilan bog'liq bo'lgan murakkab konjugat ildizlar soni. Bunda koeffitsientlarni izlash y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligi yordamida amalga oshiriladi.
3-misol
y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ko'rinishdagi differentsial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechim
Xarakteristik tenglamani yozishdan oldin y 0 ni topamiz. Keyin
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i
Bizda bir juft murakkab konjugat ildiz mavjud. Keling, o'zgartiramiz va olamiz:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Xarakteristik tenglamaning ildizlari konjugat juftligi ± 2 i, keyin f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) deb hisoblanadi. Bu shuni ko'rsatadiki, y ~ uchun qidiruv y ~ = (A cos (b x) + B sin (b x) x g = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x dan amalga oshiriladi. Noma'lum A va B koeffitsientlarini y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ko'rinishdagi tenglikdan qidiramiz.
Keling, aylantiramiz:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Shunda bu aniq bo'ladi
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Sinuslar va kosinuslar koeffitsientlarini tenglashtirish kerak. Biz shakl tizimini olamiz:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Bundan kelib chiqadiki, y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Javob: doimiy koeffitsientlar bilan dastlabki ikkinchi tartibli LDDE ning umumiy yechimi ko'rib chiqiladi
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
f (x) = e a x · P n (x) sin (b x) + Q k (x) cos (b x) bo‘lganda y ~ = e a x · (L m (x) sin (b x) + N m bo‘ladi. (x) cos (b x) x g bizda r - xarakteristik tenglama bilan bog'liq bo'lgan a ± i b ga teng bo'lgan murakkab konjugat juftliklar soni, bu erda P n (x), Q k (x), L m (x) va Nm(x) n, k, m, m darajali ko‘phadlar, bu yerda m = m a x (n, k). Koeffitsientlarni topish Lm(x) Va Nm(x) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligi asosida yasaladi.
4-misol
Umumiy yechimni toping y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Yechim
Shartga ko'ra, bu aniq
a = 3, b = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
U holda m = m a x (n, k) = 1 bo'ladi. Biz avval yozish orqali y 0 ni topamiz xarakterli tenglama turi:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Biz ildizlarning haqiqiy va aniq ekanligini aniqladik. Demak, y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Keyinchalik, shaklning bir hil bo'lmagan y ~ tenglamasi asosida umumiy yechimni izlash kerak.
y ~ = e a x (L m (x) sin (b x) + N m (x) cos (b x) x g = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C) x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Ma'lumki, A, B, C koeffitsientlar, r = 0, chunki a ± i b = 3 ± 5 · i bilan xarakterli tenglama bilan bog'liq bo'lgan konjugat ildizlar jufti yo'q. Olingan tenglikdan bu koeffitsientlarni topamiz:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Hosil va shunga o'xshash atamalarni topish
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Koeffitsientlarni tenglashtirgandan so'ng, biz shakl tizimini olamiz
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Hammasidan shunisi kelib chiqadi
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) gunoh (5 x))
Javob: Endi biz berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini oldik:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
LDNU ni hal qilish algoritmi
Ta'rif 1Yechim uchun f (x) funktsiyaning boshqa har qanday turi yechim algoritmiga rioya qilishni talab qiladi:
- mos chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topish, bunda y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, bu erda y 1 Va y 2 LODE ning chiziqli mustaqil qisman yechimlari, C 1 Va C 2 ixtiyoriy konstantalar hisoblanadi;
- umumiy yechim sifatida LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ni qabul qilish;
- C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) ko'rinishdagi tizim orqali funktsiyaning hosilalarini aniqlash. x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , va funksiyalarni topish C 1 (x) va C 2 (x) integratsiya orqali.
5-misol
y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ning umumiy yechimini toping.
Yechim
Oldin y 0, y "" + 36 y = 0 ni yozib, xarakteristik tenglamani yozishni davom ettiramiz. Keling, yozamiz va hal qilamiz:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = gunoh (6 x)
Berilgan tenglamaning umumiy yechimi y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) shaklida yozilishini bilamiz. Hosil funksiyalarni aniqlashga o'tish kerak C 1 (x) Va C2(x) tenglamalar tizimiga muvofiq:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Bu borada qaror qabul qilish kerak C 1" (x) Va C 2" (x) har qanday usul yordamida. Keyin biz yozamiz:
C 1 "(x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Tenglamalarning har biri birlashtirilgan bo'lishi kerak. Keyin olingan tenglamalarni yozamiz:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Bundan kelib chiqadiki, umumiy yechim quyidagi shaklga ega bo'ladi:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Javob: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Ko‘rdikki, chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ma’lum bo‘lgan holatda, ixtiyoriy konstantalarni o‘zgartirish usuli yordamida bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy yechimini topish mumkin. Biroq, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini qanday topish masalasi ochiqligicha qoldi. Maxsus holatda, chiziqli differentsial tenglamada (3) barcha koeffitsientlar p i(X)= a i - konstantalar, uni integratsiyasiz ham juda oddiy hal qilish mumkin.
Doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil differentsial tenglamani, ya'ni shakldagi tenglamalarni ko'rib chiqing.
y (n) + a 1 y (n – 1) +...a n – 1 y " + a n y = 0, (14)
Qayerda va men- konstantalar (i= 1, 2, ...,n).
Ma'lumki, 1-tartibli chiziqli bir hil tenglama uchun yechim shaklning funktsiyasidir. e kx.(14) tenglamaning yechimini shaklda izlaymiz j (X) = e kx.
Funksiyani (14) tenglamaga almashtiramiz. j (X) va uning tartibli hosilalari m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. olamiz
(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,
Lekin e k x ¹ har qanday uchun 0 X, Shunung uchun
k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n = 0. (15)
(15) tenglama chaqiriladi xarakterli tenglama, chap tomondagi polinom- xarakterli polinom , uning ildizlari- xarakterli ildizlar differensial tenglama (14).
Xulosa:
funktsiyasij (X) = e kx - (14) chiziqli bir hil tenglamaning yechimi, agar va faqat son bo'lsa k - xarakteristik tenglamaning ildizi (15).
Shunday qilib, chiziqli bir jinsli tenglamani (14) yechish jarayoni algebraik tenglamani (15) yechishgacha keltiriladi.
Xarakterli ildizlarning har xil holatlari mumkin.
1.Xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy va aniqdir.
Ushbu holatda n turli xarakterli ildizlar k 1 ,k 2 ,..., k n mos keladi n bir jinsli tenglamaning turli yechimlari (14)
Bu echimlar chiziqli mustaqil va shuning uchun shakllanganligini ko'rsatish mumkin asosiy tizim qarorlar. Demak, tenglamaning umumiy yechimi funksiya hisoblanadi
Qayerda BILAN 1 , C 2 , ..., C n - ixtiyoriy konstantalar.
7-misol. Chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini toping:
A) da¢ ¢ (X) - 6da¢ (X) + 8da(X) = 0,b) da¢ ¢ ¢ (X) + 2da¢ ¢ (X) - 3da¢ (X) = 0.
Yechim. Xarakteristik tenglama tuzamiz. Buning uchun tartib hosilasini almashtiramiz m funktsiyalari y(x) tegishli darajada
k(da (m) (x) « k m),
funktsiyaning o'zi esa da(X) nol tartibli hosila bilan almashtirilganda k 0 = 1.
(a) holatda xarakteristik tenglama ko'rinishga ega k 2 - 6k + 8 = 0. Buning ildizlari kvadrat tenglama k 1 = 2,k 2 = 4. Ular haqiqiy va har xil bo'lganligi sababli, umumiy yechim shaklga ega j (X)= C 1 e 2X + C 2 e 4x.
(b) holat uchun xarakteristik tenglama 3-darajali tenglama hisoblanadi k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Ushbu tenglamaning ildizlarini topamiz:
k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
T . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Ushbu xarakterli ildizlar differentsial tenglamaning asosiy echimlar tizimiga mos keladi:
j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .
(9) formulaga muvofiq umumiy yechim funksiya hisoblanadi
j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .
II . Xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari har xil, ammo ularning ba'zilari murakkab.
Differensial tenglamaning (14) barcha koeffitsientlari, shuning uchun uning xarakteristik tenglamasi (15)- haqiqiy sonlar, agar c xarakterli ildizlar orasida murakkab ildiz borligini bildiradi k 1 = a + ib, ya'ni uning konjugat ildizi k 2 = ` k 1 = a- ib.Birinchi ildizga k 1 differensial tenglamaning yechimiga mos keladi (14)
j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(Biz Eyler formulasidan foydalandik e i x = cosx + isinx). Xuddi shunday, ildiz k 2 = a- ib yechimiga mos keladi
j 2 (X)= e (a - -ib)X = e a x e - ib x= e ax(cosbx - isinbx).
Bu yechimlar murakkab. Ulardan haqiqiy yechimlarni olish uchun chiziqli bir jinsli tenglama yechimlarining xossalaridan foydalanamiz (13.2 ga qarang). Funksiyalar
(14) tenglamaning haqiqiy yechimlaridir. Bundan tashqari, bu echimlar chiziqli mustaqildir. Shunday qilib, biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin.
1-qoida.Bir juft konjugat kompleks ildiz a± Chiziqli bir jinsli tenglamaning FSRdagi xarakteristik tenglamasining ib (14) ikkita real qisman yechimga mos keladiVa .
8-misol. Tenglamaning umumiy yechimini toping:
A) da¢ ¢ (X) - 2da ¢ (X) + 5da(X) = 0 ;b) da¢ ¢ ¢ (X) - da¢ ¢ (X) + 4da ¢ (X) - 4da(X) = 0.
Yechim. (a) tenglamada xarakteristik tenglamaning ildizlari k 2 - 2k + 5 = 0 - ikkita konjugat kompleks sonlar
k 1, 2 = .
Binobarin, 1-qoidaga ko'ra, ular ikkita haqiqiy chiziqli mustaqil yechimga mos keladi: va , va tenglamaning umumiy yechimi funktsiyadir.
j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x gunoh 2x.
(b) holida xarakteristik tenglamaning ildizlarini topish k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, biz uning chap tomonini faktorlarga ajratamiz:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Shunday qilib, bizda uchta xarakterli ildiz bor: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2i. Kornu k 1 yechimiga mos keladi , va bir juft konjugat murakkab ildizlar k 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2i- ikkita haqiqiy yechim: va . Biz tenglamaning umumiy yechimini tuzamiz:
j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 gunoh 2x.
III . Xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida ko'paytmalar mavjud.
Mayli k 1 - ko'plikning haqiqiy ildizi m xarakterli tenglama (15), ya'ni ildizlar orasida mavjud m teng ildizlar. Ularning har biri differentsial tenglamaning bir xil yechimiga mos keladi (14) Biroq, o'z ichiga oladi m FSRda teng echimlar mavjud emas, chunki ular chiziqli bog'liq funktsiyalar tizimini tashkil qiladi.
Ko'rsatish mumkinki, bir nechta ildiz bo'lsa k 1(14) tenglamaning yechimlari funksiyadan tashqari funksiyalardir
Funktsiyalar butun raqamli o'qda chiziqli mustaqildir, chunki , ya'ni ularni FSRga kiritish mumkin.
2-qoida. Haqiqiy xarakterli ildiz k 1 ko'plik m FSRda mos keladi m yechimlar:
Agar k 1 - murakkab ildiz ko'pligi m xarakterli tenglama (15), keyin konjugat ildiz mavjud k 1 ko'plik m. Analogiya orqali biz quyidagi qoidani olamiz.
3-qoida. Bir juft konjugat kompleks ildizlar a± FSRdagi ib 2mreal chiziqli mustaqil yechimlarga mos keladi:
, , ..., ,
, , ..., .
9-misol. Tenglamaning umumiy yechimini toping:
A) da¢ ¢ ¢ (X) + 3da¢ ¢ (X) + 3da¢ (X)+ y ( X)= 0;b) IV da(X) + 6da¢ ¢ (X) + 9da(X) = 0.
Yechim. (a) holatda xarakteristik tenglama ko'rinishga ega
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
ya'ni k =- 1 - ko‘plik ildizi 3. 2-qoidaga asoslanib, umumiy yechimni yozamiz:
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .
(b) holatdagi xarakteristik tenglama tenglamadir
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
yoki, aks holda,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i.
Bizda bir juft konjugatli kompleks ildizlar bor, ularning har biri ko'paytmali 2. 3-qoidaga ko'ra, umumiy yechim quyidagicha yoziladi.
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x.
Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, koeffitsientlari doimiy bo'lgan har qanday chiziqli bir jinsli tenglama uchun asosiy echimlar tizimini topish va umumiy yechimni tuzish mumkin. Binobarin, har qanday uchun mos keladigan bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimi doimiy funktsiya f(x) o'ng tomonda ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli yordamida topish mumkin (5.3 bo'limga qarang).
10-misol. Variatsiya usulidan foydalanib, bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy yechimini toping. da¢ ¢ (X) - da¢ (X) - 6da(X) = x e 2x .
Yechim. Avval mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topamiz da¢ ¢ (X) - da¢ (X) - 6da(X) = 0. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k 2 - k- 6 = 0 k 1 = 3,k 2 = - 2, a bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi - funktsiyasi ` da ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Shaklda bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimini izlaymiz
da( X) = BILAN 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)
Vronski determinantini topamiz
V[e 3X , e 2X ] = .
Noma’lum funksiyalarning hosilalari uchun (12) tenglamalar sistemasini tuzamiz BILAN ¢ 1 (X) Va BILAN¢ 2 (X):
Tizimni Kramer formulalari yordamida yechib, biz olamiz
Integratsiyalash, biz topamiz BILAN 1 (X) Va BILAN 2 (X):
Funktsiyalarni almashtirish BILAN 1 (X) Va BILAN 2 (X) tenglikka (*), tenglamaning umumiy yechimini olamiz da¢ ¢ (X) - da¢ (X) - 6da(X) = x e 2x :
Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning o'ng tomoni maxsus ko'rinishga ega bo'lsa, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuliga murojaat qilmasdan, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimini topish mumkin.
Doimiy koeffitsientli tenglamani ko'rib chiqing
y (n) + a 1 yil (n– 1) +...a n – 1y " + a n y = f (x), (16)
f( x) = ebolta(P n(x)cosbx + R m(x)sinbx), (17)
Qayerda P n(x) Va Rm(x) - darajali polinomlar n Va m mos ravishda.
Shaxsiy yechim y*(X(16) tenglamaning ) formulasi bilan aniqlanadi
da* (X) = xse bolta(Janob(x)cosbx + N r(x)sinbx), (18)
Qayerda Janob(x) Va Nr(x) - darajali polinomlar r = maks(n, m) noaniq koeffitsientlar bilan , A s ildizning karrali qismiga teng k 0 = a + ib(16) tenglamaning xarakterli polinomi va biz qabul qilamiz s = 0 agar k 0 xarakterli ildiz emas.
Formula (18) yordamida ma'lum bir yechim tuzish uchun siz to'rtta parametrni topishingiz kerak - a, b, r Va s. Birinchi uchtasi tenglamaning o'ng tomonidan aniqlanadi va r- bu aslida eng yuqori darajadir x, o'ng tomonda topilgan. Parametr s raqamlarni taqqoslash natijasida topilgan k 0 = a + ib Va tegishli bir hil tenglamani yechish yo‘li bilan topiladigan (16) tenglamaning barcha (ko‘pliklarni hisobga olgan holda) xarakterli ildizlari to‘plami.
Funktsiya shaklining maxsus holatlarini ko'rib chiqaylik (17):
1) da a ¹ 0, b= 0f(x)= e ax P n(x);
2) qachon a= 0, b ¹ 0f(x)= P n(x) Bilanosbx + R m(x)sinbx;
3) qachon a = 0, b = 0f(x)=Pn(x).
Izoh 1. Agar P n (x) º 0 yoki Rm(x)º 0, u holda tenglamaning o'ng tomoni f(x) = e ax P n (x)s osbx yoki f(x) = e ax R m (x)sinbx, ya'ni funksiyalardan faqat bittasini o'z ichiga oladi. - kosinus yoki sinus. Ammo ma'lum bir yechimni yozishda ularning ikkalasi ham mavjud bo'lishi kerak, chunki (18) formulaga ko'ra, ularning har biri bir xil darajadagi aniqlanmagan koeffitsientli ko'phadga ko'paytiriladi r = max (n, m).
11-misol. Agar tenglamaning o'ng tomoni ma'lum bo'lsa, o'zgarmas koeffitsientli 4-darajali chiziqli bir jinsli tenglamaning qisman yechimi turini aniqlang. f(X) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)gunoh 3x) va xarakteristik tenglamaning ildizlari:
A ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;
b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;
V ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i.
Yechim. O'ng tomonda biz buni maxsus yechimda topamiz da*(X), (18) formula bo'yicha aniqlanadi, parametrlar: a= 1, b= 3, r = 2. Ular uchta holat uchun ham bir xil bo'lib qoladi, shuning uchun soni k 0 oxirgi parametrni belgilaydi s formula (18) ga teng k 0 = 1+ 3i. (a) holatda xarakterli ildizlar orasida raqam yo'q k 0 = 1 + 3men, Ma'nosi, s= 0 va ma'lum bir yechim shaklga ega
y*(X) = x 0 e x(M 2 (x)cos 3x+N 2 (x)gunoh 3x) =
= ex( (Ax 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)gunoh 3x.
(b) holatda raqam k 0 = 1 + 3i xarakterli ildizlar orasida bir marta uchraydi, demak s = 1 Va
y*(X) = x e x((Ax 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)gunoh 3x.
(c) holat uchun bizda mavjud s = 2 va
y*(X) = x 2 e x((Ax 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)gunoh 3x.
11-misolda, maxsus yechim aniqlanmagan koeffitsientli 2-darajali ikkita polinomni o'z ichiga oladi. Yechimni topish uchun siz ushbu koeffitsientlarning raqamli qiymatlarini aniqlashingiz kerak. Keling, umumiy qoidani ishlab chiqaylik.
Polinomlarning noma'lum koeffitsientlarini aniqlash Janob(x) Va Nr(x) tenglik (17) zarur marta farqlanadi va funksiya almashtiriladi y*(X) va uning hosilalari (16) tenglamaga keltiriladi. Uning chap va o'ng tomonlarini taqqoslab, biz tizimni olamiz algebraik tenglamalar koeffitsientlarni topish.
12-misol. Tenglamaning yechimini toping da¢ ¢ (X) - da¢ (X) - 6da(X) = xe 2x, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimini o'ng tomonning shakli bilan aniqlagan.
Yechim. Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega
da( X) = ` da(X)+ y*(X),
Qayerda ` da ( X) - mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va y*(X) - bir jinsli bo'lmagan tenglamaning maxsus yechimi.
Avval bir jinsli tenglamani yechamiz da¢ ¢ (X) - da¢ (X) - 6da(X) = 0. Uning xarakteristik tenglamasi k 2 - k- 6 = 0 ikkita ildizga ega k 1 = 3,k 2 = - 2, shuning uchun, ` da ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Muayyan yechim turini aniqlash uchun (18) formuladan foydalanamiz da*(X). Funktsiya f(x) = xe 2x o'zida aks ettiradi maxsus holat(a) formulalar (17), esa a = 2,b = 0 Va r = 1, ya'ni k 0 = 2 + 0i = 2. Xarakterli ildizlar bilan taqqoslab, biz xulosa qilamiz s = 0. Barcha parametrlarning qiymatlarini formulaga (18) almashtirsak, biz bor y*(X) = (Ah + B)e 2X .
Qiymatlarni topish uchun A Va IN, funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini topamiz y*(X) = (Ah + B)e 2X :
y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + Ah + 2B)e 2x,
y*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2Ah + Ah + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .
Funktsiya almashtirilgandan keyin y*(X) va uning hosilalari bizda mavjud tenglamaga kiradi
(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + Ah + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.
Shunday qilib, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimi shaklga ega
y*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,
va umumiy yechim - da ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Eslatma 2.Agar Koshi muammosi bir jinsli bo'lmagan tenglama uchun qo'yilgan bo'lsa, avvalo tenglamaning umumiy yechimini topish kerak.
da( X) = ,
koeffitsientlarning barcha raqamli qiymatlarini aniqlagandan so'ng da*(X). Keyin boshlang'ich shartlardan foydalaning va ularni umumiy yechimga almashtiring (va y*(X)), doimiylarning qiymatlarini toping C i.
13-misol. Koshi muammosining yechimini toping:
da¢ ¢ (X) - da¢ (X) - 6da(X) = xe 2x ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.
Yechim. Bu tenglamaning umumiy yechimi
da(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X
12-misolda topilgan. Ushbu Koshi muammosining boshlang'ich shartlarini qanoatlantiradigan muayyan yechimni topish uchun biz tenglamalar tizimini olamiz.
Uni hal qilish, bizda bor C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Demak, Koshi muammosining yechimi funksiya hisoblanadi
da(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Eslatma 3(superpozitsiya printsipi). Agarda chiziqli tenglama Ln[y(x)]= f(x), Qayerda f(x) = f 1 (x)+f 2 (x) Va y* 1 (x) - tenglamaning yechimi Ln[y(x)]= f 1 (x), A y* 2 (x) - tenglamaning yechimi Ln[y(x)]= f 2 (x), keyin funksiya y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) hisoblanadi tenglamani yechish Ln[y(x)]= f(x).
14-misol. Chiziqli tenglamaning umumiy yechim turini ko'rsating
da¢ ¢ (X) + 4da(X) = x + sinx.
Yechim. Tegishli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
` da(x) = C 1 cos 2x + C 2 gunoh 2x,
xarakteristik tenglamadan boshlab k 2 + 4 = 0 ning ildizlari bor k 1, 2 = ± 2i.Tenglamaning o'ng tomoni (17) formulaga to'g'ri kelmaydi, lekin yozuvni kiritadigan bo'lsak f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinx va superpozitsiya tamoyilidan foydalaning , u holda bir jinsli bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimini shaklida topish mumkin y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), Qayerda y* 1 (x) - tenglamaning yechimi da¢ ¢ (X) + 4da(X) = x, A y* 2 (x) - tenglamaning yechimi da¢ ¢ (X) + 4da(X) = sinx. Formula bo'yicha (18)
y* 1 (x) = Ax + B,y* 2 (x) = Ssosx + Dsinx.
Keyin maxsus yechim
y*(X) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,
shuning uchun umumiy yechim shaklga ega
da(X) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.
15-misol. Elektr davri emf bilan ketma-ket ulangan oqim manbasidan iborat e(t) = E gunohw t, induktivlik L va konteynerlar BILAN, va
