Uy Og'iz bo'shlig'i Umumiy yechimni toping va uni fsr hisobida yozing. Sistema va fsrning umumiy yechimini toping

Og'iz bo'shlig'i

Umumiy yechimni toping va uni fsr hisobida yozing. Sistema va fsrning umumiy yechimini toping

Bir hil tizim chiziqli tenglamalar maydon ustida

TA'RIF. Tenglamalar sistemasini yechishlarning fundamental tizimi (1) uning yechimlarining boʻsh boʻlmagan chiziqli mustaqil tizimi boʻlib, uning chiziqli oraligʻi (1) sistemaning barcha yechimlari toʻplamiga toʻgʻri keladi.

E'tibor bering, faqat nol yechimga ega bo'lgan bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi asosiy echimlar tizimiga ega emas.

TAKLIF 3.11. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining har qanday ikkita asosiy yechimlari tizimi bir xil miqdordagi yechimlardan iborat.

Isbot. Haqiqatdan ham, (1) bir hil tenglamalar sistemasi yechimlarining har qanday ikkita fundamental tizimi ekvivalent va chiziqli mustaqildir. Shuning uchun, 1.12-taklifga ko'ra, ularning darajalari tengdir. Shuning uchun, biriga kiritilgan echimlar soni asosiy tizim, har qanday boshqa fundamental yechimlar tizimiga kiritilgan yechimlar soniga teng.

Agar (1) bir jinsli tenglamalar sistemasining asosiy A matritsasi nolga teng bo'lsa, dan har qanday vektor (1) sistemaning yechimidir; bu holda har qanday to'plam chiziqli bo'ladi mustaqil vektorlar ning asosiy yechimlar tizimidir. Agar A matritsaning ustun darajasi ga teng bo'lsa, u holda (1) tizim faqat bitta yechimga ega - nolga teng; shuning uchun bu holda (1) tenglamalar sistemasi asosiy yechimlar sistemasiga ega emas.

3.12-TEOREMA. Agar bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimining bosh matritsasining darajasi (1) o'zgaruvchilar sonidan kichik bo'lsa, u holda (1) tizim yechimlardan iborat fundamental yechim tizimiga ega.

Isbot. Agar bir jinsli sistemaning (1) bosh matritsasining darajasi nolga teng yoki ga teng bo'lsa, teorema to'g'ri ekanligi yuqorida ko'rsatilgan. Shuning uchun, quyida faraz qilinsa, A matritsasining birinchi ustunlari chiziqli mustaqil deb faraz qilamiz. Bunday holda, A matritsa satr bo'yicha qisqartirilgan bosqichli matritsaga, tizim (1) esa quyidagi qisqartirilgan bosqichli tenglamalar tizimiga ekvivalentdir:

Har qanday erkin qiymatlar tizimini tekshirish oson tizim o'zgaruvchilari(2) sistema (2) va demak, (1) ga bitta va faqat bitta yechimga mos keladi. Xususan, (2) va sistema (1) ning faqat nol yechimi nol qiymatlar tizimiga mos keladi.

Tizimda (2) biz bepullardan birini tayinlaymiz o'zgaruvchilar qiymati, 1 ga teng, qolgan o'zgaruvchilar esa nol qiymatga ega. Natijada, biz (2) tenglamalar tizimining yechimlarini olamiz, ularni quyidagi C matritsasining qatorlari shaklida yozamiz:

Ushbu matritsaning qatorlar tizimi chiziqli mustaqildir. Haqiqatan ham, tenglikdan har qanday skalyarlar uchun

tenglik kelib chiqadi

va shuning uchun tenglik

C matritsaning satrlar sistemasining chiziqli oralig'i (1) sistemaning barcha yechimlari to'plamiga to'g'ri kelishini isbotlaylik.

Tizimning ixtiyoriy yechimi (1). Keyin vektor

ham (1) sistemaning yechimi va

Muammoingizning batafsil yechimiga buyurtma berishingiz mumkin!!!

Bu nima ekanligini tushunish uchun asosiy qarorlar tizimi bosish orqali xuddi shu misol uchun video darslikni ko'rishingiz mumkin. Endi butunning tavsifiga o'tamiz zarur ish. Bu sizga ushbu masalaning mohiyatini batafsilroq tushunishga yordam beradi.

Chiziqli tenglamaning asosiy yechimlar tizimini qanday topish mumkin?

Masalan, quyidagi chiziqli tenglamalar tizimini olaylik:

Keling, ushbu chiziqli tenglamalar tizimining yechimini topamiz. Boshlash uchun, biz tizimning koeffitsient matritsasi yozishingiz kerak.

Keling, bu matritsani uchburchakka aylantiramiz. Birinchi qatorni o'zgartirishlarsiz qayta yozamiz. Va $a_(11)$ ostida bo'lgan barcha elementlar nolga aylantirilishi kerak. $a_(21)$ elementi oʻrniga nol qoʻyish uchun ikkinchi qatordan birinchisini ayirib, ikkinchi qatorga farqni yozish kerak. $a_(31)$ elementi oʻrniga nol qoʻyish uchun uchinchi qatordan birinchisini ayirish va uchinchi qatorga farqni yozish kerak. $a_(41)$ elementi oʻrniga nol qoʻyish uchun toʻrtinchi qatordan birinchi koʻpaytirilganni 2 ga ayirish va toʻrtinchi qatorga farqni yozish kerak. $a_(31)$ elementi oʻrniga nol qoʻyish uchun beshinchi qatordan birinchi koʻpaytirilganni 2 ga ayirish va beshinchi qatorga farqni yozish kerak.

Birinchi va ikkinchi qatorlarni o'zgarishsiz qayta yozamiz. Va $a_(22)$ ostida bo'lgan barcha elementlar nolga aylantirilishi kerak. $a_(32)$ elementi oʻrniga nol qoʻyish uchun uchinchi qatordan 2 ga koʻpaytirilgan ikkinchisini ayirib, uchinchi qatorga farqni yozish kerak. $a_(42)$ elementi oʻrniga nol qoʻyish uchun toʻrtinchi qatordan 2 ga koʻpaytirilgan ikkinchisini ayirish va toʻrtinchi qatorga farqni yozish kerak. $a_(52)$ elementi oʻrniga nol qoʻyish uchun beshinchi qatordan 3 ga koʻpaytirilgan ikkinchisini ayirib, beshinchi qatorga farqni yozish kerak.

Biz buni ko'ramiz oxirgi uchta qator bir xil, shuning uchun to'rtinchi va beshinchidan uchinchini ayirib tashlasangiz, ular nolga aylanadi.

Ushbu matritsaga ko'ra yozib qo'ying yangi tizim tenglamalar.

Bizda faqat uchta chiziqli mustaqil tenglama va beshta noma'lum borligini ko'ramiz, shuning uchun asosiy echimlar tizimi ikkita vektordan iborat bo'ladi. Shunday qilib, biz oxirgi ikkita noma'lumni o'ngga siljitishimiz kerak.

Endi biz chap tomonda joylashgan noma'lumlarni o'ng tomondagilar orqali ifodalashni boshlaymiz. Biz oxirgi tenglamadan boshlaymiz, avval $x_3$ ni ifodalaymiz, keyin olingan natijani ikkinchi tenglamaga almashtiramiz va $x_2$ ni ifodalaymiz, so'ngra birinchi tenglamaga va bu erda $x_1$ ni ifodalaymiz. Shunday qilib, biz chap tomonda joylashgan barcha noma'lumlarni o'ng tomonda joylashgan noma'lumlar orqali ifodaladik.

Keyin $x_4$ va $x_5$ oʻrniga istalgan raqamlarni almashtirib, $x_1$, $x_2$ va $x_3$ ni topishimiz mumkin. Bu raqamlarning har beshtasi asl tenglamalar sistemamizning ildizi bo'ladi. Kiritilgan vektorlarni topish uchun FSR$x_4$ oʻrniga 1ni, $x_5$ oʻrniga 0ni qoʻyishimiz, $x_1$, $x_2$ va $x_3$ ni topishimiz kerak, keyin esa aksincha $x_4=0$ va $x_5=1$.

Biz texnologiyamizni sayqallashda davom etamiz elementar transformatsiyalar yoqilgan chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi.
Birinchi xatboshilarga asoslanib, material zerikarli va o'rtacha ko'rinishi mumkin, ammo bu taassurot aldamchi. Texnik texnikani yanada rivojlantirishdan tashqari, ko'p bo'ladi yangi ma'lumotlar, shuning uchun ushbu maqoladagi misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi nima?

Javob o'zini ko'rsatadi. Chiziqli tenglamalar tizimi, agar erkin muddat bo'lsa, bir hil bo'ladi hamma sistemaning tenglamasi nolga teng. Masalan:

Bu mutlaqo aniq bir hil tizim har doim izchil bo'ladi, ya'ni uning har doim yechimi bor. Va, birinchi navbatda, sizning ko'zingizga tushadigan narsa bu so'zdir ahamiyatsiz yechim . Arzimas, sifatdoshning ma'nosini umuman tushunmaydiganlar uchun ko'z-ko'z qilmasdan, degan ma'noni anglatadi. Akademik emas, albatta, lekin tushunarli =) ...Nega butani aylanib o'tish kerak, keling, ushbu tizimda boshqa echimlar bor yoki yo'qligini bilib olaylik:

1-misol

Yechim: bir jinsli sistemani yechish uchun yozish kerak tizim matritsasi elementar transformatsiyalar yordamida uni bosqichma-bosqich shaklga keltiring. E'tibor bering, bu erda vertikal chiziq va bo'sh shartlarning nol ustunini yozishning hojati yo'q - axir, siz nol bilan nima qilsangiz ham, ular nol bo'lib qoladi:

(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi.

(2) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi.

Uchinchi qatorni 3 ga bo'lish unchalik ma'noga ega emas.

Elementar transformatsiyalar natijasida ekvivalent bir hil sistema olinadi , va qo'llash teskari zarba Gauss usulida yechimning yagona ekanligini tekshirish oson.

Javob:

Keling, aniq mezonni shakllantiramiz: chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi mavjud shunchaki arzimas yechim, Agar tizim matritsasi darajasi(V Ushbu holatda 3) o'zgaruvchilar soniga teng (bu holda - 3 dona).

Keling, radiomizni elementar o'zgarishlar to'lqiniga qizdiramiz va sozlaymiz:

2-misol

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Algoritmni nihoyat birlashtirish uchun yakuniy vazifani tahlil qilaylik:

7-misol

Bir jinsli sistemani yeching, javobni vektor shaklida yozing.

Yechim: tizim matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

(1) Birinchi qatorning belgisi o'zgartirildi. Yana bir bor e'tiborni ko'p marta duch kelgan texnikaga qarataman, bu keyingi harakatni sezilarli darajada soddalashtirishga imkon beradi.

(1) Birinchi qator 2 va 3 qatorlarga qo'shildi. Birinchi qator, 2 ga ko'paytirilib, 4-qatorga qo'shildi.

(3) Oxirgi uchta satr proportsionaldir, ulardan ikkitasi olib tashlandi.

Natijada, standart qadam matritsasi olinadi va eritma murvatli yo'l bo'ylab davom etadi:

- asosiy o'zgaruvchilar;
- erkin o'zgaruvchilar.

Asosiy o'zgaruvchilarni erkin o'zgaruvchilar bilan ifodalaylik. 2-tenglamadan:

- 1- tenglamaga almashtiring:

Shunday qilib, umumiy qaror:

Ko'rib chiqilayotgan misolda uchta erkin o'zgaruvchi mavjud bo'lganligi sababli, asosiy tizim uchta vektorni o'z ichiga oladi.

Keling, uchlik qiymatlarni almashtiramiz umumiy yechimga aylantiring va koordinatalari bir jinsli sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradigan vektorni oling. Va yana takror aytamanki, har bir qabul qilingan vektorni tekshirish juda tavsiya etiladi - bu ko'p vaqt talab qilmaydi, lekin sizni xatolardan to'liq himoya qiladi.

Qadriyatlarning uch barobari uchun vektorni toping

Va nihoyat, uchtasi uchun uchinchi vektorni olamiz:

Javob: , Qayerda

Kasr qiymatlaridan qochishni istaganlar uchliklarni ko'rib chiqishlari va javobni ekvivalent shaklda olishlari mumkin:

Kasrlar haqida gapirganda. Muammoda olingan matritsani ko'rib chiqamiz va o'zimizga savol beraylik: keyingi yechimni soddalashtirish mumkinmi? Axir, bu erda biz birinchi navbatda kasrlar orqali asosiy o'zgaruvchini, keyin kasrlar orqali asosiy o'zgaruvchini ifodaladik va shuni aytishim kerakki, bu jarayon eng oddiy va eng yoqimli emas edi.

Ikkinchi yechim:

G'oya sinashdir boshqa asosiy o'zgaruvchilarni tanlang. Keling, matritsani ko'rib chiqaylik va uchinchi ustunda ikkitasini ko'rib chiqaylik. Xo'sh, nega tepada nol bo'lmasligi kerak? Yana bir elementar transformatsiyani amalga oshiramiz:

Barcha erkin hadlari nolga teng bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimi deyiladi bir hil :

Har qanday bir hil tizim doimo izchil bo'ladi, chunki u doimo mavjud nol (ahamiyatsiz ) yechim. Bir hil tizim qanday sharoitlarda notrivial yechimga ega bo'ladi degan savol tug'iladi.

5.2 teorema.Bir hil tizim, agar asosiy matritsaning darajasi uning noma'lumlari sonidan kam bo'lsa, noan'anaviy yechimga ega bo'ladi.

Natija. Kvadrat bir jinsli sistema, agar tizimning asosiy matritsasining determinanti nolga teng bo'lmasa, notrivial yechimga ega bo'ladi.

5.6-misol. Tizim notrivial yechimlarga ega bo'lgan l parametrining qiymatlarini aniqlang va ushbu echimlarni toping:

Yechim. Agar asosiy matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa, bu tizim ahamiyatsiz yechimga ega bo'ladi:

Shunday qilib, l=3 yoki l=2 bo'lganda tizim notrivial hisoblanadi. l=3 uchun sistemaning bosh matritsasining darajasi 1 ga teng. U holda faqat bitta tenglama qoldirib, shunday deb faraz qilsak. y=a Va z=b, olamiz x=b-a, ya'ni.

l=2 uchun sistemaning bosh matritsasining darajasi 2 ga teng. Keyin minorni asos qilib tanlab:

biz soddalashtirilgan tizimni olamiz

Bu erdan biz buni topamiz x=z/4, y=z/2. Ishonish z=4a, olamiz

Bir hil tizimning barcha yechimlari to'plami juda muhim ahamiyatga ega chiziqli xususiyat : X ustunlar bo'lsa 1 va X 2 - bir jinsli sistemaning yechimlari AX = 0, keyin ularning har qanday chiziqli birikmasi a X 1 + b X 2 ham ushbu tizimga yechim bo'ladi. Haqiqatan ham, beri AX 1 = 0 Va AX 2 = 0 , Bu A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Aynan shu xossa tufayli, agar chiziqli tizim bir nechta yechimga ega bo'lsa, u holda bu yechimlarning cheksiz soni bo'ladi.

Chiziqli mustaqil ustunlar E 1 , E 2 , E k, bir jinsli sistemaning yechimlari deyiladi asosiy yechimlar tizimi bir hil chiziqli tenglamalar tizimi, agar ushbu tizimning umumiy yechimini ushbu ustunlarning chiziqli birikmasi sifatida yozish mumkin bo'lsa:

Agar bir hil tizim mavjud bo'lsa n o'zgaruvchilar va tizimning asosiy matritsasining darajasi teng r, Bu k = n-r.

5.7-misol. Yechimlarning asosiy tizimini toping keyingi tizim chiziqli tenglamalar:

Yechim. Tizimning bosh matritsasining darajasini topamiz:

Shunday qilib, ushbu tenglamalar tizimining yechimlari to'plami o'lchamning chiziqli pastki fazosini hosil qiladi n-r= 5 - 2 = 3. Asos sifatida minorni tanlaymiz

Keyin, faqat asosiy tenglamalarni (qolganlari ushbu tenglamalarning chiziqli birikmasi bo'ladi) va asosiy o'zgaruvchilarni (qolganlarini, erkin o'zgaruvchilar deb ataladigan narsalarni o'ngga siljitamiz) qoldirib, biz soddalashtirilgan tenglamalar tizimini olamiz:

Ishonish x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, topamiz

, .

Ishonish a= 1, b = c= 0, biz birinchi asosiy yechimni olamiz; ishonish b= 1, a = c= 0, biz ikkinchi asosiy yechimni olamiz; ishonish c= 1, a = b= 0, biz uchinchi asosiy yechimni olamiz. Natijada, eritmalarning oddiy fundamental tizimi shaklga ega bo'ladi

Fundamental sistemadan foydalanib, bir jinsli sistemaning umumiy yechimini quyidagicha yozish mumkin

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlarining ba'zi xossalarini qayd qilaylik AX=B va ularning mos keladigan bir jinsli tenglamalar tizimi bilan aloqasi AX = 0.

Bir jinsli bo'lmagan sistemaning umumiy yechimimos keladigan bir jinsli sistemaning umumiy yechimi AX = 0 va bir jinsli boʻlmagan sistemaning ixtiyoriy xususiy yechimi yigʻindisiga teng.. Haqiqatan ham, ruxsat bering Y 0 - bir hil bo'lmagan tizimning ixtiyoriy maxsus yechimi, ya'ni. AY 0 = B, Va Y- geterogen tizimning umumiy yechimi, ya'ni. AY=B. Bir tenglikni boshqasidan ayirib, biz olamiz
A(Y-Y 0) = 0, ya'ni. Y-Y 0 - mos keladigan bir jinsli tizimning umumiy yechimi AX=0. Demak, Y-Y 0 = X, yoki Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Bir jinsli bo'lmagan sistema AX = B ko'rinishga ega bo'lsin 1 + B 2 . U holda bunday sistemaning umumiy yechimini X = X shaklida yozish mumkin 1 + X 2 , bu erda AX 1 = B 1 va AX 2 = B 2. Bu xususiyat har qandayning universal xususiyatini ifodalaydi chiziqli tizimlar(algebraik, differentsial, funksional va boshqalar). Fizikada bu xususiyat deyiladi superpozitsiya printsipi, elektrotexnika va radiotexnika sohasida - superpozitsiya printsipi. Masalan, chiziqli elektr davrlari nazariyasida har qanday zanjirdagi tokni har bir energiya manbasi tomonidan alohida-alohida keltirib chiqaradigan oqimlarning algebraik yig'indisi sifatida olish mumkin.

Bir hil tizim har doim izchil va ahamiyatsiz yechimga ega
. Nontrivial yechim mavjud bo'lishi uchun matritsaning darajasi bo'lishi kerak noma'lumlar sonidan kamroq edi:

Yechimlarning asosiy tizimi bir hil tizim
ustun vektorlari ko'rinishidagi yechimlar tizimini chaqiring
, kanonik asosga mos keladigan, ya'ni. ixtiyoriy konstantalar bo'lgan asos
navbatma-navbat bittaga teng, qolganlari esa nolga o'rnatiladi.

Keyin bir jinsli tizimning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Qayerda
- ixtiyoriy konstantalar. Boshqacha qilib aytganda, umumiy yechim asosiy yechimlar tizimining chiziqli birikmasidir.

Shunday qilib, agar erkin noma'lumlarga navbatma-navbat bittaning qiymati berilsa, qolganlari nolga teng bo'lsa, umumiy yechimdan asosiy echimlarni olish mumkin.

Misol. Keling, tizimga yechim topaylik

Qabul qilaylik, keyin biz quyidagi shaklda yechim olamiz:

Keling, asosiy echimlar tizimini tuzamiz:

Umumiy yechim quyidagicha yoziladi:

Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari quyidagi xususiyatlarga ega:

Boshqacha qilib aytganda, bir hil sistemaga yechimlarning har qanday chiziqli birikmasi yana yechim hisoblanadi.

Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish

Chiziqli tenglamalar tizimini echish bir necha asrlar davomida matematiklarni qiziqtirib kelgan. Birinchi natijalar 18-asrda olingan. 1750 yilda G. Kramer (1704–1752) kvadrat matritsalarning determinantlari haqidagi asarlarini nashr etdi va teskari matritsani topish algoritmini taklif qildi. 1809 yilda Gauss yo'q qilish usuli deb nomlanuvchi yangi yechim usulini belgilab berdi.

Gauss usuli yoki noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli, elementar o'zgartirishlar yordamida tenglamalar tizimi bosqichli (yoki uchburchak) ekvivalent tizimga keltirilishidan iborat. Bunday tizimlar barcha noma'lumlarni ma'lum bir tartibda ketma-ket topish imkonini beradi.

Faraz qilaylik tizimda (1)
(bu har doim ham mumkin).

(1)

Birinchi tenglamani birma-bir deb atalmish bilan ko'paytirish mos raqamlar

va ko'paytirish natijasini tizimning mos tenglamalari bilan qo'shib, biz ekvivalent tizimga ega bo'lamiz, unda birinchisidan tashqari barcha tenglamalarda noma'lum bo'lmaydi. X 1

(2)

Keling, (2) sistemaning ikkinchi tenglamasini mos keladigan sonlarga ko'paytiramiz

va uni pastroqlari bilan qo'shib, biz o'zgaruvchini yo'q qilamiz uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan.

Bu jarayonni davom ettirish, keyin
qadamni olamiz:

(3)

Agar raqamlardan kamida bittasi bo'lsa
nolga teng emas, u holda mos keladigan tenglik ziddiyatli va (1) sistema mos kelmaydi. Aksincha, har qanday qo'shma sanoq tizimi uchun
nolga teng. Raqam sistema (1) matritsasining darajasidan boshqa narsa emas.