Vazifa 1. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang. Vektorlar tizimi ustunlari vektorlarning koordinatalaridan iborat bo'lgan tizim matritsasi bilan belgilanadi.

.

Yechim. Chiziqli birikma bo'lsin nolga teng. Ushbu tenglikni koordinatalarda yozsak, biz olamiz quyidagi tizim tenglamalar:

.

Bunday tenglamalar tizimi uchburchak deyiladi. Uning faqat bitta yechimi bor . Shuning uchun vektorlar chiziqli mustaqil.

Vazifa 2. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang.

.

Yechim. Vektorlar chiziqli mustaqil (1-masalaga qarang). Vektor vektorlarning chiziqli birikmasi ekanligini isbotlaylik . Vektor kengayish koeffitsientlari tenglamalar sistemasidan aniqlanadi

.

Ushbu tizim, uchburchak kabi, o'ziga xos echimga ega.

Shuning uchun vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq.

Izoh. 1-masaladagi kabi turdagi matritsalar deyiladi uchburchak , va 2-muammoda - pog'onali uchburchak . Vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi haqidagi savol, agar bu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan matritsa pog'onali uchburchak bo'lsa, oson hal qilinadi. Agar matritsaning maxsus shakli bo'lmasa, u holda foydalaning elementar string konvertatsiyalari , ustunlar orasidagi chiziqli munosabatlarni saqlab, uni pog'onali uchburchak shaklga qisqartirish mumkin.

Elementar satr konvertatsiyalari matritsalar (EPS) matritsadagi quyidagi amallar deyiladi:

1) chiziqlarni qayta joylashtirish;

2) qatorni nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirish;

3) ixtiyoriy songa ko'paytiriladigan satrga boshqa satr qo'shish.

Vazifa 3. Maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimni toping va vektorlar tizimining darajasini hisoblang

.

Yechim. Keling, EPS yordamida tizimning matritsasini bosqichli uchburchak shaklga keltiraylik. Protsedurani tushuntirish uchun o'zgartiriladigan matritsaning raqami bilan chiziqni belgi bilan belgilaymiz. O'qdan keyingi ustun yangi matritsa satrlarini olish uchun bajarilishi kerak bo'lgan konvertatsiya qilinayotgan matritsa satrlaridagi amallarni bildiradi.

.

Shubhasiz, natijada olingan matritsaning dastlabki ikkita ustuni chiziqli mustaqil, uchinchi ustun ularning chiziqli kombinatsiyasi, to'rtinchisi esa birinchi ikkitasiga bog'liq emas. Vektorlar asosiy deyiladi. Ular tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimini tashkil qiladi , tizimning darajasi esa uchta.

Bazis, koordinatalar

Vazifa 4. Koordinatalari shartni qanoatlantiradigan geometrik vektorlar to‘plamida shu asosdagi vektorlarning bazis va koordinatalarini toping. .

Yechim. Toʻplam koordinatadan oʻtuvchi tekislikdir. Tekislikdagi ixtiyoriy bazis ikkita kollinear bo'lmagan vektordan iborat. Tanlangan asosdagi vektorlarning koordinatalari mos keladigan tizimning yechimi bilan aniqlanadi chiziqli tenglamalar.

Ushbu muammoni hal qilishning yana bir yo'li bor, agar siz koordinatalar yordamida asosni topishingiz mumkin.

Koordinatalar bo'shliqlar tekislikdagi koordinatalar emas, chunki ular munosabat bilan bog'langan , ya'ni ular mustaqil emas. Mustaqil o'zgaruvchilar va (ular erkin deb ataladi) tekislikdagi vektorni yagona aniqlaydi va shuning uchun ularni koordinatalar sifatida tanlash mumkin. Keyin asos erkin o'zgaruvchilar to'plamida yotgan va ularga mos keladigan vektorlardan iborat Va , ya'ni .

Vazifa 5. Fazodagi toq koordinatalari bir-biriga teng bo‘lgan barcha vektorlar to‘plamida shu asosdagi vektorlarning bazis va koordinatalarini toping.

Yechim. Oldingi masalada bo'lgani kabi, fazodagi koordinatalarni tanlaylik.

Chunki , keyin erkin o'zgaruvchilar dan vektorni yagona aniqlang va shuning uchun koordinatalar. Tegishli asos vektorlardan iborat.

Vazifa 6. Shaklning barcha matritsalari to‘plamida shu asosdagi vektorlarning bazis va koordinatalarini toping , Qayerda - ixtiyoriy raqamlar.

Yechim. Har bir matritsa quyidagi shaklda noyob tarzda ifodalanadi:

Bu munosabat vektorning bazisga nisbatan kengayishidir
koordinatalari bilan .

Vazifa 7. Vektorlar sistemasining chiziqli korpusining o‘lchami va asosini toping

.

Yechim. EPS dan foydalanib, biz matritsani tizim vektorlarining koordinatalaridan bosqichli uchburchak shaklga aylantiramiz.

.

Ustunlar oxirgi matritsalar chiziqli mustaqil va ustunlar ular orqali chiziqli ifodalangan. Shuning uchun vektorlar asos hosil qiladi , Va .

Izoh. Asos noaniq tanlanadi. Masalan, vektorlar asosini ham tashkil etadi .

Chiziqli bog'liqlik va chiziqli mustaqillik vektorlar.
Vektorlar asoslari. Affin koordinata tizimi

Auditoriyada shokoladli arava bor va bugun har bir tashrif buyuruvchi shirin juftlik – chiziqli algebra bilan analitik geometriyani oladi. Ushbu maqola bir vaqtning o'zida oliy matematikaning ikkita bo'limiga to'xtalib o'tadi va biz ular bir o'ramda qanday birga mavjudligini ko'rib chiqamiz. Tanaffus qiling, Twix yeying! ...Jin ursin, qanaqa safsata. Garchi, yaxshi, men gol urmayman, oxir-oqibat, siz o'qishga ijobiy munosabatda bo'lishingiz kerak.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi, chiziqli vektor mustaqilligi, vektorlar asosi va boshqa atamalar nafaqat geometrik talqinga ega, balki, birinchi navbatda, algebraik ma'nosi. Chiziqli algebra nuqtai nazaridan "vektor" tushunchasi har doim ham biz tekislikda yoki kosmosda tasvirlashimiz mumkin bo'lgan "oddiy" vektor emas. Dalil izlashning hojati yo'q, besh o'lchovli fazoning vektorini chizishga harakat qiling . Yoki Gismeteoga borgan ob-havo vektori: – harorat va Atmosfera bosimi mos ravishda. Misol, albatta, vektor fazosining xususiyatlari nuqtai nazaridan noto'g'ri, ammo shunga qaramay, hech kim bu parametrlarni vektor sifatida rasmiylashtirishni taqiqlamaydi. Kuz nafasi...

Yo'q, men sizni nazariya, chiziqli vektor bo'shliqlari bilan zeriktirmoqchi emasman, vazifa shu tushunish ta'riflar va teoremalar. Yangi atamalar (chiziqli bog'liqlik, mustaqillik, chiziqli birikma, bazis va boshqalar) hamma uchun amal qiladi algebraik nuqtai nazardan vektorlar, lekin geometrik misollar keltiriladi. Shunday qilib, hamma narsa sodda, tushunarli va tushunarli. Analitik geometriya masalalari bilan bir qatorda biz ba'zi tipik vazifalarni ham ko'rib chiqamiz algebra. Materialni o'zlashtirish uchun darslar bilan tanishish tavsiya etiladi Dummies uchun vektorlar Va Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Tekis vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Tekislik asosi va afin koordinatalar tizimi

Keling, kompyuter stolining tekisligini ko'rib chiqaylik (shunchaki stol, choyshab, pol, ship, sizga yoqadigan narsa). Vazifa bo'ladi Keyingi qadamlar:

1) Samolyot asosini tanlang. Taxminan aytganda, stol usti uzunligi va kengligiga ega, shuning uchun asosni qurish uchun ikkita vektor kerak bo'lishi intuitivdir. Bitta vektor etarli emas, uchta vektor juda ko'p.

2) Tanlangan asosga asoslanadi koordinatalar tizimini o'rnatish(koordinatalar panjarasi) jadvaldagi barcha ob'ektlarga koordinatalarni belgilash uchun.

Hayron bo'lmang, dastlab tushuntirishlar barmoqlarda bo'ladi. Bundan tashqari, sizniki. Iltimos, joylashtiring ko'rsatkich barmog'i chap qo'l stol usti chetida, shunda u monitorga qaraydi. Bu vektor bo'ladi. Endi joy kichik barmoq o'ng qo'l stolning chetida xuddi shu tarzda - monitor ekraniga yo'naltirilgan bo'lishi uchun. Bu vektor bo'ladi. Tabassum qiling, siz ajoyib ko'rinasiz! Vektorlar haqida nima deyishimiz mumkin? Ma'lumotlar vektorlari kollinear, bu degani chiziqli bir-biri orqali ifodalanadi:
, yaxshi yoki aksincha: , bu yerda qandaydir son noldan farq qiladi.

Ushbu harakatning rasmini sinfda ko'rishingiz mumkin. Dummies uchun vektorlar , bu erda vektorni songa ko'paytirish qoidasini tushuntirdim.

Barmoqlaringiz kompyuter stolining tekisligiga asos soladimi? Shubhasiz. Kollinear vektorlar bo'ylab oldinga va orqaga harakatlanadi yolg'iz yo'nalish va tekislikning uzunligi va kengligi bor.

Bunday vektorlar deyiladi chiziqli bog'liq.

Malumot: "Chiziqli", "chiziqli" so'zlari matematik tenglamalar va ifodalarda kvadratlar, kublar, boshqa darajalar, logarifmlar, sinuslar va boshqalar mavjud emasligini anglatadi. Faqat chiziqli (1-darajali) ifodalar va bog'liqliklar mavjud.

Ikki tekis vektor chiziqli bog'liq keyin va faqat keyin ular bir-biriga mos kelganda.

Barmoqlaringizni stol ustida kesib o'ting, shunda ular o'rtasida 0 yoki 180 darajadan boshqa burchak bo'lsin. Ikki tekis vektorchiziqli Yo'q agar ular o'zaro bog'liq bo'lmasa, bog'liq. Shunday qilib, asos olinadi. Asos turli uzunlikdagi perpendikulyar bo'lmagan vektorlar bilan "qiyshiq" bo'lib chiqqanidan xijolat bo'lishning hojati yo'q. Tez orada biz uni qurish uchun nafaqat 90 graduslik burchak, balki teng uzunlikdagi birlik vektorlari ham mos kelishini ko'ramiz.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l asosida kengaytiriladi:
, qayerda - haqiqiy raqamlar. Raqamlar chaqiriladi vektor koordinatalari shu asosda.

Bu ham aytiladi vektorsifatida taqdim etilgan chiziqli birikma bazis vektorlari. Ya'ni, ifoda deyiladi vektor parchalanishiasosida yoki chiziqli birikma bazis vektorlari.

Masalan, vektor tekislikning ortonormal asosi bo'ylab parchalanadi yoki vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi, deyishimiz mumkin.

Keling, shakllantiramiz asosning ta'rifi rasmiy ravishda: Samolyotning asosi chiziqli mustaqil (kollinear bo'lmagan) vektorlar juftligi deyiladi, , unda har qanday tekislik vektori bazis vektorlarining chiziqli birikmasidir.

Ta'rifning muhim nuqtasi - vektorlarning olinishi ma'lum bir tartibda. Bazalar - bu ikkita butunlay boshqa asoslar! Ular aytganidek, o'ng qo'lning kichik barmog'i o'rniga chap qo'lning kichik barmog'ini almashtira olmaysiz.

Biz asosni aniqladik, lekin koordinatalar panjarasini o'rnatish va kompyuter stolidagi har bir elementga koordinatalarni belgilash etarli emas. Nega bu yetarli emas? Vektorlar erkin va butun tekislikda aylanib yuradi. Xo'sh, qanday qilib yovvoyi dam olish kunlaridan qolgan stoldagi kichik iflos joylarga koordinatalarni belgilash mumkin? Boshlanish nuqtasi kerak. Va bunday diqqatga sazovor joy hamma uchun tanish nuqta - koordinatalarning kelib chiqishi. Keling, koordinatalar tizimini tushunamiz:

Men “maktab” tizimidan boshlayman. Kirish darsida allaqachon Dummies uchun vektorlar Men to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va ortonormal asos o'rtasidagi ba'zi farqlarni ta'kidladim. Mana standart rasm:

Ular haqida gapirganda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, keyin ko'pincha ular kelib chiqishi, koordinata o'qlari va o'qlar bo'ylab masshtabni anglatadi. Qidiruv tizimiga "to'rtburchaklar koordinatalar tizimi" ni yozib ko'ring va ko'p manbalar sizga 5-6-sinfdan tanish bo'lgan koordinata o'qlari va nuqtalarni tekislikda qanday chizish haqida aytib berishini ko'rasiz.

Boshqa tomondan, to'rtburchaklar koordinatalar tizimini ortonormal asos nuqtai nazaridan to'liq aniqlash mumkin ko'rinadi. Va bu deyarli to'g'ri. Matn quyidagicha:

kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchaklar tekislik koordinatalari tizimi . Ya'ni to'rtburchaklar koordinatalar tizimi albatta bitta nuqta va ikkita birlik ortogonal vektor bilan aniqlanadi. Shuning uchun siz yuqorida men bergan chizmani ko'rasiz - geometrik masalalarda vektor va koordinata o'qlari ko'pincha (lekin har doim ham emas) chiziladi.

Menimcha, hamma nuqta (kelib chiqishi) va ortonormal asosdan foydalanishni tushunadi Samolyotdagi HAR QANDAY NOKTA va samolyotdagi HAR QANDAY VEKTOR koordinatalarini belgilash mumkin. Majoziy ma'noda aytganda, "samolyotdagi hamma narsani raqamlash mumkin".

Koordinata vektorlari birlik bo'lishi kerakmi? Yo'q, ular o'zboshimchalik bilan nolga teng bo'lmagan uzunlikka ega bo'lishi mumkin. Nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy uzunlikdagi nuqta va ikkita ortogonal vektorni ko'rib chiqing:

Bunday asos deyiladi ortogonal. Vektorlar bilan koordinatalarning kelib chiqishi koordinatalar panjarasi bilan belgilanadi va tekislikning istalgan nuqtasi, har qanday vektor berilgan asosda o'z koordinatalariga ega. Masalan, yoki. Aniq noqulaylik shundaki, koordinata vektorlari V umumiy holat birlikdan tashqari turli uzunliklarga ega. Agar uzunliklar birlikka teng bo'lsa, u holda odatiy ortonormal asos olinadi.

! Eslatma : ortogonal asosda, shuningdek pastda tekislik va fazoning affin asoslarida o'qlar bo'ylab birliklar ko'rib chiqiladi. SHARTLI. Misol uchun, x o'qi bo'ylab bir birlik 4 sm, ordinata o'qi bo'ylab bitta birlik 2 sm ni o'z ichiga oladi.Bu ma'lumot, agar kerak bo'lsa, "nostandart" koordinatalarni "odatiy santimetrlarimiz" ga aylantirish uchun etarli.

Va aslida allaqachon javob berilgan ikkinchi savol, asosiy vektorlar orasidagi burchak 90 darajaga teng bo'lishi kerakmi? Yo'q! Ta'rifda aytilganidek, asosiy vektorlar bo'lishi kerak faqat kollinear emas. Shunga ko'ra, burchak 0 va 180 darajadan tashqari har qanday narsa bo'lishi mumkin.

Samolyotdagi nuqta chaqirildi kelib chiqishi, Va kollinear bo'lmagan vektorlar, , oʻrnating afin tekislik koordinata tizimi :

Ba'zan bunday koordinatalar tizimi deyiladi qiyshiq tizimi. Misol sifatida, chizma nuqtalar va vektorlarni ko'rsatadi:

Siz tushunganingizdek, affin koordinatalar tizimi bundan ham qulay emas, biz darsning ikkinchi qismida muhokama qilgan vektorlar va segmentlarning uzunliklari formulalari unda ishlamaydi. Dummies uchun vektorlar , bilan bog'liq ko'plab mazali formulalar vektorlarning skalyar mahsuloti . Ammo vektorlarni qo'shish va vektorni raqamga ko'paytirish qoidalari amal qiladi, bu borada segmentni bo'lish formulalari, shuningdek, biz tez orada ko'rib chiqiladigan boshqa muammolar turlari.

Xulosa shuki, affin koordinatalar sistemasining eng qulay maxsus holati Dekart to'rtburchaklar sistemasidir. Shuning uchun siz uni tez-tez ko'rishingiz kerak, azizim. ...Ammo, bu hayotda hamma narsa nisbiy - qiyshiq burchak (yoki boshqasi, masalan, qutbli) koordinatalar tizimi. Va gumanoidlar bunday tizimlarni yoqtirishi mumkin =)

Keling, amaliy qismga o'tamiz. Ushbu darsdagi barcha masalalar to'rtburchaklar koordinatalar tizimi uchun ham, umumiy affin holati uchun ham amal qiladi. Bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, barcha materiallar hatto maktab o'quvchisi uchun ham mavjud.

Tekis vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Oddiy narsa. Ikki tekis vektor uchun kollinear edi, ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'lishi zarur va etarli Asosan, bu aniq munosabatlarning koordinatali koordinatali tafsilotidir.

1-misol

a) vektorlarning kollinear ekanligini tekshiring .
b) Vektorlar asosni tashkil qiladimi? ?

Yechim:
a) vektorlar mavjudligini aniqlaylik mutanosiblik koeffitsienti, shundayki tengliklar qondiriladi:

Men sizga, albatta, "foppish" turdagi dastur haqida gapirib beraman ushbu qoidadan, bu amalda juda yaxshi ishlaydi. G'oya darhol proportsiyani tuzish va uning to'g'riligini tekshirishdir:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalarining nisbatlaridan proporsiya tuzamiz:

Keling, qisqartiramiz:
, shuning uchun mos keladigan koordinatalar proportsionaldir, shuning uchun

O'zaro munosabatlar boshqa yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin; bu ekvivalent variant:

O'z-o'zini sinab ko'rish uchun siz kollinear vektorlarning bir-biri orqali chiziqli ifodalanganligidan foydalanishingiz mumkin. IN Ushbu holatda tenglik mavjud . Ularning haqiqiyligini vektorlar bilan elementar operatsiyalar orqali osongina tekshirish mumkin:

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Biz vektorlarni kollinearlik uchun tekshiramiz . Keling, tizim yarataylik:

Birinchi tenglamadan kelib chiqadiki , ikkinchi tenglamadan shunday degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi (echimlar yo'q). Shunday qilib, vektorlarning mos keladigan koordinatalari proportsional emas.

Xulosa: vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Yechimning soddalashtirilgan versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalaridan proporsiya yasaymiz :
, ya'ni bu vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Odatda bu variant sharhlovchilar tomonidan rad etilmaydi, lekin ba'zi koordinatalar nolga teng bo'lgan hollarda muammo paydo bo'ladi. Mana bunday: . Yoki shunday: . Yoki shunday: . Bu erda qanday qilib mutanosiblik bilan ishlash mumkin? (haqiqatan ham, siz nolga bo'linmaysiz). Shuning uchun men soddalashtirilgan yechimni "foppish" deb atadim.

Javob: a) , b) shakl.

Kichkina ijodiy misol mustaqil qaror:

2-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar ular o'zaro bog'liq bo'ladimi?

Namuna eritmasida parametr nisbat orqali topiladi.

Vektorlarni kollinearlikni tekshirishning nafis algebraik usuli mavjud.Keling, bilimlarimizni tizimlashtirib, uni beshinchi nuqta sifatida qo‘shamiz:

Ikki tekis vektor uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:

2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar kollinear emas;

+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng.

Mos ravishda, quyidagi qarama-qarshi gaplar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli bog'liq;
2) vektorlar asos hosil qilmaydi;
3) vektorlar kollinear;
4) vektorlar bir-biri orqali chiziqli ifodalanishi mumkin;
+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng.

Men, albatta, umid qilaman bu daqiqa siz duch kelgan barcha shartlar va bayonotlarni allaqachon tushunasiz.

Keling, yangi, beshinchi nuqtani batafsil ko'rib chiqaylik: ikkita tekis vektor Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular kollinear bo'ladi.:. Foydalanish uchun bu xususiyatdan Tabiiyki, siz bunga qodir bo'lishingiz kerak determinantlarni toping .

Keling, qaror qilaylik Ikkinchi usulda 1-misol:

a) vektorlar koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi.

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Vektor koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Javob: a) , b) shakl.

Bu proportsional yechimga qaraganda ancha ixcham va chiroyli ko'rinadi.

Ko'rib chiqilgan material yordamida faqat vektorlarning kollinearligini o'rnatish, balki segmentlar va to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlash mumkin. Keling, aniq geometrik shakllar bilan bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

3-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak parallelogramm ekanligini isbotlang.

Isbot: Muammoda chizma yaratishning hojati yo'q, chunki yechim faqat analitik bo'ladi. Keling, parallelogramma ta'rifini eslaylik:
Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

Shunday qilib, isbotlash kerak:
1) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va;
2) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va.

Biz isbotlaymiz:

1) vektorlarni toping:

2) vektorlarni toping:

Natijada bir xil vektor ("maktab bo'yicha" - teng vektorlar). Kollinearlik juda aniq, ammo qarorni tartibga solish bilan aniq rasmiylashtirish yaxshiroqdir. Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi va .

Xulosa: To'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel, ya'ni ta'rifi bo'yicha parallelogramma. Q.E.D.

Yana yaxshi va turli raqamlar:

4-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak trapesiya ekanligini isbotlang.

Dalilni yanada qat'iy shakllantirish uchun, albatta, trapezoidning ta'rifini olish yaxshiroqdir, lekin uning qanday ko'rinishini eslab qolish kifoya.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan vazifadir. To'liq yechim dars oxirida.

Va endi asta-sekin samolyotdan kosmosga o'tish vaqti keldi:

Kosmik vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Qoida juda o'xshash. Ikki fazo vektori kollinear bo'lishi uchun, zarur va yetarli, shuning uchun ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'ladi.

5-misol

Quyidagi fazo vektorlari kollinear ekanligini aniqlang:

A) ;
b)
V)

Yechim:
a) vektorlarning tegishli koordinatalari uchun proporsionallik koeffitsienti mavjudligini tekshiramiz:

Tizimda yechim yo'q, ya'ni vektorlar kollinear emas.

"Soddalashtirilgan" nisbatni tekshirish orqali rasmiylashtiriladi. Ushbu holatda:
- mos keladigan koordinatalar proportsional emas, ya'ni vektorlar kollinear emas.

Javob: vektorlar kollinear emas.

b-c) Bular mustaqil qaror qabul qilish nuqtalari. Buni ikki usulda sinab ko'ring.

Uchinchi tartibli determinant orqali fazoviy vektorlarni kollinearlikni tekshirish usuli mavjud, bu usul maqolada yoritilgan Vektorlarning vektor mahsuloti .

Samolyot holatiga o'xshab, ko'rib chiqilgan asboblar fazoviy segmentlar va to'g'ri chiziqlarning parallelligini o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

Ikkinchi bo'limga xush kelibsiz:

Uch o'lchovli fazoda vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Fazoviy asos va affin koordinatalar tizimi

Samolyotda biz ko'rib chiqqan ko'plab naqshlar kosmos uchun amal qiladi. Men nazariy eslatmalarni minimallashtirishga harakat qildim, chunki sherning ulushi ma'lumotlar allaqachon chaynalgan. Biroq, kirish qismini diqqat bilan o'qib chiqishingizni tavsiya qilaman, chunki yangi atamalar va tushunchalar paydo bo'ladi.

Endi kompyuter stolining tekisligi o'rniga biz uch o'lchamli fazoni o'rganamiz. Birinchidan, uning asosini yarataylik. Kimdir hozir uyda, kimdir tashqarida, lekin har qanday holatda biz uchta o'lchovdan qochib qutula olmaymiz: kenglik, uzunlik va balandlik. Shuning uchun, asosni qurish uchun uchta fazoviy vektor kerak bo'ladi. Bir yoki ikkita vektor etarli emas, to'rtinchisi ortiqcha.

Va yana barmoqlarimizga isinamiz. Iltimos, qo'lingizni yuqoriga ko'taring va uni turli yo'nalishlarda yoying bosh barmog'i, indeks va o'rta barmoq . Bu vektorlar bo'ladi, ular turli yo'nalishlarga qaraydilar, turli uzunliklarga ega va o'zaro turli burchaklarga ega. Tabriklaymiz, uch o'lchamli makonning asosi tayyor! Aytgancha, buni o'qituvchilarga ko'rsatishning hojati yo'q, barmoqlaringizni qanchalik burishingizdan qat'i nazar, lekin ta'riflardan qutulib bo'lmaydi =)

Keyin so'raymiz muhim masala, har qanday uchta vektor asos bo'ladimi? uch o'lchamli bo'shliq ? Iltimos, uchta barmog'ingizni kompyuter stolining yuqori qismiga mahkam bosing. Nima sodir bo `LDI? Uch vektor bir xil tekislikda joylashgan va, taxminan, biz o'lchamlardan birini - balandlikni yo'qotdik. Bunday vektorlar o'xshash va, ko'rinib turibdiki, uch o'lchovli makonning asosi yaratilmagan.

Shuni ta'kidlash kerakki, koplanar vektorlar bir tekislikda yotishi shart emas, ular parallel tekisliklarda bo'lishi mumkin (faqat barmoqlaringiz bilan buni qilmang, buni faqat Salvador Dali qilgan =)).

Ta'rif: vektorlar deyiladi o'xshash, agar ular parallel bo'lgan tekislik mavjud bo'lsa. Bu erda shuni qo'shish mantiqan to'g'riki, agar bunday tekislik mavjud bo'lmasa, vektorlar koplanar bo'lmaydi.

Uchta koplanar vektor har doim chiziqli bog'liqdir, ya'ni ular bir-biri orqali chiziqli tarzda ifodalanadi. Oddiylik uchun, keling, ular bir tekislikda yotishlarini yana bir bor tasavvur qilaylik. Birinchidan, vektorlar faqat koplanar emas, ular kollinear ham bo'lishi mumkin, keyin har qanday vektor har qanday vektor orqali ifodalanishi mumkin. Ikkinchi holda, masalan, vektorlar kollinear bo'lmasa, uchinchi vektor ular orqali o'ziga xos tarzda ifodalanadi: (va nima uchun oldingi bo'limdagi materiallardan taxmin qilish oson).

Qarama-qarshilik ham to'g'ri: uchta koplanar bo'lmagan vektor har doim chiziqli mustaqildir, ya'ni ular hech qanday tarzda bir-biri orqali ifodalanmaydi. Va, shubhasiz, faqat bunday vektorlar uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qilishi mumkin.

Ta'rif: Uch o'lchovli fazoning asosi chiziqli mustaqil (komplanar bo'lmagan) vektorlarning uch karrali deb ataladi, ma'lum bir tartibda olinadi, va fazoning istalgan vektori yagona yo'l berilgan asosda parchalanadi, bu asosda vektorning koordinatalari bu erda

Eslatib o'taman, vektor ko'rinishda ifodalangan deb ham aytishimiz mumkin chiziqli birikma bazis vektorlari.

Koordinatalar tizimi tushunchasi xuddi tekis holatdagi kabi kiritilgan; bitta nuqta va har qanday uchta chiziqli mustaqil vektor etarli:

kelib chiqishi, Va tekis bo'lmagan vektorlar, ma'lum bir tartibda olinadi, oʻrnating uch o'lchovli fazoning affin koordinata tizimi :

Albatta, koordinatalar tarmog'i "qiyshiq" va noqulay, ammo baribir qurilgan koordinatalar tizimi bizga imkon beradi albatta har qanday vektorning koordinatalarini va fazodagi istalgan nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Bir tekislikka o'xshab, men aytib o'tgan ba'zi formulalar fazoning affin koordinata tizimida ishlamaydi.

Affin koordinatalar tizimining eng tanish va qulay maxsus holati, hamma taxmin qilganidek to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi:

Kosmosdagi nuqta deyiladi kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchak fazo koordinatalari tizimi . Tanish rasm:

Amaliy vazifalarga o'tishdan oldin, keling, yana ma'lumotlarni tizimlashtiramiz:

Uch fazo vektori uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli mustaqil;
2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar koplanar emas;
4) vektorlarni bir-biri orqali chiziqli ifodalash mumkin emas;
5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant noldan farq qiladi.

Menimcha, qarama-qarshi bayonotlar tushunarli.

Fazoviy vektorlarning chiziqli bog'liqligi/mustaqilligi an'anaviy tarzda determinant yordamida tekshiriladi (5-band). Qolgan amaliy vazifalar aniq algebraik xususiyatga ega bo'ladi. Geometriya tayoqchasini osib, chiziqli algebraning beysbol tayoqchasini ishlatish vaqti keldi:

Kosmosning uchta vektori Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular koplanar hisoblanadi: .

Men sizning e'tiboringizni kichik bir narsaga qarataman texnik nuance: vektorlarning koordinatalarini nafaqat ustunlar, balki satrlarda ham yozish mumkin (determinantning qiymati bundan o'zgarmaydi - qarang. determinantlarning xossalari). Ammo ustunlarda bu ancha yaxshi, chunki u ba'zi amaliy muammolarni hal qilish uchun foydaliroqdir.

Determinantlarni hisoblash usullarini biroz unutgan yoki ular haqida umuman tushunmaydigan o'quvchilar uchun men eng qadimgi darslarimdan birini tavsiya qilaman: Determinantni qanday hisoblash mumkin?

6-misol

Quyidagi vektorlar uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring:

Yechim: Aslida, butun yechim determinantni hisoblashdan iborat.

a) Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz (birinchi satrda determinant ochiladi):

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil (komplanar emas) va uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

Javob: bu vektorlar asosni tashkil qiladi

b) Bu mustaqil qaror qabul qilish nuqtasi. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Shuningdek, ijodiy vazifalar mavjud:

7-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar koplanar bo'ladi?

Yechim: Vektorlar koordinatali bo'ladi, agar ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa:

Asosan, determinant bilan tenglamani echishingiz kerak. Biz jerboasdagi uçurtmalar kabi nolga tushamiz - ikkinchi qatordagi determinantni ochib, darhol kamchiliklardan xalos bo'lish yaxshidir:

Biz qo'shimcha soddalashtirishlarni amalga oshiramiz va masalani eng oddiy chiziqli tenglamaga keltiramiz:

Javob: da

Bu yerda tekshirish oson; buning uchun siz olingan qiymatni asl determinantga almashtirishingiz va , yana oching.

Xulosa qilib, keling, yana bir narsani ko'rib chiqaylik tipik vazifa, bu ko'proq algebraik xususiyatga ega va an'anaviy ravishda chiziqli algebra kursiga kiritilgan. Bu shunchalik keng tarqalganki, u o'z mavzusiga loyiqdir:

3 vektor uch o'lchovli fazoning asosini tashkil etishini isbotlang
va shu asosda 4-vektorning koordinatalarini toping

8-misol

Vektorlar berilgan. Vektorlar uch o‘lchamli fazoda asos tashkil etishini ko‘rsating va shu asosda vektorning koordinatalarini toping.

Yechim: Birinchidan, shart bilan shug'ullanamiz. Shartga ko'ra, to'rtta vektor berilgan va siz ko'rib turganingizdek, ular allaqachon biron bir asosda koordinatalarga ega. Bu asos nima ekanligi bizni qiziqtirmaydi. Va quyidagi narsa qiziq: uchta vektor yaxshi shakllanishi mumkin yangi asos. Va birinchi bosqich 6-misolning yechimiga to'liq mos keladi; vektorlarning haqiqatan ham chiziqli mustaqilligini tekshirish kerak:

Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil bo'lib, uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

! Muhim : vektor koordinatalari Majburiy yozib qo'ying ustunlarga determinant, satrlarda emas. Aks holda, keyingi yechim algoritmida chalkashlik bo'ladi.

Ta'rif. Vektorlarning chiziqli birikmasi a 1 , ..., a n koeffitsientlari x 1 , ..., x n vektor deyiladi.

x 1 a 1 + ... + x n a n.

ahamiyatsiz, agar barcha koeffitsientlar x 1 , ..., x n nolga teng bo'lsa.

Ta'rif. x 1 a 1 + ... + x n a n chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz, agar x 1, ..., x n koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lmasa.

chiziqli mustaqil, agar bu vektorlarning nol vektoriga teng bo'lmagan notrivial birikmasi bo'lmasa.

Ya'ni, a 1, ..., a n vektorlari x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 bo'lsa, faqat x 1 = 0, ..., x n = 0 bo'lganda chiziqli mustaqildir.

Ta'rif. a 1, ..., a n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, agar bu vektorlarning nol vektoriga teng bo'lmagan trivial birikmasi mavjud bo'lsa.

Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari:

2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun.

Ikki chiziqli qaram vektor kollineardir. (Kollinear vektorlar chiziqli bog'liqdir.)

3 o'lchovli vektorlar uchun.

Uchta chiziqli bog'liq vektorlar koplanardir. (Uchta koplanar vektor chiziqli bog'liqdir.)

• n o'lchovli vektorlar uchun.

  n + 1 vektorlar har doim chiziqli bog'liqdir.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi masalalariga misollar:

1-misol. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring. .

Yechim:

Vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.

2-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.

Yechim:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; uchinchi qatorga ikkinchi qator qo'shing:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ushbu yechim tizimning ko'plab echimlarga ega ekanligini ko'rsatadi, ya'ni x 1, x 2, x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lib, a, b, c vektorlarining chiziqli birikmasi teng bo'ladi. nol vektor, masalan:

A + b + c = 0

ya'ni a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.

Javob: a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.

3-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.

Yechim: Ushbu vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Bu vektor tenglamani chiziqli tenglamalar sistemasi sifatida yozish mumkin

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Bu sistemani Gauss usuli yordamida yechamiz

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ikkinchi qatordan birinchisini ayirish; uchinchi qatordan birinchisini ayirish:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; uchinchi qatorga bir soniya qo'shing.

Mayli L ixtiyoriy chiziqli fazodir, a i Î L,- uning elementlari (vektorlari).

Ta'rif 3.3.1. Ifoda , qayerda , - chiziqli birikma deb ataladigan ixtiyoriy haqiqiy sonlar vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n.

Agar vektor R = , keyin shunday deyishadi R vektorlarga ajraladi a 1 , a 2 ,…, a n.

Ta'rif 3.3.2. Vektorlarning chiziqli birikmasi deyiladi ahamiyatsiz, agar raqamlar orasida kamida bitta nolga teng bo'lmagan bo'lsa. Aks holda, chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz.

Ta'rif 3.3.3 . a 1 , a 2 ,…, a vektorlari n Agar ularning notrivial chiziqli birikmasi mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deyiladi

= 0 .

Ta'rif 3.3.4. a 1, a 2,…, a vektorlari n tenglik bo'lsa chiziqli mustaqil deyiladi = 0 faqat barcha raqamlar mavjud bo'lganda mumkin l 1, l 2,…, l n bir vaqtning o'zida nolga teng.

E'tibor bering, har qanday nolga teng bo'lmagan element a 1 chiziqli mustaqil tizim sifatida qaralishi mumkin, chunki tenglik l a 1 = 0 faqat agar mumkin l= 0.

3.3.1 teorema. Zarur va etarli shart chiziqli bog'liqlik a 1, a 2,…, a n bu elementlardan kamida bittasini qolgan qismiga parchalash imkoniyatidir.

Isbot. Zaruriyat. a 1 , a 2 ,…, a elementlari boʻlsin n chiziqli bog'liq. Bu shuni anglatadiki = 0 , va raqamlardan kamida bittasi l 1, l 2,…, l n noldan farq qiladi. Ishonch hosil qilaylik l 1 ¹ 0. Keyin

ya'ni a 1 elementi a 2, a 3, …, a elementlarga ajraladi. n.

Adekvatlik. a 1 elementi a 2, a 3, …, a elementlariga ajralsin n, ya'ni a 1 =. Keyin = 0 , shuning uchun a 1 , a 2 ,…, a vektorlarining ahamiyatsiz chiziqli birikmasi mavjud. n, teng 0 , shuning uchun ular chiziqli bog'liqdir .

3.3.2 teorema. Agar a 1 , a 2 ,…, a elementlardan kamida bittasi boʻlsa n nolga teng bo'lsa, bu vektorlar chiziqli bog'liqdir.

Isbot . Mayli a n= 0 , keyin = 0 , bu elementlarning chiziqli bog'liqligini bildiradi.

3.3.3 teorema. Agar n vektor orasida har qanday p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Isbot. Aniqlik uchun a 1 , a 2 ,…, a elementlari boʻlsin p chiziqli bog'liq. Bu shuni anglatadiki, bunday noan'anaviy chiziqli birikma mavjud = 0 . Agar elementni uning ikkala qismiga qo'shsak, belgilangan tenglik saqlanib qoladi. Keyin + = 0 , va raqamlardan kamida bittasi l 1, l 2,…, lp noldan farq qiladi. Shuning uchun a 1 , a 2 ,…, a vektorlari n chiziqli bog'liqdir.

Xulosa 3.3.1. Agar n ta element chiziqli mustaqil bo'lsa, ularning har qanday k elementi chiziqli mustaqildir (k< n).

3.3.4 teorema. Agar vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n- 1 chiziqli mustaqil va elementlar a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n chiziqli bog'liq, keyin vektor a n vektorlarga kengaytirilishi mumkin a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Isbot. Chunki a 1 shartiga ko'ra, a 2 ,…, a n- 1, a n chiziqli bog'liq bo'lsa, unda ularning notrivial chiziqli birikmasi mavjud = 0 , va (aks holda ular chiziqli bo'lib chiqadi bog'liq vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n- 1). Ammo keyin vektor

,

Q.E.D.