Bu erda siz tizimni bepul hal qilishingiz mumkin chiziqli tenglamalar Gauss usuli onlayn katta o'lchamlar murakkab sonlarda juda batafsil yechim bilan. Bizning kalkulyatorimiz cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan Gauss usulida chiziqli tenglamalarning odatiy aniq va noaniq tizimlarini onlayn tarzda yecha oladi. Bunday holda, javobda siz ba'zi o'zgaruvchilarning boshqa, erkin bo'lganlar orqali bog'liqligini olasiz. Bundan tashqari, Gauss yechimidan foydalanib, tenglamalar tizimini onlayn rejimda tekshirishingiz mumkin.
Usul haqida
Chiziqli tenglamalar tizimini yechishda onlayn usul Gauss quyidagi bosqichlar bajariladi.
- Biz kengaytirilgan matritsani yozamiz.
- Aslida, yechim Gauss usulining oldinga va orqaga qadamlariga bo'linadi. Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri yondashuvi matritsani bosqichma-bosqich shaklga qisqartirishdir. Gauss usulining teskarisi matritsani maxsus bosqichli shaklga qisqartirishdir. Ammo amalda, ko'rib chiqilayotgan elementning tepasida va ostida joylashgan narsalarni darhol nolga tushirish qulayroqdir. Bizning kalkulyatorimiz aynan shu yondashuvdan foydalanadi.
- Shuni ta'kidlash kerakki, Gauss usuli yordamida echishda matritsada kamida bitta nol qatori NO NO bo'lishi kerak. o'ng tomoni(erkin a'zolar ustuni) tizimning mos kelmasligini ko'rsatadi. Yechim chiziqli tizim bu holda u mavjud emas.
Gauss algoritmining onlayn rejimida qanday ishlashini yaxshiroq tushunish uchun har qanday misolni kiriting, "juda batafsil yechim" ni tanlang va uning echimini onlayn ko'ring.
Gauss usuli, shuningdek usul deb ataladi ketma-ket yo'q qilish noma'lumlar quyidagicha. Elementar transformatsiyalar yordamida chiziqli tenglamalar tizimi shunday shaklga keltiriladiki, uning koeffitsientlar matritsasi shunday bo'ladi. trapezoidal (uchburchak yoki pog'onali bilan bir xil) yoki trapezoidalga yaqin (Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri zarbasi, bundan keyin oddiygina tekis zarba). Bunday tizimga misol va uning yechimi yuqoridagi rasmda keltirilgan.
Bunday tizimda oxirgi tenglama faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi va uning qiymatini bir ma'noda topish mumkin. Keyin bu o'zgaruvchining qiymati oldingi tenglamaga almashtiriladi ( Gauss usuliga teskari , keyin faqat teskari), undan oldingi o'zgaruvchi topiladi va hokazo.
Trapezoidal (uchburchak) tizimda, biz ko'rib turganimizdek, uchinchi tenglama endi o'zgaruvchilarni o'z ichiga olmaydi. y Va x, va ikkinchi tenglama o'zgaruvchidir x .
Tizim matritsasi trapezoidal shaklga ega bo'lgandan so'ng, tizimning muvofiqligi masalasini tushunish, echimlar sonini aniqlash va echimlarni o'zlari topish qiyin emas.
Usulning afzalliklari:
- uchtadan ortiq tenglama va noma'lum bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimini yechishda Gauss usuli Kramer usuli kabi og'ir emas, chunki Gauss usuli bilan echish kamroq hisob-kitoblarni talab qiladi;
- Gauss usulidan foydalanib, siz chiziqli tenglamalarning noaniq tizimlarini echishingiz mumkin, ya'ni ega umumiy yechim(va biz bu darsda ularni ko'rib chiqamiz), lekin Kramer usulidan foydalanib, biz faqat tizim noaniq ekanligini aytishimiz mumkin;
- noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lmagan chiziqli tenglamalar tizimini echishingiz mumkin (biz ularni ushbu darsda ham tahlil qilamiz);
- Usul boshlang'ich (maktab) usullarga asoslangan - noma'lumlarni almashtirish usuli va biz tegishli maqolada to'xtalgan tenglamalarni qo'shish usuli.
Har bir inson chiziqli tenglamalarning trapezoidal (uchburchak, qadam) tizimlarini echishning soddaligini qadrlashi uchun biz teskari harakatdan foydalangan holda bunday tizimning echimini taqdim etamiz. Tez yechim Ushbu tizim dars boshida rasmda ko'rsatilgan.
1-misol. Teskari yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
Yechim. Ushbu trapezoidal tizimda o'zgaruvchi z uchinchi tenglamadan yagona topish mumkin. Biz uning qiymatini ikkinchi tenglamaga almashtiramiz va o'zgaruvchining qiymatini olamiz y:
Endi biz ikkita o'zgaruvchining qiymatlarini bilamiz - z Va y. Biz ularni birinchi tenglamaga almashtiramiz va o'zgaruvchining qiymatini olamiz x:
Oldingi bosqichlardan biz tenglamalar tizimining yechimini yozamiz:
Biz juda sodda tarzda hal qilgan bunday trapezoidal chiziqli tenglamalar tizimini olish uchun chiziqli tenglamalar tizimining elementar o'zgarishlari bilan bog'liq to'g'ridan-to'g'ri chiziqdan foydalanish kerak. Bu ham juda qiyin emas.
Chiziqli tenglamalar sistemasining elementar transformatsiyalari
Tizim tenglamalarini algebraik qo'shishning maktab usulini takrorlab, biz tizim tenglamalaridan biriga tizimning boshqa tenglamasini qo'shish mumkinligini va har bir tenglamani qandaydir sonlarga ko'paytirish mumkinligini aniqladik. Natijada biz shunga teng chiziqli tenglamalar tizimini olamiz. Unda bitta tenglamada faqat bitta o'zgaruvchi mavjud bo'lib, uning qiymatini boshqa tenglamalarga almashtirib, biz yechimga erishamiz. Bunday qo'shish tizimni elementar o'zgartirish turlaridan biridir. Gauss usulini qo'llashda biz bir necha turdagi transformatsiyalardan foydalanishimiz mumkin.
Yuqoridagi animatsiyada tenglamalar tizimi asta-sekin trapezoidalga aylanishi ko'rsatilgan. Ya'ni, siz birinchi animatsiyada ko'rgan va undan barcha noma'lumlarning qiymatlarini topish oson ekanligiga ishonch hosil qilganingiz. Bunday transformatsiyani qanday amalga oshirish kerakligi va, albatta, misollar bundan keyin muhokama qilinadi.
Tenglamalar tizimida va tizimning kengaytirilgan matritsasida istalgan miqdordagi tenglamalar va noma'lumlar bilan chiziqli tenglamalar tizimini yechishda mumkin:
- chiziqlarni qayta tartibga solish (bu maqolaning boshida aytib o'tilgan);
- agar boshqa transformatsiyalar natijasida teng yoki proportsional qatorlar paydo bo'lsa, ular bittadan tashqari o'chirilishi mumkin;
- barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lgan "nol" qatorlarni olib tashlang;
- har qanday satrni ma'lum bir raqamga ko'paytirish yoki bo'lish;
- har qanday qatorga ma'lum bir raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing.
O'zgartirishlar natijasida biz bunga ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimini olamiz.
Gauss usuli yordamida tizimning kvadrat matritsasi bilan chiziqli tenglamalar tizimini echish algoritmi va misollari.
Avval noma’lumlar soni tenglamalar soniga teng bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishni ko‘rib chiqamiz. Bunday sistemaning matritsasi kvadrat, ya'ni undagi qatorlar soni ustunlar soniga teng.
2-misol. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching
Chiziqli tenglamalar tizimini maktab usullaridan foydalangan holda echishda biz tenglamalardan birini had bo'yicha ko'paytirdik, shuning uchun ikkita tenglamadagi birinchi o'zgaruvchining koeffitsientlari qarama-qarshi sonlar edi. Tenglamalarni qo'shganda bu o'zgaruvchi chiqarib tashlanadi. Gauss usuli ham xuddi shunday ishlaydi.
Oddiylashtirish uchun ko'rinish yechimlar tizimning kengaytirilgan matritsasini yaratamiz:
Bu matritsada noma’lumlar koeffitsientlari vertikal chiziqdan oldin chapda, erkin hadlar esa vertikal chiziqdan keyin o‘ng tomonda joylashgan.
O'zgaruvchilar uchun koeffitsientlarni bo'lish qulayligi uchun (birlik bo'yicha bo'lish uchun) Tizim matritsasining birinchi va ikkinchi qatorlarini almashtiramiz. Biz shunga o'xshash tizimni olamiz, chunki chiziqli tenglamalar tizimida tenglamalarni almashtirish mumkin:
Yangi birinchi tenglamadan foydalanish o'zgaruvchini yo'q qiling x ikkinchi va keyingi barcha tenglamalardan. Buning uchun matritsaning ikkinchi qatoriga birinchi qatorni ko'paytiramiz (bizning holatimizda ), uchinchi qatorga - birinchi qatorni ko'paytiramiz (bizning holimizda ).
Bu mumkin, chunki
Agar bizning tenglamalar sistemamiz bo'lsa uchdan ortiq, keyin barcha keyingi tenglamalarga minus belgisi bilan olingan mos keladigan koeffitsientlar nisbati bilan ko'paytiriladigan birinchi qatorni qo'shish kerak bo'ladi.
Natijada, biz yangi tenglamalar tizimining ushbu tizimiga ekvivalent matritsani olamiz, unda ikkinchidan boshlab barcha tenglamalar o'zgaruvchini o'z ichiga olmaydi x :
Olingan tizimning ikkinchi qatorini soddalashtirish uchun uni qayta-qayta ko'paytiring va ushbu tizimga ekvivalent tenglamalar tizimining matritsasini oling:
Endi, hosil bo'lgan tizimning birinchi tenglamasini o'zgarishsiz saqlab, ikkinchi tenglama yordamida biz o'zgaruvchini yo'q qilamiz y barcha keyingi tenglamalardan. Buning uchun tizim matritsasining uchinchi qatoriga ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni qo'shamiz (bizning holimizda ).
Agar tizimimizda uchtadan ortiq tenglama mavjud bo'lsa, biz keyingi barcha tenglamalarga minus belgisi bilan olingan mos keladigan koeffitsientlar nisbatiga ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni qo'shishimiz kerak edi.
Natijada, biz yana ushbu chiziqli tenglamalar tizimiga ekvivalent tizim matritsasini olamiz:
Biz chiziqli tenglamalarning ekvivalent trapezoidal tizimini oldik:
Agar tenglamalar va o'zgaruvchilar soni bizning misolimizdagidan ko'p bo'lsa, u holda o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish jarayoni bizning namoyish misolimizdagi kabi tizim matritsasi trapezoidal holga kelguncha davom etadi.
Biz yechimni "oxiridan" topamiz - teskari harakat. Buning uchun oxirgi tenglamadan aniqlaymiz z:
.
Ushbu qiymatni oldingi tenglamaga almashtirib, topamiz y:
Birinchi tenglamadan topamiz x:
Javob: bu tenglamalar tizimining yechimi 
.
: bu holda, agar tizimda yagona yechim bo'lsa, xuddi shunday javob beriladi. Agar tizimda cheksiz miqdordagi echimlar bo'lsa, unda bu javob bo'ladi va bu darsning beshinchi qismining mavzusi.
Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini o'zingiz yeching va keyin yechimga qarang
Bu yerda yana bir bor izchil va aniq chiziqli tenglamalar sistemasiga misol keltiramiz, unda tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng. Bizning demo misolimizdan algoritmdan farqi shundaki, allaqachon to'rtta tenglama va to'rtta noma'lum mavjud.
4-misol. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
Endi siz keyingi tenglamalardan o'zgaruvchini yo'q qilish uchun ikkinchi tenglamadan foydalanishingiz kerak. Bajaraylik tayyorgarlik ishlari. Koeffitsientlar nisbati bilan qulayroq qilish uchun siz ikkinchi qatorning ikkinchi ustunida bittasini olishingiz kerak. Buning uchun ikkinchi qatordan uchinchisini ayirib, hosil bo'lgan ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytiring.
Keling, uchinchi va to'rtinchi tenglamalardan o'zgaruvchini haqiqiy yo'q qilishni amalga oshiramiz. Buning uchun uchinchi qatorga , ga ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni va to'rtinchi qatorga ko'paytiriladigan ikkinchi qatorni qo'shing.
Endi uchinchi tenglamadan foydalanib, o'zgaruvchini to'rtinchi tenglamadan chiqarib tashlaymiz. Buni amalga oshirish uchun uchinchi qatorni to'rtinchi qatorga ko'paytiring. Biz kengaytirilgan trapezoidal matritsani olamiz.
ga ekvivalent bo'lgan tenglamalar tizimini oldik bu tizim:
Binobarin, olingan va berilgan tizimlar mos va aniqdir. Yakuniy qaror biz "oxiridan" topamiz. To'rtinchi tenglamadan biz "x fourth" o'zgaruvchisining qiymatini to'g'ridan-to'g'ri ifodalashimiz mumkin:
Ushbu qiymatni tizimning uchinchi tenglamasiga almashtiramiz va olamiz
,
,
Nihoyat, qiymatni almashtirish
Birinchi tenglama beradi
,
"Birinchi x"ni qayerdan topamiz:
Javob: bu tenglamalar tizimi yagona yechimga ega 
.
Tizim yechimini kalkulyatorda Kramer usulidan foydalanib ham tekshirishingiz mumkin: bu holda tizimda o'ziga xos yechim mavjud bo'lsa, xuddi shunday javob beriladi.
Qotishmalarga oid masala misolida Gauss usuli yordamida amaliy masalalarni yechish
Chiziqli tenglamalar tizimlari fizik dunyodagi real ob'ektlarni modellashtirish uchun ishlatiladi. Keling, ushbu muammolardan birini - qotishmalarni hal qilaylik. Shu kabi muammolar - aralashmalar bo'yicha muammolar, xarajat yoki solishtirma og'irlik individual tovarlar mahsulot guruhida va boshqalar.
5-misol. Uch dona qotishma umumiy massasi 150 kg ni tashkil qiladi. Birinchi qotishma tarkibida 60% mis, ikkinchisida - 30%, uchinchisida - 10% mavjud. Bundan tashqari, ikkinchi va uchinchi qotishmalarda birinchi qotishmaga qaraganda 28,4 kg kamroq mis, uchinchi qotishmada esa ikkinchisiga qaraganda 6,2 kg kamroq mis mavjud. Qotishmaning har bir qismining massasini toping.
Yechim. Biz chiziqli tenglamalar tizimini tuzamiz:
Biz ikkinchi va uchinchi tenglamalarni 10 ga ko'paytiramiz, biz chiziqli tenglamalarning ekvivalent tizimini olamiz:
Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yaratamiz:
Diqqat, oldinga. Bir qatorni songa ko'paytirish (biz uni ikki marta qo'llaymiz) qo'shish (bizning holatlarimizda ayirish) tizimning kengaytirilgan matritsasi bilan quyidagi o'zgarishlar sodir bo'ladi:
To'g'ridan-to'g'ri harakat tugadi. Biz kengaytirilgan trapezoidal matritsani oldik.
Biz teskari harakatni qo'llaymiz. Biz oxirigacha yechim topamiz. Biz buni ko'ramiz.
Ikkinchi tenglamadan biz topamiz
Uchinchi tenglamadan -
Tizim yechimini kalkulyatorda Kramer usulidan foydalanib ham tekshirishingiz mumkin: bu holda tizimda o'ziga xos yechim mavjud bo'lsa, xuddi shunday javob beriladi.
Gauss usulining soddaligi uni ixtiro qilish uchun nemis matematigi Karl Fridrix Gaussga bor-yo‘g‘i 15 daqiqa vaqt sarflaganligidan dalolat beradi. Uning nomi bilan atalgan usulga qo'shimcha ravishda, "Biz aql bovar qilmaydigan va g'ayritabiiy tuyulgan narsani mutlaqo imkonsiz narsa bilan aralashtirmasligimiz kerak" degan maqol Gaussning o'ziga xos asarlaridan ma'lum. qisqacha ko'rsatmalar kashfiyotlar qilish.
Ko'pgina amaliy masalalarda uchinchi cheklov, ya'ni uchinchi tenglama bo'lmasligi mumkin, u holda Gauss usulidan foydalanib, uchta noma'lumli ikkita tenglama tizimini yechish kerak, yoki aksincha, tenglamalarga qaraganda kamroq noma'lumlar mavjud. Endi biz bunday tenglamalar sistemasini yechishni boshlaymiz.
Gauss usulidan foydalanib, har qanday tizim mos yoki mos kelmasligini aniqlashingiz mumkin n bilan chiziqli tenglamalar n o'zgaruvchilar.
Gauss usuli va cheksiz sonli yechimli chiziqli tenglamalar tizimlari
Keyingi misol - izchil, ammo noaniq chiziqli tenglamalar tizimi, ya'ni cheksiz sonli echimlarga ega.
Tizimning kengaytirilgan matritsasida transformatsiyalarni amalga oshirgandan so'ng (satrlarni qayta joylashtirish, qatorlarni ma'lum songa ko'paytirish va bo'lish, bitta qatorga boshqasini qo'shish) shakl qatorlari paydo bo'lishi mumkin.
Agar barcha tenglamalarda shaklga ega bo'lsa
Erkin atamalar nolga teng, bu tizim noaniq ekanligini anglatadi, ya'ni uning cheksiz ko'p echimlari bor va bu turdagi tenglamalar "ortiqcha" va biz ularni tizimdan chiqarib tashlaymiz.
6-misol.
Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz. Keyin, birinchi tenglamadan foydalanib, biz keyingi tenglamalardan o'zgaruvchini yo'q qilamiz. Buni amalga oshirish uchun ikkinchi, uchinchi va to‘rtinchi qatorlarga ko‘paytirilgan birinchi qatorni qo‘shing:
Endi uchinchi va to'rtinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shamiz.
Natijada biz tizimga kelamiz
Oxirgi ikkita tenglama shaklning tenglamalariga aylandi. Ushbu tenglamalar noma'lumlarning har qanday qiymati uchun qondiriladi va ularni bekor qilish mumkin.
Ikkinchi tenglamani qondirish uchun biz va uchun ixtiyoriy qiymatlarni tanlashimiz mumkin, keyin uchun qiymat yagona tarzda aniqlanadi: 
. Birinchi tenglamadan qiymati ham yagona topiladi: 
.
Berilgan va oxirgi tizimlar ham izchil, ammo noaniq va formulalar
ixtiyoriy uchun va bizga berilgan tizimning barcha yechimlarini bering.
Gauss usuli va yechimsiz chiziqli tenglamalar sistemalari
Keyingi misol chiziqli tenglamalarning mos kelmaydigan tizimi, ya'ni yechimlari yo'q. Bunday muammolarga javob shunday tuzilgan: tizimda yechim yo'q.
Birinchi misolda aytib o'tilganidek, o'zgarishlarni amalga oshirgandan so'ng, tizimning kengaytirilgan matritsasida shakl qatorlari paydo bo'lishi mumkin.
shakldagi tenglamaga mos keladi
Agar ular orasida nolga teng bo'lmagan erkin hadli (ya'ni ) kamida bitta tenglama mavjud bo'lsa, unda bu tenglamalar tizimi mos kelmaydi, ya'ni uning yechimlari yo'q va uning yechimi to'liqdir.
7-misol. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
Yechim. Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz. Birinchi tenglamadan foydalanib, biz o'zgaruvchini keyingi tenglamalardan chiqaramiz. Buning uchun birinchi qatorni ikkinchi qatorga ko'paytiring, birinchi qatorni uchinchi qatorga ko'paytiring va birinchi qatorni to'rtinchi qatorga ko'paytiring.
Endi siz keyingi tenglamalardan o'zgaruvchini yo'q qilish uchun ikkinchi tenglamadan foydalanishingiz kerak. Koeffitsientlarning butun son nisbatlarini olish uchun biz tizimning kengaytirilgan matritsasining ikkinchi va uchinchi qatorlarini almashtiramiz.
Uchinchi va to'rtinchi tenglamalarni chiqarib tashlash uchun uchinchi qatorga ikkinchi ko'paytmani va to'rtinchi qatorga ikkinchi ko'paytmani qo'shing.
Endi uchinchi tenglamadan foydalanib, o'zgaruvchini to'rtinchi tenglamadan chiqarib tashlaymiz. Buni amalga oshirish uchun uchinchi qatorni to'rtinchi qatorga ko'paytiring.
Shunday qilib, berilgan tizim quyidagilarga ekvivalentdir:
Olingan tizim nomuvofiqdir, chunki uning oxirgi tenglamasini noma'lumlarning hech qanday qiymatlari bilan qondirib bo'lmaydi. Shuning uchun bu tizim hech qanday yechimga ega emas.
Gauss usuli Chiziqli algebraik tenglamalar (SLAE) tizimlarini echish uchun juda mos keladi. Boshqa usullarga nisbatan bir qator afzalliklarga ega:
- birinchidan, birinchi navbatda tenglamalar tizimini izchillik uchun tekshirishning hojati yo'q;
- ikkinchidan, Gauss usuli nafaqat tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri keladigan va tizimning asosiy matritsasi yagona bo'lmagan SLAElarni, balki tenglamalar soni mos kelmaydigan tenglamalar tizimini ham hal qilishi mumkin. noma'lum o'zgaruvchilar soni yoki asosiy matritsaning determinanti nolga teng;
- uchinchidan, Gauss usuli nisbatan kam sonli hisoblash operatsiyalari bilan natijalarga olib keladi.
Maqolaning qisqacha sharhi.
Birinchidan, biz kerakli ta'riflarni beramiz va belgilarni kiritamiz.
Keyinchalik, Gauss usulining algoritmini eng oddiy holat uchun, ya'ni chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari uchun, tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri keladigan va tizimning asosiy matritsasining determinanti bo'lgan algoritmni tasvirlaymiz. nolga teng emas. Bunday tenglamalar tizimini echishda Gauss usulining mohiyati eng aniq ko'rinadi, bu noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilishdir. Shuning uchun Gauss usuli noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli deb ham ataladi. Biz bir nechta misollarning batafsil echimlarini ko'rsatamiz.
Xulosa qilib aytganda, asosiy matritsasi to'rtburchaklar yoki birlik bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarining Gauss usuli bilan yechimini ko'rib chiqamiz. Bunday tizimlarning yechimi ba'zi xususiyatlarga ega, biz ularni misollar yordamida batafsil ko'rib chiqamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Asosiy ta'riflar va belgilar.
n ta noma'lumli p chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik (p n ga teng bo'lishi mumkin):
Qaerda noma'lum o'zgaruvchilar, raqamlar (haqiqiy yoki murakkab) va erkin shartlar.
Agar 
, keyin chiziqli algebraik tenglamalar tizimi deyiladi bir hil, aks holda - heterojen.
Tizimning barcha tenglamalari identifikatsiyaga aylanadigan noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plami deyiladi SLAU qarori.
Agar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining kamida bitta yechimi mavjud bo'lsa, u deyiladi qo'shma, aks holda - qo'shma bo'lmagan.
Agar SLAE noyob yechimga ega bo'lsa, u chaqiriladi aniq. Agar bir nechta yechim mavjud bo'lsa, u holda tizim chaqiriladi noaniq.
Ularning aytishicha, tizim yozilgan koordinata shakli, agar u shaklga ega bo'lsa
.
Ushbu tizimda matritsa shakli yozuvlar shakliga ega, bu erda 
- SLAE ning asosiy matritsasi, - noma'lum o'zgaruvchilar ustunining matritsasi, - erkin atamalar matritsasi.
Agar A matritsaga (n+1)-ustun sifatida erkin atamalar matritsa-ustunini qo'shsak, biz shunday deyilamiz. kengaytirilgan matritsa chiziqli tenglamalar tizimlari. Odatda, kengaytirilgan matritsa T harfi bilan belgilanadi va bo'sh shartlar ustuni qolgan ustunlardan vertikal chiziq bilan ajratiladi, ya'ni 
A kvadrat matritsasi deyiladi degeneratsiya, agar uning determinanti nolga teng bo'lsa. Agar bo'lsa, A matritsa deyiladi degenerativ bo'lmagan.
Quyidagi fikrga e'tibor qaratish lozim.
Agar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bilan bajarsak keyingi qadamlar
- ikkita tenglamani almashtirish,
- har qanday tenglamaning ikkala tomonini ixtiyoriy va nolga teng bo'lmagan haqiqiy (yoki kompleks) k soniga ko'paytiring,
- har qanday tenglamaning ikkala tomoniga boshqa tenglamaning tegishli qismlarini qo'shing, ixtiyoriy k soniga ko'paytiriladi,
keyin siz bir xil echimlarga ega bo'lgan ekvivalent tizimga ega bo'lasiz (yoki, xuddi asl kabi, hech qanday yechim yo'q).
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimining kengaytirilgan matritsasi uchun bu harakatlar qatorlar bilan elementar o'zgarishlarni amalga oshirishni anglatadi:
- ikki qatorni almashtirish,
- T matritsasining istalgan qatorining barcha elementlarini nolga teng bo'lmagan k soniga ko'paytirish,
- matritsaning istalgan satrining elementlariga boshqa qatorning tegishli elementlarini qo'shish, ixtiyoriy k soniga ko'paytiriladi.
Endi biz Gauss usulining tavsifiga o'tamiz.
Tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lgan va sistemaning bosh matritsasi yagona bo‘lmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini Gauss usuli yordamida yechish.
Agar bizga tenglamalar sistemasi yechimini topish topshirilsa, maktabda nima qilardik? 
.
Ba'zilar shunday qilishadi.
E'tibor bering, ikkinchi tenglamaning chap tomoniga qo'shing chap tomoni birinchi va o'ng tomonda - o'ng tomonda, siz noma'lum o'zgaruvchilar x 2 va x 3 dan xalos bo'lishingiz va darhol x 1 ni topishingiz mumkin: 
Topilgan x 1 =1 qiymatini tizimning birinchi va uchinchi tenglamalariga almashtiramiz: 
Agar tizimning uchinchi tenglamasining ikkala tomonini -1 ga ko'paytirsak va ularni birinchi tenglamaning tegishli qismlariga qo'shsak, biz x 3 noma'lum o'zgaruvchidan qutulamiz va x 2 ni topamiz: 
Olingan x 2 = 2 qiymatini uchinchi tenglamaga almashtiramiz va qolgan noma'lum o'zgaruvchi x 3 ni topamiz: 
Boshqalar boshqacha yo'l tutgan bo'lardi.
Noma'lum x 1 o'zgaruvchiga nisbatan tizimning birinchi tenglamasini hal qilaylik va natijada olingan ifodani ushbu o'zgaruvchini ulardan chiqarib tashlash uchun tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalariga almashtiramiz: 
Endi x 2 uchun sistemaning ikkinchi tenglamasini yechamiz va undan noma’lum x 2 o‘zgaruvchini yo‘q qilish uchun olingan natijani uchinchi tenglamaga almashtiramiz: 
Tizimning uchinchi tenglamasidan x 3 =3 ekanligi aniq. Ikkinchi tenglamadan biz topamiz 
, va birinchi tenglamadan biz olamiz.
Tanish echimlar, to'g'rimi?
Bu erda eng qizig'i shundaki, ikkinchi yechim usuli mohiyatan noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli, ya'ni Gauss usulidir. Noma'lum o'zgaruvchilarni ifodalaganimizda (birinchi x 1, keyingi bosqichda x 2) va ularni tizimning qolgan tenglamalariga almashtirganimizda, biz ularni chiqarib tashladik. Oxirgi tenglamada faqat bitta noma'lum o'zgaruvchi qolguncha biz bartaraf qildik. Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish jarayoni deyiladi to'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli yordamida. Tugatgandan keyin oldinga siljish bizda endi oxirgi tenglamadagi noma'lum o'zgaruvchini hisoblash imkoniyati mavjud. Uning yordami bilan biz oxirgidan oldingi tenglamadan keyingi noma'lum o'zgaruvchini topamiz va hokazo. Oxirgi tenglamadan birinchisiga o'tishda noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket topish jarayoni deyiladi Gauss usuliga teskari.
Shuni ta'kidlash kerakki, birinchi tenglamada x 1 ni x 2 va x 3 ko'rinishida ifodalab, keyin hosil bo'lgan ifodani ikkinchi va uchinchi tenglamalarga almashtirsak, quyidagi harakatlar bir xil natijaga olib keladi:
Darhaqiqat, bunday protsedura tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan noma'lum x 1 o'zgaruvchisini yo'q qilishga imkon beradi: 
Gauss usuli yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish bilan nuanslar tizim tenglamalarida ba'zi o'zgaruvchilar mavjud bo'lmaganda paydo bo'ladi.
Masalan, SLAUda 
birinchi tenglamada x 1 noma'lum o'zgaruvchi yo'q (boshqacha aytganda, uning oldidagi koeffitsient nolga teng). Shuning uchun, bu noma'lum o'zgaruvchini qolgan tenglamalardan chiqarib tashlash uchun x 1 uchun tizimning birinchi tenglamasini yecha olmaymiz. Ushbu vaziyatdan chiqish yo'li tizim tenglamalarini almashtirishdir. Biz asosiy matritsalarning determinantlari noldan farq qiladigan chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqayotganimiz sababli, har doim bizga kerak bo'lgan o'zgaruvchi mavjud bo'lgan tenglama mavjud va biz bu tenglamani kerakli pozitsiyaga o'zgartirishimiz mumkin. Bizning misolimiz uchun tizimning birinchi va ikkinchi tenglamalarini almashtirish kifoya 
, keyin siz x 1 uchun birinchi tenglamani hal qilishingiz va uni tizimning qolgan tenglamalaridan chiqarib tashlashingiz mumkin (garchi x 1 endi ikkinchi tenglamada mavjud emas).
Umid qilamizki, siz asosiy narsani tushunasiz.
Keling, tasvirlab beraylik Gauss usuli algoritmi.
Faraz qilaylik, n ta noma’lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishimiz kerak shaklning o'zgaruvchilari 
, va uning bosh matritsasining determinanti noldan farqli bo'lsin.
Biz shunday deb taxmin qilamiz, chunki biz har doim tizim tenglamalarini almashtirish orqali erishishimiz mumkin. Ikkinchidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan x 1 noma'lum o'zgaruvchini o'chirib tashlaylik. Buning uchun sistemaning ikkinchi tenglamasiga birinchi, ga ko'paytiriladi, uchinchi tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi va hokazo, n- tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi 
qayerda va 
.
Agar tizimning birinchi tenglamasida x 1 ni boshqa noma’lum o‘zgaruvchilar bilan ifodalaganimizda va olingan ifodani boshqa barcha tenglamalarga almashtirganimizda ham xuddi shunday natijaga erishgan bo‘lardik. Shunday qilib, x 1 o'zgaruvchisi ikkinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi.
Keyinchalik, biz shunga o'xshash tarzda davom etamiz, lekin natijada olingan tizimning faqat rasmda ko'rsatilgan qismi bilan 
Buning uchun sistemaning uchinchi tenglamasiga ga ko'paytirilgan ikkinchisini, to'rtinchi tenglamaga ikkinchisini ko'paytiramiz va hokazo, n- tenglamaga ikkinchisini qo'shamiz, ga ko'paytiramiz. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi 
qayerda va 
. Shunday qilib, x 2 o'zgaruvchisi uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi.
Keyinchalik, biz noma'lum x 3 ni yo'q qilishni davom ettiramiz va biz tizimning rasmda belgilangan qismi bilan xuddi shunday harakat qilamiz. 
Shunday qilib, tizim shaklni olmaguncha Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri progressiyasini davom ettiramiz 
Shu paytdan boshlab biz Gauss usulining teskarisini boshlaymiz: oxirgi tenglamadan x n ni quyidagicha hisoblaymiz, x n ning olingan qiymatidan foydalanib, oxirgidan oldingi tenglamadan x n-1 ni topamiz va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 ni topamiz. .
Keling, misol yordamida algoritmni ko'rib chiqaylik.
Misol.
Gauss usuli.
Yechim.
a 11 koeffitsienti nolga teng emas, shuning uchun keling, Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri progressiyasiga o'taylik, ya'ni birinchisidan tashqari tizimning barcha tenglamalaridan x 1 noma'lum o'zgaruvchini chiqarib tashlash. Buning uchun ikkinchi, uchinchi va toʻrtinchi tenglamalarning chap va oʻng tomonlariga birinchi tenglamaning chap va oʻng tomonlarini mos ravishda koʻpaytiring. 
Va: 
Noma'lum o'zgaruvchi x 1 o'chirildi, keling, x 2 ni yo'q qilishga o'tamiz. Tizimning uchinchi va to'rtinchi tenglamalarining chap va o'ng tomonlariga ikkinchi tenglamaning chap va o'ng tomonlarini mos ravishda ko'paytiramiz. 
Va 
:
Gauss usulining oldinga siljishini yakunlash uchun tizimning oxirgi tenglamasidan noma'lum x 3 o'zgaruvchisini chiqarib tashlashimiz kerak. To'rtinchi tenglamaning chap va o'ng tomonlariga mos ravishda uchinchi tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ko'paytiramiz. 
:
Gauss usulining teskarisini boshlashingiz mumkin.
Bizda oxirgi tenglamadan 
,
uchinchi tenglamadan biz olamiz,
ikkinchisidan,
birinchisidan.
Tekshirish uchun siz noma'lum o'zgaruvchilarning olingan qiymatlarini asl tenglamalar tizimiga almashtirishingiz mumkin. Barcha tenglamalar identifikatsiyaga aylanadi, bu Gauss usuli yordamida yechim to'g'ri topilganligini ko'rsatadi.
Javob:
Endi matritsa yozuvida Gauss usuli yordamida xuddi shu misolning yechimini beraylik.
Misol.
Tenglamalar sistemasi yechimini toping Gauss usuli.
Yechim.
Tizimning kengaytirilgan matritsasi shaklga ega 
. Har bir ustunning yuqori qismida matritsaning elementlariga mos keladigan noma'lum o'zgaruvchilar joylashgan.
Bu erda Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri yondashuvi elementar transformatsiyalar yordamida tizimning kengaytirilgan matritsasini trapezoidal shaklga qisqartirishni o'z ichiga oladi. Bu jarayon biz koordinata shaklida tizim bilan qilgan noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilishga o'xshaydi. Endi buni ko'rasiz.
Matritsani shunday o'zgartiramizki, birinchi ustundagi barcha elementlar ikkinchidan boshlab nolga aylanadi. Buning uchun ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlar elementlariga birinchi qatorning mos keladigan elementlarini ga ko'paytiramiz, va shunga muvofiq: 
Keyinchalik, hosil bo'lgan matritsani ikkinchi ustunda uchinchidan boshlab barcha elementlar nolga teng bo'lishi uchun aylantiramiz. Bu noma'lum o'zgaruvchi x 2 ni yo'q qilishga to'g'ri keladi. Buning uchun uchinchi va to'rtinchi qatorlar elementlariga matritsaning birinchi qatorining mos keladigan elementlarini mos ravishda ko'paytiramiz. Va :
Tizimning oxirgi tenglamasidan noma'lum x 3 o'zgaruvchisini chiqarib tashlash qoladi. Buning uchun hosil bo'lgan matritsaning oxirgi qatori elementlariga oxirgidan oldingi qatorning tegishli elementlarini ko'paytiramiz. :
Shuni ta'kidlash kerakki, bu matritsa chiziqli tenglamalar tizimiga mos keladi 
oldinga siljishdan keyin olingan.
Orqaga qaytish vaqti keldi. Matritsa yozuvida Gauss usulining teskarisi natijada olingan matritsani rasmda belgilangan matritsani shunday o'zgartirishni o'z ichiga oladi. 
diagonal bo‘ldi, ya’ni shakl oldi 
ba'zi raqamlar qayerda.
Bu o'zgarishlar Gauss usulining oldinga o'zgarishiga o'xshaydi, lekin birinchi qatordan oxirgisiga emas, balki oxirgidan birinchisiga qadar amalga oshiriladi.
Uchinchi, ikkinchi va birinchi qatorlarning elementlariga oxirgi qatorning mos keladigan elementlarini ko'paytiring. 
, davom eting 
mos ravishda: 
Endi ikkinchi va birinchi qatorlar elementlariga uchinchi qatorning mos keladigan elementlarini mos ravishda va ga ko'paytiring: 
Teskari Gauss usulining oxirgi bosqichida birinchi qatorning elementlariga ikkinchi qatorning mos keladigan elementlarini ko'paytiramiz: 
Olingan matritsa tenglamalar tizimiga mos keladi 
, noma'lum o'zgaruvchilarni qaerdan topamiz.
Javob:
ESDA TUTING.
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun Gauss usulidan foydalanganda, taxminiy hisob-kitoblardan qochish kerak, chunki bu butunlay noto'g'ri natijalarga olib kelishi mumkin. O'nli kasrlarni yaxlitlash tavsiya etilmaydi. dan yaxshiroq o'nli kasrlar ga boring oddiy kasrlar.
Misol.
Gauss usuli yordamida uchta tenglama sistemasini yeching 
.
Yechim.
E'tibor bering, bu misolda noma'lum o'zgaruvchilar boshqa belgiga ega (x 1, x 2, x 3 emas, balki x, y, z). Keling, oddiy kasrlarga o'tamiz: 
Noma'lum x ni tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan chiqarib tashlaylik: 
Olingan tizimda noma'lum o'zgaruvchi y ikkinchi tenglamada, y esa uchinchi tenglamada mavjud, shuning uchun ikkinchi va uchinchi tenglamalarni almashtiramiz: 
Bu Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri rivojlanishini yakunlaydi (uchinchi tenglamadan y ni chiqarib tashlashning hojati yo'q, chunki bu noma'lum o'zgaruvchi endi mavjud emas).
Keling, teskari harakatni boshlaylik.
Oxirgi tenglamadan biz topamiz 
,
oxirgidan 
bizda mavjud bo'lgan birinchi tenglamadan 
Javob:
X = 10, y = 5, z = -20.
Tenglamalar soni noma’lumlar soniga to‘g‘ri kelmaydigan yoki sistemaning bosh matritsasi yagona bo‘lgan chiziqli algebraik tenglamalarni Gauss usuli yordamida yechish.
Asosiy matritsasi toʻgʻri toʻrtburchak yoki kvadrat birlik boʻlgan tenglamalar sistemasi yechimlari boʻlmasligi, yagona yechimga ega boʻlishi yoki cheksiz sonli yechimga ega boʻlishi mumkin.
Endi biz Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimining mosligini yoki nomuvofiqligini aniqlashga qanday imkon berishini tushunamiz va uning muvofiqligida barcha echimlarni (yoki bitta echimni) aniqlaymiz.
Asosan, bunday SLAE holatlarida noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish jarayoni bir xil bo'lib qoladi. Biroq, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan ba'zi vaziyatlarni batafsil ko'rib chiqishga arziydi.
Keling, eng muhim bosqichga o'tamiz.
Demak, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi Gauss usulining oldinga siljishini tugatgandan so'ng, shaklni oladi deb faraz qilaylik. 
va bitta tenglama ham qisqartirilmadi (bu holda biz tizim mos kelmaydi degan xulosaga kelamiz). Mantiqiy savol tug'iladi: "Keyingi nima qilish kerak"?
Olingan tizimning barcha tenglamalarida birinchi bo'lgan noma'lum o'zgaruvchilarni yozamiz: 
Bizning misolimizda bular x 1, x 4 va x 5. Tizim tenglamalarining chap tomonida faqat yozma noma'lum o'zgaruvchilar x 1, x 4 va x 5 bo'lgan atamalarni qoldiramiz, qolgan shartlar qarama-qarshi belgi bilan tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkaziladi: 
Tenglamalarning o'ng tomonida joylashgan noma'lum o'zgaruvchilarga ixtiyoriy qiymatlarni beraylik, bu erda 
- ixtiyoriy raqamlar: 
Shundan so'ng, bizning SLAE ning barcha tenglamalarining o'ng tomonida raqamlar mavjud va biz Gauss usulining teskarisiga o'tishimiz mumkin.
Bizda mavjud bo'lgan tizimning oxirgi tenglamasidan, oxirgidan oldingi tenglamadan, biz birinchi tenglamadan olamiz. 
Tenglamalar tizimining yechimi noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plamidir 
Raqamlarni berish turli qiymatlar bo'lsa, biz tenglamalar tizimining turli xil echimlarini olamiz. Ya'ni, tenglamalar sistemamiz cheksiz ko'p echimlarga ega.
Javob:
Qayerda - ixtiyoriy raqamlar.
Materialni birlashtirish uchun biz yana bir nechta misollarning echimlarini batafsil tahlil qilamiz.
Misol.
Qaror qiling bir hil tizim chiziqli algebraik tenglamalar 
Gauss usuli.
Yechim.
Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan noma’lum x o‘zgaruvchini chiqarib tashlaylik. Buning uchun ikkinchi tenglamaning chap va o‘ng tomonlariga mos ravishda birinchi tenglamaning chap va o‘ng tomonlarini ga ko‘paytiramiz, uchinchi tenglamaning chap va o‘ng tomonlariga esa chap va o‘ng tomonlarini qo‘shamiz. Birinchi tenglamaning o'ng tomonlari, ko'paytiriladi: 
Endi hosil bo'lgan tenglamalar tizimining uchinchi tenglamasidan y ni chiqarib tashlaylik: 
Olingan SLAE tizimga ekvivalentdir 
.
Tizim tenglamalarining chap tomonida faqat noma'lum o'zgaruvchilar x va y bo'lgan atamalarni qoldiramiz va noma'lum o'zgaruvchisi z bo'lgan shartlarni o'ng tomonga o'tkazamiz: 
Ikki chiziqli tenglamalar tizimi, agar ularning barcha yechimlari to'plami mos kelsa, ekvivalent deyiladi.
Tenglamalar tizimining elementar transformatsiyalari:
- Tizimdan trivial tenglamalarni o'chirish, ya'ni. barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lganlar;
- Har qanday tenglamani noldan boshqa raqamga ko'paytirish;
- Har qanday i-tenglamaga istalgan j-tenglamani istalgan songa ko'paytirish.
Agar bu o'zgaruvchiga ruxsat berilmasa, x i o'zgaruvchisi erkin deyiladi, lekin butun tenglamalar tizimiga ruxsat beriladi.
Teorema. Elementar transformatsiyalar tenglamalar tizimini ekvivalentga aylantiradi.
Gauss usulining ma'nosi dastlabki tenglamalar tizimini o'zgartirish va ekvivalent hal qilingan yoki ekvivalent nomuvofiq tizimni olishdir.
Shunday qilib, Gauss usuli quyidagi bosqichlardan iborat:
- Keling, birinchi tenglamani ko'rib chiqaylik. Birinchi nolga teng bo'lmagan koeffitsientni tanlaymiz va butun tenglamani unga bo'lamiz. Ba'zi x i o'zgaruvchisi 1 koeffitsienti bilan kiradigan tenglamani olamiz;
- Bu tenglamani qolgan tenglamalarda x i o'zgaruvchining koeffitsientlari nolga teng bo'ladigan sonlarga ko'paytirib, qolgan barcha tenglamalardan ayiraylik. Biz x i o'zgaruvchisiga nisbatan hal qilingan va asl o'zgaruvchiga ekvivalent tizimni olamiz;
- Agar ahamiyatsiz tenglamalar paydo bo'lsa (kamdan-kam hollarda, lekin bu sodir bo'ladi; masalan, 0 = 0), biz ularni tizimdan kesib tashlaymiz. Natijada, bir nechta tenglamalar mavjud;
- Oldingi qadamlarni n martadan ko'p bo'lmagan takrorlaymiz, bu erda n - tizimdagi tenglamalar soni. Har safar biz "qayta ishlash" uchun yangi o'zgaruvchini tanlaymiz. Agar nomuvofiq tenglamalar paydo bo'lsa (masalan, 0 = 8), tizim mos kelmaydi.
Natijada, bir necha qadamlardan so'ng biz hal qilingan tizimni (ehtimol, erkin o'zgaruvchilar bilan) yoki mos kelmaydigan tizimni olamiz. Ruxsat etilgan tizimlar ikki holatga bo'linadi:
- O'zgaruvchilar soni tenglamalar soniga teng. Bu tizim aniqlanganligini anglatadi;
- O'zgaruvchilar soni ko'proq raqam tenglamalar. Biz o'ngdagi barcha bepul o'zgaruvchilarni to'playmiz - biz ruxsat etilgan o'zgaruvchilar uchun formulalarni olamiz. Bu formulalar javobda yozilgan.
Bo'ldi shu! Chiziqli tenglamalar tizimi echildi! Bu juda oddiy algoritm va uni o'zlashtirish uchun oliy matematika o'qituvchisiga murojaat qilish shart emas. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:
Vazifa. Tenglamalar tizimini yeching:
Bosqichlarning tavsifi:
- Birinchi tenglamani ikkinchi va uchinchidan ayirish - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 1 ni olamiz;
- Biz ikkinchi tenglamani (−1) ga ko'paytiramiz va uchinchi tenglamani (−3) ga bo'lamiz - biz ikkita tenglamani olamiz, unda x 2 o'zgaruvchisi 1 koeffitsienti bilan kiradi;
- Biz ikkinchi tenglamani birinchisiga qo'shamiz va uchinchisidan ayiramiz. Biz ruxsat etilgan o'zgaruvchini olamiz x 2 ;
- Nihoyat, birinchidan uchinchi tenglamani olib tashlaymiz - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 3 ni olamiz;
- Biz tasdiqlangan tizimni oldik, javobni yozing.
Bir vaqtning o'zida chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimi yangi tizim, originalga ekvivalent bo'lib, unda barcha ruxsat etilgan o'zgaruvchilar erkin bo'lganlar bilan ifodalanadi.
Umumiy yechim qachon kerak bo'lishi mumkin? Agar siz k dan kamroq qadamlarni bajarishingiz kerak bo'lsa (k - qancha tenglama bor). Biroq, jarayonning ba'zi bir bosqichda tugashining sabablari l< k , может быть две:
- 1-bosqichdan so'ng biz (l + 1) sonli tenglamaga ega bo'lmagan tizimni oldik. Aslida, bu yaxshi, chunki ... vakolatli tizim hali ham olingan - hatto bir necha qadam oldin.
- 1-bosqichdan so'ng biz o'zgaruvchilarning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lgan tenglamani oldik va erkin koeffitsient noldan farq qiladi. Bu qarama-qarshi tenglama va shuning uchun tizim mos kelmaydi.
Gauss usuli yordamida mos kelmaydigan tenglamaning paydo bo'lishi nomuvofiqlik uchun etarli asos ekanligini tushunish muhimdir. Shu bilan birga, shuni ta'kidlaymizki, l-bosqich natijasida hech qanday ahamiyatsiz tenglamalar qolishi mumkin emas - ularning barchasi jarayonda kesib tashlanadi.
Bosqichlarning tavsifi:
- Birinchi tenglamani ikkinchisidan 4 ga ko'paytiring. Shuningdek, birinchi tenglamani uchinchisiga qo'shamiz - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 1 ni olamiz;
- Ikkinchidan 2 ga ko'paytirilgan uchinchi tenglamani ayiramiz - biz 0 = −5 qarama-qarshi tenglamani olamiz.
Demak, tizim nomuvofiq, chunki nomuvofiq tenglama topilgan.
Vazifa. Moslikni o'rganing va tizimga umumiy yechim toping:
Bosqichlarning tavsifi:
- Birinchi tenglamani ikkinchidan (ikkiga ko'paytirgandan so'ng) olib tashlaymiz va uchinchisi - ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 1 ni olamiz;
- Uchinchi tenglamadan ikkinchi tenglamani olib tashlang. Ushbu tenglamalardagi barcha koeffitsientlar bir xil bo'lganligi sababli, uchinchi tenglama ahamiyatsiz bo'ladi. Shu bilan birga, ikkinchi tenglamani (−1) ga ko'paytiring;
- Birinchi tenglamadan ikkinchisini olib tashlang - biz ruxsat etilgan o'zgaruvchi x 2 ni olamiz. Endi tenglamalarning butun tizimi ham hal qilindi;
- x 3 va x 4 o'zgaruvchilar erkin bo'lgani uchun biz ruxsat etilgan o'zgaruvchilarni ifodalash uchun ularni o'ngga o'tkazamiz. Bu javob.
Shunday qilib, tizim izchil va noaniq, chunki ikkita ruxsat etilgan o'zgaruvchi (x 1 va x 2) va ikkita bepul (x 3 va x 4) mavjud.
