Ma'ruzada LNDElar o'rganiladi - chiziqli bir hil bo'lmagan differensial tenglamalar. Umumiy yechimning tuzilishi ko'rib chiqiladi, LPDE ning ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalangan holda, LPDE ning echimi bilan doimiy koeffitsientlar va maxsus turdagi o'ng tomoni. Ko'rib chiqilayotgan masalalar fizika, elektrotexnika va elektronikada majburiy tebranishlarni, avtomatik boshqarish nazariyasini o'rganishda qo'llaniladi.
1. 2-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimining tuzilishi.
Avval ixtiyoriy tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqamiz:
Belgini hisobga olgan holda biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:
Bunday holda, koeffitsientlar va bu tenglamaning o'ng tomoni ma'lum bir oraliqda uzluksiz deb faraz qilamiz.
Teorema. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning ma’lum sohadagi umumiy yechimi uning har qanday yechimlarining yig‘indisi va tegishli chiziqli bir jinsli differentsial tenglamaning umumiy yechimidir.
Isbot. Y bir jinsli bo'lmagan tenglamaning qandaydir yechimi bo'lsin.
Keyin, ushbu yechimni dastlabki tenglamaga almashtirganda, biz o'ziga xoslikni olamiz:
Mayli 
- asosiy tizim chiziqli bir jinsli tenglamaning yechimlari 
. Keyin umumiy qaror bir jinsli tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
Xususan, 2-tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan differensial tenglama uchun umumiy yechimning tuzilishi quyidagi ko'rinishga ega:
Qayerda 
mos keladigan bir jinsli tenglamaning asosiy yechimlari tizimidir va 
- bir jinsli bo'lmagan tenglamaning har qanday maxsus yechimi.
Shunday qilib, chiziqli bir hil bo'lmagan differensial tenglamani yechish uchun mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topish va qandaydir tarzda bitta maxsus echimni topish kerak. bir jinsli bo'lmagan tenglama. Odatda u tanlov orqali topiladi. Shaxsiy yechimni tanlash usullarini quyidagi savollarda ko'rib chiqamiz.
2. Variatsiya usuli
Amalda ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanish qulay.
Buning uchun birinchi navbatda tegishli bir hil tenglamaning umumiy yechimini quyidagi shaklda toping:
Keyin, koeffitsientlarni qo'yish C i dan vazifalar X, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimi izlanadi:
Funktsiyalarni topish mumkinligini isbotlash mumkin C i (x) tenglamalar tizimini yechishimiz kerak:
Misol. Tenglamani yeching 
Chiziqli bir jinsli tenglamani yechish 
Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
Keling, tenglamalar tizimini yaratamiz:
Keling, ushbu tizimni hal qilaylik:
Munosabatdan biz funktsiyani topamiz Oh).
Endi topamiz B(x).
Olingan qiymatlarni bir hil bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi uchun formulaga almashtiramiz:
Yakuniy javob: 
Umuman olganda, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli har qanday chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning echimini topish uchun mos keladi. Lekin chunki Tegishli bir hil tenglamaning asosiy echimlar tizimini topish juda qiyin vazifa bo'lishi mumkin, bu usul asosan doimiy koeffitsientli bir hil bo'lmagan tenglamalar uchun qo'llaniladi.
3. Maxsus shaklning o'ng tomoni bo'lgan tenglamalar
Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning o'ng tomonining turiga qarab ma'lum bir yechimning turini tasavvur qilish mumkin ko'rinadi.
Quyidagi holatlar ajralib turadi:
I. Chiziqli bir jinsli boʻlmagan differentsial tenglamaning oʻng tomoni quyidagi koʻrinishga ega:
qayerda darajali polinom m.
Keyin quyidagi shaklda ma'lum bir yechim izlanadi:
Bu yerga Q(x) - bilan bir xil darajadagi ko'phad P(x) , burun noaniq koeffitsientlar, A r– mos chiziqli bir jinsli differensial tenglama uchun xarakteristik tenglamaning ildizi soni necha marta ekanligini ko‘rsatuvchi raqam.
Misol. Tenglamani yeching 
.
Tegishli bir jinsli tenglamani yechamiz: 
Endi asl bir jinsli bo'lmagan tenglamaning maxsus yechimini topamiz.
Keling, tenglamaning o'ng tomonini yuqorida muhokama qilingan o'ng tomonning shakli bilan taqqoslaylik.
Muayyan yechimni quyidagi shaklda qidiramiz: 
, Qayerda
Bular. 
Endi noma'lum koeffitsientlarni aniqlaymiz A Va IN.
Keling, umumiy shakldagi ma'lum bir yechimni asl bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamaga almashtiramiz.
Umumiy, shaxsiy yechim: 
U holda chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi:
II. Chiziqli bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaning o'ng tomoni quyidagi ko'rinishga ega:
Bu yerga R 1 (X) Va R 2 (X)– darajali polinomlar m 1 va m 2 mos ravishda.
Keyin bir hil bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimi quyidagi shaklga ega bo'ladi:
raqam qayerda r sonni necha marta ko'rsatadi 
mos keladigan bir jinsli tenglama uchun xarakteristik tenglamaning ildizi va Q 1
(x)
Va
Q 2
(x)
– dan yuqori bo‘lmagan darajadagi polinomlar m, Qayerda m- darajalarning eng kattasi m 1
Va m 2
.
Xususiy echimlar turlarining qisqacha jadvali
har xil turdagi o'ng tomonlar uchun
|
Differensial tenglamaning o'ng tomoni |
xarakterli tenglama |
Xususiy turlar |
|
|
|
1. Son xarakteristik tenglamaning ildizi emas |
|
|
|
2. Son ko‘plikning xarakteristik tenglamasining ildizi |
|
||
|
|
1. Raqam |
|
|
|
2. Raqam |
|
||
|
1. Raqamlar |
|
||
|
2. Raqamlar |
|
||
|
1. Raqamlar | |||
|
2. Raqamlar |
xarakteristik tenglamaning ildizi emas
ko'plikning xarakteristik tenglamasining ildizidir 
ko‘plikning xarakteristik tenglamasining ildizlaridir 
xarakterli ko'plik tenglamasining ildizlari emas 
ko'plikning xarakteristik tenglamasining ildizlaridir 
E'tibor bering, agar tenglamaning o'ng tomoni yuqorida ko'rib chiqilgan turdagi ifodalar birikmasi bo'lsa, u holda yechim yordamchi tenglamalar yechimlari birikmasi sifatida topiladi, ularning har biri kiritilgan ifodaga mos keladigan o'ng tomoniga ega. kombinatsiyada.
Bular. agar tenglama: 
, keyin bu tenglamaning ma'lum bir yechimi bo'ladi 
Qayerda da 1
Va da 2
– yordamchi tenglamalarning xususiy yechimlari
Va 
Tasavvur qilish uchun yuqoridagi misolni boshqacha hal qilaylik.
Misol. Tenglamani yeching 
Differensial tenglamaning o'ng tomonini ikkita funktsiya yig'indisi sifatida ifodalaymiz f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- gunoh x).
Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz:
Biz olamiz: ya'ni. 
Jami: 
Bular. talab qilinadigan maxsus yechim quyidagi shaklga ega: 
Bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi:
Keling, tavsiflangan usullarni qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik.
1-misol.. Tenglamani yeching 
Tegishli chiziqli bir jinsli differensial tenglama uchun xarakteristik tenglama tuzamiz:
Endi biz bir jinsli bo'lmagan tenglamaning ma'lum bir yechimini quyidagi shaklda topamiz:
Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanamiz.
Dastlabki tenglamani almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
Muayyan yechim quyidagi shaklga ega: 
Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi: 
Misol. Tenglamani yeching 
Xarakteristik tenglama:
Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi: 
Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning alohida yechimi: 
.
Biz hosilalarni topamiz va ularni asl bir hil bo'lmagan tenglamaga almashtiramiz:
Bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaning umumiy yechimini olamiz:
Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni (LNDE-2) yechish asoslari (PC)
$p$ va $q$ doimiy koeffitsientli 2-tartibli LDDE $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $f\left(x) \right)$ uzluksiz funksiyadir.
Kompyuter bilan LNDU 2 bilan bog'liq holda, quyidagi ikkita bayonot to'g'ri.
Faraz qilaylik, ba'zi $U$ funksiyasi bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning ixtiyoriy qisman yechimi bo'lsin. Shuningdek, faraz qilaylik, ba'zi $Y$ funksiyasi mos chiziqli bir jinsli differentsial tenglamaning (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ umumiy yechimi (GS) bo'lsin. Keyin GR ning LHDE-2 ko'rsatilgan xususiy va umumiy yechimlar yig'indisiga teng, ya'ni $y=U+Y$.
Agar 2-tartibli LMDE ning o'ng tomoni funksiyalar yig'indisi bo'lsa, ya'ni $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, keyin biz mos keladigan $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ni topamiz. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ funksiyalarining har biriga va undan keyin CR LNDU-2 ni $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ shaklida yozing.
Kompyuter bilan 2-darajali LPDE yechimi
Ko'rinib turibdiki, berilgan LNDU-2 ning u yoki bu PD $U$ turi uning o'ng tomoni $f\left(x\right)$ning o'ziga xos shakliga bog'liq. PD LNDU-2 ni qidirishning eng oddiy holatlari quyidagi to'rtta qoida shaklida tuzilgan.
№1 qoida.
LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ya'ni a deyiladi. $n$ darajali polinom. Keyin uning PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ shaklida qidiriladi, bu erda $Q_(n) \left(x\right)$ boshqa. $P_(n) \left(x\right)$ bilan bir xil darajadagi polinom va $r$ - ildizlar soni xarakterli tenglama LOD-2 ga mos keladigan, nolga teng. $Q_(n) \left(x\right)$ polinomining koeffitsientlari noaniq koeffitsientlar (Buyuk Britaniya) usuli bilan topiladi.
2-qoida.
LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left( x\right)$ — $n$ darajali polinom. Keyin uning PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ shaklida qidiriladi, bu yerda $Q_(n) ) \ left(x\right)$ - $P_(n) \left(x\right)$ bilan bir xil darajadagi boshqa ko‘phad, $r$ esa mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining ildizlari soni. $\alpha $ ga teng. $Q_(n) \left(x\right)$ polinomining koeffitsientlari NC usulida topiladi.
3-qoida.
LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ko'rinishiga ega. \o'ng) $, bu erda $a$, $b$ va $\beta$ ma'lum raqamlar. Keyin uning PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) shaklida qidiriladi. \right )\cdot x^(r) $, bu yerda $A$ va $B$ nomaʼlum koeffitsientlar va $r$ mos keladigan LODE-2 xarakteristikasi tenglamasining ildizlari soni, $i\cdot ga teng. \beta $. $A$ va $B$ koeffitsientlari buzilmaydigan usul yordamida topiladi.
4-qoida.
LNDU-2 ning o'ng tomoni $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ ko'rinishiga ega, bu erda $P_(n) \left(x\right)$ $ n$ darajali ko'phad, $P_(m) \left(x\right)$ $m$ darajali ko'phad. Keyin uning PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ shaklida qidiriladi, bunda $Q_(s) \left(x\right)$ va $ R_(s) \left(x\right)$ $s$ darajali koʻphadlar, $s$ soni $n$ va $m$ning maksimal ikki soni, $r$ esa ildizlar soni mos keladigan LODE-2 ning xarakteristik tenglamasining $\alpha +i\cdot \beta $ ga teng. $Q_(s) \left(x\right)$ va $R_(s) \left(x\right)$ polinomlarining koeffitsientlari NC usulida topiladi.
NK usuli quyidagi qoidani qo'llashdan iborat. Bir jinsli bo'lmagan LNDU-2 differensial tenglamasining qisman yechimiga kiruvchi polinomning noma'lum koeffitsientlarini topish uchun quyidagilar zarur:
- umumiy shaklda yozilgan PD $U$ ni ga almashtiring chap tomoni LNDU-2;
- LNDU-2 ning chap tomonida bir xil kuchlar bilan soddalashtirish va guruh shartlarini bajaring $x$;
- hosil bo'lgan o'ziga xoslikda, chap va o'ng tomonlarning $x$ bir xil kuchlari bilan atamalar koeffitsientlarini tenglashtiring;
- hosil bo'lgan tizimni hal qiling chiziqli tenglamalar noma'lum koeffitsientlarga nisbatan.
1-misol
Vazifa: YOKI LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ni toping. PD ni ham toping. , $x=0$ uchun $y=6$ va $x=0$ uchun $y"=1$ boshlang'ich shartlarini qondirish.
Biz mos keladigan LOD-2 ni yozamiz: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Xarakteristik tenglama: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Xarakteristik tenglamaning ildizlari: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Bu ildizlar to'g'ri va aniq. Shunday qilib, mos keladigan LODE-2 ning OR quyidagi ko'rinishga ega: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Ushbu LNDU-2 ning o'ng tomonida $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ shakli mavjud. $\alpha =3$ ko'rsatkichining koeffitsientini hisobga olish kerak. Bu koeffitsient xarakterli tenglamaning hech bir ildiziga to'g'ri kelmaydi. Shuning uchun, ushbu LNDU-2 ning PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ko'rinishiga ega.
$A$, $B$ koeffitsientlarini NC usuli yordamida qidiramiz.
Biz Chexiya Respublikasining birinchi hosilasini topamiz:
$U"=\left(A\cdot x+B\o'ng)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\o'ng)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\chap(A\cdot x+B\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\chap (A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot e^(3\cdot x) .$
Biz Chexiya Respublikasining ikkinchi hosilasini topamiz:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot \chap(e^(3\cdot x) \o'ng)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\chap(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\chap(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\o'ng)\cdot e^(3\cdot x) .$
Berilgan NLDE-2 $y""-3\cdot y" ga $y""$, $y"$ va $y$ o'rniga $U""$, $U"$ va $U$ funktsiyalarini almashtiramiz. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $) Bundan tashqari, $e^(3\cdot x) $ koʻrsatkichi omil sifatida kiritilgan barcha komponentlarda, keyin uni o'tkazib yuborish mumkin:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \chap(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\o‘ng)-18\cdot \chap(A\ cdot x+B\o'ng)=36\cdot x+12.$
Olingan tenglikning chap tomonidagi amallarni bajaramiz:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Biz NDT usulidan foydalanamiz. Biz ikkita noma'lum chiziqli tenglamalar tizimini olamiz:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Bu tizimning yechimi: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ bizning muammomiz quyidagicha ko'rinadi: $U=\left(-2\cdot x-1\o'ng) \cdot e^(3\cdot x) $.
Bizning muammomiz uchun OR $y=Y+U$ quyidagicha ko‘rinadi: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Berilgan dastlabki shartlarga javob beradigan PDni izlash uchun biz OPning $y"$ hosilasini topamiz:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\o'ng)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Biz $y$ va $y"$ ga dastlabki shartlarni $x=0$ uchun $y=6$ va $x=0$ uchun $y"=1$ almashtiramiz:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Biz tenglamalar tizimini oldik:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Keling, buni hal qilaylik. Biz $C_(1) $ ni Kramer formulasidan foydalanib topamiz va $C_(2) $ birinchi tenglamadan aniqlaymiz:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(massiv)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(massiv)\o'ng|)(\left|\ start(massiv)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(massiv)\o'ng|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Shunday qilib, ushbu differentsial tenglamaning PD quyidagi ko'rinishga ega: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1) \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
|
Doimiy koeffitsientli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar |
|
Umumiy yechimning tuzilishi Ushbu turdagi chiziqli bir hil bo'lmagan tenglama quyidagi shaklga ega: Qayerda p, q− doimiy sonlar (ular haqiqiy yoki murakkab bo‘lishi mumkin). Har bir bunday tenglama uchun biz mos keladiganini yozishimiz mumkin bir jinsli tenglama:
Teorema: Bir jinsli boʻlmagan tenglamaning umumiy yechimi umumiy yechimning yigʻindisidir y 0 (x) mos keladigan bir jinsli tenglama va xususiy yechim y 1 (x) bir jinsli tenglama:
Quyida bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni yechishning ikkita usulini ko'rib chiqamiz. Konstantalarni o'zgartirish usuli Umumiy yechim bo'lsa y Bog'langan bir jinsli tenglamaning 0 i ma'lum bo'lsa, u holda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi yordamida topish mumkin. doimiy o'zgaruvchanlik usuli. Bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'lsin: Doimiy o'rniga C 1 va C 2 yordamchi funktsiyalarni ko'rib chiqamiz C 1 (x) Va C 2 (x). Biz bu funksiyalarni shunday izlaymizki, yechim o'ng tomoni bilan bir jinsli bo'lmagan tenglamani qanoatlantirdi f(x). Noma'lum funktsiyalar C 1 (x) Va C 2 (x) ikkita tenglama sistemasidan aniqlanadi:
Noaniq koeffitsient usuli O'ng qism f(x) bir jinsli bo'lmagan differensial tenglama ko'pincha polinom, ko'rsatkichli yoki trigonometrik funktsiya yoki bu funktsiyalarning ba'zi kombinatsiyasi bo'ladi. Bunday holda, yordamida yechim izlash qulayroqdir noaniq koeffitsientlar usuli. Shuni ta'kidlab o'tamiz bu usul kabi faqat o'ng tomonda cheklangan funktsiyalar sinfi uchun ishlaydi  Ikkala holatda ham ma'lum bir yechimni tanlash bir hil bo'lmagan differentsial tenglamaning o'ng tomonining tuzilishiga mos kelishi kerak. 1-holatda, agar raqam bo'lsa α V eksponensial funktsiya xarakteristik tenglamaning ildiziga to'g'ri keladi, u holda ma'lum bir yechim qo'shimcha omilni o'z ichiga oladi x s, Qayerda s− ildizning ko‘pligi α xarakteristik tenglamada. 2-holatda, agar raqam bo'lsa a + bi xarakteristik tenglamaning ildiziga to'g'ri keladi, u holda ma'lum bir yechim uchun ifoda qo'shimcha omilni o'z ichiga oladi x. Noma’lum koeffitsientlarni ma’lum bir yechim uchun topilgan ifodani dastlabki bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaga almashtirish yo‘li bilan aniqlash mumkin. Superpozitsiya printsipi Agar bir jinsli bo'lmagan tenglamaning o'ng tomoni bo'lsa miqdori shaklning bir nechta funktsiyalari u holda differensial tenglamaning ma'lum bir yechimi ham o'ng tomondagi har bir had uchun alohida tuzilgan qisman yechimlar yig'indisi bo'ladi. |
|
1-misol |
|
Differensial tenglamani yeching y"" + y= gunoh (2 x). Yechim. Avval mos keladigan bir jinsli tenglamani yechamiz y"" + y= 0.V Ushbu holatda xarakteristik tenglamaning ildizlari faqat xayoliydir: Binobarin, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ifoda bilan beriladi Keling, yana bir jinsli bo'lmagan tenglamaga qaytaylik. Biz uning yechimini shaklda qidiramiz konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanish. Funksiyalar C 1 (x) Va C 2 (x) dan topish mumkin keyingi tizim tenglamalar:
Keling, hosilani ifodalaylik C 1 " (x) birinchi tenglamadan:
Ikkinchi tenglamani almashtirib, hosilani topamiz C 2 " (x):
Bundan kelib chiqadi Hosilalarni integrallash ifodalari C 1 " (x) Va C 2 " (x), biz olamiz: Qayerda A 1 , A 2 – integratsiya konstantalari. Endi topilgan funksiyalarni almashtiramiz C 1 (x) Va C 2 (x) uchun formulaga kiritiladi y 1 (x) va bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini yozing:
|
|
2-misol |
|
Tenglamaning umumiy yechimini toping y"" + y" −6y = 36x. Yechim. Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanamiz. Berilgan tenglamaning o'ng tomoni chiziqli funksiya f(x)= ax + b. Shuning uchun, biz shaklda ma'lum bir yechim izlaymiz hosilalari teng:
Buni differensial tenglamaga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:
Oxirgi tenglama o'ziga xoslik, ya'ni hamma uchun amal qiladi x, shuning uchun biz bir xil darajalar bilan atamalar koeffitsientlarini tenglashtiramiz x chap va o'ng tomonda: Olingan tizimdan biz quyidagilarni topamiz: A = −6, B= −1. Natijada, maxsus yechim shaklda yoziladi Endi bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Keling, yordamchi xarakteristik tenglamaning ildizlarini hisoblaylik: Shuning uchun mos keladigan bir hil tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega: Demak, dastlabki bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi formula bilan ifodalanadi |
DE ning umumiy integrali.
Differensial tenglamani yeching
Lekin eng qiziq tomoni shundaki, javob allaqachon ma'lum: , aniqrog'i, doimiyni ham qo'shishimiz kerak: Bosh integral differensial tenglamaning yechimidir.
Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli. Yechimlarga misollar
Bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamalarni yechish uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi. Ushbu dars mavzuni ko'proq yoki kamroq bilgan talabalar uchun mo'ljallangan. Agar siz faqat masofadan boshqarish pulti bilan tanishishni boshlayotgan bo'lsangiz, ya'ni. Agar siz choynak bo'lsangiz, men birinchi darsdan boshlashni maslahat beraman: Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Yechimlarga misollar. Va agar siz allaqachon tugatayotgan bo'lsangiz, iltimos, usul qiyin degan taxminni rad eting. Chunki bu oddiy.
Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qanday hollarda qo'llaniladi?
1) Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulini yechish uchun foydalanish mumkin 1-tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan DE. Tenglama birinchi tartibli bo'lgani uchun doimiy ham bitta bo'ladi.
2) Ayrimlarni yechish uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli tenglamalar. Bu erda ikkita konstanta farqlanadi.
Dars ikki paragrafdan iborat bo'ladi deb taxmin qilish mantiqan to'g'ri... Shunday qilib, men ushbu jumlani yozdim va taxminan 10 daqiqa davomida amaliy misollarga silliq o'tish uchun yana qanday aqlli axlatni qo'shishim mumkinligi haqida o'yladim. Lekin negadir ta'tildan keyin menda hech qanday fikr yo'q, garchi men hech narsani suiiste'mol qilmagan bo'lsam ham. Shuning uchun, keling, to'g'ridan-to'g'ri birinchi xatboshiga o'tamiz.
Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usuli birinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan tenglama uchun
Ixtiyoriy doimiyni o'zgartirish usulini ko'rib chiqishdan oldin maqola bilan tanishish tavsiya etiladi. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. O'sha darsda biz mashq qildik birinchi yechim bir jinsli bo'lmagan 1-tartibli DE. Bu birinchi yechim, sizga eslatib o'taman, deyiladi almashtirish usuli yoki Bernoulli usuli(bilan adashtirmaslik kerak Bernulli tenglamasi!!!)
Endi qaraymiz ikkinchi yechim– ixtiyoriy doimiyni o‘zgartirish usuli. Men faqat uchta misol keltiraman va ularni yuqoridagi darsdan olaman. Nega juda kam? Chunki aslida ikkinchi usuldagi yechim birinchi usuldagi yechimga juda o‘xshash bo‘ladi. Bundan tashqari, mening kuzatishlarimga ko'ra, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli almashtirish usuliga qaraganda kamroq qo'llaniladi.
1-misol
Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping (Darsning 2-misolidan farq 1-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar)
Yechim: Ushbu tenglama chiziqli bir hil bo'lmagan va tanish ko'rinishga ega:
Birinchi bosqichda oddiyroq tenglamani echish kerak: Ya'ni, biz ahmoqona o'ng tomonni nolga qaytaramiz - o'rniga nol yozamiz. Men tenglamani chaqiraman yordamchi tenglama.
Ushbu misolda siz quyidagi yordamchi tenglamani echishingiz kerak:
Bizdan oldin ajraladigan tenglama, uning yechimi (umid qilamanki) endi siz uchun qiyin emas:
Shunday qilib: – yordamchi tenglamaning umumiy yechimi.
Ikkinchi bosqichda almashtiramiz ba'zi doimiy hali"x" ga bog'liq bo'lgan noma'lum funktsiya:
Shuning uchun usulning nomi - biz doimiyni o'zgartiramiz. Shu bilan bir qatorda, konstanta endi topishimiz kerak bo'lgan ba'zi funksiya bo'lishi mumkin.
IN original bir hil bo'lmagan tenglamada biz almashtirishni amalga oshiramiz:
Keling, tenglamaga almashtiramiz:
Nazorat nuqtasi - chap tomondagi ikkita atama bekor qilinadi. Agar bu sodir bo'lmasa, yuqoridagi xatoni qidirishingiz kerak.
O'zgartirish natijasida ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan tenglama olindi. Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz va birlashtiramiz.
Qanday baxt, ko'rsatkichlar ham bekor qiladi:
Topilgan funktsiyaga "normal" konstanta qo'shamiz:
Yakuniy bosqichda biz almashtirish haqida eslaymiz:
Funktsiya hozirgina topildi!
Shunday qilib, umumiy yechim:
Javob: umumiy qaror: 
Agar siz ikkita yechimni chop qilsangiz, ikkala holatda ham bir xil integrallarni topganimizni osongina sezasiz. Farqi faqat yechim algoritmida.
Endi murakkabroq narsa uchun men ikkinchi misolga ham izoh beraman:
2-misol
Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping (darsning 8-misolidan farq 1-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar)
Yechim: Tenglamani quyidagi shaklga keltiramiz:
Keling, o'ng tomonni tiklaymiz va yordamchi tenglamani yechamiz:
Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz va integrallaymiz: Yordamchi tenglamaning umumiy yechimi:
Bir hil bo'lmagan tenglamada biz almashtirishni amalga oshiramiz:
Mahsulotni farqlash qoidasiga ko'ra:
Keling, asl bir jinsli bo'lmagan tenglamani almashtiramiz:
Chap tomondagi ikkita atama bekor qilinadi, ya'ni biz to'g'ri yo'ldamiz: 
Keling, qismlar bo'yicha birlashaylik. Qismlar bo'yicha integratsiyadan olingan mazali harf formulasi allaqachon yechimga kiritilgan, shuning uchun biz, masalan, "a" va "be" harflaridan foydalanamiz:
Natijada:
Endi almashtirishni eslaylik:
Javob: umumiy qaror:
Ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli chiziqli bir hil bo'lmagan ikkinchi tartibli tenglama uchun doimiy koeffitsientlar bilan
Ikkinchi tartibli tenglama uchun ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli oson ish emas degan fikrni tez-tez eshitganman. Ammo men quyidagilarni taxmin qilaman: bu usul ko'pchilik uchun qiyin bo'lib tuyuladi, chunki u tez-tez uchramaydi. Ammo aslida hech qanday qiyinchilik yo'q - qarorning borishi aniq, shaffof va tushunarli. Va chiroyli.
Usulni o'zlashtirish uchun bir xil bo'lmagan ikkinchi tartibli tenglamalarni o'ng tomonning shakliga asoslanib, ma'lum bir yechimni tanlash orqali yecha olish maqsadga muvofiqdir. Bu usul maqolada batafsil muhokama qilingan Bir jinsli bo'lmagan 2-tartibli DE. Esda tutamizki, doimiy koeffitsientli ikkinchi darajali chiziqli bir hil bo'lmagan tenglama quyidagi shaklga ega:
Yuqoridagi darsda muhokama qilingan tanlov usuli faqat o'ng tomonda polinomlar, eksponentlar, sinuslar va kosinuslar mavjud bo'lgan cheklangan hollarda ishlaydi. Ammo o'ng tomonda, masalan, kasr, logarifm, tangens bo'lsa, nima qilish kerak? Bunday vaziyatda konstantalarni o'zgartirish usuli yordamga keladi.
4-misol
Ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping 
Yechim: Ushbu tenglamaning o'ng tomonida kasr mavjud, shuning uchun biz darhol ma'lum bir yechimni tanlash usuli ishlamasligini aytishimiz mumkin. Biz ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usulidan foydalanamiz.
Momaqaldiroq belgilari yo'q, yechimning boshlanishi mutlaqo oddiy:
Biz topamiz umumiy qaror muvofiq bir hil tenglamalar:
Xarakteristik tenglamani tuzamiz va yechamiz: 
– konjugat kompleks ildizlar olinadi, shuning uchun umumiy yechim:
Umumiy yechimning yozuviga e'tibor bering - agar qavslar bo'lsa, ularni oching.
Endi biz birinchi darajali tenglama bilan deyarli bir xil hiyla qilamiz: biz doimiylarni o'zgartiramiz, ularni noma'lum funktsiyalar bilan almashtiramiz. Ya'ni, bir hil bo'lmagan umumiy eritma Biz tenglamalarni quyidagi shaklda qidiramiz:
Qaerda - hali noma'lum funktsiyalar.
Chiqindixonaga o'xshaydi maishiy chiqindilar, lekin endi biz hamma narsani tartibga solamiz.
Noma'lumlar funksiyalarning hosilalaridir. Bizning maqsadimiz hosilalarni topishdir va topilgan hosilalar tizimning birinchi va ikkinchi tenglamalarini qondirishi kerak.
"Yunonlar" qaerdan kelgan? Laylak ularni olib keladi. Biz ilgari olingan umumiy yechimni ko'rib chiqamiz va yozamiz:
Keling, hosilalarni topamiz:
Chap qismlarga ishlov berildi. O'ng tomonda nima bor?
- bu o'ng tomon asl tenglama, Ushbu holatda:
Ushbu maqola doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish masalasini ko'rib chiqadi. Nazariya berilgan muammolar misollari bilan birga muhokama qilinadi. Noaniq atamalarni ochish uchun differensial tenglamalar nazariyasining asosiy ta'riflari va tushunchalari haqidagi mavzuga murojaat qilish kerak.
y "" + p · y " + q · y = f (x) ko'rinishdagi doimiy koeffitsientlarga ega bo'lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani (LDE) ko'rib chiqaylik, bu erda p va q ixtiyoriy sonlar va mavjud f funktsiya. (x) x integrallash intervalida uzluksizdir.
Keling, LNDE ning umumiy yechimi uchun teoremani shakllantirishga o'tamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
LDNU uchun umumiy yechim teoremasi
Teorema 1y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ko'rinishdagi bir jinsli bo'lmagan differentsial tenglamaning x oralig'ida joylashgan umumiy yechimi. . . + f 0 (x) · y = f (x) x oralig'ida uzluksiz integratsiya koeffitsientlari bilan f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) va doimiy funktsiya f (x) umumiy yechim y 0 yig'indisiga teng bo'lib, u LOD va ba'zi bir xususiy yechim y ~ ga to'g'ri keladi, bu erda dastlabki bir jinsli bo'lmagan tenglama y = y 0 + y ~ bo'ladi.
Bu shunday ikkinchi tartibli tenglamaning yechimi y = y 0 + y ~ ko'rinishga ega ekanligini ko'rsatadi. Y 0 ni topish algoritmi doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil ikkinchi tartibli differensial tenglamalar haqidagi maqolada muhokama qilinadi. Shundan so'ng biz y ~ ta'rifiga o'tishimiz kerak.
LPDE uchun ma'lum bir yechimni tanlash tenglamaning o'ng tomonida joylashgan mavjud f (x) funktsiyasining turiga bog'liq. Buning uchun o'zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning yechimlarini alohida ko'rib chiqish kerak.
f (x) n-darajali ko'phad deb hisoblansa, f (x) = P n (x), bundan kelib chiqadiki, LPDE ning ma'lum bir yechimi y ~ = Q n (x) ko'rinishdagi formula yordamida topiladi. ) x g, bu yerda Q n ( x) n darajali ko‘phad, r xarakteristik tenglamaning nol ildizlari soni. Qiymati y ~ ma'lum bir yechim y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , keyin polinom tomonidan belgilanadigan mavjud koeffitsientlar.
Q n (x), y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligidan noaniq koeffitsientlar usuli yordamida topamiz.
1-misol
Koshi teoremasidan y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 dan foydalanib hisoblang.
Yechim
Boshqacha qilib aytganda, y "" - 2 y " = x 2 + 1 doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan differensial tenglamaning ma'lum bir yechimiga o'tish kerak, bu berilgan shartlarni y (0) qondiradi. = 2, y "(0) = 1 4 .
Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi y 0 tenglamaga yoki bir jinsli y ~ tenglamaning alohida yechimiga, ya'ni y = y 0 + y ~ ga mos keladigan umumiy yechim yig'indisidir.
Birinchidan, biz LNDU uchun umumiy yechim topamiz, keyin esa alohida.
Keling, y 0 ni topishga o'tamiz. Xarakteristik tenglamani yozish ildizlarni topishga yordam beradi. Biz buni tushunamiz
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2
Biz ildizlarning har xil va haqiqiy ekanligini aniqladik. Shuning uchun, keling, yozaylik
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
y ~ ni topamiz. Ko'rinib turibdiki, berilgan tenglamaning o'ng tomoni ikkinchi darajali ko'phad, u holda ildizlardan biri nolga teng. Bundan biz y ~ uchun ma'lum bir yechim bo'lishini olamiz
y ~ = Q 2 (x) x g = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, bu erda A, B, C qiymatlari aniqlanmagan koeffitsientlarni oladi.
Ularni y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ko'rinishdagi tenglikdan topamiz.
Keyin biz buni olamiz:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Koeffitsientlarni x ning bir xil ko'rsatkichlari bilan tenglashtirib, chiziqli ifodalar tizimini olamiz - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Har qanday usullar bilan yechishda koeffitsientlarni topamiz va yozamiz: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 va y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.
Ushbu yozuv doimiy koeffitsientli dastlabki chiziqli bir hil bo'lmagan ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb ataladi.
y (0) = 2, y "(0) = 1 4 shartlarni qondiradigan muayyan yechimni topish uchun qiymatlarni aniqlash kerak. C 1 Va C 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ko'rinishdagi tenglikka asoslangan.
Biz buni olamiz:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Olingan C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ko'rinishdagi tenglamalar tizimi bilan ishlaymiz, bu erda C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Koshi teoremasini qo'llasak, bizda shunday bo'ladi
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Javob: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Agar f (x) funktsiya n darajali ko'phad va f (x) = P n (x) · e a x ko'paytmasi sifatida tasvirlangan bo'lsa, biz ikkinchi tartibli LPDE ning ma'lum bir yechimi bo'lishini olamiz. y ~ = e a x · Q n ( x) x g ko'rinishdagi tenglama, bu erda Q n (x) - n-darajali ko'phad, r - a ga teng xarakterli tenglamaning ildizlari soni.
Q n (x) ga tegishli koeffitsientlar y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligi bilan topiladi.
2-misol
y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ko'rinishdagi differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechim
Tenglama umumiy ko'rinish y = y 0 + y ~ . Ko'rsatilgan tenglama LOD y "" - 2 y " = 0 ga mos keladi. Oldingi misoldan uning ildizlari teng ekanligini ko'rish mumkin. k 1 = 0 va xarakteristik tenglama bo'yicha k 2 = 2 va y 0 = C 1 + C 2 e 2 x.
Ko'rinib turibdiki, tenglamaning o'ng tomoni x 2 + 1 · e x. Bu yerdan LPDE y ~ = e a x · Q n (x) · x g orqali topiladi, bu erda Q n (x) ikkinchi darajali ko'phaddir, bu erda a = 1 va r = 0, chunki xarakteristik tenglama emas. 1 ga teng ildizga ega. Bu erdan biz buni olamiz
y ~ = e a x · Q n (x) · x g = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C.
A, B, C - y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x tengligi bilan topilishi mumkin bo'lgan noma'lum koeffitsientlar.
Tushundim
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Biz ko'rsatkichlarni bir xil koeffitsientlar bilan tenglashtiramiz va chiziqli tenglamalar tizimini olamiz. Bu yerdan biz A, B, C ni topamiz:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Javob: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 LNDDE ning maxsus yechimi ekanligi aniq va y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ikkinchi tartibli bir jinsli dif tenglamaning umumiy yechimi.
Funktsiya f (x) = A 1 cos (b x) + B 1 sin b x shaklida yozilsa va A 1 Va IN 1 raqamlar bo'lsa, u holda LPDE ning qisman yechimi y ~ = A cos b x + B sin b x · x g ko'rinishdagi tenglama hisoblanadi, bu erda A va B aniqlanmagan koeffitsientlar hisoblanadi va r - soni ± i b ga teng xarakterli tenglama bilan bog'liq murakkab konjugat ildizlar. Bunda koeffitsientlarni izlash y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligi yordamida amalga oshiriladi.
3-misol
y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ko'rinishdagi differentsial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechim
Xarakteristik tenglamani yozishdan oldin y 0 ni topamiz. Keyin
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i
Bizda bir juft murakkab konjugat ildiz mavjud. Keling, o'zgartiramiz va olamiz:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Xarakteristik tenglamaning ildizlari konjugat juftligi ± 2 i, keyin f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) deb hisoblanadi. Bu shuni ko'rsatadiki, y ~ uchun qidiruv y ~ = (A cos (b x) + B sin (b x) x g = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x dan amalga oshiriladi. Noma'lum A va B koeffitsientlarini y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ko'rinishdagi tenglikdan qidiramiz.
Keling, aylantiramiz:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Shunda bu aniq bo'ladi
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Sinuslar va kosinuslar koeffitsientlarini tenglashtirish kerak. Biz shakl tizimini olamiz:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Bundan kelib chiqadiki, y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Javob: doimiy koeffitsientlar bilan dastlabki ikkinchi tartibli LPDE ning umumiy yechimi ko'rib chiqiladi
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
f (x) = e a x · P n (x) sin (b x) + Q k (x) cos (b x) bo‘lganda y ~ = e a x · (L m (x) sin (b x) + N m bo‘ladi. (x) cos (b x) x g r - xarakteristik tenglama bilan bog'liq bo'lgan a ± i b ga teng bo'lgan murakkab konjugat juft ildizlar soni, bu erda P n (x), Q k (x), L m (x) va Nm(x) n, k, m, m darajali ko‘phadlar, bu yerda m = m a x (n, k). Koeffitsientlarni topish Lm(x) Va Nm(x) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) tengligi asosida yasaladi.
4-misol
Umumiy yechimni toping y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Yechim
Shartga ko'ra, bu aniq
a = 3, b = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
U holda m = m a x (n, k) = 1 bo'ladi. Biz y 0 ni avval quyidagi shaklning xarakteristik tenglamasini yozish orqali topamiz:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Biz ildizlarning haqiqiy va aniq ekanligini aniqladik. Demak, y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Keyinchalik, shaklning bir xil bo'lmagan y ~ tenglamasiga asoslangan umumiy yechimni izlash kerak.
y ~ = e a x (L m (x) sin (b x) + N m (x) cos (b x) x g = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C) x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Ma'lumki, A, B, C koeffitsientlar, r = 0, chunki a ± i b = 3 ± 5 · i bilan xarakteristik tenglama bilan bog'liq bo'lgan konjugat ildizlar jufti yo'q. Olingan tenglikdan bu koeffitsientlarni topamiz:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Hosil va shunga o'xshash atamalarni topish
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Koeffitsientlarni tenglashtirgandan so'ng, biz shakl tizimini olamiz
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Hammasidan shunisi kelib chiqadi
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) gunoh (5 x))
Javob: Endi biz berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini oldik:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
LDNU ni hal qilish algoritmi
Ta'rif 1Yechim uchun f (x) funksiyaning boshqa har qanday turi yechim algoritmiga rioya qilishni talab qiladi:
- mos chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topish, bunda y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, bu erda y 1 Va y 2 LODE ning chiziqli mustaqil qisman yechimlari, C 1 Va C 2 ixtiyoriy konstantalar hisoblanadi;
- LNDE ning umumiy yechimi sifatida qabul qilish y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
- C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) ko'rinishdagi tizim orqali funktsiyaning hosilalarini aniqlash. x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , va funksiyalarni topish C 1 (x) va C 2 (x) integratsiya orqali.
5-misol
Y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ning umumiy yechimini toping.
Yechim
Oldin y 0, y "" + 36 y = 0 ni yozib, xarakteristik tenglamani yozishni davom ettiramiz. Keling, yozamiz va hal qilamiz:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = gunoh (6 x)
Berilgan tenglamaning umumiy yechimi y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) shaklida yozilishini bilamiz. Hosil funksiyalarni aniqlashga o'tish kerak C 1 (x) Va C2(x) tenglamalar tizimiga muvofiq:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Bu borada qaror qabul qilish kerak C 1" (x) Va C 2" (x) har qanday usul yordamida. Keyin biz yozamiz:
C 1 "(x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Tenglamalarning har biri birlashtirilgan bo'lishi kerak. Keyin olingan tenglamalarni yozamiz:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Bundan kelib chiqadiki, umumiy yechim quyidagi shaklga ega bo'ladi:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Javob: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
