Boshqa lug'atlarda "SHART EXTREME" nima ekanligini ko'ring:

Nisbiy ekstremum, f (x1,..., xn + m) funktsiyaning n + m o'zgaruvchilardan bu o'zgaruvchilarga ham m bog'liqlik tenglamalari (shartlari) bo'ysunadi degan farazdagi ekstremum: phk (x1,..., xn) + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (Ekstremumga qarang).… …

To'plam ochiq va funksiyalar berilgan bo'lsin. Bo'lsin. Bu tenglamalar cheklovchi tenglamalar deb ataladi (terminologiya mexanikadan olingan). G... Vikipediyada funksiya aniqlansin

- (lotincha ekstremum ekstremal) uzluksiz f (x) funksiyaning maksimal yoki minimal qiymati. Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak: x0 nuqtada uzluksiz bo'lgan f (x) funksiya, agar bu nuqtaning qo'shnisi (x0 + d, x0 d) bo'lsa, x0 da maksimal (minimal) ga ega bo'ladi,... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Ekstremum (maʼnolari). Ekstremum (lot. extremum ekstremal) matematikada funksiyaning berilgan to‘plamdagi maksimal yoki minimal qiymatidir. Ekstremumga erishilgan nuqta... ... Vikipediya

Muammolarni hal qilishda ishlatiladigan funksiya shartli ekstremal ko'p o'zgaruvchilar va funktsiyalarning funktsiyalari. L. f yordami bilan. qayd qilinadi zarur shart-sharoitlar shartli ekstremumdagi masalalarda optimallik. Bunday holda, faqat o'zgaruvchilarni ifodalash shart emas... Matematik entsiklopediya

Bir yoki bir nechta funktsiyani tanlashga bog'liq bo'lgan o'zgaruvchilar funktsionallarining ekstremal (eng katta va eng kichik) qiymatlarini topishga bag'ishlangan matematik intizom. In va. bu bobning tabiiy rivojlanishi ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Shartli ekstremum bo'yicha masalalarni o'rganishda ularning yordami bilan Lagrange funktsiyasi tuziladigan o'zgaruvchilar. Chiziqli usullardan va Lagrange funktsiyasidan foydalanish shartli ekstremum bilan bog'liq masalalarda kerakli optimallik shartlarini bir xilda olish imkonini beradi ... Matematik entsiklopediya

Variatsiyalar hisobi - bu funktsional tahlilning funktsional o'zgarishlarni o'rganadigan bo'limi. Variatsiyalar hisobidagi eng tipik muammo berilgan funksional erishadigan funktsiyani topishdir... ... Vikipediya

Matematikaning turli xil cheklovlar (faza, differentsial, integral va boshqalar) ostida bir yoki bir nechta funktsiyalarni tanlashga bog'liq bo'lgan funktsional ekstremallarni topish usullarini o'rganishga bag'ishlangan bo'limi... ... Matematik entsiklopediya

Variatsiyalar hisobi - bu matematikaning funktsional o'zgarishlarni o'rganadigan bo'limi. Variatsiyalar hisobidagi eng tipik masala bu funktsiya ekstremal qiymatga yetgan funktsiyani topishdir. Usullari... ...Vikipediya

Kitoblar

• Nazorat nazariyasi bo'yicha ma'ruzalar. 2-jild. Optimal nazorat, V. Boss. Optimal boshqaruv nazariyasining klassik muammolari ko'rib chiqiladi. Taqdimot chekli o'lchovli fazolarda optimallashtirishning asosiy tushunchalari bilan boshlanadi: shartli va shartsiz ekstremum,...

Misol

Bu shart bilan funksiyaning ekstremumini toping X Va da munosabati bilan bog'lanadi: . Geometrik jihatdan muammo quyidagilarni anglatadi: ellipsda
samolyot
.

Bu muammoni shunday hal qilish mumkin: tenglamadan
topamiz
X:

sharti bilan
, oraliqda bir o‘zgaruvchining funksiyasining ekstremumini topish masalasiga keltirildi
.

Geometrik jihatdan muammo quyidagilarni anglatadi: ellipsda , silindrni kesib o'tish orqali olingan
samolyot
, arizaning maksimal yoki minimal qiymatini topishingiz kerak (9-rasm). Bu muammoni shunday hal qilish mumkin: tenglamadan
topamiz
. Topilgan y qiymatini tekislik tenglamasiga qo‘yib, bitta o‘zgaruvchining funksiyasini olamiz. X:

Shunday qilib, funksiyaning ekstremumini topish masalasi
sharti bilan
, oraliqda bir o‘zgaruvchining funksiyasining ekstremumini topish masalasiga keltirildi.

Shunday qilib, shartli ekstremumni topish muammosi– bu maqsad funksiyaning ekstremumini topish muammosi
, sharti bilan o'zgaruvchilar X Va da cheklanishi shart
, chaqirildi ulanish tenglamasi.

Buni aytaylik nuqta
, ulanish tenglamasini qondirish, mahalliy shartli maksimal nuqta (minimal), agar mahalla mavjud bo'lsa
har qanday nuqta uchun shunday
, kimning koordinatalari ulanish tenglamasini qanoatlantirsa, tengsizlik qanoatlantiriladi.

Agar ulanish tenglamasidan uchun ifoda topilsa da, keyin bu ifodani asl funktsiyaga almashtirib, biz ikkinchisini bitta o'zgaruvchining murakkab funktsiyasiga aylantiramiz. X.

Shartli ekstremum muammosini hal qilishning umumiy usuli Lagrange multiplikator usuli. Keling, yordamchi funktsiyani yarataylik, bu erda ─ qandaydir raqam. Bu funksiya deyiladi Lagrange funktsiyasi, A ─ Lagrange multiplikatori. Shunday qilib, shartli ekstremumni topish vazifasi Lagrange funktsiyasi uchun mahalliy ekstremum nuqtalarini topishga qisqartirildi. Mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalarni topish uchun siz uchta noma'lumli 3 ta tenglama tizimini echishingiz kerak x, y Va.

Keyin ekstremum uchun quyidagi etarli shartdan foydalanishingiz kerak.

TEOREMA. Nuqta Lagrange funktsiyasi uchun mumkin bo'lgan ekstremum nuqta bo'lsin. Aytaylik, bu nuqta yaqinida
funksiyalarning ikkinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalari mavjud Va . belgilaylik

Keyin agar
, Bu
─ funksiyaning shartli ekstremum nuqtasi
ulanish tenglamasi bilan
bu holda, agar
, Bu
─ shartli minimal nuqta, agar
, Bu
─ shartli maksimal nuqta.

§8. Gradient va yo'nalishli hosila

Funktsiyaga ruxsat bering
ba'zi (ochiq) mintaqada aniqlangan. Har qanday nuqtani ko'rib chiqing
bu maydon va har qanday yo'naltirilgan to'g'ri chiziq (o'q) , bu nuqtadan o'tib (1-rasm). Mayli
- bu o'qdagi boshqa nuqta,
– orasidagi segment uzunligi
Va
, yo'nalish bo'lsa, ortiqcha belgisi bilan olingan
eksa yo'nalishiga to'g'ri keladi , va agar ularning yo'nalishlari qarama-qarshi bo'lsa, minus belgisi bilan.

Mayli
cheksiz yaqinlashadi
. Cheklash

chaqirdi funktsiyaning hosilasi
tomon (yoki eksa bo'ylab ) va quyidagicha belgilanadi:

.

Ushbu lotin nuqtadagi funktsiyaning "o'zgarish tezligini" tavsiflaydi
tomon . Xususan, oddiy qisman hosilalar ,"yo'nalishga nisbatan" hosilalari sifatida ham ko'rib chiqilishi mumkin.

Endi funksiya deb faraz qilaylik
ko'rib chiqilayotgan mintaqada uzluksiz qisman hosilalarga ega. Eksa bo'lsin koordinata o'qlari bilan burchaklar hosil qiladi
Va . Qabul qilingan taxminlarga ko'ra, yo'nalish hosilasi mavjud va formula bilan ifodalanadi

.

Agar vektor
uning koordinatalari bilan berilgan
, keyin funksiyaning hosilasi
vektor yo'nalishi bo'yicha
formula yordamida hisoblash mumkin:

.

Koordinatali vektor
chaqirdi gradient vektori funktsiyalari
nuqtada
. Gradient vektori berilgan nuqtada funktsiyaning eng tez o'sish yo'nalishini ko'rsatadi.

Misol

Funksiya berilgan, nuqta A(1, 1) va vektor
. Toping: 1) A nuqtadagi grad z; 2) vektor yo'nalishi bo'yicha A nuqtada hosila .

Berilgan funksiyaning nuqtadagi qisman hosilalari
:

;
.

Shu nuqtada funksiyaning gradient vektori:
. Gradient vektorini vektor dekompozitsiyasi yordamida ham yozish mumkin Va :

. Funktsiyaning hosilasi vektor yo'nalishi bo'yicha :

Shunday qilib,
,
.◄

Shartli ekstremum.

Bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremasi

Eng kichik kvadrat usuli.

FNP ning mahalliy ekstremumi

Funktsiya berilgan bo'lsin Va= f(P), RÎDÌR n va nuqta P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –ichki to'plam nuqtasi D.

Ta'rif 9.4.

1) P 0 nuqtasi chaqiriladi maksimal nuqta funktsiyalari Va= f(P), agar bu nuqtaning qo'shnisi bo'lsa U(P 0) M D shundayki, har qanday P( X 1 , X 2 , ..., x n)O U(P 0) , R¹R 0 , shart bajarilgan f(P)£ f(P 0) . Ma'nosi f(P 0) maksimal nuqtadagi funksiya chaqiriladi funktsiyaning maksimal qiymati va belgilanadi f(P0) = maks f(P) .

2) P 0 nuqtasi chaqiriladi minimal nuqta funktsiyalari Va= f(P), agar bu nuqtaning qo'shnisi bo'lsa U(P 0)Ì D shundayki, har qanday P( nuqta uchun) X 1 , X 2 , ..., x n)OU(P 0), R¹R 0 , shart bajariladi f(P)³ f(P 0) . Ma'nosi f(P 0) minimal nuqtadagi funksiya chaqiriladi minimal funktsiya va belgilanadi f(P 0) = min f(P).

Funksiyaning minimal va maksimal nuqtalari deyiladi ekstremal nuqtalar, ekstremal nuqtalardagi funksiya qiymatlari deyiladi funktsiyaning ekstremal qismi.

Ta'rifdan kelib chiqqan holda, tengsizliklar f(P)£ f(P 0), f(P)³ f(P 0) funktsiyani aniqlashning butun sohasida emas, balki faqat P 0 nuqtasining ma'lum bir qo'shnisida qondirilishi kerak, ya'ni funktsiya bir xil turdagi bir nechta ekstremallarga ega bo'lishi mumkin (bir nechta minimal, bir nechta maksimal) . Shuning uchun yuqorida aniqlangan ekstremal deyiladi mahalliy(mahalliy) ekstremallar.

9.1 teorema (FNP ekstremumining zaruriy sharti)

Agar funktsiya Va= f(X 1 , X 2 , ..., x n) P 0 nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, bu nuqtada uning birinchi tartibli qisman hosilalari yo nolga teng yoki yo’q.

Isbot. P nuqtada 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funktsiyasi Va= f(P) ekstremumga ega, masalan, maksimal. Keling, argumentlarni tuzataylik X 2 , ..., x n, qo'yish X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Keyin Va= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) bitta o‘zgaruvchining funksiyasi X 1 . Chunki bu funksiya mavjud X 1 = A 1 ekstremum (maksimal), keyin f 1 ¢=0yoki qachon mavjud emas X 1 =A 1 (bitta o'zgaruvchining funksiyasi ekstremumining mavjudligi uchun zaruriy shart). Ammo, bu P 0 nuqtasida - ekstremum nuqtada mavjud yoki yo'qligini anglatadi. Xuddi shunday, biz boshqa o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarni ko'rib chiqishimiz mumkin. CTD.

Birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud boʻlmagan funksiya sohasidagi nuqtalar deyiladi. tanqidiy nuqtalar bu funksiya.

9.1 teoremadan kelib chiqqan holda, funktsiyaning kritik nuqtalari orasidan FNP ning ekstremum nuqtalarini izlash kerak. Ammo bitta o'zgaruvchining funktsiyasiga kelsak, har bir kritik nuqta ekstremum nuqta emas.

9.2 teorema (FNP ekstremumi uchun etarli shart)

Funktsiyaning kritik nuqtasi P 0 bo'lsin Va= f(P) va bu funksiyaning ikkinchi tartibli differensialidir. Keyin

Agar d 2 u(P 0) > 0 da, u holda P 0 nuqta hisoblanadi eng kam funktsiyalari Va= f(P);

b) agar d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimal funktsiyalari Va= f(P);

c) agar d 2 u(P 0) belgi bilan aniqlanmaydi, keyin P 0 ekstremum nuqta emas;

Biz bu teoremani isbotsiz ko'rib chiqamiz.

E'tibor bering, teorema qachon bo'lgan holatni ko'rib chiqmaydi d 2 u(P 0) = 0 yoki mavjud emas. Bu shuni anglatadiki, bunday sharoitlarda P 0 nuqtasida ekstremum mavjudligi haqidagi savol ochiq qoladi - bizga kerak qo'shimcha tadqiqotlar, masalan, ushbu nuqtada funktsiyaning o'sishini o'rganish.

Batafsilroq matematika kurslarida bu, xususan, funktsiya uchun isbotlangan z = f(x,y) ikki o'zgaruvchining ikkinchi tartibli differensiali shakl yig'indisidir

kritik P 0 nuqtasida ekstremum mavjudligini o'rganishni soddalashtirish mumkin.

, , ni belgilaymiz. Determinant tuzamiz

.

Aylanadi:

d 2 z P 0 nuqtasida > 0, ya'ni. P 0 - minimal nuqta, agar A(P 0) > 0 va D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

agar D(P 0)< 0, то d 2 z P 0 nuqtasiga yaqin joyda u belgini o'zgartiradi va P 0 nuqtasida ekstremum yo'q;

agar D(R 0) = 0 bo'lsa, u holda R 0 kritik nuqtaga yaqin joyda funksiyani qo'shimcha o'rganish ham talab qilinadi.

Shunday qilib, funktsiya uchun z = f(x,y) ikkita o'zgaruvchidan ekstremumni topish uchun quyidagi algoritmga egamiz (uni "algoritm D" deb ataymiz):

1) D( ta’rif sohasini toping. f) funktsiyalari.

2) Kritik nuqtalarni toping, ya'ni. D dan nuqtalar ( f), ular uchun va nolga teng yoki mavjud emas.

3) Har bir muhim nuqtada P 0 tekshiring etarli sharoitlar ekstremum. Buning uchun toping , bu yerda , , va D(P 0) va hisoblang A(P 0). Keyin:

agar D(P 0) >0 bo'lsa, u holda P 0 nuqtada ekstremum mavjud va agar A(P 0) > 0 - u holda bu minimal, va agar A(P 0)< 0 – максимум;

agar D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Agar D (P 0) = 0 bo'lsa, qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi.

4) Topilgan ekstremum nuqtalarda funksiyaning qiymatini hisoblang.

1-misol.

Funktsiyaning ekstremumini toping z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Yechim. Ushbu funktsiyani aniqlash sohasi butun koordinata tekisligidir. Keling, muhim nuqtalarni topaylik.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Keling, ekstremum uchun etarli shartlar bajarilganligini tekshirib ko'raylik. Biz topamiz

6X, = -3, = 48da Va = 288xy – 9.

Keyin D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(R 1) = 36-9>0 – R 1 nuqtada ekstremum mavjud va shuning uchun A(P 1) = 3 >0, u holda bu ekstremum minimaldir. Shunday qilib, min z=z(P 1) = .

2-misol.

Funktsiyaning ekstremumini toping .

Yechim: D( f) =R 2. Muhim nuqtalar: ; qachon mavjud emas da= 0, ya'ni P 0 (0,0) bu funktsiyaning kritik nuqtasidir.

2, = 0, = , = , lekin D(P 0) aniqlanmagan, shuning uchun uning belgisini o'rganish mumkin emas.

Xuddi shu sababga ko'ra, 9.2 teoremasini to'g'ridan-to'g'ri qo'llash mumkin emas - d 2 z bu nuqtada mavjud emas.

Funktsiyaning o'sishini ko'rib chiqaylik f(x, y) P 0 nuqtasida. Agar D f =f(P) - f(P 0)>0 "P, u holda P 0 minimal nuqta, lekin agar D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Bizning holatlarimizda bor

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

D da x= 0,1 va D y= -0,008 biz D ni olamiz f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 va D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, ya'ni. P 0 nuqtaga yaqin joyda D sharti ham qanoatlanmaydi f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) va shuning uchun P 0 maksimal nuqta emas), na D sharti f> 0 (ya'ni. f(x, y) > f(0, 0) va keyin P 0 minimal nuqta emas). Shunday qilib, ekstremum ta'rifiga ko'ra, bu funksiya haddan tashqari holatlarga ega emas.

Shartli ekstremum.

Funktsiyaning ko'rib chiqilgan ekstremumi deyiladi shartsiz, chunki funktsiya argumentlariga hech qanday cheklovlar (shartlar) qo'yilmaydi.

Ta'rif 9.2. Funktsiyaning ekstremumi Va = f(X 1 , X 2 , ... , x n), uning dalillari bo'lishi sharti bilan topiladi X 1 , X 2 , ... , x n j 1 tenglamalarni qanoatlantiring ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, bu erda P ( X 1 , X 2 , ... , x n) O D( f), chaqirildi shartli ekstremum .

Tenglamalar j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, deyiladi ulanish tenglamalari.

Keling, funktsiyalarni ko'rib chiqaylik z = f(x,y) ikkita o'zgaruvchi. Agar ulanish tenglamasi bitta bo'lsa, ya'ni. , keyin shartli ekstremumni topish ekstremum funktsiyani aniqlashning butun sohasida emas, balki D() da yotgan qaysidir egri chiziqda izlanishini bildiradi. f) (ya'ni, izlanadigan sirtning eng yuqori yoki eng past nuqtalari emas z = f(x,y), va bu sirtning silindr bilan kesishish nuqtalari orasidagi eng yuqori yoki eng past nuqtalar, 5-rasm).

Funksiyaning shartli ekstremumi z = f(x,y) ikkita oʻzgaruvchini quyidagi yoʻl bilan topish mumkin( bartaraf etish usuli). Tenglamadan o'zgaruvchilardan birini boshqasining funktsiyasi sifatida ifodalang (masalan, yozing) va o'zgaruvchining ushbu qiymatini funktsiyaga almashtirib, ikkinchisini bitta o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida yozing (ko'rib chiqilayotgan holatda). ). Bitta o‘zgaruvchining natijaviy funksiyasining ekstremumini toping.

Bir necha o'zgaruvchili funksiyalarning ekstremallari. Ekstremum uchun zaruriy shart. Ekstremum uchun etarli shart. Shartli ekstremum. Lagrange multiplikator usuli. Eng katta va eng kichik qiymatlarni topish.

5-ma'ruza.

Ta'rif 5.1. Nuqta M 0 (x 0, y 0) chaqirdi maksimal nuqta funktsiyalari z = f (x, y), Agar f (x o, y o) > f(x,y) barcha nuqtalar uchun (x, y) M 0.

Ta'rif 5.2. Nuqta M 0 (x 0, y 0) chaqirdi minimal nuqta funktsiyalari z = f (x, y), Agar f (x o, y o) < f(x,y) barcha nuqtalar uchun (x, y) bir nuqtaning qaysidir mahallasidan M 0.

Eslatma 1. Maksimal va minimal nuqtalar chaqiriladi ekstremal nuqtalar bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari.

Izoh 2. Har qanday sonli o‘zgaruvchilar funksiyasining ekstremum nuqtasi ham xuddi shunday tarzda aniqlanadi.

5.1 teorema(ekstremum uchun zarur shartlar). Agar M 0 (x 0, y 0)– funksiyaning ekstremal nuqtasi z = f (x, y), u holda bu nuqtada bu funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud emas.

Isbot.

Keling, o'zgaruvchining qiymatini aniqlaymiz da, hisoblash y = y 0. Keyin funksiya f (x, y 0) bir o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi X, buning uchun x = x 0 ekstremum nuqta hisoblanadi. Shuning uchun Ferma teoremasi bo'yicha yoki mavjud emas. Xuddi shu bayonot uchun ham xuddi shunday isbotlangan.

Ta'rif 5.3. Funktsiyaning qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud bo'lmagan bir nechta o'zgaruvchilardan iborat funktsiya sohasiga tegishli nuqtalar deyiladi. statsionar nuqtalar bu funksiya.

Izoh. Shunday qilib, ekstremumga faqat statsionar nuqtalarda erishish mumkin, lekin ularning har birida kuzatilishi shart emas.

5.2 teorema(ekstremum uchun etarli shartlar). Nuqtaning ba'zi mahallasida bo'lsin M 0 (x 0, y 0), bu funksiyaning statsionar nuqtasidir z = f (x, y), bu funksiya 3-tartibga qadar uzluksiz qisman hosilalarga ega. Keyin belgilaymiz:

1) f(x,y) nuqtada bor M 0 maksimal bo'lsa AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) nuqtada bor M 0 minimal bo'lsa AC–B² > 0, A > 0;

3) kritik nuqtada ekstremum yo'q if AC–B² < 0;

4) agar AC–B² = 0, qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi.

Isbot.

Funktsiya uchun ikkinchi tartibli Teylor formulasini yozamiz f(x,y), statsionar nuqtada birinchi tartibli qisman hosilalar nolga teng ekanligini yodda tuting:

Qayerda Agar segment orasidagi burchak bo'lsa M 0 M, Qayerda M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ da) va O o'qi X ph ni, keyin D ni belgilang x =Δ ρ cos φ, Δ y = Drsinph. Bu holda Teylor formulasi quyidagi shaklni oladi: . Keling, Qavs ichidagi ifodani ga bo'lish va ko'paytirish mumkin A. Biz olamiz:

Keling, to'rttasini ko'rib chiqaylik mumkin bo'lgan holatlar:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и etarlicha kichik Dr da. Shuning uchun, ba'zi mahallalarda M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), ya'ni M 0- maksimal nuqta.

2) ruxsat bering AC–B² > 0, A > 0. Keyin , Va M 0- minimal ball.

3) ruxsat bering AC-B² < 0, A> 0. ph = 0 nur bo‘ylab argumentlar o‘sishini ko‘rib chiqaylik. Keyin (5.1) dan shunday xulosa chiqadi: , ya'ni bu nur bo'ylab harakatlanayotganda funktsiya kuchayadi. Agar shunday nur bo'ylab harakat qilsak, tg ph 0 = -A/B, Bu , shuning uchun, bu nur bo'ylab harakatlanayotganda, funktsiya kamayadi. Shunday qilib, davr M 0 ekstremum nuqta emas.

3`) Qachon AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

oldingisiga o'xshash.

3``) Agar AC–B² < 0, A= 0, keyin . Qayerda. Keyin etarlicha kichik ph uchun 2 ifodasi B cosph + C sinph 2 ga yaqin IN, ya'ni o'zgarmas belgini saqlaydi, lekin sinph nuqtaga yaqin joyda belgini o'zgartiradi M 0. Bu shuni anglatadiki, funktsiyaning o'sishi statsionar nuqtaga yaqin joyda belgini o'zgartiradi, shuning uchun bu ekstremum nuqta emas.

4) Agar AC–B² = 0, va , , ya'ni o'sish belgisi 2a 0 belgisi bilan aniqlanadi. Shu bilan birga, ekstremum mavjudligi haqidagi savolga aniqlik kiritish uchun keyingi tadqiqotlar zarur.

Misol. Funksiyaning ekstremum nuqtalarini topamiz z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Statsionar nuqtalarni topish uchun biz tizimni hal qilamiz . Demak, statsionar nuqta (-2,-1). Qayerda A = 2, IN = -2, BILAN= 4. Keyin AC–B² = 4 > 0, shuning uchun statsionar nuqtada ekstremumga erishiladi, ya'ni minimal (chunki A > 0).

Ta'rif 5.4. Agar funktsiya argument bo'lsa f (x 1 , x 2 ,…, x n) ulangan qo'shimcha shartlar sifatida m tenglamalar ( m< n) :

ph 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, ph 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, ph m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

bu yerda ph i funksiyalar uzluksiz qisman hosilalarga ega bo‘lsa, (5.2) tenglamalar deyiladi. ulanish tenglamalari.

Ta'rif 5.5. Funktsiyaning ekstremumi f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) shartlar bajarilsa, chaqiriladi shartli ekstremum.

Izoh. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstremumining quyidagi geometrik talqinini taklif qilishimiz mumkin: funksiya argumentlari bo‘lsin. f(x,y) ph tenglamasi bilan bog'liq (x,y)= 0, O tekisligida qandaydir egri chiziqni aniqlaydi xy. Ushbu egri chiziqning har bir nuqtasidan O tekislikka perpendikulyarlarni tiklash xy sirt bilan kesishmaguncha z = f (x, y), egri ph ustidagi sirtda yotgan fazoviy egri chiziqni olamiz (x,y)= 0. Vazifa hosil bo'lgan egri chiziqning ekstremum nuqtalarini topishdan iborat bo'lib, bu, albatta, umumiy holat funktsiyaning shartsiz ekstremum nuqtalari bilan mos kelmasin f(x,y).

Avval quyidagi ta'rifni kiritib, ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi uchun shartli ekstremum uchun zarur shartlarni aniqlaylik:

Ta'rif 5.6. Funktsiya L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + l 1 ph 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ l 2 ph 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+l m ph m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Qayerda i - ba'zilari doimiy, deyiladi Lagrange funktsiyasi, va raqamlar i– noaniq Lagranj ko'paytmalari.

5.3 teorema(shartli ekstremum uchun zarur shartlar). Funksiyaning shartli ekstremumi z = f (x, y) ulanish tenglamasi mavjud bo'lganda ph ( x, y)= 0 ga faqat Lagrange funktsiyasining statsionar nuqtalarida erishish mumkin L (x, y) = f (x, y) + lph (x, y).

Isbot. Ulanish tenglamasi yashirin munosabatni bildiradi da dan X, shuning uchun biz buni taxmin qilamiz da dan funksiya mavjud X: y = y (x). Keyin z dan murakkab funksiya mavjud X, va uning kritik nuqtalari shart bilan aniqlanadi: . (5.4) Ulanish tenglamasidan shunday kelib chiqadi . (5.5)

(5.5) tenglikni qandaydir l soniga ko'paytiramiz va uni (5.4) ga qo'shamiz. Biz olamiz:

, yoki .

Oxirgi tenglik statsionar nuqtalarda bajarilishi kerak, shundan kelib chiqadi:

(5.6)

Uchta noma'lum uchun uchta tenglamalar tizimi olinadi: x, y va l va birinchi ikkita tenglama Lagranj funksiyasining statsionar nuqtasi uchun shartlardir. Yordamchi noma'lum l ni (5.6) tizimdan chiqarib tashlab, biz boshlang'ich funktsiya shartli ekstremumga ega bo'lishi mumkin bo'lgan nuqtalarning koordinatalarini topamiz.

Izoh 1. Topilgan nuqtada shartli ekstremum mavjudligini Lagranj funksiyasining ikkinchi tartibli qisman hosilalarini 5.2 teoremaga o'xshashlik orqali o'rganish orqali tekshirish mumkin.

Izoh 2. Funktsiyaning shartli ekstremumiga erishish mumkin bo'lgan nuqtalar f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) shartlar bajarilganda, tizimning yechimlari sifatida belgilanishi mumkin (5.7)

Misol. Funksiyaning shartli ekstremumini topamiz z = xy shartiga ko'ra x + y= 1. Lagranj funksiyasini tuzamiz L(x, y) = xy + l (x + y -) 1). Tizim (5.6) quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda -2l=1, l=-0,5, x = y = -l = 0,5. Qayerda L(x,y) shaklida ifodalanishi mumkin L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, shuning uchun topilgan statsionar nuqtada L(x,y) maksimalga ega va z = xy - shartli maksimal.

z - /(x, y) funksiya qandaydir D sohada aniqlansin va Mo(xo, Vo) bu sohaning ichki nuqtasi bo'lsin. Ta'rif. Agar shunday son mavjud bo'lsa, barcha shartlar uchun tengsizlik to'g'ri bo'ladi, u holda Mo(xo, yo) nuqta /(x, y) funksiyaning lokal maksimal nuqtasi deyiladi; barcha Dx uchun bo'lsa, Du, shartlarini qondirish | u holda Mo(xo,yo) nuqta yupqa lokal minimum deyiladi. Boshqacha qilib aytganda, M0(x0, y0) nuqta f(x, y) funksiyaning maksimal yoki minimal nuqtasidir, agar A/o(x0, y0) nuqtaning 6 ta qo‘shnisi mavjud bo‘lsa, unda umuman qo'shnilikda buning M(x, y) nuqtalari, funktsiyaning o'sishi o'z belgisini saqlaydi. Misollar. 1. Funktsiya nuqtasi uchun - minimal nuqta (17-rasm). 2. Funksiya uchun 0(0,0) nuqta maksimal nuqtadir (18-rasm). 3. Funksiya uchun 0(0,0) nuqta mahalliy maksimal nuqtadir. 4 Darhaqiqat, 0(0, 0) nuqtaning qo'shnisi bor, masalan, j radiusli doira (19-rasmga qarang), uning istalgan nuqtasida 0(0,0) nuqtadan farqli o'laroq, /(x,y) funksiyaning qiymati 1 dan kichik = Ba'zi bir teshilgan 6-qo'shnisidan M(x) y) barcha nuqtalari uchun qat'iy tengsizlik yoki qat'iy tengsizlik qanoatlansa, biz faqat funksiyalarning qat'iy maksimal va minimal nuqtalarini ko'rib chiqamiz. nuqta Mq. Funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati maksimal, minimal nuqtadagi funksiyaning qiymati esa bu funksiyaning minimumi deyiladi. Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari funksiyaning ekstremum nuqtalari, funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari esa uning ekstremum nuqtalari deyiladi. 11-teorema (ekstremum uchun zaruriy shart). Agar funktsiya bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumi bo'lsa.Bir necha o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumi haqida tushuncha. Ekstremum uchun zaruriy va yetarli shartlar Shartli ekstremum Uzluksiz funksiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari nuqtada ekstremumga ega bo‘lib, bu nuqtada har bir qisman hosila u yo yo‘qoladi yoki mavjud bo‘lmaydi. M0(x0, yo) nuqtada z = f(x) y) funksiya ekstremumga ega bo'lsin. y o‘zgaruvchisiga yo qiymatini beraylik. U holda z = /(x, y) funksiya bitta o'zgaruvchining funksiyasi bo'ladi x\ X = xo da u ekstremumga ega bo'lgani uchun (maksimal yoki minimal, 20-rasm), keyin uning x = “o ga nisbatan hosilasi, | (*o,l>)" Nolga teng yoki mavjud emas. Shunga o'xshab ishonchimiz komilki) yo nolga teng yoki yo'q. = 0 va ch = 0 bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar kritik deyiladi. z = Dx, y funktsiya nuqtalari).$£ = ph = 0 bo'lgan nuqtalar funktsiyaning statsionar nuqtalari deb ham ataladi.11-teorema ekstremum uchun faqat zarur shartlarni ifodalaydi, ular yetarli emas.Misol: Funktsiya rasm. 18 da nolga aylanadigan 20-rasm immt hosilalari. Ammo bu funktsiya strumning imvatida nozikdir. Haqiqatan ham, funktsiya 0(0,0) nuqtada nolga teng va 0(0,0) nuqtaga o'zboshimchalik bilan yaqin bo'lgan M(x,y) nuqtalarida ijobiy va salbiy qiymatlarni oladi. Buning uchun, shuning uchun (0, y) nuqtalardagi nuqtalarda ixtiyoriy kichik uchun ko'rsatilgan turdagi 0(0,0) nuqta mini-maks nuqta deb ataladi (21-rasm). Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumining etarli shartlari quyidagi teorema bilan ifodalanadi. Teorema 12 (ikki o'zgaruvchida ekstremum uchun etarli shartlar). Mo(xo»Yo) nuqta f(x, y) funksiyaning statsionar nuqtasi bo‘lsin va / nuqtaning ba’zi qo‘shnilarida, Mo nuqtaning o‘zi bilan birga f(z, y) funksiya uzluksiz qisman hosilalarga ega bo‘lsin. ikkinchi tartibni o'z ichiga olgan holda. Keyin". Mo(xo, V0) nuqtada /(xo, y) funksiyasi ekstremumga ega bo'lmaydi, agar D(xo, yo) bo'lsa.< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) funksiyaning ekstremumi mavjud yoki bo'lmasligi mumkin. Bunday holda, qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi. m Teoremaning 1) va 2) mulohazalarini isbotlash bilan cheklanamiz. /(i, y) funksiyasi uchun ikkinchi tartibli Teylor formulasini yozamiz: bu yerda. Shartga ko'ra, D/ o'sish belgisi (1) ning o'ng tomonidagi uchlik belgisi, ya'ni d2f ikkinchi differentsial belgisi bilan aniqlanishi aniq. Qisqalik uchun uni belgilaymiz. U holda (l) tenglikni quyidagicha yozish mumkin: MQ(so, V0) nuqtada bizda bo'lsin... Shartga ko'ra f(s, y) funksiyaning ikkinchi tartibli qisman hosilalari uzluksiz bo'lganligi sababli, u holda (3) tengsizlik M0(s0,yo) nuqtaning ba'zi qo'shnilarida ham amal qiladi. Agar shart bajarilsa (A/0 nuqtada va uzluksizlik tufayli hosila /,z(s,y) Af0 nuqtaning qaysidir qo‘shnisida o‘z belgisini saqlab qoladi. A F 0 bo‘lgan mintaqada bizda Bundan ko'rinib turibdiki, agar M0(x0) y0 nuqtaning qaysidir qo'shnisida LS - V2 > 0 bo'lsa, u holda AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 trinomining ishorasi nuqtadagi A belgisiga to'g'ri keladi (demak). , V0) (shuningdek, C belgisi bilan, chunki AC uchun - B2 > 0 A va C turli belgilarga ega bo'lishi mumkin emas). Nuqtadagi (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 yig'indisining belgisi ayirma belgisini aniqlaganligi uchun quyidagi xulosaga kelamiz: agar /(s,y) funksiya uchun da statsionar nuqta (s0, V0) sharti, keyin yetarlicha kichik || uchun tengsizlik qondiriladi. Shunday qilib, (kv, V0) nuqtada /(s, y) funksiya maksimalga ega. Agar shart statsionar nuqtada (s0, y0) qanoatlansa, u holda hamma uchun yetarlicha kichik |Dr| va |Du| tengsizlik rost, demak (so,yo) nuqtada /(s, y) funksiya minimumga ega. Misollar. 1. Ekstremum uchun funktsiyani o'rganing 4 Ekstremum uchun zarur shartlardan foydalanib, biz funktsiyaning statsionar nuqtalarini qidiramiz. Buning uchun u qisman hosilalarni topamiz va ularni nolga tenglaymiz. Biz tenglamalar tizimini qaerdan - statsionar nuqtadan olamiz. Endi 12 teoremadan foydalanamiz. Bizda bu Ml nuqtada ekstremum mavjudligini bildiradi. Chunki bu minimal. Agar r funksiyasini shaklga aylantirsak, buni tushunish oson o'ng qism Bu funktsiyaning mutlaq minimumi bo'lganda (“) minimal bo'ladi. 2. Funksiyani ekstremum uchun tekshiring.Funksiyaning statsionar nuqtalarini topamiz, ular uchun tenglamalar sistemasini tuzamiz.Demak, nuqta statsionar bo’ladi. Chunki 12-teoremaga ko‘ra M nuqtada ekstremum yo‘q. * 3. Funksiyaning ekstremumini o‘rganing.Funksiyaning statsionar nuqtalarini toping. Tenglamalar tizimidan biz shuni olamiz, shuning uchun nuqta statsionardir. Keyin bizda 12-teorema ekstremumning mavjudligi yoki yo'qligi haqidagi savolga javob bermaydi. Keling, buni shunday qilaylik. Nuqtadan farqli bo'lgan barcha nuqtalar haqida funktsiya uchun ta'rifi bo'yicha va A/o(0,0) nuqtasi r funksiyasi mutlaq minimumga ega. Shunga o'xshash hisob-kitoblar orqali biz funktsiya nuqtada maksimalga ega ekanligini aniqlaymiz, lekin funktsiya nuqtada ekstremumga ega emas. n ta mustaqil o‘zgaruvchidan iborat funksiya nuqtada differentsiallanuvchi bo‘lsin.Mo nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi, agar teorema 13 bo‘lsa (ekstremum uchun yetarli shartlargacha). Funktsiya aniqlansin va nozik Mt(xi...) ning qandaydir qo'shnisida ikkinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin, agar kvadrat shaklda (f funktsiyaning ikkinchi differentsiali musbat bo'lsa) statsionar nozik funktsiya bo'lsin. aniq (salbiy aniq), f funktsiyaning minimal nuqtasi (mos ravishda, nozik maksimal) yaxshi Agar kvadrat shakl (4) ishorada almashinadigan bo'lsa, u holda jarima LG0da ekstremum yo'q.Kvadrat yoki yo'qligini aniqlash uchun (4) shakl musbat yoki manfiy aniq bo‘ladi, masalan, kvadrat shaklning musbat (salbiy) aniqligi uchun Silvestr mezonidan foydalanishingiz mumkin.15.2.Shartli ekstrema.Shu paytgacha biz funktsiyaning lokal ekstremasini qidirib kelganmiz. funktsiya argumentlari hech qanday qo'shimcha shartlar bilan bog'lanmagan bo'lsa, uning ta'rif sohasi bo'ylab.Bunday ekstremallar shartsiz deyiladi.Ammo shartli ekstremal deb ataladigan narsani topish muammolari tez-tez uchrab turadi.z = /(x, y funksiyasi bo'lsin. ) D sohasida aniqlansin. Faraz qilaylik, bu sohada L egri chiziq berilgan va f(x> y) funksiyaning ekstremasini uning nuqtalarga mos keladigan qiymatlari orasidan topishimiz kerak. L egri chizig'ining L. Xuddi shu ekstremallar L egri chizig'idagi z = f(x) y) funktsiyaning shartli ekstremallari deyiladi. Ta'rif L egri chizig'ida yotgan nuqtada f(x, y) funktsiyaga ega ekanligini aytadilar. shartli maksimal (minimum), agar tengsizlik barcha M (s, y) y) nuqtalarda qanoatlansa, M0(x0, V0) nuqtaning ba'zi bir qo'shnisiga tegishli bo'lgan va M0 nuqtadan farqli L egri chizig'i (Agar L egri chiziq bo'lsa). tenglama bilan berilgan bo‘lsa, u holda egri chiziqdagi r - f(x,y) funksiyaning shartli ekstremumini topish masalasi! quyidagicha ifodalanishi mumkin: D mintaqasida x = /(z, y) funksiyaning ekstremalini toping, bu shart bilan z = y funksiyaning shartli ekstremalini topishda yovvoyi hayvonlarning argumentlari endi bo'lishi mumkin emas. mustaqil o'zgaruvchilar sifatida qaraladi: ular bir-biriga bog'lanish tenglamasi deb ataladigan y ) = 0 munosabati bilan bog'lanadi. Shartsiz va shartli ekstremum o'rtasidagi farqni aniqlashtirish uchun funksiyaning shartsiz maksimali (23-rasm) birga teng bo'lgan va (0,0) nuqtada erishilgan misolni ko'rib chiqamiz. U pvvboloidning uchi M nuqtaga mos keladi y = j bog`lanish tenglamasini qo`shamiz. Shunda shartli maksimal unga teng bo'lishi aniq bo'ladi.U (o,|) nuqtada erishiladi va u to'pning y = j tekislik bilan kesishish chizig'i bo'lgan to'pning Afj cho'qqisiga mos keladi. Shartsiz mvximum bo'lsa, biz sirtning barcha vpplicvtlari orasida mvximum qo'llashga ega bo'lamiz * = 1 - l;2 ~ y1; summvv shartli - faqat vllikvt nuqtalari orasida pvraboloidv, xOy tekislik emas y = j to'g'ri chiziqning nuqtasi*ga mos keladi. Funksiyaning mavjudligi va bog‘lanishdagi shartli ekstremumini topish usullaridan biri quyidagicha. y) - O ulanish tenglamasi x argumentining yagona differentsiallanuvchi funksiyasi sifatida y ni aniqlang: Funktsiyaga y o'rniga funktsiyani qo'yish orqali biz ulanish sharti allaqachon hisobga olingan bitta argumentning funktsiyasini olamiz. Funksiyaning (shartsiz) ekstremumi kerakli shartli ekstremumdir. Misol. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremum sharti ostidagi funktsiyaning ekstremumini toping. Ekstremum uchun zarur va yetarli shartlar Shartli ekstremum A uzluksiz funksiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari (2") ulanish tenglamasidan y = 1-x ni topamiz. Ushbu y qiymatini (V) ga almashtirib, funktsiyani olamiz. bitta x argumenti: Uni ekstremum uchun tekshiramiz: bu erdan x = 1 kritik nuqta; , shuning uchun u r funksiyaning shartli minimumini beradi (24-rasm).Shartli muammoni hal qilishning boshqa usulini ko'rsatamiz. ekstremum, Lagranj ko'paytma usuli deb ataladi.Bog'lanish mavjud bo'lganda funksiyaning shartli ekstremum nuqtasi bo'lsin.Faraz qilaylik, bog'lanish tenglamasi xx nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida yagona uzluksiz differentsiallanuvchi funksiyani belgilaydi.Faraz qilaylik. xq nuqtadagi /(r, ip(x)) funksiyaning x ga nisbatan hosilasi nolga teng bo‘lishi yoki bunga ekvivalent bo‘lgan f(x, y) ning differensialiga teng bo‘lishi kerakligini olamiz. nuqta Mo" O) Bog'lanish tenglamasidan biz (5) Oxirgi tenglikni hali aniqlanmagan sonli A koeffitsientiga ko'paytirsak va (4) tenglikka ega bo'lgan sonni qo'shsak, biz shunday bo'lamiz (farz qilamiz). Keyin dx ning ixtiyoriyligi tufayli (6) va (7) tengliklarni funksiya nuqtasida shartsiz ekstremum uchun zarur shartlarni ifodalaymiz, bu esa Lagranj funksiyasi deb ataladi. Shunday qilib, /(x, y) funksiyaning shartli ekstremum nuqtasi, agar, albatta, Lagrange funktsiyasining statsionar nuqtasi bo'lsa, bu erda A ma'lum bir sonli koeffitsientdir. Bu erdan shartli ekstremallarni topish qoidasini olamiz: bog'lanish mavjud bo'lgan funksiyaning shartli ekstremum nuqtalari bo'lishi mumkin bo'lgan nuqtalarni topish uchun 1) Lagranj funktsiyasini tuzamiz, 2) buning hosilalarini tenglashtiramiz. funktsiyani nolga aylantirib, hosil bo'lgan tenglamalarga ulanish tenglamasini qo'shsak, biz uchta tenglamalar tizimini olamiz, ulardan A qiymatlarini va mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalarning x, y koordinatalarini topamiz. Shartli ekstremumning mavjudligi va tabiati to'g'risidagi masala, agar (8) dan olingan ko'rib chiqilayotgan x0, V0, A qiymatlar tizimi uchun Lagrange funktsiyasining ikkinchi differentsial belgisini o'rganish asosida hal qilinadi. , u holda (x0, V0) nuqtada /(x, y ) funksiya shartli maksimalga ega; agar d2F > 0 bo'lsa - u holda shartli minimum. Xususan, agar statsionar nuqtada (xo, J/o) F(x, y) funksiyaning D determinanti musbat bo‘lsa, (®o, V0) nuqtada f( funksiyaning shartli maksimali mavjud bo‘ladi. x, y), if va /(x, y) funksiyaning shartli minimumi, agar Misol. Oldingi misol shartlariga yana murojaat qilamiz: x + y = 1 bo'lish sharti bilan funksiyaning ekstremumini topamiz. Lagranj ko'paytma usuli yordamida masalani yechamiz. Lagrange funktsiyasi Ushbu holatda ko'rinishga ega statsionar nuqtalarni topish uchun sistema tuzamiz.Tizimning dastlabki ikki tenglamasidan x = y ni olamiz. Keyin tizimning uchinchi tenglamasidan (ulanish tenglamasi) biz x - y = j mumkin bo'lgan ekstremal nuqtaning koordinatalari ekanligini aniqlaymiz. Bu holda (A = -1 ekanligi ko'rsatilgan. Shunday qilib, Lagranj funksiyasi. * = x2 + y2 sharti bo'yicha funksiyaning shartli minimal nuqtasidir Lagrange funktsiyasi uchun shartsiz ekstremum yo'q. P(x, y). ) bog‘lanish ishtirokida /(x, y) funksiya uchun shartli ekstremum yo‘qligini hali anglatmaydi Misol: y 4 shartdagi funksiyaning ekstremumini topamiz Lagranj funksiyasini tuzamiz va sistemasini yozamiz. A va mumkin bo'lgan ekstremum nuqtalarning koordinatalarini aniqlash: Birinchi ikkita tenglamadan biz x + y = 0 ni olamiz va biz x = y = A = 0 bo'lgan tizimga kelamiz. Shunday qilib, mos keladigan Lagrange funktsiyasi nuqtada ko'rinishga ega. (0,0) funksiya F(x, y; 0) shartsiz ekstremumga ega emas, shu bilan birga r = xy funksiyaning shartli ekstremumi. y = x bo‘lganda “bo‘ladi. Darhaqiqat, bu holda r = x2.Bu yerdan (0,0) nuqtada shartli minimum borligi ko’rinib turibdi.“Lagranj ko’paytiruvchilar usuli har qanday argumentlar sonining funksiyalari holiga o’tkaziladi/ Funksiyaning ekstremumini qidiramiz. ulanish tenglamalari mavjud bo'lganda A|, Az,..., A„, noaniq doimiy ko'rsatkichlar bo'lgan Lagranj funksiyasini tuzing. F funksiyaning barcha birinchi tartibli qisman hosilalarini nolga tenglashtirib, hosil bo‘lgan tenglamalarga bog‘lanish tenglamalarini (9) qo‘shsak, n+m tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz, undan Ab A3|..., At va x koordinatalarini aniqlaymiz. \) x2). » shartli ekstremumning mumkin bo'lgan nuqtalarining xn. Lagranj usuli yordamida topilgan nuqtalar aslida shartli ekstremum nuqtalarimi yoki yo'qmi degan savol ko'pincha fizik yoki geometrik tabiatga oid mulohazalar asosida hal qilinishi mumkin. 15.3. Uzluksiz funksiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari Ba'zi yopiq cheklangan D sohasida uzluksiz z = /(x, y) funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini topish talab qilinsin. 3-teorema bo'yicha, bu sohada mavjud. funksiya eng katta (eng kichik) qiymat oladigan nuqta (xo, V0). Agar (xo, y0) nuqta D sohasi ichida joylashgan bo'lsa, u holda / funktsiyasi unda maksimal (minimal) ga ega, shuning uchun bu holda bizni qiziqtiradigan nuqta /(x,) funktsiyaning kritik nuqtalari orasida joylashgan. y). Biroq, /(x, y) funksiya mintaqa chegarasida eng katta (eng kichik) qiymatiga yetishi mumkin. Demak, z = /(x, y) funksiya tomonidan cheklangan qiymatda qabul qilingan eng katta (eng kichik) qiymatni topish uchun yopiq maydon 2), siz ushbu soha ichida erishilgan funksiyaning barcha maksimal (minimal) larini, shuningdek, ushbu soha chegarasida funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini topishingiz kerak. Bu barcha raqamlarning eng kattasi (eng kichigi) 27-hududdagi z = /(x,y) funksiyaning kerakli eng katta (eng kichik) qiymati bo'ladi. Keling, bu differensiallanuvchi funktsiya holatida qanday bajarilishini ko'rsatamiz. Prmmr. 4-hudud funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.D mintaqasi ichidan funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz. Buning uchun tenglamalar sistemasini tuzamiz.Bu yerdan x = y « 0 ni olamiz, shuning uchun 0 (0,0) nuqta x funksiyaning kritik nuqtasidir. Endi D mintaqasining G chegarasida funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz. Chegaraning bir qismida bizda y = 0 kritik nuqta, va = shundan beri bu nuqtada z funktsiyasi mavjud. = 1 + y2 minimal birga teng. G" segmentining uchlarida (, bizda mavjud. Simmetriya mulohazalaridan foydalanib, chegaraning boshqa qismlari uchun ham xuddi shunday natijalarga erishamiz. Nihoyat, olamiz: z = x2+y2 funksiyaning mintaqadagi eng kichik qiymati. "B nolga teng va u ichki nuqta 0 (0, 0) maydonlarida erishiladi va eng yuqori qiymat bu funksiyaning ikkiga teng bo‘lishi chegaraning to‘rt nuqtasida erishiladi (25-rasm) 25-rasm Mashqlar Funksiyalarning aniqlanish sohasini toping: Funksiyalarning darajali chiziqlarini tuzing: 9 Funksiyalarning sath sirtlarini toping. uchta mustaqil o'zgaruvchidan: Funksiyalarning chegaralarini hisoblang: Funktsiyalarning qisman hosilalarini va ularning to'liq farqlar : Murakkab funksiyalarning hosilalarini toping: 3 J. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumini toping. Ekstremum uchun zarur va yetarli shartlar Shartli ekstremum Uzluksiz funksiyalarning eng katta va eng kichik qiymatlari 34. Ikki o‘zgaruvchili kompleks funksiya hosilasi formulasidan foydalanib, toping va funksiyalar: 35. Kompleks hosila formulasidan foydalanib. ikki o‘zgaruvchining funksiyasini toping, |J va funksiyalarni toping: To‘g‘ridan-to‘g‘ri berilgan jj funksiyalarni toping: 40. Tangens egri chiziqning x = 3 to‘g‘ri chiziq bilan kesishgan nuqtasidagi burchak koeffitsientini toping. 41. Tangens bo‘lgan nuqtalarni toping. x egri chizig'i Ox o'qiga parallel. . Quyidagi masalalarda T ni toping: Tangens tekislik va sirtning normal tenglamalarini yozing: 49. X+ 4y tekislikka parallel x2 + 2y2 + 3z2 = 21 sirtning teginish tekisliklari tenglamalarini yozing. + 6z = 0. Teylor formulasi yordamida kengayishning dastlabki uch yoki to'rtta hadini toping : 50. y nuqtaga yaqin joyda (0, 0). Funksiyaning ekstremum taʼrifidan foydalanib, ekstremum uchun quyidagi funksiyalarni koʻrib chiqing:). Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumiga yetarli shartlardan foydalanib, funksiyaning ekstremumini ko‘rib chiqing: 84. Yopiq doira ichida z = x2 - y2 funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping 85. Eng katta va eng kichik qiymatlarni toping. x = 0, y = 0, x + y = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakda * = x2y(4-x-y) funktsiyasi. 88. Hajmi V ga teng bo‘lishi sharti bilan eng kichik yuzasi bo‘lgan to‘g‘ri burchakli ochiq hovuzning o‘lchamlarini aniqlang. Javoblar 1. va | X chiziq segmentlari bilan hosil qilingan kvadrat, uning tomonlarini o'z ichiga oladi. 3. Konsentrik halqalar turkumi 2= 0,1,2,... .4. To'g'ri chiziqlardagi nuqtalardan tashqari butun tekislik. y = -x parabola ustida joylashgan tekislikning bir qismi?. 8. Aylana nuqtalari x. To'g'ri chiziqlardan tashqari butun tekislik x Radikal ifoda ikki holatda manfiy emas j * ^ yoki j x ^ ^ mos ravishda cheksiz tengsizliklar qatoriga ekvivalentdir.Tanriflash sohasi soyali kvadratlardir (26-rasm); l cheksiz qatorga ekvivalent. Funktsiya nuqtalarda aniqlanadi. a) to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar x b) markazi koordinatali konsentrik doiralar. 10. a) parabola y) parabola y a) parabola b) giperbola | .Samolyotlar xc. 13.Prime - Oz o'qi atrofida aylanishning bir bo'shliqli giperboloidlari; Oz o'qi atrofida aylanishning ikki varaqli giperboloidlari va bo'lganda, sirtlarning ikkala oilasi konus bilan ajratiladi; Hech qanday chegara yo'q, b) 0. 18. y = kxt keyin z lim z = -2 ni o'rnatamiz, shuning uchun (0,0) nuqtada berilgan funktsiyaning chegarasi yo'q. 19. a) nuqta (0,0); b) nuqta (0,0). 20. a) uzilish chizig'i - aylana x2 + y2 = 1; b) uzilish chizig'i y = x to'g'ri chiziqdir. 21. a) Uzilish chiziqlari - Ox va Oy koordinata o'qlari; b) 0 (bo'sh to'plam). 22. Barcha nuqtalar (m, n), bu yerda va n butun sonlar