Bugun darsda biz topishni o'rganamiz shartli yoki, ular ham deyilganidek, nisbiy ekstremallar bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari va birinchi navbatda, biz shartli ekstremallar haqida gaplashamiz. ikkita funksiya Va uchta o'zgaruvchi, ular tematik muammolarning aksariyatida uchraydi.

Nimani bilishingiz va qila olishingiz kerak bu daqiqa? Ushbu maqola mavzuning "chetida" bo'lishiga qaramay, materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun ko'p narsa talab qilinmaydi. Bu vaqtda siz asosiy narsani bilishingiz kerak kosmik yuzalar, topa olish qisman hosilalari (hech bo'lmaganda o'rtacha darajada) va shafqatsiz mantiq aytganidek, tushunish shartsiz ekstremallar. Lekin siz bo'lsa ham past daraja tayyorgarlik, ketishga shoshilmang - barcha etishmayotgan bilim / ko'nikmalar haqiqatan ham "yo'lda" olinishi mumkin va hech qanday azob-uqubatlarsiz.

Birinchidan, keling, kontseptsiyaning o'zini tahlil qilaylik va shu bilan birga eng keng tarqalgan tez takrorlashni amalga oshiramiz yuzalar. Xo'sh, bu nima shartli ekstremal? ...Bu yerda mantiq ham shafqatsiz emas =) Funksiyaning shartli ekstremumi so‘zning odatiy ma’nosidagi ekstremum bo‘lib, ma’lum shart (yoki shartlar) bajarilganda erishiladi.

O'zboshimchalik bilan "qiyshiq" ni tasavvur qiling samolyot V Dekart tizimi. Yo'q ekstremum bu yerda undan asar ham yo'q. Ammo bu hozircha. Keling, ko'rib chiqaylik elliptik silindr, soddaligi uchun - o'qga parallel bo'lgan cheksiz dumaloq "quvur". Shubhasiz, bu "quvur" bizning samolyotimizdan "kesib" ketadi ellips, buning natijasida uning yuqori nuqtasida maksimal, pastki nuqtasida esa minimal bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, tekislikni belgilaydigan funktsiya ekstremal darajaga etadi shartiga ko'ra berilgan aylana silindr bilan kesib o'tganligi. Aynan "ta'minlangan"! Ushbu tekislikni kesib o'tuvchi boshqa elliptik silindr deyarli har xil minimal va maksimal qiymatlarni hosil qiladi.

Agar bu juda aniq bo'lmasa, vaziyatni real tarzda simulyatsiya qilish mumkin (garchi ichida teskari tartib) : bolta oling, tashqariga chiqing va kesib tashlang ... yo'q, Greenpeace sizni keyinroq kechirmaydi - drenaj trubasini maydalagich bilan kesish yaxshidir =). Shartli minimal va shartli maksimal qaysi balandlikda va nima ostida bo'lishiga bog'liq bo'ladi (gorizontal bo'lmagan) kesish burchak ostida amalga oshiriladi.

Hisob-kitoblarni matematik kiyimda kiyinish vaqti keldi. Keling, ko'rib chiqaylik elliptik paraboloid, bor mutlaq minimal nuqtada. Endi ekstremumni topamiz shartiga ko'ra. Bu samolyot o'qiga parallel, ya'ni paraboloiddan "kesadi" parabola. Ushbu parabolaning yuqori qismi shartli minimal bo'ladi. Bundan tashqari, samolyot koordinatalarning kelib chiqishidan o'tmaydi, shuning uchun nuqta ahamiyatsiz bo'lib qoladi. Rasm bermadingizmi? Keling, darhol havolalarni kuzatib boramiz! Buning uchun ko'p marta kerak bo'ladi.

Savol: bu shartli ekstremumni qanday topish mumkin? Eng oddiy yo'l yechim tenglamadan (bu - deb ataladi) holat yoki ulanish tenglamasi) ifodalang, masalan: – va uni funktsiyaga almashtiring:

Natijada parabolani aniqlaydigan bitta o'zgaruvchining funktsiyasi paydo bo'ladi, uning tepasi sizning ko'zingiz yopiq holda "hisoblanadi". Keling, topamiz tanqidiy nuqtalar:

- tanqidiy nuqta.

Foydalanish uchun keyingi eng oson narsa ekstremum uchun ikkinchi etarli shart:

Xususan: bu funksiya nuqtada minimal darajaga yetganini bildiradi. Uni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash mumkin: , lekin biz ko'proq akademik yo'nalishni olamiz. Keling, "o'yin" koordinatasini topamiz:
,

shartli minimal nuqtani yozing, u haqiqatan ham tekislikda ekanligiga ishonch hosil qiling (ulanish tenglamasini qanoatlantiradi):

va funktsiyaning shartli minimumini hisoblang:
shartiga ko'ra ("qo'shimcha" kerak !!!).

Ko'rib chiqilgan usul, shubhasiz, amalda qo'llanilishi mumkin, ammo u bir qator kamchiliklarga ega. Birinchidan, masalaning geometriyasi har doim ham aniq emas, ikkinchidan, ulanish tenglamasidan "x" yoki "y" ni ifodalash ko'pincha foydasizdir. (agar umuman biror narsani ifodalash mumkin bo'lsa). Va endi biz shartli ekstremalarni topishning universal usulini ko'rib chiqamiz Lagrange multiplikator usuli:

1-misol

Argumentlarga ulanishning belgilangan tenglamasi bilan funksiyaning shartli ekstremalini toping.

Siz yuzalarni taniysizmi? ;-) ...Baxtli yuzlaringizni ko'rganimdan xursandman =)

Aytgancha, ushbu muammoni shakllantirishdan shart nima uchun chaqirilganligi aniq bo'ladi ulanish tenglamasi- funksiya argumentlari ulangan qo'shimcha shart, ya'ni topilgan ekstremum nuqtalar, albatta, aylana silindrga tegishli bo'lishi kerak.

Yechim: birinchi bosqichda ulanish tenglamasini shaklda taqdim etishingiz va tuzishingiz kerak Lagrange funktsiyasi:
, bu erda Lagrange multiplikatori deb ataladi.

Bizning holatda va:

Shartli ekstremalarni topish algoritmi "oddiy" ni topish sxemasiga juda o'xshaydi. ekstremal. Keling, topamiz qisman hosilalari Lagrange funktsiyalari, "lambda" esa doimiy sifatida ko'rib chiqilishi kerak:

Keling, tuzamiz va hal qilamiz quyidagi tizim:

Chiqish standart sifatida ochiladi:
birinchi tenglamadan ifodalaymiz ;
ikkinchi tenglamadan ifodalaymiz .

Keling, tenglamadagi bog'lanishlarni almashtiramiz va soddalashtirishni amalga oshiramiz:

Natijada biz ikkita statsionar nuqtani olamiz. Agar bo'lsa, unda:

agar bo'lsa, unda:

Ikkala nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantirishini ko'rish oson . Vijdonli odamlar ham to'liq tekshirishni amalga oshirishlari mumkin: buning uchun siz almashtirishingiz kerak tizimning birinchi va ikkinchi tenglamalariga kiriting va keyin to'plam bilan xuddi shunday qiling . Hamma narsa "birlashishi" kerak.

Keling, bajarilishini tekshiramiz etarli shart topilgan statsionar nuqtalar uchun ekstremum. Men ushbu muammoni hal qilishning uchta yondashuvini muhokama qilaman:

1) Birinchi usul - geometrik asoslash.

Keling, statsionar nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblaymiz:

Keyinchalik, taxminan quyidagi mazmunga ega bo'lgan iborani yozamiz: tekislikning dumaloq tsilindr bilan kesilgan qismi ellips bo'lib, uning yuqori cho'qqisida maksimalga erishiladi va pastki cho'qqisida minimal. Shunday qilib, kattaroq qiymat shartli maksimal, kichikroq qiymat esa shartli minimumdir.

Iloji bo'lsa, bu usuldan foydalanish yaxshiroqdir - bu oddiy va bu qaror o'qituvchilar tomonidan hisoblanadi (katta afzallik shundaki, siz tushunishni ko'rsatdingiz geometrik ma'no vazifalar). Biroq, yuqorida aytib o'tilganidek, nima bilan va qayerda kesishishi har doim ham aniq emas, keyin analitik tekshirish yordamga keladi:

2) Ikkinchi usul ikkinchi tartibli differensial belgilardan foydalanishga asoslangan. Agar statsionar nuqtada funktsiya maksimal darajaga etadi, agar shunday bo'lsa, u minimal darajaga etadi.

Keling, topamiz ikkinchi tartibli qisman hosilalar:

va bu farqni yarating:

Qachon, bu funksiya nuqtada maksimal darajaga yetganini bildiradi;
da, bu funksiya nuqtada minimal darajaga yetganini bildiradi .

Ko'rib chiqilgan usul juda yaxshi, ammo kamchiliklari borki, ba'zi hollarda 2-differensialning belgisini aniqlash deyarli mumkin emas. (odatda bu va/yoki turli belgilar bo'lsa sodir bo'ladi). Va keyin "og'ir artilleriya" yordamga keladi:

3) Ulanish tenglamasini “X” va “Y” bilan farqlaymiz:

va quyidagilarni tuzing simmetrik matritsa:

Agar statsionar nuqtada bo'lsa, u holda funktsiya u erga etib boradi ( diqqat!) minimal, agar – maksimal.

Qiymat va mos nuqta uchun matritsani yozamiz:

Keling, hisoblab chiqamiz aniqlovchi:
, shunday qilib, funksiya nuqtada maksimalga ega.

Xuddi shunday qiymat va nuqta uchun:

Shunday qilib, funktsiya nuqtada minimalga ega.

Javob: shartiga ko'ra :

Materialni to'liq tahlil qilgandan so'ng, men sizga bir juftlikni taklif qilolmayman tipik vazifalar o'z-o'zini tekshirish uchun:

2-misol

Agar funksiyaning argumentlari tenglama bilan bog‘langan bo‘lsa, uning shartli ekstremumini toping

3-misol

Shart berilgan funksiyaning ekstremal qismini toping

Va yana, men topshiriqlarning geometrik mohiyatini tushunishni qat'iy tavsiya qilaman, ayniqsa oxirgi misolda, etarli shartni analitik tekshirish sovg'a emas. Nimani eslang 2-tartib qator tenglamani o'rnatadi va nima sirt bu chiziq kosmosda hosil bo'ladi. Tsilindr tekislikni qaysi egri chiziq bo'ylab kesib o'tishini tahlil qiling va bu egri chiziqning qayerida minimal va qayerda maksimal bo'ladi.

Dars oxiridagi yechimlar va javoblar.

Ko'rib chiqilayotgan muammo topiladi keng qo'llanilishi turli sohalarda, xususan - geometriyada uzoqqa bormaymiz. Keling, yarim litrli shisha haqida hammaning sevimli muammosini hal qilaylik (Maqolaning 7-misoliga qarangEkstremal qiyinchiliklar ) ikkinchi yo'l:

4-misol

Silindrsimon bankaning o'lchamlari qanday bo'lishi kerak, shuning uchun qutining hajmi teng bo'lsa, quti yasash uchun eng kam material sarflanishi kerak.

Yechim: o'zgaruvchan baza radiusini, o'zgaruvchan balandlikni ko'rib chiqing va qutining umumiy yuzasi maydonining funktsiyasini tuzing:
(ikkita qopqoqning maydoni + yon sirt maydoni)

• Oʻquv qoʻllanma

Hamma Xayrli kun. Ushbu maqolada men ulardan birini ko'rsatmoqchiman grafik usullar qurilish matematik modellar deb ataladigan dinamik tizimlar uchun bog'lanish grafigi("bog'" - ulanishlar, "grafik" - grafik). Rus adabiyotida men bu usulning tavsiflarini faqat Tomskiyning darsligida topdim Politexnika universiteti, A.V. Voronin "MEHATRONIK TIZIMLARNI MODELLASH" 2008 Shuningdek, ko'rsating klassik usul 2-turdagi Lagranj tenglamasi orqali.

Lagrange usuli

Men nazariyani tasvirlamayman, men bir nechta sharhlar bilan hisob-kitoblarning bosqichlarini ko'rsataman. Shaxsan men uchun nazariyani 10 marta o'qishdan ko'ra misollardan o'rganish osonroq. Menimcha, rus adabiyotida bu usulning tushuntirishlari va umuman matematika yoki fizika juda boy. murakkab formulalar, shunga mos ravishda jiddiy matematik bilim talab qiladi. Lagranj usulini o‘rganar ekanman (Italiyaning Turin politexnika universitetida o‘qiyman) hisoblash usullarini solishtirish uchun rus adabiyotini o‘rgandim va bu usulni yechish jarayonini kuzatish men uchun qiyin bo‘ldi. Hatto Xarkov aviatsiya institutida modellashtirish kurslarini eslab, bunday usullarni olish juda mashaqqatli edi va hech kim bu masalani tushunishga harakat qilmadi. Men Lagranj bo'yicha matematik modellarni qurish bo'yicha qo'llanmani yozishga qaror qildim, chunki bu unchalik qiyin emas, vaqt va qisman hosilalarga nisbatan hosilalarni qanday hisoblashni bilish kifoya. Keyinchalik murakkab modellar uchun aylanish matritsalari ham qo'shiladi, ammo ularda ham murakkab narsa yo'q.

Modellashtirish usullarining xususiyatlari:

• Nyuton-Eyler: dinamik muvozanatga asoslangan vektor tenglamalar kuch Va daqiqalar
• Lagrange: kinetik va potentsial bilan bog'liq holat funktsiyalariga asoslangan skalyar tenglamalar energiyalar
• Obligatsiyalar soni: oqimga asoslangan usul kuch tizim elementlari o'rtasida

dan boshlaylik oddiy misol. Bahor va damper bilan massa. Biz tortishish kuchini e'tiborsiz qoldiramiz.

1-rasm. Bahor va damper bilan massa

Avvalo, biz quyidagilarni belgilaymiz:

• boshlang'ich tizimi koordinatalar(NSK) yoki sobit sk R0(i0,j0,k0). Qayerda? Barmog'ingizni osmonga yo'naltirishingiz mumkin, ammo miyadagi neyronlarning uchlarini silkitib, M1 tanasining harakat chizig'iga NSCni joylashtirish g'oyasi o'tadi.
• massasi bo'lgan har bir jism uchun koordinata tizimlari(bizda M1 bor R1(i1,j1,k1)), yo'nalish o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin, lekin nima uchun hayotingizni murakkablashtirasiz, uni NSCdan minimal farq bilan o'rnating.
• umumlashtirilgan koordinatalar q_i(harakatni tasvirlay oladigan o'zgaruvchilarning minimal soni), bu misolda bitta umumlashtirilgan koordinata mavjud, faqat j o'qi bo'ylab harakat.

2-rasm. Biz koordinata tizimlari va umumlashtirilgan koordinatalarni qo'yamiz

3-rasm. Tananing joylashishi va tezligi M1

Keyin formulalar yordamida amortizatorning kinetik (C) va potentsial (P) energiyalarini va dissipativ funktsiyasini (D) topamiz:

4-rasm. To'liq formula kinetik energiya

Bizning misolimizda aylanish yo'q, ikkinchi komponent 0 ga teng.

5-rasm. Kinetik, potensial energiya va dissipativ funksiyani hisoblash

Lagranj tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

6-rasm. Lagranj tenglamasi va Lagranj

Delta W_i Bu amaliy kuchlar va momentlar tomonidan bajariladigan virtual ish. Keling, uni topamiz:

7-rasm. Virtual ishni hisoblash

Qayerda delta q_1 virtual harakat.

Biz hamma narsani Lagrange tenglamasiga almashtiramiz:

8-rasm. Olingan ommaviy model bahor va damper bilan

Lagranj usuli shu bilan tugadi. Ko'rib turganingizdek, bu unchalik murakkab emas, lekin bu hali ham juda oddiy misol, buning uchun Nyuton-Eyler usuli oddiyroq bo'lishi mumkin. Turli burchaklarda bir-biriga nisbatan aylantirilgan bir nechta jismlar bo'ladigan murakkabroq tizimlar uchun Lagrange usuli osonroq bo'ladi.

Bog'lanish grafigi usuli

Men sizga modelning massa, prujinali va damperli misol uchun bog'lanish grafigida qanday ko'rinishini darhol ko'rsataman:

9-rasm. Prujinali va damperli bog'lanish-grafik massalar

Bu erda siz bir oz nazariyani aytib berishingiz kerak bo'ladi, bu qurish uchun etarli bo'ladi oddiy modellar. Agar kimdir qiziqsa, kitobni o'qishingiz mumkin ( Obligatsiyalar grafik metodologiyasi) yoki ( Voronin A.V. Mexatronik tizimlarni modellashtirish: Qo'llanma. - Tomsk: Tomsk politexnika universiteti nashriyoti, 2008 yil).

Keling, avvalo shuni aniqlaylik murakkab tizimlar bir nechta domenlardan iborat. Masalan, elektr motor elektr va mexanik qismlardan yoki domenlardan iborat.

bog'lanish grafigi ushbu domenlar, quyi tizimlar o'rtasidagi quvvat almashinuviga asoslangan. E'tibor bering, har qanday shakldagi quvvat almashinuvi har doim ikkita o'zgaruvchi bilan belgilanadi ( o'zgaruvchan quvvat) yordamida biz dinamik tizim ichidagi turli quyi tizimlarning o'zaro ta'sirini o'rganishimiz mumkin (jadvalga qarang).

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, hokimiyatning ifodasi hamma joyda deyarli bir xil. Qisqa bayoni; yakunida, Quvvat- Bu ish" oqim - f"yoq" harakat - e».

Bir harakat(inglizcha) harakat) elektr sohasida bu kuchlanish (e), mexanik sohada - kuch (F) yoki moment (T), gidravlikada - bosim (p).

Oqim(inglizcha) oqim) elektr sohasida u tok (i), mexanik sohada tezlik (v) yoki burchak tezligi(omega), gidravlikada - suyuqlik oqimi yoki oqim tezligi (Q).

Ushbu belgilarni olib, biz kuchning ifodasini olamiz:

10-rasm. Quvvat o'zgaruvchilari orqali quvvat formulasi

Bog'lanish-grafik tilida quvvat almashadigan ikkita quyi tizim o'rtasidagi aloqa bog'lanish bilan ifodalanadi. rishta). Shuning uchun bu usul deyiladi bog'lanish grafigi yoki g raf-bog'lanishlar, bog'langan grafik. Keling, ko'rib chiqaylik blok diagrammasi elektr motorli modeldagi ulanishlar (bu hali bog'lanish grafigi emas):

11-rasm. Domenlar orasidagi quvvat oqimining blok diagrammasi

Agar bizda kuchlanish manbai bo'lsa, unda shunga mos ravishda u kuchlanish hosil qiladi va uni o'rash uchun dvigatelga o'tkazadi (shuning uchun o'q dvigatel tomon yo'naltiriladi), o'rashning qarshiligiga qarab, Ohm qonuniga muvofiq oqim paydo bo'ladi (yo'naltirilgan). dvigateldan manbagacha). Shunga ko'ra, bitta o'zgaruvchi quyi tizimga kirish, ikkinchisi esa bo'lishi kerak Chiqish quyi tizimdan. Bu erda kuchlanish ( harakat) – kirish, joriy ( oqim) - Chiqish.

Agar joriy manbadan foydalansangiz, diagramma qanday o'zgaradi? To'g'ri. Oqim dvigatelga, kuchlanish esa manbaga yo'naltiriladi. Keyin joriy ( oqim) – kirish, kuchlanish ( harakat) - Chiqish.

Keling, mexanikada bir misolni ko'rib chiqaylik. Massaga ta'sir qiluvchi kuch.

12-rasm. Massaga qo'llaniladigan kuch

Blok diagrammasi quyidagicha bo'ladi:

13-rasm. Blok diagrammasi

Ushbu misolda, Kuch ( harakat) – massa uchun kiritiladigan o‘zgaruvchi. (Masaga qo'llaniladigan kuch)
Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra:

Massa tezlik bilan javob beradi:

Ushbu misolda, agar bitta o'zgaruvchi ( kuch - harakat) hisoblanadi Kirish mexanik domenga, keyin boshqa quvvat o'zgaruvchisiga ( tezlik - oqim) - avtomatik ravishda bo'ladi Chiqish.

Kirish qayerda va chiqish qaerda ekanligini farqlash uchun elementlar orasidagi strelka (ulanish) oxirida vertikal chiziq ishlatiladi, bu chiziq deyiladi. sababiy bog'liqlik belgisi yoki sabab-oqibat (nedensellik). Ma'lum bo'lishicha: qo'llaniladigan kuch sabab, tezlik esa ta'sir. Ushbu belgi tizim modelini to'g'ri qurish uchun juda muhimdir, chunki sabab-oqibat natijadir jismoniy xulq-atvor va ikkita quyi tizimning vakolatlari almashinuvi, shuning uchun sabab belgisining joylashishini tanlash o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin emas.

14-rasm. Sabab-oqibat belgisi

Ushbu vertikal chiziq qaysi quyi tizim kuchni qabul qilishini ko'rsatadi ( harakat) va natijada oqim hosil qiladi ( oqim). Massa bilan misolda shunday bo'ladi:

14-rasm. Massaga ta'sir etuvchi kuch uchun sabab-oqibat munosabatlari

O'qdan aniq ko'rinib turibdiki, massa uchun kirish - kuch, va chiqish tezlik. Bu diagrammani o'qlar bilan chalkashtirmaslik va modelni qurishni tizimlashtirish uchun amalga oshiriladi.

Keyingisi muhim nuqta. Umumiy impuls(harakat miqdori) va harakatlanuvchi(energiya o'zgaruvchilari).

Turli sohalarda quvvat va energiya o'zgaruvchilari jadvali

Yuqoridagi jadval bog'lanish-grafik usulida qo'llaniladigan ikkita qo'shimcha fizik miqdorni taqdim etadi. Ular chaqiriladi umumiy impuls (R) Va umumiy harakat (q) yoki energiya o'zgaruvchilari va ularni vaqt o'tishi bilan quvvat o'zgaruvchilari integratsiyasi orqali olish mumkin:

15-rasm. Quvvat va energiya o'zgaruvchilari o'rtasidagi bog'liqlik

Elektr sohasida :

Faraday qonuniga asoslanib, Kuchlanishi o'tkazgichning uchlarida bu o'tkazgich orqali magnit oqimning lotinga teng.

A Hozirgi kuch - jismoniy miqdor, ba'zi vaqt t orqali o'tadigan zaryad miqdori Q nisbatiga teng ko'ndalang kesim dirijyor, ushbu davr qiymatiga.

Mexanik domen:

Nyutonning 2-qonunidan, Kuch– impulsning vaqt hosilasi

Va shunga mos ravishda, tezlik- siljishning vaqt hosilasi:

Keling, xulosa qilaylik:

Asosiy elementlar

Dinamik tizimlardagi barcha elementlarni ikki kutupli va to'rt kutupli komponentlarga bo'lish mumkin.
Keling, ko'rib chiqaylik bipolyar komponentlar:

Manbalar
Ham harakat, ham oqim manbalari mavjud. Elektr sohasida o'xshashlik: harakat manbai – kuchlanish manbai, oqim manbai – joriy manba. Manbalar uchun sabab belgilari faqat shunday bo'lishi kerak.

16-rasm. Sabab-oqibat bog'lanishlari va manbalarning belgilanishi

R komponenti - tarqatuvchi element

I komponent - inertial element

Komponent C - sig'im elementi

Raqamlardan ko'rinib turibdiki, bir xil elementlarning turli xillari R, C, I turi bir xil tenglamalar bilan tavsiflanadi. FAQAT elektr sig'imi uchun farq bor, faqat uni eslab qolish kerak!

To'rt kutupli komponentlar:

Keling, ikkita komponentni ko'rib chiqaylik: transformator va gyrator.

Bog'lanish-grafik usulidagi oxirgi muhim komponentlar ulanishlardir. Ikki turdagi tugunlar mavjud:

Bu komponentlar bilan.

Bog'lanish grafigini tuzgandan so'ng sabab-oqibat munosabatlarini o'rnatishning asosiy bosqichlari:

1. Hammaga sababiy bog'lanishlarni bering manbalar
2. Barcha tugunlardan o'ting va 1-banddan keyin sabab-oqibat munosabatlarini qo'ying
3. Uchun komponentlar I kirish sabab-oqibat munosabatlarini belgilash (harakat ushbu komponentga kiritilgan), uchun komponentlar C chiqish sababini belgilash (harakat ushbu komponentdan kelib chiqadi)
4. 2-bandni takrorlang
5. uchun sabab bog‘lanishlarni qo‘ying R komponentlari

Bu nazariya bo'yicha mini-kursni yakunlaydi. Endi bizda modellarni yaratish uchun kerak bo'lgan hamma narsa bor.
Keling, bir nechta misollarni hal qilaylik. Elektr zanjiridan boshlaylik, bog'lanish grafigini qurish o'xshashligini tushunish yaxshiroqdir.

1-misol

Keling, kuchlanish manbai bilan bog'lanish grafigini qurishni boshlaylik. Faqat Se yozing va o'qni qo'ying.

Qarang, hamma narsa oddiy! Keling, yana ko'rib chiqaylik, R va L ketma-ket ulangan, ya'ni ulardagi bir xil oqim oqimlari, agar kuch o'zgaruvchilari haqida gapiradigan bo'lsak - bir xil oqim. Qaysi tugun bir xil oqimga ega? To'g'ri javob 1-tugun. Biz manba, qarshilik (komponent - R) va indüktans (komponent - I) ni 1-tugunga ulaymiz.

Keyinchalik, biz parallel ravishda sig'im va qarshilikka egamiz, ya'ni ular bir xil kuchlanish yoki kuchga ega. 0-tugun boshqa hech kimga o'xshamaydi. Biz sig'imni (komponent C) va qarshilikni (komponent R) 0-tugunga bog'laymiz.

Shuningdek, biz 1 va 0 tugunlarini bir-biriga bog'laymiz. O'qlarning yo'nalishi o'zboshimchalik bilan tanlanadi, ulanish yo'nalishi faqat tenglamalardagi belgiga ta'sir qiladi.

Siz quyidagi ulanish grafigini olasiz:

Endi biz sabab-oqibat munosabatlarini o'rnatishimiz kerak. Ularni joylashtirish ketma-ketligi bo'yicha ko'rsatmalarga rioya qilib, manbadan boshlaylik.

1. Bizda kuchlanish (harakat) manbasi bor, bunday manba sabab sababning faqat bitta variantiga ega - chiqish. Keling, uni qo'yamiz.
2. Keyin I komponent bor, keling, ular nimani tavsiya qilishlarini ko'rib chiqaylik. qo'yamiz
3. Biz uni 1-tugun uchun qo'yamiz. Yemoq
4. 0-tugunda bitta kirish va barcha chiqish sabablari bo'lishi kerak. Hozircha bizda bir kun dam bor. Biz C yoki I komponentlarini qidiramiz. Biz uni topdik. qo'yamiz
5. Keling, qolganlarini sanab o'tamiz

Ana xolos. Obligatsiyalar grafigi tuzilgan. Huray, oʻrtoqlar!

Qolgan narsa bizning tizimimizni tavsiflovchi tenglamalarni yozishdir. Buning uchun 3 ta ustunli jadval tuzing. Birinchisi tizimning barcha komponentlarini, ikkinchisida har bir element uchun kirish o'zgaruvchisini, uchinchisi esa bir xil komponent uchun chiqish o'zgaruvchisini o'z ichiga oladi. Biz allaqachon sabab-oqibat munosabatlari bilan kirish va chiqishni aniqladik. Shunday qilib, hech qanday muammo bo'lmasligi kerak.

Keling, darajalarni yozib olish qulayligi uchun har bir ulanishni raqamlaymiz. Har bir element uchun tenglamalarni C, R, I komponentlar ro'yxatidan olamiz.

Jadvalni tuzib, biz holat o'zgaruvchilarini aniqlaymiz, bu misolda ulardan ikkitasi bor, p3 va q5. Keyin holat tenglamalarini yozishingiz kerak:

Mana, model tayyor.

2-misol. Surat sifati uchun darhol uzr so'rayman, asosiysi o'qishingiz mumkin

Keling, Lagrange usuli yordamida yechgan mexanik tizim uchun yana bir misolni yechaylik. Men izohsiz yechimni ko'rsataman. Keling, ushbu usullardan qaysi biri sodda va osonroq ekanligini tekshirib ko'raylik.

Matbalada bir xil parametrlarga ega bo'lgan ikkala matematik model ham tuzilgan bo'lib, ular Lagranj usuli va bog'lanish grafigi bilan olingan. Natija quyida: teglar qo'shing

Birinchidan, ikkita o'zgaruvchili funktsiya holatini ko'rib chiqaylik. $M_0(x_0;y_0)$ nuqtadagi $z=f(x,y)$ funksiyaning shartli ekstremumiga $x$ va $y$ oʻzgaruvchilari $M_0(x_0;y_0)$ nuqtada erishilganda erishiladi. bu nuqtaga yaqinlik $\ varphi (x,y)=0$ ulanish tenglamasini qanoatlantiradi.

"Shartli" ekstremum nomi o'zgaruvchilarning bo'ysunishi bilan bog'liq qo'shimcha shart$\varphi(x,y)=0$. Agar bir o'zgaruvchini bog'lanish tenglamasidan boshqasi orqali ifodalash mumkin bo'lsa, u holda shartli ekstremumni aniqlash masalasi bitta o'zgaruvchining funksiyasining odatiy ekstremumini aniqlash masalasiga tushiriladi. Masalan, agar ulanish tenglamasi $y=\psi(x)$ ni nazarda tutsa, $y=\psi(x)$ ni $z=f(x,y)$ ga almashtirsak, bitta $z oʻzgaruvchisi funksiyasini olamiz. =f\chap (x,\psi(x)\o'ng)$. IN umumiy holat Biroq, bu usul kam qo'llaniladi, shuning uchun yangi algoritmni joriy etish talab etiladi.

Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari uchun Lagrange multiplikator usuli.

Lagranj multiplikatori usuli shartli ekstremumni topish uchun Lagrange funksiyasini qurishdan iborat: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ parametri deyiladi). Lagrange multiplikatori). Ekstremum uchun zarur shartlar statsionar nuqtalar aniqlanadigan tenglamalar tizimi bilan belgilanadi:

$$ \left \( \begin(hizalangan) & \frac(\qisman F)(\qisman x)=0;\\ & \frac(\qisman F)(\qisman y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(hizalangan) \o'ng. $$

Ekstremumning tabiatini aniqlash uchun yetarli shart $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) belgisidir. ^("" )dy^2$. Agar statsionar nuqtada $d^2F > 0$ boʻlsa, $z=f(x,y)$ funksiyasi shu nuqtada shartli minimumga ega, lekin $d^2F boʻlsa.< 0$, то условный максимум.

Ekstremumning tabiatini aniqlashning yana bir usuli bor. Ulanish tenglamasidan biz quyidagilarni olamiz: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, shuning uchun har qanday statsionar nuqtada bizda:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\o'ng)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \o'ng)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \o'ng)$$

Ikkinchi omil (qavslar ichida joylashgan) ushbu shaklda ifodalanishi mumkin:

$\left| determinantining elementlari qizil rang bilan ajratilgan. \begin(massiv) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (massiv)\right|$, bu Lagranj funksiyasining Hessianidir. Agar $H > 0$ boʻlsa, $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, ya'ni. $z=f(x,y)$ funksiyaning shartli minimumiga egamiz.

$H$ determinantining yozuviga oid eslatma. ko'rsatish\yashirish

$$ H=-\left|\begin(massiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(massiv) \o'ng| $$

Bunday holda, yuqorida tuzilgan qoida quyidagicha o'zgaradi: agar $H > 0$ bo'lsa, funktsiya shartli minimumga ega va agar $H bo'lsa.< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Shartli ekstremum uchun ikkita o'zgaruvchili funktsiyani o'rganish algoritmi

1. Lagrange funksiyasini tuzing $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Tizimni yeching $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\qisman F)(\qisman x)=0;\\ & \frac(\qisman F)(\qisman y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(hizalangan) \o'ng.$
3. Oldingi xatboshida topilgan har bir statsionar nuqtada ekstremumning tabiatini aniqlang. Buning uchun quyidagi usullardan birini qo'llang:
   • $H$ ning determinantini tuzing va ishorasini toping
   • Ulanish tenglamasini hisobga olib, $d^2F$ belgisini hisoblang

n ta o'zgaruvchining funksiyalari uchun Lagrange ko'paytma usuli

Aytaylik, bizda $n$ oʻzgaruvchilar funksiyasi $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ va $m$ bogʻlanish tenglamalari ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Lagrange ko'paytirgichlarini $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ sifatida belgilab, biz Lagrange funksiyasini tuzamiz:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Shartli ekstremumning mavjudligi uchun zarur shart-sharoitlar tenglamalar tizimi bilan beriladi, undan statsionar nuqtalarning koordinatalari va Lagrange ko'paytmalarining qiymatlari topiladi:

$$\left\(\begin(hizalangan) & \frac(\qisman F)(\qisman x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(hizalangan) \o'ng.$$

Topilgan nuqtada funktsiyaning shartli minimal yoki shartli maksimalga ega ekanligini, avvalgidek $d^2F$ belgisi yordamida bilib olishingiz mumkin. Agar topilgan nuqtada $d^2F > 0$ boʻlsa, funktsiya shartli minimumga ega, lekin agar $d^2F boʻlsa.< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

$\left| matritsasining aniqlovchisi \begin(massiv) (ccccc) \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)^(2)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)\qisman x_(2) ) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)\qisman x_(3)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(1)\qisman x_(n)) \\ \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(2)\qisman x_1) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(2)^(2)) & \frac(\qisman^2F) )(\qisman x_(2)\qisman x_(3)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(2)\qisman x_(n))\\ \frac(\qisman^2F) )(\qisman x_(3) \qisman x_(1)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(3)\qisman x_(2)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(3)\qisman x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)\qisman x_(1)) & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)\qisman x_(2)) & \ frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)\qisman x_(3)) &\ldots & \frac(\qisman^2F)(\qisman x_(n)^(2))\\ \end( massiv) \right|$, $L$ matritsasida qizil rang bilan ajratilgan, Lagranj funksiyasining Gessianidir. Biz quyidagi qoidadan foydalanamiz:

• Agar burchakli kichiklarning belgilari $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matritsalari $L$ $(-1)^m$ belgisiga toʻgʻri keladi, u holda oʻrganilayotgan statsionar nuqta $ funksiyasining shartli minimal nuqtasi hisoblanadi. z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Agar burchakli kichiklarning belgilari $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ almashinadi va $H_(2m+1)$ minor belgisi $(-1)^(m+1) sonining belgisiga toʻgʻri keladi. )$, u holda statsionar nuqta $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ funksiyaning shartli maksimal nuqtasidir.

Misol № 1

$x^2+y^2=10$ shartidagi $z(x,y)=x+3y$ funksiyaning shartli ekstremumini toping.

Ushbu muammoning geometrik talqini quyidagicha: siz eng kattasini topishingiz kerak va eng kichik qiymat$z=x+3y$ tekislikning $x^2+y^2=10$ tsilindr bilan kesishgan nuqtalari uchun qoʻllaniladi.

Ulanish tenglamasidan bir o‘zgaruvchini boshqasi orqali ifodalash va uni $z(x,y)=x+3y$ funksiyasiga qo‘yish biroz qiyin, shuning uchun biz Lagrange usulidan foydalanamiz.

$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ belgilab, Lagrange funksiyasini tuzamiz:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\qisman) F)(\qisman x)=1+2\lambda x; \frac(\qisman F)(\qisman y)=3+2\lambda y. $$

Lagranj funksiyasining statsionar nuqtalarini aniqlash uchun tenglamalar tizimini yozamiz:

$$ \left \( \begin(hizalangan) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (tekislangan)\o'ng.$$

Agar $\lambda=0$ deb faraz qilsak, birinchi tenglama quyidagicha bo'ladi: $1=0$. Olingan ziddiyat $\lambda\neq 0$ ekanligini ko'rsatadi. $\lambda\neq 0$ shartida, birinchi va ikkinchi tenglamalardan biz quyidagilarga egamiz: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Olingan qiymatlarni uchinchi tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \o'ng)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \o'ng)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(hizalangan) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(hizalangan) \o'ng.\\ \begin(hizalangan) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(hizalangan) $$

Demak, tizimning ikkita yechimi bor: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ va $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Har bir statsionar nuqtada ekstremumning tabiatini aniqlaymiz: $M_1(1;3)$ va $M_2(-1;-3)$. Buning uchun har bir nuqtada $H$ ning determinantini hisoblaymiz.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiv) \o'ng|= \chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(massiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiv) \o'ng| $$

$M_1(1;3)$ nuqtasida biz quyidagilarni olamiz: $H=8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(massiv) \right|=40 > 0$, shuning uchun nuqta $M_1(1;3)$ funksiyasi $z(x,y)=x+3y$ shartli maksimalga ega, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Xuddi shunday, $M_2(-1,-3)$ nuqtasida biz quyidagilarni topamiz: $H=8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(massiv) \right|= 8\cdot\left| \begin(massiv) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(massiv) \right|=-40$. $H beri< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Shuni ta'kidlaymanki, har bir nuqtada $H $ determinantining qiymatini hisoblash o'rniga, uni kengaytirish ancha qulayroqdir. umumiy ko'rinish. Matnni tafsilotlar bilan aralashtirib yubormaslik uchun men ushbu usulni eslatma ostida yashiraman.

$H$ determinantini umumiy shaklda yozish. ko'rsatish\yashirish

$$ H=8\cdot\left|\begin(massiv)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(massiv)\o'ng| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\o'ng). $$

Printsipial jihatdan $H$ ning qanday belgisi borligi allaqachon aniq. $M_1$ yoki $M_2$ nuqtalarining hech biri kelib chiqishi bilan mos kelmagani uchun $y^2+x^2>0$. Demak, $H$ belgisi $\lambda$ belgisiga qarama-qarshidir. Siz hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin:

$$ \begin(hizalangan) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\o'ng)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\o'ng)=-40. \end(hizalangan) $$

$M_1(1;3)$ va $M_2(-1;-3)$ statsionar nuqtalaridagi ekstremumning tabiati haqidagi savolni $H$ determinantidan foydalanmasdan yechish mumkin. Har bir statsionar nuqtada $d^2F$ belgisini topamiz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \chap( dx^2+dy^2\o‘ng) $$

Shuni ta'kidlashim kerakki, $ dx ^ 2 $ belgisi ikkinchi darajaga ko'tarilgan aniq $ dx $ ni anglatadi, ya'ni. $\chap(dx \o'ng)^2$. Demak, bizda: $dx^2+dy^2>0$, shuning uchun $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ bilan biz $d^2F olamiz.< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Javob: $(-1;-3)$ nuqtada funksiya shartli minimumga ega, $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ nuqtada funktsiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=10$

Misol № 2

$x+y=0$ shartidagi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ funksiyaning shartli ekstremumini toping.

Birinchi usul (Lagrange multiplikator usuli)

$\varphi(x,y)=x+y$ belgilab, Lagranj funksiyasini tuzamiz: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\qisman F)(\qisman x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\qisman F)(\qisman y)=9y^2-x+\lambda.\\ \chap \( \begin(hizalangan) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(hizalangan) \oʻng. $$

Tizimni hal qilib, biz quyidagilarni olamiz: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ va $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Bizda ikkita statsionar nuqta bor: $M_1(0;0)$ va $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. $H$ determinant yordamida har bir statsionar nuqtada ekstremumning tabiatini aniqlaymiz.

$$H=\chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(massiv) \o'ng|= \chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(massiv) \right|=-10-18y $$

Nuqtada $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, shuning uchun bu nuqtada funktsiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Biz har bir nuqtada ekstremumning tabiatini $d^2F$ belgisiga asoslanib, boshqa usul yordamida tekshiramiz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

$x+y=0$ ulanish tenglamasidan bizda: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ ekan, u holda $M_1(0;0)$ $z(x,y)=3y^3+ funksiyaning shartli minimal nuqtasidir. 4x^ 2-xy$. Xuddi shunday, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Ikkinchi yo'l

Ulanish tenglamasidan $x+y=0$ olamiz: $y=-x$. $y=-x$ ni $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ funksiyasiga almashtirsak, $x$ o‘zgaruvchisining qandaydir funksiyasini olamiz. Bu funksiyani $u(x)$ deb belgilaymiz:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Shunday qilib, biz ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning shartli ekstremumini topish masalasini bitta o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumini aniqlash masalasiga qisqartirdik.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Biz $M_1(0;0)$ va $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ nuqtalarini oldik. Keyingi tadqiqotlar bitta o'zgaruvchining funktsiyalarini differentsial hisoblash kursidan ma'lum. Har bir statsionar nuqtada $u_(xx)^("")$ belgisini tekshirish yoki topilgan nuqtalarda $u_(x)^(")$ belgisining o'zgarishini tekshirish orqali biz xuddi shunday xulosalarga erishamiz: Birinchi usulni yechish. Masalan, $u_(xx)^("")$ belgisini tekshiramiz:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

$u_(xx)^("")(M_1)>0$ ekan, $M_1$ $u(x)$ funksiyasining minimal nuqtasi va $u_(\min)=u(0)=0 $. $u_(xx)^("")(M_2) dan beri<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Berilgan ulanish sharti uchun $u(x)$ funksiyasining qiymatlari $z(x,y)$ funksiyasining qiymatlari bilan mos keladi, yaʼni. $u(x)$ funksiyaning topilgan ekstremallari $z(x,y)$ funksiyasining izlanuvchi shartli ekstremasi.

Javob: $(0;0)$ nuqtada funksiya shartli minimumga ega, $z_(\min)=0$. $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ nuqtada funktsiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik, unda biz $d^2F$ belgisini aniqlash orqali ekstremumning mohiyatini aniqlaymiz.

Misol № 3

Agar $x$ va $y$ oʻzgaruvchilari ijobiy boʻlsa va $\frac(x^2)(8)+\frac( bogʻlanish tenglamasini qanoatlantirsa, $z=5xy-4$ funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping. y^2)(2) -1=0$.

Lagrange funksiyasini tuzamiz: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Lagranj funksiyasining statsionar nuqtalarini topamiz:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(hizalangan) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(hizalangan) \oʻng. $$

Barcha keyingi transformatsiyalar $x > 0 hisobga olingan holda amalga oshiriladi; \; y > 0$ (bu muammo bayonida ko'rsatilgan). Ikkinchi tenglamadan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ifodalaymiz va topilgan qiymatni birinchi tenglamaga almashtiramiz: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4) )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Uchinchi tenglamaga $x=2y$ o‘rniga qo‘ysak: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

$y=1$ ekan, keyin $x=2$, $\lambda=-10$. $d^2F$ belgisi asosida $(2;1)$ nuqtadagi ekstremumning xarakterini aniqlaymiz.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ ekan, u holda:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \o'ng)+d\left(\frac(y^2)(2) \o'ng)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Asosan, bu erda siz darhol $x=2$, $y=1$ statsionar nuqtaning koordinatalarini va $\lambda=-10$ parametrini almashtirib, quyidagilarni olishingiz mumkin:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \o'ng)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Biroq, shartli ekstremumdagi boshqa muammolarda bir nechta statsionar nuqtalar bo'lishi mumkin. Bunday hollarda $d ^ 2F $ ni umumiy shaklda ifodalash va keyin topilgan har bir statsionar nuqtaning koordinatalarini hosil bo'lgan ifodaga almashtirish yaxshiroqdir:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \o'ng)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \o'ng)\cdot dx^2 $$

$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ oʻrniga quyidagini olamiz:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \o'ng)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

$d^2F=-10\cdot dx^2 dan beri< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Javob: $(2;1)$ nuqtada funksiya shartli maksimalga ega, $z_(\max)=6$.

Keyingi qismda biz ko'proq o'zgaruvchilarning funktsiyalari uchun Lagrange usulini qo'llashni ko'rib chiqamiz.

Lagrange multiplikator usuli.

Lagrange multiplikator usuli - bu muammolarni hal qilish imkonini beruvchi usullardan biri chiziqli dasturlash.

Nochiziqli dasturlash - bu chiziqli bo'lmagan maqsad funksiyasi bilan ekstremal masalalarni yechish usullarini va chiziqli bo'lmagan cheklovlar bilan aniqlangan mumkin bo'lgan echimlar mintaqasini o'rganadigan matematik dasturlash bo'limi. Iqtisodiyotda bu natijalar (samaradorlik) resurslardan foydalanish miqyosidagi o'zgarishlarga (yoki bir xil bo'lsa, ishlab chiqarish ko'lamiga) nomutanosib ravishda o'sishi yoki kamayishi bilan mos keladi: masalan, ishlab chiqarish xarajatlarining taqsimlanishi tufayli. korxonalar o'zgaruvchan va yarim doimiy; tovarlarga bo'lgan talabning to'yinganligi sababli, har bir keyingi birlik oldingisiga qaraganda sotish qiyinroq bo'lganda va hokazo.

Nochiziqli dasturlash muammosi ma'lum birning optimalini topish muammosi sifatida qo'yiladi maqsad funktsiyasi

F(x 1 ,…x n), F (x) → maks

shartlar bajarilganda

g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

Qayerda x-kerakli o'zgaruvchilar vektori;

F (x) -obyektiv funktsiya;

g (x) - cheklovchi funksiya (uzluksiz differentsiallanuvchi);

b - cheklash konstantalari vektori.

Chiziqli bo'lmagan dasturlash muammosining yechimi (global maksimal yoki minimal) ruxsat etilgan to'plamning chegarasiga yoki ichki qismiga tegishli bo'lishi mumkin.

Chiziqli dasturlash masalasidan farqli o'laroq, chiziqli bo'lmagan dasturlash masalasida optimal chegaralar bilan aniqlangan mintaqa chegarasida bo'lishi shart emas. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, vazifa tengsizliklar ko'rinishidagi cheklovlar tizimiga rioya qilgan holda o'zgaruvchilarning manfiy bo'lmagan qiymatlarini tanlashdir, bunda berilgan funktsiyaning maksimal (yoki minimal) darajasiga erishiladi. Bunda maqsad funksiyaning ham, tengsizliklarning ham shakllari aniqlanmaydi. Bo'lishi mumkin turli holatlar: maqsad funksiya chiziqli emas, cheklovlar esa chiziqli; maqsad funksiya chiziqli, cheklovlar (ulardan kamida bittasi) chiziqli emas; maqsad funksiyasi ham, cheklovlar ham chiziqli emas.

Nochiziqli dasturlash muammosi tabiiy fanlar, texnologiya, iqtisod, matematika va boshqa sohalarda uchraydi. biznes aloqalari va hukumat fanida.

Masalan, chiziqli bo'lmagan dasturlash asosiy iqtisodiy muammo bilan bog'liq. Shunday qilib, cheklangan resurslarni taqsimlash muammosida samaradorlik yoki iste'molchi o'rganilayotgan bo'lsa, resurslarning etishmasligi shartlarini ifodalovchi cheklovlar mavjud bo'lganda iste'mol maksimal darajaga etadi. Bunday umumiy formulada masalani matematik tarzda shakllantirish imkonsiz bo'lishi mumkin, ammo maxsus ilovalarda barcha funktsiyalarning miqdoriy shaklini bevosita aniqlash mumkin. Masalan, sanoat korxonasi plastik mahsulotlar ishlab chiqaradi. Bu erda ishlab chiqarish samaradorligi foyda bilan o'lchanadi, cheklovlar esa naqd pul sifatida talqin qilinadi ishchi kuchi, ishlab chiqarish maydonlari, uskunalarning ishlashi va boshqalar.

Iqtisodiy samaradorlik usuli chiziqli bo'lmagan dasturlash sxemasiga ham mos keladi. Bu usul hukumatda qaror qabul qilishda foydalanish uchun ishlab chiqilgan. Samaradorlikning umumiy funktsiyasi - bu farovonlik. Bu erda ikkita chiziqli bo'lmagan dasturlash muammosi paydo bo'ladi: birinchisi, cheklangan xarajatlar bilan ta'sirni maksimal darajada oshirish, ikkinchisi, ta'sir ma'lum bir minimal darajadan yuqori bo'lsa, xarajatlarni minimallashtirish. Ushbu muammo odatda chiziqli bo'lmagan dasturlash yordamida yaxshi modellashtirilgan.

Nochiziqli dasturlash masalasini yechish natijalari hukumat qarorlarini qabul qilishda yordam beradi. Olingan yechim, albatta, tavsiya etiladi, shuning uchun yakuniy qaror qabul qilishdan oldin chiziqli bo'lmagan dasturlash masalasining taxminlari va to'g'riligini tekshirish kerak.

Chiziqli bo'lmagan muammolar murakkab, ular ko'pincha chiziqli masalalarga olib borish orqali soddalashtiriladi. Buning uchun shartli ravishda ma'lum bir sohada maqsad funktsiyasi mustaqil o'zgaruvchilarning o'zgarishiga mutanosib ravishda ortadi yoki kamayadi, deb taxmin qilinadi. Ushbu yondashuv qismli chiziqli yaqinlashish usuli deb ataladi, ammo u faqat ma'lum turdagi nochiziqli masalalar uchun qo'llaniladi.

Muayyan sharoitlarda chiziqli bo'lmagan masalalar Lagrange funktsiyasi yordamida echiladi: uning egar nuqtasini topib, muammoning echimi topiladi. Hisoblash algoritmlari orasida N. p. ajoyib joy egallash gradient usullari. Chiziqli bo'lmagan muammolar uchun universal usul yo'q va, ehtimol, bo'lmasligi mumkin, chunki ular juda xilma-xildir. Multiekstremal muammolarni hal qilish ayniqsa qiyin.

Tenglamalar tizimini echish uchun chiziqli bo'lmagan dasturlash masalasini qisqartirish imkonini beruvchi usullardan biri bu noaniq ko'paytmalarning Lagranj usulidir.

Lagrange multiplikator usulidan foydalanib, biz mohiyatan aniqlaymiz zarur shart-sharoitlar, tenglik ko'rinishidagi cheklovlar bilan optimallashtirish muammolarining optimal nuqtalarini aniqlash imkonini beradi. Bunday holda, cheklovlar bilan bog'liq muammo ekvivalent muammoga aylanadi shartsiz optimallashtirish, bu Lagrange multiplikatorlari deb ataladigan ba'zi noma'lum parametrlarni o'z ichiga oladi.

Lagranj multiplikatori usuli shartli ekstremumdagi muammolarni yordamchi funktsiyaning shartsiz ekstremumidagi muammolarga - so'zlarga qisqartirishdan iborat. Lagrange funktsiyalari.

Funksiyaning ekstremum muammosi uchun f(x 1, x 2,..., x n) shartlarda (cheklash tenglamalari) ph i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, Lagrange funktsiyasi shaklga ega

L(x 1, x 2… x n,l 1, l 2,…lm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m l i ph i (x 1, x 2… x n)

Ko'paytirgichlar l 1 , l 2 , ..., lm chaqirdi Lagranj multiplikatorlari.

Agar qiymatlar x 1 , x 2 , ..., x n , l 1 , l 2 , ..., lm Lagranj funktsiyasining statsionar nuqtalarini aniqlaydigan tenglamalar yechimlarining mohiyati, ya'ni differentsiallanuvchi funktsiyalar uchun tenglamalar tizimining echimlari.

u holda, juda umumiy farazlar ostida, x 1, x 2, ..., x n f funksiyaning ekstremumini beradi.

Tenglik ko'rinishida bitta cheklovga bog'liq bo'lgan n ta o'zgaruvchining funktsiyasini minimallashtirish muammosini ko'rib chiqing:

Kichiklashtirish f(x 1, x 2… x n) (1)

cheklovlar ostida h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Lagrange multiplikator usuliga ko'ra, bu muammo quyidagi cheklanmagan optimallashtirish muammosiga aylantiriladi:

minimallashtirish L(x,l)=f(x)-l*h(x) (3)

bu yerda L(x;l) funksiya Lagranj funksiyasi deb ataladi,

l - noma'lum doimiy bo'lib, u Lagranj ko'paytmasi deb ataladi. l belgisi uchun hech qanday talablar yo'q.

Berilgan l=l 0 qiymati uchun L(x,l) funksiyaning x ga nisbatan shartsiz minimumiga x=x 0 nuqtada erishilsin va x 0 h 1 (x 0)=0 tenglamani qanoatlantirsin. . Keyin, ko'rish oson bo'lganidek, x 0 (2) ni hisobga olgan holda (1) minimallashtiradi, chunki x ning barcha qiymatlari uchun (2), h 1 (x) = 0 va L (x, l) = min. f(x).

Albatta, shartsiz minimal x 0 nuqtaning koordinatasi (2) tenglikni qanoatlantirishi uchun l=l 0 qiymatini tanlash kerak. Buni, agar l ni o‘zgaruvchi sifatida ko‘rib, (3) funksiyaning shartsiz minimumini l funksiya ko‘rinishida topib, so‘ngra (2) tenglik qanoatlantiriladigan l qiymatini tanlasa, amalga oshirish mumkin. Buni aniq bir misol bilan tushuntirib beraylik.

f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0 ni minimallashtiring

cheklov ostida h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Tegishli cheklanmagan optimallashtirish muammosi quyidagicha yoziladi:

minimallashtirish L(x,l)=x 1 2 +x 2 2 -l(2x 1 +x 2 -2)

Yechim. L gradientining ikkita komponentini nolga tenglashtirib, biz hosil qilamiz

→ x 1 0 =l

→ x 2 0 =l/2

X° statsionar nuqtaning minimalga mos kelishini tekshirish uchun L(x;u) funksiyaning X ning funksiyasi sifatida qaralgan Gessi matritsasi elementlarini hisoblaymiz,

ijobiy aniq bo'lib chiqadi.

Bu L(x,u) x ning qavariq funksiyasi ekanligini bildiradi. Binobarin, x 1 0 =l, x 2 0 =l/2 koordinatalari global minimal nuqtani aniqlaydi. Optimal qiymat l x 1 0 va x 2 0 qiymatlarini 2x 1 + x 2 =2 tenglamaga qo'yish orqali topiladi, undan 2l+l/2=2 yoki l 0 =4/5. Shunday qilib, shartli minimumga x 1 0 =4/5 va x 2 0 =2/5 da erishiladi va min f(x) = 4/5 ga teng.

Misol masalasini yechishda biz L(x;l) ni ikkita x 1 va x 2 o‘zgaruvchilarning funksiyasi sifatida ko‘rib chiqdik va qo‘shimcha ravishda l parametrining qiymati cheklanish qanoatlantirilishi uchun tanlangan deb faraz qildik. Tizimning yechimi bo'lsa

J=1,2,3,…,n

l ni aniq funksiyalar ko'rinishida olish mumkin emas, u holda x va l qiymatlari n+1 noma'lumli n+1 tenglamalardan iborat quyidagi tizimni yechish orqali topiladi:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Hammani topish uchun mumkin bo'lgan echimlar Bu tizim raqamli qidiruv usullaridan foydalanishi mumkin (masalan, Nyuton usuli). Yechimlarning har biri () uchun biz x ning funksiyasi sifatida ko'rib chiqilgan L funktsiyasining Gessian matritsasining elementlarini hisoblashimiz kerak va bu matritsa musbat aniq (lokal minimum) yoki manfiy aniq (mahalliy maksimal) ekanligini aniqlashimiz kerak. ).

Lagranj multiplikatori usuli muammoning tenglik ko'rinishidagi bir nechta cheklovlarga ega bo'lgan holatga kengaytirilishi mumkin. Talab qiladigan umumiy muammoni ko'rib chiqing

f(x)ni minimallashtirish

cheklovlar ostida h k =0, k=1, 2, ..., K.

Lagrange funktsiyasi quyidagi shaklni oladi:

Bu yerga l 1 , l 2 , ..., lk-Lagranj ko'paytmalari, ya'ni. qiymatlari aniqlanishi kerak bo'lgan noma'lum parametrlar. L ning x ga nisbatan qisman hosilalarini nolga tenglashtirib, n ta noma’lumli quyidagi n ta tenglama tizimini olamiz:

Agar l vektorining funktsiyalari ko'rinishida yuqoridagi tizimga yechim topish qiyin bo'lib chiqsa, unda siz tenglik ko'rinishidagi cheklovlarni kiritish orqali tizimni kengaytirishingiz mumkin.

n+K noma’lumli n+K tenglamalardan tashkil topgan kengaytirilgan sistemaning yechimi L funksiyaning statsionar nuqtasini aniqlaydi. Keyin minimal yoki maksimalni tekshirish tartibi amalga oshiriladi, bu esa hisoblash asosida amalga oshiriladi. x ning funksiyasi sifatida qaraladigan L funksiyaning Gessi matritsasi elementlari bitta cheklovli masalada bajarilganiga o'xshash. Ba'zi muammolar uchun n+K noma'lumlari bo'lgan kengaytirilgan n+K tenglamalar tizimi hech qanday yechimga ega bo'lmasligi mumkin va Lagrange ko'paytirish usuli qo'llanilmaydi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, bunday vazifalar amalda juda kam uchraydi.

Keling, ko'rib chiqaylik maxsus holat umumiy vazifa nochiziqli dasturlash, agar cheklovlar tizimi faqat tenglamalarni o'z ichiga oladi deb faraz qilsak, o'zgaruvchilarning manfiy bo'lmasligi uchun shartlar mavjud emas va va - funktsiyalari ularning qisman hosilalari bilan birga uzluksizdir. Shuning uchun (7) tenglamalar tizimini yechish orqali biz (6) funktsiya ekstremal qiymatlarga ega bo'lishi mumkin bo'lgan barcha nuqtalarni olamiz.

Lagrange multiplikator usuli uchun algoritm

1. Lagrange funksiyasini tuzing.

2. Lagranj funksiyasining x J ,l i o‘zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalarini toping va ularni nolga tenglang.

3. (7) tenglamalar tizimini yechamiz, masalaning maqsad funksiyasi ekstremumga ega bo'lishi mumkin bo'lgan nuqtalarni topamiz.

4. Ekstremum uchun shubhali nuqtalar orasidan ekstremumga erishilgan nuqtalarni topamiz va shu nuqtalarda (6) funksiya qiymatlarini hisoblaymiz.

Misol.

Dastlabki ma'lumotlar: Ishlab chiqarish rejasiga ko‘ra, korxona 180 nomdagi mahsulot ishlab chiqarishi kerak. Ushbu mahsulotlar ikkita texnologik usulda ishlab chiqarilishi mumkin. 1-usul bo'yicha x 1 mahsulot ishlab chiqarilganda, xarajatlar 4x 1 +x 1 2 rublni, 2-usulda esa x 2 mahsulot ishlab chiqarishda 8x 2 +x 2 2 rublni tashkil qiladi. Ishlab chiqarish xarajatlari minimal bo'lishi uchun har bir usul yordamida qancha mahsulot ishlab chiqarilishi kerakligini aniqlang.

Belgilangan muammo uchun maqsad funktsiyasi shaklga ega
® min x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0 shartlarda.
1. Lagrange funksiyasini tuzing
.
2. Biz x 1, x 2, l ga nisbatan qisman hosilalarni hisoblaymiz va ularni nolga tenglaymiz:

3. Hosil bo‘lgan tenglamalar sistemasini yechib, x 1 =91,x 2 =89 ni topamiz

4. Maqsad funksiyasini x 2 =180-x 1 almashtirib, bitta o‘zgaruvchining funksiyasini olamiz, ya’ni f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1) ) 2

Biz hisoblaymiz yoki 4x 1 -364=0 ,

buning uchun bizda x 1 * =91, x 2 * =89.

Javob: Birinchi usulda ishlab chiqarilgan mahsulotlar soni x 1 =91, ikkinchi usulda x 2 =89, maqsad funktsiyasining qiymati esa 17278 rublga teng.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

umumiy yechimda ixtiyoriy ck konstantalarini almashtirishdan iborat

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

mos keladigan bir jinsli tenglama

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

hosilalari chiziqli algebraik sistemani qanoatlantiradigan ck(t) yordamchi funksiyalarga;

(1) sistemaning determinanti z1,z2,...,zn funksiyalarning Vronskianidir, bu uning ga nisbatan yagona yechilishini ta’minlaydi.

Agar integratsiya konstantalarining belgilangan qiymatlarida qabul qilingan ning antiderivativlari bo'lsa, u holda funktsiya

asl chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimidir. Integratsiya bir jinsli bo'lmagan tenglama mos keladigan bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi mavjud bo'lganda, u shunday qilib to'rtburchaklarga keltiriladi.

Lagranj usuli (ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli)

Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini olish, ma'lum bir yechim topmasdan, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini bilish usuli.

n-tartibli chiziqli bir jinsli differentsial tenglama uchun

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

bu yerda y = y(x) noma’lum funksiya, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) ma’lum, uzluksiz, rost: 1) chiziqli n ta mavjud. mustaqil yechimlar tenglamalari y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) c1, c2, ..., cn konstantalarining har qanday qiymatlari uchun y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) funksiya a. tenglamaning yechimi; 3) x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 har qanday boshlang‘ich qiymatlari uchun c*1, c*n, ..., c*n qiymatlari mavjud bo‘lib, yechim y bo‘lsin. *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) y*(x0)=y0, (y*)"() dastlabki shartlarni qanoatlantiradi x0) uchun x = x0 =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ifoda deyiladi. umumiy qaror n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama.

n-tartibli y1(x), y2(x), ..., yn(x) chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimlari toʻplami tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi deyiladi.

bilan chiziqli bir hil differensial tenglama uchun doimiy koeffitsientlar asosiy yechimlar tizimini qurish uchun oddiy algoritm mavjud. Tenglama yechimini y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) ko‘rinishida izlaymiz. " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, ya'ni l soni ildizdir xarakterli tenglama ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Xarakteristik tenglamaning chap tomoni chiziqli differentsial tenglamaning xarakteristik polinomi deyiladi: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Shunday qilib, doimiy koeffitsientli n-tartibli chiziqli bir jinsli tenglamani yechish masalasi algebraik tenglamani yechishga keltiriladi.

Agar xarakteristik tenglamaning n ta xil haqiqiy ildizi bo'lsa l1№ l2 № ... № ln, u holda asosiy yechimlar tizimi y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), funksiyalardan iborat. .., yn (x) = exp(lnx) va bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

asosiy yechimlar tizimi va oddiy haqiqiy ildizlar holati uchun umumiy yechim.

Agar xarakteristik tenglamaning haqiqiy ildizlaridan birortasi r marta (r-ko'p ildiz) takrorlangan bo'lsa, u holda asosiy echimlar tizimida unga mos keladigan r funktsiya mavjud; lk=lk+1 = ... = lk+r-1 bo'lsa, u holda in asosiy tizim tenglamaning yechimlariga r funksiya kiradi: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1( x) =xr-1 exp(lnx).

O'RNAK 2. Ko'p haqiqiy ildiz holatlari uchun asosiy yechimlar tizimi va umumiy yechim.

Agar xarakteristik tenglama murakkab ildizlarga ega bo'lsa, u holda fundamental yechimlar sistemasidagi lk,k+1=ak ± ibk oddiy (ko'pligi 1 bo'lgan) murakkab ildizlarning har bir jufti yk(x) = exp(akx) funksiyalar juftiga mos keladi. cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

O'RNAK 4. Yechimlarning fundamental tizimi va oddiy kompleks ildizlar holati uchun umumiy yechim. Xayoliy ildizlar.

Agar murakkab juft ildizlar ko‘paytmali r bo‘lsa, bunday juftlik lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, fundamental yechimlar sistemasida exp(akx)cos( funksiyalarga mos keladi. bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

O'RNAK 5. Ko'p murakkab ildizlar holati uchun asosiy yechimlar tizimi va umumiy yechim.

Shunday qilib, doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimini topish uchun quyidagilar kerak: xarakteristik tenglamani yozish; l1, l2, ... , ln xarakteristik tenglamaning barcha ildizlarini toping; y1(x), y2(x), ..., yn(x) yechimlarning fundamental tizimini yozing; y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) umumiy yechim uchun ifodani yozing. Koshi masalasini yechish uchun umumiy yechim ifodasini boshlang‘ich shartlarga almashtirish va chiziqli sistemaning yechimlari bo‘lgan c1,..., cn konstantalarining qiymatlarini aniqlash kerak. algebraik tenglamalar c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama uchun

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

bu yerda y = y(x) noma’lum funksiya, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) ma’lum, uzluksiz, haqiqiy: 1 ) agar y1(x) va y2(x) bir jinsli bo lmagan tenglamaning ikkita yechimi bo lsa, u holda y(x) = y1(x) - y2(x) funksiya mos bir jinsli tenglamaning yechimi bo ladi; 2) agar y1(x) bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning yechimi, y2(x) esa mos keladigan bir jinsli tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda y(x) = y1(x) + y2(x) funksiya: bir hil bo'lmagan tenglama; 3) agar y1(x), y2(x), ..., yn(x) bir jinsli tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimi boʻlsa va ych(x) - o'zboshimchalik bilan qaror qabul qilish bir hil bo'lmagan tenglama bo'lsa, u holda har qanday boshlang'ich qiymatlar uchun x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 uchun c*1, c*n, ..., c*n qiymatlari mavjud bo'lib, shundayki y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) yechim y*(x0)=y0 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi. , ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) ifoda n-tartibli chiziqli bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.

Bir hil bo'lmaganlarning maxsus yechimlarini topish differensial tenglamalar shaklning o'ng tomonlari bilan doimiy koeffitsientlar bilan: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), bu erda Pk(x), Qm(x) ko'phadlar ning k va m darajasi Shunga ko'ra, ma'lum bir yechimni qurish uchun tanlash usuli deb ataladigan oddiy algoritm mavjud.

Tanlash usuli yoki usuli noaniq koeffitsientlar, quyidagicha. Tenglamaning talab qilinadigan yechimi quyidagicha yoziladi: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, bu yerda Pr(x), Qr(x) ) koeffitsientlari noma'lum pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 bo'lgan r = max(k, m) darajali ko'phadlardir. Xs omil rezonans omil deb ataladi. Rezonans xarakterli tenglamaning ildizlari orasida s ko'plikning l =a ± ib ildizi bo'lgan hollarda sodir bo'ladi. Bular. agar mos keladigan bir jinsli tenglamaning xarakteristik tenglamasining ildizlari orasida shunday biri bo'lsa, uning haqiqiy qismi ko'rsatkich darajasidagi koeffitsientga, xayoliy qismi esa argumentdagi koeffitsientga to'g'ri keladi. trigonometrik funktsiya tenglamaning o'ng tomonida va bu ildizning ko'pligi s bo'lsa, unda kerakli qisman yechim xs rezonans omilini o'z ichiga oladi. Agar bunday tasodif bo'lmasa (s=0), u holda rezonans omili yo'q.

Muayyan yechim uchun ifodani almashtirish chap tomoni tenglama, koeffitsientlari noma'lum bo'lgan tenglamaning o'ng tomonidagi ko'phad bilan bir xil shakldagi umumlashtirilgan ko'phadni olamiz.

Ikki umumlashgan ko‘phad teng bo‘ladi, agar va faqat bir xil t darajali xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) ko‘rinishdagi omillar koeffitsientlari teng bo‘lsa. Bunday omillarning koeffitsientlarini tenglashtirib, 2(r+1) noma’lumlar uchun 2(r+1) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz. Bunday tizim izchil va o'ziga xos yechimga ega ekanligini ko'rsatish mumkin.