Uy Tish og'rig'i Matritsani Kramer usuli yordamida yeching. Kramer usuli: chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish (slau)

Tish og'rig'i

Matritsani Kramer usuli yordamida yeching. Kramer usuli: chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish (slau)

Kramer usuli tizimlarni yechishda determinantlardan foydalanishga asoslangan chiziqli tenglamalar. Bu yechim jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradi.

Kramer usulidan har bir tenglamada qancha noma’lum bo‘lsa, shuncha chiziqli tenglamalar sistemasini yechish mumkin. Agar sistemaning determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda yechimda Kramer usulidan foydalanish mumkin, lekin nolga teng bo'lsa, unday emas. Bundan tashqari, yagona yechimga ega chiziqli tenglamalar tizimini yechishda Kramer usulidan foydalanish mumkin.

Ta'rif. Noma'lumlar uchun koeffitsientlardan tuzilgan determinant tizimning determinanti deb ataladi va (delta) bilan belgilanadi.

Aniqlovchilar

mos keladigan noma'lumlar koeffitsientlarini erkin shartlar bilan almashtirish yo'li bilan olinadi:

;

Kramer teoremasi. Agar tizimning determinanti nolga teng bo'lmasa, chiziqli tenglamalar tizimi bitta yagona yechimga ega va noma'lum determinantlar nisbatiga teng. Maxrajda sistemaning determinanti, hisoblagich esa ushbu noma'lumning koeffitsientlarini erkin hadlar bilan almashtirish orqali tizimning aniqlovchisidan olingan aniqlovchini o'z ichiga oladi. Bu teorema har qanday tartibli chiziqli tenglamalar tizimi uchun amal qiladi.

1-misol. Chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Ga binoan Kramer teoremasi bizda ... bor:

Shunday qilib, (2) tizimning yechimi:

onlayn kalkulyator, hal qiluvchi usul Kramer.

Chiziqli tenglamalar tizimini echishda uchta holat

dan aniq bo'lganidek Kramer teoremasi, chiziqli tenglamalar tizimini echishda uchta holat yuzaga kelishi mumkin:

Birinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimi yagona yechimga ega

(tizim izchil va aniq)

Ikkinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega

(tizim izchil va noaniq)

** ,

bular. noma'lumlar va erkin hadlar koeffitsientlari proportsionaldir.

Uchinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari yo'q

(tizim mos kelmaydi)

Shunday qilib, tizim m bilan chiziqli tenglamalar n o'zgaruvchilar deb ataladi qo'shma, agar u bitta yechimga ega bo'lmasa va qo'shma, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Bir vaqtning o'zida bitta yechimga ega bo'lgan tenglamalar tizimi deyiladi aniq, va bir nechta - noaniq.

Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechishga misollar

Tizim berilsin

Kramer teoremasi asosida

………….
,

Qayerda
-

tizim determinanti. Qolgan determinantlarni ustunni tegishli o'zgaruvchining (noma'lum) koeffitsientlari bilan erkin shartlar bilan almashtirish orqali olamiz:

2-misol.

Shunday qilib, tizim aniq. Uning yechimini topish uchun determinantlarni hisoblaymiz

Kramer formulalari yordamida biz quyidagilarni topamiz:

Demak, (1; 0; -1) tizimning yagona yechimidir.

3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz Kramerning echish usuli yordamida onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Agar chiziqli tenglamalar tizimida bir yoki bir nechta tenglamalarda o'zgaruvchilar bo'lmasa, determinantda mos keladigan elementlar nolga teng! Bu keyingi misol.

3-misol. Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:

Tenglamalar tizimiga va tizimning determinantiga diqqat bilan qarang va determinantning bir yoki bir nechta elementlari nolga teng bo'lgan savolga javobni takrorlang. Demak, determinant nolga teng emas, shuning uchun sistema aniq. Uning yechimini topish uchun noma’lumlar uchun determinantlarni hisoblaymiz

Kramer formulalari yordamida biz quyidagilarni topamiz:

Demak, sistemaning yechimi (2; -1; 1) bo'ladi.

3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz Kramerning echish usuli yordamida onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Sahifaning yuqorisi

Biz birgalikda Cramer usuli yordamida tizimlarni hal qilishda davom etamiz

Yuqorida aytib o'tilganidek, agar tizimning determinanti nolga teng bo'lsa va noma'lumlarning determinantlari nolga teng bo'lmasa, tizim mos kelmaydi, ya'ni uning yechimlari yo'q. Keling, quyidagi misol bilan tushuntiramiz.

6-misol. Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:

Tizimning determinanti nolga teng, shuning uchun chiziqli tenglamalar tizimi yoki mos kelmaydigan va aniq, yoki mos kelmaydigan, ya'ni yechimlari yo'q. Aniqlik uchun biz noma'lumlar uchun determinantlarni hisoblaymiz

Noma'lumlarning determinantlari nolga teng emas, shuning uchun tizim mos kelmaydi, ya'ni uning yechimlari yo'q.

3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz Kramerning echish usuli yordamida onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.

Chiziqli tenglamalar sistemalari bilan bog'liq masalalarda o'zgaruvchilarni bildiruvchi harflardan tashqari, boshqa harflar ham mavjud. Bu harflar raqamni ifodalaydi, ko'pincha haqiqiydir. Amalda bunday tenglamalar va tenglamalar tizimlari har qanday hodisa yoki ob'ektlarning umumiy xususiyatlarini izlash muammolariga olib keladi. Ya'ni, siz biron bir narsani ixtiro qilganmisiz yangi material yoki qurilma va uning namunaning kattaligi yoki sonidan qat'iy nazar umumiy bo'lgan xususiyatlarini tavsiflash uchun siz chiziqli tenglamalar tizimini echishingiz kerak, bu erda o'zgaruvchilar uchun ba'zi koeffitsientlar o'rniga harflar mavjud. Misollar uchun uzoqdan izlash shart emas.

Quyidagi misol shunga o'xshash masala uchun, faqat ma'lum bir haqiqiy sonni bildiruvchi tenglamalar, o'zgaruvchilar va harflar soni ortadi.

8-misol. Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:

Noma'lumlar uchun determinantlarni topish

Chiziqli tizimlarni echish uchun Kramer usuli qo'llaniladi algebraik tenglamalar(SLAE), unda noma'lum o'zgaruvchilar soni tenglamalar soniga teng va asosiy matritsaning determinanti noldan farq qiladi. Ushbu maqolada biz Kramer usuli yordamida noma'lum o'zgaruvchilar qanday topilganligini tahlil qilamiz va formulalarni olamiz. Shundan so'ng misollarga o'tamiz va chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarining Kramer usuli yordamida yechilishini batafsil bayon qilamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kramer usuli - formulalarni hosil qilish.

Shaklning chiziqli tenglamalar tizimini yechishimiz kerak

Bu yerda x 1, x 2, …, x n nomaʼlum oʻzgaruvchilar, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- sonli koeffitsientlar, b 1, b 2, ..., b n - erkin atamalar. SLAE yechimi x 1 , x 2 , …, x n qiymatlari to'plami bo'lib, ular uchun tizimning barcha tenglamalari identifikatsiyaga aylanadi.

Matritsa shaklida bu tizimni A ⋅ X = B shaklida yozish mumkin, bu erda - tizimning asosiy matritsasi, uning elementlari noma'lum o'zgaruvchilarning koeffitsientlari, - matritsa - erkin atamalar ustuni va - matritsa - noma'lum o'zgaruvchilar ustuni. Noma'lum o'zgaruvchilar x 1, x 2, …, x n topilgandan so'ng, matritsa tenglamalar tizimining yechimiga aylanadi va A ⋅ X = B tenglik bir xillikka aylanadi.

Faraz qilamizki, A matritsa yagona emas, ya’ni uning determinanti nolga teng emas. Bunda chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi Kramer usulida topiladigan yagona yechimga ega. (Tizimlarni yechish usullari chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarini yechish bo'limida ko'rib chiqiladi).

Kramer usuli matritsa determinantining ikkita xususiyatiga asoslanadi:

Shunday qilib, noma'lum o'zgaruvchi x 1 ni topishni boshlaylik. Buning uchun tizimning birinchi tenglamasining ikkala qismini A 1 1 ga, ikkinchi tenglamaning ikkala qismini A 2 1 ga va shunga o‘xshash n- tenglamaning ikkala qismini A n 1 ga ko‘paytiramiz (ya’ni, biz sistemaning tenglamalarini birinchi matritsa ustunining mos algebraik to'ldiruvchilariga ko'paytiring):

Keling, x 1, x 2, ..., x n noma'lum o'zgaruvchilar uchun atamalarni guruhlab, tizim tenglamasining barcha chap tomonlarini qo'shamiz va bu yig'indini tenglamalarning barcha o'ng tomonlari yig'indisiga tenglashtiramiz:

Agar determinantning yuqorida aytib o'tilgan xususiyatlariga murojaat qilsak, bizda mavjud

oldingi tenglik esa shaklni oladi

qayerda

Xuddi shunday, biz x 2 ni topamiz. Buning uchun tizim tenglamalarining ikkala tomonini A matritsasining ikkinchi ustunining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytiramiz:

Biz tizimning barcha tenglamalarini qo'shamiz, x 1, x 2, ..., x n noma'lum o'zgaruvchilar uchun atamalarni guruhlaymiz va determinantning xususiyatlarini qo'llaymiz:

Qayerda
.

Qolgan noma'lum o'zgaruvchilar xuddi shunday topiladi.

Agar belgilasak

Keyin olamiz Kramer usuli yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni topish uchun formulalar .

Izoh.

Agar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bir jinsli bo'lsa, ya'ni , unda u faqat arzimas yechimga ega (da). Haqiqatan ham, nol bepul shartlar uchun barcha determinantlar nolga teng bo'ladi, chunki ular nol elementlar ustunini o'z ichiga oladi. Shuning uchun formulalar beradi.

Kramer usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish algoritmi.

Keling, yozamiz Kramer usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish algoritmi.

Kramer usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishga misollar.

Keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kramer usuli yordamida chiziqli algebraik tenglamalarning bir jinsli bo‘lmagan sistemasi yechimini toping. .

Yechim.

Tizimning asosiy matritsasi shaklga ega. Formuladan foydalanib uning determinantini hisoblaymiz :

Tizimning asosiy matritsasining determinanti noldan farq qilganligi sababli, SLAE noyob yechimga ega va uni Kramer usuli bilan topish mumkin. Determinantlarni yozamiz va. Biz tizimning asosiy matritsasining birinchi ustunini erkin shartlar ustuniga almashtiramiz va determinantni olamiz. . Xuddi shunday, biz asosiy matritsaning ikkinchi ustunini erkin shartlar ustuniga almashtiramiz va biz .

Ushbu determinantlarni hisoblaymiz:

Formulalar yordamida x 1 va x 2 noma'lum o'zgaruvchilarni toping :

Keling, tekshiramiz. Olingan x 1 va x 2 qiymatlarini dastlabki tenglamalar tizimiga almashtiramiz:

Tizimning ikkala tenglamasi ham identifikatsiyaga aylanadi, shuning uchun yechim to'g'ri topildi.

Javob:

SLAE asosiy matritsasining ba'zi elementlari nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday holda, mos keladigan noma'lum o'zgaruvchilar tizim tenglamalarida mavjud bo'lmaydi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kramer usulida chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini toping .

Yechim.

Keling, tizimni shaklda qayta yozamiz , shuning uchun tizimning asosiy matritsasi ko'rinadigan bo'ladi . Formuladan foydalanib uning determinantini topamiz

Bizda ... bor

Asosiy matritsaning determinanti nolga teng emas, shuning uchun chiziqli tenglamalar tizimi yagona yechimga ega. Keling, uni Kramer usuli yordamida topamiz. Determinantlarni hisoblaylik :

Shunday qilib,

Javob:

Tizim tenglamalarida noma'lum o'zgaruvchilarning belgilari x 1, x 2, ..., x n dan farq qilishi mumkin. Bu qaror qabul qilish jarayoniga ta'sir qilmaydi. Ammo asosiy matritsa va Kramer usulining zarur determinantlarini tuzishda tizim tenglamalarida noma'lum o'zgaruvchilarning tartibi juda muhimdir. Keling, bir misol bilan bu fikrga oydinlik kiritaylik.

Misol.

Kramer usulidan foydalanib, uchta noma'lumli uchta chiziqli algebraik tenglamalar tizimining yechimini toping. .

Yechim.

Ushbu misolda noma'lum o'zgaruvchilar boshqa belgiga ega (x1, x2 va x3 o'rniga x, y va z). Bu yechimga ta'sir qilmaydi, lekin o'zgaruvchan teglar bilan ehtiyot bo'ling. Siz uni tizimning asosiy matritsasi sifatida qabul qila olmaysiz . Avval tizimning barcha tenglamalarida noma'lum o'zgaruvchilarni tartiblash kerak. Buning uchun tenglamalar tizimini quyidagicha qayta yozamiz . Endi tizimning asosiy matritsasi aniq ko'rinadi . Uning determinantini hisoblaymiz:

Asosiy matritsaning determinanti nolga teng emas, shuning uchun tenglamalar tizimi yagona yechimga ega. Keling, uni Kramer usuli yordamida topamiz. Keling, aniqlovchilarni yozamiz (belgiga e'tibor bering) va ularni hisoblang:

Formulalar yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni topish qoladi :

Keling, tekshiramiz. Buning uchun asosiy matritsani olingan yechimga ko'paytiring (agar kerak bo'lsa, bo'limga qarang):

Natijada, biz dastlabki tenglamalar tizimining erkin shartlari ustunini oldik, shuning uchun yechim to'g'ri topildi.

Javob:

x = 0, y = -2, z = 3.

Misol.

Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching , bu erda a va b ba'zi haqiqiy sonlar.

Yechim.

Javob:

Misol.

Tenglamalar sistemasi yechimini toping Kramer usuli bo'yicha, - qandaydir haqiqiy son.

Yechim.

Tizimning bosh matritsasining determinantini hisoblaymiz: . ifoda intervaldir, shuning uchun har qanday haqiqiy qiymatlar uchun. Binobarin, tenglamalar sistemasi Kramer usulida topiladigan yagona yechimga ega. Biz hisoblaymiz va:

Ushbu paragrafni o'zlashtirish uchun siz "ikkidan ikkiga" va "uchdan uch" determinantlarini ochib bera olishingiz kerak. Agar siz saralashda yomon bo'lsangiz, darsni o'rganing Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Birinchidan, ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini batafsil ko'rib chiqamiz. Nima uchun? - Hammasidan keyin; axiyri eng oddiy tizim hal qilish mumkin maktab usuli, muddatli qo'shish usuli bilan!

Gap shundaki, ba'zan bo'lsa-da, bunday vazifa yuzaga keladi - Kramer formulalari yordamida ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimini echish. Ikkinchidan, oddiyroq misol sizga Kramer qoidasidan ko'proq foydalanishni tushunishga yordam beradi murakkab holat- uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi.

Bundan tashqari, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimlari mavjud, ularni Kramer qoidasi yordamida hal qilish tavsiya etiladi!

Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

Birinchi bosqichda biz determinantni hisoblaymiz, u deyiladi tizimning asosiy hal qiluvchi omili.

Gauss usuli.

Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana ikkita determinantni hisoblashimiz kerak:
Va

Amalda yuqoridagi saralovchilarni ham belgilash mumkin Lotin harfi.

Formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini topamiz:
,

7-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Yechim: Biz tenglamaning koeffitsientlari juda katta ekanligini ko'ramiz, o'ng tomonda bor o'nli kasrlar vergul bilan. Vergul juda kam uchraydigan mehmon amaliy vazifalar matematikada men bu tizimni ekonometrik muammodan oldim.

Bunday tizimni qanday hal qilish mumkin? Siz bitta o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalashga urinib ko'rishingiz mumkin, ammo bu holda siz ishlash uchun juda noqulay bo'lgan dahshatli chiroyli fraktsiyalarga duch kelishingiz mumkin va yechim dizayni shunchaki dahshatli ko'rinadi. Siz ikkinchi tenglamani 6 ga ko'paytirasiz va atamani ayirasiz, lekin bu erda ham xuddi shunday kasrlar paydo bo'ladi.

Nima qilish kerak? Bunday hollarda Kramerning formulalari yordamga keladi.

;

Javob: ,

Ikkala ildizning ham cheksiz dumlari bor va ular taxminan topiladi, bu ekonometriya muammolari uchun juda maqbul (va hatto oddiy).

Bu erda sharhlar kerak emas, chunki vazifa tayyor formulalar yordamida hal qilinadi, ammo bitta ogohlantirish mavjud. Qachon foydalanish kerak bu usul, majburiy Vazifa dizaynining bir qismi quyidagi qismdir: "Bu tizimning o'ziga xos echimi borligini anglatadi". Aks holda, sharhlovchi sizni Kramer teoremasiga hurmatsizlik qilganingiz uchun jazolashi mumkin.

Kalkulyatorda bajarish qulayligini tekshirish ortiqcha bo'lmaydi: biz taxminiy qiymatlarni o'rniga qo'yamiz. chap tomoni tizimning har bir tenglamasi. Natijada, kichik xatolik bilan siz o'ng tomonda joylashgan raqamlarni olishingiz kerak.

8-misol

Javobni oddiy noto'g'ri kasrlarda ko'rsating. Tekshirish qiling.

Bu misol uchun mustaqil qaror(dars oxirida tugatish va javob berish misoli).

Keling, uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini ko'rib chiqaylik:

Biz tizimning asosiy determinantini topamiz:

Agar bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki mos kelmaydigan (echimlari yo'q). Bunday holda, Kramer qoidasi yordam bermaydi, siz Gauss usulidan foydalanishingiz kerak.

Agar bo'lsa, tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun yana uchta determinantni hisoblashimiz kerak:
, ,

Va nihoyat, javob formulalar yordamida hisoblanadi:

Ko'rib turganingizdek, "uchdan uch" holati "ikkidan ikkiga" holatidan tubdan farq qilmaydi; erkin atamalar ustuni asosiy determinant ustunlari bo'ylab chapdan o'ngga ketma-ket "yuradi".

9-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Yechim: Tizimni Kramer formulalari yordamida yechamiz.

, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Javob: .

Aslida, bu erda yana izoh berish uchun alohida narsa yo'q, chunki yechim tayyor formulalarga amal qiladi. Ammo bir nechta sharhlar mavjud.

Shunday bo'ladiki, hisob-kitoblar natijasida "yomon" qaytarilmas fraktsiyalar olinadi, masalan: .
Men quyidagi "davolash" algoritmini tavsiya qilaman. Agar qo'lingizda kompyuter bo'lmasa, buni bajaring:

1) Hisob-kitoblarda xatolik bo'lishi mumkin. "Yomon" kasrga duch kelganingizdan so'ng darhol tekshirishingiz kerak Shart to'g'ri qayta yozilganmi?. Agar shart xatosiz qayta yozilsa, boshqa qatorda (ustun) kengaytirish yordamida determinantlarni qayta hisoblashingiz kerak.

2) Agar tekshirish natijasida hech qanday xato aniqlanmasa, ehtimol vazifa sharoitida xatolik yuz bergan. Bunday holda, topshiriqni oxirigacha xotirjam va E'tibor bilan bajaring, keyin esa tekshirib ko'ring va biz qarordan keyin uni toza varaqda chizamiz. Albatta, kasr javobini tekshirish yoqimsiz vazifadir, lekin bu kabi har qanday bema'nilik uchun minus berishni yaxshi ko'radigan o'qituvchi uchun qurolsizlantiruvchi dalil bo'ladi. Kasrlarni qanday ishlash kerakligi 8-misolga javobda batafsil tavsiflangan.

Agar sizning qo'lingizda kompyuteringiz bo'lsa, tekshirish uchun avtomatlashtirilgan dasturdan foydalaning, uni darsning boshida bepul yuklab olish mumkin. Aytgancha, dasturni darhol ishlatish eng foydalidir (hatto yechimni boshlashdan oldin); siz xato qilgan joyingizning oraliq bosqichini darhol ko'rasiz! Xuddi shu kalkulyator tizimga yechimni avtomatik ravishda hisoblab chiqadi matritsa usuli.

Ikkinchi izoh. Vaqti-vaqti bilan tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan tizimlar mavjud, masalan:

Bu erda birinchi tenglamada o'zgaruvchi yo'q, ikkinchisida o'zgaruvchi yo'q. Bunday hollarda asosiy belgilovchini to'g'ri va diqqat bilan yozish juda muhimdir:
- etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nollar qo'yiladi.
Aytgancha, nol joylashgan qator (ustun) bo'yicha determinantlarni nol bilan ochish oqilona, chunki hisob-kitoblar sezilarli darajada kamroq.

10-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Bu mustaqil yechim uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob).

4 ta noma'lumli 4 ta tenglamalar tizimi uchun Kramer formulalari o'xshash printsiplarga muvofiq yoziladi. Jonli misolni Aniqlovchilarning xossalari darsida ko'rishingiz mumkin. Determinantning tartibini qisqartirish - beshta 4-tartibli aniqlovchi juda echilishi mumkin. Vazifa allaqachon baxtli talabaning ko'kragidagi professorning poyabzalini eslatib tursa-da.

Teskari matritsa yordamida tizimni yechish

Usul teskari matritsa- bu aslida maxsus holat matritsa tenglamasi(Ko'rsatilgan darsning 3-misoliga qarang).

Ushbu bo'limni o'rganish uchun siz determinantlarni kengaytirish, matritsaning teskarisini topish va matritsani ko'paytirishni bajarishingiz kerak. Tushuntirishlar davom etar ekan, tegishli havolalar taqdim etiladi.

11-misol

Matritsa usuli yordamida tizimni yeching

Yechim: Tizimni matritsa shaklida yozamiz:
, Qayerda

Iltimos, tenglamalar va matritsalar tizimini ko'rib chiqing. Menimcha, hamma elementlarni matritsalarga yozish tamoyilini tushunadi. Yagona izoh: agar tenglamalarda ba'zi o'zgaruvchilar etishmayotgan bo'lsa, unda matritsaning tegishli joylariga nollarni qo'yish kerak edi.

Teskari matritsani formuladan foydalanib topamiz:
, ko‘chirilgan matritsa qayerda algebraik qo'shimchalar mos keladigan matritsa elementlari.

Birinchidan, determinantni ko'rib chiqaylik:

Bu yerda determinant birinchi qatorda kengaytiriladi.

Diqqat! Agar bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud emas va tizimni matritsa usuli yordamida yechish mumkin emas. Bunda sistema noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan yechiladi (Gauss usuli).

Endi biz 9 ta voyaga etmaganlarni hisoblab, ularni kichiklar matritsasiga yozishimiz kerak

Malumot: Chiziqli algebrada qo'sh yozuvlar ma'nosini bilish foydalidir. Birinchi raqam - element joylashgan qatorning raqami. Ikkinchi raqam - element joylashgan ustunning raqami:

Ya'ni, qo'sh yozuv elementning birinchi qatorda, uchinchi ustunda va, masalan, element 3 qatorda, 2 ustunda ekanligini ko'rsatadi.

Yechim davomida voyaga etmaganlarning hisob-kitobini batafsil tasvirlab berish yaxshiroqdir, garchi ba'zi tajribalar bilan siz ularni og'zaki xatolar bilan hisoblashga odatlanishingiz mumkin.

Kramer usuli yoki Kramer qoidasi deb ataladigan usul - tenglamalar tizimidan noma'lum miqdorlarni izlash usuli. U faqat izlanayotgan qiymatlar soni tizimdagi algebraik tenglamalar soniga ekvivalent bo'lgan taqdirdagina foydalanish mumkin, ya'ni tizimdan hosil bo'lgan asosiy matritsa kvadrat bo'lishi va nol qatorlarni o'z ichiga olmaydi, shuningdek, uning determinanti bo'lishi kerak. nol bo'lmang.

Teorema 1

Kramer teoremasi Agar tenglamalar koeffitsientlari asosida tuzilgan bosh matritsaning bosh determinanti $D$ nolga teng bo'lmasa, tenglamalar tizimi izchil bo'lib, u yagona yechimga ega bo'ladi. Bunday tizimning yechimi chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Kramer formulalari orqali hisoblanadi: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Kramer usuli nima?

Kramer usulining mohiyati quyidagicha:

Kramer usuli yordamida tizimning yechimini topish uchun birinchi navbatda $D$ matritsasining asosiy determinantini hisoblaymiz. Asosiy matritsaning hisoblangan determinanti Kramer usuli bilan hisoblanganda nolga teng bo'lsa, u holda tizim bitta yechimga ega bo'lmaydi yoki cheksiz sonli echimlarga ega bo'ladi. Bunday holda tizimga umumiy yoki qandaydir asosiy javobni topish uchun Gauss usulidan foydalanish tavsiya etiladi.
Keyin asosiy matritsaning eng tashqi ustunini erkin shartlar ustuni bilan almashtirishingiz va $D_1$ determinantini hisoblashingiz kerak.
Barcha ustunlar uchun xuddi shunday takrorlang, $D_1$ dan $D_n$ gacha bo'lgan determinantlarni oling, bu erda $n$ - eng o'ng ustunning raqami.
Barcha $D_1$...$D_n$ determinantlari topilgandan so'ng, noma'lum o'zgaruvchilarni $x_i = \frac(D_i)(D)$ formulasi yordamida hisoblash mumkin.

Matritsaning determinantini hisoblash texnikasi

O'lchami 2 dan 2 gacha bo'lgan matritsaning determinantini hisoblash uchun siz bir nechta usullardan foydalanishingiz mumkin:

Xuddi shu qoidani eslatuvchi uchburchaklar qoidasi yoki Sarrus qoidasi. Uchburchak usulining mohiyati shundan iboratki, determinantni hisoblashda rasmda o'ngdagi qizil chiziq bilan bog'langan barcha raqamlarning ko'paytmalari ortiqcha belgisi bilan yoziladi va chapdagi rasmda xuddi shunday bog'langan barcha raqamlar. minus belgisi bilan yoziladi. Ikkala qoida ham 3 x 3 o'lchamdagi matritsalar uchun mos keladi. Sarrus qoidasi holatida avval matritsaning o'zi qayta yoziladi va uning yonida uning birinchi va ikkinchi ustunlari qayta yoziladi. Matritsa va bu qo'shimcha ustunlar orqali diagonallar chiziladi; asosiy diagonalda yoki unga parallel bo'lgan matritsa a'zolari plyus belgisi bilan, ikkilamchi diagonal ustida yoki unga parallel bo'lgan elementlar esa minus belgisi bilan yoziladi.

Shakl 1. Kramer usuli uchun determinantni hisoblash uchun uchburchak qoidasi

Gauss usuli deb nomlanuvchi usuldan foydalanib, bu usul ba'zan determinantning tartibini kamaytirish deb ham ataladi. Bunday holda, matritsa o'zgartiriladi va qisqartiriladi uchburchak ko'rinishi, va keyin asosiy diagonaldagi barcha raqamlar ko'paytiriladi. Shuni esda tutish kerakki, determinantni shu tarzda izlashda siz satrlar yoki ustunlarni ko'paytiruvchi yoki bo'luvchi sifatida chiqarmasdan ko'paytirish yoki raqamlarga bo'lish mumkin emas. Determinantni izlashda faqat ayirish va satrlar va ustunlarni bir-biriga qo'shish mumkin, bundan oldin ayirilgan qatorni nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ko'paytiradi. Bundan tashqari, har safar matritsaning satrlari yoki ustunlarini o'zgartirganda, matritsaning yakuniy belgisini o'zgartirish zarurligini yodda tutish kerak.
Kramer usuli yordamida 4 ta noma’lumli SLAE ni yechishda determinantlarni izlash va topish yoki voyaga yetmaganlarni qidirish orqali determinantni aniqlash uchun Gauss usulidan foydalangan ma’qul.

Kramer usuli yordamida tenglamalar tizimini yechish

2 ta tenglama va ikkita kerakli kattalikdan iborat tizim uchun Kramer usulini qo'llaymiz:

$\begin(holatlar) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end (holatlar)$

Qulaylik uchun uni kengaytirilgan shaklda ko'rsatamiz:

$A = \begin(massiv)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(massiv)$

Tizimning bosh determinanti deb ham ataladigan bosh matritsaning determinantini topamiz:

$D = \begin(massiv)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(massiv) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Agar asosiy determinant nolga teng bo'lmasa, Kramer usuli yordamida slyujni yechish uchun asosiy matritsa ustunlari erkin shartlar qatori bilan almashtirilgan ikkita matritsadan yana bir nechta determinantni hisoblash kerak:

$D_1 = \begin(massiv)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(massiv) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(massiv)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(massiv) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Endi $x_1$ va $x_2$ nomaʼlumlarni topamiz:

$ x_1 = \ frac (D_1) (D) $

$ x_2 = \ frac (D_2) (D) $

1-misol

3-tartibli asosiy matritsa (3 x 3) va uchta noma'lum bo'lgan SLAElarni echish uchun Kramer usuli.

Tenglamalar tizimini yeching:

$\begin(holatlar) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end (holatlar)$

Yuqorida 1-bandda keltirilgan qoidadan foydalanib, matritsaning asosiy determinantini hisoblaymiz:

$D = \begin(massiv)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(massiv) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Va endi yana uchta belgilovchi:

$D_1 = \begin(massiv)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(massiv) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(massiv)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(massiv) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 dollar

$D_3 = \begin(massiv)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(massiv) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

Kerakli miqdorlarni topamiz:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$ x_3 = \ frac (D_1) (D) = \ frac (-60) (-64) = \ frac (15) (16) $

Birinchi qismda biz ba'zi nazariy materiallarni, almashtirish usulini, shuningdek, tizim tenglamalarini muddatlar bo'yicha qo'shish usulini ko'rib chiqdik. Ushbu sahifa orqali saytga kirgan barchaga birinchi qismni o'qishni tavsiya qilaman. Ehtimol, ba'zi tashrif buyuruvchilar materialni juda oddiy deb bilishadi, ammo chiziqli tenglamalar tizimini echish jarayonida men umuman matematik muammolarni hal qilish bo'yicha bir qator juda muhim sharhlar va xulosalar qildim.

Endi biz Kramer qoidasini tahlil qilamiz, shuningdek, teskari matritsa (matritsa usuli) yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echamiz. Barcha materiallar sodda, batafsil va aniq taqdim etilgan; deyarli barcha o'quvchilar yuqoridagi usullardan foydalangan holda tizimlarni qanday hal qilishni o'rganishlari mumkin.

Birinchidan, ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini batafsil ko'rib chiqamiz. Nima uchun? – Axir, eng oddiy tizimni maktab metodi, muddatga qo‘shish usuli yordamida yechish mumkin!

Gap shundaki, ba'zan bo'lsa-da, bunday vazifa yuzaga keladi - Kramer formulalari yordamida ikkita noma'lum ikkita chiziqli tenglamalar tizimini echish. Ikkinchidan, oddiyroq misol sizga Kramer qoidasidan murakkabroq holatda - uchta noma'lum uchta tenglamadan iborat tizimdan qanday foydalanishni tushunishga yordam beradi.

Bundan tashqari, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimlari mavjud, ularni Kramer qoidasi yordamida hal qilish tavsiya etiladi!

Tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

Birinchi bosqichda biz determinantni hisoblaymiz, u deyiladi tizimning asosiy hal qiluvchi omili.

Gauss usuli.

Agar bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun biz yana ikkita determinantni hisoblashimiz kerak:
Va

Amalda yuqoridagi sifatlovchilarni lotin harfi bilan ham belgilash mumkin.

Formulalar yordamida tenglamaning ildizlarini topamiz:
,

7-misol

Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching

Yechim: Biz tenglamaning koeffitsientlari juda katta ekanligini ko'ramiz; o'ng tomonda vergul bilan o'nli kasrlar mavjud. Vergul matematikadan amaliy topshiriqlarda juda kam uchraydigan mehmondir, men bu tizimni ekonometrik masaladan oldim.

Nima qilish kerak? Bunday hollarda Kramerning formulalari yordamga keladi.

;

Javob: ,

Ikkala ildizning ham cheksiz dumlari bor va ular taxminan topiladi, bu ekonometriya muammolari uchun juda maqbul (va hatto oddiy).

Bu erda sharhlar kerak emas, chunki vazifa tayyor formulalar yordamida hal qilinadi, ammo bitta ogohlantirish mavjud. Ushbu usuldan foydalanganda, majburiy Vazifa dizaynining bir qismi quyidagi qismdir: "Bu tizimning o'ziga xos echimi borligini anglatadi". Aks holda, sharhlovchi sizni Kramer teoremasiga hurmatsizlik qilganingiz uchun jazolashi mumkin.

Kalkulyatorda qulay tarzda amalga oshirilishi mumkin bo'lgan tekshirish ortiqcha bo'lmaydi: biz tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga taxminiy qiymatlarni almashtiramiz. Natijada, kichik xatolik bilan siz o'ng tomonda joylashgan raqamlarni olishingiz kerak.

8-misol

Javobni oddiy noto'g'ri kasrlarda ko'rsating. Tekshirish qiling.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob).

Keling, uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimi uchun Kramer qoidasini ko'rib chiqaylik:

Biz tizimning asosiy determinantini topamiz:

Agar bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki mos kelmaydigan (echimlari yo'q). Bunday holda, Kramer qoidasi yordam bermaydi, siz Gauss usulidan foydalanishingiz kerak.

Agar bo'lsa, tizim yagona yechimga ega va ildizlarni topish uchun yana uchta determinantni hisoblashimiz kerak:
, ,

Va nihoyat, javob formulalar yordamida hisoblanadi:

Ko'rib turganingizdek, "uchdan uch" holati "ikkidan ikkiga" holatidan tubdan farq qilmaydi; erkin atamalar ustuni asosiy determinant ustunlari bo'ylab chapdan o'ngga ketma-ket "yuradi".

9-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Yechim: Tizimni Kramer formulalari yordamida yechamiz.

, ya'ni tizim noyob yechimga ega.

Javob: .

Aslida, bu erda yana izoh berish uchun alohida narsa yo'q, chunki yechim tayyor formulalarga amal qiladi. Ammo bir nechta sharhlar mavjud.

Agar sizning qo'lingizda kompyuteringiz bo'lsa, tekshirish uchun avtomatlashtirilgan dasturdan foydalaning, uni darsning boshida bepul yuklab olish mumkin. Aytgancha, dasturni darhol ishlatish eng foydalidir (hatto yechimni boshlashdan oldin); siz xato qilgan joyingizning oraliq bosqichini darhol ko'rasiz! Xuddi shu kalkulyator matritsa usuli yordamida tizimning yechimini avtomatik ravishda hisoblab chiqadi.

10-misol

Tizimni Kramer formulalari yordamida yeching.

Bu mustaqil yechim uchun misol (yakuniy dizayn namunasi va dars oxiridagi javob).

Teskari matritsa yordamida tizimni yechish

Teskari matritsa usuli mohiyatan alohida holatdir matritsa tenglamasi(Ko'rsatilgan darsning 3-misoliga qarang).

11-misol

Matritsa usuli yordamida tizimni yeching

Yechim: Tizimni matritsa shaklida yozamiz:
, Qayerda

Teskari matritsani formuladan foydalanib topamiz:
, bu yerda matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.

Birinchidan, determinantni ko'rib chiqaylik:

Bu yerda determinant birinchi qatorda kengaytiriladi.

Diqqat! Agar bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud emas va tizimni matritsa usuli yordamida yechish mumkin emas. Bunda sistema noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan yechiladi (Gauss usuli).

Endi biz 9 ta voyaga etmaganlarni hisoblab, ularni kichiklar matritsasiga yozishimiz kerak