Gauss usuli yordamida matritsali tizimlarni yechish. Gauss usuli yoki nima uchun bolalar matematikani tushunmaydilar

Gauss usuli chiziqli tizimlarni hal qilish uchun juda mos keladi algebraik tenglamalar(SLAU). Boshqa usullarga nisbatan bir qator afzalliklarga ega:

• birinchidan, birinchi navbatda tenglamalar tizimini izchillik uchun tekshirishning hojati yo'q;
• ikkinchidan, Gauss usuli nafaqat tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri keladigan va tizimning asosiy matritsasi yagona bo'lmagan SLAElarni, balki tenglamalar soni mos kelmaydigan tenglamalar tizimini ham hal qilishi mumkin. noma'lum o'zgaruvchilar soni yoki asosiy matritsaning determinanti nolga teng;
• uchinchidan, Gauss usuli nisbatan kam sonli hisoblash operatsiyalari bilan natijalarga olib keladi.

Maqolaning qisqacha sharhi.

Birinchidan, biz kerakli ta'riflarni beramiz va belgilarni kiritamiz.

Keyinchalik, Gauss usulining algoritmini eng oddiy holat uchun, ya'ni chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari uchun, tenglamalar soni noma'lum o'zgaruvchilar soniga to'g'ri keladigan va tizimning asosiy matritsasining determinanti bo'lgan algoritmni tasvirlaymiz. nolga teng emas. Bunday tenglamalar tizimini echishda Gauss usulining mohiyati eng aniq ko'rinadi, bu noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilishdir. Shuning uchun Gauss usuli noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli deb ham ataladi. Biz bir nechta misollarning batafsil echimlarini ko'rsatamiz.

Xulosa qilib aytganda, asosiy matritsasi to'rtburchaklar yoki birlik bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimlarining Gauss usuli bilan yechimini ko'rib chiqamiz. Bunday tizimlarning yechimi ba'zi xususiyatlarga ega, biz ularni misollar yordamida batafsil ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Asosiy ta'riflar va belgilar.

p ning tizimini ko'rib chiqing chiziqli tenglamalar n ta noma'lum (p n ga teng bo'lishi mumkin):

Qaerda noma'lum o'zgaruvchilar, raqamlar (haqiqiy yoki murakkab) va erkin shartlar.

Agar , keyin chiziqli algebraik tenglamalar tizimi deyiladi bir hil, aks holda - heterojen.

Tizimning barcha tenglamalari identifikatsiyaga aylanadigan noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plami deyiladi SLAU qarori.

Agar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining kamida bitta yechimi mavjud bo'lsa, u deyiladi qo'shma, aks holda - qo'shma bo'lmagan.

Agar SLAE noyob yechimga ega bo'lsa, u chaqiriladi aniq. Agar bir nechta yechim mavjud bo'lsa, u holda tizim chaqiriladi noaniq.

Ularning aytishicha, tizim yozilgan koordinata shakli, agar u shaklga ega bo'lsa
.

Ushbu tizimda matritsa shakli yozuvlar shakliga ega, bu erda - SLAE ning asosiy matritsasi, - noma'lum o'zgaruvchilar ustunining matritsasi, - erkin atamalar matritsasi.

Agar A matritsaga (n+1)-ustun sifatida erkin atamalar matritsa-ustunini qo'shsak, biz shunday deyilamiz. kengaytirilgan matritsa chiziqli tenglamalar tizimlari. Odatda, kengaytirilgan matritsa T harfi bilan belgilanadi va bo'sh shartlar ustuni qolgan ustunlardan vertikal chiziq bilan ajratiladi, ya'ni

Kvadrat matritsa A deyiladi degeneratsiya, agar uning determinanti nolga teng bo'lsa. Agar bo'lsa, A matritsa deyiladi degenerativ bo'lmagan.

Quyidagi fikrga e'tibor qaratish lozim.

Agar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bilan bajarsak quyidagi harakatlar

• ikkita tenglamani almashtirish,
• har qanday tenglamaning ikkala tomonini ixtiyoriy va nolga teng bo'lmagan haqiqiy (yoki kompleks) k soniga ko'paytiring,
• har qanday tenglamaning ikkala tomoniga boshqa tenglamaning tegishli qismlarini qo'shing, ixtiyoriy k soniga ko'paytiriladi,

keyin siz bir xil echimlarga ega bo'lgan ekvivalent tizimga ega bo'lasiz (yoki, xuddi asl kabi, hech qanday yechim yo'q).

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimining kengaytirilgan matritsasi uchun bu harakatlar qatorlar bilan elementar o'zgarishlarni amalga oshirishni anglatadi:

• ikki qatorni almashtirish,
• T matritsasining istalgan qatorining barcha elementlarini nolga teng bo'lmagan k soniga ko'paytirish,
• matritsaning istalgan satrining elementlariga boshqa qatorning mos elementlarini qo'shish, ixtiyoriy k soniga ko'paytiriladi.

Endi biz Gauss usulining tavsifiga o'tamiz.

Gauss usuli yordamida tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lgan va sistemaning bosh matritsasi yagona bo‘lmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish.

Agar bizga tenglamalar sistemasi yechimini topish topshirilsa, maktabda nima qilardik? .

Ba'zilar shunday qilishadi.

E'tibor bering, ikkinchi tenglamaning chap tomoniga qo'shing chap tomoni birinchi va o'ng tomonda - o'ng tomonda, siz noma'lum o'zgaruvchilar x 2 va x 3 dan xalos bo'lishingiz va darhol x 1 ni topishingiz mumkin:

Topilgan x 1 =1 qiymatini tizimning birinchi va uchinchi tenglamalariga almashtiramiz:

Agar tizimning uchinchi tenglamasining ikkala tomonini -1 ga ko'paytirsak va ularni birinchi tenglamaning tegishli qismlariga qo'shsak, biz x 3 noma'lum o'zgaruvchidan qutulamiz va x 2 ni topamiz:

Olingan x 2 = 2 qiymatini uchinchi tenglamaga almashtiramiz va qolgan noma'lum o'zgaruvchi x 3 ni topamiz:

Boshqalar boshqacha yo'l tutgan bo'lardi.

Noma'lum x 1 o'zgaruvchiga nisbatan tizimning birinchi tenglamasini hal qilaylik va natijada olingan ifodani ushbu o'zgaruvchini ulardan chiqarib tashlash uchun tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalariga almashtiramiz:

Endi x 2 uchun sistemaning ikkinchi tenglamasini yechamiz va undan noma’lum x 2 o‘zgaruvchini yo‘q qilish uchun olingan natijani uchinchi tenglamaga almashtiramiz:

Tizimning uchinchi tenglamasidan x 3 =3 ekanligi aniq. Ikkinchi tenglamadan biz topamiz , va birinchi tenglamadan biz olamiz.

Tanish echimlar, to'g'rimi?

Bu erda eng qizig'i shundaki, ikkinchi yechim usuli mohiyatan noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli, ya'ni Gauss usulidir. Noma'lum o'zgaruvchilarni ifodalaganimizda (birinchi x 1, keyingi bosqichda x 2) va ularni tizimning qolgan tenglamalariga almashtirganimizda, biz ularni chiqarib tashladik. Oxirgi tenglamada faqat bitta noma'lum o'zgaruvchi qolguncha biz bartaraf qildik. Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish jarayoni deyiladi to'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli. Tugatgandan keyin oldinga siljish bizda endi oxirgi tenglamadagi noma'lum o'zgaruvchini hisoblash imkoniyati mavjud. Uning yordami bilan biz oxirgidan oldingi tenglamadan keyingi noma'lum o'zgaruvchini topamiz va hokazo. Oxirgi tenglamadan birinchisiga o'tishda noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket topish jarayoni deyiladi teskari Gauss usuli.

Shuni ta'kidlash kerakki, birinchi tenglamada x 1 ni x 2 va x 3 ko'rinishida ifodalab, keyin hosil bo'lgan ifodani ikkinchi va uchinchi tenglamalarga almashtirsak, quyidagi harakatlar bir xil natijaga olib keladi:

Darhaqiqat, bunday protsedura tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan noma'lum x 1 o'zgaruvchisini yo'q qilishga imkon beradi:

Gauss usuli yordamida noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish bilan nuanslar tizim tenglamalarida ba'zi o'zgaruvchilar mavjud bo'lmaganda paydo bo'ladi.

Masalan, SLAUda birinchi tenglamada x 1 noma'lum o'zgaruvchi yo'q (boshqacha aytganda, uning oldidagi koeffitsient nolga teng). Shuning uchun, bu noma'lum o'zgaruvchini qolgan tenglamalardan chiqarib tashlash uchun x 1 uchun tizimning birinchi tenglamasini yecha olmaymiz. Ushbu vaziyatdan chiqish yo'li tizim tenglamalarini almashtirishdir. Biz asosiy matritsalarning determinantlari noldan farq qiladigan chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqayotganimiz sababli, har doim bizga kerak bo'lgan o'zgaruvchi mavjud bo'lgan tenglama mavjud va biz bu tenglamani kerakli pozitsiyaga o'zgartirishimiz mumkin. Bizning misolimiz uchun tizimning birinchi va ikkinchi tenglamalarini almashtirish kifoya , keyin siz x 1 uchun birinchi tenglamani hal qilishingiz va uni tizimning qolgan tenglamalaridan chiqarib tashlashingiz mumkin (garchi x 1 endi ikkinchi tenglamada mavjud emas).

Umid qilamizki, siz asosiy narsani tushunasiz.

Keling, tasvirlab beraylik Gauss usuli algoritmi.

Faraz qilaylik, n ta noma’lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishimiz kerak shaklning o'zgaruvchilari , va uning bosh matritsasining determinanti noldan farqli bo‘lsin.

Biz buni taxmin qilamiz, chunki tizim tenglamalarini qayta tartibga solish orqali har doim bunga erishishimiz mumkin. Ikkinchidan boshlab, tizimning barcha tenglamalaridan noma'lum x 1 o'zgaruvchisini o'chiramiz. Buning uchun sistemaning ikkinchi tenglamasiga birinchi, ga ko'paytiriladi, uchinchi tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi va hokazo, n- tenglamaga birinchi bo'lib ko'paytiriladi. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi

qayerda va .

Agar tizimning birinchi tenglamasida x 1 ni boshqa noma’lum o‘zgaruvchilar bilan ifodalaganimizda va olingan ifodani boshqa barcha tenglamalarga almashtirganimizda ham xuddi shunday natijaga erishgan bo‘lardik. Shunday qilib, x 1 o'zgaruvchisi ikkinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqariladi.

Keyinchalik, biz shunga o'xshash tarzda davom etamiz, lekin natijada olingan tizimning faqat rasmda ko'rsatilgan qismi bilan

Buning uchun sistemaning uchinchi tenglamasiga ga ko'paytirilgan ikkinchisini, to'rtinchi tenglamaga ikkinchisini ko'paytiramiz va hokazo, n- tenglamaga ikkinchisini qo'shamiz, ga ko'paytiramiz. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi

qayerda va . Shunday qilib, x 2 o'zgaruvchisi uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlanadi.

Keyinchalik, biz noma'lum x 3 ni yo'q qilishga kirishamiz, shu bilan birga biz tizimning rasmda ko'rsatilgan qismi bilan xuddi shunday harakat qilamiz.

Shunday qilib, tizim shaklni olmaguncha Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri progressiyasini davom ettiramiz

Shu paytdan boshlab biz Gauss usulining teskarisini boshlaymiz: oxirgi tenglamadan x n ni quyidagicha hisoblaymiz, x n ning olingan qiymatidan foydalanib, oxirgidan oldingi tenglamadan x n-1 ni topamiz va hokazo, birinchi tenglamadan x 1 ni topamiz. .

Keling, misol yordamida algoritmni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Gauss usuli.

Yechim.

a 11 koeffitsienti noldan farq qiladi, shuning uchun keling, Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri progressiyasiga o'taylik, ya'ni birinchisidan tashqari tizimning barcha tenglamalaridan x 1 noma'lum o'zgaruvchini chiqarib tashlashga o'tamiz. Buning uchun ikkinchi, uchinchi va toʻrtinchi tenglamalarning chap va oʻng tomonlariga birinchi tenglamaning chap va oʻng tomonlarini mos ravishda koʻpaytiring. Va:

Noma'lum o'zgaruvchi x 1 o'chirildi, keling x 2 ni yo'q qilishga o'tamiz. Tizimning uchinchi va to'rtinchi tenglamalarining chap va o'ng tomonlariga ikkinchi tenglamaning chap va o'ng tomonlarini mos ravishda ko'paytiramiz. Va :

Gauss usulining oldinga siljishini yakunlash uchun tizimning oxirgi tenglamasidan noma'lum x 3 o'zgaruvchisini chiqarib tashlashimiz kerak. To'rtinchi tenglamaning chap va o'ng tomonlariga mos ravishda chap va qo'shamiz o'ng tomon uchinchi tenglama ko'paytiriladi :

Gauss usulining teskarisini boshlashingiz mumkin.

Bizda oxirgi tenglamadan ,
uchinchi tenglamadan biz olamiz,
ikkinchisidan,
birinchisidan.

Tekshirish uchun siz noma'lum o'zgaruvchilarning olingan qiymatlarini asl tenglamalar tizimiga almashtirishingiz mumkin. Barcha tenglamalar identifikatsiyaga aylanadi, bu Gauss usuli yordamida yechim to'g'ri topilganligini ko'rsatadi.

Javob:

Endi matritsa yozuvida Gauss usuli yordamida xuddi shu misolning yechimini beraylik.

Misol.

Tenglamalar sistemasi yechimini toping Gauss usuli.

Yechim.

Tizimning kengaytirilgan matritsasi shaklga ega . Har bir ustunning yuqori qismida matritsaning elementlariga mos keladigan noma'lum o'zgaruvchilar joylashgan.

Bu erda Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri yondashuvi elementar transformatsiyalar yordamida tizimning kengaytirilgan matritsasini trapezoidal shaklga qisqartirishni o'z ichiga oladi. Bu jarayon biz koordinata shaklida tizim bilan qilgan noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilishga o'xshaydi. Endi buni ko'rasiz.

Matritsani shunday o'zgartiramizki, birinchi ustundagi barcha elementlar ikkinchidan boshlab nolga aylanadi. Buning uchun ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlar elementlariga birinchi qatorning mos keladigan elementlarini ga ko'paytiramiz, va shunga muvofiq:

Keyinchalik, hosil bo'lgan matritsani ikkinchi ustunda uchinchidan boshlab barcha elementlar nolga teng bo'lishi uchun aylantiramiz. Bu noma'lum x 2 o'zgaruvchisini yo'q qilishga to'g'ri keladi. Buning uchun uchinchi va to'rtinchi qatorlar elementlariga matritsaning birinchi qatorining mos keladigan elementlarini mos ravishda ko'paytiramiz. Va :

Tizimning oxirgi tenglamasidan noma'lum x 3 o'zgaruvchisini chiqarib tashlash qoladi. Buning uchun hosil bo'lgan matritsaning oxirgi qatori elementlariga oxirgidan oldingi qatorning tegishli elementlarini ko'paytiramiz. :

Shuni ta'kidlash kerakki, bu matritsa chiziqli tenglamalar tizimiga mos keladi

oldinga siljishdan keyin olingan.

Orqaga qaytish vaqti keldi. Matritsa yozuvida Gauss usulining teskarisi natijada olingan matritsani rasmda belgilangan matritsani shunday o'zgartirishni o'z ichiga oladi.

diagonal bo'ldi, ya'ni shakl oldi

ba'zi raqamlar qayerda.

Bu o'zgarishlar Gauss usulining oldinga o'zgarishiga o'xshaydi, lekin birinchi qatordan oxirgisiga emas, balki oxirgidan birinchisiga qadar amalga oshiriladi.

Uchinchi, ikkinchi va birinchi qatorlar elementlariga oxirgi qatorning mos keladigan elementlarini ko'paytiring. , yana va yana mos ravishda:

Endi ikkinchi va birinchi qatorlar elementlariga uchinchi qatorning mos keladigan elementlarini mos ravishda va ga ko'paytiring:

Teskari Gauss usulining oxirgi bosqichida birinchi qatorning elementlariga ikkinchi qatorning mos keladigan elementlarini ko'paytiramiz:

Olingan matritsa tenglamalar tizimiga mos keladi , biz noma'lum o'zgaruvchilarni qaerdan topamiz.

Javob:

ESLATMA.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun Gauss usulidan foydalanganda, taxminiy hisob-kitoblardan qochish kerak, chunki bu butunlay noto'g'ri natijalarga olib kelishi mumkin. O'nli kasrlarni yaxlitlash tavsiya etilmaydi. dan yaxshiroq o'nli kasrlar oddiy kasrlarga o'ting.

Misol.

Gauss usuli yordamida uchta tenglama sistemasini yeching .

Yechim.

E'tibor bering, bu misolda noma'lum o'zgaruvchilar boshqa belgiga ega (x 1, x 2, x 3 emas, balki x, y, z). Keling, oddiy kasrlarga o'tamiz:

Noma'lum x ni tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan chiqarib tashlaylik:

Olingan tizimda noma'lum o'zgaruvchi y ikkinchi tenglamada yo'q, lekin uchinchi tenglamada y mavjud, shuning uchun ikkinchi va uchinchi tenglamalarni almashtiramiz:

Bu Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri rivojlanishini yakunlaydi (uchinchi tenglamadan y ni chiqarib tashlashning hojati yo'q, chunki bu noma'lum o'zgaruvchi endi mavjud emas).

Keling, teskari harakatni boshlaylik.

Oxirgi tenglamadan biz topamiz ,
oxirgidan


bizda mavjud bo'lgan birinchi tenglamadan

Javob:

X = 10, y = 5, z = -20.

Tenglamalar soni noma’lumlar soniga to‘g‘ri kelmaydigan yoki sistemaning bosh matritsasi yagona bo‘lgan chiziqli algebraik tenglamalarni Gauss usuli yordamida yechish.

Asosiy matritsasi toʻgʻri toʻrtburchak yoki kvadrat birlik boʻlgan tenglamalar sistemasi yechimlari boʻlmasligi, yagona yechimga ega boʻlishi yoki cheksiz sonli yechimga ega boʻlishi mumkin.

Endi biz Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimining mosligini yoki nomuvofiqligini aniqlashga qanday imkon berishini tushunamiz va uning muvofiqligida barcha echimlarni (yoki bitta echimni) aniqlaymiz.

Asosan, bunday SLAE holatlarida noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish jarayoni bir xil bo'lib qoladi. Biroq, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan ba'zi vaziyatlarni batafsil ko'rib chiqishga arziydi.

Keling, eng muhim bosqichga o'tamiz.

Demak, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi Gauss usulining oldinga siljishini tugatgandan so'ng, shaklni oladi deb faraz qilaylik. va bitta tenglama ham qisqartirilmadi (bu holda biz tizim mos kelmaydi degan xulosaga kelamiz). Mantiqiy savol tug'iladi: "Keyingi nima qilish kerak"?

Olingan tizimning barcha tenglamalarida birinchi bo'lgan noma'lum o'zgaruvchilarni yozamiz:

Bizning misolimizda bular x 1, x 4 va x 5. Tizim tenglamalarining chap tomonida faqat yozma noma'lum o'zgaruvchilar x 1, x 4 va x 5 bo'lgan atamalarni qoldiramiz, qolgan shartlar qarama-qarshi belgi bilan tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkaziladi:

Tenglamalarning o'ng tomonida joylashgan noma'lum o'zgaruvchilarga ixtiyoriy qiymatlarni beraylik, bu erda - ixtiyoriy raqamlar:

Shundan so'ng, bizning SLAE barcha tenglamalarining o'ng tomonida raqamlar mavjud va biz Gauss usulining teskarisiga o'tishimiz mumkin.

Bizda mavjud bo'lgan tizimning oxirgi tenglamasidan, oxirgidan oldingi tenglamadan, biz birinchi tenglamadan olamiz.

Tenglamalar tizimining yechimi noma'lum o'zgaruvchilar qiymatlari to'plamidir

Raqamlarni berish turli qiymatlar bo'lsa, biz tenglamalar tizimining turli xil echimlarini olamiz. Ya'ni, bizning tenglamalar sistemamiz cheksiz ko'p echimlarga ega.

Javob:

Qayerda - ixtiyoriy raqamlar.

Materialni birlashtirish uchun biz yana bir nechta misollarning echimlarini batafsil tahlil qilamiz.

Misol.

Qaror qiling bir hil tizim chiziqli algebraik tenglamalar Gauss usuli.

Yechim.

Sistemaning ikkinchi va uchinchi tenglamalaridan noma’lum x o‘zgaruvchini chiqarib tashlaylik. Buning uchun ikkinchi tenglamaning chap va o‘ng tomonlariga mos ravishda birinchi tenglamaning chap va o‘ng tomonlarini ga ko‘paytiramiz, uchinchi tenglamaning chap va o‘ng tomonlariga esa chap va o‘ng tomonlarini qo‘shamiz. Birinchi tenglamaning o'ng tomonlari, ko'paytiriladi:

Endi hosil bo'lgan tenglamalar tizimining uchinchi tenglamasidan y ni chiqarib tashlaylik:

Olingan SLAE tizimga ekvivalentdir .

Tizim tenglamalarining chap tomonida faqat noma'lum o'zgaruvchilar x va y bo'lgan atamalarni qoldiramiz va noma'lum o'zgaruvchisi z bo'lgan shartlarni o'ng tomonga o'tkazamiz:

Yechilishi kerak bo'lgan chiziqli algebraik tenglamalar tizimi berilsin (tizimning har bir tenglamasini tenglikka aylantiradigan xi noma'lum qiymatlarini toping).

Biz bilamizki, chiziqli algebraik tenglamalar tizimi:

1) Hech qanday yechim yo'q (bo'lishi qo'shma bo'lmagan).
2) Cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ling.
3) Yagona yechimga ega bo'ling.

Biz eslaganimizdek, Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki nomuvofiq bo'lgan hollarda mos kelmaydi. Gauss usuli – har qanday chiziqli tenglamalar tizimining yechimlarini topish uchun eng kuchli va ko'p qirrali vosita, qaysi har holda bizni javobga olib boradi! Umuman olganda, usulning algoritmi uchta holat bir xil ishlaydi. Agar Kramer va matritsa usullari determinantlarni bilishni talab qilsa, Gauss usulini qo'llash uchun faqat bilim kerak. arifmetik amallar, bu hatto boshlang'ich sinf o'quvchilari uchun ham foydalanish imkonini beradi.

Kengaytirilgan matritsa konvertatsiyalari ( bu tizimning matritsasi - faqat noma'lumlar koeffitsientlaridan tashkil topgan matritsa, ortiqcha erkin shartlar ustuni) Gauss usulida chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari:

1) Bilan troki matritsalar mumkin qayta tartibga solish ba'zi joylarda.

2) agar matritsada proportsionallar paydo bo'lsa (yoki mavjud bo'lsa). maxsus holat– bir xil) qatorlar, keyin u ergashadi o'chirish Bu satrlarning barchasi bittadan tashqari matritsadan.

3) agar transformatsiyalar paytida matritsada nol qator paydo bo'lsa, u ham bo'lishi kerak o'chirish.

4) matritsaning qatori bo'lishi mumkin ko'paytirish (bo'lish) noldan boshqa istalgan raqamga.

5) matritsaning qatoriga mumkin raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing, noldan farq qiladi.

Gauss usulida elementar o‘zgartirishlar tenglamalar sistemasi yechimini o‘zgartirmaydi.

Gauss usuli ikki bosqichdan iborat:

1. "To'g'ridan-to'g'ri harakat" - elementar transformatsiyalardan foydalanib, chiziqli algebraik tenglamalar tizimining kengaytirilgan matritsasini "uchburchak" bosqichli shaklga keltiring: kengaytirilgan matritsaning asosiy diagonal ostida joylashgan elementlari nolga teng (yuqoridan pastga siljish). Masalan, ushbu turga:

Buning uchun quyidagi amallarni bajaring:

1) Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining birinchi tenglamasini ko'rib chiqamiz va x 1 uchun koeffitsient K ga teng. Ikkinchi, uchinchi va hokazo. tenglamalarni quyidagicha o'zgartiramiz: har bir tenglamani (noma'lumlar koeffitsientlari, shu jumladan, erkin shartlar) har bir tenglamadagi noma'lum x 1 koeffitsientiga bo'linadi va K ga ko'paytiriladi. Shundan so'ng biz ikkinchi tenglamadan birinchisini ayiramiz ( noma'lumlar koeffitsientlari va erkin shartlar). Ikkinchi tenglamadagi x 1 uchun biz 0 koeffitsientini olamiz. Uchinchi o'zgartirilgan tenglamadan birinchidan tashqari barcha tenglamalar 0 koeffitsientiga ega bo'lguncha ayiriladi.

2) Keyingi tenglamaga o'tamiz. Bu ikkinchi tenglama va x 2 uchun koeffitsient M ga teng bo'lsin. Yuqorida ta'riflanganidek, barcha "pastki" tenglamalar bilan davom etamiz. Shunday qilib, noma'lum x 2 "ostida" barcha tenglamalarda nollar bo'ladi.

3) Keyingi tenglamaga o'ting va shunga o'xshash oxirgi noma'lum va o'zgartirilgan erkin atama qolguncha davom eting.

1. Gauss usulining "teskari harakati" chiziqli algebraik tenglamalar tizimining yechimini olishdir ("pastdan yuqoriga" harakat). Oxirgi "pastki" tenglamadan biz bitta birinchi yechimni olamiz - noma'lum x n. Buning uchun A * x n = B elementar tenglamani yechamiz. Yuqorida keltirilgan misolda x 3 = 4. Topilgan qiymatni keyingi “yuqori” tenglamaga almashtiramiz va uni keyingi noma’lumga nisbatan yechamiz. Misol uchun, x 2 - 4 = 1, ya'ni. x 2 = 5. Va hokazo, biz barcha noma'lumlarni topmagunimizcha.

Misol.

Ba'zi mualliflar maslahat berganidek, Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echaylik:

Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

Biz yuqori chap "qadam" ga qaraymiz. Bizda bitta bo'lishi kerak. Muammo shundaki, birinchi ustunda umuman birliklar yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish hech narsani hal qilmaydi. Bunday hollarda birlik elementar transformatsiya yordamida tashkil etilishi kerak. Bu odatda bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Keling buni qilamiz:
1 qadam . Birinchi qatorga biz ikkinchi qatorni qo'shamiz, -1 ga ko'paytiriladi. Ya'ni, biz aqliy ravishda ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytirdik va birinchi va ikkinchi qatorlarni qo'shdik, ikkinchi qator esa o'zgarmadi.

Endi yuqori chap tomonda "minus bir" bor, bu bizga juda mos keladi. +1 olishni istagan har bir kishi qo'shimcha amalni bajarishi mumkin: birinchi qatorni -1 ga ko'paytiring (uning belgisini o'zgartiring).

2-qadam . 5 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.

3-qadam . Birinchi qator -1 ga ko'paytirildi, qoida tariqasida, bu go'zallik uchun. Uchinchi qatorning belgisi ham o'zgartirildi va u ikkinchi o'ringa ko'chirildi, shuning uchun ikkinchi "qadam" da biz kerakli birlikka ega bo'ldik.

4-qadam . Uchinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, 2 ga ko'paytirildi.

5-qadam . Uchinchi qator 3 ga bo'lingan.

Hisoblashda xatolikni ko'rsatadigan belgi (kamdan-kam hollarda matn terish xatosi) "yomon" pastki chiziqdir. Ya'ni, agar biz quyida (0 0 11 |23) va shunga mos ravishda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 kabi biror narsaga ega bo'lsak, unda yuqori ehtimollik bilan biz elementar dars paytida xatolikka yo'l qo'yilgan deb aytishimiz mumkin. transformatsiyalar.

Buning teskarisini qilaylik; misollarni loyihalashda tizimning o'zi ko'pincha qayta yozilmaydi, lekin tenglamalar "to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsadan olinadi". Teskari harakat, eslataman, pastdan yuqoriga ishlaydi. Ushbu misolda natija sovg'a bo'ldi:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, shuning uchun x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Javob:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Keling, taklif qilingan algoritm yordamida bir xil tizimni hal qilaylik. olamiz

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Ikkinchi tenglamani 5 ga, uchinchisini esa 3 ga bo'ling.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Ikkinchi va uchinchi tenglamalarni 4 ga ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Ikkinchi va uchinchi tenglamalardan birinchi tenglamani ayirsak, bizda:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Uchinchi tenglamani 0,64 ga bo'ling:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Uchinchi tenglamani 0,4 ga ko'paytiring

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Uchinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, biz "bosqichli" kengaytirilgan matritsani olamiz:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Shunday qilib, hisob-kitoblar paytida xatolik to'planganligi sababli, biz x 3 = 0,96 yoki taxminan 1 ni olamiz.

x 2 = 3 va x 1 = -1.

Shu tarzda yechish orqali siz hech qachon hisob-kitoblarda adashmaysiz va hisoblash xatolariga qaramay, natijaga erishasiz.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishning bu usulini dasturlash oson va hisobga olinmaydi o'ziga xos xususiyatlar noma'lumlar uchun koeffitsientlar, chunki amalda (iqtisodiy va texnik hisoblarda) butun bo'lmagan koeffitsientlar bilan shug'ullanish kerak.

Omad tilayman! Sinfda ko'rishguncha! Repetitor.

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.

Sistema berilgan bo'lsin, ∆≠0. (1)
Gauss usuli noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usulidir.

Gauss usulining mohiyati (1) ni uchburchak matritsali tizimga aylantirishdan iborat bo'lib, undan keyin barcha noma'lumlarning qiymatlari ketma-ket (teskari) olinadi. Hisoblash sxemalaridan birini ko'rib chiqaylik. Ushbu sxema bitta bo'linish sxemasi deb ataladi. Shunday qilib, keling, ushbu diagrammani ko'rib chiqaylik. 11 ≠0 (etakchi element) birinchi tenglamani 11 ga bo'lsin. olamiz
(2)
(2) tenglamadan foydalanib, tizimning qolgan tenglamalaridan x 1 noma'lumlarni yo'q qilish oson (buning uchun har bir tenglamadan (2) tenglamani ayirish kifoya qiladi, avval x 1 uchun tegishli koeffitsientga ko'paytiriladi). , ya'ni birinchi bosqichda biz qo'lga kiritamiz
.
Boshqacha qilib aytganda, 1-bosqichda keyingi satrlarning har bir elementi, ikkinchisidan boshlab, dastlabki element va uning birinchi ustun va birinchi (o'zgartirilgan) qatorga "proyeksiyasi" mahsuloti o'rtasidagi farqga teng bo'ladi.
Shundan so'ng, birinchi tenglamani yolg'iz qoldirib, biz birinchi bosqichda olingan tizimning qolgan tenglamalari bo'yicha xuddi shunday o'zgarishlarni amalga oshiramiz: biz ular orasidan etakchi element bilan tenglamani tanlaymiz va uning yordami bilan qolganlardan x 2 ni chiqarib tashlaymiz. tenglamalar (2-bosqich).
n qadamdan so'ng (1) o'rniga ekvivalent tizimni olamiz
(3)
Shunday qilib, birinchi bosqichda biz uchburchak tizimni olamiz (3). Ushbu bosqich oldinga siljish deb ataladi.
Ikkinchi bosqichda (teskari) biz (3) dan x n, x n -1, ..., x 1 qiymatlarini ketma-ket topamiz.
Olingan yechimni x 0 deb belgilaymiz. Keyin farq e=b-A x 0 bo'ladi qoldiq deb ataladi.
Agar e=0 bo'lsa, topilgan yechim x 0 to'g'ri bo'ladi.

Gauss usuli yordamida hisob-kitoblar ikki bosqichda amalga oshiriladi:

1. Birinchi bosqich oldingi usul deb ataladi. Birinchi bosqichda dastlabki tizim uchburchak shaklga o'tkaziladi.
2. Ikkinchi bosqich teskari zarba deb ataladi. Ikkinchi bosqichda dastlabkisiga ekvivalent bo'lgan uchburchak tizim hal qilinadi.

a 11, a 22, ... koeffitsientlari yetakchi elementlar deb ataladi.
Har bir bosqichda yetakchi element nolga teng deb qabul qilindi. Agar bunday bo'lmasa, tizim tenglamalarini qayta tashkil etayotgandek, boshqa har qanday element etakchi element sifatida ishlatilishi mumkin.

Gauss usulining maqsadi

Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun mo'ljallangan. To'g'ridan-to'g'ri hal qilish usullariga ishora qiladi.

Gauss usulining turlari

1. Klassik Gauss usuli;
2. Gauss usulining modifikatsiyalari. Gauss usulining modifikatsiyalaridan biri asosiy elementni tanlash bilan sxema hisoblanadi. Asosiy elementni tanlash bilan Gauss usulining o'ziga xos xususiyati tenglamalarni shunday qayta tartibga solishdirki, k-bosqichda etakchi element k-ustundagi eng katta element bo'lib chiqadi.
3. Jordano-Gauss usuli;

Jordano-Gauss usuli va klassik usul o'rtasidagi farq Gauss usuli yechimni qidirish yo'nalishi asosiy diagonal bo'ylab sodir bo'lganda (identifikatsiya matritsasiga o'tish) to'rtburchaklar qoidasini qo'llashdan iborat. Gauss usulida yechimni izlash yo‘nalishi ustunlar bo‘ylab sodir bo‘ladi (uchburchak matritsali tizimga o‘tkazish).
Keling, farqni ko'rsatamiz Jordano-Gauss usuli Gauss usulidan misollar bilan.

Gauss usuli yordamida yechimga misol
Keling, tizimni hal qilaylik:

Hisoblash qulayligi uchun qatorlarni almashtiramiz:

2-qatorni (2) ga ko'paytiramiz. 3-qatorni 2-ga qo'shing

2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 2-qatorni 1-chi qatorga qo'shing

1-qatordan biz x 3 ni ifodalaymiz:
2-qatordan biz x 2 ni ifodalaymiz:
3-qatordan biz x 1 ni ifodalaymiz:

Jordano-Gauss usuli yordamida yechimga misol
Xuddi shu SLAEni Jordano-Gauss usuli yordamida hal qilaylik.

Matritsaning asosiy diagonalida joylashgan RE hal qiluvchi elementni ketma-ket tanlaymiz.
Ruxsat elementi (1) ga teng.



NE = SE - (A*B)/RE
RE - hal qiluvchi element (1), A va B - STE va RE elementlari bilan to'rtburchaklar hosil qiluvchi matritsa elementlari.
Keling, har bir elementning hisobini jadval ko'rinishida keltiramiz:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Yechish elementi (3) ga teng.
Yechish elementi o'rniga biz 1 ni olamiz va ustunning o'zida biz nollarni yozamiz.
Matritsaning barcha boshqa elementlari, shu jumladan B ustunining elementlari to'rtburchaklar qoidasi bilan aniqlanadi.
Buning uchun biz to'rtburchakning uchlarida joylashgan va har doim RE hal qiluvchi elementni o'z ichiga olgan to'rtta raqamni tanlaymiz.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Ruxsat elementi (-4).
Yechish elementi o'rniga biz 1 ni olamiz va ustunning o'zida biz nollarni yozamiz.
Matritsaning barcha boshqa elementlari, shu jumladan B ustunining elementlari to'rtburchaklar qoidasi bilan aniqlanadi.
Buning uchun biz to'rtburchakning uchlarida joylashgan va har doim RE hal qiluvchi elementni o'z ichiga olgan to'rtta raqamni tanlaymiz.
Keling, har bir elementning hisobini jadval ko'rinishida keltiramiz:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Javob: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Gauss usulini amalga oshirish

Gauss usuli ko'plab dasturlash tillarida, xususan: Pascal, C++, php, Delphi tillarida amalga oshiriladi, shuningdek, Gauss usulining onlayn amalga oshirilishi ham mavjud.

Gauss usulidan foydalanish

O'yin nazariyasida Gauss usulini qo'llash

O'yin nazariyasida o'yinchining maksimal optimal strategiyasini topishda Gauss usuli bilan echiladigan tenglamalar tizimi tuziladi.

Differensial tenglamalarni yechishda Gauss usulini qo'llash

Differensial tenglamaning ma'lum bir yechimini topish uchun, avvalo, yozma qisman yechim uchun mos darajali hosilalarni toping (y=f(A,B,C,D)), ular quyidagicha almashtiriladi. original tenglama. Topish uchun keyingi o'zgaruvchilar A, B, C, D Gauss usulida tenglamalar tizimi tuziladi va yechiladi.

Chiziqli dasturlashda Jordano-Gauss usulini qo'llash

IN chiziqli dasturlash, xususan, simpleks usulida har bir iteratsiyada simpleks jadvalini o'zgartirish uchun Jordano-Gauss usuli qo'llaniladigan to'rtburchaklar qoidasi qo'llaniladi.

Karl Fridrix Gauss, eng buyuk matematik uzoq vaqt ikkilanib, falsafa va matematika o'rtasida tanlov qildi. Ehtimol, aynan shu tafakkur unga jahon ilm-fanida shunday sezilarli “meros” qoldirishga imkon bergandir. Xususan, "Gauss usuli" ni yaratish orqali ...

Deyarli 4 yil davomida ushbu saytdagi maqolalar maktab ta'limiga, asosan, falsafa nuqtai nazaridan, bolalar ongiga kiritilgan (noto'g'ri) tushunish tamoyillari bilan bog'liq. Aniqroq ma’lumotlar, misollar va usullarning vaqti keldi... Menimcha, tanish, chalkash va tushunarli narsalarga aynan shunday yondashuv. muhim hayot sohalari yaxshi natijalar beradi.

Biz odamlar shunday yaratilganki, biz qancha gapirmasak ham mavhum fikrlash, Lekin tushunish Har doim misollar orqali sodir bo‘ladi. Misollar bo'lmasa, tamoyillarni anglab bo'lmaydi... Xuddi tog' cho'qqisiga oyoqdan butun nishabni bosib o'tishdan boshqa iloji bo'lmaganidek.

Maktab bilan bir xil: hozircha tirik hikoyalar Biz uni instinktiv ravishda bolalarni tushunishga o'rgatish joyi sifatida ko'rishda davom etishimiz etarli emas.

Masalan, Gauss usulini o‘rgatish...

5-sinf maktabida Gauss usuli

Darhol rezervatsiya qilishimga ruxsat bering: Gauss usulida ko'proq narsa bor keng qo'llanilishi, masalan, hal qilishda chiziqli tenglamalar tizimlari. Biz gaplashadigan narsa 5-sinfda sodir bo'ladi. Bu boshlandi, qaysi birini tushunganingizdan so'ng, ko'proq "ilg'or variantlarni" tushunish osonroq. Ushbu maqolada biz gaplashamiz Ketma-ket yig'indisini topish uchun Gauss usuli (usuli).

Mana men maktabdan olib kelgan misol kichik o'g'li, Moskva gimnaziyasida 5-sinfda o'qiydi.

Gauss usulini maktabda namoyish qilish

Matematika o'qituvchisi yordamida interaktiv doska (zamonaviy usullar trening) bolalarga kichkina Gaussning "usulini yaratish" tarixining taqdimotini ko'rsatdi.

Maktab o'qituvchisi kichkina Karlni (eskirgan usul, hozirgi kunda maktablarda ishlatilmaydi) qamchiladi, chunki u

1 dan 100 gacha raqamlarni ketma-ket qo‘shish o‘rniga ularning yig‘indisini toping e'tibor bergan arifmetik progressiyaning chetidan bir xil masofada joylashgan juft sonlar qo‘shilib bir xil sonni tashkil qiladi. masalan, 100 va 1, 99 va 2. Bunday juftliklar sonini sanab, kichkina Gauss o'qituvchi tomonidan taklif qilingan masalani deyarli bir zumda hal qildi. Buning uchun u hayratda qolgan omma oldida qatl etildi. Toki boshqalar o'ylashdan tushkunlikka tushsin.

Kichkina Gauss nima qildi? rivojlangan raqam hissi? E'tibor bergan ba'zi xususiyat doimiy qadamli sonlar qatori (arifmetik progressiya). VA aynan shu keyinchalik uni buyuk olim qildi, e'tibor berishni biladiganlar, ega his qilish, tushunish instinkti.

Shuning uchun matematika qimmatli, rivojlanmoqda ko'rish qobiliyati umumiy, xususan - mavhum fikrlash . Shuning uchun, ko'pchilik ota-onalar va ish beruvchilar instinktiv ravishda matematikani muhim fan deb hisoblaydi ...

"Unda matematikani o'rganish kerak, chunki u sizning fikringizni tartibga soladi.
M.V.Lomonosov".

Biroq, kelajakdagi daholarni tayoq bilan kaltaklaganlarning izdoshlari Usulni teskari narsaga aylantirdilar. Do'stim 35 yil oldin aytganidek ilmiy maslahatchi: "Ular savolni yodlab olishdi." Yoki kecha mening kenja o'g'lim Gauss usuli haqida aytganidek: "Balki bundan katta fan yaratishga arzimasdir, ha?"

"Olimlar" ijodining oqibatlari hozirgi maktab matematikasi darajasida, uni o'qitish darajasida va ko'pchilikning "Fanlar malikasi" ni tushunishida ko'rinadi.

Biroq, keling, davom etaylik ...

5-sinf maktabida Gauss usulini tushuntirish usullari

Moskva gimnaziyasining matematika o'qituvchisi Vilenkin bo'yicha Gauss usulini tushuntirib, vazifani murakkablashtirdi.

Arifmetik progressiyaning farqi (qadami) bitta emas, balki boshqa raqam bo'lsa-chi? Masalan, 20.

U beshinchi sinf o'quvchilariga bergan muammosi:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Gimnaziya usuli bilan tanishishdan oldin, keling, Internetga qaraylik: maktab o'qituvchilari va matematika o'qituvchilari buni qanday qilishadi?..

Gauss usuli: 1-sonli tushuntirish

Taniqli o'qituvchi o'zining YOUTUBE kanalida quyidagi fikrlarni aytadi:

“1 dan 100 gacha raqamlarni quyidagicha yozamiz:

birinchi navbatda 1 dan 50 gacha raqamlar qatori va uning ostida 50 dan 100 gacha bo'lgan boshqa raqamlar qatori, lekin teskari tartibda"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Iltimos, diqqat qiling: yuqori va pastki qatorlardagi har bir juft sonning yig'indisi bir xil va 101 ga teng! Keling, juftliklar sonini hisoblaymiz, u 50 va bir juftlik yig'indisini juftliklar soniga ko'paytiramiz! Voila: The javob tayyor!"

"Agar tushuna olmasangiz, xafa bo'lmang!" - tushuntirdi o'qituvchi uch marta. — Bu usulni 9-sinfda o‘rganasiz!

Gauss usuli: 2-sonli tushuntirish

Kamroq taniqli (ko'rishlar soni bo'yicha) boshqa o'qituvchi ketma-ket bajarilishi kerak bo'lgan 5 balldan iborat yechim algoritmini taklif qilib, ko'proq ilmiy yondashuvni qo'llaydi.

Bilmaganlar uchun 5 an'anaviy ravishda sehrli deb hisoblangan Fibonachchi raqamlaridan biridir. Masalan, 5 bosqichli usul har doim 6 bosqichli usuldan ko'ra ko'proq ilmiy hisoblanadi. ...Va bu tasodif emas, ehtimol, muallif Fibonachchi nazariyasining yashirin tarafdori.

Dana arifmetik progressiya: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Gauss usuli yordamida ketma-ket sonlar yig‘indisini topish algoritmi:

1-qadam: berilgan raqamlar ketma-ketligini teskari tartibda qayta yozing, aynan birinchisi ostida.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

2-qadam: Vertikal qatorlarda joylashgan raqamlar juftligi yig'indisini hisoblang: 260.

3-qadam: raqamlar qatorida qancha bunday juftlik borligini hisoblang. Buni amalga oshirish uchun raqamlar seriyasining maksimal sonidan minimalni olib tashlang va qadam hajmiga bo'ling: (256 - 4) / 6 = 42.

Shu bilan birga, siz eslab qolishingiz kerak ortiqcha bitta qoida : natijada olingan koeffitsientga bitta qo'shishimiz kerak: aks holda biz juftlarning haqiqiy sonidan birga kam natijaga erishamiz: 42 + 1 = 43.

4-qadam: Bir juft sonning yig'indisini juftliklar soniga ko'paytiring: 260 x 43 = 11,180

5-qadam: biz miqdorni hisoblab chiqqanimizdan beri juft raqamlar, keyin olingan miqdor ikkiga bo'linishi kerak: 11,180 / 2 = 5590.

Bu 6 ga teng bo'lgan 4 dan 256 gacha bo'lgan arifmetik progressiyaning kerakli yig'indisidir!

Gauss usuli: Moskva gimnaziyasida 5-sinfda tushuntirish

Ketma-ket yig‘indisini topish masalasini qanday yechish mumkin:

20+40+60+ ... +460+480+500

Moskva gimnaziyasining 5-sinfida, Vilenkinning darsligi (o'g'limga ko'ra).

Taqdimotni ko'rsatgandan so'ng, matematika o'qituvchisi Gauss usulidan foydalangan holda bir nechta misollar ko'rsatdi va sinfga ketma-ket sonlarning yig'indisini 20 ga oshib topish vazifasini berdi.

Buning uchun quyidagilar zarur edi:

1-qadam: seriyadagi barcha raqamlarni daftaringizga yozib qo'yganingizga ishonch hosil qiling 20 dan 500 gacha (20 dan ortib).

2-qadam: Ketma-ket shartlarni yozing - raqamlar juftligi: birinchisi oxirgisi bilan, ikkinchisi oxirgisi bilan va hokazo. va ularning miqdorini hisoblash.

3-qadam: "summalar yig'indisi" ni hisoblang va butun qatorning yig'indisini toping.

Ko'rib turganingizdek, bu yanada ixcham va samarali texnika: 3 raqami ham Fibonachchi ketma-ketligining a'zosi hisoblanadi

Gauss usulining maktab versiyasiga sharhlarim

Buyuk matematik, agar u o'zining "usuli" izdoshlari tomonidan nimaga aylanishini oldindan bilganida, albatta, falsafani tanlagan bo'lardi. Nemis o'qituvchisi, Karlni tayoq bilan qamchilagan. U "o'qituvchilar" ning ramziyligini, dialektik spiralini va abadiy ahmoqligini ko'rgan bo'lardi. jonli matematik fikrning tushunmovchilik algebrasi bilan uyg'unligini o'lchashga harakat qilish ....

Aytgancha: bilasizmi. ta'lim tizimimiz 18-19-asrlardagi nemis maktabiga asoslanganmi?

Ammo Gauss matematikani tanladi.

Uning uslubining mohiyati nimada?

IN soddalashtirish. IN kuzatish va tushunish oddiy raqamlar naqshlari. IN quruq maktab arifmetikasini aylantirish qiziqarli va hayajonli faoliyat , miyada yuqori xarajatli aqliy faoliyatni blokirovka qilishdan ko'ra, davom etish istagini faollashtirish.

Arifmetik progressiya raqamlari yig'indisini deyarli hisoblash uchun berilgan "Gauss usulining modifikatsiyalari" dan birini qo'llash mumkinmi? darhol? "Algoritmlarga" ko'ra, kichkina Karl kaltaklashdan qochishi, matematikaga nisbatan nafratlanishni rivojlantirishi va kurtakdagi ijodiy impulslarini bostirishi kafolatlangan.

Nega o'qituvchi beshinchi sinf o'quvchilariga metodni "noto'g'ri tushunishdan qo'rqmaslikni" qat'iyat bilan maslahat berib, ularni "bunday" muammolarni 9-sinfdayoq hal qilishlariga ishontirdi? Psixologik savodsiz harakat. Bu yaxshi harakat edi: "Ko'rishguncha 5-sinfda allaqachon mumkin faqat 4 yil ichida hal qiladigan muammolarni hal qiling! Siz qanday ajoyib odamsiz! ”

Gauss usulidan foydalanish uchun 3-sinf darajasi etarli, oddiy bolalar allaqachon 2-3 xonali sonlarni qanday qo'shish, ko'paytirish va bo'lishni bilishadi. Muammolar “aloqadan uzoq” bo‘lgan katta yoshli o‘qituvchilarning oddiy inson tilida, matematikani ham aytmasa, eng oddiy narsalarni tushuntirib bera olmasligi tufayli yuzaga keladi... Ular matematikaga qiziqish uyg‘ota olmay, hatto “aloqadan tashqarida” bo‘lganlarni ham butunlay ruhlantira olmaydilar. qodir.”

Yoki o'g'lim aytganidek: "bundan katta fan yaratish".

Qanday qilib umumiy holat) 1-usuldagi raqamlarning yozuvini "kengaytirish" uchun qaysi raqamdan foydalanish kerakligini aniqlang?

Agar ketma-ket a'zolar soni bo'lsa, nima qilish kerak g'alati?

Nima uchun bola oddiygina bo'lishi mumkin bo'lgan "Qoida Plus 1" ga aylanish kerak o'rganing Hatto birinchi sinfda ham, agar menda "raqamlar hissi" rivojlangan bo'lsa va eslamadi"o'nga sanash"?

Va nihoyat: ZERO qaerga ketdi, 2000 yildan oshiq ajoyib ixtiro va zamonaviy matematika o'qituvchilari undan foydalanishdan qochishadi?!

Gauss usuli, mening tushuntirishlarim

Men xotinim bilan bu “usul”ni bolamizga tushuntirganmiz, shekilli, maktabdan oldin ham...

Murakkablik o'rniga oddiylik yoki savol-javob o'yini

— Mana, 1 dan 100 gacha raqamlar. Nimani ko‘ryapsiz?

Gap shundaki, bolaning aniq ko'rgan narsasi emas. Ayyorlik uni ko'rishga undashdir.

"Ularni qanday qilib birlashtira olasiz?" O'g'il bunday savollar "xuddi shunday" berilmasligini tushundi va siz savolga "qandaydir boshqacha, odatdagidan boshqacha" qarashingiz kerak.

Bolaning yechimni darhol ko'rishi muhim emas, bu ehtimoldan yiroq. U muhim qarashdan qo'rqishni to'xtatdi yoki men aytganimdek: "topshiriqni ko'chirdim". Bu tushunish sari sayohatning boshlanishi

"Qaysi biri osonroq: masalan, 5 va 6 yoki 5 va 95 qo'shish?" Etakchi savol... Ammo har qanday mashg'ulot odamni har qanday tarzda unga ma'qul bo'lgan "javob" ga "yo'naltirish" uchun keladi.

Ushbu bosqichda hisob-kitoblarni qanday qilib "tejash" haqida taxminlar paydo bo'lishi mumkin.

Biz faqat maslahat berdik: hisoblashning "frontal, chiziqli" usuli yagona mumkin emas. Agar bola buni tushunsa, keyinchalik u yana ko'plab usullarni o'ylab topadi, chunki bu qiziq!!! Va u, albatta, matematikani "noto'g'ri tushunish" dan qochadi va undan nafratlanmaydi. U g'alaba qozondi!

Agar bola topildi demak, qo‘shilib yuzga yetadigan son juftlarini qo‘shish pirojnoe bo‘ladi "1 farqli arifmetik progressiya"- bola uchun juda qayg'uli va qiziq bo'lmagan narsa - to'satdan unga hayot topdi . Tartib tartibsizlikdan paydo bo'ldi va bu har doim ishtiyoqni keltirib chiqaradi: biz shunday yaratilganmiz!

Javob berish kerak bo'lgan savol: nega bola tushungandan so'ng, uni yana quruq algoritmlar doirasiga majburlash kerak, bu holda ular ham funktsional jihatdan foydasizdir?!

Nima uchun ahmoqona qayta yozishni majburlash kerak? daftardagi tartib raqamlari: hatto qobiliyatlilar ham tushunish uchun yagona imkoniyatga ega bo'lmasligi uchunmi? Statistik jihatdan, albatta, lekin ommaviy ta'lim "statistika"ga qaratilgan ...

Nol qayerga ketdi?

Va shunga qaramay, 100 ga qadar qo'shilgan raqamlarni qo'shish 101 gacha bo'lgan raqamlardan ko'ra aqlga ko'proq ma'qul keladi ...

"Gauss maktab usuli" aynan shuni talab qiladi: o'ylamasdan katlayın progressiya markazidan teng masofada joylashgan juft sonlar, Hamma narsaga qaramay.

Agar qarasangiz nima bo'ladi?

Shunga qaramay, nol insoniyatning 2000 yildan ortiqroq bo'lgan eng buyuk ixtirosidir. Matematika o'qituvchilari esa unga e'tibor bermaslikda davom etadilar.

1 dan boshlangan raqamlar qatorini 0 dan boshlanadigan qatorga aylantirish ancha oson. Yig'indi o'zgarmaydi, shunday emasmi? Siz "darsliklarda o'ylashni" to'xtatib, izlashni boshlashingiz kerak ... Va qarangki, yig'indisi 101 bo'lgan juftliklar yig'indisi 100 bo'lgan juftliklar bilan butunlay almashtirilishi mumkin!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

"Plyus 1" qoidasini qanday bekor qilish mumkin?

Rostini aytsam, bunday qoida haqida birinchi marta o'sha YouTube o'qituvchisidan eshitgandim...

Seriya a'zolari sonini aniqlash kerak bo'lganda nima qilishim kerak?

Men ketma-ketlikka qarayman:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

va butunlay charchaganingizda, oddiyroq qatorga o'ting:

1, 2, 3, 4, 5

va men tushunaman: agar siz 5 dan bittasini ayirsangiz, siz 4 ga erishasiz, lekin men mutlaqo aniqman Men ko'ryapman 5 raqam! Shuning uchun, siz bitta qo'shishingiz kerak! son hissi rivojlangan boshlang'ich maktab, taklif qiladi: agar seriya a'zolarining butun Google bo'lsa ham (10 dan yuzinchi darajagacha), naqsh bir xil bo'lib qoladi.

Qanday qoidalar bor? ..

Shunday qilib, bir-ikki yoki uch yil ichida siz peshonangiz va boshingiz orqasi orasidagi bo'shliqni to'ldirishingiz va o'ylashni to'xtatishingiz mumkinmi? Non va sariyog'ingizni qanday topish mumkin? Axir, biz raqamli iqtisodiyot davriga bir tekis qadam tashlamoqdamiz!

Gaussning maktab uslubi haqida ko'proq ma'lumot: "Nima uchun bundan fan qilish kerak? .."

O'g'limning daftaridan skrinshotni joylashtirganim bejiz emas...

- Darsda nima bo'ldi?

"Xo'sh, men darhol hisobladim, qo'limni ko'tardim, lekin u so'ramadi. Shuning uchun, boshqalar sanab o'tirayotganda, men vaqtni boy bermaslik uchun rus tilida uy vazifasini qila boshladim. Keyin, boshqalar yozishni tugatgandan keyin (? ??), u meni doskaga chaqirdi. Men javobni aytdim."

"To'g'ri, buni qanday hal qilganingizni ko'rsating", dedi o'qituvchi. Men ko'rsatdim. U: "Noto'g'ri, men ko'rsatganimdek hisoblashingiz kerak!"

"Yomon baho qo'ymagani yaxshi. Va u meni o'z daftariga "yechim yo'li"ni o'zlaricha yozishga majbur qildi. Nega bundan katta fan qilish kerak?.."

Matematika o'qituvchisining asosiy jinoyati

Zo'rg'a keyin o'sha voqea Karl Gauss maktab matematika o'qituvchisiga nisbatan yuksak hurmat tuyg'usini boshdan kechirdi. Ammo u qanday qilib bilsa edi o'sha domlaning izdoshlari usulning mohiyatini buzadi...u jahl bilan va Butunjahon tashkiloti orqali baqirardi intellektual mulk BIMT maktab darsliklarida oʻzining adolatli nomidan foydalanishni taqiqlashga erishdi!..

Nimada asosiy xato maktab yondashuvi? Yoki men aytganimdek, maktab matematika o‘qituvchilarining bolalarga nisbatan jinoyati?

Tushunmovchilik algoritmi

Maktab metodistlari nima qiladi, ularning aksariyati qanday fikrlashni bilmaydi?

Ular usullar va algoritmlarni yaratadilar (qarang). Bu o'qituvchilarni tanqid qilishdan ("Hamma narsa bo'yicha amalga oshiriladi ...") va bolalarni tushunishdan himoya qiladigan himoya reaktsiyasi. Shunday qilib - o'qituvchilarni tanqid qilish istagidan!(Byurokratik "donolikning ikkinchi hosilasi", muammoga ilmiy yondashuv). Ma'noni tushunmagan odam maktab tizimining ahmoqligidan ko'ra, o'z tushunmovchiligini ayblaydi.

Bu shunday bo'ladi: ota-onalar o'z farzandlarini ayblashadi, o'qituvchilar esa ... "matematikani tushunmaydigan!"

Siz aqllimisiz?

Kichkina Karl nima qildi?

Formulali vazifaga mutlaqo noan'anaviy yondashuv. Bu Uning yondashuvining mohiyatidir. Bu maktabda o'rgatish kerak bo'lgan asosiy narsa darsliklar bilan emas, balki boshingiz bilan o'ylashdir. Albatta, qo'llanilishi mumkin bo'lgan instrumental komponent ham bor ... qidirishda oddiyroq va samarali usullar hisoblar.

Vilenkin bo'yicha Gauss usuli

Maktabda ular Gauss usulini o'rgatishadi

juftlikda raqamlar qatorining chetlaridan teng masofada joylashgan sonlar yig‘indisini toping; albatta chetidan boshlanadi!

bunday juftlar sonini toping va hokazo.

Nima, agar qator elementlari soni toq bo'lsa, o'g'limga topshirilgan muammodagidek?..

Bu holatda "ushlash" shundan iborat seriyadagi "qo'shimcha" raqamni topishingiz kerak va uni juftliklar yig'indisiga qo'shing. Bizning misolimizda bu raqam 260 ni tashkil qiladi.

Qanday aniqlash mumkin? Barcha juft raqamlarni daftarga ko'chirish!(Shuning uchun o'qituvchi bolalarni Gauss usulidan foydalangan holda "ijodkorlik" ni o'rgatish uchun bunday ahmoqona ishni qilishga majbur qildi ... Va shuning uchun bunday "usul" katta ma'lumotlar seriyasiga amalda qo'llanilmaydi va shuning uchun ham shunday. Gauss usuli emas.)

Maktabda bir oz ijodkorlik...

O'g'il boshqacha harakat qildi.

Avvaliga u 520 emas, balki 500 raqamini ko'paytirish osonroq ekanligini ta'kidladi

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Keyin u hisoblab chiqdi: qadamlar soni toq bo'lib chiqdi: 500/20 = 25.

Keyin u seriyaning boshiga NOLI qo'shdi (garchi seriyaning oxirgi hadini bekor qilish mumkin edi, bu ham paritetni ta'minlaydi) va jami 500 ni beradigan raqamlarni qo'shdi.

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 qadam - 13 juft "besh yuz": 13 x 500 = 6500..

Agar biz seriyaning oxirgi muddatini tashlab qo'ysak, u holda juftliklar 12 bo'ladi, ammo hisob-kitoblar natijasiga "tashlab qo'yilgan" besh yuzni qo'shishni unutmasligimiz kerak. Keyin: (12 x 500) + 500 = 6500!

Qiyin emas, to'g'rimi?

Ammo amalda bu yanada osonlashtirildi, bu sizga rus tilida masofadan turib zondlash uchun 2-3 daqiqa vaqt ajratishga imkon beradi, qolganlari esa "hisoblash". Bundan tashqari, u usulning bosqichlari sonini saqlab qoladi: 5, bu yondashuvni ilmiy asossiz deb tanqid qilishga yo'l qo'ymaydi.

Shubhasiz, bu usul usul uslubida sodda, tezroq va universalroqdir. Lekin... o'qituvchi nafaqat maqtamadi, balki meni "to'g'ri tarzda" qayta yozishga majbur qildi (skrinshotga qarang). Ya'ni, u ijodiy turtki va matematikani ildizida tushunish qobiliyatini bo'g'ish uchun umidsiz harakat qildi! Aftidan, keyinchalik repetitorlikka olish uchun... Noto‘g‘ri odamga hujum qilgan...

Men uzoq va zerikarli tasvirlagan hamma narsani tushuntirish mumkin oddiy bolaga maksimal yarim soat ichida. Misollar bilan birga.

Va uni hech qachon unutmaydigan tarzda.

Va shunday bo'ladi tushunishga qadam...faqat matematiklar emas.

Tan oling: hayotingizda necha marta Gauss usulidan foydalangansiz? Va men hech qachon qilmaganman!

Lekin tushunish instinkti, ta'lim jarayonida rivojlanayotgan (yoki so'nib qolgan). matematik usullar maktabda... Oh!.. Bu haqiqatan ham almashtirib bo'lmaydigan narsa!

Ayniqsa, biz partiya va hukumatning qat’iy rahbarligi ostida sekin-asta kirgan universal raqamlashtirish asrida.

O'qituvchilarni himoya qilish uchun bir necha so'z ...

Bunday o'qitish uslubi uchun barcha mas'uliyatni faqat maktab o'qituvchilariga yuklash adolatsizlik va noto'g'ri. Tizim amalda.

Biroz o'qituvchilar nima sodir bo'layotganining bema'niligini tushunishadi, lekin nima qilish kerak? Ta'lim to'g'risidagi qonun, Federal davlat ta'lim standartlari, usullari, texnologik xaritalar darslar ... Har bir narsa "mos ravishda va asosida" amalga oshirilishi kerak va hamma narsa hujjatlashtirilishi kerak. Chetga o'ting - ishdan bo'shatish uchun navbatda turdi. Ikkiyuzlamachi bo'lmaylik: Moskva o'qituvchilarining maoshi juda yaxshi... Agar sizni ishdan bo'shatishsa, qaerga borish kerak?..

Shuning uchun bu sayt ta'lim haqida emas. U haqida individual ta'lim, faqat mumkin bo'lgan yo'l olomondan chiqing avlod Z ...

Ushbu maqolada usul chiziqli tenglamalar tizimini (SLAE) echish usuli sifatida ko'rib chiqiladi. Usul analitik, ya'ni yechim algoritmini yozish imkonini beradi umumiy ko'rinish, va keyin u erda aniq misollardagi qiymatlarni almashtiring. Matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan farqli o'laroq, Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechishda siz cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lganlar bilan ham ishlashingiz mumkin. Yoki ularda umuman yo'q.

Gauss usuli yordamida yechish nimani anglatadi?

Birinchidan, biz tenglamalar sistemamizni quyidagicha yozishimiz kerak. Tizimni oling:

Koeffitsientlar jadval shaklida, erkin shartlar esa o'ng tomonda alohida ustunga yoziladi. Erkin shartli ustun qulaylik uchun ajratilgan.Ushbu ustunni o'z ichiga olgan matritsa kengaytirilgan deb ataladi.

Keyinchalik, koeffitsientli asosiy matritsa yuqori uchburchak shaklga tushirilishi kerak. Bu Gauss usuli yordamida tizimni yechishning asosiy nuqtasidir. Oddiy qilib aytganda, ma'lum manipulyatsiyalardan so'ng, matritsa shunday ko'rinishi kerakki, uning pastki chap qismida faqat nol bo'ladi:

Keyin, agar siz yangi matritsani yana tenglamalar tizimi sifatida yozsangiz, oxirgi qatorda ildizlardan birining qiymati allaqachon mavjud bo'lib, keyin yuqoridagi tenglamaga almashtiriladi, boshqa ildiz topiladi va hokazo.

Bu Gauss usuli bo'yicha yechimning eng ko'p tavsifi umumiy kontur. Agar to'satdan tizim hech qanday yechim topmasa nima bo'ladi? Yoki ularning soni cheksiz ko'pmi? Bu va boshqa ko'plab savollarga javob berish uchun Gauss usulini yechishda qo'llaniladigan barcha elementlarni alohida ko'rib chiqish kerak.

Matritsalar, ularning xossalari

Yo'q yashirin ma'no matritsada emas. Bu shunchaki u bilan keyingi operatsiyalar uchun ma'lumotlarni yozib olishning qulay usuli. Hatto maktab o'quvchilari ham ulardan qo'rqishlari shart emas.

Matritsa har doim to'rtburchaklar shaklida bo'ladi, chunki u qulayroqdir. Hatto Gauss usulida ham hamma narsa matritsani qurishga to'g'ri keladi ko'rinishida uchburchak, yozuv to'rtburchakni o'z ichiga oladi, faqat raqamlar bo'lmagan joyda nollar mavjud. Nollar yozilmasligi mumkin, lekin ular nazarda tutilgan.

Matritsaning o'lchami bor. Uning "kengligi" - qatorlar soni (m), "uzunligi" - ustunlar soni (n). Keyin A matritsasining o'lchami (odatda ularni belgilash uchun katta harflar ishlatiladi) harflar) A m×n sifatida belgilanadi. Agar m=n bo'lsa, bu matritsa kvadrat, m=n esa uning tartibi. Shunga ko'ra, A matritsaning istalgan elementini uning satr va ustun raqamlari bilan belgilash mumkin: a xy ; x - qator raqami, o'zgarishlar, y - ustun raqami, o'zgarishlar.

B qarorning asosiy nuqtasi emas. Asosan, barcha operatsiyalar to'g'ridan-to'g'ri tenglamalarning o'zlari bilan bajarilishi mumkin, ammo yozuv ancha og'irroq bo'ladi va unda chalkashlik osonroq bo'ladi.

Aniqlovchi

Matritsaning determinanti ham bor. Bu juda muhim xususiyat. Endi uning ma'nosini aniqlashning hojati yo'q, siz shunchaki uning qanday hisoblanganligini ko'rsatishingiz va keyin matritsaning qaysi xususiyatlarini aniqlayotganini aytishingiz mumkin. Determinantni topishning eng oson yo'li diagonallardir. Matritsada xayoliy diagonallar chiziladi; ularning har birida joylashgan elementlar ko'paytiriladi, so'ngra hosil bo'lgan mahsulotlar qo'shiladi: o'ngga qiyalik bilan diagonallar - ortiqcha belgisi bilan, chap tomonda - minus belgisi bilan.

Shuni ta'kidlash kerakki, determinant faqat kvadrat matritsa uchun hisoblanishi mumkin. To'g'ri to'rtburchaklar matritsa uchun siz quyidagilarni qilishingiz mumkin: satrlar soni va ustunlar sonidan eng kichigini tanlang (u k bo'lsin), so'ngra matritsadagi k ustun va k qatorni tasodifiy belgilang. Tanlangan ustunlar va qatorlar kesishmasidagi elementlar yangi kvadrat matritsa hosil qiladi. Agar bunday matritsaning determinanti nolga teng bo'lmagan son bo'lsa, u dastlabki to'rtburchaklar matritsaning bazis minori deb ataladi.

Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini echishni boshlashdan oldin, determinantni hisoblash zarar qilmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, biz darhol aytishimiz mumkinki, matritsada cheksiz miqdordagi echimlar mavjud yoki umuman yo'q. Bunday qayg'uli holatda siz oldinga borib, matritsaning darajasi haqida bilib olishingiz kerak.

Tizim tasnifi

Matritsaning darajasi kabi narsa bor. Bu maksimal buyurtma uning determinanti noldan farq qiladi (agar biz minor bazis haqida eslasak, matritsaning darajasi bazis minorning tartibi deb aytishimiz mumkin).

Darajali vaziyatga qarab, SLAE quyidagilarga bo'linishi mumkin:

• Birgalikda. U Qo'shma tizimlarda asosiy matritsaning darajasi (faqat koeffitsientlardan iborat) kengaytirilgan matritsaning darajasiga to'g'ri keladi (erkin atamalar ustuni bilan). Bunday tizimlar yechimga ega, ammo bitta emas, shuning uchun qo'shimcha tizimlar quyidagilarga bo'linadi:
• - aniq- yagona yechimga ega bo'lish. Muayyan tizimlarda matritsaning darajasi va noma'lumlar soni (yoki bir xil bo'lgan ustunlar soni) tengdir;
• - aniqlanmagan - cheksiz ko'p echimlar bilan. Bunday sistemalarda matritsalar darajasi noma'lumlar sonidan kamroq.
• Mos kelmaydi. U Bunday tizimlarda asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari bir-biriga mos kelmaydi. Mos kelmaydigan tizimlarning yechimi yo'q.

Gauss usuli yaxshi, chunki yechim davomida u tizimning nomuvofiqligini aniq isbotini (katta matritsalarning determinantlarini hisoblamasdan) yoki cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lgan tizim uchun umumiy shakldagi yechimni olishga imkon beradi.

Elementar transformatsiyalar

Tizimni to'g'ridan-to'g'ri echishga o'tishdan oldin, siz uni kamroq noqulay va hisob-kitoblar uchun qulayroq qilishingiz mumkin. Bunga elementar transformatsiyalar orqali erishiladi - ularni amalga oshirish yakuniy javobni hech qanday tarzda o'zgartirmaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, berilgan elementar o'zgarishlarning ba'zilari faqat manbasi SLAE bo'lgan matritsalar uchun amal qiladi. Mana bu o'zgarishlar ro'yxati:

1. Chiziqlarni qayta tartibga solish. Shubhasiz, agar siz tizim yozuvidagi tenglamalar tartibini o'zgartirsangiz, bu hech qanday tarzda yechimga ta'sir qilmaydi. Binobarin, ushbu tizim matritsasidagi satrlar ham almashtirilishi mumkin, albatta, erkin shartlar ustunini unutmaslik kerak.
2. Satrning barcha elementlarini ma'lum bir koeffitsientga ko'paytirish. Juda foydali! U qisqartirish uchun ishlatilishi mumkin katta raqamlar matritsada yoki nollarni olib tashlang. Ko'p qarorlar, odatdagidek, o'zgarmaydi, lekin keyingi operatsiyalar qulayroq bo'ladi. Asosiysi, koeffitsient nolga teng emas.
3. Proportsional omillar bilan qatorlarni olib tashlash. Bu qisman oldingi paragrafdan kelib chiqadi. Agar matritsadagi ikki yoki undan ortiq satrlar proportsional koeffitsientlarga ega bo'lsa, satrlardan biri proportsionallik koeffitsientiga ko'paytirilganda/bo'linganda ikkita (yoki yana, ko'proq) mutlaqo bir xil qatorlar olinadi va qo'shimchalarni olib tashlash mumkin. faqat bitta.
4. Null qatorni olib tashlash. Agar transformatsiya paytida barcha elementlar, shu jumladan erkin a'zo ham nolga teng bo'lgan joyda qator olingan bo'lsa, unda bunday qatorni nol deb atash va matritsadan chiqarib tashlash mumkin.
5. Bir qatorning elementlariga boshqasining elementlarini qo'shish (tegishli ustunlarda), ma'lum bir koeffitsientga ko'paytiriladi. Eng noaniq va eng muhim transformatsiya. Bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tishga arziydi.

Koeffitsientga ko'paytirilgan qatorni qo'shish

Tushunish qulayligi uchun ushbu jarayonni bosqichma-bosqich buzishga arziydi. Matritsadan ikkita qator olinadi:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Aytaylik, birinchisini ikkinchisiga qo'shish kerak, "-2" koeffitsientiga ko'paytiriladi.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Keyin matritsadagi ikkinchi qator yangisi bilan almashtiriladi va birinchisi o'zgarishsiz qoladi.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Shuni ta'kidlash kerakki, ko'paytirish koeffitsienti ikkita qatorni qo'shish natijasida yangi qatorning elementlaridan biri nolga teng bo'ladigan tarzda tanlanishi mumkin. Shuning uchun, bir kam noma'lum bo'lgan tizimda tenglamani olish mumkin. Va agar siz ikkita shunday tenglamani olsangiz, unda operatsiya yana bajarilishi mumkin va ikkita kamroq noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamani olishingiz mumkin. Va agar siz har safar asl satrdan past bo'lgan barcha qatorlarning bitta koeffitsientini nolga aylantirsangiz, unda siz zinapoyalar kabi matritsaning eng pastki qismiga tushib, bitta noma'lum tenglamani olishingiz mumkin. Bu tizimni Gauss usuli yordamida yechish deyiladi.

Umuman

Tizim bo'lsin. U m tenglama va n ta noma'lum ildizga ega. Siz buni quyidagicha yozishingiz mumkin:

Asosiy matritsa tizim koeffitsientlaridan tuzilgan. Kengaytirilgan matritsaga bepul shartlar ustuni qo'shiladi va qulaylik uchun chiziq bilan ajratiladi.

• matritsaning birinchi qatori k = (-a 21 /a 11) koeffitsientiga ko'paytiriladi;
• matritsaning birinchi o'zgartirilgan qatori va ikkinchi qatori qo'shiladi;
• ikkinchi qator o‘rniga matritsaga oldingi banddagi qo‘shimchaning natijasi kiritiladi;
• endi birinchi koeffitsient yangi soniya chiziq 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Endi bir xil transformatsiyalar seriyasi amalga oshiriladi, faqat birinchi va uchinchi qatorlar ishtirok etadi. Shunga ko'ra, algoritmning har bir bosqichida a 21 elementi 31 ga almashtiriladi. Keyin hamma narsa 41, ... a m1 uchun takrorlanadi. Natijada qatorlardagi birinchi element nolga teng bo'lgan matritsa hosil bo'ladi. Endi siz birinchi qatorni unutishingiz va ikkinchi qatordan boshlab bir xil algoritmni bajarishingiz kerak:

• koeffitsient k = (-a 32 /a 22);
• ikkinchi o'zgartirilgan qator "joriy" qatorga qo'shiladi;
• qo'shimchaning natijasi uchinchi, to'rtinchi va shunga o'xshash qatorlarga almashtiriladi, birinchi va ikkinchi o'zgarishsiz qoladi;
• matritsaning qatorlarida birinchi ikkita element allaqachon nolga teng.

Algoritmni k = (-a m,m-1 /a mm) koeffitsienti paydo bo'lguncha takrorlash kerak. Bu shuni anglatadiki, ichida oxirgi marta algoritm faqat pastki tenglama uchun bajarildi. Endi matritsa uchburchakka o'xshaydi yoki pog'onali shaklga ega. Pastki qatorda a mn × x n = b m tenglik mavjud. Koeffitsient va erkin muddat ma'lum va ildiz ular orqali ifodalanadi: x n = b m /a mn. X n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 ni topish uchun olingan ildiz yuqori qatorga almashtiriladi. Va shunga o'xshash tarzda: har bir keyingi qatorda yangi ildiz mavjud va tizimning "yuqori" ga etib, siz ko'plab echimlarni topishingiz mumkin. Bu yagona bo'ladi.

Yechimlar bo'lmaganda

Agar matritsa qatorlaridan birida erkin haddan tashqari barcha elementlar nolga teng bo'lsa, bu qatorga mos keladigan tenglama 0 = b ko'rinadi. Buning yechimi yo'q. Va bunday tenglama tizimga kiritilganligi sababli, butun tizimning echimlar to'plami bo'sh, ya'ni degenerativdir.

Cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lganda

Berilgan uchburchak matritsada tenglamaning bitta koeffitsientli elementi va bitta erkin a'zosi bo'lgan qatorlar bo'lmasligi mumkin. Qayta yozilsa, ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamaga o'xshab ketadigan faqat satrlar mavjud. Bu shuni anglatadiki, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Bunday holda, javob umumiy yechim shaklida berilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?

Matritsadagi barcha o'zgaruvchilar asosiy va erkin bo'linadi. Asosiy bo'lganlar qadam matritsasidagi qatorlarning "chekkasida" turadiganlardir. Qolganlari bepul. Umumiy yechimda asosiy o'zgaruvchilar bepullar orqali yoziladi.

Qulaylik uchun matritsa birinchi navbatda tenglamalar tizimiga qayta yoziladi. Keyin ularning oxirgisida, faqat bitta asosiy o'zgaruvchi qolgan joyda, u bir tomonda qoladi, qolganlari esa boshqasiga o'tkaziladi. Bu bitta asosiy o'zgaruvchiga ega bo'lgan har bir tenglama uchun amalga oshiriladi. Keyin, qolgan tenglamalarda, iloji bo'lsa, asosiy o'zgaruvchi o'rniga uning uchun olingan ifoda almashtiriladi. Agar natija yana bitta asosiy o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda bo'lsa, u yana o'sha yerdan ifodalanadi va har bir asosiy o'zgaruvchi erkin o'zgaruvchilarga ega ifoda sifatida yozilgunga qadar davom etadi. Bu shunday umumiy qaror SLAU.

Shuningdek, siz tizimning asosiy yechimini topishingiz mumkin - bepul o'zgaruvchilarga har qanday qiymatlarni bering, so'ngra ushbu aniq holat uchun asosiy o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisoblang. Berilishi mumkin bo'lgan cheksiz miqdordagi maxsus echimlar mavjud.

Muayyan misollar bilan yechim

Bu erda tenglamalar tizimi mavjud.

Qulaylik uchun darhol uning matritsasini yaratish yaxshiroqdir

Ma'lumki, Gauss usuli bilan yechilganda birinchi qatorga mos keladigan tenglama o'zgartirishlar oxirida o'zgarishsiz qoladi. Shuning uchun, agar matritsaning yuqori chap elementi eng kichik bo'lsa, foydaliroq bo'ladi - keyin operatsiyalardan keyin qolgan qatorlarning birinchi elementlari nolga aylanadi. Bu shuni anglatadiki, tuzilgan matritsada birinchi qatorning o'rniga ikkinchi qatorni qo'yish foydali bo'ladi.

ikkinchi qator: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

uchinchi qator: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Endi, chalkashmaslik uchun, o'zgarishlarning oraliq natijalari bilan matritsani yozishingiz kerak.

Shubhasiz, bunday matritsani ma'lum operatsiyalar yordamida idrok etish uchun qulayroq qilish mumkin. Misol uchun, har bir elementni "-1" ga ko'paytirish orqali ikkinchi qatordan barcha "minuslarni" olib tashlashingiz mumkin.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, uchinchi qatorda barcha elementlar uchga ko'paytiriladi. Keyin har bir elementni "-1/3" ga ko'paytirib, satrni bu raqam bilan qisqartirishingiz mumkin (minus - bir vaqtning o'zida, salbiy qiymatlarni olib tashlash uchun).

Juda chiroyli ko'rinadi. Endi biz birinchi qatorni yolg'iz qoldirib, ikkinchi va uchinchi bilan ishlashimiz kerak. Vazifa uchinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shish, shunday koeffitsientga ko'paytiriladiki, a 32 elementi nolga teng bo'ladi.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (agar ba'zi o'zgartirishlar paytida javob butun son bo'lmasa, qoldirish uchun hisob-kitoblarning aniqligini saqlash tavsiya etiladi. u "xuddi" shaklida oddiy kasr, va shundan keyingina, javoblar olingandan so'ng, yaxlitlash va boshqa yozuv shakliga o'tkazish haqida qaror qabul qiling)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matritsa yana yangi qiymatlar bilan yoziladi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ko'rib turganingizdek, natijada olingan matritsa allaqachon bosqichli shaklga ega. Shuning uchun Gauss usuli yordamida tizimni keyingi o'zgartirishlar talab qilinmaydi. Bu erda nima qilish mumkin - uchinchi qatordan olib tashlash umumiy koeffitsient "-1/7".

Endi hamma narsa chiroyli. Faqat matritsani tenglamalar tizimi shaklida qayta yozish va ildizlarni hisoblash qoladi.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Endi ildizlarni topadigan algoritm Gauss usulida teskari harakat deb ataladi. (3) tenglama z qiymatini o'z ichiga oladi:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Va birinchi tenglama bizga x ni topishga imkon beradi:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Bunday tizimni qo'shma va hatto aniq, ya'ni o'ziga xos yechimga ega deb atashga haqlimiz. Javob quyidagi shaklda yoziladi:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Noaniq tizimga misol

Gauss usuli yordamida ma'lum bir tizimni yechish varianti tahlil qilindi, endi tizim noaniq bo'lsa, ya'ni unga cheksiz ko'p echimlarni topish mumkin bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqish kerak.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Tizimning tashqi ko'rinishi allaqachon tashvishli, chunki noma'lumlar soni n = 5 va tizim matritsasi darajasi allaqachon bu raqamdan kamroq, chunki qatorlar soni m = 4, ya'ni determinant-kvadratning eng katta tartibi 4. Bu cheksiz ko'p echimlar mavjudligini anglatadi va siz uning umumiy ko'rinishini izlashingiz kerak. Chiziqli tenglamalar uchun Gauss usuli buni amalga oshirishga imkon beradi.

Birinchidan, odatdagidek, kengaytirilgan matritsa tuziladi.

Ikkinchi qator: koeffitsient k = (-a 21 /a 11) = -3. Uchinchi qatorda birinchi element o'zgarishlardan oldin bo'ladi, shuning uchun siz hech narsaga tegmasligingiz kerak, uni avvalgidek qoldirishingiz kerak. To'rtinchi qator: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Birinchi qatorning elementlarini ularning har bir koeffitsientiga navbat bilan ko'paytirish va kerakli qatorlarga qo'shish orqali biz quyidagi ko'rinishdagi matritsani olamiz:

Ko'rib turganingizdek, ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlar bir-biriga proportsional elementlardan iborat. Ikkinchi va to'rtinchisi odatda bir xil, shuning uchun ulardan birini darhol olib tashlash mumkin, qolganini esa "-1" koeffitsientiga ko'paytirish va 3-qatorni olish mumkin. Va yana ikkita bir xil satrdan bittasini qoldiring.

Natijada shunday matritsa hosil bo'ladi. Tizim hali yozilmagan bo'lsa-da, bu erda asosiy o'zgaruvchilarni aniqlash kerak - a 11 = 1 va 22 = 1 koeffitsientlarida turganlar va bo'sh - qolganlari.

Ikkinchi tenglamada faqat bitta asosiy o'zgaruvchi mavjud - x 2. Demak, u yerdan erkin bo'lgan x 3 , x 4 , x 5 o'zgaruvchilari orqali yozish orqali ifodalanishi mumkin.

Olingan ifodani birinchi tenglamaga almashtiramiz.

Natijada yagona asosiy o'zgaruvchi x 1 bo'lgan tenglama hosil bo'ladi. Keling, u bilan x 2 bilan xuddi shunday qilaylik.

Ikkita bo'lgan barcha asosiy o'zgaruvchilar uchta bo'sh o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi; endi javobni umumiy shaklda yozishimiz mumkin.

Shuningdek, siz tizimning alohida yechimlaridan birini belgilashingiz mumkin. Bunday holatlar uchun odatda erkin o'zgaruvchilar uchun qiymat sifatida nollar tanlanadi. Keyin javob shunday bo'ladi:

16, 23, 0, 0, 0.

Kooperativ bo'lmagan tizimga misol

Gauss usuli yordamida mos kelmaydigan tenglamalar tizimini yechish eng tezkor hisoblanadi. Bosqichlardan birida yechimi bo'lmagan tenglama olinishi bilanoq u darhol tugaydi. Ya'ni, ancha uzoq va zerikarli bo'lgan ildizlarni hisoblash bosqichi yo'q qilinadi. Quyidagi tizim hisobga olinadi:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Odatdagidek, matritsa tuziladi:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Va u bosqichma-bosqich shaklga tushiriladi:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Birinchi o'zgartirishdan so'ng, uchinchi qatorda shaklning tenglamasi mavjud

yechimsiz. Shunday qilib, tizim mos kelmaydi va javob bo'sh to'plam bo'ladi.

Usulning afzalliklari va kamchiliklari

Agar siz SLAE ni qog'ozda qalam bilan hal qilishning qaysi usulini tanlasangiz, unda ushbu maqolada muhokama qilingan usul eng jozibali ko'rinadi. Determinant yoki teskari matritsani qo'lda qidirishdan ko'ra, elementar o'zgarishlarda chalkashib ketish ancha qiyin. Biroq, agar siz ushbu turdagi ma'lumotlar bilan ishlash uchun dasturlardan foydalansangiz, masalan, elektron jadvallar, keyin ma'lum bo'lishicha, bunday dasturlarda matritsalarning asosiy parametrlarini - determinant, minorlar, teskari va boshqalarni hisoblash algoritmlari allaqachon mavjud. Va agar siz mashina ushbu qiymatlarni o'zi hisoblab chiqishiga va xato qilmasligiga ishonchingiz komil bo'lsa, matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan foydalanish tavsiya etiladi, chunki ularni qo'llash determinantlarni hisoblash bilan boshlanadi va tugaydi. teskari matritsalar.

Ilova

Gauss yechimi algoritm bo'lgani uchun va matritsa aslida ikki o'lchovli massiv bo'lgani uchun undan dasturlashda foydalanish mumkin. Ammo maqola o'zini "qo'g'irchoqlar uchun" qo'llanma sifatida ko'rsatganligi sababli, usulni qo'yishning eng oson joyi elektron jadvallar, masalan, Excel ekanligini aytish kerak. Shunga qaramay, jadvalga matritsa shaklida kiritilgan har qanday SLAE Excel tomonidan ikki o'lchovli massiv sifatida ko'rib chiqiladi. Va ular bilan operatsiyalar uchun juda ko'p yoqimli buyruqlar mavjud: qo'shish (faqat bir xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shishingiz mumkin!), raqamga ko'paytirish, matritsalarni ko'paytirish (shuningdek, ma'lum cheklovlar bilan), teskari va transpozitsiyalangan matritsalarni topish va eng muhimi , determinantni hisoblash. Agar bu ko'p vaqt talab qiladigan vazifa bitta buyruq bilan almashtirilsa, matritsaning darajasini tezroq aniqlash va shuning uchun uning mosligini yoki mos kelmasligini aniqlash mumkin.