Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.
Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ...paradokslar mohiyati haqida umumiy fikrga kelish uchun munozaralar bugungi kungacha davom etmoqda ilmiy hamjamiyat hozircha buning imkoni bo‘lmadi... masalani o‘rganishga biz ham jalb etildik matematik tahlil, to'plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.
Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.
Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles bilan yuguradi doimiy tezlik. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.
Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:
Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.
Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Lekin unday emas to'liq yechim Muammolar. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.
Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:
Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.
Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men nimani ta'kidlamoqchiman Maxsus e'tibor, shundan iboratki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlarni beradi.
Chorshanba, 4-iyul, 2018-yil
To'plam va multiset o'rtasidagi farqlar Vikipediyada juda yaxshi tasvirlangan. Ko'raylikchi.
Ko'rib turganingizdek, "to'plamda ikkita bir xil element bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Aqlli mavjudotlar bunday bema'ni mantiqni hech qachon tushunmaydilar. Bu "to'liq" so'zidan aqlga ega bo'lmagan gapiradigan to'tiqushlar va o'qitilgan maymunlarning darajasi. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, bizga o'zlarining bema'ni g'oyalarini targ'ib qilishadi.
Bir vaqtlar ko'prikni qurgan muhandislar ko'prikni sinovdan o'tkazayotganda ko'prik ostidagi qayiqda bo'lishgan. Agar ko'prik qulab tushsa, o'rtamiyona muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko'prik yukga bardosh bera olsa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.
Matematiklar "menga e'tibor bering, men uydaman" yoki to'g'rirog'i, "matematika mavhum tushunchalarni o'rganadi" iborasi orqasida qanchalik yashirinmasin, ularni haqiqat bilan chambarchas bog'laydigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Qo'llanilishi mumkin matematik nazariya matematiklarning o'zlariga qo'yadi.
Biz matematikani juda yaxshi o'rgandik va hozir biz kassada o'tirib, maosh beramiz. Shunday qilib, matematik bizga pul uchun keladi. Biz unga to'liq miqdorni hisoblaymiz va uni stolimizga turli xil qoziqlarga qo'yamiz, ularga bir xil nomdagi veksellarni joylashtiramiz. Keyin biz har bir qoziqdan bitta hisob-kitobni olib, matematikaga uning "ish haqining matematik to'plamini" beramiz. Keling, matematikaga bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlarli to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisob-kitoblarni olishini tushuntirib beraylik. Qiziq shu erda boshlanadi.
Avvalo, deputatlarning “Buni boshqalarga nisbatan qo‘llash mumkin, lekin menga emas!” degan mantig‘i ishlaydi. Keyin ular bizni bir xil nomdagi veksellar turli xil veksel raqamlariga ega ekanligiga ishontirishni boshlaydilar, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Mayli, maoshlarni tangalarda hisoblaylik - tangalarda raqamlar yo'q. Bu erda matematik fizikani hayajon bilan eslay boshlaydi: har xil tangalar har xil miqdordagi axloqsizlikka ega, kristal tuzilishi va atomlarning joylashishi har bir tanga uchun o'ziga xosdir ...
Va endi menda eng qiziqarli savol bor: ko'p to'plamning elementlari to'plam elementlariga aylanadigan chiziq qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsani shamanlar hal qiladi, fan bu erda yolg'on gapirishga ham yaqin emas.
Mana qarang. Biz tanlaymiz futbol stadionlari bir xil maydon maydoni bilan. Maydonlarning maydonlari bir xil - bu bizda multiset mavjudligini anglatadi. Ammo bir xil stadionlarning nomlariga qarasak, nomlari har xil bo'lgani uchun ko'plarini olamiz. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami ham to'plam, ham multisetdir. Qanday to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-o'tkir yengidan ko'zni chiqarib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Har holda, u bizni o'zining haq ekanligiga ishontiradi.
Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini, uni haqiqatga bog'lashini tushunish uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "yaxlit bir butun sifatida tasavvur qilinmaydigan" yoki "bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" holda ko'rsataman.
Yakshanba, 18-mart, 2018-yil
Raqam raqamlarining yig'indisi - bu matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan shamanlarning daf bilan raqsi. Ha, matematika darslarida bizga son raqamlari yig'indisini topish va undan foydalanish o'rgatiladi, lekin shuning uchun ular shamanlar, o'z avlodlariga o'z mahoratlari va donoliklarini o'rgatishlari kerak, aks holda shamanlar shunchaki o'lib ketadi.
Sizga dalil kerakmi? Vikipediyani oching va "Raqam raqamlari yig'indisi" sahifasini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Matematikada biron bir raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun ishlatiladigan formula yo'q. Axir, raqamlar biz raqamlarni yozadigan grafik belgilardir va matematika tilida vazifa quyidagicha yangraydi: "Har qanday raqamni ifodalovchi grafik belgilar yig'indisini toping." Matematiklar bu muammoni hal qila olmaydilar, ammo shamanlar buni osonlikcha hal qilishlari mumkin.
Keling, berilgan sonning raqamlari yig'indisini topish uchun nima va qanday qilishimizni aniqlaymiz. Shunday qilib, 12345 raqamiga ega bo'lsin. Bu raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun nima qilish kerak? Keling, barcha bosqichlarni tartibda ko'rib chiqaylik.
1. Raqamni qog'ozga yozing. Biz nima qildik? Biz raqamni grafik raqam belgisiga aylantirdik. Bu matematik operatsiya emas.
2. Olingan bitta rasmni alohida raqamlarni o'z ichiga olgan bir nechta rasmga kesib tashladik. Rasmni kesish matematik operatsiya emas.
3. Alohida grafik belgilarni raqamlarga aylantirish. Bu matematik operatsiya emas.
4. Olingan raqamlarni qo'shing. Endi bu matematika.
12345 raqamining raqamlari yig'indisi 15 ga teng. Bu matematiklar foydalanadigan shamanlar tomonidan o'qitiladigan "kesish va tikish kurslari". Lekin bu hammasi emas.
Matematik nuqtai nazardan, sonni qaysi sanoq sistemasida yozishimiz muhim emas. Shunday qilib, ichida turli tizimlar Hisoblashda bir xil sonning raqamlari yig'indisi boshqacha bo'ladi. Matematikada sanoq sistemasi sonning o'ng tomonida pastki belgisi sifatida ko'rsatilgan. BILAN katta raqam 12345 Men boshimni aldashni xohlamayman, keling, haqidagi maqoladan 26 raqamini ko'rib chiqaylik. Bu sonni ikkilik, sakkizlik, o‘nlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida yozamiz. Biz har bir qadamni mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz; biz buni allaqachon qilganmiz. Keling, natijani ko'rib chiqaylik.
Ko'rib turganingizdek, turli sanoq tizimlarida bir xil son raqamlari yig'indisi har xil bo'ladi. Bu natijaning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. Bu xuddi to'rtburchakning maydonini metr va santimetrda aniqlaganingiz bilan bir xil, siz butunlay boshqacha natijalarga erishasiz.
Nol barcha sanoq tizimlarida bir xil ko'rinadi va raqamlar yig'indisiga ega emas. Bu haqiqat foydasiga yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: matematikada raqam bo'lmagan narsa qanday qilib belgilanadi? Nima, matematiklar uchun raqamlardan boshqa hech narsa yo'q? Men shamanlar uchun ruxsat berishim mumkin, ammo olimlar uchun emas. Haqiqat faqat raqamlardan iborat emas.
Olingan natija sanoq sistemalarining sonlar uchun o'lchov birliklari ekanligiga dalil sifatida qaralishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli o'lchov birliklari bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil miqdorning turli o'lchov birliklari bilan bir xil harakatlar ularni solishtirgandan keyin turli xil natijalarga olib keladigan bo'lsa, unda bu matematikaga hech qanday aloqasi yo'q.
Haqiqiy matematika nima? Bu matematik operatsiya natijasi raqamning o'lchamiga, ishlatiladigan o'lchov birligiga va bu harakatni kim bajarishiga bog'liq bo'lmaganda.
Oh! Bu ayollar hojatxonasi emasmi?
- Yosh ayol! Bu jannatga ko'tarilish paytida qalblarning muqaddasligini o'rganish uchun laboratoriya! Yuqorida halo va yuqoriga o'q. Yana qanday hojatxona?
Ayol... Yuqoridagi halo va pastga o'q erkakdir.
Agar bunday dizayn san'ati asari kuniga bir necha marta ko'z oldingizda porlab tursa,
Shunda siz to'satdan mashinangizda g'alati belgini topsangiz ajablanarli emas:
Shaxsan men najas qilayotgan odamda minus to'rt darajani ko'rishga harakat qilaman (bitta rasm) (bir nechta rasmlarning kompozitsiyasi: minus belgisi, to'rtta raqam, darajalar belgisi). Va menimcha, bu qiz fizikani bilmaydigan ahmoq emas. U shunchaki grafik tasvirlarni idrok etishning kuchli stereotipiga ega. Va matematiklar buni bizga doimo o'rgatishadi. Mana bir misol.
1A "minus to'rt daraja" yoki "bir a" emas. Bu "pooping man" yoki o'n oltilik tizimda "yigirma olti" raqami. Ushbu sanoq tizimida doimiy ravishda ishlaydigan odamlar avtomatik ravishda raqam va harfni bitta grafik belgi sifatida qabul qiladilar.
Ushbu videoda biz bir xil algoritm yordamida echiladigan chiziqli tenglamalarning butun to'plamini tahlil qilamiz - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.
Birinchidan, aniqlaymiz: nima chiziqli tenglama va ulardan qaysi biri eng oddiy deb ataladi?
Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.
Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:
Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritmdan foydalanib, eng oddiyiga qisqartiriladi:
- Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring;
- Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni ikkinchi tomoniga koʻchiring;
- Tenglik belgisining chap va o'ng tomoniga o'xshash shartlarni bering;
- Hosil bo‘lgan tenglamani $x$ o‘zgaruvchining koeffitsientiga bo‘ling.
Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida bu hiyla-nayranglardan keyin $x$ o'zgaruvchisining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:
- Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, $0\cdot x=8$ kabi narsa paydo bo'lganda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa noldan boshqa raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
- Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga qisqartirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ ni almashtirsak ham, baribir “nol nolga teng”, ya’ni “nolga teng” bo‘lib chiqishi mantiqan to‘g‘ri. to'g'ri raqamli tenglik.
Keling, bularning barchasi hayotiy misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.
Tenglamalarni yechishga misollar
Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.
Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:
- Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytirishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
- Keyin shunga o'xshash narsalarni birlashtiring
- Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsani - u mavjud bo'lgan atamalarni - bir tomonga siljiting va unsiz qolgan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazing.
Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshash narsalarni olib kelishingiz kerak, shundan so'ng "x" koeffitsientiga bo'lish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.
Nazariy jihatdan, bu chiroyli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. chiziqli tenglamalar. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslar" ni hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.
Bundan tashqari, shunday bo'ladiki, chiziqli tenglamaning yechimlari umuman yo'q yoki yechim butun son chizig'i, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda ko'rib chiqamiz. Ammo siz allaqachon tushunganingizdek, biz boshlaymiz oddiy vazifalar.
Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi
Birinchidan, yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni echish uchun butun sxemani yozishga ruxsat bering:
- Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
- Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni. Biz "X" ni o'z ichiga olgan hamma narsani bir tomonga, "X" lari bo'lmagan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazamiz.
- Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
- Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.
Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, unda ma'lum nozikliklar va fokuslar mavjud va endi biz ular bilan tanishamiz.
Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish
Vazifa № 1
Birinchi qadam bizdan qavslarni ochishni talab qiladi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak. E'tibor bering: biz faqat individual shartlar haqida gapiramiz. Keling, yozamiz:
Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz, ammo bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: koeffitsientga bo'ling:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Shunday qilib, biz javob oldik.
Vazifa № 2
Biz ushbu muammoda qavslarni ko'rishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:
Chapda ham, o'ngda ham taxminan bir xil dizaynni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. o'zgaruvchilarni ajratish:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun $x$ har qanday raqam ekanligini yozishimiz mumkin.
Vazifa № 3
Uchinchi chiziqli tenglama qiziqroq:
\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]
Bu erda bir nechta qavslar mavjud, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, ular oldida turli xil belgilar mavjud. Keling, ularni ajratamiz:
Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Keling, hisob-kitob qilaylik:
Biz oxirgi bosqichni bajaramiz - hamma narsani "x" koeffitsientiga bo'ling:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar
Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:
- Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
- Ildizlar bo'lsa ham, ular orasida nol bo'lishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.
Nol boshqalar bilan bir xil raqam; siz uni hech qanday tarzda kamsitmasligingiz kerak yoki agar siz nolga ega bo'lsangiz, unda siz noto'g'ri ish qildingiz deb o'ylamasligingiz kerak.
Yana bir xususiyat qavslarning ochilishi bilan bog'liq. Iltimos, diqqat qiling: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, lekin qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni standart algoritmlar yordamida ochishimiz mumkin: biz yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rgan narsamizni olamiz.
Ushbu oddiy haqiqatni tushunish sizga o'rta maktabda ahmoqona va og'riqli xatolarga yo'l qo'ymaslikka yordam beradi, chunki bunday narsalarni qilish odatiy holdir.
Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish
Keling, murakkabroq tenglamalarga o'tamiz. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va turli xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, biz bundan qo'rqmasligimiz kerak, chunki agar muallifning rejasiga ko'ra, biz chiziqli tenglamani yechayotgan bo'lsak, unda transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta bekor qilinadi.
Misol № 1
Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:
Endi maxfiylikni ko'rib chiqaylik:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Shubhasiz, bu tenglamaning yechimlari yo'q, shuning uchun biz buni javobda yozamiz:
\[\varnothing\]
yoki hech qanday ildiz yo'q.
Misol № 2
Biz xuddi shu harakatlarni bajaramiz. Birinchi qadam:
Keling, o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:
\[\varnothing\],
yoki hech qanday ildiz yo'q.
Yechimning nuanslari
Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Bu ikki iborani misol qilib keltirar ekanmiz, biz yana bir bor amin bo‘ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo‘lmasligi mumkin: bitta yoki hech biri, yoki cheksiz ko‘p ildiz bo‘lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasi ham oddiygina ildizga ega emas.
Lekin men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday ochish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:
Ochishdan oldin siz hamma narsani "X" ga ko'paytirishingiz kerak. E'tibor bering: ko'payadi har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.
Va faqat bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan so'ng, siz qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochishingiz mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar tugallangandan so'ng, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa shunchaki belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.
Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:
Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor qaratganim yo‘q. Chunki tenglamalarni yechish har doim elementar o'zgarishlar ketma-ketligi bo'lib, bu erda oddiy harakatlarni aniq va malakali bajara olmaslik yuqori sinf o'quvchilarining mening oldimga kelishiga va yana shunday oddiy tenglamalarni echishni o'rganishiga olib keladi.
Albatta, kun keladiki, siz bu ko'nikmalarni avtomatizm darajasiga ko'tarasiz. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bitta satrga yozasiz. Ammo endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.
Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish
Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.
Vazifa № 1
\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]
Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:
Keling, bir oz maxfiylikni ta'minlaylik:
Mana bir nechta shunga o'xshashlar:
Keling, oxirgi bosqichni bajaramiz:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida bizda kvadratik funktsiyaga ega koeffitsientlar bo'lganiga qaramay, ular bir-birini bekor qildi, bu esa tenglamani kvadrat emas, chiziqli qiladi.
Vazifa № 2
\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]
Keling, birinchi qadamni diqqat bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidan har bir elementga ko'paytiramiz. O'zgartirishlardan keyin jami to'rtta yangi atama bo'lishi kerak:
Endi har bir atamada ko'paytirishni diqqat bilan bajaramiz:
Keling, "X" harfi bo'lgan shartlarni chapga, bo'lmaganlarini esa o'ngga o'tkazamiz:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Mana shunga o'xshash atamalar:
Yana bir bor yakuniy javobni oldik.
Yechimning nuanslari
Bu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma quyidagicha: bir nechta haddan iborat bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlashimiz bilan, bu quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: biz birinchi hadni birinchisidan olamiz va har bir element bilan ko'paytiramiz. ikkinchisi; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta muddatga ega bo'lamiz.
Algebraik yig'indi haqida
Ushbu oxirgi misol bilan men o'quvchilarga algebraik yig'indi nima ekanligini eslatmoqchiman. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz oddiy qurilishni nazarda tutamiz: bittadan yettini ayirish. Algebrada biz quyidagilarni nazarda tutamiz: "bir" raqamiga biz boshqa raqamni qo'shamiz, ya'ni "minus etti". Algebraik yig'indi oddiy arifmetik yig'indidan shunday farq qiladi.
Barcha o'zgarishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlasangiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.
Va nihoyat, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.
Kasrli tenglamalarni yechish
Bunday vazifalarni hal qilish uchun biz algoritmimizga yana bir qadam qo'shishimiz kerak. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:
- Qavslarni oching.
- Alohida o'zgaruvchilar.
- Shunga o'xshashlarni olib keling.
- Nisbatga bo'linadi.
Afsuski, bu ajoyib algoritm, barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda, unchalik mos kelmaydi. Va biz quyida ko'rib chiqamiz, biz ikkala tenglamada ham chap, ham o'ngda kasrga egamiz.
Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buning uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, bu birinchi harakatdan oldin ham, keyin ham bajarilishi mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:
- Fraksiyalardan xalos bo'ling.
- Qavslarni oching.
- Alohida o'zgaruvchilar.
- Shunga o'xshashlarni olib keling.
- Nisbatga bo'linadi.
"Fraksiyalardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar o'zlarining maxrajlarida sonli, ya'ni. Hamma joyda maxraj shunchaki raqamdir. Shuning uchun, agar tenglamaning ikkala tomonini bu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.
Misol № 1
\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]
Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:
\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]
E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Sizda ikkita qavs borligi har birini "to'rt" ga ko'paytirish kerak degani emas. Keling, yozamiz:
\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]
Endi kengaytiramiz:
Biz o'zgaruvchini ajratamiz:
Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:
\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Bizda bor yakuniy qaror, keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz.
Misol № 2
\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]
Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:
\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Muammo hal qilindi.
Men bugun sizga aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.
Asosiy fikrlar
Asosiy topilmalar quyidagilar:
- Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
- Qavslarni ochish qobiliyati.
- Agar ko'rsangiz, tashvishlanmang kvadratik funktsiyalar, ehtimol, keyingi transformatsiyalar jarayonida ular kamayadi.
- Chiziqli tenglamalarda ildizlarning uchta turi mavjud, hatto eng oddiylari ham: bitta ildiz, butun son qatori ildiz va umuman ildiz yo'q.
Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting va u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!
Tenglamaning bu qismi qavs ichidagi ifodadir. Qavslarni ochish uchun qavs oldidagi belgiga qarang. Agar ortiqcha belgisi bo'lsa, ifodadagi qavslarni ochish hech narsani o'zgartirmaydi: shunchaki qavslarni olib tashlang. Agar minus belgisi bo'lsa, qavslarni ochganda, dastlab qavslarda bo'lgan barcha belgilarni qarama-qarshi belgilarga o'zgartirishingiz kerak. Masalan, -(2x-3)=-2x+3.
Ikki qavsni ko'paytirish.
Agar tenglama ikkita qavs mahsulotini o'z ichiga olgan bo'lsa, qavslarni ko'ra oching standart qoida. Birinchi qavsdagi har bir atama ikkinchi qavsdagi har bir atama bilan ko'paytiriladi. Olingan raqamlar umumlashtiriladi. Bunday holda, ikkita "ortiqcha" yoki ikkita "minus" ko'paytmasi atama "ortiqcha" belgisini beradi va agar omillar mavjud bo'lsa. turli belgilar, keyin minus belgisini oladi.
Keling, ko'rib chiqaylik.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Qavslarni ochish, ba'zan ifodani ko'tarish orqali. Kvadrat va kub formulalarini yoddan bilish va eslab qolish kerak.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Uchdan katta ifodani tuzish formulalarini Paskal uchburchagi yordamida bajarish mumkin.
Manbalar:
- qavsni kengaytirish formulasi
Qavslar ichiga olingan matematik operatsiyalar o‘zgaruvchilar va ifodalarni o‘z ichiga olishi mumkin turli darajalarda qiyinchiliklar. Bunday iboralarni ko'paytirish uchun siz yechim izlashingiz kerak bo'ladi umumiy ko'rinish, qavslarni ochish va natijani soddalashtirish. Agar qavslar o'zgaruvchilarsiz, faqat raqamli qiymatlar bilan operatsiyalarni o'z ichiga olsa, qavslarni ochish shart emas, chunki agar sizda kompyuter bo'lsa, uning foydalanuvchisi juda muhim hisoblash resurslariga kirish huquqiga ega - ifodani soddalashtirishdan ko'ra ulardan foydalanish osonroq.
Ko'rsatmalar
Natijani umumiy shaklda olishni istasangiz, bitta qavsdagi har birini (yoki bilan cheklash) boshqa barcha qavslar mazmuniga ketma-ket ko'paytiring. Masalan, asl ifoda quyidagicha yozilsin: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Keyin ketma-ket ko'paytirish (ya'ni qavslarni ochish) quyidagi natijani beradi: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+) 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Ifodalarni qisqartirish orqali natijani soddalashtiring. Masalan, oldingi bosqichda olingan ifodani quyidagicha soddalashtirish mumkin: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Agar x ni 4,75 ga ko'paytirish kerak bo'lsa, kalkulyatordan foydalaning, ya'ni (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Ushbu qiymatni hisoblash uchun Google yoki Nigma qidiruv tizimining veb-saytiga o'ting va so'rov maydoniga iborani asl ko'rinishida (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2) kiriting. Google 82.265625 tugmachasini bosmasdan darhol ko'rsatadi, lekin Nigma bir tugmani bosish bilan serverga ma'lumotlarni yuborishi kerak.
Qavslarning asosiy vazifasi qiymatlarni hisoblashda harakatlar tartibini o'zgartirishdir. Masalan, sonli ifodada \(5·3+7\) avval koʻpaytirish, keyin esa qoʻshish hisoblanadi: \(5·3+7 =15+7=22\). Lekin \(5·(3+7)\) ifodasida avval qavs ichidagi qo'shilish, shundan keyingina ko'paytirish hisoblab chiqiladi: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Misol.
Qavsni kengaytiring: \(-(4m+3)\).
Yechim
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Misol.
Qavsni oching va shunga o'xshash shartlarni bering \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Yechim
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Misol.
Qavslarni kengaytiring \(5(3-x)\).
Yechim
: Qavs ichida bizda \(3\) va \(-x\) bor, qavsdan oldin esa besh. Bu qavsning har bir a'zosi \(5\) ga ko'paytirilishini anglatadi - buni sizga eslatib o'taman Raqam va qavs orasidagi ko'paytirish belgisi matematikada yozuvlar hajmini kamaytirish uchun yozilmagan..
Misol.
Qavslarni kengaytiring \(-2(-3x+5)\).
Yechim
: Oldingi misoldagidek, qavs ichidagi \(-3x\) va \(5\) \(-2\) ga ko'paytiriladi.
Misol.
Ifodani soddalashtiring: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Yechim
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Oxirgi vaziyatni ko'rib chiqish qoladi.
Qavsni qavsga ko'paytirishda birinchi qavsning har bir a'zosi ikkinchisining har bir hadi bilan ko'paytiriladi:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Misol.
Qavslarni kengaytiring \((2-x)(3x-1)\).
Yechim
: Bizda qavslar mahsuloti bor va uni yuqoridagi formula yordamida darhol kengaytirish mumkin. Ammo chalkashmaslik uchun keling, hamma narsani bosqichma-bosqich qilaylik.
1-qadam. Birinchi qavsni olib tashlang - uning har bir shartini ikkinchi qavsga ko'paytiring:
Qadam 2. Qavslar mahsulotlarini va yuqorida tavsiflangan omilni kengaytiring:
- Birinchi narsa birinchi ...
Keyin ikkinchi.
3-qadam. Endi biz o'xshash atamalarni ko'paytiramiz va keltiramiz:
Barcha o'zgarishlarni batafsil tavsiflash shart emas, ularni darhol ko'paytirishingiz mumkin. Ammo agar siz qavslarni ochishni o'rganayotgan bo'lsangiz, batafsil yozing, xato qilish ehtimoli kamroq bo'ladi.
Butun bo'limga e'tibor bering. Aslida, siz to'rtta qoidani eslab qolishingiz shart emas, faqat bittasini eslab qolishingiz kerak, bu: \(c(a-b)=ca-cb\) . Nega? Chunki c o'rniga bittasini qo'ysangiz, \((a-b)=a-b\) qoidasini olasiz. Agar minus birni almashtirsak, \(-(a-b)=-a+b\) qoidasini olamiz. Xo'sh, agar siz c o'rniga boshqa qavsni almashtirsangiz, oxirgi qoidani olishingiz mumkin.
Qavs ichidagi qavs
Ba'zan amalda boshqa qavslar ichiga joylashtirilgan qavslar bilan bog'liq muammolar mavjud. Mana shunday vazifaga misol: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifodasini soddalashtiring.
Bunday vazifalarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun sizga kerak:
- qavslarning joylashishini diqqat bilan tushuning - qaysi biri qaysi;
- qavslarni, masalan, eng ichki qismidan boshlab, ketma-ket oching.
Qavslardan birini ochishda muhim ahamiyatga ega iboraning qolgan qismiga tegmang, shunchaki uni avvalgidek qayta yozing.
Misol tariqasida yuqorida yozilgan topshiriqni ko'rib chiqamiz.
Misol.
Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni bering \(7x+2(5-(3x+y))\).
Yechim:
Misol.
Qavslarni oching va shunga o'xshash shartlarni bering \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Yechim
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Bu yerda qavslarning uch marta joylashishi mavjud. Keling, eng ichki qismdan boshlaylik (yashil rang bilan ta'kidlangan). Qavs oldida ortiqcha narsa bor, shuning uchun u shunchaki chiqib ketadi. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Endi siz ikkinchi qavsni, oraliqni ochishingiz kerak. Ammo bundan oldin biz ushbu ikkinchi qavsdagi sharpaga o'xshash atamalarning ifodasini soddalashtiramiz. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Endi biz ikkinchi qavsni ochamiz (ko'k rang bilan ta'kidlangan). Qavsdan oldin omil - shuning uchun qavsdagi har bir atama unga ko'paytiriladi. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Va oxirgi qavsni oching. Qavs oldida minus belgisi bor, shuning uchun barcha belgilar teskari. |
||
Qavslarni kengaytirish matematikada asosiy ko'nikma hisoblanadi. Bu mahoratsiz 8 va 9-sinflarda C dan yuqori bahoga ega bo‘lish mumkin emas. Shuning uchun men ushbu mavzuni yaxshi tushunishingizni tavsiya qilaman.
Ushbu maqolada biz matematika kursida qavs ochish kabi muhim mavzuning asosiy qoidalarini batafsil ko'rib chiqamiz. Qavslar qo'llaniladigan tenglamalarni to'g'ri echish uchun ularni ochish qoidalarini bilishingiz kerak.
Qo'shishda qavslarni qanday to'g'ri ochish kerak
"+" belgisi oldidagi qavslarni kengaytiring
Bu eng oddiy holat, chunki qavslar oldida qo'shimcha belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ochilganda ularning ichidagi belgilar o'zgarmaydi. Misol:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Oldindan "-" belgisi qo'yilgan qavslarni qanday kengaytirish mumkin
IN Ushbu holatda barcha atamalarni qavslarsiz qayta yozishingiz kerak, lekin ayni paytda ularning ichidagi barcha belgilarni teskarisiga o'zgartiring. Belgilar faqat "-" belgisi bo'lgan qavslardagi shartlar uchun o'zgaradi. Misol:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Ko'paytirishda qavslar qanday ochiladi
Qavslar oldidan ko'paytiruvchi raqam mavjud
Bunday holda, har bir atamani koeffitsientga ko'paytirish va belgilarni o'zgartirmasdan qavslarni ochish kerak. Agar ko'paytiruvchi "-" belgisiga ega bo'lsa, ko'paytirish paytida atamalarning belgilari teskari bo'ladi. Misol:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Ularning orasiga ko'paytirish belgisi bo'lgan ikkita qavsni qanday ochish kerak
Bunday holda, siz birinchi qavsdagi har bir atamani ikkinchi qavsdagi har bir atama bilan ko'paytirishingiz va keyin natijalarni qo'shishingiz kerak. Misol:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Kvadratda qavslarni qanday ochish kerak
Agar ikki hadning yig'indisi yoki ayirmasi kvadrat bo'lsa, qavslar quyidagi formula bo'yicha ochilishi kerak:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Qavslar ichida minus bo'lsa, formula o'zgarmaydi. Misol:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Qavslarni boshqa darajaga qanday kengaytirish mumkin
Agar atamalarning yig'indisi yoki farqi, masalan, 3- yoki 4-chi darajaga ko'tarilsa, unda siz qavsning kuchini "kvadratchalarga" bo'lishingiz kerak. Bir xil omillarning vakolatlari qo'shiladi va bo'lishda bo'linuvchining kuchi dividendning kuchidan chiqariladi. Misol:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
3 ta qavsni qanday ochish kerak
Bir vaqtning o'zida 3 ta qavs ko'paytiriladigan tenglamalar mavjud. Bunday holda, siz birinchi ikkita qavsning shartlarini bir-biriga ko'paytirishingiz kerak, so'ngra bu ko'paytirishning yig'indisini uchinchi qavsning shartlariga ko'paytirishingiz kerak. Misol:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Qavslarni ochish qoidalari chiziqli va trigonometrik tenglamalarni yechishda bir xilda qo'llaniladi.
