Kvadrat tenglama - yechish oson! *Bundan keyin “KU” deb yuritiladi. Do'stlar, matematikada bunday tenglamani echishdan oddiyroq narsa bo'lishi mumkin emasdek tuyuladi. Lekin bir narsa menga ko'p odamlar u bilan muammolar borligini aytdi. Men Yandex oyiga qancha talab bo'yicha taassurot berishini ko'rishga qaror qildim. Mana nima bo'ldi, qarang:
Bu nima degani? Bu har oyda taxminan 70 000 kishi qidirayotganini bildiradi bu ma'lumot, bu yozning bunga nima aloqasi bor va ular orasida nima bo'ladi o'quv yili— soʻrovlar ikki barobar koʻp boʻladi. Buning ajablanarli joyi yo'q, chunki uzoq vaqt oldin maktabni tugatgan va Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rayotgan yigit-qizlar ushbu ma'lumotni izlaydilar va maktab o'quvchilari ham xotiralarini yangilashga intilishadi.
Ushbu tenglamani qanday hal qilishni aytadigan ko'plab saytlar mavjudligiga qaramay, men ham o'z hissamni qo'shishga va materialni nashr etishga qaror qildim. Birinchidan, men ushbu so'rov asosida saytimga tashrif buyuruvchilar kelishini xohlayman; ikkinchidan, boshqa maqolalarda "KU" mavzusi paydo bo'lganda, men ushbu maqolaga havola beraman; uchinchidan, men sizga uning yechimi haqida odatda boshqa saytlarda aytilganidan ko'ra bir oz ko'proq gapirib beraman. Qani boshladik! Maqolaning mazmuni:
Kvadrat tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir:
Bu erda a koeffitsientlari,bva c ixtiyoriy sonlar, a≠0 bilan.
IN maktab kursi material quyidagi shaklda berilgan - tenglamalar shartli ravishda uchta sinfga bo'linadi:
1. Ularning ikkita ildizi bor.
2. *Faqat bitta ildizga ega bo'ling.
3. Ularning ildizlari yo'q. Bu erda ularning haqiqiy ildizlari yo'qligini alohida ta'kidlash kerak
Ildizlar qanday hisoblanadi? Shunchaki!
Biz diskriminantni hisoblaymiz. Ushbu "dahshatli" so'z ostida juda oddiy formula yotadi:
Ildiz formulalari quyidagicha:
*Ushbu formulalarni yoddan bilishingiz kerak.
Siz darhol yozishingiz va hal qilishingiz mumkin:
Misol:
1. Agar D > 0 bo‘lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo‘ladi.
2. Agar D = 0 bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega.
3. Agar D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Keling, tenglamani ko'rib chiqaylik:
tomonidan shu munosabat bilan, diskriminant nolga teng bo'lsa, maktab kursi natijaning bitta ildiz ekanligini aytadi, bu erda u to'qqizga teng. Hammasi to'g'ri, shunday, lekin...
Bu fikr biroz noto'g'ri. Aslida, ikkita ildiz bor. Ha, ha, hayron bo'lmang, siz ikkita teng ildiz olasiz va matematik jihatdan aniq bo'lsak, javob ikkita ildiz yozishi kerak:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ammo bu shunday - kichik bir chekinish. Maktabda siz uni yozib, bitta ildiz borligini aytishingiz mumkin.
Endi keyingi misol:
Bizga ma'lumki, ildiz salbiy raqam olinmaydi, shuning uchun ichidagi eritmalar Ushbu holatda Yo'q.
Bu butun qaror jarayoni.
Kvadrat funksiya.
Bu yechim geometrik jihatdan qanday ko'rinishini ko'rsatadi. Buni tushunish juda muhim (kelajakda biz maqolalarning birida kvadrat tengsizlikning echimini batafsil tahlil qilamiz).
Bu shaklning funktsiyasi:
bu erda x va y o'zgaruvchilardir
a, b, c - berilgan raqamlar, a ≠ 0 bilan
Grafik parabola:
Ya'ni, "y" nolga teng bo'lgan kvadrat tenglamani yechish orqali biz parabolaning x o'qi bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Ushbu nuqtalardan ikkitasi bo'lishi mumkin (diskriminant musbat), biri (diskriminant nolga teng) va hech biri (diskriminant salbiy). Haqida tafsilotlar kvadratik funktsiya Ko'rishingiz mumkin Inna Feldmanning maqolasi.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:
1-misol: Yechish 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Javob: x 1 = 8 x 2 = –12
*Darhol chiqib ketish mumkin edi va o'ng tomon tenglamani 2 ga bo'ling, ya'ni uni soddalashtiring. Hisob-kitoblar osonroq bo'ladi.
2-misol: Qaror qiling x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Biz x 1 = 11 va x 2 = 11 ekanligini aniqladik
Javobda x = 11 yozish joiz.
Javob: x = 11
3-misol: Qaror qiling x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminant manfiy, haqiqiy sonlarda yechim yo'q.
Javob: yechim yo'q
Diskriminant salbiy. Yechim bor!
Bu erda biz manfiy diskriminant olingan holatda tenglamani echish haqida gapiramiz. haqida biror narsa bilasizmi murakkab sonlar? Men bu erda ular nima uchun va qaerda paydo bo'lganligi va ularning matematikadagi o'ziga xos o'rni va zarurligi haqida batafsil ma'lumot bermayman; bu katta alohida maqola uchun mavzu.
Kompleks son haqida tushuncha.
Bir oz nazariya.
Kompleks son z - shaklning soni
z = a + bi
a va b haqiqiy sonlar, i xayoliy birlik deb ataladi.
a+bi - bu qo'shimcha emas, BIR RAQAM.
Xayoliy birlik minus birning ildiziga teng:
Endi tenglamani ko'rib chiqing:
Biz ikkita konjugat ildizni olamiz.
Tugallanmagan kvadrat tenglama.
Maxsus holatlarni ko'rib chiqaylik, bu "b" yoki "c" koeffitsienti nolga teng bo'lganda (yoki ikkalasi ham nolga teng). Ularni hech qanday kamsitishlarsiz osongina hal qilish mumkin.
1-holat. koeffitsient b = 0.
Tenglama quyidagicha bo'ladi:
Keling, aylantiramiz:
Misol:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
2-holat. Koeffitsient c = 0.
Tenglama quyidagicha bo'ladi:
Keling, o'zgartiramiz va faktorlarga ajratamiz:
*Omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi.
Misol:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 yoki x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
3-holat. Koeffitsientlar b = 0 va c = 0.
Bu erda tenglamaning yechimi doimo x = 0 bo'lishi aniq.
Koeffitsientlarning foydali xossalari va naqshlari.
Katta koeffitsientli tenglamalarni echishga imkon beruvchi xususiyatlar mavjud.
Ax 2 + bx+ c=0 tenglik amal qiladi
a + b+ c = 0, Bu
- tenglamaning koeffitsientlari uchun bo'lsa Ax 2 + bx+ c=0 tenglik amal qiladi
a+ s =b, Bu
Bu xususiyatlar ma'lum turdagi tenglamani echishga yordam beradi.
1-misol: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Koeffitsientlar yig'indisi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, bu degani
2-misol: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Tenglik saqlanib qoladi a+ s =b, anglatadi
Koeffitsientlarning qonuniyatlari.
1. Agar ax 2 + bx + c = 0 tenglamasida “b” koeffitsienti (a 2 +1) ga, “c” koeffitsienti esa son jihatdan “a” koeffitsientiga teng bo'lsa, uning ildizlari teng bo'ladi.
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Misol. 6x 2 + 37x + 6 = 0 tenglamasini ko'rib chiqing.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Agar ax 2 – bx + c = 0 tenglamada “b” koeffitsienti (a 2 +1) ga, “c” koeffitsienti esa son jihatdan “a” koeffitsientiga teng bo'lsa, uning ildizlari teng bo'ladi.
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Misol. 15x 2 –226x +15 = 0 tenglamasini ko'rib chiqing.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Agar tenglamada bo'lsa. ax 2 + bx – c = 0 koeffitsienti “b” ga teng (a 2 – 1) va “c” koeffitsienti son jihatdan “a” koeffitsientiga teng, keyin uning ildizlari teng bo'ladi
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Misol. 17x 2 +288x - 17 = 0 tenglamasini ko'rib chiqing.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Agar ax 2 – bx – c = 0 tenglamada “b” koeffitsienti (a 2 – 1) ga, c koeffitsienti esa son jihatdan “a” koeffitsientiga teng bo'lsa, uning ildizlari teng bo'ladi.
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Misol. 10x 2 – 99x –10 = 0 tenglamasini ko‘rib chiqaylik.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Vyeta teoremasi.
Vyeta teoremasi mashhur frantsuz matematigi Fransua Vyeta sharafiga nomlangan. Vyeta teoremasidan foydalanib, ixtiyoriy KU ildizlarining yig‘indisi va mahsulotini uning koeffitsientlari bilan ifodalashimiz mumkin.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Hammasi bo'lib, 14 raqami faqat 5 va 9 ni beradi. Bu ildizlar. Taqdim etilgan teoremadan foydalanib, ma'lum bir mahorat bilan siz ko'plab kvadrat tenglamalarni darhol og'zaki hal qilishingiz mumkin.
Bundan tashqari, Viet teoremasi. qulay, chunki hal qilgandan keyin kvadrat tenglama hosil bo'lgan ildizlar odatdagi usulda (diskriminant orqali) tekshirilishi mumkin. Men buni har doim qilishni tavsiya qilaman.
TRANSPORT USULI
Ushbu usul bilan "a" koeffitsienti erkin atama bilan ko'paytiriladi, go'yo unga "tashlangan" va shuning uchun u deyiladi. "o'tkazish" usuli. Bu usul tenglamaning ildizlarini Vyeta teoremasi yordamida osongina topish mumkin bo'lganda va eng muhimi, diskriminant aniq kvadrat bo'lganda qo'llaniladi.
Agar A± b+c≠ 0, keyin uzatish texnikasi ishlatiladi, masalan:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
(2) tenglamada Vyeta teoremasidan foydalanib, x 1 = 10 x 2 = 1 ekanligini aniqlash oson.
Tenglamaning hosil bo'lgan ildizlarini 2 ga bo'lish kerak (chunki ikkitasi x 2 dan "tashlangan"), biz olamiz
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Buning sababi nimada? Qarang, nima bo'lyapti.
(1) va (2) tenglamalarning diskriminantlari teng:
Agar siz tenglamalarning ildizlariga qarasangiz, siz faqat turli xil maxrajlarni olasiz va natija aniq x 2 koeffitsientiga bog'liq:
Ikkinchisining (o'zgartirilgan) ildizlari 2 barobar kattaroqdir.
Shunday qilib, natijani 2 ga bo'lamiz.
*Agar biz uchtasini qayta aylantirsak, natijani 3 ga bo'lamiz va hokazo.
Javob: x 1 = 5 x 2 = 0,5
kv. ur-ie va yagona davlat imtihoni.
Men sizga uning ahamiyati haqida qisqacha aytib beraman - SIZ tez va o'ylamasdan QAROR BERISHINGIZ KERAK, ildizlar va diskriminantlarning formulalarini yoddan bilishingiz kerak. Yagona davlat imtihonining topshiriqlariga kiritilgan ko'pgina muammolar kvadrat tenglamani (geometrik bo'lganlar) echish bilan bog'liq.
E'tiborga loyiq narsa!
1. Tenglamani yozish shakli "yomon" bo'lishi mumkin. Masalan, quyidagi kirish mumkin:
15+ 9x 2 - 45x = 0 yoki 15x+42+9x 2 - 45x=0 yoki 15 -5x+10x 2 = 0.
Siz uni olib kelishingiz kerak standart ko'rinish(qaror qabul qilishda chalkashmaslik uchun).
2. Esda tutingki, x noma'lum miqdor va uni boshqa har qanday harf bilan belgilash mumkin - t, q, p, h va boshqalar.
Ushbu maqolada biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echishni ko'rib chiqamiz.
Lekin birinchi navbatda, qanday tenglamalar kvadratik deb atalishini takrorlaymiz. ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama, bu erda x o'zgaruvchi, a, b va c koeffitsientlari esa ba'zi sonlar va a ≠ 0 deyiladi. kvadrat. Ko'rib turganimizdek, x 2 uchun koeffitsient nolga teng emas va shuning uchun x yoki erkin muddat uchun koeffitsientlar nolga teng bo'lishi mumkin, bu holda biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani olamiz.
Toʻliq boʻlmagan kvadrat tenglamalar uch xil boʻladi:
1) Agar b = 0, c ≠ 0 bo'lsa, ax 2 + c = 0;
2) Agar b ≠ 0, c = 0 bo'lsa, ax 2 + bx = 0;
3) Agar b = 0, c = 0 bo'lsa, ax 2 = 0.
- Keling, qanday hal qilishni aniqlaylik ax 2 + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalar.
Tenglamani yechish uchun erkin c hadni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazamiz, olamiz
bolta 2 = ‒s. a ≠ 0 bo'lgani uchun biz tenglamaning ikkala tomonini a ga bo'lamiz, keyin x 2 = ‒c/a.
Agar ‒s/a > 0 bo‘lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo‘ladi
x = ±√(–c/a) .
Agar ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Keling, misollar bilan bunday tenglamalarni qanday yechish kerakligini tushunishga harakat qilaylik.
1-misol. 2x 2 ‒ 32 = 0 tenglamani yeching.
Javob: x 1 = - 4, x 2 = 4.
2-misol. 2x 2 + 8 = 0 tenglamani yeching.
Javob: tenglamaning yechimlari yo'q.
- Keling, buni qanday hal qilishni aniqlaylik ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglamalar.
ax 2 + bx = 0 tenglamasini yechish uchun uni faktorlarga ajratamiz, ya'ni qavs ichidan x ni chiqaramiz, x(ax + b) = 0 ni olamiz. Ko'paytmalardan kamida bittasi teng bo'lsa, ko'paytma nolga teng bo'ladi. nolga. U holda yo x = 0, yoki ax + b = 0. ax + b = 0 tenglamasini yechishda ax = - b ni olamiz, bundan x = - b/a. ax 2 + bx = 0 ko'rinishdagi tenglama har doim ikkita ildizga ega x 1 = 0 va x 2 = ‒ b/a. Ushbu turdagi tenglamalarning yechimi diagrammada qanday ko'rinishini ko'ring. 
Keling, bilimlarimizni aniq bir misol bilan mustahkamlaymiz.
3-misol. 3x 2 ‒ 12x = 0 tenglamani yeching.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 yoki 3x – 12 = 0
Javob: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Uchinchi turdagi tenglamalar ax 2 = 0 juda oddiy hal qilinadi.
Agar ax 2 = 0 bo'lsa, x 2 = 0. Tenglama ikkita teng ildizga ega x 1 = 0, x 2 = 0.
Aniqlik uchun diagrammani ko'rib chiqaylik. 
4-misolni yechishda ushbu turdagi tenglamalarni juda sodda yechish mumkinligiga ishonch hosil qilaylik.
4-misol. 7x 2 = 0 tenglamani yeching.
Javob: x 1, 2 = 0.
To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning qaysi turini hal qilishimiz har doim ham darhol aniq emas. Quyidagi misolni ko'rib chiqing.
5-misol. Tenglamani yeching
Tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga, ya'ni 30 ga ko'paytiramiz.
Keling, uni qisqartiraylik
5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.
Qavslarni ochamiz
25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 = 90.
Keling, shunga o'xshash narsalarni beraylik
99 ni tenglamaning chap tomonidan o‘ngga, ishorani teskari tomonga o‘zgartiramiz.
Javob: ildiz yo'q.
Biz to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqdik. Umid qilamanki, endi siz bunday vazifalarni bajarishda qiyinchiliklarga duch kelmaysiz. To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamaning turini aniqlashda ehtiyot bo'ling, shunda siz muvaffaqiyatga erishasiz.
Agar sizda ushbu mavzu bo'yicha savollaringiz bo'lsa, mening darslarimga yoziling, paydo bo'lgan muammolarni birgalikda hal qilamiz.
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
Masalan, \(3x^2+2x-7\) trinomial uchun diskriminant \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) ga teng bo'ladi. Va \(x^2-5x+11\) trinomial uchun u \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) ga teng bo'ladi.
Diskriminant \(D\) bilan belgilanadi va ko'pincha yechishda ishlatiladi. Bundan tashqari, diskriminantning qiymati bilan siz grafikning taxminan qanday ko'rinishini tushunishingiz mumkin (pastga qarang).
Kvadrat tenglamaning diskriminanti va ildizlari
Diskriminant qiymati kvadrat tenglamalar sonini ko'rsatadi:
- agar \(D\) musbat bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi;
- agar \(D\) nolga teng bo'lsa - faqat bitta ildiz mavjud;
- agar \(D\) manfiy bo'lsa, ildiz yo'q.
Buni o'rgatishning hojati yo'q, shunchaki diskriminantdan (ya'ni \(\sqrt(D)\) kvadrat ildizlarini hisoblash formulasiga kiritilganligini bilib, shunday xulosaga kelish qiyin emas. tenglama: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) va \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt() D))(2a)\) Keling, har bir holatni batafsil ko'rib chiqaylik.
Diskriminant ijobiy bo'lsa
Bunda uning ildizi qandaydir musbat son bo'lib, \(x_(1)\) va \(x_(2)\) turli ma'nolarga ega bo'ladi, chunki birinchi formulada \(\sqrt(D)\ ) qo'shiladi, ikkinchisida esa ayiriladi. Va bizda ikki xil ildiz bor.
Misol
: \(x^2+2x-3=0\) tenglamaning ildizlarini toping.
Yechim
:
Javob : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Diskriminant nolga teng bo'lsa
Diskriminant nolga teng bo'lsa, nechta ildiz bo'ladi? Keling, fikr yuritaylik.
Ildiz formulalari quyidagicha ko'rinadi: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) va \(x_(2)=\)\(\frac(-) b- \sqrt(D))(2a)\) . Va agar diskriminant nolga teng bo'lsa, uning ildizi ham nolga teng. Keyin shunday bo'ladi:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
Ya'ni, tenglama ildizlarining qiymatlari bir xil bo'ladi, chunki nolni qo'shish yoki ayirish hech narsani o'zgartirmaydi.
Misol
: \(x^2-4x+4=0\) tenglamaning ildizlarini toping.
Yechim
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Biz koeffitsientlarni yozamiz: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Diskriminantni \(D=b^2-4ac\) formulasi yordamida hisoblaymiz. |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Tenglamaning ildizlarini topish |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
Bizda ikkita bir xil ildiz bor, shuning uchun ularni alohida yozishning ma'nosi yo'q - biz ularni bitta qilib yozamiz. |
Javob : \(x=2\)
Kvadrat tenglama masalalari ham o'rganiladi maktab o'quv dasturi va universitetlarda. Ular a*x^2 + b*x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalarni anglatadi, bu erda x- o'zgaruvchi, a, b, c – konstantalar; a<>0 . Vazifa tenglamaning ildizlarini topishdir.
Kvadrat tenglamaning geometrik ma'nosi
Kvadrat tenglama bilan ifodalangan funksiyaning grafigi paraboladir. Kvadrat tenglamaning yechimlari (ildizlari) parabolaning abscissa (x) o'qi bilan kesishgan nuqtalaridir. Bundan kelib chiqadiki, uchta mumkin bo'lgan holatlar mavjud:
1) parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan nuqtalari yo'q. Bu shuni anglatadiki, u yuqori tekislikda novdalari yuqoriga yoki pastki qismida shoxlari pastga tushadi. Bunday hollarda kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas (uning ikkita murakkab ildizi bor).
2) parabolaning Ox o'qi bilan bir kesishish nuqtasi bor. Bunday nuqta parabolaning uchi deb ataladi va undagi kvadrat tenglama uning minimal yoki maksimal qiymatini oladi. Bunday holda, kvadrat tenglama bitta haqiqiy ildizga (yoki ikkita bir xil ildizga) ega.
3) Oxirgi holat amalda qiziqroq - parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan ikkita nuqtasi mavjud. Bu tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi borligini anglatadi.
O'zgaruvchilarning vakolatlari koeffitsientlarini tahlil qilish asosida parabolaning joylashuvi haqida qiziqarli xulosalar chiqarish mumkin.
1) a koeffitsienti noldan katta bo'lsa, parabolaning shoxlari yuqoriga, manfiy bo'lsa, parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi.
2) Agar b koeffitsienti noldan katta bo'lsa, u holda parabolaning tepasi chap yarim tekislikda, agar u manfiy qiymat olsa, o'ngda joylashgan.
Kvadrat tenglamani yechish formulasini chiqarish
Kvadrat tenglamadan doimiyni o'tkazamiz 
teng belgisi uchun ifodani olamiz
Ikkala tomonni 4a ga ko'paytiring 
Chapga o'tish uchun mukammal kvadrat ikkala tomonga b ^ 2 qo'shing va transformatsiyani bajaring
Bu erdan topamiz
Kvadrat tenglamaning diskriminanti va ildizlari formulasi
Diskriminant - bu radikal ifodaning qiymati, agar u musbat bo'lsa, tenglama formula bo'yicha hisoblangan ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi. 
Diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta yechimga ega (ikkita mos keladigan ildiz), uni D = 0 uchun yuqoridagi formuladan osongina olish mumkin. salbiy diskriminant haqiqiy ildiz tenglamalari mavjud emas. Biroq, kvadrat tenglamaning yechimlari kompleks tekislikda topiladi va ularning qiymati formuladan foydalanib hisoblanadi. 
Vyeta teoremasi
Kvadrat tenglamaning ikkita ildizini ko'rib chiqamiz va ular asosida kvadrat tenglama tuzamiz.Vyeta teoremasining o'zi osongina yozuvdan kelib chiqadi: agar bizda shaklning kvadrat tenglamasi bo'lsa. 
u holda uning ildizlari yig'indisi dan olingan p koeffitsientiga teng bo'ladi qarama-qarshi belgi, va tenglama ildizlarining mahsuloti q erkin hadiga teng. Yuqoridagilarning formulali ko'rinishi shunday bo'ladi: Agar klassik tenglamada a doimiysi nolga teng bo'lmasa, unda siz butun tenglamani unga bo'lishingiz va keyin Viet teoremasini qo'llashingiz kerak.
Koeffitsientli kvadrat tenglamalar jadvali
Vazifa qo'yilsin: kvadrat tenglamani ko'paytiring. Buning uchun birinchi navbatda tenglamani yechamiz (ildizlarni topamiz). Keyin topilgan ildizlarni kvadrat tenglamaning kengayish formulasiga almashtiramiz, bu muammoni hal qiladi.
Kvadrat tenglama masalalari
Vazifa 1. Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping
x^2-26x+120=0 .
Yechish: Koeffitsientlarni yozing va ularni diskriminant formulasiga qo'ying
Ushbu qiymatning ildizi 14 ga teng, uni kalkulyator yordamida topish yoki qachonligini eslab qolish oson tez-tez foydalanish, ammo, qulaylik uchun, maqolaning oxirida men sizga bunday muammolarda tez-tez duch kelishi mumkin bo'lgan raqamlarning kvadratlari ro'yxatini beraman.
Topilgan qiymatni ildiz formulasiga almashtiramiz 
va olamiz 
Vazifa 2. Tenglamani yeching
2x 2 +x-3=0.
Yechish: Bizda to'liq kvadrat tenglama bor, koeffitsientlarni yozing va diskriminantni toping 
tomonidan ma'lum formulalar kvadrat tenglamaning ildizlarini topish 
Vazifa 3. Tenglamani yeching
9x 2 -12x+4=0.
Yechish: Bizda to‘liq kvadrat tenglama bor. Diskriminantni aniqlash
Bizda ildizlar bir-biriga mos keladigan holat bor. Formuladan foydalanib, ildizlarning qiymatlarini toping 
Vazifa 4. Tenglamani yeching
x^2+x-6=0 .
Yechish: x uchun kichik koeffitsientlar mavjud bo'lgan hollarda Vyeta teoremasini qo'llash maqsadga muvofiqdir. Uning sharti bo'yicha biz ikkita tenglamani olamiz
Ikkinchi shartdan ko'paytma -6 ga teng bo'lishi kerakligini aniqlaymiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlardan biri salbiy. Bizda quyidagi mumkin bo'lgan yechimlar juftligi (-3;2), (3;-2) mavjud. Birinchi shartni hisobga olgan holda, biz ikkinchi juft echimni rad etamiz.
Tenglamaning ildizlari teng
Masala 5. To‘g‘ri to‘rtburchakning perimetri 18 sm, maydoni 77 sm 2 bo‘lsa, uning tomonlari uzunliklarini toping.
Yechish: To‘g‘ri to‘rtburchakning yarim perimetri uning qo‘shni tomonlari yig‘indisiga teng. X ni katta tomon sifatida belgilaymiz, u holda 18-x uning kichik tomonidir. To'rtburchakning maydoni ushbu uzunliklarning mahsulotiga teng:
x(18-x)=77;
yoki
x 2 -18x+77=0.
Tenglamaning diskriminantini topamiz
Tenglamaning ildizlarini hisoblash 
Agar x=11, Bu 18 = 7 , buning aksi ham to‘g‘ri (agar x=7 bo‘lsa, 21 lar=9).
6-masala. 10x 2 -11x+3=0 kvadrat tenglamani ko‘paytiring.
Yechish: Tenglamaning ildizlarini hisoblaymiz, buning uchun diskriminantni topamiz 
Topilgan qiymatni ildiz formulasiga almashtiramiz va hisoblaymiz 
Kvadrat tenglamani ildizlar bo'yicha parchalash formulasini qo'llaymiz 
Qavslarni ochib, biz shaxsni olamiz.
Parametrli kvadrat tenglama
Misol 1. Qaysi parametr qiymatlarida A ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 tenglama bitta ildizga egami?
Yechish: a=3 qiymatini to‘g‘ridan-to‘g‘ri almashtirsak, uning yechimi yo‘qligini ko‘ramiz. Keyinchalik, biz nol diskriminant bilan tenglama 2 ko'plikning bitta ildiziga ega ekanligidan foydalanamiz. Keling, diskriminantni yozamiz 
Keling, uni soddalashtiramiz va uni nolga tenglashtiramiz
Biz a parametriga nisbatan kvadrat tenglamani oldik, uning yechimini Vyeta teoremasi yordamida osongina olish mumkin. Ildizlarning yig'indisi 7 ga, ko'paytmasi esa 12 ga teng. Oddiy qidiruv orqali biz 3,4 raqamlari tenglamaning ildizi bo'lishini aniqlaymiz. Biz hisob-kitoblarning boshida a=3 yechimini rad etganimiz sababli, yagona to'g'ri bo'ladi - a=4. Shunday qilib, a=4 uchun tenglama bitta ildizga ega.
Misol 2. Qaysi parametr qiymatlarida A , tenglama a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 bir nechta ildiz bormi?
Yechish: Avval birlik nuqtalarni ko'rib chiqamiz, ular a=0 va a=-3 qiymatlari bo'ladi. a=0 bo‘lganda, tenglama 6x-9=0 ko‘rinishga soddalashtiriladi; x = 3/2 va bitta ildiz bo'ladi. a= -3 uchun 0=0 o'ziga xoslikni olamiz.
Diskriminantni hisoblaylik 
a ning musbat bo‘lgan qiymatini toping 
Birinchi shartdan biz a>3 ni olamiz. Ikkinchisi uchun biz tenglamaning diskriminantini va ildizlarini topamiz 
Funksiya musbat qiymatlarni qabul qiladigan intervallarni aniqlaylik. a=0 nuqtani almashtirib, biz hosil bo'lamiz 3>0
.
Demak, (-3;1/3) oraliqdan tashqari funktsiya manfiy. Nuqtani unutmang a=0, bu istisno qilinishi kerak, chunki u asl tenglama bitta ildizga ega.
Natijada muammoning shartlarini qanoatlantiradigan ikkita intervalni olamiz 
Amalda shunga o'xshash vazifalar ko'p bo'ladi, vazifalarni o'zingiz aniqlashga harakat qiling va bir-birini istisno qiladigan shartlarni hisobga olishni unutmang. Kvadrat tenglamalarni yechish formulalarini yaxshi o'rganing, ular ko'pincha turli masalalar va fanlarda hisob-kitoblarda kerak bo'ladi.
Diskriminant, kvadrat tenglamalar kabi, 8-sinfda algebra kursida o'rganila boshlaydi. Kvadrat tenglamani diskriminant orqali va Viet teoremasidan foydalanib yechishingiz mumkin. Kvadrat tenglamalarni, shuningdek diskriminant formulalarni o'rganish usuli, haqiqiy ta'limdagi ko'p narsalar singari, maktab o'quvchilariga ham muvaffaqiyatsiz o'rgatiladi. Shuning uchun ular o'tishadi maktab yillari, 9-11-sinflarda ta'lim o'rnini egallaydi " Oliy ma'lumot"va hamma yana qidirmoqda - “Kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin?”, “Tenglamaning ildizlarini qanday topish mumkin?”, “Diskriminantni qanday topish mumkin?”. Va...
Diskriminant formulasi
a*x^2+bx+c=0 kvadrat tenglamaning diskriminanti D D=b^2–4*a*c ga teng.
Kvadrat tenglamaning ildizlari (yechimlari) diskriminantning (D) belgisiga bog'liq:
D>0 – tenglama 2 xil haqiqiy ildizga ega;
D=0 - tenglama 1 ta ildizga ega (2 ta mos ildiz):
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Diskriminantni hisoblash formulasi juda oddiy, shuning uchun ko'plab veb-saytlar onlayn diskriminant kalkulyatorini taklif qiladi. Biz hali bunday skriptlarni o'ylab topmadik, shuning uchun kimdir buni qanday amalga oshirishni bilsa, iltimos, bizga elektron pochta orqali yozing. Ushbu elektron pochta manzili spam-botlardan himoyalangan. Uni ko'rish uchun sizda JavaScript yoqilgan bo'lishi kerak. .
Kvadrat tenglamaning ildizlarini topishning umumiy formulasi:
Formuladan foydalanib, tenglamaning ildizlarini topamiz 
Agar kvadrat o'zgaruvchining koeffitsienti juftlangan bo'lsa, unda diskriminantni emas, balki uning to'rtinchi qismini hisoblash tavsiya etiladi.
Bunday hollarda tenglamaning ildizlari formula yordamida topiladi 
Ildizlarni topishning ikkinchi usuli - Vyeta teoremasi.
Teorema faqat kvadrat tenglamalar uchun emas, balki polinomlar uchun ham tuzilgan. Siz buni Vikipediya yoki boshqa elektron manbalarda o'qishingiz mumkin. Biroq, soddalashtirish uchun yuqoridagi kvadrat tenglamalarga tegishli qismni, ya'ni (a=1) ko'rinishdagi tenglamalarni ko'rib chiqamiz.
Vyeta formulalarining mohiyati shundaki, tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan o'zgaruvchining koeffitsientiga teng. Tenglama ildizlarining mahsuloti erkin hadga teng. Vyeta teoremasini formulalarda yozish mumkin.
Vyeta formulasini chiqarish juda oddiy. Kvadrat tenglamani oddiy omillar orqali yozamiz 
Ko'rib turganingizdek, hamma narsa bir vaqtning o'zida oddiy. Ildizlarning modullari farqi yoki ildizlarning modullari farqi 1, 2 bo'lsa, Viet formulasidan foydalanish samaralidir. Masalan, Vyeta teoremasiga ko'ra, quyidagi tenglamalar ildizlarga ega.
4-tenglamaga qadar tahlil shunday bo'lishi kerak. Tenglama ildizlarining mahsuloti 6 ga teng, shuning uchun ildizlar (1, 6) va (2, 3) qiymatlari yoki qarama-qarshi belgilar bilan juft bo'lishi mumkin. Ildizlarning yig'indisi 7 ga teng (qarama-qarshi belgili o'zgaruvchining koeffitsienti). Bu yerdan xulosaga kelamizki, kvadrat tenglamaning yechimlari x=2; x=3.
Vyeta formulalarini bajarish uchun ularning belgisini moslashtirgan holda, erkin atamaning bo'luvchilari orasidan tenglamaning ildizlarini tanlash osonroq. Avvaliga buni amalga oshirish qiyin bo'lib tuyuladi, lekin bir qator kvadrat tenglamalar bo'yicha mashq qilish bilan bu usul diskriminantni hisoblash va kvadrat tenglamaning ildizlarini klassik usulda topishdan ko'ra samaraliroq bo'ladi.
Ko'rib turganingizdek, diskriminantni o'rganish maktab nazariyasi va tenglama echimlarini topish usullari amaliy ma'nodan mahrum - "Nima uchun maktab o'quvchilariga kvadrat tenglama kerak?", "Diskriminantning jismoniy ma'nosi nima?"
Keling, buni tushunishga harakat qilaylik Diskriminant nimani tasvirlaydi?
Algebra kursida ular funktsiyalarni, funktsiyalarni o'rganish sxemalarini va funktsiyalar grafigini qurishni o'rganadilar. Barcha funktsiyalar ichida parabola muhim o'rinni egallaydi, uning tenglamasi shaklda yozilishi mumkin. 
Demak, kvadrat tenglamaning fizik ma’nosi parabolaning nollari, ya’ni funksiya grafigining abscissa o’qi bilan kesishgan nuqtalari Ox hisoblanadi.
Quyida tasvirlangan parabolalarning xususiyatlarini eslab qolishingizni so'rayman. Imtihonlarni, testlarni yoki kirish imtihonlarini topshirish vaqti keladi va siz ma'lumotnoma uchun minnatdor bo'lasiz. Kvadrat o'zgaruvchining belgisi grafikdagi parabolaning shoxlari yuqoriga ko'tarilishi yoki ko'tarilmasligiga mos keladi (a>0),
yoki shoxlari pastga tushirilgan parabola (a<0)
.
Parabolaning uchi ildizlar orasida oʻrtada joylashgan
Diskriminantning jismoniy ma'nosi:
Diskriminant noldan katta bo'lsa (D>0) parabola Ox o'qi bilan ikkita kesishgan nuqtaga ega. 
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa (D=0), cho'qqidagi parabola x o'qiga tegadi. 
Va oxirgi holat, diskriminant noldan kichik bo'lsa (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
