Bugun u she’rda kuylashga loyiq
Ildizlarning xossalari haqidagi Vyeta teoremasi.
Qaysi biri yaxshiroq, ayting-chi, bunday izchillik:
Siz ildizlarni ko'paytirdingiz - va fraksiya tayyor
Numeratorda Bilan, maxrajda A.
Va kasrning ildizlari yig'indisi ham teng
Hatto minus bilan bu kasr
Qanday muammo
Numeratorlarda V, maxrajda A.
(Maktab folkloridan)
Epigrafda Fransua Vyetaning ajoyib teoremasi to'liq aniq berilmagan. Aslida, biz yozishimiz mumkin kvadrat tenglama, ildizlari bo'lmagan va ularning yig'indisini va mahsulotini yozing. Masalan, x 2 + 2x + 12 = 0 tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. Ammo, rasmiy yondashuvni hisobga olgan holda, biz ularning mahsulotini (x 1 · x 2 = 12) va yig'indisini (x 1 + x 2 = -2) yozishimiz mumkin. Bizning oyatlar ogohlantirish bilan teoremaga mos keladi: "agar tenglamaning ildizlari bo'lsa", ya'ni. D ≥ 0.
Ushbu teoremaning birinchi amaliy qo'llanilishi ildizlari berilgan kvadrat tenglamani qurishdir. Ikkinchidan, ko'plab kvadrat tenglamalarni og'zaki hal qilish imkonini beradi. Maktab darsliklari birinchi navbatda ana shu ko‘nikmalarni rivojlantirishga qaratilgan.
Bu erda biz Vyeta teoremasi yordamida echilgan murakkabroq muammolarni ko'rib chiqamiz.
1-misol.
5x 2 – 12x + c = 0 tenglamaning ildizlaridan biri ikkinchisidan uch marta katta. s ni toping.
Yechim.
Ikkinchi ildiz x 2 bo'lsin.
Keyin birinchi ildiz x1 = 3x 2.
Vyeta teoremasiga ko'ra, ildizlarning yig'indisi 12/5 = 2,4 ga teng.
3x 2 + x 2 = 2.4 tenglamani tuzamiz.
Demak, x 2 = 0,6. Shuning uchun x 1 = 1,8.
Javob: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
2-misol.
Ma'lumki, x 1 va x 2 tenglamaning ildizlari x 2 – 8x + p = 0, 3x 1 + 4x 2 = 29. p ni toping.
Yechim.
Vyeta teoremasiga ko'ra, x 1 + x 2 = 8 va 3x 1 + 4x 2 = 29 sharti bo'yicha.
Bu ikki tenglamaning sistemasini yechib, x 1 = 3, x 2 = 5 qiymatini topamiz.
Va shuning uchun p = 15.
Javob: p = 15.
3-misol.
3x 2 + 8 x – 1 = 0 tenglamaning ildizlarini hisoblamay, x 1 4 + x 2 4 ni toping.
Yechim.
E'tibor bering, Vyeta teoremasi bo'yicha x 1 + x 2 = -8/3 va x 1 x 2 = -1/3 va ifodani o'zgartiring.
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2 (x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Javob: 4898/9.
4-misol.
a parametrining qaysi qiymatlarida tenglamaning eng katta va eng kichik ildizlari orasidagi farq
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 ularning mahsulotiga teng.
Yechim.
Bu kvadrat tenglama. Agar D > 0 bo'lsa, u 2 xil ildizga ega bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 yoki (a – 3) 2 > 0. Demak, barcha a uchun 2 ta ildizimiz bor, a = 3 dan tashqari.
Aniqlik uchun biz x 1 > x 2 deb faraz qilamiz va x 1 + x 2 = (a + 1)/2 va x 1 x 2 = (a - 1)/2 ni olamiz. Masala shartlari asosida x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Barcha uchta shart bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Birinchi va oxirgi tenglamalarni sistema sifatida ko'rib chiqamiz. Buni algebraik qo'shish orqali osonlikcha yechish mumkin.
Biz x 1 = a/2, x 2 = 1/2 ni olamiz. Keling, nima ekanligini tekshirib ko'raylik A ikkinchi tenglik bajariladi: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Olingan qiymatlarni almashtiramiz va biz quyidagilarga ega bo'lamiz: a/4 = (a - 1)/2. U holda a = 2. Bu aniq a = 2 bo'lsa, barcha shartlar bajariladi.
Javob: a = 2 bo'lganda.
5-misol.
Nimaga teng eng kichik qiymat a, bunda tenglama ildizlarining yig'indisi
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 uning ildizlari kvadratlari yig‘indisiga teng.
Yechim.
Avvalo tenglamani kanonik ko‘rinishga keltiramiz: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Agar D/4 ≥ 0 bo‘lsa, uning ildizlari bo‘ladi. Shuning uchun: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Yoki (a) – 1 ) 2 ≥ 0. Va bu shart har qanday a uchun amal qiladi.
Vyeta teoremasini qo‘llaymiz: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Hisoblab chiqamiz.
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Yoki almashtirilgandan keyin x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Masalaning shartlariga mos keladigan tenglikni yaratish qoladi: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2. Biz olamiz: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Bu kvadrat tenglamaning 2 ta ildizi bor: a 1 = 1 va 2 = 1/2. Ularning eng kichigi -1/2.
Javob: 1/2.
6-misol.
ax 2 + bx + c = 0 tenglama koeffitsientlari orasidagi bog'lanishni toping, agar uning ildizlari kublari yig'indisi shu ildizlarning kvadratlari ko'paytmasiga teng bo'lsa.
Yechim.
Biz ushbu tenglamaning ildizlari bor deb taxmin qilamiz va shuning uchun unga Veta teoremasi qo'llanilishi mumkin.
Shunda masalaning sharti quyidagicha yoziladi: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Yoki: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
Ikkinchi omilni aylantirish kerak. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
Biz (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2 ni olamiz. Ildizlarning yig'indilari va mahsulotlarini koeffitsientlar orqali almashtirish qoladi.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Ushbu ibora osongina shaklga aylantirilishi mumkin b(3ac – b 2)/a = c 2. Aloqa topildi.
Izoh. Shuni hisobga olish kerakki, hosil bo'lgan munosabat faqat ikkinchisi qanoatlantirilgandan keyin ko'rib chiqilishi mantiqiy bo'ladi: D ≥ 0.
7-misol.
x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 tenglama ildizlari kvadratlari yig‘indisi eng katta qiymat bo‘lgan a o‘zgaruvchining qiymatini toping.
Yechim.
Agar bu tenglamaning ildizlari x 1 va x 2 bo'lsa, ularning yig'indisi x 1 + x 2 = -2a, ko'paytma esa x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2 bo'ladi.
X 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 ni hisoblaymiz. (a – 3) 2 + 22.
Endi bu iborani olishi aniq eng yuqori qiymat a = 3 da.
Dastlabki kvadrat tenglamaning haqiqatda a = 3 da ildizlari bor yoki yo'qligini tekshirish qoladi. Biz almashtirish yo'li bilan tekshiramiz va olamiz: x 2 + 6x + 7 = 0 va buning uchun D = 36 – 28 > 0.
Shuning uchun javob: a = 3 uchun.
8-misol.
2x 2 – 7x – 3 = 0 tenglamasi x 1 va x 2 ildizlariga ega. Berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari X 1 = 1/x 1 va X 2 = 1/x 2 raqamlari bo‘lgan koeffitsientlarining uch karrali yig‘indisini toping. (*)
Yechim.
Shubhasiz, x 1 + x 2 = 7/2 va x 1 x 2 = -3/2. Ikkinchi tenglamani uning ildizlaridan x 2 + px + q = 0 ko'rinishda tuzamiz. Buning uchun Vyeta teoremasining teskarisini ishlatamiz. Biz olamiz: p = -(X 1 + X 2) va q = X 1 · X 2.
Ushbu formulalarni (*) ga asoslangan holda almashtirgandan so'ng: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 va q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Kerakli tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. Endi biz uning koeffitsientlarining uch martalik yig'indisini osongina hisoblashimiz mumkin:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Javob qabul qilindi.
Hali ham savollaringiz bormi? Vieta teoremasidan qanday foydalanishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!
blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.
Birinchidan, teoremaning o'zini shakllantiramiz: X^2+b*x + c = 0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga ega bo'lsin. Aytaylik, bu tenglama x1 va x2 ildizlarini o'z ichiga oladi. Keyin, teoremaga ko'ra, quyidagi bayonotlar haqiqiydir:
1) x1 va x2 ildizlarning yig'indisi b koeffitsientining manfiy qiymatiga teng bo'ladi.
2) Xuddi shu ildizlarning mahsuloti bizga c koeffitsientini beradi.
Lekin berilgan tenglama nima?
Qisqartirilgan kvadrat tenglama - eng yuqori darajadagi koeffitsienti bir ga teng bo'lgan kvadrat tenglama, ya'ni. bu x^2 + b*x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamadir (va a*x^2 + b*x + c = 0 tenglamasi qisqartirilmagan). Boshqacha qilib aytganda, tenglamani berilgan ko'rinishga keltirish uchun bu tenglamani eng yuqori quvvat koeffitsientiga (a) bo'lish kerak. Vazifa bu tenglamani quyidagi shaklga keltirishdir:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Har bir tenglamani eng yuqori darajali koeffitsientga bo'lib, biz quyidagilarni olamiz:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.
Misollardan ko'rinib turibdiki, hatto kasrlarni o'z ichiga olgan tenglamalarni ham berilgan ko'rinishga keltirish mumkin.
Viet teoremasidan foydalanish
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
biz ildizlarni olamiz: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;
natijada biz ildizlarni olamiz: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
biz ildizlarni olamiz: x1 = -1; x2 = −4.
Vyeta teoremasining ma'nosi
Viet teoremasi har qanday kvadratik qisqartirilgan tenglamani deyarli soniyalarda yechish imkonini beradi. Bir qarashda, bu juda qiyin vazifa bo'lib tuyuladi, ammo 5 10 tenglamadan so'ng siz darhol ildizlarni ko'rishni o'rganishingiz mumkin.
Keltirilgan misollardan va teoremadan foydalangan holda, kvadrat tenglamalarning yechimini qanday qilib sezilarli darajada soddalashtirishingiz mumkinligi aniq, chunki bu teoremadan foydalanib, siz kvadrat tenglamani murakkab hisob-kitoblarsiz va diskriminantni hisoblamasdan amalda echishingiz mumkin va siz bilganingizdek, kamroq hisob-kitoblar, xato qilish qanchalik qiyin bo'lsa, bu muhim.
Barcha misollarda biz ushbu qoidadan ikkita muhim taxminga asoslanib foydalandik:
Berilgan tenglama, ya'ni. eng yuqori darajadagi koeffitsient birga teng (bu shartdan qochish oson. Tenglamaning qisqartirilmagan shaklidan foydalanish mumkin, u holda quyidagi bayonotlar haqiqiy bo'ladi x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, lekin uni hal qilish odatda qiyinroq :))
Tenglama ikkita bo'lsa turli xil ildizlar. Biz tengsizlik to'g'ri va diskriminant noldan qat'iy katta deb faraz qilamiz.
Shunday qilib, biz tuzatishimiz mumkin umumiy algoritm Vyeta teoremasi yordamida yechimlar.
Vieta teoremasidan foydalangan holda umumiy yechim algoritmi
Kvadrat tenglamani qisqartirilmagan shaklga keltiramiz, agar tenglama bizga kamaytirilmagan shaklda berilsa. Biz ilgari berilgan kvadrat tenglamadagi koeffitsientlar kasr bo'lib chiqsa (o'nlik emas), bu holda bizning tenglamamiz diskriminant orqali echilishi kerak.
Dastlabki tenglamaga qaytish bizga "qulay" raqamlar bilan ishlashga imkon beradigan holatlar ham mavjud.
Vyeta teoremasi (aniqrog‘i, Vyeta teoremasiga teskari teorema) kvadrat tenglamalarni yechish vaqtini qisqartirish imkonini beradi. Siz uni qanday ishlatishni bilishingiz kerak. Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechishni qanday o'rganish mumkin? Bir oz o'ylab ko'rsangiz qiyin emas.
Endi biz faqat Vyeta teoremasi yordamida qisqartirilgan kvadrat tenglamani yechish haqida gapiramiz, bu a, ya'ni x² koeffitsienti birga teng bo'lgan tenglamadir. Shuningdek, Viet teoremasi yordamida berilmagan kvadrat tenglamalarni yechish mumkin, lekin hech bo'lmaganda ildizlardan biri butun son emas. Ularni taxmin qilish qiyinroq.
Vyeta teoremasiga teskari teorema quyidagicha ifodalanadi: agar x1 va x2 raqamlari shunday bo'lsa,
u holda x1 va x2 kvadrat tenglamaning ildizlari
Kvadrat tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechishda faqat 4 ta variant mumkin. Agar siz fikrlash chizig'ini eslasangiz, butun ildizlarni tezda topishni o'rganishingiz mumkin.
I. Agar q musbat son bo‘lsa,
demak, x1 va x2 ildizlari bir xil belgili sonlardir (chunki bir xil belgilarga ega sonlarni koʻpaytirishgina ijobiy son hosil qiladi).
I.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (mos ravishda, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Agar -p - salbiy raqam, (mos ravishda, p>0), keyin ikkala ildiz manfiy sonlar (biz bir xil belgining raqamlarini qo'shdik va manfiy raqam oldik).
II. Agar q manfiy son bo'lsa,
bu x1 va x2 ildizlari turli xil belgilarga ega ekanligini bildiradi (sonlarni ko'paytirishda faqat omillarning belgilari boshqacha bo'lganda manfiy son olinadi). Bunday holda, x1+x2 endi yig'indi emas, balki farqdir (axir, raqamlarni qo'shganda turli belgilar kattadan kichikni ayirib tashlaymiz). Demak, x1+x2 x1 va x2 ildizlarning bir-biridan qanchalik farq qilishini, ya’ni bir ildiz ikkinchisidan qanchalik katta ekanligini (mutlaq qiymatda) ko‘rsatadi.
II.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (ya'ni, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Agar -p manfiy son bo'lsa, (p>0), u holda kattaroq (modulo) ildiz manfiy sondir.
Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida echishni misollar yordamida ko‘rib chiqamiz.
Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yeching:
Bu yerda q=12>0, demak, x1 va x2 ildizlar bir xil ishorali sonlardir. Ularning yig'indisi -p=7>0, shuning uchun ikkala ildiz ham musbat sonlardir. Ko'paytmasi 12 ga teng bo'lgan butun sonlarni tanlaymiz. Bular 1 va 12, 2 va 6, 3 va 4. 3 va 4 juftlik uchun yig'indi 7 ga teng. Bu 3 va 4 tenglamaning ildizi ekanligini bildiradi.
Bu misolda q=16>0, ya'ni x1 va x2 ildizlari bir xil belgili sonlar. Ularning yig'indisi -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Bu erda q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 bo'lsa, katta raqam ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, ildizlar 5 va -3 ga teng.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida ildiz formulalaridan tashqari boshqa foydali munosabatlar ham mavjud. Vyeta teoremasi. Ushbu maqolada kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasining formulasi va isbotini keltiramiz. Keyinchalik, Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremani ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng, biz eng tipik misollarning echimlarini tahlil qilamiz. Va nihoyat, biz haqiqiy ildizlar o'rtasidagi munosabatni aniqlaydigan Vieta formulalarini yozamiz algebraik tenglama n daraja va uning koeffitsientlari.
Sahifani navigatsiya qilish.
Vyeta teoremasi, formulasi, isboti
D=b 2 −4·a·c bo‘lgan a·x 2 +b·x+c=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Bu natijalar tasdiqlangan Vyeta teoremasi:
Teorema.
Agar x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning ildizlari a x 2 +b x+c=0, u holda ildizlar yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan b va a koeffitsientlarining nisbati va ko'paytmasiga teng bo'ladi. ildizlar c va a koeffitsientlarining nisbatiga teng, ya'ni.
Isbot.
Vyeta teoremasining isbotini quyidagi sxema bo‘yicha bajaramiz: ma’lum ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglama ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasini tuzamiz, keyin hosil bo‘lgan ifodalarni o‘zgartiramiz va ularning −b/ ga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz. a va c/a.
Keling, ildizlarning yig'indisidan boshlaymiz va uni tuzamiz. Endi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, bizda . Hosil bo'lgan kasrning sonida, undan keyin:. Nihoyat, 2 dan keyin biz . Bu kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi uchun Vyeta teoremasining birinchi munosabatini isbotlaydi. Keling, ikkinchisiga o'tamiz.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasini tuzamiz: . Kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, oxirgi ko'paytmani quyidagicha yozish mumkin. Endi biz qavsni hisoblagichdagi qavsga ko'paytiramiz, lekin bu mahsulotni yiqitish tezroq bo'ladi kvadrat farq formulasi, Shunday qilib. Keyin, eslab, biz keyingi o'tishni amalga oshiramiz. Va kvadrat tenglamaning diskriminanti D=b 2 −4·a·c formulaga to‘g‘ri kelganligi sababli, oxirgi kasrdagi D o‘rniga b 2 −4·a·c ni qo‘yishimiz mumkin, biz olamiz. Qavslarni ochib, o'xshash atamalarni keltirganimizdan so'ng kasrga kelamiz va uning 4·a ga kamayishi ni beradi. Bu ildizlar hosilasi uchun Vyeta teoremasining ikkinchi munosabatini isbotlaydi.
Agar biz tushuntirishlarni o'tkazib yuborsak, Veta teoremasining isboti lakonik shaklga ega bo'ladi:
,
.
Shuni ta'kidlash kerakki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Ammo, agar bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblasak, Veta teoremasidagi tengliklar ham amal qiladi. Darhaqiqat, D=0 bo‘lganda kvadrat tenglamaning ildizi teng bo‘lsa, u holda va , va D=0 bo‘lgani uchun, ya’ni b 2 −4·a·c=0, bundan b 2 =4·a·c bo‘ladi. .
Amalda Vyeta teoremasi ko'pincha x 2 +p·x+q=0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga (etakchi koeffitsient a 1 ga teng) nisbatan qo'llaniladi. Ba'zan u faqat shu turdagi kvadrat tenglamalar uchun tuziladi, bu umumiylikni cheklamaydi, chunki har qanday kvadrat tenglama har ikki tomonni nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali ekvivalent tenglama bilan almashtirilishi mumkin. Vieta teoremasining tegishli formulasini keltiramiz:
Teorema.
Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 +p x+q=0 qarama-qarshi belgi bilan olingan x koeffitsientiga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga, ya'ni x 1 ga teng. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Vyeta teoremasiga teskari teorema
Oldingi paragrafda keltirilgan Vyeta teoremasining ikkinchi formulasi shuni ko'rsatadiki, agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p x+q=0 bo'lsa, u holda x 1 +x 2 =−p munosabatlari , x 1 x 2 =q. Boshqa tomondan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yozma munosabatlardan x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning x 2 +p x+q=0 ildizlari ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, Veta teoremasining teskarisi to'g'ri. Uni teorema shaklida tuzamiz va isbotlaymiz.
Teorema.
Agar x 1 va x 2 raqamlari x 1 +x 2 =−p va x 1 · x 2 =q bo‘lsa, x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p · x+q bo‘ladi. =0.
Isbot.
x 2 +p·x+q=0 tenglamadagi p va q koeffitsientlarini ularning x 1 va x 2 orqali ifodalari bilan almashtirib, ekvivalent tenglamaga aylantiriladi.
Hosil bo'lgan tenglamaga x o'rniga x 1 raqamini qo'yaylik, biz tenglikka ega bo'lamiz x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, bu har qanday x 1 va x 2 uchun 0=0 to'g'ri sonli tenglikni ifodalaydi, chunki x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Demak, x 1 tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, demak, x 1 ekvivalent x 2 +p·x+q=0 tenglamaning ildizi.
Agar tenglamada bo'lsa x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x o'rniga x 2 raqamini qo'ying, biz tenglikni olamiz x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Bu haqiqiy tenglik, chunki x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Demak, x 2 ham tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, va shuning uchun tenglamalar x 2 +p·x+q=0.
Bu Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bo'lgan teoremani isbotlashni tugatadi.
Vyeta teoremasidan foydalanishga misollar
Vyeta teoremasi va unga qarama-qarshi teoremaning amaliy qo'llanilishi haqida gapirish vaqti keldi. Ushbu bo'limda biz eng tipik misollarning bir nechta yechimlarini tahlil qilamiz.
Keling, Vyeta teoremasiga teskari teoremani qo'llashdan boshlaylik. Berilgan ikkita raqam berilgan kvadrat tenglamaning ildizi ekanligini tekshirish uchun foydalanish qulay. Bunday holda, ularning yig'indisi va farqi hisoblab chiqiladi, shundan so'ng munosabatlarning haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu munosabatlarning ikkalasi ham qondirilsa, u holda teorema tufayli Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lib, bu raqamlar tenglamaning ildizlari ekanligi to'g'risida xulosa chiqariladi. Agar munosabatlarning kamida bittasi bajarilmasa, bu raqamlar kvadrat tenglamaning ildizi emas. Ushbu yondashuv topilgan ildizlarni tekshirish uchun kvadrat tenglamalarni echishda qo'llanilishi mumkin.
Misol.
1) x 1 =−5, x 2 =3 yoki 2) yoki 3) son juftlaridan qaysi biri 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning ildiz jufti hisoblanadi?
Yechim.
Berilgan 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a=4, b=−16, c=9. Vyeta teoremasiga ko‘ra, kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi −b/a ga, ya’ni 16/4=4 ga, ildizlarning ko‘paytmasi c/a ga, ya’ni 9 ga teng bo‘lishi kerak. /4.
Keling, berilgan uchta juftlikning har biridagi raqamlarning yig'indisi va mahsulotini hisoblab chiqamiz va ularni hozirgina olingan qiymatlar bilan solishtiramiz.
Birinchi holatda bizda x 1 +x 2 =−5+3=−2. Olingan qiymat 4 dan farq qiladi, shuning uchun boshqa tekshirishni amalga oshirib bo'lmaydi, lekin Vyeta teoremasiga teskari teoremadan foydalanib, birinchi juft raqamlar berilgan kvadrat tenglamaning bir juft ildizi emas degan xulosaga kelish mumkin.
Keling, ikkinchi holatga o'tamiz. Bu erda, ya'ni birinchi shart bajariladi. Biz ikkinchi shartni tekshiramiz: natijada olingan qiymat 9/4 dan farq qiladi. Binobarin, ikkinchi juft sonlar kvadrat tenglamaning bir juft ildizi emas.
Oxirgi bitta holat qoldi. Bu erda va. Ikkala shart ham bajariladi, shuning uchun bu x 1 va x 2 raqamlari berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi.
Javob:
Kvadrat tenglamaning ildizlarini topishda Veta teoremasining teskarisi amalda qo‘llanilishi mumkin. Odatda, butun sonli koeffitsientli berilgan kvadrat tenglamalarning butun son ildizlari tanlanadi, chunki boshqa hollarda buni qilish juda qiyin. Bunday holda, ular ikkita sonning yig'indisi minus belgisi bilan olingan kvadrat tenglamaning ikkinchi koeffitsientiga teng bo'lsa va bu sonlarning ko'paytmasi bo'sh hadga teng bo'lsa, bu raqamlardan foydalanadilar. bu kvadrat tenglamaning ildizlari. Keling, buni bir misol bilan tushunaylik.
X 2 −5 x+6=0 kvadrat tenglamani olaylik. X 1 va x 2 raqamlari bu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun ikkita tenglik bajarilishi kerak: x 1 + x 2 =5 va x 1 ·x 2 =6. Faqatgina bunday raqamlarni tanlash qoladi. IN Ushbu holatda buni qilish juda oddiy: bunday raqamlar 2 va 3 ga teng, chunki 2+3=5 va 2·3=6. Shunday qilib, 2 va 3 - bu kvadrat tenglamaning ildizlari.
Vyeta teoremasiga teskari teorema, ildizlardan biri allaqachon ma'lum yoki aniq bo'lsa, berilgan kvadrat tenglamaning ikkinchi ildizini topish uchun foydalanish uchun ayniqsa qulaydir. Bunda ikkinchi ildizni har qanday munosabatdan topish mumkin.
Masalan, 512 x 2 −509 x −3=0 kvadrat tenglamani olaylik. Bu erda birlik tenglamaning ildizi ekanligini ko'rish oson, chunki bu kvadrat tenglamaning koeffitsientlari yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, x 1 = 1. Ikkinchi ildizni x 2, masalan, x 1 ·x 2 =c/a munosabatidan topish mumkin. Bizda 1 x 2 =−3/512 bor, undan x 2 =−3/512. Kvadrat tenglamaning ikkala ildizini ham shunday aniqladik: 1 va -3/512.
Ildizlarni tanlash faqat eng oddiy holatlarda tavsiya etilishi aniq. Boshqa hollarda, ildizlarni topish uchun siz diskriminant orqali kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalardan foydalanishingiz mumkin.
Vyeta teoremasining teskarisini amaliy qo‘llashning yana bir usuli - x 1 va x 2 ildizlari berilgan kvadrat tenglamalarni tuzish. Buning uchun berilgan kvadrat tenglamaning qarama-qarshi belgisi bilan x koeffitsientini beradigan ildizlarning yig'indisini va erkin muddatni beradigan ildizlarning ko'paytmasini hisoblash kifoya.
Misol.
Ildizlari -11 va 23 bo'lgan kvadrat tenglamani yozing.
Yechim.
x 1 =−11 va x 2 =23 ni belgilaymiz. Bu sonlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini hisoblaymiz: x 1 +x 2 =12 va x 1 ·x 2 =−253. Shuning uchun ko'rsatilgan raqamlar ikkinchi koeffitsienti -12 va erkin hadi -253 bo'lgan qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Ya’ni, x 2 −12·x−253=0 kerakli tenglamadir.
Javob:
x 2 −12·x−253=0 .
Kvadrat tenglamalar ildizlari belgilariga oid masalalarni yechishda Viet teoremasi juda tez-tez ishlatiladi. Vyeta teoremasi x 2 +p·x+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari belgilari bilan qanday bog‘langan? Mana ikkita tegishli bayonot:
- Agar q erkin atamasi musbat son bo'lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, u holda ularning ikkalasi ham ijobiy yoki ikkalasi ham manfiy bo'ladi.
- Agar q erkin atamasi manfiy son bo’lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lsa, ularning belgilari boshqacha bo’ladi, boshqacha aytganda, bir ildiz musbat, ikkinchisi manfiy.
Bu gaplar x 1 · x 2 =q formulasidan, shuningdek, musbat, manfiy sonlar va turli belgilarga ega sonlarni ko‘paytirish qoidalaridan kelib chiqadi. Keling, ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik.
Misol.
R ijobiy. Diskriminant formuladan foydalanib D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 +8 ifoda qiymatini topamiz. har qanday real r uchun musbat, shuning uchun har qanday haqiqiy r uchun D>0. Shunday qilib, dastlabki kvadrat tenglama r parametrining har qanday haqiqiy qiymatlari uchun ikkita ildizga ega.
Keling, ildizlar qachon turli belgilarga ega ekanligini bilib olaylik. Agar ildizlarning belgilari har xil bo'lsa, ularning mahsuloti manfiy bo'ladi va Vyeta teoremasiga ko'ra, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari mahsuloti erkin muddatga teng. Shuning uchun bizni r-ning erkin atamasi manfiy bo'lgan r qiymatlari qiziqtiradi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan r qiymatlarini topish uchun bizga kerak chiziqli tengsizlikni yechish r−1<0 , откуда находим r<1 .
Javob:
da r<1 .
Vieta formulalari
Yuqorida biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi haqida gapirdik va u tasdiqlaydigan munosabatlarni tahlil qildik. Ammo faqat kvadrat tenglamalar emas, balki kub tenglamalar, to'rtinchi darajali tenglamalarning haqiqiy ildizlari va koeffitsientlarini bog'laydigan formulalar mavjud. algebraik tenglamalar daraja n. Ular chaqiriladi Vyeta formulalari.
Shaklning n darajali algebraik tenglamasi uchun Vieta formulasini yozamiz va uning n ta haqiqiy ildizi x 1, x 2, ..., x n bor deb faraz qilamiz (ular orasida mos keladiganlari ham bo'lishi mumkin): 
Vietaning formulalarini olish mumkin ko'phadning chiziqli omillarga parchalanishi haqidagi teorema, shuningdek, barcha mos keladigan koeffitsientlarning tengligi orqali teng ko'phadlarni aniqlash. Demak, polinom va uning shaklning chiziqli omillariga kengayishi tengdir. Oxirgi mahsulotdagi qavslarni ochib, tegishli koeffitsientlarni tenglashtirib, biz Vietaning formulalarini olamiz.
Xususan, n=2 uchun bizda kvadrat tenglama uchun allaqachon tanish bo'lgan Vyeta formulalari mavjud.
Kubik tenglama uchun Vyeta formulalari shaklga ega 
Shuni ta'kidlash kerakki, Vyeta formulalarining chap tomonida elementar deb ataladigan narsalar mavjud. simmetrik polinomlar.
Ma'lumotnomalar.
- Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Birinchi bayonotda aytilishicha, bu tenglamaning ildizlari yig'indisi x o'zgaruvchining koeffitsienti qiymatiga teng (bu holda u b), lekin qarama-qarshi belgi bilan. Vizual ravishda quyidagicha ko'rinadi: x1 + x2 = −b.
Ikkinchi gap endi yig‘indiga emas, balki shu ikki ildizning ko‘paytmasiga bog‘liq. Ushbu mahsulot erkin koeffitsientga tenglashtiriladi, ya'ni. c. Yoki x1 * x2 = c. Ushbu ikkala misol ham tizimda hal qilingan.
Vyeta teoremasi yechimni ancha soddalashtiradi, lekin bir cheklovga ega. Ushbu usul yordamida ildizlari topilishi mumkin bo'lgan kvadrat tenglamani qisqartirish kerak. Yuqoridagi tenglamada x2 ning oldidagi a koeffitsienti birga teng. Har qanday tenglamani ifodani birinchi koeffitsientga bo'lish orqali o'xshash shaklga keltirish mumkin, ammo bu operatsiya har doim ham oqilona emas.
Teoremaning isboti
Boshlash uchun, kvadrat tenglamaning ildizlarini izlash qanchalik an'anaviy ekanligini esga olishimiz kerak. Birinchi va ikkinchi ildizlar topiladi, ya'ni: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Umuman olganda, u 2a ga bo'linadi, lekin yuqorida aytib o'tilganidek, teorema faqat a=1 bo'lganda qo'llanilishi mumkin.Vyeta teoremasidan ma'lumki, ildizlar yig'indisi minus belgisi bilan ikkinchi koeffitsientga teng. Bu x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b ekanligini bildiradi.
Xuddi shu narsa noma'lum ildizlarning hosilasi uchun ham amal qiladi: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. O'z navbatida, D = b2-4c (yana a=1 bilan). Natijada: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c ekanligi ma'lum bo'ladi.
Berilgan oddiy dalildan faqat bitta xulosa chiqarish mumkin: Vyeta teoremasi to'liq tasdiqlangan.
Ikkinchi formula va isbot
Vyeta teoremasi boshqa talqinga ega. Aniqroq aytganda, bu talqin emas, balki formuladir. Gap shundaki, agar birinchi holatdagi kabi bir xil shartlar bajarilsa: ikki xil haqiqiy ildiz mavjud bo'lsa, u holda teorema boshqa formula bilan yozilishi mumkin.Bu tenglik quyidagicha ko'rinadi: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Agar P(x) funksiya x1 va x2 ikkita nuqtada kesishsa, u holda uni P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) shaklida yozish mumkin. Agar P ikkinchi darajaga ega bo'lsa va asl ifoda aynan shunday ko'rinsa, R tub son bo'ladi, ya'ni 1. Bu gap to'g'ri, chunki aks holda tenglik bajarilmaydi. Qavslarni ochishda x2 koeffitsienti birdan katta bo'lmasligi kerak va ifoda kvadrat bo'lib qolishi kerak.
