Uy Oldini olish Kvadrat trinomialdan mukammal kvadrat. Ko‘phadlarni faktoring

Kvadrat trinomialdan mukammal kvadrat. Ko‘phadlarni faktoring

Ushbu darsda biz ko'phadni faktoring qilishning ilgari o'rganilgan barcha usullarini eslaymiz va ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqamiz, bundan tashqari, biz o'rganamiz. yangi usul- to'liq kvadratni aniqlash usuli va uni turli masalalarni yechishda qo'llashni o'rganish.

Mavzu:Ko‘phadlarni faktoring

Dars:Ko‘phadlarni faktoring. To'liq kvadratni tanlash usuli. Usullarning kombinatsiyasi

Oldin o'rganilgan ko'phadni faktoring qilishning asosiy usullarini eslaylik:

Qavslar ichidan umumiy ko'rsatkichni, ya'ni ko'phadning barcha shartlarida mavjud bo'lgan ko'rsatkichni chiqarish usuli. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Eslatib o'tamiz, monomial kuchlar va raqamlarning mahsulotidir. Bizning misolimizda ikkala atama ham umumiy, bir xil elementlarga ega.

Shunday qilib, keling, umumiy omilni qavsdan chiqaramiz:

;

Eslatib o'tamiz, olingan koeffitsientni qavsga ko'paytirish orqali siz chiqarilgan omilning to'g'riligini tekshirishingiz mumkin.

Guruhlash usuli. Ko'phadda umumiy omilni ajratib olish har doim ham mumkin emas. Bunday holda, siz uning a'zolarini shunday guruhlarga bo'lishingiz kerakki, har bir guruhda siz umumiy omilni ajratib olishingiz va uni ajratishga harakat qilishingiz kerak, shunda guruhlardagi omillarni chiqarib tashlaganingizdan so'ng, umumiy omil paydo bo'ladi. butun ifoda va siz parchalanishni davom ettirishingiz mumkin. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Keling, birinchi atamani to'rtinchi, ikkinchisini beshinchi, uchinchisini oltinchi bilan guruhlaymiz:

Keling, guruhlardagi umumiy omillarni ko'rib chiqaylik:

Endi ifoda umumiy omilga ega. Keling, chiqaramiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

;

Keling, ifodani batafsil yozamiz:

Shubhasiz, oldimizda kvadrat ayirma formulasi bor, chunki u ikkita ifoda kvadratlarining yig'indisi va ularning qo'sh mahsuloti undan ayiriladi. Keling, formuladan foydalanamiz:

Bugun biz yana bir usulni - to'liq kvadratni tanlash usulini o'rganamiz. U yig'indining kvadrati va ayirma kvadratining formulalariga asoslanadi. Keling, ularga eslatib o'tamiz:

Yig'indi kvadratining formulasi (farq);

Bu formulalarning o‘ziga xosligi shundaki, ularda ikkita ifodaning kvadratlari va ularning qo‘sh ko‘paytmasi mavjud. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Keling, ifodani yozamiz:

Demak, birinchi ifoda , ikkinchisi esa .

Yig'indi yoki ayirma kvadratining formulasini yaratish uchun ifodalar ko'paytmasining ikki barobari etarli emas. Uni qo'shish va ayirish kerak:

Keling, yig'indining kvadratini to'ldiramiz:

Olingan ifodani o'zgartiramiz:

Keling, kvadratlar farqi formulasini qo'llaymiz, eslaymizki, ikkita ifoda kvadratlarining farqi ularning ayirmasining ko'paytmasi va yig'indisidir:

Shunday qilib, bu usul Avvalo, kvadrat bo'lgan a va b ifodalarni aniqlash, ya'ni bu misolda qaysi ifodalar kvadrat ekanligini aniqlash kerak. Shundan so'ng, siz qo'sh mahsulot mavjudligini tekshirishingiz kerak va agar u yo'q bo'lsa, uni qo'shing va ayiring, bu misolning ma'nosini o'zgartirmaydi, lekin polinom kvadrat uchun formulalar yordamida faktorlarga ajratilishi mumkin. agar iloji bo'lsa, kvadratlarning yig'indisi yoki farqi va farqi.

Keling, misollarni echishga o'tamiz.

1-misol - faktorlarga ajratish:

Kvadratli ifodalarni topamiz:

Keling, ularning ikki tomonlama mahsuloti qanday bo'lishi kerakligini yozamiz:

Keling, ikki barobar ko'paytmani qo'shamiz va ayiramiz:

Keling, yig'indining kvadratini to'ldiramiz va shunga o'xshashlarni beramiz:

Uni kvadratlar farqi formulasidan foydalanib yozamiz:

2-misol - tenglamani yeching:

;

Tenglamaning chap tomonida trinomial mavjud. Siz uni omillarga kiritishingiz kerak. Biz kvadrat farq formulasidan foydalanamiz:

Bizda birinchi ifodaning kvadrati va qo'sh ko'paytma bor, ikkinchi ifodaning kvadrati yo'q, keling, uni qo'shing va ayiraylik:

Keling, to'liq kvadratni katlaylik va shunga o'xshash shartlarni keltiramiz:

Kvadratlar farqi formulasini qo'llaymiz:

Shunday qilib, biz tenglamaga egamiz

Biz ko'paytmaning nolga teng ekanligini bilamiz, agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa. Buning asosida quyidagi tenglamalarni tuzamiz:

Birinchi tenglamani yechamiz:

Ikkinchi tenglamani yechamiz:

Javob: yoki

;

Biz avvalgi misolga o'xshash tarzda harakat qilamiz - farqning kvadratini tanlang.

x chaqirdi

1.2.3. Qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlaridan foydalanish

Misol. Faktor x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4.

1.2.4. Ko'phadni ildizlari yordamida koeffitsientlarga ajratish

Teorema. P x ko'phadning ildizi x 1 bo'lsin. U holda bu ko'phadni quyidagicha ko'paytiruvchi bo'lish mumkin: P x x x 1 S x, bu erda S x darajasi bir kam bo'lgan qandaydir ko'phaddir.

qiymatlarni navbatma-navbat P x ifodasiga kiritamiz. Biz shuni olamizki, qachonki x 2 siz-

ifoda 0 ga aylanadi, ya'ni P 2 0, ya'ni x 2 ko'p sonning ildizidir.

a'zosi. P x ko'phadni x 2 ga bo'ling.

X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10 x

x2 x12

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. To'liq kvadratni tanlash

To'liq kvadratni tanlash usuli formulalardan foydalanishga asoslangan: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2.

To'liq kvadratni ajratib olish - bu o'ziga xoslikni o'zgartirish bo'lib, unda berilgan trinomiya b 2 binomial kvadratining yig'indisi yoki ayirmasi va ba'zi sonli yoki alifbo ifodasi sifatida ifodalanadi.

O'zgaruvchiga nisbatan kvadrat trinomial shaklning ifodasini beradi

ax 2 bx c , bu yerda a , b va c raqamlari berilgan va a 0 .

Kvadrat uchburchak bolta 2 bx c ni quyidagicha aylantiramiz.

x2:

koeffitsienti

Keyin b x ifodasini 2b x (ko'paytmaning ikki barobari) shaklida ifodalaymiz

x ):a x

Qavslar ichidagi ifodaga biz undan raqamni qo'shamiz va ayitamiz

bu raqamning kvadrati

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

Buni endi payqadim

olamiz

4a 2

Misol. To'liq kvadratni tanlang.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Bir nechta o'zgaruvchili ko'p nomlilar

Bir oʻzgaruvchidagi koʻphadlar kabi bir nechta oʻzgaruvchidagi koʻpnomlar qoʻshilishi, koʻpaytirilishi va tabiiy kuchga koʻtarilishi mumkin.

Bir nechta o'zgaruvchilardagi ko'phadning muhim identifikatsiya konvertatsiyasi faktorizatsiya hisoblanadi. Bu yerda umumiy koʻrsatkichni qavs ichidan chiqarish, guruhlash, qisqartirilgan koʻpaytirish identifikatorlaridan foydalanish, toʻliq kvadratni ajratib olish, yordamchi oʻzgaruvchilarni kiritish kabi faktorlarga ajratish usullari qoʻllaniladi.

1. P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 ko‘phadni ko‘paytiring.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Komil P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Keling, guruhlash usulini qo'llaymiz

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Komil P x ,y x 4 4y 4 . To'liq kvadratni tanlaymiz:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Har qanday ratsional darajali daraja xossalari

Har qanday ratsional darajali daraja quyidagi xususiyatlarga ega:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

br 1

bu yerda a 0;b 0;r 1;r 2 ixtiyoriy ratsional sonlar.

1. 8 ni ko‘paytiring

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Faktorizatsiya

2x 3

1.6. O'z-o'zidan bajariladigan mashqlar

1. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida amallarni bajaring. 1) a 52;

2) 3 a 72;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3;

3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Qisqartirilgan ko‘paytirish identifikatorlari yordamida hisoblang:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Shaxslarni isbotlang:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Quyidagi ko‘phadlarni ko‘paytiring:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2;

9) 121 n 2 3n 2t 2;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 bolta 3 45 bolta 2 45 bolta 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4,5a 2 n 1;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Eng oddiy usulda hisoblang:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Ko‘phadning qism va qoldig‘ini toping P x ko'phad bo'yichaQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2.

7. Polinom ekanligini isbotlang x 2 2x 2 haqiqiy ildizlarga ega emas.

8. Polinomning ildizlarini toping:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Faktor:

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. To‘liq kvadratni ajratib tenglamalarni yeching:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Ifodalarning ma’nolarini toping:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Hisoblang:

16 0,25

16 0,25

Yuqorida aytib o'tganimdek, integral hisobda kasrni integrallash uchun qulay formula mavjud emas. Va shuning uchun achinarli tendentsiya mavjud: kasr qanchalik murakkab bo'lsa, uning integralini topish shunchalik qiyin bo'ladi. Shu munosabat bilan siz turli xil fokuslarga murojaat qilishingiz kerak, bu haqda men hozir aytib beraman. Tayyorlangan o'quvchilar darhol foyda olishlari mumkin Mundarija:

  • Oddiy kasrlar uchun differentsial belgini yig'ish usuli

Sun'iy hisoblagichlarni aylantirish usuli

1-misol

Aytgancha, ko'rib chiqilayotgan integral o'zgaruvchan usulini o'zgartirish orqali ham echilishi mumkin, deb belgilovchi, lekin yechimni yozish ancha uzoq bo'ladi.

2-misol

Toping noaniq integral. Tekshirishni amalga oshiring.

Bu misol uchun mustaqil qaror. Shuni ta'kidlash kerakki, o'zgaruvchan almashtirish usuli bu erda endi ishlamaydi.

Diqqat, muhim! 1, 2-misollar odatiy va tez-tez uchraydi. Xususan, bunday integrallar ko'pincha boshqa integrallarni yechishda, xususan, irratsional funktsiyalarni (ildizlarni) integrallashda paydo bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan texnika bu holatda ham ishlaydi agar hisoblagichning eng yuqori darajasi maxrajning eng yuqori darajasidan katta bo'lsa.

3-misol

Noaniq integralni toping. Tekshirishni amalga oshiring.

Numeratorni tanlashni boshlaymiz.

Numeratorni tanlash algoritmi quyidagicha:

1) Numeratorda men tashkil qilishim kerak , lekin u erda . Nima qilish kerak? Men uni qavs ichiga qo'yaman va ga ko'paytiraman: .

2) Endi men bu qavslarni ochishga harakat qilaman, nima bo'ladi? . Hmm ... bu yaxshiroq, lekin dastlab hisoblagichda ikkitasi yo'q. Nima qilish kerak? Siz ko'paytirishingiz kerak:

3) Qavslarni yana ochaman: . Va bu erda birinchi muvaffaqiyat! Bu to'g'ri chiqdi! Ammo muammo shundaki, qo'shimcha atama paydo bo'ldi. Nima qilish kerak? Ifodaning o'zgarishiga yo'l qo'ymaslik uchun men konstruktsiyamga xuddi shunday qo'shishim kerak:
. Hayot osonlashdi. Numeratorda yana tartibga solish mumkinmi?

4) Bu mumkin. Kel urinib ko'ramiz: . Ikkinchi davr qavslarini oching:
. Kechirasiz, lekin oldingi bosqichda menda bor edi, yo'q. Nima qilish kerak? Ikkinchi shartni quyidagicha ko'paytirish kerak:

5) Yana tekshirish uchun men qavslarni ikkinchi muddatda ochaman:
. Endi bu normal: 3-bandning yakuniy qurilishidan olingan! Ammo yana kichik "lekin" qo'shimcha atama paydo bo'ldi, demak men o'z ifodamga qo'shishim kerak:

Agar hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, biz barcha qavslarni ochganimizda integrandning asl numeratorini olishimiz kerak. Biz tekshiramiz:
Kaput.

Shunday qilib:

Tayyor. Oxirgi muddatda funktsiyani differentsial ostida yig'ish usulidan foydalandim.

Agar javobning hosilasini topib, ifodani umumiy maxrajga keltirsak, u holda aynan asl integrasiya funksiyasini olamiz. Yig'indiga ajratishning ko'rib chiqilgan usuli ifodani umumiy maxrajga olib kelishning teskari harakatidan boshqa narsa emas.

Bunday misollarda hisoblagichni tanlash algoritmi eng yaxshi qoralama shaklida amalga oshiriladi. Ba'zi ko'nikmalar bilan u aqliy ishlaydi. Men 11-chi kuch uchun tanlovni amalga oshirganimda rekord darajadagi ishni eslayman va numeratorning kengayishi Verdning deyarli ikki qatorini egalladi.

4-misol

Noaniq integralni toping. Tekshirishni amalga oshiring.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Oddiy kasrlar uchun differentsial belgini yig'ish usuli

Keling, keyingi turdagi kasrlarni ko'rib chiqishga o'tamiz.
, , , (koeffitsientlar va nolga teng emas).

Darsda arksinus va arktangent bilan bir nechta holatlar allaqachon aytib o'tilgan Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli. Bunday misollar funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish va jadval yordamida keyingi integrallash orqali hal qilinadi. Mana boshqasi tipik misollar uzun va yuqori logarifm bilan:

5-misol

6-misol

Bu erda integrallar jadvalini olib, qanday formulalar va qanday ekanligini ko'rish tavsiya etiladi Qanaqasiga transformatsiya sodir bo'ladi. Eslatma, qanday va nima uchun Ushbu misollardagi kvadratlar ta'kidlangan. Xususan, 6-misolda biz birinchi navbatda maxrajni shaklda ifodalashimiz kerak , keyin uni differentsial belgi ostiga keltiring. Va bularning barchasi standart jadval formulasidan foydalanish uchun bajarilishi kerak .

Nima uchun qarang, 7, 8-misollarni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, ayniqsa ular juda qisqa:

7-misol

8-misol

Noaniq integralni toping:

Agar siz ham ushbu misollarni tekshirishga muvaffaq bo'lsangiz, unda katta hurmat - sizning farqlash qobiliyatingiz juda yaxshi.

To'liq kvadrat tanlash usuli

Shaklning integrallari (koeffitsientlar va nolga teng emas) yechiladi to'liq kvadrat qazib olish usuli, bu allaqachon darsda paydo bo'lgan Grafiklarning geometrik o'zgarishlari.

Aslida, bunday integrallar biz ko'rib chiqqan to'rtta jadvalli integraldan biriga kamayadi. Va bunga tanish qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida erishiladi:

Formulalar aynan shu yo'nalishda qo'llaniladi, ya'ni usulning g'oyasi iboralarni yoki maxrajda sun'iy ravishda tartibga solish va keyin ularni mos ravishda har biriga aylantirishdir.

9-misol

Noaniq integralni toping

Bu eng oddiy misol, unda muddatli - birlik koeffitsienti bilan(va ba'zi bir raqam yoki minus emas).

Keling, denominatorga qaraylik, bu erda hamma narsa tasodifga bog'liq. Keling, denominatorni aylantirishni boshlaylik:

Shubhasiz, siz 4 qo'shishingiz kerak. Va ifoda o'zgarmasligi uchun bir xil to'rttasini ayiring:

Endi siz formulani qo'llashingiz mumkin:

Konvertatsiya tugagandan so'ng DOIM amalga oshirish maqsadga muvofiqdir teskari zarba: , hammasi yaxshi, hech qanday xatolik yo'q.

Ko'rib chiqilayotgan misolning yakuniy dizayni quyidagicha ko'rinishi kerak:

Tayyor. Xulosa qilish "bepul" murakkab funktsiya differensial belgisi ostida: , asosan, e'tibordan chetda qolishi mumkin

10-misol

Noaniq integralni toping:

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol, javob dars oxirida

11-misol

Noaniq integralni toping:

Oldinda minus bo'lsa nima qilish kerak? Bunday holda, biz qavs ichidan minusni olib tashlashimiz va shartlarni bizga kerak bo'lgan tartibda joylashtirishimiz kerak: . Doimiy("ikki" in Ushbu holatda) tegmang!

Endi biz qavs ichida birini qo'shamiz. Ifodani tahlil qilib, biz qavslar tashqarisida bittasini qo'shishimiz kerak degan xulosaga keldik:

Bu erda biz formulani olamiz, amal qiling:

DOIM Biz loyihani tekshiramiz:
, bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa edi.

Toza misol shunday ko'rinadi:

Vazifani qiyinlashtirish

12-misol

Noaniq integralni toping:

Bu erda atama endi birlik koeffitsienti emas, balki "besh" dir.

(1) Agar doimiy qiymat bo'lsa, biz uni darhol qavsdan chiqaramiz.

(2) Umuman olganda, bu doimiy to'sqinlik qilmasligi uchun integraldan tashqariga ko'chirish har doim yaxshiroqdir.

(3) Shubhasiz, hamma narsa formulaga tushadi. Biz atamani tushunishimiz kerak, ya'ni "ikki" ni olishimiz kerak.

(4) Ha, . Bu shuni anglatadiki, biz ifodaga qo'shamiz va bir xil kasrni ayitamiz.

(5) Endi to'liq kvadratni tanlang. IN umumiy holat biz ham hisoblashimiz kerak , lekin bu erda bizda uzun logarifm uchun formula mavjud , va harakatni bajarishning ma'nosi yo'q; nima uchun quyida aniq bo'ladi.

(6) Aslida, biz formulani qo'llashimiz mumkin , faqat "X" o'rniga bizda mavjud bo'lib, bu jadval integralining haqiqiyligini inkor etmaydi. To'g'risini aytganda, bir qadam o'tkazib yuborildi - integratsiyadan oldin funktsiya differentsial belgi ostida qabul qilinishi kerak edi: , lekin, men bir necha bor ta'kidlaganimdek, bu ko'pincha e'tibordan chetda.

(7) Ildiz ostidagi javobda barcha qavslarni orqaga kengaytirish tavsiya etiladi:

Qiyinmi? Bu integral hisobning eng qiyin qismi emas. Garchi ko'rib chiqilayotgan misollar unchalik murakkab emas, chunki ular yaxshi hisoblash texnikasini talab qiladi.

13-misol

Noaniq integralni toping:

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Javob dars oxirida.

Maxrajda ildizlari bo'lgan integrallar mavjud bo'lib, ular almashtirish yordamida ko'rib chiqilayotgan turdagi integrallarga keltiriladi; ular haqida maqolada o'qishingiz mumkin. Kompleks integrallar, lekin u juda tayyor talabalar uchun mo'ljallangan.

Numeratorni differentsial belgi ostida yig'ish

Bu darsning yakuniy qismi, ammo bu turdagi integrallar juda keng tarqalgan! Agar charchagan bo'lsangiz, ertaga o'qiganingiz yaxshiroqmi? ;)

Biz ko'rib chiqadigan integrallar oldingi paragrafning integrallariga o'xshaydi, ular quyidagi shaklga ega: yoki (koeffitsientlar , va nolga teng emas).

Ya'ni, bizda mavjud bo'lgan numeratorda chiziqli funksiya. Bunday integrallarni qanday yechish mumkin?

Onlayn kalkulyator.
Binomning kvadratini ajratib olish va kvadrat trinomiyani koeffitsientlarga ajratish.

Bu matematika dasturi kvadrat binomni kvadrat trinomdan farqlaydi, ya'ni. kabi transformatsiyani amalga oshiradi:
\(ax^2+bx+c \o'ngga a(x+p)^2+q \) va kvadratik uchburchakni faktorlarga ajratadi: \(ax^2+bx+c \o'ngga a(x+n)(x+m) \)

Bular. Muammolar \(p, q\) va \(n, m\) raqamlarini topishga toʻgʻri keladi.

Dastur nafaqat muammoga javob beradi, balki uni hal qilish jarayonini ham ko'rsatadi.

Ushbu dastur o'rta maktab o'quvchilari uchun foydali bo'lishi mumkin o'rta maktablar ga tayyorgarlik ko'rmoqda testlar va imtihonlar, Yagona davlat imtihonidan oldin bilimlarni sinab ko'rishda, ota-onalar uchun matematika va algebra bo'yicha ko'plab muammolarni hal qilishni nazorat qilish. Yoki repetitor yollash yoki yangi darsliklar sotib olish juda qimmatga tushgandir? Yoki buni iloji boricha tezroq bajarishni xohlaysizmi? Uy vazifasi matematikadami yoki algebradami? Bunday holda siz bizning dasturlarimizdan batafsil echimlar bilan ham foydalanishingiz mumkin.

Shunday qilib, siz o'zingizning aka-ukalaringiz yoki opa-singillaringizni o'qitishingiz va/yoki o'qitishingiz mumkin, shu bilan birga muammolarni hal qilish sohasidagi ta'lim darajasi oshadi.

Kvadrat trinomiyani kiritish qoidalari bilan tanish bo'lmasangiz, ular bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Kvadrat polinomni kiritish qoidalari

Har qanday lotin harfi o'zgaruvchi sifatida harakat qilishi mumkin.
Masalan: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) va hokazo.

Raqamlar butun yoki kasr sonlar sifatida kiritilishi mumkin.
Bundan tashqari, kasr raqamlari nafaqat o'nli kasr shaklida, balki oddiy kasr shaklida ham kiritilishi mumkin.

O'nli kasrlarni kiritish qoidalari.
O'nli kasrlarda kasr butundan nuqta yoki vergul bilan ajratilishi mumkin.
Masalan, siz kiritishingiz mumkin o'nli kasrlar shunga o'xshash: 2,5x - 3,5x^2

Oddiy kasrlarni kiritish qoidalari.
Faqat butun son kasrning ayiruvchisi, maxraji va butun qismi vazifasini bajara oladi.

Maxraj manfiy bo'lishi mumkin emas.

Raqamli kasrni kiritishda hisoblagich maxrajdan bo'linish belgisi bilan ajratiladi: /
Butun qism kasrdan ampersand bilan ajratiladi: &
Kirish: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Natija: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Ifodani kiritishda qavslardan foydalanishingiz mumkin. Bunday holda, yechishda kiritilgan ifoda birinchi navbatda soddalashtiriladi.
Masalan: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Batafsil yechimga misol

Binomning kvadratini ajratib olish.$$ ax^2+bx+c \o'nggarrow a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\chap( \frac(1)(2) \o'ng)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \o'ng)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\chap (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \o'ng)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \o'ng)^2 \o'ng)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\chap(x+\frac(1)(2) \o'ng)^2-\frac(9)(2) $$ Javob:$2x^2+2x-4 = 2\chap(x+\frac(1)(2) \o'ng)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizatsiya.$$ ax^2+bx+c \o'ngga a(x+n)(x+m) $$ $2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\chap(x^2+x-2 \o'ng) = $$
$$ 2 \chap(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \o'ng) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \o'ng) -1 \chap(x +2 \o'ng) ) \o'ng) = $$ $$ 2 \left(x -1 \o'ng) \left(x +2 \o'ng) $$ Javob:$2x^2+2x-4 = 2 \chap(x -1 \o'ng) \chap(x +2 \o'ng) $$

Qaror qiling

Ushbu muammoni hal qilish uchun zarur bo'lgan ba'zi skriptlar yuklanmaganligi va dastur ishlamasligi mumkinligi aniqlandi.
Sizda AdBlock yoqilgan bo'lishi mumkin.
Bunday holda, uni o'chiring va sahifani yangilang.

Brauzeringizda JavaScript o'chirilgan.
Yechim paydo bo'lishi uchun JavaScript-ni yoqishingiz kerak.
Bu erda brauzeringizda JavaScript-ni qanday yoqish bo'yicha ko'rsatmalar mavjud.

Chunki Muammoni hal qilmoqchi bo'lganlar ko'p, so'rovingiz navbatga qo'yildi.
Bir necha soniya ichida yechim quyida paydo bo'ladi.
Iltimos kuting sek...


Agar Siz yechimdagi xatolikni payqagan, keyin bu haqda fikr-mulohaza shaklida yozishingiz mumkin.
Esdan chiqarma qaysi vazifani ko'rsating nimani hal qilasiz maydonlarga kiring.



Bizning o'yinlarimiz, boshqotirmalarimiz, emulyatorlarimiz:

Bir oz nazariya.

Kvadrat trinomdan binom kvadratini ajratib olish

Agar kvadrat trinomial ax 2 +bx+c a(x+p) 2 +q ko'rinishida ifodalansa, bu erda p va q haqiqiy sonlar bo'lsa, u holda dan deymiz. kvadrat trinomial, binomialning kvadrati ta'kidlangan.

2x 2 +12x+14 trinomialdan binom kvadratini chiqaramiz.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Buning uchun 6x ni 2*3*x ko‘paytmasi sifatida tasavvur qiling, so‘ngra 3 2 ni qo‘shing va ayiring. Biz olamiz:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Bu. Biz kvadrat trinomiyadan kvadrat binomni ajratib oling, va buni ko'rsatdi:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadrat uchburchakni koeffitsientga ajratish

Agar 2 +bx+c kvadrat uch a’zoli aks a(x+n)(x+m) ko‘rinishida ifodalansa, bu yerda n va m haqiqiy sonlar bo‘lsa, u holda amal bajarilgan deyiladi. kvadratik uch a’zoni koeffitsientlarga ajratish.

Keling, ushbu transformatsiya qanday amalga oshirilganligini misol bilan ko'rsatamiz.

2x 2 +4x-6 kvadrat uch a’zoni koeffitsientlarga ajratamiz.

Qavslar ichidan a koeffitsientini olamiz, ya'ni. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Qavs ichidagi ifodani o'zgartiramiz.
Buning uchun 2x ni 3x-1x farqi, -3 ni esa -1*3 deb tasavvur qiling. Biz olamiz:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Bu. Biz kvadratik uch a’zoni faktorlarga ajratdi, va buni ko'rsatdi:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

E'tibor bering, kvadrat uch a'zoni faktorlarga ajratish faqat quyidagi hollarda mumkin: kvadrat tenglama, bu trinomialga mos keladigan ildizlarga ega.
Bular. bizning holimizda 2x 2 +4x-6 =0 kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsa, 2x 2 +4x-6 trinomiyasini koeffitsientga ajratish mumkin. Faktorizatsiya jarayonida biz 2x 2 + 4x-6 = 0 tenglamaning ikkita ildizi 1 va -3 ekanligini aniqladik, chunki bu qiymatlar bilan 2(x-1)(x+3)=0 tenglama haqiqiy tenglikka aylanadi.

Kitoblar (darsliklar) Yagona davlat imtihonining tezislari va Yagona davlat imtihonlari testlari Onlayn o'yinlar, boshqotirmalar Funksiyalarning grafiklarini tuzish Rus tilining imlo lug'ati Rus tilining yoshlar slengi lug'ati Rus maktablari katalogi Rossiya o'rta ta'lim muassasalari katalogi Rossiya universitetlari ro'yxati vazifalari

Ta'rif

2 x 2 + 3 x + 5 ko'rinishdagi ifodalar kvadrat uchburchaklar deyiladi. Umuman olganda, kvadrat trinom a x 2 + b x + c ko'rinishdagi ifoda bo'lib, bu erda a, b, c a, b, c ixtiyoriy sonlar va a ≠ 0.

X 2 - 4 x + 5 kvadrat trinomiyani ko'rib chiqaylik. Buni quyidagi shaklda yozamiz: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Bu ifodaga 2 2 ni qo‘shib, 2 2 ni ayirib chiqamiz, hosil bo‘ladi: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. E'tibor bering, x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, shuning uchun x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Biz qilgan transformatsiya deyiladi "Mukammal kvadratni kvadrat uchlikdan ajratish".

9 x 2 + 3 x + 1 kvadrat uch a'zodan mukammal kvadratni aniqlang.

E'tibor bering, 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Keyin `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Olingan ifodaga `(1/2)^2` qo'shing va ayirilsin, biz olamiz

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Kvadrat uch a’zodan mukammal kvadratni ajratib olish usuli kvadrat uch a’zoni faktorlarga ajratishda qanday qo‘llanilishini ko‘rsatamiz.

4 x 2 - 12 x + 5 kvadrat uch a'zoni ko'paytiring.

Kvadrat trinomdan mukammal kvadratni tanlaymiz: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Endi biz a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) formulasini qo'llaymiz, biz quyidagilarni olamiz: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1).

Kvadrat uch a'zoni ko'paytiring - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Endi biz 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2 ekanligini ko'ramiz.

9 x 2 - 12 x ifodasiga 2 2 atamasini qo'shamiz, biz quyidagilarni olamiz:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Biz kvadratlar farqi uchun formulani qo'llaymiz, bizda:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

3 x 2 - 14 x - 5 kvadrat uch a'zoni ko'paytiring.

Biz 3 x 2 ifodasini qandaydir ifodaning kvadrati sifatida tasvirlay olmaymiz, chunki biz buni maktabda hali o‘rganmaganmiz. Buni keyinroq boshdan kechirasiz va 4-topshiriqda biz o'rganamiz kvadrat ildizlar. Keling, berilgan kvadrat uch a’zoni qanday faktorlarga ajratish mumkinligini ko‘rsatamiz:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Kvadrat trinomning eng katta yoki eng kichik qiymatini topish uchun mukammal kvadrat usulidan qanday foydalanishni ko'rsatamiz.
X 2 - x + 3 kvadrat uchburchakni ko'rib chiqaylik. To'liq kvadratni tanlang:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Esda tutingki, `x=1/2` bo`lganda kvadrat uch a`zoning qiymati `11/4` bo`lsa va `x!=1/2` bo`lganda `11/4` qiymatiga musbat son qo`shiladi, shuning uchun biz “11/4” dan kattaroq raqamni oling. Shunday qilib, eng kichik qiymat kvadratik trinomial `11/4` va u `x=1/2` bo`lganda olinadi.

Kvadrat uchburchakning eng katta qiymatini toping - 16 2 + 8 x + 6.

Kvadrat trinomdan mukammal kvadrat tanlaymiz: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

`x=1/4` bo`lganda kvadratik uch a`zoning qiymati 7 bo`lsa, `x!=1/4` bo`lganda esa 7 sonidan musbat son ayirilsa, ya`ni 7 dan kichik sonni olamiz. Shunday qilib, 7 raqami eng yuqori qiymat kvadratik uch a'zo bo'lib, u `x=1/4` bo'lganda olinadi.

`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` kasrning soni va maxrajini ko'paytiring va kasrni kamaytiring.

X 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 kasrning maxrajiga e'tibor bering. To'liq kvadratni kvadrat uch a'zodan ajratish usuli yordamida kasrning payini koeffitsientlarga ajratamiz. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) .

Bu kasr `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` ko'rinishiga keltirildi (x - 3) ga qisqartirilgandan so'ng biz `(x+5)/(x-3) ni olamiz. )`.

X 4 - 13 x 2 + 36 ko'phadni ko'paytiring.

Ushbu ko'phadga to'liq kvadratni ajratish usulini qo'llaymiz. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



Saytda yangi

>

Eng mashhur

© 2023. Stomatologik maslahat portali.

MASHHUR BO'LIMLAR