Fazodagi chiziqning kanonik tenglamalari o'tgan chiziqni aniqlaydigan tenglamalardir bu nuqta yo'nalish vektoriga to'g'ri keladi.

Nuqta va yo'nalish vektori berilgan bo'lsin. Ixtiyoriy nuqta chiziq ustida yotadi l faqat va vektorlari kollinear bo'lsa, ya'ni ular uchun shart bajarilsa:

.

Yuqoridagi tenglamalar to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridir.

Raqamlar m , n Va p yo'nalish vektorining koordinata o'qlariga proyeksiyalaridir. Vektor nolga teng bo'lmaganligi sababli, barcha raqamlar m , n Va p bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas. Ammo ulardan bir yoki ikkitasi nolga aylanishi mumkin. Masalan, analitik geometriyada quyidagi yozuvga ruxsat beriladi:

,

demak, vektorning o'qdagi proyeksiyalari Oy Va Oz nolga teng. Demak, kanonik tenglamalar bilan aniqlangan vektor ham, to‘g‘ri chiziq ham o‘qlarga perpendikulyar. Oy Va Oz, ya'ni samolyotlar yOz .

1-misol. Tekislikka perpendikulyar fazodagi chiziq tenglamalarini yozing va bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasidan o'tish Oz .

Yechim. Bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasini topamiz Oz. O'qda yotgan har qanday nuqtadan beri Oz, tekislikning berilgan tenglamasida faraz qilsak, koordinatalariga ega x = y = 0, biz 4 ni olamiz z- 8 = 0 yoki z= 2 . Shuning uchun, bu tekislikning o'q bilan kesishish nuqtasi Oz koordinatalariga ega (0; 0; 2) . Kerakli chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lgani uchun u normal vektoriga parallel. Shuning uchun to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori normal vektor bo'lishi mumkin berilgan samolyot.

Endi nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning kerakli tenglamalarini yozamiz A= (0; 0; 2) vektor yo'nalishi bo'yicha:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamalari

To'g'ri chiziqni uning ustida joylashgan ikkita nuqta bilan aniqlash mumkin Va Bunday holda, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori vektor bo'lishi mumkin. Keyin chiziqning kanonik tenglamalari shaklni oladi

.

Yuqoridagi tenglamalar ikkita berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziqni aniqlaydi.

2-misol. va nuqtalardan o'tuvchi fazodagi chiziq tenglamasini yozing.

Yechim. Yuqorida nazariy ma’lumotnomada berilgan to‘g‘ri chiziqning kerakli tenglamalarini yozamiz:

.

Chunki , u holda kerakli to'g'ri chiziq o'qga perpendikulyar Oy .

To'g'ri tekisliklarning kesishish chizig'i kabi

Kosmosdagi to'g'ri chiziqni ikkita parallel bo'lmagan tekislikning kesishish chizig'i va, ya'ni ikkita chiziqli tenglamalar tizimini qanoatlantiruvchi nuqtalar to'plami sifatida aniqlash mumkin.

Tizim tenglamalari fazodagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamalari deb ham ataladi.

3-misol. Umumiy tenglamalar bilan berilgan fazodagi chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing

Yechim. Toʻgʻri chiziqning kanonik tenglamalarini yoki bir xil boʻlgan ikkita berilgan nuqtadan oʻtuvchi chiziq tenglamalarini yozish uchun toʻgʻri chiziqdagi istalgan ikkita nuqtaning koordinatalarini topish kerak. Ular, masalan, har qanday ikkita koordinata tekisligi bilan to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalari bo'lishi mumkin yOz Va xOz .

Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi yOz abtsissaga ega x= 0. Shuning uchun, bu tenglamalar tizimida faraz qilish x= 0, biz ikkita o'zgaruvchiga ega tizimni olamiz:

Uning qarori y = 2 , z= 6 bilan birga x= 0 nuqtani belgilaydi A(0; 2; 6) kerakli chiziq. Keyin berilgan tenglamalar tizimida qabul qilinadi y= 0, biz tizimni olamiz

Uning qarori x = -2 , z= 0 bilan birga y= 0 nuqtani belgilaydi B(-2; 0; 0) chiziqning tekislik bilan kesishishi xOz .

Endi nuqtalardan o'tuvchi chiziq tenglamalarini yozamiz A(0; 2; 6) va B (-2; 0; 0) :

,

yoki maxrajlarni -2 ga bo'lgandan keyin:

,

Chiziq M 1 (x 1; y 1) va M 2 (x 2; y 2) nuqtalardan o'tadi. M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi y-y 1 = ko'rinishga ega k (x - x 1), (10.6)

Qayerda k - hali noma'lum koeffitsient.

To'g'ri chiziq M 2 (x 2 y 2) nuqtadan o'tganligi sababli, bu nuqtaning koordinatalari (10.6) tenglamani qanoatlantirishi kerak: y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Bu yerdan topilgan qiymatni almashtirishni topamiz k (10.6) tenglamaga kirib, M 1 va M 2 nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz:

Bu tenglamada x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 deb faraz qilinadi.

Agar x 1 = x 2 bo'lsa, M 1 (x 1,y I) va M 2 (x 2,y 2) nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq ordinata o'qiga parallel bo'ladi. Uning tenglamasi x = x 1 .

Agar y 2 = y I bo'lsa, chiziq tenglamasini y = y 1 shaklida yozish mumkin, M 1 M 2 to'g'ri chiziq abscissa o'qiga parallel.

Segmentlardagi chiziq tenglamasi

To‘g‘ri chiziq O‘q o‘qini M 1 (a;0) nuqtada, Oy o‘qi esa M 2 (0;b) nuqtada kesishsin. Tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:
bular.
. Bu tenglama deyiladi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi, chunki a va b raqamlari chiziq koordinata o'qlarida qaysi segmentlarni kesib tashlashini ko'rsatadi.

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

O‘tgan chiziq tenglamasini topamiz berilgan nuqta Mo (x O; y o) berilgan nolga teng bo'lmagan vektorga perpendikulyar n = (A; B).

Chiziqning ixtiyoriy M(x; y) nuqtasini olaylik va M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorini ko'rib chiqamiz (1-rasmga qarang). n va M o M vektorlari perpendikulyar bo'lganligi uchun ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng: ya'ni

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) tenglama chaqiriladi berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi .

Chiziqga perpendikulyar vektor n= (A; B) normal deyiladi bu chiziqning normal vektori .

(10.8) tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Bu erda A va B normal vektorning koordinatalari, C = -Ax o - Vu o - erkin atama. Tenglama (10.9) chiziqning umumiy tenglamasidir(2-rasmga qarang).

1-rasm 2-rasm

Chiziqning kanonik tenglamalari

,

Qayerda
- chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari va
- yo'nalish vektori.

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Circle

Aylana - bu ma'lum bir nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, u markaz deb ataladi.

Radiusli aylananing kanonik tenglamasi R bir nuqtada markazlashtirilgan
:

Xususan, agar qoziq markazi koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri kelsa, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Ellips

Ellips - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ularning har biridan berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi. Va fokuslar deb ataladigan , doimiy miqdordir
, fokuslar orasidagi masofadan kattaroq
.

Fokuslari Ox o'qida joylashgan ellipsning kanonik tenglamasi va fokuslar orasidagi o'rtadagi koordinatalarning kelib chiqishi shaklga ega.
G de a yarim asosiy o'q uzunligi; b – yarim kichik o‘qning uzunligi (2-rasm).

Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi.
Yo'nalish vektori to'g'ri. Oddiy vektor

Tekislikdagi to'g'ri chiziq eng oddiylardan biridir geometrik shakllar, sizga beri tanish kichik sinflar, va bugun biz analitik geometriya usullaridan foydalangan holda u bilan qanday kurashishni o'rganamiz. Materialni o'zlashtirish uchun siz to'g'ri chiziq qurishingiz kerak; to'g'ri chiziqni, xususan, koordinatalar boshi orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq va koordinata o'qlariga parallel to'g'ri chiziqlarni qanday tenglama belgilashini bilish. Ushbu ma'lumot qo'llanmada topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari, Men uni matan uchun yaratdim, lekin haqida bo'lim chiziqli funksiya Bu juda muvaffaqiyatli va batafsil bo'lib chiqdi. Shuning uchun, aziz choynaklar, avval u erda isinib turing. Bundan tashqari, siz asosiy bilimlarga ega bo'lishingiz kerak vektorlar, aks holda materialni tushunish to'liq bo'lmaydi.

Ushbu darsda biz tekislikda to'g'ri chiziq tenglamasini yaratish usullarini ko'rib chiqamiz. Amaliy misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikni tavsiya qilaman (hatto bu juda oddiy bo'lib tuyulsa ham), chunki men ularga kelajakda, shu jumladan oliy matematikaning boshqa bo'limlarida talab qilinadigan elementar va muhim faktlar, texnik usullarni taqdim etaman.

• Burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?
• Qanaqasiga ?
• To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan foydalanib, yo'nalish vektorini qanday topish mumkin?
• Nuqta va normal vektor berilgan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

va biz boshlaymiz:

Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi

To'g'ri chiziqli tenglamaning taniqli "maktab" shakli deyiladi qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasi. Masalan, tenglama bilan to'g'ri chiziq berilgan bo'lsa, uning qiyaligi: . Keling, ushbu koeffitsientning geometrik ma'nosini va uning qiymati chiziqning joylashishiga qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqaylik:

Bu geometriya kursida isbotlangan to'g'ri chiziqning qiyaligi ga teng burchak tangensi musbat o'q yo'nalishi o'rtasidava bu qator: , va burchak soat miliga teskari yo'nalishda "ochiladi".

Chizmani chalkashtirmaslik uchun men faqat ikkita to'g'ri chiziq uchun burchaklar chizdim. Keling, "qizil" chiziqni va uning qiyaligini ko'rib chiqaylik. Yuqoridagilarga ko'ra: ("alfa" burchagi yashil yoy bilan ko'rsatilgan). Burchak koeffitsienti bilan "ko'k" to'g'ri chiziq uchun tenglik to'g'ri bo'ladi ("beta" burchagi jigarrang yoy bilan ko'rsatilgan). Va agar burchakning tangensi ma'lum bo'lsa, agar kerak bo'lsa, uni topish oson va burchakning o'zi teskari funksiya - arktangent yordamida. Ular aytganidek, sizning qo'lingizda trigonometrik jadval yoki mikrokalkulyator. Shunday qilib, burchak koeffitsienti to'g'ri chiziqning abscissa o'qiga moyillik darajasini tavsiflaydi..

Bunday holda, bu mumkin quyidagi holatlar:

1) Nishab manfiy bo'lsa: u holda chiziq, taxminan aytganda, yuqoridan pastga qarab ketadi. Misollar chizmadagi "ko'k" va "malina" to'g'ri chiziqlardir.

2) Nishab musbat bo'lsa: u holda chiziq pastdan yuqoriga o'tadi. Misollar - chizmadagi "qora" va "qizil" to'g'ri chiziqlar.

3) Nishab nolga teng bo'lsa: , u holda tenglama shaklni oladi va mos keladigan to'g'ri chiziq o'qga parallel. Masalan, "sariq" to'g'ri chiziq.

4) O'qga parallel bo'lgan chiziqlar oilasi uchun (chizmada o'qning o'zidan tashqari hech qanday misol yo'q), burchak koeffitsienti mavjud emas (90 daraja tangensi aniqlanmagan).

Nishab koeffitsienti mutlaq qiymatda qanchalik katta bo'lsa, to'g'ri chiziq grafigi shunchalik tik bo'ladi..

Masalan, ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. Demak, bu erda to'g'ri chiziq keskinroq qiyalikka ega. Eslatib o'taman, modul sizga belgini e'tiborsiz qoldirishga imkon beradi, biz faqat qiziqamiz mutlaq qiymatlar burchak koeffitsientlari.

O'z navbatida, to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqlarga qaraganda tikroqdir .

Aksincha: mutlaq qiymatdagi qiyalik koeffitsienti qanchalik kichik bo'lsa, to'g'ri chiziq shunchalik tekis bo'ladi.

To'g'ri chiziqlar uchun tengsizlik to'g'ri, shuning uchun to'g'ri chiziq tekisroq. O'zingizga ko'karishlar va zarba bermaslik uchun bolalar slaydlari.

Bu nima uchun kerak?

Qiynoqlaringizni uzaytiring Yuqoridagi faktlarni bilish sizning xatolaringizni, xususan, grafiklarni qurishdagi xatolaringizni darhol ko'rishga imkon beradi - agar chizma "aniq bir narsa noto'g'ri" bo'lib chiqsa. Bu sizga tavsiya etiladi to'g'ridan-to'g'ri aniq edi, masalan, to'g'ri chiziq juda tik va pastdan yuqoriga ketadi, va to'g'ri chiziq juda tekis bo'lib, o'qga yaqin bosiladi va yuqoridan pastga ketadi.

Geometrik masalalarda ko'pincha bir nechta to'g'ri chiziqlar paydo bo'ladi, shuning uchun ularni qandaydir tarzda belgilash qulay.

Belgilar: to'g'ri chiziqlar kichik belgilanadi lotin harflari bilan: . Ommabop variant - ularni tabiiy pastki belgilar bilan bir xil harf yordamida belgilash. Misol uchun, biz ko'rib chiqqan besh qatorni quyidagicha belgilash mumkin .

Har qanday to'g'ri chiziq yagona ikkita nuqta bilan aniqlanganligi sababli, uni quyidagi nuqtalar bilan belgilash mumkin: va hokazo. Belgilanish nuqtalar chiziqqa tegishli ekanligini aniq ko'rsatadi.

Bir oz isinish vaqti keldi:

Burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar ma'lum bir chiziqqa tegishli nuqta va bu chiziqning burchak koeffitsienti ma'lum bo'lsa, u holda bu chiziq tenglamasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

1-misol

Agar nuqta shu to'g'ri chiziqqa tegishli ekanligi ma'lum bo'lsa, burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamasini yozing.

Yechim: Formuladan foydalanib to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz . IN Ushbu holatda:

Javob:

Imtihon oddiygina bajariladi. Birinchidan, biz hosil bo'lgan tenglamani ko'rib chiqamiz va nishabimiz joyida ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Ikkinchidan, nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qondirishi kerak. Keling, ularni tenglamaga kiritamiz:

To'g'ri tenglik olinadi, ya'ni nuqta hosil bo'lgan tenglamani qanoatlantiradi.

Xulosa: Tenglama to'g'ri topildi.

uchun yanada murakkab misol mustaqil qaror:

2-misol

Toʻgʻri chiziqning oʻqning musbat yoʻnalishiga ogʻish burchagi ga tengligi va nuqta shu toʻgʻri chiziqqa tegishli ekanligi maʼlum boʻlsa, uning tenglamasini yozing.

Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, nazariy materialni qayta o'qing. Aniqrog'i, amaliyroq, men ko'plab dalillarni o'tkazib yuboraman.

Jiringladi oxirgi qo `ng` iroq, bitiruv kechasi o'tdi va ona maktabimiz darvozasi tashqarisida bizni analitik geometriyaning o'zi kutmoqda. Hazillar tugadi... Yoki ular endigina boshlayotgandir =)

Biz nostaljik tarzda qalamimizni tanishga silkitamiz va to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi bilan tanishamiz. Chunki analitik geometriyada aynan shu narsa qo'llaniladi:

Umumiy tenglama to'g'ri chiziq shaklga ega: , ba'zi raqamlar qayerda. Shu bilan birga, koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng emas, chunki tenglama o'z ma'nosini yo'qotadi.

Keling, kostyum kiyib, nishab koeffitsienti bilan tenglamani bog'laymiz. Birinchidan, keling, barcha shartlarni o'zgartiramiz chap tomoni:

"X" bilan atama birinchi o'ringa qo'yilishi kerak:

Asos sifatida, tenglama allaqachon shaklga ega , lekin matematik odob qoidalariga ko'ra, birinchi atama koeffitsienti (bu holda) ijobiy bo'lishi kerak. O'zgaruvchan belgilar:

Ushbu texnik xususiyatni unutmang! Biz birinchi koeffitsientni (ko'pincha) ijobiy qilamiz!

Analitik geometriyada to'g'ri chiziq tenglamasi deyarli har doim beriladi umumiy shakl. Xo'sh, agar kerak bo'lsa, uni burchak koeffitsienti bilan "maktab" shakliga osongina tushirish mumkin (ordinata o'qiga parallel to'g'ri chiziqlar bundan mustasno).

Keling, o'zimizga nima deb so'raylik yetarli to'g'ri chiziq qurishni bilasizmi? Ikki nuqta. Ammo bu bolalikdagi voqea haqida ko'proq, endi o'qlar qoidasiga amal qiladi. Har bir to'g'ri chiziq juda o'ziga xos nishabga ega, unga "moslashish" oson. vektor.

Chiziqqa parallel bo'lgan vektor shu chiziqning yo'nalishi vektori deyiladi. Ko'rinib turibdiki, har qanday to'g'ri chiziq cheksiz ko'p yo'nalish vektorlariga ega va ularning barchasi kollinear bo'ladi (birga yo'nalishli yoki yo'q - bu muhim emas).

Yo'nalish vektorini quyidagicha belgilayman: .

To'g'ri chiziqni qurish uchun bitta vektor etarli emas, vektor erkin va tekislikning biron bir nuqtasiga bog'lanmagan. Shuning uchun, chiziqqa tegishli bo'lgan ba'zi bir nuqtani bilish qo'shimcha ravishda zarur.

Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar chiziqqa tegishli ma'lum nuqta va bu chiziqning yo'nalishi vektori ma'lum bo'lsa, u holda ushbu chiziq tenglamasini quyidagi formula yordamida tuzish mumkin:

Ba'zan deyiladi chiziqning kanonik tenglamasi .

Qachon nima qilish kerak koordinatalaridan biri nolga teng, biz quyida amaliy misollarda tushunamiz. Aytgancha, diqqat qiling - ikkalasi birdan koordinatalar nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki nol vektor ma'lum bir yo'nalishni belgilamaydi.

3-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing

Yechim: Formuladan foydalanib to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz. Ushbu holatda:

Proportsional xususiyatlardan foydalanib, biz kasrlardan xalos bo'lamiz:

Va biz tenglamani keltiramiz umumiy ko'rinish:

Javob:

Qoida tariqasida, bunday misollarda rasm chizishning hojati yo'q, lekin tushunish uchun:

Chizmada biz boshlang'ich nuqtani, asl yo'nalish vektorini (uni tekislikning istalgan nuqtasidan chizish mumkin) va qurilgan to'g'ri chiziqni ko'ramiz. Aytgancha, ko'p hollarda burchak koeffitsienti bo'lgan tenglama yordamida to'g'ri chiziqni qurish eng qulaydir. Bizning tenglamamizni shaklga aylantirish va to'g'ri chiziq qurish uchun boshqa nuqtani osongina tanlash oson.

Paragraf boshida ta'kidlanganidek, to'g'ri chiziq cheksiz ko'p yo'nalish vektorlariga ega va ularning barchasi kollineardir. Masalan, men uchta vektorni chizdim: . Qaysi yo'nalish vektorini tanlasak ham, natija har doim bir xil to'g'ri chiziq tenglamasi bo'ladi.

Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Proporsiyani hal qilish:

Ikkala tomonni -2 ga bo'ling va tanish tenglamani oling:

Qiziqqanlar vektorlarni xuddi shu tarzda sinab ko'rishlari mumkin yoki boshqa har qanday kollinear vektor.

Endi teskari masalani yechamiz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan foydalanib, yo'nalish vektorini qanday topish mumkin?

Juda oddiy:

Agar to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida chiziq umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda vektor bu chiziqning yo'nalish vektori bo'ladi.

To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topishga misollar:

Ushbu bayonot cheksiz sondan faqat bitta yo'nalish vektorini topishga imkon beradi, ammo bizga ko'proq kerak emas. Ba'zi hollarda yo'nalish vektorlarining koordinatalarini kamaytirish tavsiya etiladi:

Shunday qilib, tenglama o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni belgilaydi va natijada olingan yo'nalish vektorining koordinatalari qulay tarzda -2 ga bo'linib, yo'nalish vektori sifatida aynan bazis vektorini oladi. Mantiqiy.

Xuddi shunday, tenglama o'qga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni belgilaydi va vektorning koordinatalarini 5 ga bo'lish orqali biz yo'nalish vektori sifatida birlik vektorini olamiz.

Keling, buni qilaylik 3-misolni tekshirish. Misol yuqoriga ko'tarildi, shuning uchun eslataman, unda biz nuqta va yo'nalish vektoridan foydalangan holda to'g'ri chiziq tenglamasini tuzganmiz.

Birinchidan, to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanib, biz uning yo'nalishi vektorini qayta tuzamiz: - hamma narsa yaxshi, biz asl vektorni oldik (ba'zi hollarda natija asl vektorga to'g'ri keladigan vektor bo'lishi mumkin va buni odatda mos keladigan koordinatalarning mutanosibligi bilan sezish oson).

Ikkinchidan, nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantirishi kerak. Biz ularni tenglamaga almashtiramiz:

To'g'ri tenglik olindi, biz bundan juda xursandmiz.

Xulosa: Vazifa to'g'ri bajarildi.

4-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Yechim va javob dars oxirida. Yuqorida muhokama qilingan algoritm yordamida tekshirish tavsiya etiladi. Har doim (agar iloji bo'lsa) qoralamani tekshirishga harakat qiling. 100% oldini olish mumkin bo'lgan xatolarga yo'l qo'yish ahmoqlikdir.

Yo'nalish vektorining koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, juda oddiy bajaring:

5-misol

Yechim: Formula mos emas, chunki o'ng tomondagi maxraj nolga teng. Chiqish bor! Proportsional xususiyatlardan foydalanib, biz formulani shaklda qayta yozamiz, qolganlari esa chuqur yo'l bo'ylab aylantiriladi:

Javob:

Imtihon:

1) To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini tiklang:
- olingan vektor dastlabki yo'nalish vektoriga kollinear.

2) Nuqta koordinatalarini tenglamaga almashtiring:

To'g'ri tenglik olinadi

Xulosa: topshiriq to'g'ri bajarildi

Savol tug'iladi, agar har qanday holatda ham ishlaydigan universal versiya mavjud bo'lsa, nima uchun formula bilan bezovta qilish kerak? Buning ikkita sababi bor. Birinchidan, formula kasr shaklida ancha yaxshi eslab qoladi. Va ikkinchidan, kamchilik universal formula bu chalkashlik xavfi sezilarli darajada oshadi koordinatalarni almashtirganda.

6-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori yordamida to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Keling, hamma joyda mavjud bo'lgan ikkita nuqtaga qaytaylik:

Ikki nuqtadan foydalanib, to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar ikkita nuqta ma'lum bo'lsa, u holda ushbu nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasini quyidagi formula yordamida tuzish mumkin:

Aslida, bu formulaning bir turi va shuning uchun: agar ikkita nuqta ma'lum bo'lsa, u holda vektor berilgan chiziqning yo'nalishi vektori bo'ladi. Darsda Dummies uchun vektorlar ko‘rib chiqdik eng oddiy vazifa– ikki nuqtadan vektorning koordinatalarini qanday topish mumkin. Ushbu masala bo'yicha yo'nalish vektorining koordinatalari:

Eslatma : nuqtalarni "almashtirish" mumkin va formuladan foydalanish mumkin . Bunday yechim ekvivalent bo'ladi.

7-misol

Ikki nuqtadan foydalanib, to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing .

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

Maxrajlarni birlashtirish:

Va pastki qismni aralashtiramiz:

Endi qutulish vaqti keldi kasr sonlar. Bunday holda, siz ikkala tomonni 6 ga ko'paytirishingiz kerak:

Qavslarni oching va tenglamani yodda tuting:

Javob:

Imtihon aniq - koordinatalar boshlang'ich nuqtalari hosil bo'lgan tenglamani qondirish kerak:

1) Nuqta koordinatalarini almashtiring:

Haqiqiy tenglik.

2) Nuqta koordinatalarini almashtiring:

Haqiqiy tenglik.

Xulosa: Chiziq tenglamasi to'g'ri yozilgan.

Agar kamida bitta nuqtalarning soni tenglamani qanoatlantirmasa, xatoni qidiring.

Shuni ta'kidlash kerakki, bu holda grafik tekshirish qiyin, chunki to'g'ri chiziqni tuzing va nuqtalar unga tegishli yoki yo'qligini ko'ring. , unchalik oddiy emas.

Men yechimning yana bir nechta texnik jihatlarini qayd etaman. Ehtimol, bu muammoda oyna formulasidan foydalanish foydaliroqdir va, xuddi shu nuqtalarda tenglama tuzing:

Kamroq fraktsiyalar. Agar xohlasangiz, yechimni oxirigacha bajarishingiz mumkin, natijada bir xil tenglama bo'lishi kerak.

Ikkinchi nuqta - yakuniy javobni ko'rib chiqish va uni yanada soddalashtirish mumkinmi? Misol uchun, agar siz tenglamani olsangiz, uni ikkiga qisqartirish tavsiya etiladi: - tenglama bir xil to'g'ri chiziqni aniqlaydi. Biroq, bu allaqachon suhbat mavzusi chiziqlarning nisbiy joylashuvi.

Javobni olgandan keyin 7-misolda, har qanday holatda, men tenglamaning HAMMA koeffitsientlari 2, 3 yoki 7 ga bo'linishini tekshirib ko'rdim. Garchi ko'pincha bunday qisqartirishlar yechim jarayonida amalga oshiriladi.

8-misol

Nuqtalardan o‘tuvchi chiziq tenglamasini yozing .

Bu mustaqil yechim uchun misol bo'lib, bu sizga hisoblash texnikasini yaxshiroq tushunish va mashq qilish imkonini beradi.

Oldingi paragrafga o'xshash: formulada bo'lsa denominatorlardan biri (yo'nalish vektorining koordinatasi) nolga aylanadi, keyin uni shaklda qayta yozamiz. Yana e'tibor bering, u qanchalik noqulay va chalkash ko'rinadi. Men olib kelishda unchalik ma'no ko'rmayapman amaliy misollar, chunki biz allaqachon bunday muammoni hal qildik (Qarang: № 5, 6).

To'g'ridan-to'g'ri normal vektor (normal vektor)

Oddiy nima? Oddiy so'zlar bilan aytganda, normal perpendikulyar. Ya'ni, chiziqning normal vektori berilgan chiziqqa perpendikulyar. Shubhasiz, har qanday to'g'ri chiziqda ularning cheksiz soni (shuningdek, yo'nalish vektorlari) mavjud va to'g'ri chiziqning barcha normal vektorlari kollinear bo'ladi (ko'p yo'nalishli yoki yo'q, farq qilmaydi).

Ular bilan ishlash hidoyat vektorlariga qaraganda osonroq bo'ladi:

Agar chiziq to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda vektor bu chiziqning normal vektoridir.

Agar yo'nalish vektorining koordinatalarini tenglamadan ehtiyotkorlik bilan "chiqarib tashlash" kerak bo'lsa, u holda oddiy vektorning koordinatalarini oddiygina "olib tashlash" mumkin.

Oddiy vektor har doim chiziqning yo'nalishi vektoriga ortogonal bo'ladi. Keling, ushbu vektorlarning ortogonalligini tekshiramiz nuqta mahsuloti:

Men yo'nalish vektori bilan bir xil tenglamalar bilan misollar keltiraman:

Bir nuqta va normal vektor berilgan to'g'ri chiziq tenglamasini qurish mumkinmi? Men buni ich-ichimdan his qilyapman, bu mumkin. Agar normal vektor ma'lum bo'lsa, unda to'g'ri chiziqning yo'nalishi aniq belgilangan - bu 90 graduslik burchakka ega "qattiq struktura".

Nuqta va normal vektor berilgan to'g'ri chiziq tenglamasi qanday yoziladi?

Agar chiziqqa tegishli ma'lum nuqta va bu chiziqning normal vektori ma'lum bo'lsa, bu chiziq tenglamasi quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Bu erda hamma narsa kasrlarsiz va boshqa kutilmagan hodisalarsiz ishladi. Bu bizning oddiy vektorimiz. Uni sevmoq. Va hurmat =)

9-misol

Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing. Chiziqning yo'nalish vektorini toping.

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi olindi, tekshiramiz:

1) Oddiy vektorning koordinatalarini tenglamadan “olib tashlang”: – ha, albatta, asl vektor shartdan olingan (yoki kollinear vektor olinishi kerak).

2) Nuqta tenglamani qanoatlantirishini tekshirib ko'ramiz:

Haqiqiy tenglik.

Tenglama to'g'ri tuzilganiga amin bo'lganimizdan so'ng, vazifaning ikkinchi, osonroq qismini bajaramiz. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini chiqaramiz:

Javob:

Rasmda vaziyat quyidagicha ko'rinadi:

O'quv maqsadlarida mustaqil hal qilish uchun shunga o'xshash vazifa:

10-misol

Nuqta va normal vektor berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing. Chiziqning yo'nalish vektorini toping.

Darsning yakuniy qismi tekislikdagi chiziq tenglamalarining kamroq tarqalgan, ammo muhim turlariga bag'ishlangan.

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.
Parametrik shakldagi chiziq tenglamasi

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi , bu erda nolga teng bo'lmagan doimiylar. Ba'zi turdagi tenglamalarni bu shaklda ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ridan-to'g'ri proportsionallik (chunki erkin atama nolga teng va o'ng tomonda bittasini olishning imkoni yo'q).

Bu, majoziy ma'noda, tenglamaning "texnik" turi. Umumiy vazifa chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi chiziq tenglamasi sifatida ko'rsatishdir. Qanday qilib qulay? Segmentlardagi chiziq tenglamasi yuqori matematikaning ayrim masalalarida juda muhim bo'lishi mumkin bo'lgan koordinata o'qlari bilan chiziqning kesishish nuqtalarini tezda topishga imkon beradi.

Chiziqning o'q bilan kesishgan nuqtasini topamiz. Biz "y" ni nolga qaytaramiz va tenglama shaklni oladi. Istalgan nuqta avtomatik ravishda olinadi: .

O'q bilan bir xil – to‘g‘ri chiziqning ordinata o‘qini kesishgan nuqtasi.

Ta'rif. Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan aniqlanishi mumkin

Ax + Wu + C = 0,

Bundan tashqari, A va B konstantalari bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi. Qadriyatlarga qarab doimiy A, B va C quyidagi maxsus holatlar mumkin:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – toʻgʻri chiziq koordinatadan oʻtadi

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox o'qiga parallel to'g'ri chiziq

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - Oy o'qiga parallel to'g'ri chiziq

B = C = 0, A ≠0 - to'g'ri chiziq Oy o'qiga to'g'ri keladi

A = C = 0, B ≠0 - to'g'ri chiziq Ox o'qiga to'g'ri keladi

To'g'ri chiziq tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin turli shakllarda har qanday dastlabki shartlarga bog'liq.

Nuqta va normal vektordan to'g'ri chiziq tenglamasi

Ta'rif. Dekart to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasida komponentlari (A, B) bo‘lgan vektor Ax + By + C = 0 tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘ladi.

Misol. (3, -1) ga perpendikulyar A(1, 2) nuqtadan o`tuvchi to`g`rining tenglamasini toping.

Yechim. A = 3 va B = -1 bo'lgan holda to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 3x – y + C = 0. C koeffitsientini topish uchun olingan A nuqtaning koordinatalarini hosil bo'lgan ifodaga almashtiramiz. 3 – 2 + C = 0, shuning uchun C = -1 . Jami: kerakli tenglama: 3x – y – 1 = 0.

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

Fazoda ikkita M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2) nuqtalar berilsin, u holda bu nuqtalardan o'tuvchi chiziq tenglamasi:

Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, mos keladigan pay nolga teng bo'lishi kerak.Tekislikda yuqorida yozilgan chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:

agar x 1 ≠ x 2 va x = x 1 bo'lsa, x 1 = x 2 bo'lsa.

= k kasr deyiladi qiyalik Streyt.

Misol. A(1, 2) va B(3, 4) nuqtalardan o`tuvchi chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Yuqorida yozilgan formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Nuqtadan va qiyalikdan to'g'ri chiziq tenglamasi

Agar umumiy Ax + Bu + C = 0 bo'lsa, quyidagi shaklga olib keling:

va belgilang , keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasik.

Nuqtadan to'g'ri chiziq va yo'nalish vektori tenglamasi

Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rib chiquvchi nuqtaga o'xshatib, siz nuqta orqali to'g'ri chiziqning ta'rifini va to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini kiritishingiz mumkin.

Ta'rif. Komponentlari A a 1 + B a 2 = 0 shartini qanoatlantiradigan har bir nolga teng bo'lmagan vektor (a 1, a 2) chiziqning yo'naltiruvchi vektori deyiladi.

Ax + Wu + C = 0.

Misol. Yo‘nalish vektori (1, -1) bo‘lgan va A(1, 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Biz kerakli chiziq tenglamasini quyidagi shaklda qidiramiz: Ax + By + C = 0. Ta'rifga muvofiq, koeffitsientlar shartlarni qondirishi kerak:

1 * A + (-1) * B = 0, ya'ni. A = B.

Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi shaklga ega: Ax + Ay + C = 0, yoki x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 uchun biz C/ A = -3 ni olamiz, ya'ni. zarur tenglama:

Segmentlardagi chiziq tenglamasi

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vu + S = 0 S≠0 bo'lsa, u holda -S ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz: yoki

Geometrik ma'no koeffitsientlar - bu koeffitsient A chiziqning Ox o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatasi va b– to‘g‘ri chiziqning Oy o‘qi bilan kesishgan nuqtasi koordinatasi.

Misol. x – y + 1 = 0 chiziqning umumiy tenglamasi berilgan.Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Oddiy chiziq tenglamasi

Agar Ax + By + C = 0 tenglamasining ikkala tomoni songa ko'paytirilsa qaysi deyiladi normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosph + ysinph - p = 0 –

chiziqning normal tenglamasi. Normallashtiruvchi omilning ± belgisi m * C bo'lishi uchun tanlanishi kerak< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Misol. 12x – 5y – 65 = 0 to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan. Siz yozishingiz kerak. Har xil turlar bu chiziqning tenglamalari.

Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'linadi)

; cos ph = 12/13; sin ph= -5/13; p = 5.

Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, o'qlarga parallel yoki koordinatalar boshidan o'tuvchi to'g'ri chiziqlar.

Misol. To'g'ri chiziq koordinata o'qlarida teng musbat segmentlarni kesib tashlaydi. Ushbu segmentlar hosil qilgan uchburchakning maydoni 8 sm 2 bo'lsa, to'g'ri chiziq uchun tenglama yozing.

Yechim. To'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Misol. A(-2, -3) nuqtadan va koordinatadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.

Yechim. To'g'ri chiziq tenglamasi: , bu erda x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak

Ta'rif. Agar ikkita chiziq y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 berilgan bo'lsa, u holda bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak quyidagicha aniqlanadi.

.

Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar k 1 = k 2 bo'lsa. Ikki chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar k 1 = -1/ k 2 bo'lsa.

Teorema. A 1 = lA, B 1 = lB koeffitsientlari proportsional bo'lganda Ax + B + C = 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 chiziqlar parallel bo'ladi. Agar C 1 = lC ham bo'lsa, u holda chiziqlar mos keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari bu chiziqlar tenglamalari tizimining yechimi sifatida topiladi.

Berilgan chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

Ta'rif. M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o'tuvchi va y = kx + b to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq tenglama bilan ifodalanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Teorema. Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + B + C = 0 chiziqqa masofa quyidagicha aniqlanadi.

.

Isbot. M nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo‘lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:

(1)

x 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar tizimini yechish orqali topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan chiziqqa perpendikulyar M 0 nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasidir. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgph = ; ph= p /4.

Misol. 3x – 5y + 7 = 0 va 10x + 6y – 3 = 0 chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko‘rsating.

Yechim. Biz topamiz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, shuning uchun chiziqlar perpendikulyar.

Misol. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) uchburchakning uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.

Yechim. AB tomonining tenglamasini topamiz: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Kerakli balandlik tenglamasi quyidagi shaklga ega: Ax + By + C = 0 yoki y = kx + b. k =. Keyin y =. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, keyin uning koordinatalari ushbu tenglikni qanoatlantiradi: bu yerdan b = 17. Jami: .

Javob: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ushbu maqola tekislikdagi chiziq tenglamasi mavzusini davom ettiradi: biz ushbu turdagi tenglamani chiziqning umumiy tenglamasi sifatida ko'rib chiqamiz. Teoremani aniqlab, uning isbotini keltiramiz; Keling, chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasi nima ekanligini va umumiy tenglamadan chiziqning boshqa turdagi tenglamalariga qanday o'tishni aniqlaymiz. Biz butun nazariyani illyustratsiyalar va amaliy masalalarning yechimlari bilan mustahkamlaymiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tekislikda O x y to'rtburchak koordinatalar sistemasi ko'rsatilsin.

Teorema 1

A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega bo'lgan birinchi darajali har qanday tenglama, bu erda A, B, C ba'zi bir haqiqiy sonlar (A va B bir vaqtning o'zida nolga teng emas) to'g'ri chiziqni aniqlaydi. tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. O'z navbatida, tekislikdagi to'rtburchaklar koordinata tizimidagi har qanday to'g'ri chiziq A, B, C qiymatlarining ma'lum bir to'plami uchun A x + B y + C = 0 ko'rinishga ega bo'lgan tenglama bilan aniqlanadi.

Isbot

Bu teorema ikkita nuqtadan iborat, biz ularning har birini isbotlaymiz.

1. A x + B y + C = 0 tenglama tekislikdagi to'g'ri chiziqni aniqlashini isbotlaylik.

Koordinatalari A x + B y + C = 0 tenglamasiga mos keladigan qandaydir M 0 (x 0 , y 0) nuqta bo'lsin. Shunday qilib: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 tenglamalarining chap va o'ng tomonlaridan A x 0 + B y 0 + C = 0 tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ayirsak, A (x) ga o'xshash yangi tenglamaga ega bo'lamiz. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . U A x + B y + C = 0 ga teng.

Natijada A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama zarur va etarli shart vektorlarning perpendikulyarligi n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Shunday qilib, M (x, y) nuqtalar to'plami n → = (A, B) vektor yo'nalishiga perpendikulyar to'rtburchaklar koordinata tizimidagi to'g'ri chiziqni belgilaydi. Bu shunday emas deb taxmin qilishimiz mumkin, lekin u holda n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorlari perpendikulyar bo'lmaydi va tenglik A (x -) x 0 ) + B (y - y 0) = 0 to'g'ri bo'lmaydi.

Binobarin, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi ma'lum bir chiziqni aniqlaydi va shuning uchun A x + B y + C = 0 ekvivalent tenglamasi bir xil qator. Teoremaning birinchi qismini shunday isbotladik.

1. Tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi darajali A x + B y + C = 0 tenglamasi bilan aniqlanishi mumkinligini isbotlaylik.

Tekislikdagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida a to'g'ri chiziqni aniqlaymiz; bu chiziq o'tadigan M 0 (x 0, y 0) nuqtasi, shuningdek, bu chiziqning normal vektori n → = (A, B) .

M (x, y) nuqta ham bo'lsin - chiziqdagi suzuvchi nuqta. Bunda n → = (A, B) va M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektorlari bir-biriga perpendikulyar bo'lib, ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 tenglamani qayta yozamiz, C ni aniqlaymiz: C = - A x 0 - B y 0 va yakuniy natijada A x + B y + C = tenglamani olamiz. 0.

Shunday qilib, biz teoremaning ikkinchi qismini isbotladik va biz butun teoremani bir butun sifatida isbotladik.

Ta'rif 1

Shaklning tenglamasi A x + B y + C = 0 - Bu chiziqning umumiy tenglamasi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdaOksi.

Tasdiqlangan teoremaga asoslanib, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkinki, to'g'ri chiziq va uning qo'zg'almas to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikda aniqlangan umumiy tenglamasi uzviy bog'liqdir. Boshqacha qilib aytganda, asl chiziq uning umumiy tenglamasiga mos keladi; chiziqning umumiy tenglamasi berilgan chiziqqa mos keladi.

Teoremani isbotlashdan x va y o'zgaruvchilar uchun A va B koeffitsientlari chiziqning normal vektorining koordinatalari ekanligi ham kelib chiqadi, bu A x + B y + C chiziqning umumiy tenglamasi bilan beriladi. 0.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasining aniq misolini ko'rib chiqamiz.

Berilgan to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi to'g'ri chiziqqa mos keladigan 2 x + 3 y - 2 = 0 tenglama berilsin. Bu chiziqning normal vektori vektor hisoblanadi n → = (2, 3) . Chizmada berilgan to'g'ri chiziqni chizamiz.

Quyidagilarni ham aytishimiz mumkin: biz chizmada ko'rgan to'g'ri chiziq 2 x + 3 y - 2 = 0 umumiy tenglama bilan aniqlanadi, chunki berilgan to'g'ri chiziqdagi barcha nuqtalarning koordinatalari ushbu tenglamaga mos keladi.

l · A x + l · B y + l · C = 0 tenglamani chiziqning umumiy tenglamasining ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan l soniga ko'paytirish orqali olishimiz mumkin. Olingan tenglama asl umumiy tenglamaga teng, shuning uchun u tekislikda bir xil to'g'ri chiziqni tasvirlaydi.

Ta'rif 2

Chiziqning to'liq umumiy tenglamasi– A x + B y + C = 0 to'g'ri chiziqning shunday umumiy tenglamasi, unda A, B, C raqamlari noldan farq qiladi. Aks holda, tenglama bo'ladi to'liqsiz.

Keling, chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamasining barcha o'zgarishlarini tahlil qilaylik.

1. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 bo'lganda, umumiy tenglama B y + C = 0 ko'rinishini oladi. Bunday to'liq bo'lmagan umumiy tenglama O x y to'rtburchaklar koordinatalar tizimida O x o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni aniqlaydi, chunki x ning har qanday haqiqiy qiymati uchun y o'zgaruvchisi qiymatni oladi. - C B. Boshqacha qilib aytganda, A x + B y + C = 0 chiziqning umumiy tenglamasi, A = 0, B ≠ 0 bo'lganda, koordinatalari bir xil songa teng bo'lgan (x, y) nuqtalarning joylashishini aniqlaydi. - C B.
2. Agar A = 0, B ≠ 0, C = 0 bo'lsa, umumiy tenglama y = 0 ko'rinishini oladi. Bu to'liq bo'lmagan tenglama abscissa o'qini aniqlaydi O x .
3. A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 bo'lganda, biz ordinataga parallel to'g'ri chiziqni aniqlaydigan to'liq bo'lmagan A x + C = 0 umumiy tenglamani olamiz.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 bo'lsin, u holda to'liq bo'lmagan umumiy tenglama x = 0 ko'rinishini oladi va bu O y koordinata chizig'ining tenglamasi.
5. Nihoyat, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 uchun to‘liq bo‘lmagan umumiy tenglama A x + B y = 0 ko‘rinishini oladi. Va bu tenglama koordinata boshidan o'tadigan to'g'ri chiziqni tasvirlaydi. Aslida, (0, 0) sonlar juftligi A x + B y = 0 tengligiga mos keladi, chunki A · 0 + B · 0 = 0.

To'g'ri chiziqning to'liq bo'lmagan umumiy tenglamalarining yuqoridagi barcha turlarini grafik tarzda tasvirlaylik.

1-misol

Ma'lumki, berilgan to'g'ri chiziq ordinata o'qiga parallel bo'lib, 2 7, - 11 nuqtadan o'tadi. Berilgan chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.

Yechim

Ordinata o'qiga parallel to'g'ri chiziq A x + C = 0 ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan, bunda A ≠ 0. Shart shuningdek, chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalarini belgilaydi va bu nuqtaning koordinatalari to'liq bo'lmagan umumiy tenglama A x + C = 0 shartlariga javob beradi, ya'ni. tenglik to'g'ri:

A 2 7 + C = 0

Undan A ga qandaydir nolga teng bo'lmagan qiymat bersak, C ni aniqlash mumkin, masalan, A = 7. Bu holda biz quyidagilarni olamiz: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Biz A va C koeffitsientlarini bilamiz, ularni A x + C = 0 tenglamasiga almashtiramiz va kerakli to'g'ri chiziq tenglamasini olamiz: 7 x - 2 = 0

Javob: 7 x - 2 = 0

2-misol

Chizma to'g'ri chiziqni ko'rsatadi, siz uning tenglamasini yozishingiz kerak.

Yechim

Berilgan chizma muammoni hal qilish uchun dastlabki ma'lumotlarni osongina olish imkonini beradi. Chizmada berilgan to’g’ri chiziq O x o’qiga parallel va (0, 3) nuqtadan o’tishini ko’ramiz.

Abtsissaga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq to'liq bo'lmagan umumiy tenglama B y + C = 0 bilan aniqlanadi. B va C qiymatlarini topamiz. (0, 3) nuqtaning koordinatalari, chunki berilgan chiziq undan o'tganligi sababli, B y + C = 0 chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, u holda tenglik o'rinli bo'ladi: B · 3 + C = 0. Keling, B ga noldan boshqa qiymatni o'rnatamiz. B = 1 deylik, u holda B · 3 + C = 0 tengligidan C: C = - 3 ni topish mumkin. Biz foydalanamiz ma'lum qiymatlar B va C, biz to'g'ri chiziqning kerakli tenglamasini olamiz: y - 3 = 0.

Javob: y - 3 = 0.

Tekislikning berilgan nuqtasidan o'tuvchi chiziqning umumiy tenglamasi

Berilgan chiziq M 0 (x 0 , y 0) nuqtadan o'tib ketsin, u holda uning koordinatalari chiziqning umumiy tenglamasiga mos keladi, ya'ni. tenglik to'g'ri: A x 0 + B y 0 + C = 0. Ushbu tenglamaning chap va o'ng tomonlarini umumiyning chap va o'ng tomonlarini ayiraylik to'liq tenglama Streyt. Biz olamiz: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, bu tenglama asl umumiyga ekvivalent, M 0 (x 0, y 0) nuqtadan o'tadi va normalga ega. vektor n → = (A, B) .

Olingan natija to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozish imkonini beradi ma'lum koordinatalar chiziqning normal vektori va bu chiziqdagi ma'lum bir nuqtaning koordinatalari.

3-misol

Chiziq o'tadigan M 0 (- 3, 4) nuqta va bu chiziqning normal vektori berilgan. n → = (1 , - 2) . Berilgan chiziq tenglamasini yozish kerak.

Yechim

Dastlabki shartlar tenglamani tuzish uchun kerakli ma'lumotlarni olish imkonini beradi: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Keyin:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Muammoni boshqacha hal qilish mumkin edi. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi A x + B y + C = 0. Berilgan normal vektor A va B koeffitsientlarining qiymatlarini olishga imkon beradi, keyin:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Endi to'g'ri chiziq o'tadigan masala sharti bilan belgilangan M 0 (- 3, 4) nuqtadan foydalanib, C ning qiymatini topamiz. Bu nuqtaning koordinatalari x - 2 · y + C = 0 tenglamasiga mos keladi, ya'ni. - 3 - 2 4 + C = 0. Demak, C = 11. Kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishni oladi: x - 2 · y + 11 = 0.

Javob: x - 2 y + 11 = 0.

4-misol

2 3 x - y - 1 2 = 0 chiziq va shu chiziqda yotgan M 0 nuqta berilgan. Bu nuqtaning faqat abtsissasi ma'lum va u - 3 ga teng. Berilgan nuqtaning ordinatasini aniqlash kerak.

Yechim

M 0 nuqtaning koordinatalarini x 0 va y 0 deb belgilaymiz. Manba ma'lumotlari x 0 = - 3 ekanligini ko'rsatadi. Nuqta berilgan chiziqqa tegishli bo'lganligi sababli, uning koordinatalari ushbu chiziqning umumiy tenglamasiga mos keladi. Keyin tenglik to'g'ri bo'ladi:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0 ni aniqlang: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Javob: - 5 2

Chiziqning umumiy tenglamasidan chiziq tenglamalarining boshqa turlariga o'tish va aksincha

Ma'lumki, tekislikda bir xil to'g'ri chiziq uchun bir necha turdagi tenglamalar mavjud. Tenglama turini tanlash masala shartlariga bog'liq; uni hal qilish uchun qulayroqni tanlash mumkin. Bu erda bir turdagi tenglamani boshqa turdagi tenglamaga aylantirish mahorati juda foydali.

Avval A x + B y + C = 0 ko'rinishdagi umumiy tenglamadan x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik tenglamaga o'tishni ko'rib chiqamiz.

Agar A ≠ 0 bo'lsa, B y atamasini ga o'tkazamiz o'ng tomon umumiy tenglama. Chap tomonda qavs ichidan A ni chiqaramiz. Natijada quyidagilarga erishamiz: A x + C A = - B y.

Bu tenglikni nisbat sifatida yozish mumkin: x + C A - B = y A.

Agar B ≠ 0 bo'lsa, umumiy tenglamaning chap tomonida faqat A x atamasini qoldiramiz, qolganlarini o'ng tomonga o'tkazamiz, biz quyidagilarni olamiz: A x = - B y - C. Qavs ichidan – B ni olamiz, keyin: A x = - B y + C B .

Tenglikni proporsiya shaklida qayta yozamiz: x - B = y + C B A.

Albatta, hosil bo'lgan formulalarni yodlashning hojati yo'q. Umumiy tenglamadan kanonik tenglamaga o'tishda harakatlar algoritmini bilish kifoya.

5-misol

3 y - 4 = 0 chiziqning umumiy tenglamasi berilgan. Uni kanonik tenglamaga aylantirish kerak.

Yechim

Keling, yozamiz asl tenglama 3 y - 4 = 0 kabi. Keyinchalik, biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz: 0 x atamasi chap tomonda qoladi; va o'ng tomonda biz qavslardan 3 tasini qo'yamiz; olamiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Olingan tenglikni proporsiya sifatida yozamiz: x - 3 = y - 4 3 0 . Shunday qilib, biz kanonik shakldagi tenglamani oldik.

Javob: x - 3 = y - 4 3 0.

Chiziqning umumiy tenglamasini parametrik tenglamaga aylantirish uchun avval kanonik shaklga, so'ngra tenglamadan o'tishni amalga oshiring. kanonik tenglama parametrik tenglamalarga to'g'ri chiziq.

6-misol

To'g'ri chiziq 2 x - 5 y - 1 = 0 tenglama bilan berilgan. Ushbu chiziq uchun parametrik tenglamalarni yozing.

Yechim

Keling, umumiy tenglamadan kanonik tenglamaga o'tamiz:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Endi kanonik tenglamaning ikkala tomonini l ga teng olamiz, keyin:

x 5 = l y + 1 5 2 = l ⇔ x = 5 l y = - 1 5 + 2 l , l ∈ R

Javob:x = 5 l y = - 1 5 + 2 l , l ∈ R

Umumiy tenglamani qiyaligi y = k · x + b bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasiga aylantirish mumkin, lekin faqat B ≠ 0 bo‘lganda. O'tish uchun biz B y atamasini chap tomonda qoldiramiz, qolganlari o'ngga o'tkaziladi. Biz olamiz: B y = - A x - C . Hosil bo'lgan tenglikning ikkala tomonini noldan farqli bo'lgan B ga ajratamiz: y = - A B x - C B.

7-misol

Chiziqning umumiy tenglamasi berilgan: 2 x + 7 y = 0. Siz bu tenglamani qiyalik tenglamasiga aylantirishingiz kerak.

Yechim

Keling, algoritmga muvofiq kerakli harakatlarni bajaramiz:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Javob: y = - 2 7 x.

Chiziqning umumiy tenglamasidan x a + y b = 1 ko'rinishdagi segmentlarda oddiygina tenglamani olish kifoya. Bunday o'tishni amalga oshirish uchun biz C raqamini tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz, hosil bo'lgan tenglikning ikkala tomonini - C ga bo'lamiz va nihoyat, x va y o'zgaruvchilari uchun koeffitsientlarni maxrajlarga o'tkazamiz:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

8-misol

X - 7 y + 1 2 = 0 chiziqning umumiy tenglamasini segmentlardagi chiziq tenglamasiga aylantirish kerak.

Yechim

1 2 ni o'ng tomonga o'tkazamiz: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Tenglikning ikkala tomonini -1/2 ga bo'laylik: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Javob: x - 1 2 + y 1 14 = 1.

Umuman olganda, teskari o'tish ham oson: boshqa turdagi tenglamalardan umumiy tenglamaga.

Segmentlardagi chiziq tenglamasi va burchak koeffitsientli tenglamani tenglikning chap tomonidagi barcha shartlarni yig'ish orqali osongina umumiyga aylantirish mumkin:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonik tenglama quyidagi sxema bo'yicha umumiy tenglamaga aylantiriladi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametriklardan o'tish uchun avval kanonikga, keyin esa umumiyga o'ting:

x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

9-misol

x = - 1 + 2 · l y = 4 chiziqning parametrik tenglamalari berilgan. Bu chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak.

Yechim

Parametrik tenglamalardan kanonik tenglamalarga o'tamiz:

x = - 1 + 2 · l y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · l y = 4 + 0 · l ⇔ l = x + 1 2 l = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Keling, kanonikdan umumiyga o'tamiz:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Javob: y - 4 = 0

10-misol

x 3 + y 1 2 = 1 segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan. Tenglamaning umumiy shakliga o'tish kerak.

Yechim:

Biz shunchaki tenglamani kerakli shaklda qayta yozamiz:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Javob: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Chiziqning umumiy tenglamasini tuzish

Yuqorida umumiy tenglamani normal vektorning ma'lum koordinatalari va chiziq o'tadigan nuqtaning koordinatalari bilan yozish mumkinligini aytdik. Bunday to'g'ri chiziq A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 tenglama bilan aniqlanadi. U erda biz tegishli misolni ham tahlil qildik.

Endi murakkabroq misollarni ko'rib chiqamiz, ularda birinchi navbatda normal vektorning koordinatalarini aniqlashimiz kerak.

11-misol

2 x - 3 y + 3 3 = 0 chiziqqa parallel chiziq berilgan. Berilgan chiziq o'tadigan M 0 (4, 1) nuqta ham ma'lum. Berilgan chiziq tenglamasini yozish kerak.

Yechim

Dastlabki shartlar bizga chiziqlar parallel ekanligini aytadi, keyin tenglamasi yozilishi kerak bo'lgan chiziqning normal vektori sifatida biz n → = (2, - 3) chiziqning yo'nalish vektorini olamiz: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Endi biz chiziqning umumiy tenglamasini yaratish uchun barcha kerakli ma'lumotlarni bilamiz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Javob: 2 x - 3 y - 5 = 0.

12-misol

Berilgan chiziq x - 2 3 = y + 4 5 chiziqqa perpendikulyar koordinatalar koordinatalaridan o'tadi. Berilgan chiziq uchun umumiy tenglamani yaratish kerak.

Yechim

Berilgan chiziqning normal vektori x - 2 3 = y + 4 5 chiziqning yo'nalish vektori bo'ladi.

Keyin n → = (3, 5) . To'g'ri chiziq boshlang'ichdan o'tadi, ya'ni. O nuqtasi orqali (0, 0). Berilgan chiziq uchun umumiy tenglama tuzamiz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Javob: 3 x + 5 y = 0.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing