Diplom

Tadqiqot ko'nikmalarini umumiy va xususiyga bo'lish mumkin. Shakllanishi va rivojlanishi parametrlar bilan bog'liq masalalarni echish jarayonida yuzaga keladigan umumiy tadqiqot ko'nikmalariga quyidagilar kiradi: berilgan tenglama orqasida parametrlar soni va turining umumiy mavjudligi bilan tavsiflangan turli xil sinf tenglamalarini ko'rish qobiliyati. ildizlar; analitik va grafik-analitik usullardan foydalanish qobiliyati....

Parametrli tenglamalar va tengsizliklar 7-9-sinf o‘quvchilarining tadqiqotchilik ko‘nikmalarini rivojlantirish vositasi sifatida. (insho, kurs ishi, diplom, test)

Diplom ishi

Pmavzu haqida: Parametrli tenglamalar va tengsizliklar tadqiqotni shakllantirish vositasi sifatida 7-9-sinf o'quvchilarining ko'nikmalari

Ijodiy fikrlash qobiliyatlarini muammoli vaziyatlardan tashqarida rivojlantirish mumkin emas, shuning uchun o'rganishda nostandart vazifalar alohida ahamiyatga ega. Bularga parametr o'z ichiga olgan vazifalar ham kiradi. Bu masalalarning matematik mazmuni dastur doirasidan tashqariga chiqmaydi, biroq ularni yechish, qoida tariqasida, talabalarga qiyinchilik tug`diradi.

60-yillarda maktab matematika taʼlimi islohotiga qadar maktab oʻquv dasturi va darsliklarida chiziqli va kvadrat tenglamalarni oʻrganish, chiziqli tenglamalar tizimini oʻrganish kabi maxsus boʻlimlar mavjud edi. Bu erda vazifa har qanday shart yoki parametrlarga qarab tenglamalar, tengsizliklar va tizimlarni o'rganish edi.

Hozirda dasturda tenglamalar yoki tengsizliklardagi tadqiqotlar yoki parametrlarga aniq havolalar mavjud emas. Ammo ular aniq matematikaning samarali vositalaridan biri bo'lib, dastur tomonidan belgilangan intellektual shaxsni shakllantirish muammosini hal qilishga yordam beradi. Ushbu qarama-qarshilikni bartaraf etish uchun "Parametrli tenglamalar va tengsizliklar" mavzusida tanlov kursini yaratish zarurati tug'ildi. Aynan shu narsa ushbu ishning dolzarbligini belgilaydi.

Parametrli tenglamalar va tengsizliklar haqiqiy tadqiqot ishlari uchun ajoyib materialdir, lekin maktab o'quv dasturida parametrlar bilan bog'liq masalalar alohida mavzu sifatida kiritilmagan.

Maktab matematika kursidagi ko'pgina masalalarni yechish maktab o'quvchilarida amaldagi dasturlarga muvofiq qoidalar va harakatlar algoritmlarini o'zlashtirish, fundamental tadqiqotlar olib borish qobiliyati kabi fazilatlarni shakllantirishga qaratilgan.

Fanda tadqiqot deganda ob'ektning paydo bo'lishi, rivojlanishi va o'zgarishi qonuniyatlarini aniqlash maqsadida o'rganish tushuniladi. Tadqiqot jarayonida to'plangan tajriba, mavjud bilimlar, shuningdek, ob'ektlarni o'rganish usullari va usullari qo'llaniladi. Tadqiqot natijasi yangi bilimlarni o'zlashtirish bo'lishi kerak. O'quv tadqiqoti jarayonida o'quvchining matematik ob'ektlarni o'rganishda to'plagan bilim va tajribasi sintezlanadi.

Parametrik tenglamalar va tengsizliklarga qo'llanganda quyidagi tadqiqot qobiliyatlarini ajratib ko'rsatish mumkin:

1) Berilgan parametrik tenglamaning ma'lum bir tenglamalar sinfiga tegishli bo'lish shartlarini parametr orqali ifodalash qobiliyati;

2) tenglamaning turini aniqlash va parametrlarga qarab koeffitsientlar turini ko'rsatish qobiliyati;

3) Parametrlar orqali ifodalay olish, parametrik tenglama yechimlari mavjudligi shartlari;

4) Ildizlar (eritmalar) mavjud bo'lganda, ma'lum miqdordagi ildizlar (eritmalar) mavjudligi shartlarini ifodalay olish;

5) Parametrlar orqali parametrik tenglamalar (tengsizliklar yechimlari) ildizlarini ifodalay olish.

Parametrli tenglamalar va tengsizliklarning rivojlanish xarakteri ularning o'quvchilarning aqliy faoliyatining ko'p turlarini amalga oshirish qobiliyati bilan belgilanadi:

Muayyan fikrlash algoritmlarini ishlab chiqish, Ildizlarning mavjudligi va sonini aniqlash qobiliyati (tenglamada, tizimda);

Buning natijasi bo'lgan tenglamalar turkumlarini yechish;

Bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash;

Tenglamani aniqlash sohasini topish;

Yechishda katta hajmdagi formulalarni takrorlash;

Tegishli yechim usullarini bilish;

Og'zaki va grafik dalillardan keng foydalanish;

Talabalarning grafik madaniyatini rivojlantirish;

Yuqorida aytilganlarning barchasi maktab matematika kursida parametrli tenglamalar va tengsizliklarni o'rganish zarurligi haqida gapirishga imkon beradi.

Hozirgi vaqtda parametrlar bilan bog'liq muammolar sinfi hali aniq uslubiy jihatdan ishlab chiqilmagan. “Kvadrat tenglamalar va parametrli tengsizliklar” tanlov kursi mavzusini tanlashning dolzarbligi maktab matematika kursidagi “Kvadrat uch a’zo va uning xossalari” mavzusining ahamiyati va shu bilan birga, “Kvadrat tenglamalar va parametrli tengsizliklar” mavzusining muhimligi bilan belgilanadi. parametrni o'z ichiga olgan kvadrat uch a'zoni o'rganish bilan bog'liq muammolarni ko'rib chiqish vaqti.

Biz o'z ishimizda parametrli masalalar o'rganilayotgan asosiy materialga qiyin qo'shimcha bo'lmasligi kerakligini ko'rsatmoqchimiz, uni faqat qobiliyatli bolalar o'zlashtira oladi, lekin umumta'lim maktabida qo'llanilishi va qo'llanilishi kerak, bu esa ta'limni yangi usullar bilan boyitadi. va g'oyalar va o'quvchilarning fikrlashlarini rivojlantirishga yordam beradi.

Ishning maqsadi 7–9-sinflar uchun algebra kursida parametrli tenglama va tengsizliklarning o‘rnini o‘rganish, “Kvadrat tenglamalar va parametrli tengsizliklar” tanlov kursini ishlab chiqish va uni amalga oshirish bo‘yicha uslubiy tavsiyalar ishlab chiqishdan iborat.

Tadqiqot ob'ekti - umumta'lim maktabining 7-9-sinflarida matematikani o'qitish jarayoni.

Tadqiqot predmeti umumta’lim maktabida parametrli tenglamalar va tengsizliklarni yechish mazmuni, shakllari, usullari va vositalari, “Kvadrat tenglamalar va parametrli tengsizliklar” tanlov kursini ishlab chiqishni ta’minlash.

Tadqiqot farazi shundan iboratki, ushbu tanlov kursi matematikaning “Parametrli tenglamalar va tengsizliklar” bo‘limining mazmunini yanada chuqurroq o‘rganishga yordam beradi, matematika fanidan maktab bitiruvchilari va oliy o‘quv yurtlariga abituriyentlarni tayyorlashga qo‘yiladigan talablardagi nomuvofiqliklarni bartaraf etadi va Talabalarning aqliy faoliyatini rivojlantirish imkoniyatlarini kengaytirish, agar uni o'rganish jarayonida quyidagilar qo'llanilsa:

· maktab o'quvchilarining o'quv adabiyotlari bilan ishlashidan foydalangan holda parametrli kvadrat tenglamalar va tengsizliklarni echishning grafik usullarini ko'rib chiqish;

· o'quvchilarning o'zini o'zi boshqarishi va o'zaro nazoratidan foydalangan holda, parametrni o'z ichiga olgan kvadrat uch a'zoni o'rganish bo'yicha masalalarni yechish;

· “Kvadrat uchburchak ildizlarining belgisi”, “Parabolaning abtsissa o‘qiga nisbatan joylashishi” mavzulari bo‘yicha materialni umumlashtirish jadvallari;

· o'quv natijalarini baholashning turli usullari va kumulyativ ball tizimidan foydalanish;

· kursning barcha mavzularini o'rganish, talabaga muammoni hal qilish yo'lini mustaqil ravishda topish imkoniyatini berish.

Tadqiqot maqsadi, ob'ekti, predmeti va gipotezasiga muvofiq quyidagi tadqiqot vazifalari qo'yiladi:

· 7–9-sinflarda parametrli tenglamalar va tengsizliklarni o‘rganishning umumiy qoidalarini ko‘rib chiqish;

· algebra fanidan “Kvadrat tenglamalar va parametrli tengsizliklar” tanlov kursini va uni amalga oshirish metodikasini ishlab chiqish.

Tadqiqot davomida quyidagi usullar qo'llanildi:

· adabiyotlarni tahlil qilish;

· elektiv kurslarni ishlab chiqish tajribasini tahlil qilish.

1-bob. Psixologik va pedagogik xususiyatlar o'qish Mavzular « Parametrli tenglamalar va tengsizliklar” 7−9 algebra kursida sinf

§ 1. Yoshga bog'liq, fiziologik va psixologik xususiyatlar7-9-sinf o'quvchilarining imtiyozlari

O'rta maktab yoshi (o'smirlik) butun organizmning tez o'sishi va rivojlanishi bilan tavsiflanadi. Tananing uzunligi bo'yicha intensiv o'sish kuzatiladi (o'g'il bolalarda yiliga 6-10 santimetrga, qizlarda esa 6-8 santimetrgacha o'sish kuzatiladi). Skeletning ossifikatsiyasi davom etadi, suyaklar elastiklik va qattiqlikka ega bo'ladi, mushaklar kuchayadi. Shu bilan birga, ichki organlarning rivojlanishi notekis sodir bo'ladi, qon tomirlarining o'sishi yurakning o'sishidan orqada qoladi, bu uning faoliyati ritmining buzilishiga va yurak urish tezligining oshishiga olib kelishi mumkin. O'pka apparati rivojlanadi, bu yoshda nafas tezlashadi. Miyaning hajmi kattalar odamining miyasiga yaqinlashadi. Miya yarim korteksining instinktlar va hissiyotlar ustidan nazorati yaxshilanadi. Biroq, qo'zg'alish jarayonlari hali ham inhibisyon jarayonlaridan ustundir. Assotsiativ tolalarning faolligi kuchayishi boshlanadi.

Bu yoshda balog'at yoshi sodir bo'ladi. Ichki sekretsiya bezlarining, xususan, jinsiy bezlarning faoliyati kuchayadi. Ikkilamchi jinsiy belgilar paydo bo'ladi. O'smirning tanasida keskin o'zgarishlar tufayli ko'proq charchoq namoyon bo'ladi. O'smirning idroki kichik maktab o'quvchisinikiga qaraganda ko'proq yo'naltirilgan, uyushgan va rejalashtirilgan. O'smirning kuzatilayotgan ob'ektga munosabati hal qiluvchi ahamiyatga ega. Diqqat ixtiyoriy, tanlab olinadi. O'smir uzoq vaqt davomida qiziqarli materialga e'tibor qaratishi mumkin. Axborotni tushunish, tahlil qilish va tizimlashtirish bilan bevosita bog'liq bo'lgan tushunchalarni yodlash birinchi o'ringa chiqadi. O'smirlik davri tanqidiy fikrlash bilan ajralib turadi. Bu yoshdagi talabalar taqdim etilgan ma'lumotlarga nisbatan ko'proq talablar bilan ajralib turadi. Mavhum fikrlash qobiliyati yaxshilanadi. O'smirlarda his-tuyg'ularning ifodasi ko'pincha juda zo'ravondir. G'azab ayniqsa kuchli. Bu yosh o'jarlik, xudbinlik, o'ziga chekinish, his-tuyg'ularning jiddiyligi va boshqalar bilan ziddiyat bilan ajralib turadi. Ushbu namoyishlar o'qituvchilar va psixologlarga o'smirlik inqirozi haqida gapirishga imkon berdi. Shaxsning shakllanishi insondan boshqalar bilan aloqalarini, boshqa odamlar orasidagi o'rnini qayta ko'rib chiqishni talab qiladi. O'smirlik davrida shaxsning intensiv axloqiy va ijtimoiy shakllanishi sodir bo'ladi. Axloqiy ideallar va axloqiy e'tiqodlarni shakllantirish jarayoni davom etmoqda. Ular ko'pincha beqaror, qarama-qarshi xarakterga ega.

O'smirlarning kattalar bilan muloqoti kichik maktab o'quvchilarining muloqotidan sezilarli darajada farq qiladi. O'smirlar ko'pincha kattalarni erkin muloqot qilishning mumkin bo'lgan sheriklari deb hisoblamaydilar, ular kattalarni o'z hayotini tashkil qilish va qo'llab-quvvatlash manbai sifatida qabul qiladilar va kattalarning tashkiliy funktsiyasi o'smirlar tomonidan ko'pincha cheklovchi va tartibga soluvchi sifatida qabul qilinadi.

O'qituvchilarga beriladigan savollar soni kamayadi. Berilgan savollar, birinchi navbatda, o'smirlarning hayotiy faoliyatini tashkil etish va mazmuni bilan bog'liq bo'lib, ular kattalarning tegishli ma'lumotlari va ko'rsatmalarisiz qilolmaydilar. Axloqiy muammolar soni kamayadi. Oldingi yosh bilan solishtirganda, o'qituvchining ijtimoiy normalarning tashuvchisi va murakkab hayotiy muammolarni hal qilishda mumkin bo'lgan yordamchisi sifatidagi obro'si sezilarli darajada kamayadi.

§ 2. Ta'lim faoliyatining yosh xususiyatlari

O'qituvchilik - o'smirning asosiy faoliyati. O'smirning ta'lim faoliyati o'ziga xos qiyinchiliklar va qarama-qarshiliklarga ega, ammo o'qituvchi tayanishi mumkin bo'lgan va tayanishi kerak bo'lgan afzalliklar ham mavjud. O'smirning katta afzalligi - uning barcha turdagi ta'lim faoliyatiga tayyorligi, uni o'z ko'zida kattalar qiladi. U sinfda darslarni tashkil etishning mustaqil shakllari, murakkab o'quv materiallari va maktabdan tashqarida o'z bilim faoliyatini mustaqil ravishda qurish imkoniyati bilan o'ziga jalb qiladi. Biroq, o'smir bu tayyorgarlikni qanday amalga oshirishni bilmaydi, chunki u ta'lim faoliyatining yangi shakllarini qanday amalga oshirishni bilmaydi.

O'smir yangi o'quv mavzusiga hissiy munosabatda bo'ladi va ba'zilar uchun bu reaktsiya tezda yo'qoladi. Ko'pincha ularning o'qishga va maktabga bo'lgan umumiy qiziqishlari ham kamayadi. Psixologik tadqiqotlar shuni ko'rsatadiki, asosiy sabab o'quvchilarda o'quv ko'nikmalarining rivojlanmaganligidadir, bu esa hozirgi yoshdagi ehtiyojni - o'zini o'zi tasdiqlashga bo'lgan ehtiyojni qondirishga imkon bermaydi.

Ta'lim samaradorligini oshirish usullaridan biri o'quv motivlarini maqsadli shakllantirishdir. Bu yoshning ustuvor ehtiyojlarini qondirish bilan bevosita bog'liq. Bu ehtiyojlardan biri kognitivdir. Qachonki, u qanoatlansa, u o'quv fanlariga ijobiy munosabatini belgilaydigan barqaror kognitiv qiziqishlarni rivojlantiradi. O'z bilimlarini kengaytirish, boyitish, o'rganilayotgan hodisalarning mohiyatiga kirib borish, sabab-oqibat munosabatlarini o'rnatish imkoniyati o'smirlarni juda qiziqtiradi. Ular tadqiqot faoliyatidan katta hissiy qoniqishni his qilishadi. Kognitiv ehtiyojlar va kognitiv qiziqishlarni qondirmaslik nafaqat zerikish va befarqlik holatini, balki ba'zida "qiziq bo'lmagan mavzularga" keskin salbiy munosabatni keltirib chiqaradi. Bunda bilimlarni egallashning mazmuni ham, jarayoni, usullari va usullari ham birdek muhim ahamiyatga ega.

O'smirlarning qiziqishlari ularning kognitiv faolligi yo'nalishi bo'yicha farqlanadi. Ba'zi talabalar tavsiflovchi materialni afzal ko'radilar, ularni individual faktlar o'ziga jalb qiladi, boshqalari o'rganilayotgan hodisalarning mohiyatini tushunishga, nazariy nuqtai nazardan tushuntirishga intiladi, boshqalari amaliy faoliyatda bilimdan foydalanishda faolroq, boshqalari - ijodiy , tadqiqot faoliyati. 15]

Kognitiv qiziqishlar bilan bir qatorda, o'smirlarning o'qishga ijobiy munosabati uchun bilimning ahamiyatini tushunish muhimdir. Ular uchun bilimning hayotiy ahamiyatini va birinchi navbatda, shaxsiy rivojlanish uchun ahamiyatini anglash va tushunish juda muhimdir. O'smirga ko'plab ta'lim fanlari yoqadi, chunki ular har tomonlama rivojlangan shaxs sifatida uning ehtiyojlarini qondiradi. E'tiqod va qiziqishlar birlashib, o'smirlarda hissiy ohangni oshiradi va ularning o'qishga faol munosabatini belgilaydi.

Agar o'smir bilimning hayotiy ahamiyatini tushunmasa, unda salbiy e'tiqod va mavjud o'quv fanlariga salbiy munosabat paydo bo'lishi mumkin. O'smirlar o'rganishga salbiy munosabatda bo'lganida, ularning ma'lum bir o'quv fanlarini o'zlashtirishda muvaffaqiyatsizlikka uchraganligini bilish va tajribasi muhim ahamiyatga ega. Muvaffaqiyatsizlikdan qo'rqish, mag'lubiyatdan qo'rqish ba'zan o'smirlarni maktabga bormaslik yoki darsni tark etmaslik uchun asosli sabablarni izlashga olib keladi. O'smirning hissiy farovonligi ko'p jihatdan uning ta'lim faoliyatini kattalar tomonidan baholanishiga bog'liq. Ko'pincha o'smir uchun baholashning ma'nosi ta'lim jarayonida muvaffaqiyatga erishish va shu bilan o'z qobiliyatlari va imkoniyatlariga ishonchni qozonish istagi. Bu o'z-o'zini shaxs sifatida, kuchli va zaif tomonlarini anglash va baholash zarurati kabi yoshning ustuvor ehtiyoji bilan bog'liq. Tadqiqotlar shuni ko'rsatadiki, o'smirlik davrida o'z-o'zini hurmat qilish ustun rol o'ynaydi. O'smirning hissiy farovonligi uchun baholash va o'zini o'zi qadrlash bir-biriga mos kelishi juda muhimdir. Aks holda, ichki va ba'zan tashqi ziddiyat paydo bo'ladi.

O'rta sinflarda o'quvchilar fan asoslarini o'rganishga va o'zlashtirishga kirishadilar. Talabalar katta hajmdagi bilimlarni egallashlari kerak bo'ladi. O'zlashtiriladigan material, bir tomondan, avvalgidan ko'ra yuqori darajadagi o'quv, bilish va aqliy faoliyatni talab qilsa, ikkinchi tomondan, ularni rivojlantirishga qaratilgan. Talabalar ilmiy tushunchalar va atamalar tizimini o'zlashtirishlari kerak, shuning uchun yangi o'quv fanlari bilim olish usullariga yangi talablar qo'yadi va yuqori darajadagi intellektni - nazariy, rasmiy, reflektiv fikrlashni rivojlantirishga qaratilgan. Bunday fikrlash o'smirlik davriga xosdir, lekin u yosh o'smirlarda rivojlana boshlaydi.

O'smir tafakkurining rivojlanishidagi yangilik uning aqliy vazifalarni oldindan hal qilishni talab qiladigan intellektual vazifalarga bo'lgan munosabatidadir. Intellektual muammolarni hal qilishda gipotezalar bilan ishlash qobiliyati o'smirning voqelikni tahlil qilishdagi eng muhim yutug'idir. Konyektual tafakkur ilmiy fikrlashning o'ziga xos quroli bo'lib, shuning uchun uni reflektiv fikrlash deyiladi. Maktabda ilmiy tushunchalarni o‘zlashtirishning o‘z-o‘zidan maktab o‘quvchilarida nazariy tafakkurni shakllantirish uchun bir qator ob’ektiv shart-sharoitlar yaratsa-da, lekin u hammada ham shakllanmaydi: turli o‘quvchilarda uning haqiqiy shakllanish darajasi va sifati har xil bo‘lishi mumkin.

Nazariy tafakkurni nafaqat maktab bilimlarini egallash orqali shakllantirish mumkin. Nutq boshqariladigan va boshqariladigan bo'lib qoladi va ba'zi shaxsiy muhim vaziyatlarda o'smirlar ayniqsa chiroyli va to'g'ri gapirishga intilishadi. Ilmiy tushunchalarni o‘zlashtirish jarayonida va natijasida tafakkurning yangi mazmuni, intellektual faoliyatning yangi shakllari vujudga keladi. Nazariy bilimlarning etarli darajada o'zlashtirilmaganligining muhim ko'rsatkichi o'smirning ushbu bilimlardan foydalanishni talab qiladigan muammolarni hal qila olmasligidir.

Asosiy o'rinni materialning mazmuni, uning o'ziga xosligi va ichki mantiqiy tahlili egallay boshlaydi. Ba'zi o'smirlar o'rganish yo'llarini tanlashda moslashuvchanligi bilan ajralib turadi, boshqalari bitta usulni afzal ko'radi, ba'zilari esa har qanday materialni tartibga solish va mantiqiy qayta ishlashga harakat qiladi. O'smirlarda materialni mantiqiy qayta ishlash qobiliyati ko'pincha o'z-o'zidan rivojlanadi. Bunga nafaqat o'quv samaradorligi, bilimning chuqurligi va mustahkamligi, balki o'smirning aql-zakovati va qobiliyatini yanada rivojlantirish imkoniyati ham bog'liq.

§ 3. O'quv faoliyatini tashkil etish7-9-sinf o'quvchilarining xususiyatlari

O'smirlarning ta'lim faoliyatini tashkil etish eng muhim va murakkab vazifadir. O'rta maktab o'quvchisi o'qituvchi yoki ota-onaning dalillarini tushunishga va asosli dalillarga rozi bo'lishga qodir. Biroq, bu yoshdagi fikrlashning o'ziga xos xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, o'smir endi ma'lumotni tayyor, to'liq shaklda etkazish jarayonidan qoniqmaydi. U o'z hukmlarining to'g'riligiga ishonch hosil qilish uchun ularning ishonchliligini tekshirishni xohlaydi. O'qituvchilar, ota-onalar va do'stlar bilan tortishuvlar bu yoshdagi xarakterli xususiyatdir. Ularning muhim roli shundaki, ular sizga mavzu bo'yicha fikr almashish, o'z qarashlaringiz va umumiy qabul qilingan qarashlaringizning haqiqatini tekshirish va o'zingizni ifoda etish imkonini beradi. Xususan, o‘qitishda muammoli topshiriqlarni joriy etish katta samara beradi. O'qitishga bunday yondashuvning asoslari 20-asrning 60-70-yillarida mahalliy o'qituvchilar tomonidan ishlab chiqilgan. Muammoli yondashuvdagi barcha harakatlarning asosi aniq muammolarni hal qilish va qarama-qarshiliklarni hal qilish uchun bilim etishmasligidan xabardor bo'lishdir. Zamonaviy sharoitda bu yondashuv zamonaviy fan yutuqlari darajasi va talabalarni ijtimoiylashtirish vazifalari nuqtai nazaridan amalga oshirilishi kerak.

Mustaqil fikrlash, o'quvchining o'z nuqtai nazarini ifodalash, taqqoslash, umumiy va farqlovchi xususiyatlarni topish, asosiy narsani ajratib ko'rsatish, sabab-oqibat munosabatlarini o'rnatish va xulosa chiqarish qobiliyatini rag'batlantirish muhimdir.

O‘smir uchun uning tasavvurini uyg‘otadigan, o‘ylantiruvchi qiziqarli, maftunkor ma’lumotlar katta ahamiyatga ega bo‘ladi. Faoliyat turlarini vaqti-vaqti bilan o'zgartirish orqali yaxshi samaraga erishiladi - nafaqat darsda, balki uy vazifasini tayyorlashda ham. Turli xil mehnat turlari diqqatni oshirishning juda samarali vositasi va o'quv yuki bilan ham, balog'at yoshidagi tanani tubdan qayta qurish jarayoni bilan bog'liq bo'lgan umumiy jismoniy charchoqning oldini olishning muhim usuliga aylanishi mumkin. 20]

Maktab o'quv dasturining tegishli bo'limlarini o'rganishdan oldin, talabalar ko'pincha kundalik amaliyotda etarlicha yaxshi harakat qilish imkonini beradigan ma'lum kundalik g'oyalar va tushunchalarga ega. Bu holat, ularning e'tibori ular olgan bilimlarini amaliy hayot bilan bog'lashga alohida qaratilmagan hollarda, ko'plab talabalarni yangi bilimlarni egallash va o'zlashtirish zaruratidan mahrum qiladi, chunki ular uchun ikkinchisi amaliy ahamiyatga ega emas.

O'smirlarning axloqiy ideallari va axloqiy e'tiqodlari ko'plab omillar ta'sirida, xususan, ta'limning tarbiyaviy salohiyatini kuchaytirishda shakllanadi. Murakkab hayotiy muammolarni hal qilishda o'smirlarning ongiga ta'sir qilishning bilvosita usullariga ko'proq e'tibor qaratish lozim: tayyor axloqiy haqiqatni taqdim etmaslik, balki unga olib borish va o'smirlar dushmanlik bilan qabul qilishi mumkin bo'lgan qat'iy mulohazalarni bildirmaslik.

§ 4. Matematik ta'lim mazmuni va talabalarning tayyorgarlik darajasiga qo'yiladigan asosiy talablar tizimidagi o'quv tadqiqotlari

Parametrli tenglamalar va tengsizliklar haqiqiy tadqiqot ishlari uchun ajoyib materialdir. Ammo maktab o'quv dasturida parametrlar bilan bog'liq muammolar alohida mavzu sifatida kiritilmagan.

Keling, parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilishni o'rganish bilan bog'liq muammolarni aniqlash nuqtai nazaridan rus maktablarining ta'lim standartining turli bo'limlarini tahlil qilaylik.

Dastur materialini o‘rganish boshlang‘ich sinf o‘quvchilariga “chiziqli va kvadratik holatga keltirilishi mumkin bo‘lgan parametrlarga ega bo‘lgan masala haqida dastlabki tushunchaga ega bo‘lish” imkonini beradi va funksiyalar grafiklarini qanday qurishni va bu grafiklarning koordinata tekisligida joylashishini o‘rganishni o‘rganish imkonini beradi. formulaga kiritilgan parametrlarning qiymatlari.

“Funksiya” qatorida “parametr” so‘zi tilga olinmaydi, balki o‘quvchilar “funksiya haqidagi bilimlarni tashkil etish va rivojlantirish imkoniyatiga ega; grafik madaniyatni rivojlantiring, grafiklarni ravon “o‘qishni” o‘rganing, funktsiya xususiyatlarini grafikda aks ettiring”.

Algebra bo'yicha maktab darsliklarini Alimov Sh. va boshqalar, Makarychev Yu va boshqalar, Mordkovich A. G. va boshqalar tomonidan tahlil qilib, biz ushbu darsliklardagi parametrlar bilan bog'liq muammolar bor degan xulosaga keldik. kam e'tibor berilgan. 7-sinf darsliklarida chiziqli tenglamaning ildizlari soni masalasini o‘rganish, chiziqli funksiya grafigining joylashuviga bog‘liqligini o‘rganishga y = kh va y = kh + b qiymatlarga qarab bir nechta misollar keltirilgan. k. 8–9-sinflar uchun darsliklarning “Sinfdan tashqari ishlar uchun masalalar” yoki “Takrorlash mashqlari” kabi bo‘limlarida parametrli kvadrat va bikvadrat tenglamalarda ildizlarni o‘rganish, a. parametrlarning qiymatlariga qarab kvadratik funktsiya.

Chuqur o'qitiladigan maktablar va sinflar uchun matematika dasturida tushuntirish xatida "O'quvchilarning matematik tayyorgarligiga qo'yiladigan talablar" bo'limida maktab o'quvchilari egallashlari kerak bo'lgan bilim, ko'nikma va malakalarning taxminiy miqdori belgilanadi. Bu doiraga, albatta, umumta'lim maktabi dasturining talablarida barcha o'quvchilar tomonidan majburiy egallash nazarda tutilgan bilim, ko'nikma va ko'nikmalar kiradi; ammo ularning shakllanishining boshqacha, yuqori sifati taklif etiladi. Talabalar talab qilinadigan murakkablik darajasidan yuqoriroq murakkablikdagi masalalarni yechish ko‘nikmasiga ega bo‘lishi, o‘rgangan nazariy tamoyillarini to‘g‘ri va malakali shakllantirishi va masalalarni yechishda o‘z mulohazalarini bayon qilishi kerak...”.

Keling, matematikani chuqur o'rgangan talabalar uchun ba'zi darsliklarni tahlil qilaylik.

Bunday masalalarni shakllantirish va ularning yechimlari maktab dasturi doirasidan tashqariga chiqmaydi, balki o‘quvchilar duch keladigan qiyinchiliklar, birinchidan, parametrning mavjudligi, ikkinchidan, yechim va javoblarning tarmoqlanishi bilan izohlanadi. Biroq parametrli masalalarni yechish amaliyoti mustaqil mantiqiy fikrlash qobiliyatini rivojlantirish va mustahkamlash, matematik madaniyatni boyitish uchun foydalidir.

Maktabdagi umumiy ta'lim darslarida, qoida tariqasida, bunday vazifalarga ahamiyatsiz e'tibor beriladi. Parametrli tenglamalar va tengsizliklarni yechish, ehtimol, boshlang'ich matematika kursining eng qiyin bo'limi bo'lganligi sababli, bunday masalalarni parametrlar bilan yechishni maktab o'quvchilari massasiga o'rgatish qiyin, ammo qiziqish, moyillik va qobiliyatni ko'rsatadigan kuchli talabalar. mustaqil harakat qilishga intiladigan matematikani o'rgatadi. Bunday masalalarni yechish albatta zarur. Demak, maktab matematika kursining funksional, son, geometrik, tenglamalar chizig’i va bir xil o’zgartirishlar chizig’i kabi an’anaviy mazmun-uslubiy yo’nalishlari bilan bir qatorda parametrlar qatori ham ma’lum bir pozitsiyani egallashi kerak. Materialning mazmuni va "parametrlar bilan bog'liq muammolar" mavzusi bo'yicha talabalarga qo'yiladigan talablar, albatta, butun sinfning va har bir shaxsning matematik tayyorgarlik darajasi bilan belgilanishi kerak.

O'qituvchi fanga qiziqishi, moyilligi va qobiliyati bor maktab o'quvchilarining talab va talablarini qondirishga yordam berishi kerak. Talabalarni qiziqtirgan masalalar boʻyicha konsultatsiyalar, toʻgaraklar, qoʻshimcha mashgʻulotlar va fakultativ mashgʻulotlar tashkil etilishi mumkin. Bu parametrlar bilan bog'liq muammolar masalasiga to'liq taalluqlidir.

§ 5. Maktab o'quvchilarining kognitiv faoliyati tarkibida o'quv tadqiqotlari

Ayni paytda o‘qituvchi talablaridan tashqarida mustaqil faoliyat ko‘rsatishga intiladigan, o‘z qiziqishlari va faol izlanish doirasini o‘ziga taklif etilayotgan o‘quv materiali bilan cheklamaydigan, taqdim etishni va munozarali bo‘lishni biladigan talaba tayyorlash masalasi dolzarb masala. ko‘rib chiqilayotgan natijani ko‘rsatish yoki aksincha, umumlashtirish, sabab-natija munosabatlarini aniqlash va hokazolarni biladigan muayyan muammoni hal qilishda o‘z yechimini himoya qiladi.Bu borada maktabda matematik ijodkorlik psixologiyasi asoslarini tahlil qiluvchi tadqiqotlar -yoshdagi bolalar, o'quvchilarning aqliy faoliyati jarayonini boshqarish, bilimlarni mustaqil egallash, bilimlarni qo'llash, ularni to'ldirish va tizimlashtirish ko'nikmalarini shakllantirish va rivojlantirish muammosini ko'rib chiqish, maktab o'quvchilarining bilim faolligini oshirish muammosi (L.S. Vygotskiy, P. Ya Krutetskiy, N.A.Menchinskaya, S.L.Rubinshteyn, L.M.Fridman va boshqalar).

O'qitishning tadqiqot usuli ikkita tadqiqot usulini o'z ichiga oladi: o'quv va ilmiy.

Maktab matematika kursi masalalarining salmoqli qismini yechish o‘quvchilarda amaldagi dasturlarga muvofiq harakatlar qoidalari va algoritmlarini o‘zlashtirish, fundamental tadqiqotlarni o‘tkazish qobiliyati kabi fazilatlarni shakllantirishni nazarda tutadi. Fanda tadqiqot deganda ob'ektni uning paydo bo'lishi va o'zgarishining rivojlanish qonuniyatlarini aniqlash maqsadida o'rganish tushuniladi. Tadqiqot jarayonida oldingi to'plangan tajriba, mavjud bilimlar, shuningdek, ob'ektlarni o'rganish usullari va usullari (texnikasi) qo'llaniladi. Tadqiqot natijasi yangi ilmiy bilimlarni o'zlashtirish bo'lishi kerak.

Umumta’lim maktabida matematikani o‘qitish jarayoniga tatbiq etilganda quyidagilarni ta’kidlash zarur: o‘quv tadqiqotining asosiy tarkibiy qismlariga tadqiqot muammosini shakllantirish, uning maqsadlaridan xabardorlik, ko‘rib chiqilayotgan masala bo‘yicha mavjud ma’lumotlarni dastlabki tahlil qilish; tadqiqot muammosiga yaqin muammolarni hal qilish shartlari va usullari, dastlabki gipotezalarni taklif qilish va shakllantirish, tadqiqot davomida olingan natijalarni tahlil qilish va umumlashtirish, olingan faktlar asosida dastlabki gipotezani tekshirish, yangi natijalar, qonuniyatlar, xususiyatlarni yakuniy shakllantirish. , mavjud bilimlar tizimida qo'yilgan muammoning topilgan yechimining o'rnini aniqlash. O'quv tadqiqot ob'ektlari orasida asosiy o'rinni maktab matematika kursining tushunchalari va munosabatlari egallaydi, ularni o'rganish jarayonida ularning o'zgarishi va o'zgarishi qonuniyatlari, ularni amalga oshirish shartlari, o'ziga xosligi va boshqalar aniqlanadi.

Maqsadli kuzatish, taqqoslash, ilgari surish, gipotezani isbotlash yoki inkor etish, umumlashtirish qobiliyati va boshqalar kabi tadqiqot ko'nikmalarini shakllantirishda jiddiy potentsial geometriya kursida parametrlar bilan tenglamalar va tengsizliklarni qurish vazifalariga ega. Dinamik masalalar deb ataladigan algebra kursi, ularni echish jarayonida talabalar aqliy faoliyatning asosiy usullarini o'zlashtiradilar: tahlil, sintez (sintez orqali tahlil, tahlil orqali sintez), umumlashtirish, spetsifikatsiya va boshqalar, o'zgaruvchan ob'ektlarni maqsadli ravishda kuzatib boradi. , ko'rib chiqilayotgan ob'ektlarning xususiyatlariga oid gipotezani ilgari suradi va shakllantiradi, ilgari surilgan gipotezani tekshiradi, o'rganilgan natijaning ilgari olingan bilimlar tizimidagi o'rnini, uning amaliy ahamiyatini aniqlaydi. O'qituvchi tomonidan o'quv tadqiqotini tashkil etish hal qiluvchi ahamiyatga ega. Aqliy faoliyat usullarini o'rgatish, tadqiqot elementlarini amalga oshirish qobiliyati - bu maqsadlar doimo o'qituvchining e'tiborini tortadi, uni ko'rib chiqilayotgan muammoni hal qilish bilan bog'liq ko'plab uslubiy savollarga javob topishga undaydi.

Dasturning ko'plab masalalarini o'rganish muayyan muammoni ko'rib chiqish bilan bog'liq yanada yaxlit va to'liq tasvirni yaratish uchun ajoyib imkoniyatlarni beradi.

O'quv tadqiqoti jarayonida o'quvchining matematik ob'ektlarni o'rganishda to'plagan bilim va tajribasi sintezlanadi. Talabaning o'quv tadqiqotini tashkil etishda hal qiluvchi ahamiyatga ega bo'lib, uning e'tiborini jalb qilish (avval beixtiyor, keyin esa ixtiyoriy), kuzatish uchun sharoit yaratish: chuqur onglilikni, talabaning ishga, o'rganish ob'ektiga zarur munosabatini ta'minlash ("https:/" /sayt", 9).

Maktab matematikasini o'qitishda o'quv tadqiqotining bir-biri bilan chambarchas bog'liq bo'lgan ikkita darajasi mavjud: empirik va nazariy. Birinchisi, alohida faktlarni kuzatish, ularni tasniflash va ular o'rtasida tajriba bilan tasdiqlanadigan mantiqiy aloqani o'rnatish bilan tavsiflanadi. O'quv tadqiqotlarining nazariy darajasi shundan farq qiladiki, natijada talaba umumiy matematik qonunlarni shakllantiradi, ular asosida nafaqat yangi faktlar, balki empirik darajada olinganlar ham chuqurroq izohlanadi.

O'quv tadqiqotlarini o'tkazish talabadan faqat matematikaga xos bo'lgan aniq va umumiy usullardan foydalanishni talab qiladi; turli maktab fanlari predmetlari va hodisalarini o‘rganishda qo‘llaniladigan tahlil, sintez, induksiya, deduksiya va boshqalar.

O'qituvchi tomonidan o'quv tadqiqotini tashkil etish hal qiluvchi ahamiyatga ega. O'rta maktabda matematikani o'qitish jarayoniga tatbiq etishda quyidagilarni ta'kidlash kerak: o'quv tadqiqotining asosiy tarkibiy qismlari tadqiqot muammosini shakllantirish, uning maqsadlaridan xabardorlik, ko'rib chiqilayotgan masala bo'yicha mavjud ma'lumotlarni dastlabki tahlil qilish; tadqiqot muammosiga yaqin muammolarni hal qilish shartlari va usullari, dastlabki gipotezani taklif qilish va shakllantirish, tadqiqot davomida olingan natijalarni tahlil qilish va umumlashtirish, olingan faktlar asosida dastlabki gipotezani tekshirish, yangi natijalarni, qonuniyatlarni yakuniy shakllantirish; xossalari, mavjud bilimlar tizimida qo`yilgan muammoning topilgan yechimining o`rnini aniqlash. O'quv tadqiqot ob'ektlari orasida asosiy o'rinni maktab matematika kursining tushunchalari va munosabatlari egallaydi, ularni o'rganish jarayonida ularning o'zgarishi va o'zgarishi qonuniyatlari, ularni amalga oshirish shartlari, o'ziga xosligi va boshqalar aniqlanadi.

O'quv tadqiqotlari uchun mos material algebra kursida o'rganilgan funktsiyalarni o'rganish bilan bog'liq materialdir. Misol tariqasida chiziqli funktsiyani ko'rib chiqing.

Topshiriq: juft va toq uchun chiziqli funksiyani o‘rganing. Maslahat: Quyidagi holatlarni ko'rib chiqing:

2) a = 0 va b? 0;

3) a? 0 va b = 0;

4) a? 0 va b? 0.

Tadqiqot natijasida tegishli qator va ustunning kesishmasida olingan natijani ko'rsatib, jadvalni to'ldiring.

Yechim natijasida talabalar quyidagi jadvalni olishlari kerak:

	juft va toq
	g'alati	na juft, na toq

Uning simmetriyasi qoniqish hissi va to'ldirishning to'g'riligiga ishonchni uyg'otadi.

Aqliy faoliyat usullarini shakllantirish maktab o'quvchilarining har tomonlama rivojlanishida ham, ularga o'quv tadqiqotlarini (umuman yoki bo'laklarda) olib borish ko'nikmalarini singdirishda muhim rol o'ynaydi.

O'quv tadqiqotining natijasi ko'rib chiqilayotgan ob'ektning (munosabatlar) xususiyatlari va ularning amaliy qo'llanilishi to'g'risida sub'ektiv yangi bilimlardir. Bu xususiyatlar o'rta maktab matematika o'quv dasturiga kiritilishi yoki kiritilmasligi mumkin. Shuni ta'kidlash kerakki, talaba faoliyati natijasining yangiligi faoliyatni amalga oshirish yo'lini izlash tabiati, faoliyat usulining o'zi va olingan natijaning bilim tizimidagi o'rni bilan belgilanadi. o'sha talabaning.

Matematikani o'qitishning o'quv tadqiqotlari sxemasi to'liq yoki qismlarga bo'linib amalga oshirilishidan qat'i nazar, o'quv tadqiqotidan foydalangan holda o'qitish usuli tadqiqot deb ataladi.

O'quv tadqiqotlarining har bir bosqichini amalga oshirishda ijro etuvchi va ijodiy faoliyat elementlari majburiy ravishda mavjud bo'ladi. Bu talabaning ma'lum bir tadqiqotni mustaqil ravishda olib borishida eng aniq kuzatiladi. Shuningdek, ta'lim-tarbiyaviy tadqiqotlar jarayonida ba'zi bosqichlarni o'qituvchi, boshqalarni esa talabaning o'zi amalga oshirishi mumkin. Mustaqillik darajasi ko'plab omillarga, xususan, shakllanish darajasiga, muayyan ob'ektni (jarayonni) kuzatish qobiliyatiga, diqqatni bir xil mavzuga qarata olish qobiliyatiga, ba'zan esa ancha uzoq vaqtga bog'liq. muammoni ko'rish, aniq va aniq shakllantirish, mos (ba'zan kutilmagan) assotsiatsiyalarni topish va ulardan foydalanish qobiliyati, zarur ma'lumotlarni tanlash uchun mavjud bilimlarni diqqat bilan tahlil qilish qobiliyati va boshqalar.

Talabaning fantaziyasi, sezgi, ilhomi, qobiliyati (ehtimol, iste'dod yoki daho)ning ilmiy faoliyatining muvaffaqiyatiga ta'sirini ham ortiqcha baholab bo'lmaydi.

§ 6 . O'qitish metodikasi tizimidagi tadqiqotlar

O'qitish usullariga o'ndan ortiq fundamental tadqiqotlar bag'ishlangan bo'lib, ular o'qituvchi va umuman maktab ishining sezilarli muvaffaqiyatiga bog'liq. Va shunga qaramay, o'qitish nazariyasida ham, pedagogik amaliyotda ham o'qitish usullari muammosi juda dolzarb bo'lib qolmoqda. O'qitish usuli tushunchasi ancha murakkab. Bu ushbu toifa aks ettirish uchun mo'ljallangan jarayonning favqulodda murakkabligi bilan bog'liq. Ko'pgina mualliflar o'qitish usulini o'quvchilarning o'quv va kognitiv faoliyatini tashkil etish usuli deb hisoblashadi.

"Usul" so'zi yunoncha bo'lib, rus tiliga tarjima qilinganda tadqiqot, usul degan ma'noni anglatadi. "Usul - eng umumiy ma'noda - maqsadga erishish yo'li, faoliyatni tartibga solishning ma'lum bir usuli." Ko'rinib turibdiki, o'quv jarayonida metod o'qituvchi va talabalarning muayyan ta'lim maqsadlariga erishish uchun faoliyati o'rtasidagi bog'liqlik vazifasini bajaradi. Shu nuqtai nazardan qaraganda, har bir o‘qitish metodi uzviy ravishda o‘qituvchining o‘quv ishini (o‘rganilayotgan materialni taqdim etish, tushuntirish) hamda o‘quvchilarning faol o‘quv va bilish faoliyatini tashkil etishni o‘z ichiga oladi. Shunday qilib, o'qitish usuli tushunchasi quyidagilarni aks ettiradi:

1. O`qituvchining o`qitish mehnati metodikasi va o`quvchilarning tarbiyaviy ishlari metodikasi ularning o`zaro aloqadorligida.

2. Turli ta'lim maqsadlariga erishish uchun ularning ishining o'ziga xos xususiyatlari. Shunday qilib, o'qitish usullari - bu o'qituvchi va talabalarning o'quv muammolarini, ya'ni didaktik vazifalarni hal qilishga qaratilgan birgalikdagi faoliyati usullari.

Ya'ni, o'qitish usullari deganda o'qituvchining o'quv ishining usullari va o'rganilayotgan materialni o'zlashtirishga qaratilgan turli didaktik vazifalarni hal qilish uchun talabalarning o'quv va kognitiv faoliyatini tashkil etish tushunilishi kerak. Zamonaviy didaktikaning o'tkir muammolaridan biri o'qitish usullarini tasniflash muammosidir. Hozirda bu masala bo'yicha yagona nuqtai nazar yo'q. Turli mualliflar o‘qitish usullarini guruhlarga va kichik guruhlarga bo‘lishda turli mezonlarga asoslanishi sababli bir qancha tasniflar mavjud. Ammo 20-yillarda sovet pedagogikasida eski maktabda rivoj topgan sxolastik oʻqitish va mexanik erkalash usullariga qarshi kurash olib borildi va oʻquvchilarning bilimlarni ongli, faol va ijodiy egallashini taʼminlaydigan usullar izlandi. O'sha yillarda o'qituvchi B.V.Vyeviatskiy o'qitishda faqat ikkita usul bo'lishi mumkin, degan pozitsiyani ishlab chiqdi: tadqiqot usuli va tayyor bilim usuli. Tayyor bilim usuli, tabiiyki, tanqid qilindi. O‘quvchilarning o‘rganilayotgan hodisalarni kuzatish va tahlil qilish, mustaqil ravishda zarur xulosalar chiqarish asosida go‘yoki hamma narsani o‘rganishi zarurligidan iborat bo‘lgan tadqiqot usuli eng muhim ta’lim usuli sifatida e’tirof etildi. Sinfda bir xil tadqiqot metodi barcha mavzularda qo'llanilmasligi mumkin.

Shuningdek, bu metodning mohiyati shundan iboratki, o‘qituvchi muammoli masalani kichik muammolarga ajratadi, o‘quvchilar esa uning yechimini topish uchun individual qadamlarni bajaradilar. Har bir qadam ijodiy faoliyatni o'z ichiga oladi, ammo muammoning yaxlit yechimi hali mavjud emas. Tadqiqot davomida talabalar ilmiy bilish usullarini o'zlashtiradilar va tadqiqot faoliyatida tajriba hosil qiladilar. Ushbu metod yordamida o'qitilgan talabalarning faoliyati mustaqil ravishda muammo qo'yish, ularni hal qilish yo'llarini topish, tadqiqot vazifalari, o'qituvchilar tomonidan taqdim etilgan muammolarni qo'yish va ishlab chiqish usullarini o'zlashtirishdan iborat.

Shuni ham ta'kidlash mumkinki, psixologiya rivojlanish psixologiyasi bilan ba'zi naqshlarni o'rnatadi. Talabalar bilan metodlardan foydalangan holda ishlashni boshlashdan oldin, ularning rivojlanish psixologiyasini o'rganish usullarini yaxshilab o'rganish kerak. Ushbu usullar bilan tanishish bevosita ushbu jarayon tashkilotchilariga amaliy foyda keltirishi mumkin, chunki bu usullar nafaqat o'z ilmiy izlanishlari uchun, balki amaliy ta'lim maqsadlarida bolalarni chuqur o'rganishni tashkil qilish uchun ham mos keladi. Ta'lim va tarbiyaga individual yondashuv o'quvchilarning individual psixologik xususiyatlarini va ularning shaxsiyatining o'ziga xosligini yaxshi bilish va tushunishni nazarda tutadi. Binobarin, o'qituvchi o'quvchilarni o'rganish qobiliyatini egallashi, kulrang, bir hil o'quvchilar massasini emas, balki har bir kishi o'ziga xos, individual va noyob narsani ifodalaydigan jamoani ko'rishi kerak. Bunday o'rganish har bir o'qituvchining vazifasidir, lekin uni hali ham to'g'ri tashkil etish kerak.

Tashkilotning asosiy usullaridan biri kuzatish usulidir. Albatta, psixikani bevosita kuzatish mumkin emas. Bu usul inson psixikasining individual xususiyatlarini uning xulq-atvorini o'rganish orqali bilvosita bilishni o'z ichiga oladi. Ya'ni, bu erda o'quvchini individual xususiyatlari (harakati, qilmishi, nutqi, tashqi ko'rinishi va boshqalar), o'quvchining ruhiy holati (idrok, xotira, tafakkur, tasavvur va boshqalar) va boshqalarga qarab baho berish kerak. uning shaxsiy xususiyatlari, temperamenti, xarakteri. Bularning barchasi o'qituvchi ba'zi vazifalarni bajarishda o'qitishning tadqiqot usulidan foydalangan holda ishlaydigan talaba uchun zarurdir.

Maktab matematika kursi masalalarining salmoqli qismini yechish o‘quvchilarda amaldagi dasturlarga muvofiq harakat qoidalari va algoritmlarini o‘zlashtirish, fundamental tadqiqotlar o‘tkazish qobiliyati kabi fazilatlarni shakllantirishni nazarda tutadi. Fanda tadqiqot deganda ob'ektni uning paydo bo'lishi, rivojlanishi va o'zgarishi qonuniyatlarini aniqlash uchun o'rganish tushuniladi. Tadqiqot jarayonida oldingi to'plangan tajriba, mavjud bilimlar, shuningdek, ob'ektlarni o'rganish usullari va usullari (texnikasi) qo'llaniladi. Tadqiqot natijasi yangi ilmiy bilimlarni o'zlashtirish bo'lishi kerak. Aqliy faoliyat usullarini o'rgatish, tadqiqot elementlarini amalga oshirish qobiliyati - bu maqsadlar doimo o'qituvchining e'tiborini tortadi, uni ko'rib chiqilayotgan muammoni hal qilish bilan bog'liq ko'plab uslubiy savollarga javob topishga undaydi. Dasturning ko'plab masalalarini o'rganish muayyan vazifani ko'rib chiqish bilan bog'liq yanada yaxlit va to'liq rasmni yaratish uchun ajoyib imkoniyatlarni beradi. Matematikani o'qitishning tadqiqot usuli tabiiy ravishda o'quvchilar faoliyatining tabiati va ularning kognitiv mustaqillik darajasiga qarab o'qitish usullarining tasnifiga mos keladi. Talabaning ilmiy-tadqiqot faoliyatini muvaffaqiyatli tashkil etish uchun o'qituvchi o'zining shaxsiy fazilatlarini ham, ushbu faoliyat turining protsessual xususiyatlarini, shuningdek, talabaning o'rganilayotgan kurs materialini bilish darajasini tushunishi va hisobga olishi kerak. Talabaning ilmiy-tadqiqot faoliyati muvaffaqiyatiga tasavvuri, sezgi, ilhomi va qobiliyatining ta'sirini ortiqcha baholab bo'lmaydi.

Tadqiqot uslubidagi vazifalar shakllari har xil bo'lishi mumkin. Bu sinfda va uyda tez hal qilinadigan vazifalar yoki butun darsni talab qiladigan vazifalar bo'lishi mumkin. Ko'pgina tadqiqot topshiriqlari tadqiqot jarayonining barcha yoki ko'p bosqichlarini bajarishni talab qiladigan kichik qidiruv topshiriqlari bo'lishi kerak. Ularning to'liq yechimi tadqiqot usuli o'z vazifalarini bajarishini ta'minlaydi. Tadqiqot jarayonining bosqichlari quyidagilardan iborat:

1 Fakt va hodisalarni maqsadli kuzatish va taqqoslash.

Tekshiriladigan noaniq hodisalarni aniqlash.

Ko'rib chiqilayotgan masala bo'yicha mavjud ma'lumotlarni dastlabki tahlil qilish.

4. Gipotezani taklif qilish va shakllantirish.

5. Tadqiqot rejasini tuzish.

Rejani amalga oshirish, o'rganilayotgan hodisaning boshqalar bilan aloqalarini aniqlashtirish.

Yangi natijalar, qonuniyatlar, xususiyatlarni shakllantirish, topilgan yechimning mavjud bilimlar tizimidagi o'rnini aniqlash.

Topilgan yechim tekshirilmoqda.

Yangi bilimlarni qo'llash mumkin bo'lgan amaliy xulosalar.

§ 7 . Tizimlarda tadqiqot qilish qobiliyatimaxsus bilimga egamiz

Ko'nikma - bu o'quvchining bilim va ko'nikmalarini turli sharoitlarda murakkab harakatlarni bajarish, ya'ni tegishli muammolarni hal qilish uchun ongli ravishda qo'llashdir, chunki har bir murakkab harakatning bajarilishi talaba uchun muammoni hal qilish vazifasini bajaradi.

Tadqiqot ko'nikmalarini umumiy va xususiyga bo'lish mumkin. Shakllanishi va rivojlanishi parametrlar bilan bog'liq masalalarni echish jarayonida yuzaga keladigan umumiy tadqiqot ko'nikmalariga quyidagilar kiradi: berilgan tenglama orqasida parametrlar soni va turining umumiy mavjudligi bilan tavsiflangan turli xil sinf tenglamalarini ko'rish qobiliyati. ildizlar; analitik va grafik-analitik usullarni egallash qobiliyati.

Maxsus tadqiqot malakalariga muayyan sinf masalalarini yechish jarayonida shakllanadigan va rivojlanadigan malakalar kiradi.

Parametrni o'z ichiga olgan chiziqli tenglamalarni echishda quyidagi maxsus ko'nikmalar shakllanadi:

§ Ma'lum bir chiziqli tenglamaga ega bo'lgan maxsus parametr qiymatlarini aniqlash qobiliyati:

Yagona ildiz;

Cheksiz miqdordagi ildizlar;

3) ildizlari yo'q;

Javobni asl topshiriq tilida izohlash qobiliyati. Shakllanishi va rivojlanishi parametrni o'z ichiga olgan chiziqli tengsizliklarni echish jarayonida yuzaga keladigan maxsus tadqiqot ko'nikmalariga quyidagilar kiradi:

§ Noma’lum koeffitsientni va parametr funksiyasi sifatida erkin muddatni ko‘rish imkoniyati;

§ Ma'lum bir chiziqli tengsizlikning yechimi bo'lgan maxsus parametr qiymatlarini aniqlash qobiliyati:

1) interval;

2) Yechimlari yo'q;

§ Javobni asl topshiriq tilida izohlash qobiliyati Parametrni o'z ichiga olgan kvadrat tenglamalarni echish jarayonida yuzaga keladigan maxsus tadqiqot qobiliyatlari:

§ Etakchi koeffitsient nolga aylanadigan, ya'ni tenglama chiziqli bo'ladigan parametrning maxsus qiymatini aniqlash va parametrning aniqlangan maxsus qiymatlari uchun olingan tenglamaning echimini topish qobiliyati;

§ Berilgan kvadrat tenglamaning diskriminant belgisiga qarab ildizlari borligi va soni haqidagi savolni yecha olish;

§ Kvadrat tenglamaning ildizlarini parametr orqali ifodalay olish (mavjud bo‘lsa);

Shakllanishi va rivojlanishi kvadratik tenglamalarga tushirilishi mumkin bo'lgan parametrni o'z ichiga olgan kasr-ratsional tenglamalarni echish jarayonida yuzaga keladigan maxsus tadqiqot qobiliyatlari qatoriga quyidagilar kiradi:

§ Parametri bo‘lgan kasr ratsional tenglamani parametrli kvadrat tenglamaga qisqartirish qobiliyati.

Shakllanishi va rivojlanishi parametrni o'z ichiga olgan kvadratik tengsizliklarni echish jarayonida yuzaga keladigan maxsus tadqiqot ko'nikmalariga quyidagilar kiradi:

§ Etakchi koeffitsient nolga aylanadigan, ya'ni tengsizlik chiziqli bo'ladigan parametrning maxsus qiymatini aniqlash va parametrning maxsus qiymatlari uchun olingan tengsizlikka ko'plab echimlarni topish qobiliyati;

§ Kvadrat tengsizlikning yechimlari to‘plamini parametr orqali ifodalay olish.

Quyida o'qitish va tadqiqotga aylanadigan ta'lim qobiliyatlari, shuningdek tadqiqot qobiliyatlari keltirilgan.

6−7-sinf:

- yangi bilimlarni o'zlashtirish sharoitida eski bilimlardan tezda foydalanish;

- aqliy harakatlar majmuini bir materialdan ikkinchisiga, bir predmetdan ikkinchisiga erkin o‘tkazish;

olingan bilimlarni ob'ektlarning kattaroq to'plamiga tarqatish;

bilimlarning "qulashi" va "ochilishi" jarayonini birlashtirish;

matnning segmentlari va qismlarida asosiy fikrlarni ajratib ko'rsatish orqali uning g'oyalarini maqsadli ravishda umumlashtirish;

ma'lumotlarni tizimlashtirish va tasniflash;

— xarakteristikalar tizimi haqidagi maʼlumotlarni solishtirish, oʻxshashlik va farqlarni ajratib koʻrsatish;

- ramziy tilni yozma va og‘zaki nutq bilan bog‘lay olish;

— kelgusidagi ish usullarini tahlil qilish va rejalashtirish;

yangi bilimlarning tarkibiy qismlarini tez va erkin tarzda "bog'lash";

matndagi asosiy fikr va faktlarni qisqacha bayon eta olish;

- sxemalar, jadvallar, eslatmalar va boshqalar yordamida tizimni tashkil etuvchi bilimlardan maxsus bilimga o'tish orqali yangi bilimlarni olish;

uzoq tinglash jarayonida turli xil yozish shakllaridan foydalanish;

optimal echimlarni tanlash;

o'zaro bog'liq usullardan foydalangan holda isbotlash yoki rad etish;

- tahlil va sintezning har xil turlaridan foydalanish;

- muammoni turli nuqtai nazardan ko'rib chiqish;

— fikrlar algoritmi shaklida hukmni ifodalash.

Talabalarning fikrlash yoki aqliy rivojlanishi jarayonlarida matematika ta'limi alohida o'rin egallashi kerak va beriladi, chunki matematikani o'qitish vositalari butun shaxsning ko'plab asosiy tarkibiy qismlariga va birinchi navbatda, tafakkurga eng samarali ta'sir qiladi.

Shunday qilib, o'quvchining tafakkurini rivojlantirishga alohida e'tibor beriladi, chunki aynan shu narsa boshqa barcha psixik funktsiyalar bilan bog'liq: tasavvur, fikrning moslashuvchanligi, fikrning kengligi va chuqurligi va boshqalar. Talabalarga yo'naltirilgan ta'lim kontekstida fikrlashni rivojlantirish, shuni yodda tutish kerakki, bunday rivojlanishni amalga oshirishning zaruriy sharti ta'limni individuallashtirishdir. Aynan shu narsa turli toifadagi o'quvchilarning aqliy faoliyatining xususiyatlarini hisobga olishni ta'minlaydi.

Ijodkorlik yo'li individualdir. Shu bilan birga, barcha talabalar matematikani o'rganish jarayonida uning ijodiy mohiyatini his qilishlari, matematikani o'rganish jarayonida ularning kelajakdagi hayoti va faoliyatida zarur bo'ladigan ijodiy faoliyatning ayrim ko'nikmalariga ega bo'lishlari kerak. Ushbu murakkab muammoni hal qilish uchun matematikani o'qitish shunday tuzilishi kerakki, talaba tez-tez yangi birikmalarni qidiradi, narsalarni, hodisalarni, voqelik jarayonlarini o'zgartiradi va ob'ektlar orasidagi noma'lum bog'lanishlarni qidiradi.

Matematikani o'qitishda o'quvchilarni ijodiy faoliyatga jalb qilishning ajoyib usuli - bu barcha shakl va ko'rinishlarda mustaqil ish. Bu borada akademik P. L. Kapitsaning mustaqillik ijodiy shaxsning eng asosiy fazilatlaridan biri ekanligi, chunki insonda ijodiy qobiliyatlarni rivojlantirish mustaqil fikrlashni rivojlantirishga asoslanadi, degan fikr juda muhim ahamiyatga ega.

Talabalar va o‘quv guruhlarining mustaqil ijodiy faoliyatga tayyorlik darajasini quyidagi savollarga javob berish orqali aniqlash mumkin:

Maktab o'quvchilari eslatmalar, ma'lumotnomalar, diagrammalar va turli xil jadvallarni o'qishdan qanchalik samarali foydalana oladilar?

Talabalar o'qituvchi tomonidan muammoli masalani hal qilishda taklif qilingan g'oyalarni ob'ektiv baholashni va ularni qo'llash imkoniyatlarini hisobga olishni bilishadimi? 3) Maktab o'quvchilari muammoni hal qilishning bir usulidan ikkinchisiga qanchalik tez o'tishadi? 4) Dars davomida o’quvchilarni mustaqil ishlarni o’z-o’zini tashkil etishga yo’naltirish samaradorligini tahlil qilish; 5) Talabalarning modellashtirish va muammolarni moslashuvchan tarzda hal qilish qobiliyatini o'rganing.

2-bob.“Parametrli tenglamalar va tengsizliklar” mavzusini uslubiy tahlil qilish va “Kvadrat tenglamalar va parametrli tengsizliklar” tanlov kursini ishlab chiqish.

§ 1. Rol Va joy parametrik tenglamalar Va tengsizliklar shakllanishida tadqiqot mahoratth talabalar

Umumta’lim maktablarining matematika o‘quv dasturida parametrli masalalar to‘g‘ridan-to‘g‘ri ko‘rsatilmaganiga qaramay, maktab matematika kursida parametrli masalalar yechish masalasi hech qanday tarzda yo‘naltirilmagan desak xato bo‘ladi. Maktab tenglamalarini eslash kifoya: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, bunda a, b, c, k parametrlardan boshqa narsa emas. Ammo maktab kursi doirasida bunday kontseptsiyaga, parametrga, noma'lumdan qanday farq qilishiga e'tibor qaratilmaydi.

Tajriba shuni ko'rsatadiki, parametrlar bilan bog'liq masalalar mantiqiy va texnik jihatdan elementar matematikaning eng murakkab bo'limidir, garchi rasmiy nuqtai nazardan bunday masalalarning matematik mazmuni dasturlar chegarasidan tashqariga chiqmaydi. Bunga parametr bo'yicha turli nuqtai nazarlar sabab bo'ladi. Bir tomondan, parametrni tenglamalar va tengsizliklarni echishda doimiy qiymat deb hisoblangan o'zgaruvchi sifatida ko'rib chiqish mumkin, boshqa tomondan, parametr sonli qiymati berilmagan, lekin ma'lum deb hisoblanishi kerak bo'lgan miqdordir; parametr o'zboshimchalik bilan qiymatlarni qabul qilishi mumkin, ya'ni parametr qat'iy, ammo noma'lum son bo'lib, ikki tomonlama xususiyatga ega. Birinchidan, taxmin qilingan ma'lumlik parametrni raqam sifatida ko'rib chiqishga imkon beradi, ikkinchidan, erkinlik darajasi uning noma'lumligi bilan cheklanadi.

Parametrlar tabiatining tavsiflarining har birida noaniqlik mavjud - yechimning qaysi bosqichlarida parametr doimiy deb hisoblanishi mumkin va qachon u o'zgaruvchi rolini o'ynaydi. Parametrning barcha bu qarama-qarshi xususiyatlari talabalar bilan tanishishning boshida ma'lum bir psixologik to'siqni keltirib chiqarishi mumkin.

Shu munosabat bilan, parametr bilan tanishishning dastlabki bosqichida imkon qadar tez-tez olingan natijalarning vizual va grafik talqiniga murojaat qilish juda foydali. Bu nafaqat talabalarga parametrning tabiiy noaniqligini bartaraf etish imkonini beradi, balki o'qituvchiga parallel ravishda, propedevtika sifatida, muammolarni hal qilishda talabalarni isbotlashning grafik usullaridan foydalanishga o'rgatish imkoniyatini beradi. Shuni ham unutmasligimiz kerakki, hech bo'lmaganda sxematik grafik rasmlardan foydalanish ba'zi hollarda tadqiqot yo'nalishini aniqlashga yordam beradi va ba'zida muammoni hal qilish uchun kalitni darhol tanlashga imkon beradi. Darhaqiqat, ba'zi turdagi muammolar uchun, hatto haqiqiy grafikdan uzoqda bo'lgan ibtidoiy chizma ham har xil turdagi xatolardan qochish va tenglama yoki tengsizlikka oddiyroq javob olish imkonini beradi.

Umuman matematik masalalarni yechish maktab o‘quvchilarining matematikani o‘rganishdagi faoliyatining eng qiyin qismi bo‘lib, bu masalani yechish eng yuqori darajadagi aql-zakovatni, ya’ni nazariy, rasmiy va reflektiv fikrlashni rivojlantirishning ancha yuqori darajasini talab qilishi bilan izohlanadi. fikrlash, yuqorida aytib o'tilganidek, o'smirlik davrida ham rivojlanadi.

Davlat byudjeti ta'lim muassasasi

Samara viloyati o'rta umumiy ta'lim

nomidagi 2-sonli maktab. V. Maskina temir yo'li Art. Klyavlino

Klyavlinskiy shahar okrugi

Samara viloyati

«Tenglamalar

Va

tengsizliklar

parametrlari bilan"

Qo'llanma

Klyavlino

Qo'llanma

"Parametrli tenglamalar va tengsizliklar" 10-11-sinf o'quvchilari uchun

Ushbu qo'llanma tashqi imtihondan o'tgan "Parametrli tenglamalar va tengsizliklar" tanlov kursi dasturiga ilovadir (Samara viloyati Ta'lim va fan vazirligining 2008 yil 19 dekabrdagi ilmiy-uslubiy ekspert kengashi tomonidan tavsiya etilgan. Samara viloyati ta'lim muassasalarida foydalanish)

Mualliflar

Romadanova Irina Vladimirovna

Klyavlinskaya o'rta ta'lim muassasasi matematika o'qituvchisi

nomidagi 2-sonli maktab. V. Maskina, Klyavlinskiy tumani, Samara viloyati

Serbaeva Irina Alekseevna

Kirish……………………………………………………………3-4

Parametrli chiziqli tenglamalar va tengsizliklar……………..4-7

Kvadrat tenglamalar va parametrli tengsizliklar……………7-9

Parametrli kasr-ratsional tenglamalar……………..10-11

Irratsional tenglamalar va parametrli tengsizliklar……11-13

Trigonometrik tenglamalar va parametrli tengsizliklar.14-15

Parametrli ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar………16-17

Logarifmik tenglamalar va parametrli tengsizliklar......16-18

Yagona davlat imtihonining maqsadlari ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………18-20

Mustaqil ish uchun topshiriqlar…………………………21-28

Kirish.

Parametrli tenglamalar va tengsizliklar.

Agar tenglama yoki tengsizlikda ba'zi koeffitsientlarga aniq raqamli qiymatlar berilmasa, lekin harflar bilan belgilangan bo'lsa, ular deyiladi. parametrlar, va tenglama yoki tengsizlikning o'zi parametrik.

Parametrli tenglama yoki tengsizlikni yechish uchun quyidagilar zarur:

Tanlang alohida ma'no- bu tenglama yoki tengsizlikning yechimi o'zgargan yoki o'tganda parametrning qiymati.

Aniqlash haqiqiy qiymatlar- bu tenglama yoki tengsizlik mantiqiy bo'lgan parametrning qiymatlari.

Parametrli tenglama yoki tengsizlikni yechish quyidagilarni anglatadi:

1) qanday parametr qiymatlarida echimlar mavjudligini aniqlash;

2) parametr qiymatlarining har bir ruxsat etilgan tizimi uchun tegishli echimlar to'plamini toping.

Parametrli tenglamani quyidagi usullar yordamida echishingiz mumkin: analitik yoki grafik.

Analitik usul bir nechta holatlarni ko'rib chiqish orqali tenglamani o'rganish vazifasini o'z ichiga oladi, ularning hech birini o'tkazib yuborish mumkin emas.

Analitik usul yordamida har bir turdagi parametrlar bilan tenglamalar va tengsizliklarni echish vaziyatni batafsil tahlil qilish va izchil tadqiqotlarni o'z ichiga oladi, bunda zarurat tug'iladi. "ehtiyotkorlik bilan ishlash" parametr bilan.

Grafik usul tenglamaning grafigini qurishni o'z ichiga oladi, undan parametrning o'zgarishi mos ravishda tenglama yechimiga qanday ta'sir qilishini aniqlash mumkin. Grafik ba'zan muammoni hal qilish uchun zarur va etarli shartlarni analitik shakllantirishga imkon beradi. Grafik yechim usuli, ayniqsa, parametrga qarab tenglamaning qancha ildizi borligini aniqlash kerak bo'lganda samarali bo'ladi va buni aniq ko'rishning shubhasiz afzalligi bor.

§ 1. Chiziqli tenglamalar va tengsizliklar.

Chiziqli tenglama A x = b , umumiy shaklda yozilgan, parametrli tenglama sifatida qaralishi mumkin, bu erda x - noma'lum , a , b - variantlar. Ushbu tenglama uchun parametrning maxsus yoki nazorat qiymati noma'lum koeffitsienti nolga aylanadigan qiymatdir.

Parametrli chiziqli tenglamani yechishda parametr uning maxsus qiymatiga teng va undan farq qiladigan holatlar ko'rib chiqiladi.

Maxsus parametr qiymati a qiymat hisoblanadi A = 0.

b = 0 maxsus parametr qiymati hisoblanadi b .

Da b ¹ 0 tenglamaning yechimlari yo'q.

Da b = 0 tenglama quyidagi shaklni oladi: 0x = 0. Bu tenglamaning yechimi har qanday haqiqiy sondir.

Shaklning tengsizliklari ah > b Va bolta < b (a ≠ 0) chiziqli tengsizliklar deyiladi. Tengsizlikka yechimlar to'plami ah >b- interval

(; +), Agar a > 0 , Va (-;) , Agar A< 0 . Xuddi shunday tengsizlik uchun

Oh< b yechimlar to'plami - interval(-;), Agar a > 0, Va (; +), Agar A< 0.

1-misol. Tenglamani yeching bolta = 5

Yechim: Bu chiziqli tenglama.

Agar a = 0, keyin tenglama 0 × x = 5 yechimi yo‘q.

Agar A¹ 0, x =- tenglamaning yechimi.

Javob: da A¹ 0, x=

a = 0 uchun hech qanday yechim yo'q.

2-misol. Tenglamani yeching bolta – 6 = 2a – 3x.

Yechim: Bu chiziqli tenglama, bolta – 6 = 2a – 3x (1)

ax + 3x = 2a +6

Tenglamani quyidagicha qayta yozish (a+3)x = 2(a+3), ikkita holatni ko'rib chiqing:

a= -3 Va A¹ -3.

Agar a= -3, keyin istalgan haqiqiy son X(1) tenglamaning ildizidir. Agar A¹ -3 , (1) tenglama bitta ildizga ega x = 2.

Javob: Da a = -3, x R ; da A ¹ -3, x = 2.

3-misol. Qaysi parametr qiymatlarida A tenglamaning ildizlari orasida

2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0 ko'proq ildizlar mavjud 1 ?

Yechim: Keling, tenglamani yechamiz 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0- chiziqli tenglama

2(a - 2) x = a 2 – 4a +4

2(a - 2) x = (a - 2) 2

Da a = 2 tenglamani yechish 0x = 0 har qanday raqam, shu jumladan 1 dan katta bo'ladi.

Da A¹ 2 x =
. Shart bo'yicha x > 1, ya'ni
>1 va >4.

Javob: Da A (2) U (4;∞).

4-misol . Har bir parametr qiymati uchun A tenglamaning ildizlari sonini toping ah=8.

Yechim. bolta = 8- chiziqli tenglama.

y = a- gorizontal chiziqlar oilasi;

y = - Grafik giperboladir. Keling, ushbu funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

Javob: Agar a =0, u holda tenglamaning yechimlari yo'q. Agar a ≠ 0, u holda tenglama bitta yechimga ega.

5-misol . Grafiklardan foydalanib, tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlang:

|x| = ah - 1.

y =| x | ,

y = ah - 1– grafik nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqdir (0;-1).

Keling, ushbu funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

Javob: Qachon |a|>1- bitta ildiz

da | a|≤1 - tenglamaning ildizlari yo'q.

Misol 6 . Tengsizlikni yechish ax + 4 > 2x + a 2

Yechim : ax + 4 > 2x + a 2
(a – 2) x >A 2 – 4. Keling, uchta holatni ko'rib chiqaylik.

Javob. x > a + 2 da a > 2; X<а + 2, da A< 2; da a=2 yechimlar yo'q.

2-§. Kvadrat tenglamalar va tengsizliklar

Kvadrat tenglama shakldagi tenglamadir Oh ² + b x + c = 0 , Qayerda a≠ 0,

A, b , Bilan - variantlar.

Parametrli kvadrat tenglamalarni yechish uchun siz quyidagi formulalar yordamida standart echim usullaridan foydalanishingiz mumkin:

1 ) Kvadrat tenglamaning diskriminanti: D = b ² - 4 ac , (
²- ac)

2) Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

Kvadrat tengsizliklar deyiladi

a X 2 + b x + c > 0,a X 2 + b x + c< 0, (1), (2)

a X 2 + b x + c ≥ 0,a X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)

Tengsizlikning yechimlar to‘plami (3) tengsizlikning yechimlari to‘plamini (1) va tenglamani birlashtirish orqali olinadi. , a X 2 + b x + c = 0.(4) tengsizlikning yechimlari to'plamini ham xuddi shunday topish mumkin.

Kvadrat uch a'zoning diskriminanti bo'lsa a X 2 + b x + c noldan kichik bo'lsa, a > 0 uchun trinomial barcha x uchun musbat bo'ladi R.

Agar kvadrat uchburchakning ildizlari bo'lsa (x 1 < х 2 ), u holda a > 0 uchun to'plamda ijobiy bo'ladi(-; x 2 )
(X 2; +) va intervalda salbiy

(x 1; x 2 ). Agar a< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1 ; x 2 ) va barcha x uchun salbiy (-; x 1 )
(X 2; +).

1-misol. Tenglamani yeching ax² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.

Bu kvadrat tenglama

Yechim: Maxsus ma'no a = 0.

Da a = 0 chiziqli tenglamani olamiz 2x – 4 = 0. Uning bitta ildizi bor x = 2.

Da a ≠ 0. Keling, diskriminantni topamiz.

D = (a-1)² + 4a = (a+1)²

Agar a = -1, Bu D = 0 - bitta ildiz.

O‘rniga qo‘yish orqali ildizni topamiz a = -1.

-x² + 4x – 4= 0, ya'ni x² -4x + 4 = 0, buni topamiz x=2.

Agar a ≠ - 1, Bu D >0 . Ildiz formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:x=
;

X 1 =2, x 2 = -.

Javob: Da a=0 va a= -1 tenglama bitta ildizga ega x = 2; da a ≠ 0 va

A ≠ - 1 tenglama ikkita ildizga egaX 1 =2, x 2 =-.

2-misol. Bu tenglamaning ildizlari sonini toping x²-2x-8-a=0 parametr qiymatlariga bog'liq A.

Yechim. Keling, ushbu tenglamani shaklda qayta yozamiz x²-2x-8=a

y = x²-2x-8- grafik parabola;

y =a- gorizontal chiziqlar oilasi.

Keling, funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

Javob: Qachon A<-9 , tenglamaning yechimlari yo'q; a=-9 bo‘lsa, tenglama bitta yechimga ega bo‘ladi; da a>-9, tenglama ikkita yechimga ega.

3-misol. Nimada A tengsizlik (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 x ning barcha qiymatlari uchun amal qiladimi?

Yechim. Kvadrat trinomial x ning barcha qiymatlari uchun ijobiydir

a-3 > 0 va D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, bundan kelib chiqadia > 6 .

Javob.a > 6

§ 3. Parametrli kasrli ratsional tenglamalar,

chiziqligacha qisqartirilishi mumkin

Kasr tenglamalarini echish jarayoni odatiy sxema bo'yicha amalga oshiriladi: kasr tenglamaning ikkala tomonini uning chap va o'ng tomonlarining umumiy maxrajiga ko'paytirish orqali butun son bilan almashtiriladi. Shundan so'ng, begona ildizlar, ya'ni maxrajni nolga aylantiradigan raqamlar bundan mustasno, butun tenglama echiladi.

Parametrli tenglamalar bo'lsa, bu masala ancha murakkab. Bu erda begona ildizlarni "yo'q qilish" uchun umumiy maxrajni nolga aylantiruvchi parametr qiymatini topish, ya'ni parametr uchun mos keladigan tenglamalarni echish kerak.

1-misol. Tenglamani yeching
= 0

Yechim: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x – a = 0, x = a.

Javob: Da a ≠ - 2, x=a

Da a = -2 ildizlari yo'q.

2-misol . Tenglamani yeching
-
=
(1)

Bu kasrli ratsional tenglama

Yechim: Ma'nosi a = 0 maxsus hisoblanadi. Da a = 0 tenglama hech qanday ma'noga ega emas va shuning uchun hech qanday ildizga ega emas. Agar a ≠ 0, transformatsiyalardan so'ng tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- kvadrat tenglama.

Keling, diskriminantni topamiz = (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4, tenglamaning ildizlarini topingX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.

(1) tenglamadan (2) tenglamaga o'tishda (1) tenglamani aniqlash sohasi kengaydi, bu esa begona ildizlarning paydo bo'lishiga olib kelishi mumkin. Shuning uchun tekshirish zarur.

Imtihon. Topilgan qiymatlardan chiqarib tashlaylik X bo'lganlar

x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.

Agar X 1 +1=0, ya'ni (a+1) + 1= 0, Bu a= -2. Shunday qilib,

da a= -2 , X 1 -

Agar X 1 +2=0, ya'ni (a+1)+2=0, Bu a = - 3. Shunday qilib, qachon a = - 3, x 1 - tenglamaning tashqi ildizi. (1).

Agar X 2 +1=0, ya'ni (a – 3) + 1= 0, Bu a = 2. Shunday qilib, qachon a = 2 x 2 - (1) tenglamaning tashqi ildizi.

Agar X 2 +2=0, ya'ni ( a – 3) + 2 = 0, Bu a=1. Shunday qilib, qachon a = 1,

X 2 - tenglamaning begona ildizi (1).

Shunga muvofiq, qachon a = - 3 olamiz x = - 3 – 3 = -6;

da a = - 2 x = -2 – 3= - 5;

da a = 1 x =1 + 1= 2;

da a = 2 x = 2+1 = 3.

Javobni yozishingiz mumkin.

Javob: 1) agar a= -3, Bu x= -6; 2) agar a= -2, Bu x= -5; 3) agar a= 0, keyin ildizlar yo'q; 4) agar a= 1, Bu x=2; 5) agar a=2, Bu x=3; 6) agar a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, keyin x 1 = a + 1, x 2 = a-3.

§4. Irratsional tenglamalar va tengsizliklar

O'zgaruvchi ildiz belgisi ostida joylashgan tenglamalar va tengsizliklar deyiladi mantiqsiz.

Irratsional tenglamalarni yechish irratsional tenglamadan tenglamaning har ikki tomonini darajaga ko‘tarish yoki o‘zgaruvchini almashtirish orqali ratsional tenglamaga o‘tishdan iborat. Tenglamaning ikkala tomoni teng kuchga ko'tarilganda, begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Shuning uchun, ushbu usuldan foydalanganda, siz topilgan barcha ildizlarni parametr qiymatlaridagi o'zgarishlarni hisobga olgan holda, ularni asl tenglamaga almashtirish orqali tekshirishingiz kerak.

Shakl tenglamasi
=g (x) sistemaga ekvivalent

f (x) ≥ 0 tengsizlik f (x) = g 2 (x) tenglamasidan kelib chiqadi.

Irratsional tengsizliklarni yechishda quyidagi ekvivalent o'zgarishlardan foydalanamiz:

≤ g(x)


≥g(x)

1-misol. Tenglamani yeching
= x + 1 (3)

Bu irratsional tenglama

Yechim: Arifmetik ildizning ta'rifiga ko'ra (3) tenglama tizimga ekvivalentdir
.

Da a = 2 sistemaning birinchi tenglamasi shaklga ega 0 x = 5, ya'ni uning yechimlari yo'q.

Da a≠ 2 x=
. Keling, qanday qadriyatlarni bilib olaylikA topilgan qiymatX tengsizlikni qanoatlantiradix ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

qayerda a ≤ yoki a > 2.

Javob: Da a≤, a > 2 x=
, da < а ≤ 2 tenglamaning yechimlari yo'q.

2-misol. Tenglamani yeching
= a (4-ilova)

Yechim. y =

y = a- gorizontal chiziqlar oilasi.

Keling, funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

Javob: da A<0 - yechim yo'q;

da A≥ 0 - bitta yechim.

3-misol . Keling, tengsizlikni hal qilaylik(a+1)
<1.

Yechim. O.D.Z. x ≤ 2. Agar a+1 ≤0, keyin tengsizlik barcha ruxsat etilgan qiymatlar uchun amal qiladi X. Agar a+1>0, Bu

(a+1)
<1.

<

qayerda X (2-
2

Javob. X (- ;2da a (-;-1, X (2-
2

da A (-1;+).

§ 5. Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish uchun formulalar:

Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+pn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ±arccos a + 2 pn, n Z, ≤1. (2)

Agar >1, u holda (1) va (2) tenglamalar yechimga ega emas.

tan x = a
x= arktan a + pn, n Z, a R

ctg x = a
x = arcctg a + pn, n Z, a R

Har bir standart tengsizlik uchun biz yechimlar to'plamini ko'rsatamiz:

1. sin x > a
arcsin a + 2 pn Z,

da a <-1, x R ; da a ≥ 1, yechimlar yo'q.

2. gunoh x< a
p - arcsin a + 2 pnZ,

a≤-1 uchun yechimlar mavjud emas; > 1 uchun,x R

3. cos x > a
- arccos a + 2 pn < x < arccos a + 2 pn , n Z ,

da A<-1, x R ; da a ≥ 1 , hech qanday yechim yo'q.

4. chunki x arccos a+ 2 pnZ,

da a≤-1 , yechim yo'q; daa > 1, x R

5. tan x > a, arktan a + pnZ

6.tg x< a, -π/2 + πn Z

1-misol. Toping A, bu tenglamaning yechimi bor:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz

Bilanos 2 x + (2 a -4) cosx +(a – 5)(a+1) =0, uni kvadrat shaklida yechsak, olamiz cosx = 5-A Va cosx = -a-1.

Tenglama cosx = 5- A taqdim etilgan echimlarga ega -1≤ 5-A ≤1
4≤ A≤ 6 va tenglama. cosx = - a-1 berilgan -1≤ -1-A ≤ 1
-2 ≤ A ≤0.

Javob. A -2; 0
4; 6

2-misol. Nimada bshunday tengsizlik mavjud
+ b> 0 barcha x ≠ uchun amal qiladipn , n Z .

Yechim. Keling, qo'ying A= 0. Tengsizlik b >0 uchun bajariladi. Keling, hech qanday b ≤0 masala shartlarini qanoatlantirmasligini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, x = qo'yish kifoya π /2, Agar A <0, и х = - π /2 da A ≥0.

Javob.b>0

§ 6. Ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar

1. Tenglama h(x) f ( x ) = h(x) g ( x) da h(x) > 0 ikki sistema to‘plamiga teng
Va

2. Maxsus holatda (h (x)= a ) tenglama A f(x) = A g(x) da A> 0, ikkita tizim to'plamiga teng

Va

3. Tenglama A f(x) = b , Qayerda A > 0, a ≠1, b>0, tenglamaga ekvivalent

f (x ) = log a b . Bo‘lyapti A=1 alohida ko'rib chiqiladi.

Eng oddiy eksponensial tengsizliklarni yechish kuch xususiyatiga asoslanadi. Shaklning tengsizligif(a x ) > 0 o'zgaruvchini o'zgartirish yordamidat= a x tengsizliklar tizimini yechishgacha kamaytiradi
keyin esa mos keladigan oddiy ko‘rsatkichli tengsizliklar yechimiga.

Qat'iy bo'lmagan tengsizlikni yechishda qat'iy tengsizlikning yechimlari to'plamiga mos tenglamaning ildizlarini qo'shish kerak. Ifodani o'z ichiga olgan barcha misollarda tenglamalarni echishda bo'lgani kabi A f (x), biz faraz qilamiz A> 0. Koson A= 1 alohida ko'rib chiqiladi.

1-misol . Nimada A tenglama 8 x =
faqat ijobiy ildizlar bormi?

Yechim. Bazasi birdan katta bo'lgan ko'rsatkichli funktsiyaning xossasi bo'yicha biz x>0 ga ega bo'lamiz
8 X >1

>1

>0, qayerdana (1,5;4).

Javob. a (1,5;4).

2-misol. Tengsizlikni yechish a 2 ∙2 x > a

Yechim. Keling, uchta holatni ko'rib chiqaylik:

1. A< 0 . Tengsizlikning chap tomoni musbat va o'ng tomoni manfiy bo'lgani uchun tengsizlik har qanday x uchun o'rinli bo'ladi R.

2. a=0. Hech qanday yechim yo'q.

3. A > 0 . a 2 ∙2 x > a
2 x >
x > -log 2 a

Javob. X R da A > 0; uchun hech qanday yechim yo'q a =0; X (- jurnal 2 a; +) daa> 0 .

§ 7. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar

Keling, echishda ishlatiladigan ba'zi ekvivalentlarni keltiraylik logarifmik tenglamalar va tengsizliklar.

1. log f (x) g (x) = log f (x) h (x) tenglama sistemaga ekvivalent.

Xususan, agar A >0, A≠1, keyin

jurnal a g(x)=log a h(x)

2. Tenglama jurnal a g(x)=b
g(x)=a b ( A >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Tengsizlik jurnal f ( x ) g (x) ≤ jurnal f ( x ) h(x) ikkita tizimning kombinatsiyasiga teng:
Va

Agar a, b - sonlar, a >0, a ≠1, keyin

jurnal a f(x) ≤ b

jurnal a f(x)>b

1-misol. Tenglamani yeching

Yechim. ODZ ni topamiz: x > 0, x ≠ A 4 , a > 0, A≠ 1. Tenglamani o'zgartiring

jurnal x – 2 = 4 – jurnal a x
jurnal x + jurnal a x– 6 = 0, qaerdan jurnal a x = - 3

x = A-3 va jurnal a x = 2
x = A 2. Shart x = A 4
A – 3 = A 4 yoki A 2 = A 4 ODZ da bajarilmaydi.

Javob: x = A-3, x = A 2 da A (0; 1)
(1; ).

2-misol . Eng katta qiymatni toping A, buning uchun tenglama

2 jurnal -
+ a = 0 yechimlari bor.

Yechim. Biz almashtiramiz
= tva biz 2-kvadrat tenglamani olamizt 2 – t + a = 0. Yechish, topamizD = 1-8 a . Keling, ko'rib chiqaylik D≥0, 1-8 A ≥0
A ≤.

Da A = kvadrat tenglamaning ildizi bort= >0.

Javob. A =

3-misol . Tengsizlikni yechingjurnal(x 2 – 2 x + a ) > - 3

Yechim. Tengsizliklar sistemasini yechaylik

Kvadrat trinomlarning ildizlari x 1,2 = 1 ±
ularning 3,4 = 1 ±
.

Kritik parametr qiymatlari: A= 1 va A= 9.

X 1 va X 2 birinchi va ikkinchi tengsizliklarning yechimlari to‘plami bo‘lsin

X 1
X 2 = X - asl tengsizlikning yechimi.

0 da< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), daA> 1 X 1 = (-;+).

0 da< a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), daA≥9 X 2 - yechim yo'q.

Keling, uchta holatni ko'rib chiqaylik:

1. 0< a ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a≥ 9 X - yechim yo'q.

Yagona davlat imtihonining maqsadlari

Yuqori darajali C1, C2

1-misol. Barcha qiymatlarni toping R, buning uchun tenglama

R ∙ ctg 2x+2sinx+ p= 3 kamida bitta ildizga ega.

Yechim. Keling, tenglamani aylantiramiz

R ∙ (
- 1) + 2sinx + p= 3, sinx =t, t
, t 0.

- p+2t+ p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .

Mayli f(y) = 3 t 2 – 2 t 3 . Funktsiya qiymatlari to'plamini topamizf(x) yoqilgan


. da / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

Da t
, E(f) =
,

Da t
, E(f) =
, ya'ni qachon t


, E(f) =
.

3-tenglamagat 2 – 2 t 3 = p (shuning uchun berilgan) kamida bitta zarur va etarli ildizga ega edip E(f), ya'ni p
.

Javob.
.

2-misol.

Qaysi parametr qiymatlaridaA tenglama jurnal
(4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 ning aynan bitta ildizi bormi?

Yechim. Keling, tenglamani shunga ekvivalentga aylantiramiz:

4x 2 – 4 a + a 2 +7 = (x 2 + 2) 2.

E'tibor bering, agar ma'lum bir son x natijaviy tenglamaning ildizi bo'lsa, u holda - x soni ham ushbu tenglamaning ildizidir. Shartga ko'ra, buni amalga oshirish mumkin emas, shuning uchun yagona ildiz 0 raqamidir.

Biz topamiz A.

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Imtihon.

1) a 1 = 1. Keyin tenglama quyidagicha ko'rinadi:jurnal
(4 x 2 +4) =2. Keling, buni hal qilaylik

4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 yagona ildiz.

2) a 2 = 3. Tenglama quyidagicha ko'rinadi:jurnal
(4 x 2 +4) =2
x = 0 yagona ildizdir.

Javob. 1; 3

Yuqori darajali C4, C5

3-misol. Barcha qiymatlarni toping R, buning uchun tenglama

x 2 - ( R+ 3)x + 1= 0 butun sonli ildizlarga ega va bu ildizlar tengsizlikning yechimlari: x 3 – 7 R x 2 + 2x 2 – 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.

Yechim. X bo'lsin 1, X 2 – x tenglamaning butun ildizlari 2 – (R + 3)x + 1= 0. U holda, Vyeta formulasiga ko'ra, x tengliklari 1 + x 2 = R + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. Ikkita butun sonning ko'paytmasi x 1 , X 2 faqat ikkita holatda bittaga teng bo'lishi mumkin: x 1 = x 2 = 1 yoki x 1 = x 2 = - 1. Agar x bo'lsa 1 = x 2 = 1, keyinR + 3 = 1+1 = 2
R = - 1; agar x 1 = x 2 = - 1, keyinR + 3 = - 1 – 1 = - 2
R = - 5. Tenglamaning ildizlari x yoki yo'qligini tekshiramiz 2 – (R + 3)x + 1= 0 tasvirlangan hollarda bu tengsizlikning yechimlari bilan. Bayram uchunR = - 1, x 1 = x 2 = 1 bizda

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – rost; voqea uchun R= - 5, x 1 = x 2 = - 1 bizda (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – to'g'ri. Demak, muammoning shartlari faqat qondiriladi R= - 1 va R = - 5.

Javob.R 1 = - 1 va R 2 = - 5.

4-misol. Parametrning barcha ijobiy qiymatlarini toping A, buning uchun 1 raqami funksiyani aniqlash sohasiga tegishli

da = (A
- A
).

Sinf: 11

Maqsadlar:

Tarbiyaviy:

• parametrli tenglamani yechish haqidagi bilimlarni tizimlashtirish va umumlashtirish;
• bunday tenglamalarni yechishning asosiy usullarini ko'rsating.

Rivojlanish: parametrli tenglamalarni yechishning turli usullarini o'rganishni kengaytirish va chuqurlashtirish.

Tarbiyaviy: parametrli masalada javobning parametrning tanlangan qiymatiga bog‘liqligi ahamiyatini ko‘rsating.

Qo'llaniladigan o'qitish usullari - ularni qo'llash.

• Tushuntiruvchi va illyustrativ.
• Umumlashtirish, o'xshatish va taqqoslash.
• UDE - asosiy vazifalarni yaratish, tekislikdagi tasvirlarning o'xshashligi.
• Integratsiyalashgan - algebra xaritasi va geometrik talqinlar, slaydlar.

Umumiy ta'lim ko'nikmalarini shakllantirish:

• O'rganilayotgan ob'ektlarning muhim belgilarini aniqlash;
• Amaliy ko'nikmalarni rivojlantirish;
• Auditoriya bilan ishlashda foydalaniladigan usullar: dialog rejimida ishlash;
• Darsning psixologik jihatlari;
• Qulay ish muhitini yaratish;
• Faol muloqotni rag'batlantirish.

Darslar davomida

Kirish. O'qituvchining kirish nutqi.

Tenglamalar USE kirish imtihonlari variantlarining umumiy qismiga aylandi.

Parametrli tenglamalar jiddiy mantiqiy qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi.
Har bir bunday tenglama mohiyatan tenglamalar turkumining qisqacha variantidir. Ko'rinib turibdiki, cheksiz oiladan har bir tenglamani yozib bo'lmaydi, lekin shunga qaramay, ularning har birini echish kerak. Shu sababli, tushunchalar tizimini ko'rib chiqish va parametrli (chiziqli, ratsional va boshqalar) tenglamalarni echish usullarini izlash zarurati tug'iladi.

F(x;a) = 0 tenglamasi berilgan bo'lsin, agar parametrga qandaydir qat'iy qiymat beradigan bo'lsak, u holda bu tenglamani bitta o'zgaruvchiga ega "oddiy" tenglama deb hisoblash mumkin.

Keling, vazifani belgilaymiz: Tanlangan parametr qiymati bilan qanday vaziyat bo'lishi mumkinligini aniqlang?

Talabalar bilan dialog rejimida ishlash.

Keling, asosiy muammolarni sanab o'tamiz:

1. Parametrli tenglamalarning asosiy tushunchalarini tuzing.
2. Maktab matematika kursidagi tenglamalarning har bir turi uchun parametrlari bilan mos keladigan tenglamalarni echishning umumiy usulini belgilang - bir va ikkita parametr uchun bir xil.
3. Tenglamalarni o'rganish uchun topshiriqlar misollarini ko'rib chiqing.
4. Tenglamalar ildizlari sonini aniqlash nima.
5. Ikki tenglamaning umumiy ildizini topish - uning mohiyati nimada?
6. Geometrik talqinlar.

Ibosqich - birinchi muammoni hal qilish.

Talabalar bilan interaktiv ishlash.

Asosiy tushunchalarni o'rnatish uchun o'zingizga qanday savollarni berasiz?

Parametr bilan qanday muammo bor? Qabul qilinadigan parametr qiymatlari oralig'i qanday? Parametr bilan muammoni hal qilish nimani anglatadi? Parametrlar bilan bog'liq muammolarning nechta turi mavjud? Ularni hal qilishda nimani e'tiborga olish kerak?

Slayd va xulosa paydo bo'ladi - Parametrga ega bo'lgan vazifa - bu har biri muayyan parametr qiymatini almashtirish orqali shartdan olinadigan vazifalar to'plami. - Ruxsat etilgan parametr qiymatlari diapazoni parametr qiymatlari to'plami bo'lib, ularni almashtirish mantiqiy vazifaga olib keladi. - Parametrli masalani yechish deganda parametrning har qanday ruxsat etilgan qiymati uchun berilgan muammoning barcha yechimlari to‘plamini topish tushuniladi. - Biz ikkita asosiy turdagi parametrlar bilan muammolarni ko'rib chiqamiz. I turdagi masalalarda parametrning har bir qiymati uchun masalani yechish talab qilinadi. Buning uchun sizga kerak: parametrning ODZ-ni qismlarga bo'ling, ularning har birida muammoni bir xil tarzda hal qilish mumkin; olingan qismlarning har birida muammoni hal qiling. II turdagi muammolarda ma'lum shartlar bajarilgan barcha parametr qiymatlarini topish talab qilinadi. - Parametrli muammoga javob - bu parametrning aniq qiymatlari uchun olingan muammolarga javoblar to'plamining tavsifi.

Masalan.

1) a (a – 1) = a – 1 tenglamani yeching.

Yechim. Bizning oldimizda a ning barcha ruxsat etilgan qiymatlari uchun mantiqiy chiziqli tenglama mavjud. Biz uni "odatdagidek" hal qilamiz: tenglamaning ikkala tomonini noma'lum koeffitsientga ajratamiz. Ammo bo'linish har doim ham mumkinmi?

Siz nolga bo'linmaysiz. Noma'lum koeffitsienti o ga teng bo'lgan holatni alohida ko'rib chiqishga to'g'ri keladi. Biz olamiz:

Javob: 1) a 0, a 1 bo‘lsa, x = ;

2) a = 1 bo'lsa, x har qanday son;

3) agar a = 0 bo'lsa, unda ildizlar yo'q.

2) (a – 1)x 2 + 2 (2a – 1)x + 4 a + 3 = 0 tenglamani yeching.

Yechim. Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik:

Diskriminantni ko'rib chiqing: D = (2a - 1) 2 – (a – 1)(4a + 3) = - 3a + 4.

Agar a bo'lsa, x 1,2 = .

Javob: 1) a > bo‘lsa, unda ildizlar yo‘q;

2) a = 1 bo'lsa, x = - 3,5;

3) a va a1 bo'lsa, x 1,2 = .

IIbosqich - ikkinchi muammoni hal qilish.

Umumiy yechimlar modeli yordamida qisman tenglamalarni tasniflash usulini ko'rib chiqamiz.
Slayd paydo bo'ladi.

Masalan. Ratsional tenglamada f 1 (a) = funktsiyasi bu parametr qiymatlari uchun umumiy echimdir . Chunki

A f1 = dagi tenglamaning umumiy yechimi.

f 2 (a) = funktsiyasi A f2 = to'plamdagi tenglamaning umumiy yechimidir.
Umumiy yechimlar modelini quyidagi shaklda tuzamiz

Modelda biz qisman tenglamalarning barcha turlarini ajratib ko'rsatamiz: ; ; .

Shunday qilib, parametrli tenglamalarning asosiy tushunchalari misollar yordamida ko'rib chiqiladi: ruxsat etilgan qiymatlar diapazoni; domen; umumiy echimlar; parametrlarning nazorat qiymatlari; qisman tenglamalar turlari.

Kiritilgan parametrlarga asoslanib, biz a parametrli F(a;x) = 0 har qanday tenglamani yechishning umumiy sxemasini aniqlaymiz (ikkita parametr uchun sxema o'xshash):

• parametrning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni va aniqlash doirasi belgilanadi;
• parametrning ruxsat etilgan qiymatlari mintaqasini qisman tenglamalarning o'xshashlik mintaqalariga bo'lish orqali parametrning nazorat qiymatlari aniqlanadi;
• parametrning nazorat qiymatlari uchun tegishli qisman tenglamalar alohida o'rganiladi;
• F(a;x) = 0 tenglamaning x = f 1 (a), ..., f k (a) umumiy yechimlari mos keladigan A f1, ......, A fk parametr qiymatlari to‘plamlarida topilgan. ;
• umumiy echimlar modeli va nazorat parametrlari qiymatlari quyidagi shaklda tuzilgan (slaydda);

• model parametr qiymatlari intervallarini bir xil echimlar bilan aniqlaydi (bir xillik sohalari);
• parametrning nazorat qiymatlari va tanlangan bir xillik sohalari uchun barcha turdagi maxsus echimlarning xarakteristikalari qayd etiladi.

III bosqich - tenglamalarni o'rganish uchun topshiriqlarga misollar.

Keling, 2-toifa parametrlar bilan muammolarni echish misollarini ko'rib chiqaylik.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini joylashtirishga oid masalalar ayniqsa keng tarqalgan. Ularni yechishda grafik illyustratsiyalar yaxshi ishlaydi. Ildizlarning berilgan nuqtalarga nisbatan tekislik bilan joylashishi mos keladigan parabola shoxlarining yo'nalishi, tepaning koordinatalari, shuningdek berilgan nuqtalardagi qiymatlar bilan belgilanadi.

Masalan.

1) a parametrining qaysi qiymatlari uchun (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 tenglama ikkita ildizga ega, ulardan biri 1 dan katta va 1 dan kammi?

Yechim. f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 bo‘lsin. a 2 + a + 1 >0 bo‘lgani uchun f(x) kvadrat funksiya uchun masala sharti. faqat f (x) sharti bilan bajarilishi mumkin.< 1.

f(1) = a 2 + 4a – 7 tengsizlikni yechish< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .

Javob: -2 - < а < - 2 + .

2) Qaysi parametr qiymatlaridam tenglama ildizi (m – 1)x 2 – 2mx +m + 3 = 0 ijobiymi?

Yechim. f(x) = (m-1)x 2 - 2 mx + m + 3 bo'lsin:

1) m = 1 bo'lsa, -2x + 4 = 0, x = 2 - ildiz musbat;

2) agar m 1 bo'lsa, u holda rasmdan foydalanib siz quyidagi munosabatlarni olishingiz mumkin:

Keling, 2 ta holatni ko'rib chiqaylik:

1) agar 1,5 m > 0 bo'lsa, oxirgi tizimning 2 va 3 tengsizliklaridan biz m > 1 ni olamiz, ya'ni. nihoyat 1,5 m > 1;

2) agar m< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0, biz m-1 ni olamiz< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

Javob: m (-; -3)

IVbosqich - tenglamaning ildizlari sonini o'rnatish vazifasini ko'rib chiqing.

1-misol. Parametrning qaysi qiymatlarida va 2 cos 2 x – (2a + 9)cosx + 9a = 0 tenglamasining ildizlari yo'q.

Yechim. y = cosx bo'lsin, u holda asl tenglama 2y 2 – (2 a + 9)y + 9a = 0 ko'rinishini oladi, uning ildizlari y 1 = a, y 2 = 4,5. cosx = 4,5 tenglamaning ildizlari yo'q, cosx = a tenglamaning ildizlari bo'lmaydi, agar > 1 bo'lsa.

Javob: (- ; -1) (1; ).

2-misol. Tenglama tuzilgan a parametrining barcha qiymatlarini toping ildizlari yo'q.

Yechim. Ushbu tenglama tizimga teng: .

Tenglama ikki holatda yechimga ega emas: a = va

3-misol . a parametrining qaysi qiymatlarida tenglama bajariladi bitta yechim bormi?

Yechim. Tenglamaning yechimi faqat x = 0 bo'lganda yagona bo'lishi mumkin. Agar x = 0 bo'lsa, u holda a 2 -1 = 0 va a = 1 bo'ladi.

Keling, 2 ta holatni ko'rib chiqaylik:

1) a = 1 bo'lsa, x 2 - = 0 - uchta ildiz;

2). Agar a = -1 bo'lsa, x 2 + = 0, x = 0 yagona ildizdir.

4-misol. a parametrining qaysi qiymatlari uchun tenglama 2 ta ildizga ega?

Yechim. Bu tenglama sistemaga ekvivalent: . X 2 – x – a = 0 kvadrat tenglama qachon 2 ta manfiy bo'lmagan ildizga ega ekanligini aniqlaymiz.

Olingan tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi, agar 1+ 4a > 0 bo'lsa; agar ular salbiy emas

0 > a > -.

Javob: (- ; 0] .

Ko'p hollarda, tenglamaning ildizlari sonini o'rnatishda simmetriya muhim ahamiyatga ega.

Vbosqich - ikkita tenglamaning umumiy ildizini topish.

1-misol. a parametrining qaysi qiymatlari uchun x 2 + 3x + 7a -21 =0 va x 2 +6x +5a -6 =0 tenglamalar umumiy ildizga ega?

Yechim. Olingan tizimdan a parametrini chiqarib tashlaylik. Buning uchun birinchi tenglamani -5 ga, ikkinchisini 7 ga ko'paytiring va natijalarni qo'shing. Biz olamiz: 2x 2 + 27x +63 = 0, ildizlari x 1 = -3, x 2 = -10,5. Tenglamalardan biriga ildizlarni almashtiramiz va a parametrining qiymatini topamiz.

Javob: 3 va – 8.25.

2-misol. X 2 – ax + 2 = 0 va 3x 2 + (a - 9)x + 3=0 tenglama a parametrining qaysi qiymatlari uchun ekvivalent hisoblanadi?

Yechim. Ma'lumki, tenglamalar, agar ularning ko'p ildizlari mos kelsa, ekvivalent hisoblanadi. Keling, 2 ta holatni ko'rib chiqaylik.

1) Tenglamalarning ildizlari yo'q (ildizlar to'plami bo'sh). Keyin ularning diskriminantlari salbiy:

Tengsizliklar sistemasi hech qanday yechimga ega emas.

2) tenglamalar umumiy ildizlarga ega. Keyin

Binobarin, bu tenglamalar faqat a = 3 yoki a = bo'lganda umumiy ildizlarga ega bo'lishi mumkin.

O'zingiz tekshirib ko'ring!

VIbosqich - geometrik talqinlar.

Parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilish grafiklardan foydalanishni ancha osonlashtiradi.

1-misol . a parametriga qarab tenglamani yeching: .

Yechim. 0 uchun bu aniq:

Barcha ildizlar mos keladimi? Buni bilish uchun a = funksiyasini chizamiz.
Ildizlarning sonini rasmda ko'rish mumkin:

1. agar a< 0, то корней нет;
2. a = 0 va a > 0 bo'lsa, u holda 2 ta ildiz mavjud.

Keling, bu ildizlarni topamiz.

a = 0 bo'lganda biz x 2 – 2x – 3 = 0 va x 1 = -1, x 2 = 3 ni olamiz; a > 4 uchun bular x 2 – 2x – 3 – a = 0 tenglamaning ildizlari.

Agar 0< а < 4 – все 4 корня подходят.

Agar a = 4 bo'lsa - uchta ildiz:
Javob: 1) agar a< 0, то корней нет;

2) a = 0 bo'lsa, x 1 = -1, x 2 = 3;

3) agar 0 bo'lsa< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;

4) a = 4 bo'lsa, x 1 = 1; x 2,3 = 1;

5) a > 4 bo'lsa, x 1,2 = 1 bo'ladi.

2-misol . a ning qaysi qiymatlari uchun tenglama ikkitadan ortiq ildizga ega?

Yechim. Agar dastlabki tenglamaga x = 0 ni almashtirsak, 6 = 6 ni olamiz, ya'ni x = 0 har qanday a uchun tenglamaning yechimidir.

Endi x 0 bo'lsin, keyin yozishimiz mumkin . 2x + 3 va 2x – 3 ifodalarining belgilarini aniqlaymiz.

Modullarni kengaytiramiz: a = (1)

x0a tekisligida koordinatalari (1) munosabatni qanoatlantiradigan nuqtalar to'plamini (x;a) quramiz.

Agar a = 0 bo'lsa, u holda tenglamaning boshqa qiymatlari uchun oraliqda cheksiz miqdordagi echimlar mavjud, tenglamaning echimlari soni ikkitadan oshmaydi.

Javob: a = 0.

Sinov nazorati

1 variant	Variant 2
1) Tenglamani yeching: 0 x = a Javoblar	1) Tenglamani yeching: a x = a. Javoblar: a) a ≠ 0 uchun, x = 1, a = 0 uchun, x R b) a = 0, x R uchun, a ≠ 0 uchun ildiz yo'q c) a = 0 uchun ildiz yo'q, a ≠ x = uchun
2) Tenglamani yeching: (v – 2) x = 5 + v. Javoblar:	2) (b + 1) x = 3 – b tenglamani yeching. Javoblar: a) b = 2 uchun ildiz yo'q; b ≠2 uchun x = ; b) b = -2 uchun ildiz yo'q, b ≠-2 uchun x = c) b = -1 uchun ildiz yo'q, a ≠ uchun - 1
3) c parametrining qaysi qiymatlari uchun tenglama cheksiz sonli yechimga ega? s·(s + 1)·x = s 2 – 1. Javob: a) c = -1, x R, bilan; Chaplygin V.F., Chaplygina N.B. Algebra va analizdan parametrlar bilan bog'liq masalalar, 1998 yil.

Tanlov kursi darsi

ushbu mavzu bo'yicha: “Tenglamalar va tengsizliklarni parametrli yechish”

(Umumlashtirish va takrorlash darsi)

Maqsad: 1.Talabalarning parametrli tenglama va tengsizliklarni yechish usullari haqidagi bilimlarini takrorlash va umumlashtirish; muayyan vazifalarni hal qilishda bilimlarni qo'llash qobiliyatini mustahkamlash; 2. Mantiqiy fikrlashni rivojlantirish; 3. Diqqat va aniqlikni tarbiyalash.

Dars rejasi: I. Tashkiliy moment____________________________2 min.

II. Asosiy bilimlarni yangilash:

1. Takrorlash_________________________________3 min.
2. Og'zaki ish________________________________3 min.
3. Kartalar bilan ishlash (1 va 2-da)

III. Mashqlar yechimi_________________________________22 min.

IY. Testning bajarilishi____________________________8 min.

Y. Xulosa qilish, uy vazifasini belgilash__2 min.

Darslar davomida:

I. Tashkiliy vaqt.

O'qituvchi: - Salom bolalar. Barchangizni ko'rganimdan xursandman, darsimizni boshlaymiz. Bugungi darsda bizning maqsadimiz ushbu mavzuni o'rganish jarayonida oldingi darslarda olingan bilim, ko'nikma va malakalarni takrorlash va amalda qo'llashdir.

II . Asosiy bilimlarni yangilash:

1) Takrorlash.

O'qituvchi: - Shunday qilib, takrorlaymiz.

Parametrli chiziqli tenglama nima deyiladi?

Bunday tenglamalarni yechishda qanday holatlarni hisobga oldik?

Parametrli chiziqli tenglamalarga misollar keltiring.

Parametrli chiziqli tengsizliklarga misollar keltiring.

2) Og'zaki ish.

Vazifa: Bu tenglamani chiziqli shaklga keltiring.

Stol ustida:

a) 3a x – 1 =2 x;

b) 2+5 x = 5a x;

c) 2 x – 4 = a x + 1.

3) Kartochkalar yordamida ishlash.

III . Mashqlar yechimi.

1-mashq. Parametrli tenglamani yechish A.

3(ax + 1) + 1 = 2(a – x) + 1.

Topshiriq doskada va daftarlarda bajariladi.

Vazifa 2. Qanday qiymatda a, to'g'ri chiziq y = 7ax + 9, o'tadi

t. A(-3;2) ?

Topshiriq doskada bitta talaba tomonidan mustaqil bajariladi. Qolganlari daftarlarda ishlaydi, keyin doskani tekshiring.

Jismoniy ta'lim-tarbiya bir daqiqa.

Vazifa 3. Qanday qiymatda a, 3(ax – a) = x – 1 tenglamaga ega

Cheksiz ko'p echimlar?

Bu vazifani o’quvchilardan mustaqil ravishda daftarlarida yechishlari so’raladi. Keyin javoblarni tekshiring.

Vazifa 4. Qaysi parametr qiymatida A , tenglama ildizlarining yig'indisi

2x² + (4a² - 2)x – (a² + 1) = 0 1 ga teng?

Vazifa joyidan izoh berish orqali amalga oshiriladi.

Vazifa 5. Parametrli tengsizlikni yeching R :

r(5x – 2)

Bu vazifa doskada va daftarlarda bajariladi.

IY. Sinovni amalga oshirish.

Talabalarga topshiriqlar bilan individual varaqlar beriladi:

1) tenglama6(ax + 1) + a = 3(a – x) + 7 chiziqli?

A) ha; b) yo'q; c) chiziqli holatga keltirilishi mumkin

2) (2ax + 1)a = 5a – 1 tenglama chiziqli tenglama shakliga keltiriladi

A) yo'q; b) ha;

3) Parametrning qaysi qiymatida va y = ax - 3 to'g'ri chiziq o'tadi

T. A(-2;9) ?

A) a = 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6.

4) 2ax + 1 = x tenglama qanday bo'lsa -1 ga teng ildiz bormi?

a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2.

5) Kvadrat tenglama bo'lsa ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 ga bog'liq

A) dagi qiymatlar; b) a ning qiymatlari; c) qiymatlar -v/a;

d) yechimlari yo'q.

TEST JAVOBLARI: V; A; V; V; b.

YII. Darsni yakunlash. Uy vazifasini belgilash.

O'qituvchi: - Bugun darsda oldingi darslarda olingan bilimlarni takrorladik va mustahkamladik, turli topshiriqlarni bajarishda kerakli ko'nikmalarni mashq qildik. Menimcha, siz yaxshi ish qildingiz, yaxshi.

Dars uchun qo'yilgan baholardan tashqari, darsdagi bir qator boshqa o'quvchilarning ishini ham baholashingiz mumkin.

O'qituvchi : - Uy vazifangizni yozing:

Stol ustida:

Tengsizlikni yeching: x² - 2ax + 4 > 0.

Dars tugadi.

Vladimir viloyati ta'lim boshqarmasi

Sudogodskiy tumani ta'lim bo'limi

Munitsipal ta'lim muassasasi

"Moshok o'rta maktabi"

« Yechim tenglamalar Va tengsizliklar Bilan parametr»

Ishlab chiquvchi: Gavrilova G.V.

matematika o'qituvchisi

"Moshokskaya o'rtacha" shahar ta'lim muassasasi

umumta'lim maktabi"

2009 yil

Parametrli tenglama va tengsizliklarni yechish

Tushuntirish eslatmasi
Parametr tushunchasi ko'pincha maktab matematikasi va unga bog'liq fanlarda qo'llaniladigan matematik tushunchadir.

7-sinf - chiziqli funksiya va bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglamani o'rganishda.

8-sinf - kvadrat tenglamalarni o'rganishda.

Maktab matematika kursining umumta'lim o'quv dasturida parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilish ko'zda tutilmagan va universitetlarga kirish imtihonlarida va matematikadan Yagona davlat imtihonida parametrlar bilan bog'liq muammolar mavjud bo'lib, ularni hal qilish talabalar uchun katta qiyinchiliklarga olib keladi parametrlari bilan diagnostik va prognostik ahamiyatga ega, bu sizga maktab matematika kursining asosiy bo'limlari bo'yicha bilimlarni, mantiqiy fikrlash darajasini, dastlabki tadqiqot ko'nikmalarini sinab ko'rish imkonini beradi.

Kursning asosiy maqsadi talabalarni parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilishning umumiy yondashuvlari bilan tanishtirish, talabalarni raqobatdosh imtihon sharoitida parametrlarni o'z ichiga olgan muammolarni muvaffaqiyatli hal qila oladigan tarzda tayyorlashdir.

Tenglamani yechish, yechimlar sonini aniqlash, tenglamani tekshirish, musbat ildizlarni topish, tengsizlikning yechimlari yo‘qligini isbotlash va hokazo – bularning barchasi parametrik misollar uchun variantlardir. Shuning uchun, misollarni yechish uchun universal ko'rsatmalar berish mumkin emas, bu kursda yechimlar bilan turli misollar ko'rib chiqiladi. Kurs materiali quyidagi sxema bo'yicha taqdim etiladi: ma'lumot, echimlar bilan misollar, mustaqil ishlash uchun misollar, materialni o'zlashtirish muvaffaqiyatini aniqlash uchun misollar.

Parametrlar bilan vazifalarni hal qilish tadqiqot ko'nikmalarini shakllantirishga va intellektual rivojlanishga yordam beradi.

Kurs maqsadlari:

O‘quvchilarning 7-8-sinflarda chiziqli va kvadrat tenglama va tengsizliklarni yechishda olgan bilimlarini tizimlashtirish;

Matematik qobiliyatlarini aniqlash va rivojlantirish;

Parametrlarni o'z ichiga olgan chiziqli tenglamalar va tengsizliklarni echish bo'yicha yaxlit tushuncha hosil qilish;

Parametrlari bo'lgan kvadrat tenglamalar va tengsizliklarni yechish bo'yicha yaxlit tushuncha hosil qilish;

Talabalarning ushbu fanga barqaror qiziqishini shakllantirishni ta'minlaydigan matematika bo'yicha bilimlarni chuqurlashtirish;

• 
  yuqori matematik madaniyatni talab qiladigan kasbiy faoliyatga tayyorgarlikni ta’minlash.

O'quv va tematik reja

№ p/p	Mavzu	Miqdor soat	Faoliyatlar
1.			Seminar
2.	Parametrli vazifalar haqida dastlabki ma'lumotlar.		Seminar
3.	Parametrlarni o'z ichiga olgan chiziqli tenglamalarni yechish.
4.	Parametrlarni o'z ichiga olgan chiziqli tengsizliklarni yechish.		Tadqiqot ishlari; malaka oshirish; mustaqil ish.
5.	Kvadrat tenglamalar. Vyeta teoremasi.	3	Tadqiqot ishlari; malaka oshirish; mustaqil ish.
6.	Kursni muvaffaqiyatli yakunlash	1	Yakuniy test

1-mavzu. Chiziqli tenglamalar va tengsizliklar, kvadrat tenglamalar va tengsizliklarni yechish, Vyeta teoremasidan foydalanib masalalar yechish.
Mavzu 2. Parametrli vazifalar haqida dastlabki ma'lumotlar.

Parametr tushunchasi. "Parametr bilan muammoni hal qilish" nimani anglatadi? Parametr bilan bog'liq muammolarning asosiy turlari. Parametrli masalalarni yechishning asosiy usullari.

Parametrli chiziqli tenglamalarni yechishga misollar.
4-mavzu. Tarkibida parametrlari bor chiziqli tengsizliklarni yechish.

Parametrli chiziqli tengsizliklarni yechish misollari.

Mavzu 5. Kvadrat tenglamalar. Vyeta teoremasi.

Parametrli kvadrat tenglamalarni yechishga misollar.

Tanlov kursi uchun didaktik material

“Tenglamalarni yechish va

parametrli tengsizliklar"
1-mavzu. Ushbu mavzu bo'yicha misollar.
2-mavzu. Talabalar allaqachon parametrlarga duch kelgan misollar:

To'g'ridan-to'g'ri proportsionallik funktsiyasi: y = kx (x va y - o'zgaruvchilar; k - parametr, k ≠ 0);

Teskari proportsionallik funksiyasi: y = k / x (x va y o'zgaruvchilar, k - parametr, k ≠ 0)

Chiziqli funksiya: y = kh + b (x va y o'zgaruvchilar; k va b parametrlar);

Chiziqli tenglama: ax + b = 0 (x - o'zgaruvchi; a va b - parametrlar);

Kvadrat tenglama ax 2 + bx + c = 0 (x - o'zgaruvchi; a, b va c - parametrlar,

Parametr nima?

Agar tenglama yoki tengsizlikda ba'zi koeffitsientlar aniq raqamli qiymatlar bilan almashtirilmasa, lekin harflar bilan belgilansa, ular parametrlar deb ataladi va tenglama yoki tengsizlik parametrikdir.

Parametrlar odatda lotin alifbosining birinchi harflari bilan belgilanadi: a, b, c, ... yoki a 1, a 2, a 3, ..., nomaʼlumlar esa lotin alifbosining oxirgi harflari x, y, z, ... Bu belgilar majburiy emas, lekin agar bu holatda qaysi harflar parametr va qaysi biri noma'lum bo'lganligi ko'rsatilmagan bo'lsa -

mi, keyin quyidagi belgilar qo'llaniladi.

Masalan, (4x – ax)a = 6x – 10 tenglamasini yeching. Bu erda x noma'lum va a parametrdir.

"Parametr bilan muammoni hal qilish" nimani anglatadi?

Parametrli masalani yechish, a parametrining har bir qiymati uchun ushbu masalani qanoatlantiradigan x qiymatini toping, ya'ni. bu muammodagi savolga bog'liq.

Parametrli tenglama yoki tengsizlikni yechish quyidagilarni anglatadi:

Qaysi parametr qiymatlarida echimlar mavjudligini aniqlang;

Har bir ruxsat etilgan parametr qiymatlari tizimi uchun tegishli echimlar to'plamini toping.

Parametr bilan bog'liq muammolarning asosiy turlari qanday?
1-turi. Har qanday parametr qiymati yoki oldindan belgilangan to'plamga tegishli parametr qiymatlari uchun echilishi kerak bo'lgan tenglamalar, tengsizliklar. Ushbu turdagi vazifa "Parametrlar bilan bog'liq muammolar" mavzusini o'zlashtirishda asosiy hisoblanadi.

2-turi. Parametrning qiymatiga qarab yechimlar sonini aniqlash kerak bo'lgan tenglamalar, tengsizliklar.

3-turi. Tenglamalar, tengsizliklar, ular uchun ko'rsatilgan tenglamalar va tengsizliklar ma'lum miqdordagi echimlarga ega bo'lgan barcha parametr qiymatlarini topish kerak bo'ladi (xususan, ularda cheksiz sonli echimlar yo'q yoki mavjud). 3-turdagi muammolar qaysidir ma'noda 2-turdagi muammolarga teskari hisoblanadi.

4-turi. Tenglamalar, tengsizliklar, ular uchun parametrning kerakli qiymatlari uchun echimlar to'plami ta'rif sohasida berilgan shartlarni qondiradi.

Masalan, parametr qiymatlarini toping, unda:

1) o'zgaruvchining berilgan oraliqdan istalgan qiymati uchun tenglama bajariladi;

2) birinchi tenglamaning yechimlari to‘plami ikkinchi tenglama yechimlari to‘plamining kichik to‘plamidir va hokazo.

Parametrli masalalarni yechishning asosiy usullari.
Usul 1. (analitik) Bu usul to'g'ridan-to'g'ri yechim deb ataladi, parametrsiz masalalarda javobni topishning standart usullarini takrorlaydi.

2-usul. (grafik) Vazifaga qarab, koordinata tekisligidagi (x; y) yoki koordinata tekisligidagi (x; a) grafiklar ko'rib chiqiladi.

3-usul. (parametrga oid qaror) Bu usul yordamida yechishda x va a o'zgaruvchilar teng deb qabul qilinadi va analitik yechim oddiyroq deb hisoblangan o'zgaruvchi tanlanadi. Tabiiy soddalashtirishlardan so'ng biz x va a o'zgaruvchilarning asl ma'nosiga qaytamiz va yechimni yakunlaymiz.

Izoh. Parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilishda muhim qadam javobni yozishdir. Bu, ayniqsa, parametr qiymatlariga qarab yechim "tarmoqqa" o'xshab ko'rinadigan misollar uchun amal qiladi. Bunday hollarda javobni tuzish avvaldan olingan natijalar to'plamidir. Va bu erda yechimning barcha bosqichlarini javobda aks ettirishni unutmaslik juda muhimdir.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik. 2.1. -a va 5a ni solishtiring.

Yechim. Uchta holatni ko'rib chiqish kerak: agar 5a;

agar a = 0 bo'lsa, u holda –a = 5a;

a > 0 bo'lsa, -a

Javob. 5a bo'lganda; a = 0 da, –a = 5a; a > 0, -a uchun

1. 
   ax = 1 tenglamasini yeching.

Yechim. Agar a = 0 bo'lsa, tenglamaning yechimlari yo'q.

Agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda x = 1 / a.

Javob. a = 0 uchun hech qanday yechim yo'q; a ≠ 0 uchun x = 1 / a.

1. 
   va – 7c bilan solishtiring.
2. 
   cx = 10 tenglamani yeching

3-mavzu.

Chiziqli tenglamalar

Shakl tenglamalari

bu yerda a, b haqiqiy sonlar to‘plamiga tegishli, x esa noma’lum bo‘lib, x ga nisbatan chiziqli tenglama deyiladi.

Chiziqli tenglamani o'rganish sxemasi (1).

1.A ≠ 0 bo'lsa, b har qanday haqiqiy sondir. Tenglama yagona yechimga ega x = b/a.

2. Agar a=0, b=0 bo'lsa, u holda tenglama 0 ∙ x = 0 ko'rinishini oladi, tenglamaning yechimi barcha haqiqiy sonlar to'plami bo'ladi.

3. Agar a=0, b ≠ 0 bo'lsa, 0 ∙ x = b tenglamaning yechimlari yo'q.

Izoh. Agar chiziqli tenglama (1) ko'rinishda taqdim etilmagan bo'lsa, unda siz avval uni (1) shaklga keltirishingiz kerak va shundan keyingina o'rganishni amalga oshiring.
Misollar. 3.1 (a -3)x = b+2a tenglamani yeching

Tenglama (1) shaklida yoziladi.

Yechish: Agar a≠ 3 bo'lsa, u holda tenglama har qanday b uchun x = b+2a/ a-3 yechimga ega.

Bu tenglamaning yechimlari bo'lmasligi mumkin bo'lgan a ning yagona qiymati a = 3 ekanligini anglatadi. Bunda (a -3)x = b+2a tenglama shaklni oladi

0 ∙ x = b+6. (2)

Agar b≠ - 6 bo'lsa, (2) tenglamaning yechimlari yo'q.

Agar b = - 6 bo'lsa, har qanday x (2) ning yechimidir.

Binobarin, b = - 6 b parametrining yagona qiymati bo'lib, u uchun (1) tenglama har qanday a uchun yechimga ega (a ≠3 uchun x=2 va a=3 uchun x haqiqiy sonlar to'plamiga tegishli).

Javob: b = -6.

3.2. 3(x-2a) = 4(1-x) tenglamani yeching.

3.3. 3/kx-12=1/3x-k tenglamani yeching

3.4. (a 2 -1)x = a 2 – a -2 tenglamasini yeching

3.5. x 2 + (2a +4)x +8a+1=0 tenglamani yeching
Mustaqil ish.

Variant 1. Tenglamalarni yeching: a) kiritish + 2 = - 1;

b) (a – 1)x = a – 2;

c) (a 2 – 1)x – a 2 + 2a – 1 = 0.

Variant 2. Tenglamalarni yeching: a) – 8 = in + 1;

b) (a + 1)x = a – 1;

c) (9a 2 – 4)x – 9a 2 + 12a – 4 = 0.
4-mavzu.

Parametrli chiziqli tengsizliklar

Tengsizliklar

ah > in, ah
Bu erda a, b parametrlarga bog'liq ifodalar va x noma'lum, parametrli chiziqli tengsizliklar deyiladi.

Parametrli tengsizlikni yechish barcha parametr qiymatlari uchun tengsizlikning yechimlari to‘plamini topishni bildiradi.

Tengsizlikni yechish sxemasi aX > c.

1. 
   Agar a > 0 bo'lsa, u holda x > b/a.
2. 
   Agar a
3. 
   Agar a = 0 bo'lsa, u holda tengsizlik 0 ∙ x > b ko'rinishini oladi. b ≥ 0 uchun tengsizlik yechimga ega emas; da

Talabalar mustaqil ravishda boshqa tengsizliklarni yechish sxemalarini tuzadilar.
Misollar. 4.1. a(3x-1)>3x – 2 tengsizlikni yeching.

Yechish: a(3x-1)>3x – 2, ya’ni 3x(a-1)>a-2.

Keling, uchta holatni ko'rib chiqaylik.

1. 
   a=1, 0 ∙ x > -1 yechim har qanday haqiqiy sondir.
2. 
   a>1, 3x(a-1)>a-2, ya'ni x>a-2/3 (a-1).
3. 
   a-2 esa x degan ma'noni anglatadi

Javob: a>1 uchun x > a-2/3 (a-1); x Tengsizliklarni yeching. 4.2. (a – 1)x > a 2 – 1.

1. 
   2ax +5 > a+10x.
2. 
   (a + 1)x – 3a + 1 ≤ 0.
3. 
   X 2 + ax +1 > 0.

Mustaqil ish.

Variant 1. Tengsizliklarni yeching: a) ( A– 1) x ≤ A 2 – 1;

b) 3x-a > ah – 2.

Variant 2. Tengsizliklarni yeching: a) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;

b) ah-2c
5-mavzu.

Parametrlarni o'z ichiga olgan kvadrat tenglamalar. Vyeta teoremasi.

Shakl tenglamasi

ax 2 +in + c = 0, (1)

bu yerda a, b, c parametrlarga bog’liq ifodalar, a ≠ 0, x noma’lum bo’lib, parametrli kvadrat tenglama deyiladi.
Kvadrat tenglamani o'rganish sxemasi (1).

1. 
   Agar a = 0 bo'lsa, u holda bx + c = 0 chiziqli tenglamaga ega bo'lamiz.
2. 
   Agar a ≠ 0 va tenglamaning diskriminanti D = 2 - 4ac bo'lsa
3. 
   Agar a ≠ 0 va D = 0 bo'lsa, tenglamaning yagona yechimi x = - B / 2a yoki ular aytganidek, mos keladigan ildizlar x 1 = x 2 = - B / 2a.
4. 
   Agar a ≠ 0 va D > 0 bo'lsa, tenglama ikki xil ildizga ega X 1.2 = (- V ± √D) / 2a

Misollar. 5.1. a parametrining barcha qiymatlari uchun tenglamani yeching

(a – 1)x 2 – 2ax + a + 2 = 0.

Yechim. 1. a - 1 = 0, ya'ni. a = 1. Keyin tenglama -2x + 3 = 0, x = 3 / 2 ko'rinishini oladi.

2. a ≠ 1. D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8 tenglamaning diskriminantini topamiz.

Quyidagi holatlar mumkin: a) D 8, a > 2. Tenglama mavjud emas

b) D = 0, ya'ni. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Tenglama bittaga ega.

ildiz x = a / (a ​​- 1) = 2 / (2 - 1) = 2.

c) D > 0, ya'ni. -4a + 8 > 0,4a

ildiz x 1,2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a ​​- 1)

Javob. a = 1 x = 3/2 bo'lganda;

a =2 x = 2 bo'lganda;

a > 2 uchun ildizlar yo'q;

Barcha parametr qiymatlari uchun tenglamalarni yeching:

1. 
   ax 2 + 3ax – a – 2 = 0;
2. 
   ax 2 +6x – 6 = 0;
3. 
   2 da – (+ 1 da)x +1 = 0;
4. 
   (b + 1)x 2 – 2x + 1 – b = 0.

Mustaqil ish.

Variant 1. ax 2 - (a+3)x + 3 = 0 tenglamasini yeching.

Variant 2. a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0 tenglamani yeching.
Vazifalar.

1. 
   . Kvadrat tenglama bo'lgan a parametrining barcha qiymatlarini toping

(a -1)x 2 + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0 ikki xil ildizga ega; ildizlari yo'q; bitta ildizga ega.

Yechim. Bu tenglama shart bo'yicha kvadratikdir, ya'ni

a - 1 ≠ 0, ya'ni. a ≠ 1. D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) = diskriminantni topamiz.

4(4a 2 + 4a + 1 - 4a 2 + a + 3) = 4 (5a + 4).

Bizda: 1) a ≠ 1 va D > 0 uchun, ya'ni. 4(5a + 4) > 0, a > - 4 / 5 tenglama ikkitaga ega

turli xil ildizlar.

2) a ≠ 1 va D uchun

3) a ≠ 1 va D = 0 uchun, ya'ni. a = - 4/5 tenglama bitta ildizga ega.

Javob. Agar a > - 4/5 va a ≠ 1 bo'lsa, tenglama ikki xil ildizga ega bo'ladi;

a = - 4/5 bo'lsa, tenglama bitta ildizga ega.

1. 
   .(a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 tenglama a parametrining qaysi qiymatlari uchun yagona yechimga ega?
2. 
   .(a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 tenglama a parametrining qaysi qiymatlari uchun yechimga ega emas?
3. 
   .A parametrining qaysi qiymatlari uchun ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 tenglama ikki xil ildizga ega?

Mustaqil ish.

Variant 1. Barcha parametr qiymatlarini toping A, buning uchun kvadrat tenglama (2 A – 1)X 2 +2X– 1 = 0 ikki xil ildizga ega; ildizlari yo'q; bitta ildizga ega.

Variant 2.. Kvadrat tenglama (1 -) bo'lgan a parametrining barcha qiymatlarini toping. A)X 2 +4X– 3 = 0 ikki xil ildizga ega; ildizlari yo'q; bitta ildizga ega.
Vyeta teoremasi.

Parametrlari bo'lgan kvadrat tenglamalar bilan bog'liq ko'plab masalalarni yechish uchun quyidagi teoremalardan foydalaniladi.

Vyeta teoremasi. Agar x 1, x 2 kvadrat tenglamaning ildizlari ax 2 + bx + c = 0, a≠0 bo'lsa, u holda x 1 + x 2 = - B / a va x 1 ∙ x 2 = C / a bo'ladi.
Teorema 1. 2 + bx + c kvadrat trinomial oqning ildizlari haqiqiy bo'lishi va bir xil belgilarga ega bo'lishi uchun quyidagi shartlarni bajarish zarur va etarli: D = 2 - 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C / A > 0.

Bu holda, agar x 1 + x 2 = - B /a > 0 bo'lsa, ikkala ildiz ham ijobiy bo'ladi va x 1 + x 2 = - B /a bo'lsa, ikkala ildiz ham manfiy bo'ladi.
Teorema 2. 2 + bx + c kvadrat trinomial o'qning ildizlari haqiqiy va ikkala manfiy yoki ikkalasi ham nomusbat bo'lishi uchun quyidagi shartlarni bajarish zarur va etarli: D = 2 - 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0.

Bu holda, agar x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0 bo'lsa, ikkala ildiz manfiy bo'lmaydi va x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0 bo'lsa, ikkala ildiz ham ijobiy bo'lmaydi.

Teorema 3. 2+bx+c kvadrat uch a’zoli o‘qning ildizlari haqiqiy bo‘lishi va har xil belgilarga ega bo‘lishi uchun quyidagi shartlarni bajarish zarur va yetarli: x 1 ∙ x 2 = C /a Bunda D = shart. b 2 – 4ac > 0 avtomatik ravishda qondiriladi.
Eslatma. Bu teoremalar ax 2 + bx + c = 0 tenglama ildizlarining belgilarini o'rganishga oid masalalarni yechishda muhim rol o'ynaydi.

Foydali tengliklar: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)

x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)

(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)

(5)

5.10.

(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 quyidagilarga ega: a) ikkita musbat ildiz; b) ikkita manfiy ildiz; v) turli belgilarning ildizlari?

Yechim. Tenglama kvadratik bo'lib, ≠ 1 ni bildiradi. Veta teoremasi bo'yicha bizda mavjud

x 1 + x 2 = 2a / (a ​​- 1) , x 1 x 2 = (a + 1) / (a ​​- 1) .

D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4 diskriminantni hisoblaymiz.

a) 1-teoremaga ko'ra, agar tenglama musbat ildizlarga ega

D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, ya'ni. (a + 1) / (a ​​- 1) > 0, 2a / (a ​​- 1) > 0.

Demak, ê (-1; 0).

b) 1-teoremaga ko'ra, agar tenglama manfiy ildizlarga ega

D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a ​​- 1)

Demak, a ê (0; 1).

c) 3-teoremaga ko'ra, x 1 x 2 bo'lsa, tenglama turli belgilarga ega bo'ladi.

(a + 1) / (a ​​- 1) Javob. a) a ê (-1; 0) uchun tenglama musbat ildizlarga ega;

b) a ê uchun (0; 1) tenglama manfiy ildizlarga ega;

c) a ê (-1; 1) uchun tenglama turli belgilarning ildizlariga ega.
5.11. a parametrining qaysi qiymatlarida kvadrat tenglama bo'ladi

(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 quyidagilarga ega: a) ikkita musbat ildiz; b) ikkita manfiy ildiz; v) turli belgilarning ildizlari?

5. 12. 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0 tenglamasini yechmasdan, x 1 -1 + x 2 -1 ni toping, bu erda x 1, x 2 tenglamaning ildizlari.

5.13. a parametrining qaysi qiymatlari uchun x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 tenglamasi kvadratlari yig'indisi 4 ga teng ildizlarga ega.

Nazorat ishi.
Variant 1. 1. (a 2 + 4a)x = 2a + 8 tenglamani yeching.

2. (+ 1 da) x ≥ (2 – 1 da) tengsizlikni yeching.

3. a parametrining qaysi qiymatlari uchun tenglama tuziladi

x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 quyidagilarga ega: a) ikkita musbat ildiz; b) ikkita manfiy ildiz; v) turli belgilarning ildizlari?

Variant 2. 1. (a 2 – 2a)x = 3a tenglamani yeching.

2. (a + 2)x ≤ a 2 – 4 tengsizlikni yeching.

3. Tenglamadagi parametrning qaysi qiymatlarida

x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 quyidagilarga ega: a) ikkita musbat ildiz; b) ikkita manfiy ildiz; v) turli belgilarning ildizlari?

Adabiyot.

1. 
   V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Parametrli tenglamalar va tengsizliklar. Ch.: ChDU nashriyoti, 2004. – 175 b.
2. 
   Yastrebinskiy G.A. Parametrlar bilan bog'liq muammolar. M.: Ta'lim, 1986, - 128 b.
3. 
   Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi. Umumta’lim maktablarining 10-11-sinflari uchun darslik. M.: Ta'lim, 1991. – 351 b.
4. 
   T. Peskova. Tenglamalardagi parametrlarga birinchi kirish. “Matematika” o‘quv-uslubiy gazetasi. № 36, 1999 y.
5. 
   T. Kosyakova. Parametrli chiziqli va kvadrat tengsizliklarni yechish. 9-sinf "Matematika" o'quv-uslubiy gazetasi No 25 - 26, 27 - 28. 2004 y.
6. 
   T. Gorshenina. Parametr bilan bog'liq muammolar. 8-sinf “Matematika” o‘quv-uslubiy gazetasi. № 16. 2004 yil.
7. 
   Sh.Tsyganov. Kvadrat trinomlar va parametrlar. “Matematika” o‘quv-uslubiy gazetasi. № 5. 1999 yil.
8. 
   S. Nedelyaeva. Parametrli masalalarni yechish xususiyatlari. “Matematika” o‘quv-uslubiy gazetasi. № 34. 1999 yil.

9. V.V. Parametrlar bilan tirsak muammolari. Chiziqli va kvadrat tenglamalar, tengsizliklar, sistemalar. O'quv va uslubiy qo'llanma, 2005 yil.