كيفية العثور على الطول إذا كانت الإحداثيات معروفة. إيجاد إحداثيات منتصف القطعة: أمثلة، حلول

ستغطي المقالة أدناه مسائل العثور على إحداثيات منتصف القطعة إذا كانت إحداثيات نقاطها القصوى متاحة كبيانات أولية. لكن قبل أن نبدأ بدراسة الموضوع، دعونا نقدم عدداً من التعريفات.

تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1

القطعة المستقيمة- خط مستقيم يربط بين نقطتين عشوائيتين، يسمى طرفي القطعة. على سبيل المثال، دع هذه النقطتين A و B، وبالتالي، الجزء A B.

إذا استمرت القطعة A B في كلا الاتجاهين من النقطتين A و B، نحصل على خط مستقيم A B. ثم يكون الجزء A B جزءًا من الخط المستقيم الناتج، ويحده النقطتان A وB. الجزء A B يوحد النقطتين A وB، وهما طرفيه، بالإضافة إلى مجموعة النقاط الواقعة بينهما. على سبيل المثال، إذا أخذنا أي نقطة اختيارية K تقع بين النقطتين A وB، فيمكننا القول أن النقطة K تقع على القطعة A B.

التعريف 2

طول القسم- المسافة بين طرفي القطعة بمقياس معين (قطعة بطول الوحدة). دعونا نشير إلى طول القطعة A B كما يلي: A B .

التعريف 3

منتصف القطعة- نقطة تقع على قطعة وعلى مسافة متساوية من طرفيها. إذا تم تحديد منتصف القطعة A B بالنقطة C، فستكون المساواة صحيحة: A C = C B

البيانات الأولية: الخط الإحداثي O x والنقاط غير المتطابقة عليه: A وB. هذه النقاط تتوافق مع الأعداد الحقيقية × أ و × ب . النقطة C هي منتصف القطعة A B: من الضروري تحديد الإحداثيات س ج .

وبما أن النقطة C هي نقطة المنتصف للقطعة A B، فإن المساواة ستكون صحيحة: | أ ج | = | ج ب | . يتم تحديد المسافة بين النقاط من خلال معامل الفرق في إحداثياتها، أي.

| أ ج | = | ج ب | ⇔ س ج - س أ = س ب - س ج

ثم هناك معادلتان محتملتان: x C - x A = x B - x C و x C - x A = - (x B - x C)

من المساواة الأولى نشتق صيغة إحداثيات النقطة C: x C = x A + x B 2 (نصف مجموع إحداثيات نهايات القطعة).

ومن المساواة الثانية نحصل على: x A = x B، وهذا مستحيل، لأن في البيانات المصدر - نقاط غير متزامنة. هكذا، صيغة لتحديد إحداثيات منتصف القطعة A B مع الأطراف A (x A) وب(xب):

ستكون الصيغة الناتجة هي الأساس لتحديد إحداثيات منتصف القطعة على المستوى أو في الفضاء.

البيانات الأولية: نظام إحداثي مستطيل على المستوى O x y، نقطتان عشوائيتان غير متطابقتين بإحداثيات معينة A x A وy A وB x B وy B. النقطة C هي منتصف القطعة A B. من الضروري تحديد إحداثيات x C و y C للنقطة C.

لنأخذ للتحليل الحالة التي لا تتطابق فيها النقطتان A و B ولا تقعان على نفس خط الإحداثيات أو خط عمودي على أحد المحاور. أ س , أ ذ ; B x و B y و C x و C y - إسقاطات النقاط A و B و C على محاور الإحداثيات (الخطوط المستقيمة O x و O y).

وفقا للبناء، فإن الخطوط A A x، B B x، C C x متوازية؛ الخطوط متوازية أيضًا مع بعضها البعض. بالإضافة إلى ذلك، وفقًا لنظرية طاليس، من المساواة A C = C B، تتبع المتساويات: A x C x = C x B x و A y C y = C y B y، وهي بدورها تشير إلى أن النقطة C x هي النقطة منتصف القطعة A x B x، وC y هو منتصف القطعة A y B y. وبعد ذلك، بناءً على الصيغة التي حصلنا عليها سابقًا، نحصل على:

x C = x A + x B 2 و y C = y A + y B 2

يمكن استخدام نفس الصيغ في الحالة التي تقع فيها النقطتان A و B على نفس خط الإحداثيات أو على خط عمودي على أحد المحاور. سلوك تحليل تفصيليلن نأخذ هذه الحالة بعين الاعتبار، بل سننظر إليها بيانيًا فقط:

تلخيص كل ما سبق ، إحداثيات منتصف القطعة A B على المستوى مع إحداثيات الأطرافأ (س أ، ص أ) وب(xB، ص) يتم تعريفها على أنها:

(س أ + س ب 2، ص أ + ص ب 2)

البيانات الأولية: نظام الإحداثيات O x y z ونقطتين عشوائيتين بإحداثيات معينة A (x A, y A, z A) وB (x B, y B, z B). من الضروري تحديد إحداثيات النقطة C، وهي منتصف القطعة A B.

أ س , أ ذ , أ ض ; B x , B y , B z و C x , C y , C z - إسقاطات الكل نقاط معينةعلى محور نظام الإحداثيات.

وفقًا لنظرية طاليس، فإن المساواة التالية صحيحة: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

لذلك، النقاط C x , C y , C z هي نقاط المنتصف للقطاعات A x B x , A y B y , A z B z , على التوالي. ثم، لتحديد إحداثيات منتصف القطعة في الفضاء، الصيغ التالية صحيحة:

س ج = س أ + س ب 2، ص ج = ص أ + ص ب 2، ض ج = ض أ + ض ب 2

تنطبق الصيغ الناتجة أيضًا في الحالات التي تقع فيها النقطتان A وB على أحد خطوط الإحداثيات؛ على خط مستقيم متعامد على أحد المحورين؛ في مستوى إحداثي واحد أو في مستوى متعامد مع إحدى المستويات الإحداثية.

تحديد إحداثيات منتصف القطعة من خلال إحداثيات متجهات نصف القطر لأطرافها

يمكن أيضًا اشتقاق صيغة إيجاد إحداثيات منتصف القطعة وفقًا للتفسير الجبري للمتجهات.

البيانات الأولية: نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل O x y، نقاط بإحداثيات معينة A (x A, y A) وB (x B, x B). النقطة C هي منتصف القطعة A B.

وفقًا للتعريف الهندسي للأفعال على المتجهات، ستكون المساواة التالية صحيحة: O C → = 1 2 · O A → + O B → . النقطة ج عند في هذه الحالة- نقطة تقاطع أقطار متوازي الأضلاع المبني على أساس المتجهين O A → و O B →، أي. نقطة منتصف الأقطار، وإحداثيات متجه نصف القطر للنقطة تساوي إحداثيات النقطة، إذن تكون المساواة صحيحة: O A → = (x A, y A)، O B → = (x B) ، ي ب). لنقم ببعض العمليات على المتجهات في الإحداثيات ونحصل على:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

وبالتالي، فإن إحداثيات النقطة C هي:

س أ + س ب 2 ، ص أ + ص ب 2

وقياسًا على ذلك، يتم تحديد صيغة لإيجاد إحداثيات منتصف القطعة في الفضاء:

ج (س أ + س ب 2، ص أ + ص ب 2، ض أ + ض ب 2)

أمثلة على حل المسائل المتعلقة بإيجاد إحداثيات نقطة منتصف القطعة

من بين المشاكل التي تنطوي على استخدام الصيغ التي تم الحصول عليها أعلاه، هناك تلك التي يكون السؤال المباشر فيها هو حساب إحداثيات منتصف القطعة، وتلك التي تنطوي على جلب الشروط المعطاة لهذا السؤال: مصطلح "الوسيط" غالبًا ما يتم استخدامه، والهدف هو العثور على إحداثيات واحد من نهايات المقطع، كما أن مشكلات التماثل شائعة أيضًا، والتي يجب ألا يسبب حلها بشكل عام صعوبات بعد دراسة هذا الموضوع. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة النموذجية.

مثال 1

البيانات الأولية:على المستوى - النقاط ذات الإحداثيات المعطاة A (- 7، 3) و B (2، 4). من الضروري العثور على إحداثيات منتصف القطعة A B.

حل

دعنا نشير إلى منتصف القطعة A B بالنقطة C. سيتم تحديد إحداثياتها على أنها نصف مجموع إحداثيات نهايات القطعة، أي. النقطتان أ و ب.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

إجابة: إحداثيات منتصف القطعة أ ب - 5 2، 7 2.

مثال 2

البيانات الأولية:إحداثيات المثلث أ ب ج معروفة: أ (- 1، 0)، ب (3، 2)، ج (9، - 8). من الضروري العثور على طول الوسيط A M.

حل

1. وفقا لشروط المشكلة، A M هو الوسيط، مما يعني أن M هي نقطة منتصف القطعة B C . أولًا، دعونا نوجد إحداثيات منتصف القطعة B C، أي. نقاط م:

س م = س ب + س ج 2 = 3 + 9 2 = 6 ص م = ص ب + ص ج 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. وبما أننا نعرف الآن إحداثيات طرفي الوسيط (النقطتان A وM)، فيمكننا استخدام الصيغة لتحديد المسافة بين النقاط وحساب طول الوسيط A M:

أ م = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

إجابة: 58

مثال 3

البيانات الأولية:في نظام الإحداثيات مستطيلة مساحة ثلاثية الأبعادنظرا متوازي السطوح A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . يتم إعطاء إحداثيات النقطة C 1 (1، 1، 0)، ويتم تعريف النقطة M أيضًا، وهي نقطة منتصف القطر B D 1 ولها إحداثيات M (4، 2، - 4). من الضروري حساب إحداثيات النقطة أ.

حل

تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة، وهي نقطة منتصف جميع الأقطار. وبناء على هذا البيان، يمكن أن نضع في اعتبارنا أن النقطة M، المعروفة من شروط المشكلة، هي نقطة منتصف القطعة A C 1. بناءً على صيغة إيجاد إحداثيات منتصف قطعة في الفضاء، نجد إحداثيات النقطة A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z ج 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

إجابة:إحداثيات النقطة أ (7، 3، - 8).

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

هناك ثلاثة أنظمة إحداثيات رئيسية تستخدم في الهندسة، الميكانيكا النظرية، فروع الفيزياء الأخرى: الديكارتية، القطبية، والكروية. في أنظمة الإحداثيات هذه، النقطة بأكملها لها ثلاثة إحداثيات. بمعرفة إحداثيات نقطتين، يمكنك تحديد المسافة بين هاتين النقطتين.

سوف تحتاج

• الإحداثيات الديكارتية والقطبية والكروية لنهايات القطعة

تعليمات

1. أولاً، فكر في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل. يتم تحديد موقع نقطة في الفضاء في نظام الإحداثيات هذا الإحداثياتس، ص و ض. يتم رسم متجه نصف القطر من الأصل إلى النقطة. ستكون إسقاطات متجه نصف القطر هذا على محاور الإحداثيات الإحداثياتهذه النقطة.دعك الآن تحصل على نقطتين مع الإحداثيات x1 وy1 وz1 وx2 وy2 وz2 على التوالي. يُشار إليه بواسطة r1 وr2، على التوالي، بمتجهات نصف القطر للنقطتين الأولى والثانية. من الواضح أن المسافة بين هاتين النقطتين ستكون مساوية لمعامل المتجه r = r1-r2، حيث (r1-r2) هو فرق المتجه. ومن الواضح أن إحداثيات المتجه r ستكون كما يلي: x1-x2، y1-y2، z1-z2. عندها سيكون حجم المتجه r أو المسافة بين نقطتين مساويًا لـ: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2) )).

2. الآن فكر في نظام الإحداثيات القطبية الذي سيتم فيه إعطاء إحداثيات النقطة بواسطة الإحداثيات الشعاعية r (متجه نصف القطر في المستوى XY)، الإحداثيات الزاوي؟ (الزاوية بين المتجه r والمحور X) والإحداثيات z، المشابهة للإحداثيات z في النظام الديكارتي. يمكن تحويل الإحداثيات القطبية لنقطة ما إلى الإحداثيات الديكارتية بالطريقة التالية: x = r*cos? , ص = ص*الخطيئة ؟, ض = ض. ثم المسافة بين نقطتين مع الإحداثيات r1، ?1 ,z1 و r2, ?2, z2 ستكون مساوية لـ R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. انظر الآن إلى نظام الإحداثيات الكروي. وفيه يتم تحديد موقع النقطة بثلاثة الإحداثياتص، ؟ و؟. ص - المسافة من الأصل إلى النقطة، ؟ و؟ - زاوية السمت والزاوية السمتية، على التوالي. ركن؟ تشبه زاوية بنفس التسمية في نظام الإحداثيات القطبية، إيه؟ - الزاوية بين متجه نصف القطر r والمحور Z بقيمة 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с الإحداثيات r1 و ?1 و ?1 و r2 و ?2 و ?2 ستكون مساوية لـ R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *الخطيئة?1*الخطيئة?1-r2*الخطيئة?2*الخطيئة?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*الخطيئة ?1 )^2)+((r2*الخطيئة?2)^2)-2r1*r2*الخطيئة?1*الخطيئة?2*(cos?1*cos?2+الخطيئة?1*الخطيئة?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

فيديو حول الموضوع

هناك مجموعة كاملة من المهام (المدرجة في أنواع المشكلات في الامتحان) المرتبطة بالمستوى الإحداثي. هذه هي المشاكل التي تتراوح من أبسطها، والتي يتم حلها شفويا (تحديد الإحداثيات أو الإحداثيات لنقطة معينة، أو نقطة متناظرة لنقطة معينة، وغيرها)، وتنتهي بالمهام التي تتطلب معرفة وفهم ودقة عالية الجودة. مهارات جيدة (مشاكل تتعلق بالمعامل الزاوي للخط المستقيم).

تدريجيا سننظر في كل منهم. في هذه المقالة، سنبدأ بالأساسيات. هذه مهام بسيطة يجب تحديدها: الإحداثي الإحداثي والإحداثي لنقطة ما، وطول القطعة، ونقطة المنتصف للقطعة، وجيب التمام أو جيب التمام لمنحدر الخط المستقيم.معظم الناس لن يكونوا مهتمين بهذه المهام. لكنني أعتبر أنه من الضروري ذكرها.

والحقيقة هي أنه لا يذهب الجميع إلى المدرسة. كثير من الناس يأخذون امتحان الدولة الموحدة بعد 3-4 سنوات أو أكثر من التخرج، ويتذكرون بشكل غامض ما هي الإحداثيات والإحداثيات. سنقوم أيضًا بتحليل المهام الأخرى المتعلقة بالمستوى الإحداثي، لا تفوتها، اشترك في تحديثات المدونة. الآن نالقليل من النظرية.

دعونا نبني النقطة A على المستوى الإحداثي بإحداثيات x=6, y=3.

يقولون إن الإحداثي عند النقطة (أ) يساوي ستة، وإحداثي النقطة (أ) يساوي ثلاثة.

بكل بساطة، محور الثور هو محور الإحداثي، والمحور ص هو المحور الإحداثي.

أي أن الإحداثي السيني هو نقطة على المحور السيني حيث يتم إسقاط نقطة معينة على المستوى الإحداثي؛ الإحداثي هو النقطة على المحور y التي يتم إسقاط النقطة المحددة عليها.

طول القطعة على المستوى الإحداثي

صيغة تحديد طول القطعة إذا كانت إحداثيات نهايتها معروفة:

كما ترون، طول القطعة هو طول الوتر في مثلث قائم الزاوية ذو أرجل متساوية

X B - X A وU B - U A

* * *

منتصف المقطع . إحداثياتها.

صيغة لإيجاد إحداثيات نقطة المنتصف للقطعة:

معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين معلومتين

صيغة معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين معلومتين لها الصيغة:

حيث (x 1;y 1) و (x 2;y 2 ) إحداثيات نقاط معينة.

استبدال قيم الإحداثيات في الصيغة، يتم تقليله إلى النموذج:

ص = ك س + ب، حيث k هو ميل الخط

سنحتاج إلى هذه المعلومات عند حل مجموعة أخرى من المسائل المتعلقة بالمستوى الإحداثي. سيكون هناك مقال عن هذا، لا تفوت!

ماذا يمكنك أن تضيف؟

زاوية ميل الخط المستقيم (أو القطعة) هي الزاوية بين محور OX وهذا الخط المستقيم، وتتراوح من 0 إلى 180 درجة.

دعونا ننظر في المهام.

من النقطة (6،8) يسقط عمودي على المحور الإحداثي. أوجد إحداثيات قاعدة الخط المتعامد.

سيكون لقاعدة العمودي الذي تم إنزاله على المحور الإحداثي إحداثيات (0؛ 8). الإحداثي يساوي ثمانية.

الجواب: 8

أوجد المسافة من النقطة أمع الإحداثيات (6؛8) إلى الإحداثي.

المسافة من النقطة A إلى المحور الإحداثي تساوي حدود النقطة A.

الجواب: 6.

أ(6؛8) نسبة إلى المحور ثور.

النقطة المتناظرة للنقطة A بالنسبة لمحور oX لها إحداثيات (6؛- 8).

الإحداثي يساوي سالب ثمانية.

الجواب :- 8

العثور على إحداثيات نقطة متناظرة مع هذه النقطة أ(6؛ 8) نسبة إلى الأصل.

النقطة المتناظرة مع النقطة A بالنسبة للأصل لها إحداثيات (- 6;- 8).

إحداثياتها هي – 8.

الجواب: -8

أوجد الإحداثي المحوري لنقطة المنتصف للقطعة التي تربط النقاطيا(0;0) و أ(6;8).

من أجل حل المشكلة، من الضروري العثور على إحداثيات منتصف القطعة. إحداثيات طرفي القطعة هي (0;0) و (6;8).

نحن نحسب باستخدام الصيغة:

حصلنا على (3;4). الإحداثي الإحداثي يساوي ثلاثة.

الجواب: 3

* يمكن تحديد الإحداثي المحوري لمنتصف المقطع بدون حساب باستخدام صيغة عن طريق إنشاء هذا المقطع على مستوى إحداثي على ورقة في مربع. سيكون من السهل تحديد منتصف المقطع بواسطة الخلايا.

أوجد الإحداثي المحوري لنقطة المنتصف للقطعة التي تربط النقاط أ(6 ؛ 8) و ب(–2;2).

من أجل حل المشكلة، من الضروري العثور على إحداثيات منتصف القطعة. إحداثيات طرفي القطعة هي (-2;2) و(6;8).

نحن نحسب باستخدام الصيغة:

لقد حصلنا على (2;5). الإحداثي يساوي اثنين.

الجواب: 2

* يمكن تحديد الإحداثي المحوري لمنتصف المقطع بدون حساب باستخدام صيغة عن طريق إنشاء هذا المقطع على مستوى إحداثي على ورقة في مربع.

أوجد طول القطعة التي تربط النقطتين (0;0) و(6;8).

يتم حساب طول المقطع عند الإحداثيات المحددة لنهاياته بالصيغة:

في حالتنا لدينا O(0;0) وA(6;8). وسائل،

* ترتيب الإحداثيات عند الطرح لا يهم. يمكنك طرح الإحداثي الإحداثي والنقطة A من الإحداثي الإحداثي والنقطة O:

الجواب:10

أوجد جيب تمام ميل القطعة التي تربط النقاط يا(0;0) و أ(6، 8)، مع المحور السيني.

زاوية ميل القطعة هي الزاوية بين هذه القطعة ومحور oX.

من النقطة A نخفض بشكل عمودي على محور oX:

أي أن زاوية ميل القطعة هي الزاويةالجهاز الأعلى للرقابة المالية والمحاسبةفي المثلث الأيمن ABO.

جيب تمام الزاوية الحادة في المثلث القائم هو

نسبة الساق المجاورة إلى الوتر

علينا إيجاد الوترالزراعة العضوية.

وفقا لنظرية فيثاغورس:في المثلث القائم، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين.

وبالتالي، فإن جيب تمام زاوية الميل هو 0.6

الجواب: 0.6

من النقطة (6،8) يسقط عمودي على محور الإحداثي السيني. أوجد حدود قاعدة المتعامد.

يتم رسم خط مستقيم موازي لمحور الإحداثي السيني من خلال النقطة (6،8). أوجد إحداثيات نقطة تقاطعها مع المحور الوحدة التنظيمية.

أوجد المسافة من النقطة أبإحداثيات (6;8) لمحور الإحداثي السيني.

أوجد المسافة من النقطة أمع الإحداثيات (6؛8) إلى الأصل.

إذا لمست ورقة دفتر بقلم رصاص مشحذ جيدًا، فسيبقى أثر يعطي فكرة عن هذه النقطة. (تين. 3).

لنضع علامة على النقطتين A و B على قطعة من الورق، ويمكن ربط هاتين النقطتين بخطوط مختلفة (الشكل 4). كيفية توصيل النقطتين A و B بأقصر خط؟ يمكن القيام بذلك باستخدام المسطرة (الشكل 5). يسمى الخط الناتج شريحة.

النقطة والخط - أمثلة الأشكال الهندسية.

يتم استدعاء النقطتين A و B نهايات المقطع.

هناك قطعة واحدة نهايتها النقطتان A وB. لذلك، تتم الإشارة إلى القطعة من خلال كتابة النقاط التي تمثل نهايتها. على سبيل المثال، يتم تعيين المقطع في الشكل 5 بإحدى الطريقتين: AB أو BA. اقرأ: "الجزء AB" أو "الجزء BA".

ويبين الشكل 6 ثلاثة قطاعات. طول القطعة AB هو 1 سم، وهي تناسب بالضبط ثلاث مرات في القطعة MN، وأربع مرات بالضبط في القطعة EF. دعنا نقول ذلك طول القطعة MN يساوي 3 سم، وطول القطعة EF 4 سم.

ومن المعتاد أيضًا أن نقول: "القطعة MN تساوي 3 سم" ، "القطعة EF تساوي 4 سم". يكتبون: MN = 3 سم، EF = 4 سم.

قمنا بقياس أطوال القطع MN وEF قطعة واحدةطولها 1 سم ولقياس المقاطع يمكنك اختيار اخرى وحدات الطول، على سبيل المثال: 1 مم، 1 دسم، 1 كم. في الشكل 7، يبلغ طول القطعة 17 ملم. ويتم قياسه بقطعة واحدة طولها 1 ملم باستخدام مسطرة مدرجة. أيضًا، باستخدام المسطرة، يمكنك إنشاء (رسم) مقطع بطول معين (انظر الشكل 7).

على الاطلاق، لقياس مقطع ما يعني حساب عدد أجزاء الوحدة التي تناسبه.

طول المقطع له الخاصية التالية.

إذا قمت بتحديد النقطة C على المقطع AB، فإن طول المقطع AB يساوي مجموع أطوال المقطعين AC وCB(الشكل 8).

اكتب: AB = AC + CB.

ويبين الشكل 9 جزأين AB وCD. سوف تتزامن هذه الأجزاء عند فرضها.

يتم تسمية جزأين متساويين إذا تزامنا عند فرضهما.

وبالتالي فإن القطع AB و CD متساوية. يكتبون: AB = CD.

الأجزاء المتساوية لها أطوال متساوية.

من بين القطعتين غير المتساويتين، سنعتبر القطعة ذات الطول الأطول أكبر. على سبيل المثال، في الشكل 6، الجزء EF أكبر من الجزء MN.

يسمى طول القطعة AB مسافةبين النقطتين أ و ب.

إذا تم ترتيب عدة شرائح كما هو موضح في الشكل 10، فسوف تحصل على شكل هندسي يسمى خط متقطع. لاحظ أن جميع المقاطع في الشكل 11 لا تشكل خطًا متقطعًا. تعتبر المقاطع بمثابة خط متقطع إذا تزامنت نهاية المقطع الأول مع نهاية الجزء الثاني، والنهاية الأخرى للجزء الثاني مع نهاية الجزء الثالث، وما إلى ذلك.

النقاط أ، ب، ج، د، هـ - رؤوس الخط المكسور ABCDE، النقطتان A وE - نهايات الخطوط المتعددة، والمقاطع AB، وBC، وCD، وDE هي الخاصة بها الروابط(انظر الشكل 10).

طول الخطاستدعاء مجموع أطوال جميع روابطها.

يوضح الشكل 12 خطين متقطعين تتطابق نهايتهما. تسمى هذه الخطوط المكسورة مغلق.

مثال 1 . القطعة BC أصغر بمقدار 3 سم من القطعة AB التي يبلغ طولها 8 سم (الشكل 13). أوجد طول القطعة AC.

حل. لدينا: BC = 8 − 3 = 5 (سم).

باستخدام خاصية طول القطعة، يمكننا كتابة AC = AB + BC. وبالتالي AC = 8 + 5 = 13 (سم).

الجواب: 13 سم.

مثال 2 . ومن المعروف أن MK = 24 سم، NP = 32 سم، MP = 50 سم (الشكل 14). أوجد طول القطعة NK.

حل. لدينا: MN = MP - NP.

وبالتالي MN = 50 - 32 = 18 (سم).

لدينا: NK = MK - MN.

وبالتالي NK = 24 - 18 = 6 (سم).

الجواب: 6 سم.

حسب القطاعنطلق على جزء من خط مستقيم يتكون من جميع نقاط هذا الخط الواقعة بين هاتين النقطتين - ويطلق عليهما نهايات القطعة.

دعونا ننظر إلى المثال الأول. دع قطعة معينة يتم تحديدها بنقطتين في المستوى الإحداثي. في هذه الحالة، يمكننا إيجاد طوله باستخدام نظرية فيثاغورس.

لذلك، في نظام الإحداثيات، نرسم قطعة بإحداثيات نهاياتها المعطاة(×1؛ ص1) و (س2؛ ص2) . على المحور X و ي ارسم خطوطًا متعامدة من نهايات القطعة. دعونا نضع علامة باللون الأحمر على المقاطع التي تمثل إسقاطات من القطعة الأصلية على المحور الإحداثي. بعد ذلك نقوم بنقل شرائح الإسقاط بالتوازي مع نهايات المقاطع. نحصل على مثلث (مستطيل). سيكون الوتر في هذا المثلث هو القطعة AB نفسها، وأرجلها هي النتوءات المنقولة.

دعونا نحسب طول هذه التوقعات. لذلك، على المحور ي طول الإسقاط هو y2-y1 ، وعلى المحور X طول الإسقاط هو x2-x1 . دعونا نطبق نظرية فيثاغورس: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . في هذه الحالة |أب| هو طول الجزء.

إذا كنت تستخدم هذا الرسم البياني لحساب طول المقطع، فلن تحتاج حتى إلى إنشاء المقطع. الآن دعونا نحسب طول القطعة بالإحداثيات (1;3) و (2;5) . وبتطبيق نظرية فيثاغورس نحصل على: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . وهذا يعني أن طول القطعة يساوي 5:1/2 .

خذ بعين الاعتبار الطريقة التالية للعثور على طول المقطع. للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى معرفة إحداثيات نقطتين في بعض النظام. دعونا نفكر في هذا الخيار باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد.

لذلك، في نظام الإحداثيات ثنائي الأبعاد، يتم إعطاء إحداثيات النقاط القصوى للقطعة. إذا رسمنا خطوطًا مستقيمة عبر هذه النقاط، فلا بد أن تكون متعامدة مع المحور الإحداثي، فسنحصل على مثلث قائم الزاوية. سيكون الجزء الأصلي هو الوتر للمثلث الناتج. تشكل أرجل المثلث مقاطع طولها يساوي إسقاط الوتر على محاور الإحداثيات. بناء على نظرية فيثاغورس، نستنتج: من أجل العثور على طول مقطع معين، تحتاج إلى العثور على أطوال الإسقاطات على محوري الإحداثيات.

دعونا نجد أطوال الإسقاط (س و ص) الجزء الأصلي على محاور الإحداثيات. ونحسبها من خلال إيجاد الفرق في إحداثيات النقاط على طول محور منفصل: X = X2-X1، Y = Y2-Y1 .

احسب طول المقطع أ ولهذا نجد الجذر التربيعي:

أ = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

إذا كان الجزء الخاص بنا يقع بين النقاط التي إحداثياتها 2;4 و 4;1 ، فإن طوله يساوي المقابل √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .