مشتق مضاد
تعريف دالة المشتقة العكسية
- وظيفة ص = و (س)يسمى المشتق العكسي للدالة ص = و (س)في فترة زمنية معينة X،إذا للجميع X ∈Xالمساواة تحمل: F'(س) = و(س)
يمكن قراءتها بطريقتين:
- F مشتق من وظيفة F
- F المشتقة العكسية للدالة F
خاصية المشتقات المضادة
- لو و(خ)- المشتق العكسي للدالة و (خ)في فترة زمنية معينة، فإن الدالة f(x) تحتوي على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، ويمكن كتابة كل هذه المشتقات العكسية في الصورة و(خ) + ج، حيث C هو ثابت تعسفي.
التفسير الهندسي
- الرسوم البيانية لجميع المشتقات العكسية لوظيفة معينة و (خ)يتم الحصول عليها من الرسم البياني لأي مشتق عكسي واحد عن طريق الترجمات المتوازية على طول المحور O في.
قواعد لحساب المشتقات العكسية
- المشتق العكسي للمجموع يساوي مجموع المشتقات العكسية. لو و(خ)- مشتق مضاد ل و (خ)، وG(x) هو مشتق عكسي لـ ز (خ)، الذي - التي و(خ) + ز(خ)- مشتق مضاد ل و(خ) + ز(خ).
- يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة. لو و(خ)- مشتق مضاد ل و (خ)، و ك- ثابت إذن ك·F(خ)- مشتق مضاد ل ك و(س).
- لو و(خ)- مشتق مضاد ل و (خ)، و ك، ب- ثابت، و ك ≠ 0، الذي - التي 1/ك و(ك س + ب)- مشتق مضاد ل و (ك س + ب).
يتذكر!
أي وظيفة و(س) = س 2 + ج ، حيث C هو ثابت اعتباطي، وهذه الوظيفة فقط هي مشتق عكسي للوظيفة و(س) = 2س.
- على سبيل المثال:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
و(س) = 2س،لأن F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
و(س) = 2س،لأن F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
العلاقة بين الرسوم البيانية للدالة ومشتقاتها العكسية:
- إذا كان الرسم البياني للدالة و(خ)>0 و(خ)يزيد خلال هذه الفترة.
- إذا كان الرسم البياني للدالة و (خ)<0 على الفاصل الزمني، ثم الرسم البياني لمشتقه العكسي و(خ)يتناقص خلال هذه الفترة.
- لو و(س)=0، ثم الرسم البياني لمشتقه العكسي و(خ)عند هذه النقطة يتغير من الزيادة إلى التناقص (أو العكس).
للدلالة على المشتق العكسي، يتم استخدام علامة التكامل غير المحدد، أي تكامل دون الإشارة إلى حدود التكامل.
تكامل غير محدد
تعريف:
- التكامل غير المحدد للدالة f(x) هو التعبير F(x) + C، أي مجموعة جميع المشتقات العكسية لدالة معينة f(x). تتم الإشارة إلى التكامل غير المحدد على النحو التالي: \int f(x) dx = F(x) + C
- و (خ)- تسمى الدالة التكاملية؛
- و(خ) دس- يسمى التكامل.
- س- يسمى متغير التكامل.
- و(خ)- أحد المشتقات العكسية للدالة f(x);
- مع- ثابت تعسفي.
خصائص التكامل غير المحدد
- مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- يمكن إخراج العامل الثابت للتكامل من علامة التكامل: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- تكامل مجموع (الفرق) من الوظائف يساوي المبلغ(اختلافات) تكاملات هذه الوظائف: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- لو ك، بهي ثوابت، و k ≠ 0، إذن \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
جدول المشتقات العكسية والتكاملات غير المحددة
| وظيفة و (خ) | مشتق مضاد و(خ) + ج | التكاملات غير المحددة \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | ج | \int 0 دكس = ج |
| و(خ) = ك | و(س) = ك س + ج | \int kdx = kx + C |
| و(س) = س^م، م\لا =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| و(س) = ه^س | و(س) = ه^س + ج | \int e(^x)dx = e^x + C |
| و(س) = أ^س | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| و(س) = \الخطيئة س | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| و(س) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| و(س) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| و(س) =\فارك(1)( 1+س^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| و(س)=\tg س | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| و(س)=\ctg س | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
صيغة نيوتن-ليبنيز
يترك و (خ)هذه الوظيفة Fمشتقاته التعسفية.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= و(ب) - و(أ)
أين و(خ)- مشتق مضاد ل و (خ)
أي تكامل الدالة و (خ)على فترة يساوي الفرق بين المشتقات العكسية عند النقاط بو أ.
مساحة شبه منحرف منحني
شبه منحرف منحني الأضلاع هو شكل محدد بالرسم البياني لدالة غير سالبة ومستمرة على فترة F، محور الثور والخطوط المستقيمة س = أو س = ب.
تم العثور على مساحة شبه المنحرف المنحني باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
يعد حل التكاملات مهمة سهلة، ولكن فقط لقلة مختارة. هذه المقالة مخصصة لأولئك الذين يريدون تعلم كيفية فهم التكاملات، ولكنهم لا يعرفون شيئًا عنها أو لا يعرفون شيئًا تقريبًا عنها. لا يتجزأ... لماذا هو مطلوب؟ كيفية حساب ذلك؟ ما هو مؤكد و تكامل غير محددس؟ إذا كان الاستخدام الوحيد الذي تعرفه للتكامل هو استخدام خطاف كروشيه على شكل أيقونة متكاملة للحصول على شيء مفيد من الأماكن التي يصعب الوصول إليها، فمرحبًا بك! تعرف على كيفية حل التكاملات ولماذا لا يمكنك الاستغناء عنها.
ندرس مفهوم "التكامل"
كان التكامل معروفًا في مصر القديمة. بالطبع، ليس في شكله الحديث، ولكن لا يزال. ومنذ ذلك الحين، كتب علماء الرياضيات العديد من الكتب حول هذا الموضوع. تميزوا بشكل خاص نيوتن و لايبنتز لكن جوهر الأشياء لم يتغير. كيف نفهم التكاملات من الصفر؟ مستحيل! لفهم هذا الموضوع، ستظل بحاجة إلى معرفة أساسية بأساسيات التحليل الرياضي. هذه هي المعلومات الأساسية التي ستجدها على مدونتنا.
تكامل غير محدد
دعونا نحصل على بعض الوظائف و (خ) .
دالة تكاملية غير محددة و (خ) تسمى هذه الوظيفة و(خ) ، الذي مشتقه يساوي الدالة و (خ) .
بمعنى آخر، التكامل هو مشتق عكسي أو مشتق عكسي. بالمناسبة، اقرأ عن كيفية القيام بذلك في مقالتنا.
يوجد مشتق عكسي لجميع الوظائف المستمرة. أيضًا، غالبًا ما تتم إضافة علامة ثابتة إلى المشتق العكسي، نظرًا لأن مشتقات الوظائف التي تختلف بثبات تتزامن. تسمى عملية إيجاد التكامل بالتكامل.
مثال بسيط:
لكي لا يتم حساب المشتقات العكسية للدوال الأولية باستمرار، فمن المناسب وضعها في جدول واستخدام القيم الجاهزة:
تكامل محدد
عند التعامل مع مفهوم التكامل، فإننا نتعامل مع كميات متناهية الصغر. سيساعد التكامل في حساب مساحة الشكل وكتلة الجسم غير المنتظم والمسافة المقطوعة أثناء الحركة غير المستوية وغير ذلك الكثير. يجب أن نتذكر أن التكامل هو مجموع عدد كبير لا نهائي من الحدود متناهية الصغر.
على سبيل المثال، تخيل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. كيفية العثور على مساحة الشكل الذي يحده الرسم البياني للدالة؟
باستخدام جزء لا يتجزأ! دعونا نقسم شبه المنحرف المنحني، المحدود بمحاور الإحداثيات والرسم البياني للدالة، إلى أجزاء متناهية الصغر. بهذه الطريقة سيتم تقسيم الشكل إلى أعمدة رفيعة. مجموع مساحات الأعمدة سيكون مساحة شبه المنحرف. لكن تذكر أن مثل هذا الحساب سيعطي نتيجة تقريبية. ومع ذلك، كلما كانت الأجزاء أصغر وأضيق، كلما كان الحساب أكثر دقة. إذا قمنا بتقليلها إلى درجة أن الطول يميل إلى الصفر، فإن مجموع مساحات القطع سوف يميل إلى مساحة الشكل. وهذا تكامل محدد، وهو مكتوب على النحو التالي:
تسمى النقطتان a وb بحدود التكامل.
باري علي باسوف ومجموعة "لا يتجزأ"
بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على
قواعد لحساب التكاملات للدمى
خصائص التكامل غير المحدد
كيفية حل تكامل غير محدد؟ سننظر هنا إلى خصائص التكامل غير المحدد، والتي ستكون مفيدة عند حل الأمثلة.
- مشتق التكامل يساوي التكامل:
- يمكن إخراج الثابت من تحت علامة التكامل:
- تكامل المجموع يساوي مجموع التكاملات. وهذا ينطبق أيضًا على الفرق:
خصائص التكامل المحدد
- الخطية:
- تتغير إشارة التكامل إذا بدلت حدود التكامل:
- في أينقاط أ, بو مع:
لقد اكتشفنا بالفعل أن التكامل المحدد هو نهاية المبلغ. ولكن كيف يمكن الحصول على قيمة محددة عند حل مثال؟ لهذا هناك صيغة نيوتن-لايبنتز:
أمثلة على حل التكاملات
أدناه سننظر في عدة أمثلة لإيجاد التكاملات غير المحددة. نحن ندعوك لمعرفة تعقيدات الحل بنفسك، وإذا كان هناك شيء غير واضح، فاطرح الأسئلة في التعليقات.
لتعزيز المادة، شاهد مقطع فيديو حول كيفية حل التكاملات عمليًا. لا تيأس إذا لم يتم إعطاء التكامل على الفور. اسأل وسيخبرونك بكل ما يعرفونه عن حساب التكاملات. بمساعدتنا، سيكون أي تكامل ثلاثي أو منحني على سطح مغلق في حدود طاقتك.
هناك ثلاث قواعد أساسية للعثور على وظائف المشتقات العكسية. إنها تشبه إلى حد كبير قواعد التمايز المقابلة.
المادة 1
إذا كان F هو مشتق عكسي لبعض الوظائف f، و G هو مشتق عكسي لبعض الوظائف g، فإن F + G سيكون مشتقًا عكسيًا لـ f + g.
حسب تعريف المشتق العكسي، F' = f. ز' = ز. وبما أن هذه الشروط قد تحققت، فوفقًا لقاعدة حساب المشتقة لمجموع الدوال سيكون لدينا:
(F + G)' = F' + G' = f + g.
القاعدة 2
إذا كانت F مشتقة عكسية لبعض الوظائف f، و k ثابتة. إذن k*F هو المشتق العكسي للدالة k*f. تتبع هذه القاعدة قاعدة حساب مشتقة دالة معقدة.
لدينا: (k*F)' = k*F' = k*f.
القاعدة 3
إذا كانت F(x) عبارة عن مشتق عكسي للدالة f(x)، وكانت k وb بعض الثوابت، وk لا تساوي الصفر، فإن (1/k)*F*(k*x+b) ستكون مشتق عكسي للدالة f (k*x+b).
تتبع هذه القاعدة قاعدة حساب مشتق دالة معقدة:
((1/ك)*F*(k*x+b))' = (1/ك)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لكيفية تطبيق هذه القواعد:
مثال 1. أوجد الصيغة العامة للمشتقات العكسية للدالة f(x) = x^3 +1/x^2. بالنسبة للدالة x^3، ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الدالة (x^4)/4، وبالنسبة للدالة 1/x^2، ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الدالة -1/x. باستخدام القاعدة الأولى لدينا:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
مثال 2. لنجد الصيغة العامة للمشتقات العكسية للدالة f(x) = 5*cos(x). بالنسبة للدالة cos(x)، ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الدالة sin(x). إذا استخدمنا الآن القاعدة الثانية، فسيكون لدينا:
و(س) = 5*الخطيئة(س).
مثال 3.أوجد أحد المشتقات العكسية للدالة y = sin(3*x-2). بالنسبة للدالة sin(x) ستكون إحدى المشتقات العكسية هي الدالة -cos(x). إذا استخدمنا الآن القاعدة الثالثة، فسنحصل على تعبير للمشتق العكسي:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
مثال 4. أوجد المشتق العكسي للدالة f(x) = 1/(7-3*x)^5
المشتق العكسي للدالة 1/x^5 سيكون الدالة (-1/(4*x^4)). الآن، باستخدام القاعدة الثالثة، نحصل على.
لقد رأينا أن للمشتق استخدامات عديدة: المشتق هو سرعة الحركة (أو، بشكل أعم، سرعة أي عملية)؛ المشتق هو ميل المماس للرسم البياني للدالة؛ باستخدام المشتق، يمكنك فحص دالة للرتابة والنقاط القصوى؛ يساعد المشتق في حل مشكلات التحسين.
لكن في الحياة الواقعية علينا أيضًا حل المشكلات العكسية: على سبيل المثال، إلى جانب مشكلة إيجاد السرعة وفقًا لقانون معروف للحركة، نواجه أيضًا مشكلة استعادة قانون الحركة وفقًا لسرعة معروفة. دعونا نفكر في واحدة من هذه المشاكل.
مثال 1.تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم، وسرعتها عند الزمن t تعطى بالصيغة u = tg. العثور على قانون الحركة.
حل.دع s = s(t) هو قانون الحركة المطلوب. ومن المعروف أن s"(t) = u"(t). هذا يعني أنه لحل المشكلة عليك أن تختار وظيفة s = s(t)، الذي مشتقه يساوي tg. ليس من الصعب تخمين ذلك
دعونا نلاحظ على الفور أن المثال قد تم حله بشكل صحيح، ولكن بشكل غير كامل. لقد وجدنا أن المشكلة، في الواقع، لها عدد لا نهائي من الحلول: أي دالة من الشكل 
الثابت التعسفي يمكن أن يكون بمثابة قانون للحركة، منذ ذلك الحين
لجعل المهمة أكثر تحديدًا، كنا بحاجة إلى إصلاح الوضع الأولي: الإشارة إلى إحداثيات نقطة متحركة في وقت ما، على سبيل المثال، عند t=0. إذا، على سبيل المثال، s(0) = s 0، فمن المساواة نحصل على s(0) = 0 + C، أي S 0 = C. الآن يتم تعريف قانون الحركة بشكل فريد:
في الرياضيات، يتم إعطاء العمليات العكسية أسماء مختلفة ويتم اختراع رموز خاصة: على سبيل المثال، التربيع (x 2) وأخذ الجذر التربيعي للجيب (sinx) و أركسين(أركسين س)، الخ. تسمى عملية إيجاد مشتق دالة معينة بالتمايز، والعملية العكسية، أي. عملية إيجاد دالة من مشتق معين - التكامل.
يمكن تبرير مصطلح "مشتق" نفسه "في الحياة اليومية": الوظيفة y - f(x) "تلد" وظيفة جديدة y"= f"(x). تعمل الوظيفة y = f(x) "الأم"، لكن علماء الرياضيات، بطبيعة الحال، لا يسمونها "الأم" أو "المنتج"، فهم يقولون أن هذه، فيما يتعلق بالدالة y"=f"(x)، هي الصورة الأساسية، أو، في باختصار، المشتق المضاد.
التعريف 1.تسمى الدالة y = F(x) بالمشتق العكسي للدالة y = f(x) في فترة زمنية معينة X إذا كانت المساواة F"(x)=f(x) صالحة لجميع x من X.
من الناحية العملية، عادة لا يتم تحديد الفاصل الزمني X، ولكنه ضمني (باعتباره المجال الطبيعي لتعريف الوظيفة).
وهنا بعض الأمثلة:
1) الدالة y = x 2 هي مشتقة عكسية للدالة y = 2x، حيث أن المساواة (x 2)" = 2x صحيحة لجميع x.
2) الدالة y - x 3 هي مشتقة عكسية للدالة y-3x 2، حيث أن المساواة (x 3)" = 3x 2 صحيحة لجميع x.
3) الدالة y-sinx هي مشتقة عكسية للدالة y = cosx، حيث أن المساواة (sinx)" = cosx لجميع x صحيحة.
4) الدالة هي مشتقة عكسية لدالة في الفاصل الزمني حيث أن المساواة صحيحة لجميع x > 0
بشكل عام، معرفة صيغ البحث عن المشتقات، ليس من الصعب تجميع جدول الصيغ للعثور على المشتقات العكسية.
نأمل أن تفهم كيفية تجميع هذا الجدول: مشتق الدالة المكتوبة في العمود الثاني يساوي الدالة المكتوبة في الصف المقابل من العمود الأول (تحقق من ذلك، لا تكن كسولًا، انها مفيدة للغاية). على سبيل المثال، بالنسبة للدالة y = x 5، المشتق العكسي، كما ستثبت، هو الدالة (انظر الصف الرابع من الجدول).
ملحوظات: 1. أدناه سنثبت النظرية القائلة بأنه إذا كانت y = F(x) مشتقة عكسية للدالة y = f(x)، فإن الدالة y = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية وجميعها لها الشكل y = F(x ) + C. لذلك، سيكون من الأصح إضافة المصطلح C في كل مكان في العمود الثاني من الجدول، حيث يكون C رقمًا حقيقيًا عشوائيًا.
2. من أجل الإيجاز، في بعض الأحيان بدلاً من عبارة "الدالة y = F(x) هي مشتق عكسي للدالة y = f(x)"، يقولون F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x) ".
2. قواعد العثور على المشتقات العكسية
عند العثور على المشتقات العكسية، وكذلك عند البحث عن المشتقات، لا يتم استخدام الصيغ فقط (وهي مدرجة في الجدول ص 196)، ولكن أيضًا بعض القواعد. ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالقواعد المقابلة لحساب المشتقات.
نحن نعلم أن مشتقة المجموع تساوي مجموع مشتقاته. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.
المادة 1.المشتقة العكسية للمجموع تساوي مجموع المشتقات العكسية.
نلفت انتباهكم إلى "خفة" هذه الصيغة إلى حد ما. في الواقع، ينبغي للمرء صياغة النظرية: إذا كانت الدالتان y = f(x) وy = g(x) لها مشتقات عكسية في الفترة X، على التوالي y-F(x) وy-G(x)، فإن مجموع الدوال y = f(x)+g(x) له مشتق عكسي في الفترة X، وهذا المشتق العكسي هو الدالة y = F(x)+G(x). ولكن عادة، عند صياغة القواعد (وليس النظريات)، فإنها تترك فقط الكلمات الدالة- وهذا يجعل تطبيق القاعدة عمليًا أكثر ملاءمة
مثال 2.أوجد المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x.
حل.المشتق العكسي لـ 2x هو x"؛ والمشتق العكسي لـ cox هو sin x. وهذا يعني أن المشتق العكسي للدالة y = 2x + cos x سيكون الدالة y = x 2 + sin x (وبشكل عام أي دالة من النموذج ص = س 1 + جاينكس + ج) .
نحن نعلم أنه يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة. تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.
القاعدة 2.يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتق العكسي.
مثال 3.
حل.أ) المشتق العكسي لـ sin x هو -soz x؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y = 5 sin x، ستكون دالة المشتق العكسي هي الدالة y = -5 cos x.
ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x؛ هذا يعني أن المشتق العكسي للدالة هو الدالة
ج) المشتق العكسي لـ x 3 هو المشتق العكسي لـ x، والمشتق العكسي للدالة y = 1 هو الدالة y = x. باستخدام القاعدتين الأولى والثانية لإيجاد المشتقات العكسية نجد أن المشتقة العكسية للدالة y = 12x 3 + 8x-1 هي الدالة
تعليق.كما هو معروف، مشتقة المنتج لا تساوي منتج المشتقات (قاعدة تفاضلية المنتج أكثر تعقيدا) ومشتقة حاصل القسمة لا تساوي حاصل قسمة المشتقات. لذلك، لا توجد قواعد لإيجاد المشتق العكسي للمنتج أو المشتق العكسي لحاصل دالتين. احرص!
دعونا نحصل على قاعدة أخرى لإيجاد المشتقات العكسية. نحن نعلم أن مشتق الدالة y = f(kx+m) يتم حسابه بواسطة الصيغة
تنشئ هذه القاعدة القاعدة المقابلة للعثور على المشتقات العكسية.
القاعدة 3.إذا كانت y = F(x) مشتقًا عكسيًا للدالة y = f(x)، فإن المشتق العكسي للدالة y=f(kx+m) هو الدالة
بالفعل،
هذا يعني أنه مشتق عكسي للدالة y = f(kx+m).
معنى القاعدة الثالثة هو كما يلي. إذا كنت تعلم أن المشتق العكسي للدالة y = f(x) هو الدالة y = F(x)، وتحتاج إلى العثور على المشتق العكسي للدالة y = f(kx+m)، فاتبع الخطوات التالية: نفس الوظيفة F، ولكن بدلاً من الوسيطة x، استبدل التعبير kx+m؛ بالإضافة إلى ذلك، لا تنس كتابة "عامل التصحيح" قبل علامة الوظيفة
مثال 4.ابحث عن المشتقات العكسية لوظائف معينة:
حل، أ) المشتق العكسي لـ sin x هو -soz x؛ هذا يعني أنه بالنسبة للدالة y = sin2x فإن المشتق العكسي هو الدالة
ب) المشتق العكسي لـ cos x هو sin x؛ هذا يعني أن المشتق العكسي للدالة هو الدالة
ج) المشتق العكسي لـ x 7 يعني أنه بالنسبة للدالة y = (4-5x) 7 فإن المشتق العكسي هو الدالة
3. تكامل غير محدد
لقد سبق أن أشرنا أعلاه إلى أن مشكلة إيجاد المشتق العكسي لدالة معينة y = f(x) لها أكثر من حل. دعونا نناقش هذه المسألة بمزيد من التفصيل.
دليل. 1. افترض أن y = F(x) هو المشتق العكسي للدالة y = f(x) في الفاصل الزمني X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من X فإن المساواة x"(x) = f(x) موجودة. دعونا أوجد مشتقة أي دالة بالصيغة y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
إذن (F(x)+C) = f(x). هذا يعني أن y = F(x) + C هو مشتق عكسي للدالة y = f(x).
وهكذا، أثبتنا أنه إذا كانت الدالة y = f(x) لها مشتق عكسي y=F(x)، فإن الدالة (f = f(x) لها عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، على سبيل المثال، أي دالة على الشكل y = F(x) +C هو مشتق عكسي.
2. دعونا نثبت الآن أن نوع الوظائف المشار إليه يستنفد مجموعة المشتقات العكسية بأكملها.
افترض أن y=F 1 (x) وy=F(x) هما مشتقان عكسيان للدالة Y = f(x) في الفترة X. وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع x من الفترة X فإن العلاقات التالية تكون: F^ ( س) = و (س)؛ F"(س) = و(س).
لنفكر في الدالة y = F 1 (x) -.F(x) ونجد مشتقتها: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - و(س) = 0.
من المعروف أنه إذا كان مشتق الدالة في الفترة X يساوي الصفر، فإن الدالة تكون ثابتة في الفترة X (انظر النظرية 3 من الفقرة 35). وهذا يعني أن F 1 (x) - F (x) = C، أي. Fx) = F(x)+C.
لقد تم إثبات النظرية.
مثال 5.قانون تغير السرعة مع الزمن معطى: v = -5sin2t. أوجد قانون الحركة s = s(t)، إذا كان من المعروف أنه في الزمن t=0 كان إحداثي النقطة يساوي الرقم 1.5 (أي s(t) = 1.5).
حل.بما أن السرعة هي مشتقة من الإحداثيات كدالة للزمن، فعلينا أولًا إيجاد المشتقة العكسية للسرعة، أي. المشتق العكسي للدالة v = -5sin2t. إحدى هذه المشتقات العكسية هي الدالة، ومجموعة جميع المشتقات العكسية لها الشكل:
للعثور على القيمة المحددة للثابت C، نستخدم الشروط الأولية، والتي بموجبها s(0) = 1.5. باستبدال القيم t=0، S = 1.5 في الصيغة (1)، نحصل على:
باستبدال القيمة الموجودة لـ C في الصيغة (1)، نحصل على قانون الحركة الذي يهمنا:
التعريف 2.إذا كانت الدالة y = f(x) تحتوي على مشتق عكسي y = F(x) في الفاصل الزمني X، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية، أي. مجموعة الوظائف من النموذج y = F(x) + C تسمى التكامل غير المحدد للدالة y = f(x) ويشار إليها بواسطة:
(اقرأ: "تكامل غير محدد ef من x de x").
في الفقرة التالية سوف نكتشف ما هو معنى خفيالتسمية المشار إليها.
بناءً على جدول المشتقات العكسية المتوفرة في هذا القسم، سنقوم بتجميع جدول للتكاملات غير المحددة الرئيسية:
بناءً على القواعد الثلاث المذكورة أعلاه لإيجاد المشتقات العكسية، يمكننا صياغة قواعد التكامل المقابلة.
المادة 1.تكامل مجموع الدوال يساوي مجموع تكاملات هذه الدوال:
القاعدة 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:
القاعدة 3.لو
مثال 6.أوجد التكاملات غير المحددة:
حلأ) باستخدام قاعدتي التكامل الأولى والثانية نحصل على:
الآن دعونا نستخدم صيغ التكامل الثالثة والرابعة:
ونتيجة لذلك نحصل على:
ب) باستخدام القاعدة الثالثة للتكامل والصيغة 8 نحصل على:
ج) لإيجاد تكامل معين مباشرة، ليس لدينا الصيغة المقابلة ولا القاعدة المقابلة. في مثل هذه الحالات، تساعد أحيانًا التحويلات المتطابقة التي تم إجراؤها مسبقًا للتعبير الموجود تحت علامة التكامل.
دعونا نستفيد الصيغة المثلثيةتخفيض الدرجة:
ثم نجد تباعا:
اي جي. جبر موردكوفيتش الصف العاشر
التخطيط المواضيعي للتقويم في الرياضيات، فيديوفي الرياضيات على الانترنت، الرياضيات في المدرسة
