Онлайн калкулатор Изчисляване на неопределен интеграл (първоизводна). Интеграли за манекени: как се решават, правила за изчисление, обяснение

Антипроизводно

Дефиниция на антипроизводна функция

• функция y=F(x)се нарича първоизводна на функцията y=f(x)на даден интервал Х,ако за всички х ∈хважи равенството: F′(x) = f(x)

Може да се чете по два начина:

1. f производна на функция Е
2. Е първоизводна на функция f

Свойство на антипроизводните

• Ако F(x)- първоизводна на функция f(x)на даден интервал, тогава функцията f(x) има безкрайно много първоизводни и всички тези производни могат да бъдат записани във формата F(x) + C, където C е произволна константа.

Геометрична интерпретация

• Графики на всички първоизводни на дадена функция f(x)се получават от графиката на всяка една антипроизводна чрез паралелни транслации по оста O при.

Правила за изчисляване на първоизводни

1. Първопроизводната на сбора е равна на сбора на първопроизводните. Ако F(x)- противопроизводно за f(x), а G(x) е антипроизводна за g(x), Че F(x) + G(x)- противопроизводно за f(x) + g(x).
2. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната. Ако F(x)- противопроизводно за f(x), И к- тогава постоянно k·F(x)- противопроизводно за k f(x).
3. Ако F(x)- противопроизводно за f(x), И к, б- постоянно и k ≠ 0, Че 1/k F(kx + b)- противопроизводно за f(kx + b).

Помня!

Всяка функция F(x) = x 2 + C , където C е произволна константа и само такава функция е антипроизводна на функцията f(x) = 2x.

• Например:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,защото F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,защото F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Връзка между графиките на функция и нейната първоизводна:

1. Ако графиката на функция f(x)>0 F(x)се увеличава през този интервал.
2. Ако графиката на функция f(x)<0 на интервала, след това графиката на неговата първоизводна F(x)намалява през този интервал.
3. Ако f(x)=0, след това графиката на неговата първоизводна F(x)в този момент се променя от нарастваща към намаляваща (или обратното).

За обозначаване на първоизводната се използва знакът на неопределения интеграл, т.е. интеграл без посочване на границите на интегриране.

Неопределен интеграл

Определение:

• Неопределеният интеграл на функцията f(x) е изразът F(x) + C, т.е. множеството от всички първообразни на дадена функция f(x). Неопределеният интеграл се означава по следния начин: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- наречена интегрална функция;
• f(x) dx- нарича се интегрант;
• х- наречена променлива на интегриране;
• F(x)- една от първопроизводните на функцията f(x);
• СЪС- произволна константа.

Свойства на неопределения интеграл

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Постоянният фактор на интегранта може да бъде изваден от интегралния знак: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Интеграл от сумата (разликата) на функциите равно на сумата(разлики) на интегралите на тези функции: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Ако к, бса константи и k ≠ 0, тогава \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Таблица на първоизводните и неопределените интеграли

функция f(x)	Антипроизводно F(x) + C	Неопределени интеграли \int f(x) dx = F(x) + C
0	° С	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Формула на Нютон-Лайбниц

Позволявам f(x)тази функция Енеговия произволен антипроизводен.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Където F(x)- противопроизводно за f(x)

Тоест интегралът на функцията f(x)на интервал е равно на разликата на първоизводните в точки bИ а.

Площ на извит трапец

Криволинеен трапец е фигура, ограничена от графиката на функция, която е неотрицателна и непрекъсната на интервал f, Ох ос и прави линии х = аИ x = b.

Площта на извит трапец се намира с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за малцина избрани. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но не знаят нищо или почти нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво е сигурно и неопределен интегралс? Ако единствената употреба, която знаете за интеграла, е да използвате кука за плетене на една кука, оформена като интегрална икона, за да извадите нещо полезно от труднодостъпни места, тогава добре дошли! Разберете как се решават интеграли и защо не можете без това.

Ние изучаваме понятието "интеграл"

Интеграцията е известна още в Древен Египет. Разбира се, не в съвременния му вид, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по тази тема. Особено се отличиха Нютон И Лайбниц , но същността на нещата не се е променила. Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите на математическия анализ. Това е тази основна информация, която ще намерите в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека имаме някаква функция f(x) .

Неопределена интегрална функция f(x) тази функция се нарича F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратно производно или антипроизводно. Между другото, прочетете как в нашата статия.

Съществува първоизводна за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграла се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводни на елементарни функции, е удобно да ги обобщите в таблица и да използвате готови стойности:

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигура, масата на нееднородно тяло, изминатото разстояние по време на неравномерно движение и много други. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайно голям брой безкрайно малки членове.

Като пример, представете си графика на някаква функция. Как да намерим площта на фигура, ограничена от графиката на функция?

С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. По този начин фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определен интеграл, който се записва така:

Точки a и b се наричат ​​граници на интегриране.

Бари Алибасов и групата "Интеграл"

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаване на примери.

• Производната на интеграла е равна на интеграла:

• Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:

• Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Това важи и за разликата:

Свойства на определен интеграл

• Линейност:

• Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране се разменят:

• При всякаквиточки а, bИ с:

Вече разбрахме, че определен интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретна стойност при решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу ще разгледаме няколко примера за намиране на неопределени интеграли. Каним ви сами да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задавайте въпроси в коментарите.

За затвърждаване на материала гледайте видео за това как се решават интеграли на практика. Не се отчайвайте, ако интегралът не е даден веднага. Попитайте и те ще ви кажат всичко, което знаят за изчисляването на интеграли. С наша помощ всеки троен или извит интеграл върху затворена повърхност ще бъде по силите ви.

Има три основни правила за намиране на първообразни функции. Те са много подобни на съответните правила за диференциация.

Правило 1

Ако F е антипроизводна за някаква функция f, а G е антипроизводна за някаква функция g, тогава F + G ще бъде антипроизводна за f + g.

По дефиниция на антипроизводно, F’ = f. G' = g. И тъй като тези условия са изпълнени, то според правилото за изчисляване на производната за сумата от функции ще имаме:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Правило 2

Ако F е антипроизводна за някаква функция f и k е някаква константа. Тогава k*F е първоизводната на функцията k*f. Това правило следва от правилото за изчисляване на производната на сложна функция.

Имаме: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Ако F(x) е някаква антипроизводна за функцията f(x) и k и b са някои константи и k не е равно на нула, тогава (1/k)*F*(k*x+b) ще бъде антипроизводна за функцията f (k*x+b).

Това правило следва от правилото за изчисляване на производната на сложна функция:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Нека да разгледаме няколко примера за това как се прилагат тези правила:

Пример 1. Намерете общия вид на първоизводните за функцията f(x) = x^3 +1/x^2. За функцията x^3 една от първопроизводните ще бъде функцията (x^4)/4, а за функцията 1/x^2 една от първопроизводните ще бъде функцията -1/x. Използвайки първото правило, имаме:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Пример 2. Нека намерим общата форма на първоизводните за функцията f(x) = 5*cos(x). За функцията cos(x) една от първоизводните ще бъде функцията sin(x). Ако сега използваме второто правило, ще имаме:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3.Намерете една от първоизводните за функцията y = sin(3*x-2). За функцията sin(x) една от първоизводните ще бъде функцията -cos(x). Ако сега използваме третото правило, получаваме израз за антипроизводното:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4. Намерете първоизводната за функцията f(x) = 1/(7-3*x)^5

Първоизводната за функцията 1/x^5 ще бъде функцията (-1/(4*x^4)). Сега, използвайки третото правило, получаваме.

Видяхме, че производната има многобройни приложения: производната е скоростта на движение (или, по-общо, скоростта на всеки процес); производна е наклонът на допирателната към графиката на функцията; използвайки производната, можете да изследвате функция за монотонност и екстремуми; дериватът помага за решаването на проблеми с оптимизацията.

Но в реалния живот трябва да решаваме и обратни задачи: например, наред с проблема за намиране на скоростта според известен закон за движение, ние също се сблъскваме с проблема за възстановяване на закона за движение според известна скорост. Нека разгледаме един от тези проблеми.

Пример 1.Материална точка се движи по права линия, нейната скорост в момент t се дава по формулата u = tg. Намерете закона за движение.

Решение.Нека s = s(t) е желаният закон на движение. Известно е, че s"(t) = u"(t). Това означава, че за да разрешите проблема, трябва да изберете функция s = s(t), чиято производна е равна на tg. Не е трудно да се досетите за това

Нека веднага да отбележим, че примерът е решен правилно, но непълно. Открихме, че всъщност проблемът има безкрайно много решения: всяка функция на формата произволна константа може да служи като закон за движение, тъй като

За да направим задачата по-конкретна, трябваше да фиксираме първоначалната ситуация: да посочим координатата на движеща се точка в някакъв момент от времето, например при t=0. Ако, да речем, s(0) = s 0, тогава от равенството получаваме s(0) = 0 + C, т.е. S 0 = C. Сега законът на движението е еднозначно дефиниран:
В математиката на взаимно обратните операции се дават различни имена и се измислят специални обозначения: например повдигане на квадрат (x 2) и вземане на корен квадратен от синус (sinх) и арксинус(arcsin x) и т.н. Процесът на намиране на производната на дадена функция се нарича диференциране, а обратната операция, т.е. процесът на намиране на функция от дадена производна - интегриране.
Самият термин "производна" може да бъде оправдан "в ежедневието": функцията y - f(x) "ражда" нова функция y"= f"(x). Функцията y = f(x) действа като „родител“, но математиците, естествено, не го наричат ​​„родител“ или „производител“; те казват, че това, по отношение на функцията y"=f"(x), е първичното изображение, или, в накратко, антипроизводното.

Определение 1.Функцията y = F(x) се нарича първоизводна за функцията y = f(x) на даден интервал X, ако за всички x от X е изпълнено равенството F"(x)=f(x).

На практика интервалът X обикновено не се посочва, но се подразбира (като естествена област на дефиниране на функцията).

Ето няколко примера:

1) Функцията y = x 2 е противопроизводна на функцията y = 2x, тъй като за всички x равенството (x 2)" = 2x е вярно.
2) функцията y - x 3 е противопроизводна на функцията y-3x 2, тъй като за всички x равенството (x 3)" = 3x 2 е вярно.
3) Функцията y-sinх е първоизводна за функцията y = cosx, тъй като за всички x е вярно равенството (sinx)" = cosx.
4) Функцията е антипроизводна за функция на интервала, тъй като за всички x > 0 равенството е вярно
Като цяло, знаейки формулите за намиране на производни, не е трудно да се състави таблица с формули за намиране на антипроизводни.

Надяваме се, че разбирате как се съставя тази таблица: производната на функцията, която е записана във втората колона, е равна на функцията, която е записана в съответния ред на първата колона (проверете го, не бъдете мързеливи, много е полезно). Например за функцията y = x 5 първоизводната, както ще установите, е функцията (вижте четвъртия ред на таблицата).

Бележки: 1. По-долу ще докажем теоремата, че ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x), тогава функцията y = f(x) има безкрайно много първоизводни и всички те имат формата y = F(x ) + C. Следователно би било по-правилно да добавите термина C навсякъде във втората колона на таблицата, където C е произволно реално число.
2. За краткост понякога вместо фразата „функцията y = F(x) е антипроизводна на функцията y = f(x)“, те казват, че F(x) е антипроизводна на f(x) .”

2. Правила за намиране на противопроизводни

При намиране на противопроизводни, както и при намиране на производни, се използват не само формули (изброени са в таблицата на стр. 196), но и някои правила. Те са пряко свързани със съответните правила за изчисляване на деривати.

Знаем, че производната на една сума е равна на сумата от нейните производни. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 1.Първопроизводната на сбор е равна на сбора на първопроизводните.

Обръщаме внимание на известната „лекота“ на тази формула. Всъщност трябва да се формулира теоремата: ако функциите y = f(x) и y = g(x) имат първоизводни на интервала X, съответно y-F(x) и y-G(x), тогава сумата от функциите y = f(x)+g(x) има първоизводна на интервала X и тази първоизводна е функцията y = F(x)+G(x). Но обикновено, когато формулират правила (а не теореми), те оставят само ключови думи- това прави по-удобно прилагането на правилото на практика

Пример 2.Намерете първоизводната за функцията y = 2x + cos x.

Решение.Първоизводната за 2x е x"; първоизводната за cox е sin x. Това означава, че първоизводната за функцията y = 2x + cos x ще бъде функцията y = x 2 + sin x (и като цяло всяка функция от формата Y = x 1 + sinx + C).
Знаем, че постоянният множител може да бъде изваден от знака на производната. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 2.Константният фактор може да бъде изваден от знака на първоизводната.

Пример 3.

Решение.а) Първообразната за sin x е -soz x; Това означава, че за функцията y = 5 sin x първообразната функция ще бъде функцията y = -5 cos x.

b) Първоизводната за cos x е sin x; Това означава, че първоизводната на функция е функцията
в) Първоизводната за x 3 е първоизводната за x, първоизводната за функцията y = 1 е функцията y = x. Използвайки първото и второто правило за намиране на първоизводни, намираме, че първоизводната за функцията y = 12x 3 + 8x-1 е функцията
Коментирайте.Както е известно, производната на произведението не е равна на произведението на производните (правилото за диференциране на произведение е по-сложно), а производната на частното не е равно на частното на производните. Следователно няма правила за намиране на първоизводната на произведението или на първоизводната на частното на две функции. Бъди внимателен!
Нека получим още едно правило за намиране на противопроизводни. Знаем, че производната на функцията y = f(kx+m) се изчислява по формулата

Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.
Правило 3.Ако y = F(x) е първоизводна за функцията y = f(x), тогава първоизводната за функцията y=f(kx+m) е функцията

Наистина,

Това означава, че е първоизводна за функцията y = f(kx+m).
Смисълът на третото правило е следният. Ако знаете, че първоизводната на функцията y = f(x) е функцията y = F(x) и трябва да намерите първоизводната на функцията y = f(kx+m), тогава продължете по следния начин: вземете същата функция F, но вместо аргумента x, заместете израза kx+m; освен това не забравяйте да напишете „коефициент на корекция“ преди знака за функция
Пример 4.Намерете противопроизводни за дадени функции:

Решение, а) Първоизводната за sin x е -soz x; Това означава, че за функцията y = sin2x първоизводната ще бъде функцията
b) Първоизводната за cos x е sin x; Това означава, че първоизводната на функция е функцията

c) Първоизводната за x 7 означава, че за функцията y = (4-5x) 7 първоизводната ще бъде функцията

3. Неопределен интеграл

Вече отбелязахме по-горе, че проблемът за намиране на първоизводна за дадена функция y = f(x) има повече от едно решение. Нека обсъдим този въпрос по-подробно.

Доказателство. 1. Нека y = F(x) е първоизводната за функцията y = f(x) на интервала X. Това означава, че за всички x от X е валидно равенството x"(x) = f(x). Нека намерете производната на всяка функция от вида y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

И така, (F(x)+C) = f(x). Това означава, че y = F(x) + C е първоизводна за функцията y = f(x).
По този начин ние доказахме, че ако функцията y = f(x) има първоизводна y=F(x), тогава функцията (f = f(x) има безкрайно много първоизводни, например всяка функция от вида y = F(x) +C е антипроизводно.
2. Нека сега докажем, че посоченият тип функции изчерпва цялото множество от първоизводни.

Нека y=F 1 (x) и y=F(x) са две първоизводни за функцията Y = f(x) на интервала X. Това означава, че за всички x от интервала X са валидни следните отношения: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Нека разгледаме функцията y = F 1 (x) -.F(x) и да намерим нейната производна: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Известно е, че ако производната на функция на интервал X е идентично равна на нула, тогава функцията е постоянна на интервала X (виж теорема 3 от § 35). Това означава, че F 1 (x) - F (x) = C, т.е. Fx) = F(x)+C.

Теоремата е доказана.

Пример 5.Даден е законът за промяна на скоростта с времето: v = -5sin2t. Намерете закона за движение s = s(t), ако е известно, че в момент t=0 координатата на точката е била равна на числото 1,5 (т.е. s(t) = 1,5).

Решение.Тъй като скоростта е производна на координатата като функция на времето, първо трябва да намерим антипроизводната на скоростта, т.е. първоизводна за функцията v = -5sin2t. Една от тези първоизводни е функцията , а наборът от всички първоизводни има формата:

За да намерим конкретната стойност на константата C, използваме началните условия, според които s(0) = 1,5. Замествайки стойностите t=0, S = 1.5 във формула (1), получаваме:

Замествайки намерената стойност на C във формула (1), получаваме закона за движение, който ни интересува:

Определение 2.Ако функция y = f(x) има първоизводна y = F(x) на интервал X, тогава множеството от всички първоизводни, т.е. множеството от функции във формата y = F(x) + C се нарича неопределен интеграл на функцията y = f(x) и се означава с:

(прочетете: „неопределен интеграл ef от x de x“).
В следващия параграф ще разберем какво е скрит смисълпосоченото обозначение.
Въз основа на таблицата с първоизводни, налични в този раздел, ще съставим таблица на основните неопределени интеграли:

Въз основа на горните три правила за намиране на антипроизводни, можем да формулираме съответните правила за интегриране.

Правило 1.Интегралът от сумата на функциите е равен на сумата от интегралите на тези функции:

Правило 2.Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак:

Правило 3.Ако

Пример 6.Намерете неопределени интеграли:

Решение, а) Използвайки първото и второто правило на интегриране, получаваме:

Сега нека използваме формулите за 3-та и 4-та интеграция:

В резултат получаваме:

б) Използвайки третото правило за интегриране и формула 8, получаваме:

в) За директно намиране на даден интеграл нямаме нито съответната формула, нито съответното правило. В такива случаи понякога помагат предварително извършени идентични трансформации на израза, съдържащ се под знака за интеграл.

Да се ​​възползваме тригонометрична формулаНамаляване на степента:

След това намираме последователно:

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище