С матрица A, ако има число l такова, че AX = lX.

В този случай се извиква числото l собствена стойностоператор (матрица A), съответстващ на вектор X.

С други думи, собствен вектор е вектор, който под действието на линеен оператор се трансформира в колинеарен вектор, т.е. просто умножете по някакво число. Обратно, неправилните вектори са по-сложни за трансформиране.

Нека запишем дефиницията на собствен вектор под формата на система от уравнения:

Нека преместим всички термини в лявата страна:

Последната система може да бъде написана в матрична форма, както следва:

(A - lE)X = O

Получената система винаги има нулево решение X = O. Такива системи, в които всички свободни членове са равни на нула, се наричат хомогенен. Ако матрицата на такава система е квадратна и нейният детерминант не е равен на нула, тогава с помощта на формулите на Крамър винаги ще получаваме уникално решение - нула. Може да се докаже, че една система има ненулеви решения тогава и само ако детерминантата на тази матрица е равна на нула, т.е.

|A - lE| = = 0

Това уравнение с неизвестно l се нарича характеристично уравнение (характерен полином) матрица A (линеен оператор).

Може да се докаже, че характеристичният полином на линеен оператор не зависи от избора на базис.

Например, нека намерим собствените стойности и собствените вектори на линейния оператор, дефиниран от матрицата A = .

За да направите това, нека композираме характеристично уравнение|A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; собствени стойности l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

За да намерим собствени вектори, ние решаваме две системи от уравнения

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

За първия от тях разширената матрица приема формата

,

откъдето x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, т.е. X (1) = (-(2/3)s; s).

За втория от тях разширената матрица приема формата

,

от където x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, т.е. X (2) = ((2/3)s 1; s 1).

Така собствените вектори на този линеен оператор са всички вектори от формата (-(2/3)с; с) със собствена стойност (-5) и всички вектори от формата ((2/3)с 1 ; с 1) с собствена стойност 7 .

Може да се докаже, че матрицата на оператора A в базиса, състоящ се от неговите собствени вектори, е диагонална и има формата:

,

където l i са собствените стойности на тази матрица.

Обратното също е вярно: ако матрица A в някакъв базис е диагонална, тогава всички вектори на този базис ще бъдат собствени вектори на тази матрица.

Може също да се докаже, че ако линеен оператор има n по двойки различни собствени стойности, тогава съответните собствени вектори са линейно независими и матрицата на този оператор в съответния базис има диагонална форма.

Нека илюстрираме това с предишния пример. Нека вземем произволни ненулеви стойности c и c 1, но такива, че векторите X (1) и X (2) са линейно независими, т.е. ще формира основа. Например, нека c = c 1 = 3, тогава X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Нека се уверим линейна независимосттези вектори:

12 ≠ 0. В тази нова база матрицата A ще приеме формата A * = .

За да проверим това, нека използваме формулата A * = C -1 AC. Първо, нека намерим C -1.

C -1 = ;

Квадратни форми

Квадратна форма f(x 1, x 2, x n) от n променливи се нарича сума, всеки член от която е или квадрат на една от променливите, или продукт на две различни променливи, взети с определен коефициент: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Матрицата A, съставена от тези коефициенти, се нарича матрицаквадратна форма. Винаги е така симетриченматрица (т.е. матрица, симетрична спрямо главния диагонал, a ij = a ji).

В матричната нотация квадратичната форма е f(X) = X T AX, където

Наистина

Например, нека запишем квадратната форма в матрична форма.

За да направим това, намираме матрица с квадратна форма. Нейните диагонални елементи са равни на коефициентите на квадратните променливи, а останалите елементи са равни на половинките на съответните коефициенти на квадратната форма. Ето защо

Нека колоната на матрицата от променливи X се получава чрез неизродена линейна трансформация на колоната на матрицата Y, т.е. X = CY, където C е неособена матрица от n-ти ред. Тогава квадратичната форма f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

По този начин, с недегенерирана линейна трансформация C, матрицата на квадратна форма приема формата: A * = C T AC.

Например, нека намерим квадратичната форма f(y 1, y 2), получена от квадратичната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 чрез линейна трансформация.

Квадратната форма се нарича каноничен(То има каноничен изглед), ако всички негови коефициенти a ij = 0 за i ≠ j, т.е.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Матрицата му е диагонална.

Теорема(доказателството не е дадено тук). Всяка квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на неизродена линейна трансформация.

Например, нека намалим квадратичната форма до канонична форма
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

За да направим това, първо избираме идеален квадратс променлива x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Сега избираме пълен квадрат с променливата x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Тогава неизродената линейна трансформация y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 и y 3 = x 3 довежда тази квадратна форма до каноничната форма f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Обърнете внимание, че каноничната форма на квадратна форма се определя нееднозначно (същата квадратна форма може да бъде намалена до каноничната форма различни начини). Полученото обаче различни начиниканоничните форми имат редица общи свойства. По-специално, броят на термините с положителни (отрицателни) коефициенти на квадратична форма не зависи от метода за редуциране на формата до тази форма (например в разглеждания пример винаги ще има два отрицателни и един положителен коефициент). Това свойство се нарича закон за инерцията на квадратичните форми.

Нека проверим това, като приведем същата квадратна форма в канонична форма по различен начин. Нека започнем трансформацията с променливата x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, където y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 и y 3 = x 1 . Тук има отрицателен коефициент -3 при y 1 и два положителни коефициента 3 и 2 при y 2 и y 3 (и използвайки друг метод получихме отрицателен коефициент (-5) при y 2 и два положителни: 2 при y 1 и 1/20 при y 3).

Трябва също да се отбележи, че рангът на матрица с квадратична форма, т.нар ранг на квадратна форма, е равен на броя на ненулевите коефициенти на каноничната форма и не се променя при линейни трансформации.

Квадратната форма f(X) се нарича положително (отрицателен) определени, ако за всички стойности на променливите, които не са едновременно равни на нула, той е положителен, т.е. f(X) > 0 (отрицателно, т.е.
f(X)< 0).

Например, квадратичната форма f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 е положително определена, тъй като е сбор от квадрати, а квадратната форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 е отрицателно определена, тъй като представлява може да се представи като f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

В повечето практически ситуации е малко по-трудно да се установи определен знак на квадратна форма, така че за това използваме една от следните теореми (ще ги формулираме без доказателство).

Теорема. Квадратната форма е положителна (отрицателна) определена тогава и само ако всички собствени стойности на нейната матрица са положителни (отрицателни).

Теорема(Критерий на Силвестър). Квадратната форма е положително определена тогава и само ако всички водещи минори на матрицата на тази форма са положителни.

Основен (ъглов) минорМатрицата от k-ти ред A от n-ти ред се нарича детерминанта на матрицата, съставена от първите k реда и колони на матрицата A ().

Забележете, че за отрицателно определени квадратни форми знаците на главните минори се редуват и минорът от първи ред трябва да е отрицателен.

Например, нека разгледаме квадратичната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 за определеност на знака.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Следователно квадратната форма е положително определена.

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрица A D 1 = a 11 = 2 > 0. Главен минор от втори ред D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Следователно, според критерия на Силвестър, квадратната форма е положително определено.

Разглеждаме друга квадратна форма за определеност на знака, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Нека изградим матрица с квадратична форма A = . Характеристичното уравнение ще има формата = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Следователно квадратната форма е отрицателно определена.

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрица A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Следователно, според критерия на Силвестър, квадратната форма е отрицателно определена (знаците на главните второстепенни се редуват, започвайки с минуса).

И като друг пример, разглеждаме определената със знак квадратна форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Нека изградим матрица с квадратична форма A = . Характеристичното уравнение ще има формата = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Едно от тези числа е отрицателно, а другото е положително. Знаците на собствените стойности са различни. Следователно квадратната форма не може да бъде нито отрицателно, нито положително определена, т.е. тази квадратична форма не е знакоопределена (може да приема стойности на всеки знак).

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрица A D 1 = a 11 = 2 > 0. Главен минор от втори ред D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

СИСТЕМА ОТ ЕДНОРОДНИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Система от хомогенни линейни уравнениянаречена система на формата

Ясно е, че в случая , защото всички елементи на една от колоните в тези детерминанти са равни на нула.

Тъй като неизвестните се намират по формулите , то в случай, когато Δ ≠ 0, системата има единствено нулево решение х = г = z= 0. В много задачи обаче интересният въпрос е дали хомогенна системарешения, различни от нула.

Теорема.За линейната система хомогенни уравненияима ненулево решение, е необходимо и достатъчно Δ ≠ 0.

Така че, ако детерминантата Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение. Ако Δ ≠ 0, тогава системата от линейни еднородни уравнения има безкраен брой решения.

Примери.

Собствени вектори и собствени стойности на матрица

Нека е дадена квадратна матрица , х– някаква матрица-колона, чиято височина съвпада с реда на матрицата А. .

В много задачи трябва да разгледаме уравнението за х

където λ е определено число. Ясно е, че за всяко λ това уравнение има нулево решение.

Числото λ, за което това уравнение има ненулеви решения, се нарича собствена стойностматрици А, А хза такива λ се нарича собствен векторматрици А.

Нека намерим собствения вектор на матрицата А. Тъй като д∙X = X, тогава матричното уравнение може да бъде пренаписано като или . В разширена форма това уравнение може да бъде пренаписано като система от линейни уравнения. Наистина ли .

И следователно

И така, получихме система от хомогенни линейни уравнения за определяне на координатите х 1, х 2, х 3вектор х. За да има една система ненулеви решения е необходимо и достатъчно детерминантата на системата да е равна на нула, т.е.

Това е уравнение от трета степен за λ. Нарича се характеристично уравнениематрици Аи служи за определяне на собствените стойности на λ.

Всяка собствена стойност λ съответства на собствен вектор х, чиито координати се определят от системата при съответната стойност на λ.

Примери.

ВЕКТОРНА АЛГЕБРА. ПОНЯТИЕТО ЗА ВЕКТОР

При изучаването на различни клонове на физиката има величини, които са напълно определени чрез уточняване на техните числени стойности, например дължина, площ, маса, температура и др. Такива величини се наричат ​​скаларни. Освен тях обаче има и величини, за определянето на които освен числовата стойност е необходимо да се знае и посоката им в пространството, например силата, действаща върху тялото, скоростта и ускорението на тяло, когато се движи в пространството, напрежение магнитно полев дадена точка от пространството и др. Такива величини се наричат ​​векторни величини.

Нека въведем строга дефиниция.

Насочен сегментДа наречем сегмент, спрямо краищата на който се знае кой от тях е първи и кой втори.

векторнаречен насочен сегмент с определена дължина, т.е. Това е сегмент с определена дължина, в който една от ограничаващите го точки се приема за начало, а втората за край. Ако А– началото на вектора, бе неговият край, тогава векторът се обозначава със символа; освен това векторът често се обозначава с една буква. На фигурата векторът е обозначен със сегмент, а посоката му със стрелка.

Модулили дължинаВектор се нарича дължината на насочения сегмент, който го определя. Означава се с || или ||.

Като вектори ще включим и така наречения нулев вектор, чието начало и край съвпадат. Обозначава се. Нулевият вектор няма определена посока и модулът му е нула ||=0.

Векторите се наричат колинеарен, ако са разположени на една права или на успоредни прави. Освен това, ако векторите и са в една и съща посока, ще напишем , срещуположно.

Наричат ​​се вектори, разположени на прави линии, успоредни на една и съща равнина компланарен.

Двата вектора се наричат равен, ако са колинеарни, имат еднаква посока и са еднакви по дължина. В този случай те пишат.

От дефиницията за равенство на векторите следва, че вектор може да се транспортира успоредно на себе си, поставяйки началото си във всяка точка на пространството.

Например.

ЛИНЕЙНИ ОПЕРАЦИИ ВЪРХУ ВЕКТОРИ

1. Умножение на вектор по число.

   Продуктът на вектор и числото λ е нов вектор, така че:

   Произведението на вектор и число λ се означава с .

   

   Например,има вектор, насочен в същата посока като вектора и имащ дължина наполовина от тази на вектора.

   Въведената операция има следното Имоти:

2. Векторно добавяне.

   Нека и са два произволни вектора. Нека вземем произволна точка Ои конструирайте вектор. След това от точката Анека оставим настрана вектора. Нарича се векторът, свързващ началото на първия вектор с края на втория количествоот тези вектори и се обозначава .

   

   Формулираната дефиниция на векторно събиране се нарича правило на успоредник, тъй като същата сума от вектори може да бъде получена както следва. Да отложим от точката Овектори и . Нека построим успоредник върху тези вектори OABC. Тъй като вектори, тогава вектор, който е диагонал на успоредник, изтеглен от върха О, очевидно ще бъде сбор от вектори.

   

   Лесно е да проверите следното свойства на добавяне на вектори.

3. Векторна разлика.

   Вектор, колинеарен на даден вектор, равен по дължина и противоположно насочен, се нарича противоположноствектор за вектор и се означава с . Противоположният вектор може да се разглежда като резултат от умножаването на вектора по числото λ = –1: .

Собствени стойности(числа) и собствени вектори.
Примери за решения

Бъди себе си

От двете уравнения следва, че .

Да го поставим тогава: .

Като резултат: – втори собствен вектор.

Да повторим важни точкирешения:

– получената система със сигурност има общо решение(уравненията са линейно зависими);

– избираме „y“ по такъв начин, че да е цяло число и първата координата „x“ да е цяло число, положителна и възможно най-малка.

– проверяваме дали конкретното решение удовлетворява всяко уравнение на системата.

Отговор .

Междинен " контролни точки" беше напълно достатъчно, така че проверката на равенствата по принцип не е необходима.

В различни източници на информация координатите на собствените вектори често се записват не в колони, а в редове, например: (и, честно казано, аз самият съм свикнал да ги записвам на редове). Този вариант е приемлив, но в светлината на темата линейни трансформациитехнически по-удобен за използване колонни вектори.

Може би решението ви се стори много дълго, но това е само защото коментирах първия пример много подробно.

Пример 2

Матрици

Да тренираме сами! Примерен пример за финална задача в края на урока.

Понякога трябва да направите допълнителна задача, а именно:

напишете разлагането на каноничната матрица

Какво е?

Ако собствените вектори на матрицата образуват база, то може да се представи като:

Където е матрица, съставена от координати на собствени вектори, – диагоналматрица със съответните собствени стойности.

Това матрично разлагане се нарича канониченили диагонал.

Нека да разгледаме матрицата на първия пример. Неговите собствени вектори линейно независими(неколинеарни) и образуват основа. Нека създадем матрица на техните координати:

На главен диагоналматрици в съответния редсе намират собствени стойности, а останалите елементи са равни на нула:
– Още веднъж подчертавам важността на реда: „две” съответства на 1-ви вектор и следователно се намира в 1-ва колона, „три” – на 2-ри вектор.

от към обичайния алгоритъмнаходка обратна матрицаили Метод на Гаус-Джорданнамираме . Не, това не е печатна грешка! - пред вас е рядко събитие, като слънчево затъмнение, когато обратната страна съвпадна с оригиналната матрица.

Остава да напишем каноничното разлагане на матрицата:

Системата може да бъде решена чрез елементарни трансформации и в следващите примери ще прибегнем този метод. Но тук „училищният“ метод работи много по-бързо. От 3-то уравнение изразяваме: – заместваме във второто уравнение:

Тъй като първата координата е нула, получаваме система, от всяко уравнение на която следва, че .

И отново обърнете внимание на задължителното наличие на линейна зависимост. Ако се получи само тривиално решение , тогава или собствената стойност е намерена неправилно, или системата е компилирана/решена с грешка.

Компактните координати дават стойността

Собствен вектор:

И още веднъж проверяваме дали решението е намерено удовлетворява всяко уравнение на системата. В следващите параграфи и в следващите задачи препоръчвам да вземете това желание като задължително правило.

2) За собствената стойност, използвайки същия принцип, получаваме следната система:

От второто уравнение на системата изразяваме: – заместваме в третото уравнение:

Тъй като координатата "дзета" е равна на нула, получаваме система от всяко уравнение, от което тя следва линейна зависимост.

Позволявам

Проверка дали решението удовлетворява всяко уравнение на системата.

Така собственият вектор е: .

3) И накрая, системата съответства на собствената стойност:

Второто уравнение изглежда най-просто, така че нека го изразим и заместим в 1-во и 3-то уравнения:

Всичко е наред - появи се линейна връзка, която заместваме в израза:

В резултат на това „x“ и „y“ бяха изразени чрез „z“: . На практика не е необходимо да се постигат точно такива отношения, в някои случаи е по-удобно да се изразяват и двете чрез или и чрез . Или дори „влак“ - например „X“ през „I“ и „I“ през „Z“

Да го поставим тогава:

Проверяваме дали решението е намерено удовлетворява всяко уравнение на системата и записва третия собствен вектор

Отговор: собствени вектори:

Геометрично тези вектори определят три различни пространствени посоки ("До там и обратно"), според която линейна трансформациятрансформира ненулеви вектори (собствени вектори) в колинеарни вектори.

Ако условието изисква намиране на каноничното разлагане, тогава това е възможно тук, защото различни собствени стойности съответстват на различни линейно независими собствени вектори. Изработване на матрица от техните координати, диагонална матрица от релевантнисобствени стойности и намерете обратна матрица .

Ако по условие трябва да пишете линейна трансформационна матрица в основата на собствените вектори, тогава даваме отговора във формата . Разлика има и то значителна!Тъй като тази матрица е "de" матрицата.

Проблем с повече прости изчисленияЗа независимо решение:

Пример 5

Намерете собствени вектори на линейна трансформация, дадена от матрица

Когато намирате свои собствени числа, опитайте се да не стигнете до полином от 3-та степен. В допълнение, вашите системни решения може да се различават от моите решения - тук няма сигурност; и векторите, които намирате, могат да се различават от примерните вектори до пропорционалността на съответните им координати. Например и. По-естетично е да представите отговора във формуляра, но е добре, ако се спрете на втория вариант. Има обаче разумни ограничения за всичко; версията вече не изглежда много добре.

Приблизителна окончателна извадка на заданието в края на урока.

Как да решим проблема в случай на множество собствени стойности?

Общ алгоритъмостава същият, но има свои собствени характеристики и е препоръчително да запазите някои части от решението в по-строг академичен стил:

Пример 6

Намерете собствени стойности и собствени вектори

Решение

Разбира се, нека изписваме страхотната първа колона с главни букви:

И след факторизиране на квадратния трином:

В резултат на това се получават собствени стойности, две от които са кратни.

Нека намерим собствените вектори:

1) Нека се справим със самотен войник по „опростена“ схема:

От последните две уравнения ясно се вижда равенството, което очевидно трябва да бъде заменено в 1-вото уравнение на системата:

Няма да намерите по-добра комбинация:
Собствен вектор:

2-3) Сега премахваме няколко часови. IN в такъв случайможе и да се получи или две или еднасобствен вектор. Независимо от множествеността на корените, заместваме стойността в детерминантата което ни води до следващия хомогенна система от линейни уравнения:

Собствените вектори са точно вектори
фундаментална система от решения

Всъщност през целия урок ние не правихме нищо, освен да намерим векторите на фундаменталната система. Просто засега този термин не беше особено необходим. Между другото, тези умни студенти, които са пропуснали темата в камуфлажни костюми хомогенни уравнения, ще бъде принуден да го изпуши сега.

Единственото действие беше премахването на допълнителните линии. Резултатът е матрица едно по три с формална „стъпка“ в средата.
– основна променлива, – свободни променливи. Следователно има две свободни променливи има и два вектора на фундаменталната система.

Нека изразим основната променлива чрез свободни променливи: . Нулевият множител пред „X“ му позволява да приема абсолютно всякакви стойности (което се вижда ясно от системата от уравнения).

В контекста на този проблем е по-удобно да напишете общото решение не в ред, а в колона:

Двойката съответства на собствен вектор:
Двойката съответства на собствен вектор:

Забележка : опитните читатели могат да избират тези вектори устно - просто като анализират системата , но тук са необходими известни знания: има три променливи, ранг на системната матрица- едно, което означава фундаментална система за вземане на решениясе състои от 3 – 1 = 2 вектора. Намерените вектори обаче са ясно видими и без това знание, чисто на интуитивно ниво. В този случай третият вектор ще бъде написан още по-красиво: . Предупреждавам ви обаче, че в друг пример обикновеният избор може да не е възможен, поради което клаузата е предназначена за хора с опит. В допълнение, защо не вземете, да речем, като трети вектор? В края на краищата неговите координати също удовлетворяват всяко уравнение на системата и векторите линейно независими. Тази опция по принцип е подходяща, но „крива“, тъй като „другият“ вектор е линейна комбинация от вектори на основната система.

Отговор: собствени стойности: , собствени вектори:

Подобен пример за независимо решение:

Пример 7

Намерете собствени стойности и собствени вектори

Приблизителна проба на окончателния дизайн в края на урока.

Трябва да се отбележи, че както в 6-ия, така и в 7-ия пример се получава тройка от линейно независими собствени вектори и следователно оригиналната матрица е представима в каноничното разлагане. Но такива малини не се случват във всички случаи:

Пример 8

Решение: Нека създадем и решим характеристичното уравнение:

Нека разширим детерминантата в първата колона:

Извършваме допълнителни опростявания според разглеждания метод, като избягваме полинома от трета степен:

– собствени стойности.

Нека намерим собствените вектори:

1) Няма трудности с корена:

Не се изненадвайте, в допълнение към комплекта има и променливи в употреба - тук няма разлика.

От 3-то уравнение го изразяваме и го заместваме в 1-во и 2-ро уравнения:

От двете уравнения следва:

Нека тогава:

2-3) За множество стойности получаваме системата .

Нека напишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма:

Собствен вектор на квадратна матрица е този, който, когато се умножи по дадена матрица, води до колинеарен вектор. С прости думи, при умножаване на матрица по собствен вектор, последният остава същият, но умножен по определено число.

Определение

Собственият вектор е ненулев вектор V, който, когато се умножи по квадратна матрица M, сам се увеличава с някакво число λ. В алгебрична нотация изглежда така:

M × V = λ × V,

където λ е собствената стойност на матрицата M.

Нека помислим числен пример. За по-лесно записване числата в матрицата ще бъдат разделени с точка и запетая. Нека имаме матрица:

• М = 0; 4;
• 6; 10.

Нека го умножим по колонен вектор:

• V = -2;

Когато умножим една матрица по вектор колона, ние също получаваме вектор колона. Строг математически езикформулата за умножаване на матрица 2 × 2 по колонен вектор ще изглежда така:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 означава елемента на матрицата M, разположен в първия ред и първата колона, а M22 означава елемента, разположен във втория ред и втората колона. За нашата матрица тези елементи са равни на M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. За колонен вектор тези стойности са равни на V11 = –2, V21 = 1. Според тази формула, получаваме следния резултат от произведението на квадратна матрица с вектор:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

За удобство нека напишем вектора на колоната в ред. И така, умножихме квадратната матрица по вектора (-2; 1), което доведе до вектора (4; -2). Очевидно това е същият вектор, умножен по λ = -2. Ламбда в този случай означава собствената стойност на матрицата.

Собствен вектор на матрица е колинеарен вектор, тоест обект, който не променя позицията си в пространството, когато се умножи по матрица. Концепцията за колинеарност във векторната алгебра е подобна на термина паралелизъм в геометрията. В геометрична интерпретация колинеарните вектори са успоредно насочени сегменти с различни дължини. От времето на Евклид знаем, че една права има безкраен брой успоредни прави, така че е логично да приемем, че всяка матрица има безкраен брой собствени вектори.

От предишния пример става ясно, че собствените вектори могат да бъдат (-8; 4), и (16; -8), и (32, -16). Всички те са колинеарни вектори, съответстващи на собствената стойност λ = -2. Когато умножим оригиналната матрица по тези вектори, пак ще получим вектор, който се различава от оригинала 2 пъти. Ето защо при решаването на задачи за намиране на собствен вектор е необходимо да се намират само линейно независими векторни обекти. Най-често за n × n матрица има n на брой собствени вектори. Нашият калкулатор е предназначен за анализ на квадратни матрици от втори ред, така че почти винаги резултатът ще намери два собствени вектора, освен в случаите, когато те съвпадат.

В примера по-горе знаехме собствения вектор на оригиналната матрица предварително и ясно определихме ламбда числото. На практика обаче всичко се случва обратното: първо се намират собствените стойности и едва след това собствените вектори.

Алгоритъм за решение

Нека погледнем оригиналната матрица M отново и се опитаме да намерим и двата й собствени вектора. Така че матрицата изглежда така:

• М = 0; 4;
• 6; 10.

Първо трябва да определим собствената стойност λ, което изисква изчисляване на детерминантата на следната матрица:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Тази матрица се получава чрез изваждане на неизвестното λ от елементите на главния диагонал. Детерминантата се определя по стандартната формула:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Тъй като нашият вектор трябва да е различен от нула, ние приемаме полученото уравнение като линейно зависимо и приравняваме нашата детерминанта detA към нула.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Нека отворим скобите и да получим характеристичното уравнение на матрицата:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Това е стандартно квадратно уравнение, което трябва да се реши чрез дискриминанта.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Коренът на дискриминанта е sqrt(D) = 14, следователно λ1 = -2, λ2 = 12. Сега за всяка ламбда стойност трябва да намерим собствения вектор. Нека изразим коефициентите на системата за λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

В тази формула E е матрицата на идентичност. Въз основа на получената матрица създаваме система от линейни уравнения:

2x + 4y = 6x + 12y,

където x и y са елементите на собствения вектор.

Нека съберем всички X отляво и всички Y отдясно. Очевидно - 4x = 8y. Разделете израза на - 4 и получете x = –2y. Сега можем да определим първия собствен вектор на матрицата, като вземем всякакви стойности на неизвестните (помнете безкрайността на линейно зависимите собствени вектори). Да вземем y = 1, тогава x = –2. Следователно първият собствен вектор изглежда като V1 = (–2; 1). Върнете се в началото на статията. Това беше този векторен обект, по който умножихме матрицата, за да демонстрираме концепцията за собствен вектор.

Сега нека намерим собствения вектор за λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Нека създадем същата система от линейни уравнения;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Сега приемаме x = 1, следователно y = 3. Така вторият собствен вектор изглежда като V2 = (1; 3). При умножаване на оригиналната матрица по даден вектор, резултатът винаги ще бъде един и същ вектор, умножен по 12. Това е мястото, където алгоритъмът за решение завършва. Сега знаете как да определите ръчно собствения вектор на матрица.

• определител;
• следа, тоест сумата от елементите на главния диагонал;
• ранг, тоест максималният брой линейно независими редове/колони.

Програмата работи по горния алгоритъм, съкращавайки максимално процеса на решаване. Важно е да се отбележи, че в програмата ламбда се обозначава с буквата “c”. Нека да разгледаме числен пример.

Пример как работи програмата

Нека се опитаме да определим собствените вектори за следната матрица:

• М = 5; 13;
• 4; 14.

Нека въведем тези стойности в клетките на калкулатора и да получим отговора в следната форма:

• Ранг на матрицата: 2;
• Матрична детерминанта: 18;
• Следа на матрицата: 19;
• Изчисляване на собствения вектор: c 2 − 19.00c + 18.00 (характеристично уравнение);
• Изчисление на собствения вектор: 18 (първа ламбда стойност);
• Изчисление на собствения вектор: 1 (втора ламбда стойност);
• Система от уравнения за вектор 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Система от уравнения за вектор 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Собствен вектор 1: (1; 1);
• Собствен вектор 2: (-3,25; 1).

Така получихме два линейно независими собствени вектора.

Заключение

Линейната алгебра и аналитичната геометрия са стандартни предмети за всеки първокурсник по инженерство. Големият брой вектори и матрици е ужасяващ и е лесно да се направят грешки в такива тромави изчисления. Нашата програма ще позволи на учениците да проверят своите изчисления или автоматично да решат задачата за намиране на собствен вектор. В нашия каталог има и други калкулатори за линейна алгебра; използвайте ги в обучението или работата си.

Определение 9.3.вектор х Наречен собствен векторматрици А, ако има такъв номер λ, че е в сила равенството: А х= λ х, тоест резултатът от прилагането на х линейна трансформация, зададена от матрицата А, е умножението на този вектор по числото λ . Самото число λ Наречен собствена стойностматрици А.

Заместване във формули (9.3) x` j = λx j,получаваме система от уравнения за определяне на координатите на собствения вектор:

. (9.5)

Тази линейна хомогенна система ще има нетривиално решение само ако нейният основен детерминант е 0 (правило на Крамър). Като напишете това условие във формата:

получаваме уравнение за определяне на собствените стойности λ , Наречен характеристично уравнение. Накратко може да се представи по следния начин:

| A - λE | = 0, (9.6)

тъй като лявата му страна съдържа детерминантата на матрицата A-λE. Относителен полином λ | A - λE| Наречен характерен полиномматрици А.

Свойства на характеристичния полином:

1) Характеристичният полином на линейна трансформация не зависи от избора на базис. Доказателство. (виж (9.4)), но следователно, . По този начин не зависи от избора на основа. Това означава, че | A-λE| не се променя при преминаване към нова основа.

2) Ако матрицата Алинейната трансформация е симетричен(тези. и ij =a ji), тогава всички корени на характеристичното уравнение (9.6) са реални числа.

Свойства на собствените стойности и собствените вектори:

1) Ако изберете базис от собствените вектори x 1, x 2, x 3 , съответстващи на собствените стойности λ 1, λ 2, λ 3матрици А, тогава в тази база линейната трансформация A има матрица с диагонална форма:

(9.7) Доказателството за това свойство следва от дефиницията на собствените вектори.

2) Ако собствените стойности на трансформацията Аса различни, тогава съответните им собствени вектори са линейно независими.

3) Ако характеристичният полином на матрицата Аима три различни корени, тогава в някаква основа матрицата Аима диагонален вид.

Нека намерим собствените стойности и собствените вектори на матрицата. Нека създадем характеристично уравнение: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Нека намерим координатите на собствените вектори, съответстващи на всяка намерена стойност λ. От (9.5) следва, че ако х (1) ={x 1, x 2, x 3) – съответен собствен вектор λ 1 =-2, тогава

- кооперативна, но несигурна система. Неговото решение може да бъде записано във формата х (1) ={а,0,-а), където a е произволно число. По-специално, ако изискваме | х (1) |=1, х (1) =

Заместване в системата (9.5) λ 2 =3, получаваме система за определяне на координатите на втория собствен вектор - х (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, където х (2) ={b,-b,b) или при условие | х (2) |=1, х (2) =

За λ 3 = 6 намерете собствения вектор х (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, х (3) ={° С,2c,c) или в нормализирана версия

x (3) = Може да се забележи, че х (1) х (2) = аб–аб= 0, х (1) х (3) = ac-ac= 0, х (2) х (3) = пр.н.е- 2пр.н.е= 0. Следователно собствените вектори на тази матрица са по двойки ортогонални.

Лекция 10.

Квадратни форми и връзката им със симетрични матрици. Свойства на собствените вектори и собствените стойности на симетрична матрица. Намаляване на квадратна форма до канонична форма.

Определение 10.1.Квадратна формареални променливи x 1, x 2,…, x nсе нарича полином от втора степен в тези променливи, който не съдържа свободен член и членове от първа степен.

Примери за квадратни форми:

(н = 2),

(н = 3). (10.1)

Нека си припомним дефиницията на симетрична матрица, дадена в миналата лекция:

Определение 10.2.Квадратната матрица се нарича симетричен, ако , т.е. ако елементите на матрицата, които са симетрични спрямо главния диагонал, са равни.

Свойства на собствените стойности и собствените вектори на симетрична матрица:

1) Всички собствени стойности на симетрична матрица са реални.

Доказателство (за н = 2).

Нека матрицата Аима формата: . Нека създадем характеристично уравнение:

(10.2) Нека намерим дискриминанта:

Следователно уравнението има само реални корени.

2) Собствените вектори на симетрична матрица са ортогонални.

Доказателство (за н= 2).

Координатите на собствените вектори и трябва да удовлетворяват уравненията.