а 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, а 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, а 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Решение.Търсят общо решениесистеми от уравнения

а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

Метод на Гаус. За да направим това, записваме тази хомогенна система в координати:

Системна матрица

Разрешената система има формата: (r A = 2, н= 3). Системата е кооперативна и несигурна. Неговото общо решение ( х 2 – свободна променлива): х 3 = 13х 2 ; 3х 1 – 2х 2 – 13х 2 = 0 => х 1 = 5х 2 => хо = . Наличието на ненулево конкретно решение, например, показва, че векторите а 1 , а 2 , а 3 линейно зависими.

Пример 2.

Разберете дали тази системалинейно зависими или линейно независими вектори:

1. а 1 = { -20, -15, - 4 }, а 2 = { –7, -2, -4 }, а 3 = { 3, –1, –2 }.

Решение.Да разгледаме хомогенна система от уравнения а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

или в разширен вид (по координати)

Системата е хомогенна. Ако не е изродено, то има уникално решение. Кога хомогенна система– нулево (тривиално) решение. Това означава, че в този случай системата от вектори е независима. Ако системата е изродена, тогава тя има ненулеви решения и следователно е зависима.

Проверяваме системата за израждане:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Системата е неизродена и следователно векторите а 1 , а 2 , а 3 линейно независими.

Задачи.Разберете дали дадена система от вектори е линейно зависима или линейно независима:

1. а 1 = { -4, 2, 8 }, а 2 = { 14, -7, -28 }.

2. а 1 = { 2, -1, 3, 5 }, а 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. а 1 = { -7, 5, 19 }, а 2 = { -5, 7 , -7 }, а 3 = { -8, 7, 14 }.

4. а 1 = { 1, 2, -2 }, а 2 = { 0, -1, 4 }, а 3 = { 2, -3, 3 }.

5. а 1 = { 1, 8 , -1 }, а 2 = { -2, 3, 3 }, а 3 = { 4, -11, 9 }.

6. а 1 = { 1, 2 , 3 }, а 2 = { 2, -1 , 1 }, а 3 = { 1, 3, 4 }.

7. а 1 = {0, 1, 1 , 0}, а 2 = {1, 1 , 3, 1}, а 3 = {1, 3, 5, 1}, а 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. а 1 = {-1, 7, 1 , -2}, а 2 = {2, 3 , 2, 1}, а 3 = {4, 4, 4, -3}, а 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Докажете, че система от вектори ще бъде линейно зависима, ако съдържа:

а) два равни вектора;

б) два пропорционални вектора.

Определение. Линейна комбинация от вектори a 1 , ..., a n с коефициенти x 1 , ..., x n се нарича вектор

x 1 a 1 + ... + x n a n .

тривиален, ако всички коефициенти x 1 , ..., x n са равни на нула.

Определение. Линейната комбинация x 1 a 1 + ... + x n a n се нарича нетривиален, ако поне един от коефициентите x 1, ..., x n не е равен на нула.

линейно независими, ако няма нетривиална комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор.

Тоест, векторите a 1, ..., a n са линейно независими, ако x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тогава и само ако x 1 = 0, ..., x n = 0.

Определение. Векторите a 1, ..., a n се наричат линейно зависими, ако има нетривиална комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор.

Свойства на линейно зависими вектори:

За двумерни и тримерни вектори.

Две линейни зависими вектори- колинеарен. (Колинеарните вектори са линейно зависими.)

За 3-измерни вектори.

Три линейно зависими вектора са компланарни. (Три копланарни вектора са линейно зависими.)

• За n-мерни вектори.

  n + 1 вектора винаги са линейно зависими.

Примери за задачи за линейна зависимост и линейна независимост на вектори:

Пример 1. Проверете дали векторите a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) са линейно независими .

Решение:

Векторите ще бъдат линейно зависими, тъй като размерът на векторите е по-малък от броя на векторите.

Пример 2. Проверете дали векторите a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) са линейно независими.

Решение:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

извадете втория от първия ред; добавете втори ред към третия ред:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Това решение показва, че системата има много решения, тоест има ненулева комбинация от стойности на числата x 1, x 2, x 3, така че линейната комбинация от вектори a, b, c е равна на нулевия вектор, например:

A + b + c = 0

което означава, че векторите a, b, c са линейно зависими.

Отговор:векторите a, b, c са линейно зависими.

Пример 3. Проверете дали векторите a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) са линейно независими.

Решение:Нека намерим стойностите на коефициентите, при които линейната комбинация от тези вектори ще бъде равна на нулевия вектор.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Това векторно уравнение може да бъде написано като система от линейни уравнения

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Нека решим тази система по метода на Гаус

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

извадете първия от втория ред; извадете първия от третия ред:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

извадете втория от първия ред; добавете втора към третия ред.

Линейна зависимост и линейна независимоствектори.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В аулата има количка с шоколадови бонбони, а всеки посетител днес ще получи сладка двойка - аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще засегне едновременно два раздела от висшата математика и ще видим как те съществуват съвместно в една обвивка. Направете си почивка, изяжте Twix! ...по дяволите, какви глупости. Въпреки че, добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да имате положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна векторна независимост, основа на вектории други термини имат не само геометрично тълкуване, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие „вектор“ от гледна точка на линейната алгебра не винаги е „обикновеният“ вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте се да начертаете вектор от петизмерно пространство . Или векторът на времето, за който току-що отидох в Gismeteo: – температура и Атмосферно наляганесъответно. Примерът, разбира се, е неправилен от гледна точка на свойствата на векторното пространство, но въпреки това никой не забранява формализиране на тези параметри като вектор. Полъх на есен...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и т.н.) се отнасят за всички вектори от алгебрична гледна точка, но ще бъдат дадени геометрични примери. Така всичко е просто, достъпно и ясно. В допълнение към задачите от аналитичната геометрия ще разгледаме и някои типични задачи от алгебрата. За да овладеете материала, препоръчително е да се запознаете с уроците Вектори за манекениИ Как да изчислим детерминантата?

Линейна зависимост и независимост на равнинните вектори.
Равнинна основа и афинна координатна система

Нека разгледаме равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще бъде следващи стъпки:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че е интуитивно, че ще са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа зададена координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички обекти на масата.

Не се учудвайте, в началото обясненията ще са на пръсти. Освен това на вашия. Моля поставете показалецлява ръкана ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място Малък пръст дясна ръка на ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво можем да кажем за векторите? Вектори на данни колинеарен, което означава линеенизразени един чрез друг:
, добре, или обратното: , където е някакво число, различно от нула.

Можете да видите снимка на това действие в клас. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножение на вектор по число.

Пръстите ви ще поставят ли основата върху равнината на компютърното бюро? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред и назад напречно сампосока, а равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

Справка: Думите "линеен", "линеен" означават факта, че в математическите уравнения и изрази няма квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и др. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Скръстете пръсти на масата, така че да има ъгъл между тях, различен от 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинеен Независими тогава и само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се притеснявате, че основата се оказа „изкривена“ с неперпендикулярни вектори с различна дължина. Много скоро ще видим, че не само ъгъл от 90 градуса е подходящ за построяването му, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единствения начинсе разширява според основата:
, където са реални числа. Извикват се номерата векторни координатив тази основа.

Също така се казва, че векторпредставен като линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганепо основаили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, можем да кажем, че векторът е разложен по ортонормална основа на равнината, или можем да кажем, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме определение за основаформално: Основата на самолетасе нарича двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , при което всякаквиплоският вектор е линейна комбинация от базисни вектори.

Съществен момент от дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. Бази – това са две напълно различни бази! Както се казва, не можете да замените малкия пръст на лявата си ръка вместо малкия пръст на дясната си ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатна мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се скитат из цялата равнина. И така, как да зададете координати на онези малки мръсни петна по масата, останали от един див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава забележителност е точка, позната на всички - произходът на координатите. Нека разберем координатната система:

Ще започна с „училищната“ система. Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои разлики между правоъгълната координатна система и ортонормалната основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорят за правоъгълна координатна система, тогава най-често те означават началото, координатните оси и мащаба по осите. Опитайте да напишете „правоъгълна координатна система“ в търсачката и ще видите, че много източници ще ви разкажат за познатите от 5-6 клас координатни оси и как да начертаете точки върху равнина.

От друга страна, изглежда, че една правоъгълна координатна система може да бъде напълно дефинирана от гледна точка на ортонормална основа. И това е почти вярно. Формулировката е следната:

произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна равнинна координатна система . Тоест правоъгълната координатна система определеносе определя от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометричните задачи често (но не винаги) се чертаят както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (начало) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЕКИ ВЕКТОР от равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да бъде номерирано“.

Изисква ли се координатните вектори да бъдат единици? Не, те могат да имат произволна ненулева дължина. Да разгледаме точка и два ортогонални вектора с произволна ненулева дължина:

Такава основа се нарича ортогонален. Началото на координатите с вектори се определя от координатна мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има своите координати в дадена основа. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори V общ случай имат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните основи на равнината и пространството, се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица по оста x съдържа 4 см, а една единица по ординатната ос съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразувате, ако е необходимо, „нестандартните“ координати в „обичайните ни сантиметри“.

И вторият въпрос, на който всъщност вече беше отговорено, е дали ъгълът между базисните вектори трябва да е равен на 90 градуса? Не! Както гласи дефиницията, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всичко освен 0 и 180 градуса.

Точка на равнината, наречена произход, И неколинеарнивектори, , комплект афинна равнинна координатна система :

Понякога се нарича такава координатна система кососистема. Като примери чертежът показва точки и вектори:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна; формулите за дължините на векторите и сегментите, които обсъдихме във втората част на урока, не работят в нея Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларно произведение на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, формулите за разделяне на отсечка в тази връзка, както и някои други видове задачи, които скоро ще разгледаме, са валидни.

И изводът е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Ето защо най-често трябва да я виждаш, скъпа моя. ...Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които косият ъгъл (или някой друг напр. полярен) координатна система. И хуманоидите може да харесат такива системи =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълната координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарност на равнинни вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са били колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционалниПо същество това е детайлизиране на очевидната връзка координата по координата.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
б) Векторите образуват ли база? ?

Решение:
а) Нека разберем дали има за вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенствата:

Непременно ще ви разкажа за „фопишкия“ тип приложение от това правило, което работи доста добре на практика. Идеята е веднага да съставите пропорцията и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Нека съкратим:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Връзката може да бъде направена обратно; това е еквивалентен вариант:

За самопроверка можете да използвате факта, че колинеарните вектори са линейно изразени един през друг. IN в такъв случайима равенства . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , Което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват базис.

Опростена версия на решението изглежда така:

Нека направим пропорция от съответните координати на векторите :
, което означава, че тези вектори са линейно независими и образуват базис.

Обикновено тази опция не се отхвърля от рецензентите, но възниква проблем в случаите, когато някои координати са равни на нула. Като този: . Или така: . Или така: . Как да работим с пропорцията тук? (наистина не можете да разделите на нула). Поради тази причина нарекох опростеното решение „шампанско“.

Отговор:а), б) форма.

Малко творчески пример за независимо решение:

Пример 2

При каква стойност на параметъра са векторите колинеарни ли ще са?

В примерния разтвор параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност.Нека систематизираме знанията си и да ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите образуват базис;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

съответно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват базис;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е равна на нула.

Наистина, наистина се надявам на това този моментвече разбирате всички термини и твърдения, които срещате.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни тогава и само тогава, когато детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За използване на тази характеристикаЕстествено, трябва да можете намерете детерминанти.

Нека решимПример 1 по втория начин:

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, което означава, че тези вектори са колинеарни.

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати :
, което означава, че векторите са линейно независими и образуват основа.

Отговор:а), б) форма.

Изглежда много по-компактно и по-красиво от решение с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже паралелността на сегменти и прави линии. Нека разгледаме няколко задачи с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да създавате чертеж в задачата, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Нека си припомним дефиницията на успоредник:
Успоредник Нарича се четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) паралелизъм на противоположните страни и.

Доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училището” – равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре решението да се формализира ясно, с подреждане. Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:
, което означава, че тези вектори са колинеарни и .

Заключение: Противоположните страни на четириъгълник са успоредни по двойки, което означава, че той е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да получите дефиницията на трапец, но е достатъчно просто да си спомните как изглежда.

Това е задача, която трябва да решите сами. Цялостно решениев края на урока.

И сега е време бавно да се преместим от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да бъдат колинеарни два пространствени вектора, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

А) ;
б)
V)

Решение:
а) Да проверим дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се формализира чрез проверка на пропорцията. В такъв случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

Отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Съществува метод за проверка на пространствени вектори за колинеарност чрез детерминанта от трети ред, този методобхванати в статията Векторно произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелността на пространствени сегменти и прави линии.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на векторите в тримерното пространство.
Пространствен базис и афинна координатна система

Много от моделите, които изследвахме в самолета, ще бъдат валидни и за космоса. Опитах се да минимизирам теоретичните бележки, защото лъвски пайинформацията вече е предъвкана. Все пак препоръчвам да прочетете внимателно уводната част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърното бюро, ние изследваме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Някой сега е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да избягаме от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за да се изгради основа, ще са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите си. Моля, вдигнете ръката си нагоре и я разтворете в различни посоки палец, показалец и среден пръст . Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, няма нужда да демонстрирате това на учителите, колкото и да въртите пръстите си, но няма бягство от определения =)

След това да попитаме важен въпрос, всеки три вектора образуват ли база триизмерно пространство ? Моля, натиснете здраво с три пръста горната част на компютърното бюро. Какво стана? Три вектора са разположени в една равнина и, грубо казано, сме загубили едно от измеренията - височината. Такива вектори са компланарени е съвсем очевидно, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че копланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (просто не правете това с пръсти, само Салвадор Дали е правил това =)).

Определение: вектори се наричат компланарен, ако има равнина, на която са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са копланарни.

Три копланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те са линейно изразени един през друг. За простота, нека отново си представим, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите не само са копланарни, те могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (а защо е лесно да се досетите от материалите в предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест по никакъв начин не се изразяват един през друг. И очевидно само такива вектори могат да формират основата на триизмерното пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка от линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен реди всеки вектор на пространството единствения начинсе разлага върху даден базис, където са координатите на вектора в този базис

Нека ви напомня, че можем също да кажем, че векторът е представен във формата линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда точно по същия начин, както за случая с равнина; една точка и всеки три линейно независими вектора са достатъчни:

произход, И некомпланарнивектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на тримерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е „наклонена“ и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява определеноопределяне на координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка в пространството. Подобно на равнината, някои формули, които вече споменах, няма да работят в афинната координатна система на пространството.

Най-познатият и удобен специален случай на афинна координатна система, както всички предполагат, е правоъгълна пространствена координатна система:

Точка в пространството, наречена произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна пространствена координатна система . Позната снимка:

Преди да преминем към практически задачи, нека отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите образуват базис;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Мисля, че противоположните твърдения са разбираеми.

Линейната зависимост/независимост на пространствените вектори традиционно се проверява с помощта на детерминанта (точка 5). оставащи практически задачище има подчертан алгебричен характер. Време е да окачите геометричната пръчка и да размахате бейзболната бухалка на линейната алгебра:

Три вектора на пространствотоса компланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Обръщам внимание на една малка технически нюанс: координатите на векторите могат да се записват не само в колони, но и в редове (стойността на детерминантата няма да се промени от това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За онези читатели, които малко са забравили методите за изчисляване на детерминантите или може би изобщо не ги разбират, препоръчвам един от най-старите ми уроци: Как да изчислим детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори формират основата на триизмерното пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминантата.

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати (детерминантата се разкрива в първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не копланарни) и формират основата на триизмерното пространство.

Отговор: тези вектори формират основа

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Има и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат копланарни?

Решение: Векторите са копланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на тези вектори е равна на нула:

По същество трябва да решите уравнение с детерминанта. Ние се спускаме върху нули като хвърчила върху тушканчета - най-добре е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Ние извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простия линейно уравнение:

Отговор: при

Тук е лесно да проверите; за да направите това, трябва да замените получената стойност в първоначалната детерминанта и да се уверите, че , отваряйки го отново.

В заключение, нека да разгледаме още един типична задача, който е по-алгебричен по природа и традиционно се включва в курса по линейна алгебра. Толкова често срещано, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора формират основата на триизмерното пространство
и намерете координатите на 4-тия вектор в тази основа

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис в триизмерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение: Първо, нека се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е тази база, не ни интересува. Интересно е следното: три вектора може да образуват нова основа. И първият етап напълно съвпада с решението на пример 6; необходимо е да се провери дали векторите са наистина линейно независими:

Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:

, което означава, че векторите са линейно независими и формират основата на триизмерното пространство.

! важно : векторни координати Задължителнозаписвам в колонидетерминанта, а не в низове. В противен случай ще има объркване в по-нататъшния алгоритъм за решение.

Въведено от нас линейни операции върху векториправят възможно създаването на различни изрази за векторни величинии ги трансформирайте, като използвате свойствата, зададени за тези операции.

Въз основа на даден набор от вектори a 1, ..., a n, можете да създадете израз на формата

където a 1, ... и n са произволни реални числа. Този израз се нарича линейна комбинация от вектори a 1, ..., a n. Числата α i, i = 1, n, представляват линейни комбинирани коефициенти. Набор от вектори също се нарича система от вектори.

Във връзка с въведеното понятие за линейна комбинация от вектори възниква проблемът да се опише множество от вектори, което може да се запише като линейна комбинация от дадена система от вектори a 1, ..., a n. Освен това възникват естествени въпроси за условията, при които съществува представяне на вектор под формата на линейна комбинация и за уникалността на такова представяне.

Определение 2.1.Векторите a 1, ... и n се наричат линейно зависими, ако има набор от коефициенти α 1 , ... , α n такива, че

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

и поне един от тези коефициенти е различен от нула. Ако посоченият набор от коефициенти не съществува, тогава се извикват векторите линейно независими.

Ако α 1 = ... = α n = 0, тогава очевидно α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Имайки това предвид, можем да кажем следното: вектори a 1, ... и n са линейно независими, ако от равенството (2.2) следва, че всички коефициенти α 1 , ... , α n са равни на нула.

Следващата теорема обяснява защо новата концепция се нарича терминът "зависимост" (или "независимост") и предоставя прост критерий за линейна зависимост.

Теорема 2.1.За да бъдат линейно зависими векторите a 1, ... и n, n > 1, е необходимо и достатъчно единият от тях да е линейна комбинация от останалите.

◄ Необходимост. Да приемем, че векторите a 1, ... и n са линейно зависими. Съгласно дефиниция 2.1 на линейната зависимост, в равенството (2.2) отляво има поне един ненулев коефициент, например α 1. Оставяйки първия член от лявата страна на равенството, преместваме останалите на правилната страна, сменяйки знаците си, както обикновено. Разделяйки полученото равенство на α 1, получаваме

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

тези. представяне на вектор a 1 като линейна комбинация от останалите вектори a 2, ..., a n.

Адекватност. Нека, например, първият вектор a 1 може да бъде представен като линейна комбинация от останалите вектори: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Прехвърляйки всички членове от дясната страна наляво, получаваме a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, т.е. линейна комбинация от вектори a 1, ..., a n с коефициенти α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, равна на нулев вектор.В тази линейна комбинация не всички коефициенти са нула. Според дефиниция 2.1 векторите a 1, ... и n са линейно зависими.

Дефиницията и критерият за линейна зависимост са формулирани така, че да предполагат наличието на два или повече вектора. Можем обаче да говорим и за линейна зависимост на един вектор. За да реализирате тази възможност, вместо „векторите са линейно зависими“, трябва да кажете „системата от вектори е линейно зависима“. Лесно се вижда, че изразът „система от един вектор е линейно зависима“ означава, че този единичен вектор е нула (в линейна комбинация има само един коефициент и той не трябва да бъде равен на нула).

Концепцията за линейна зависимост има проста геометрична интерпретация. Следващите три твърдения изясняват това тълкуване.

Теорема 2.2.Два вектора са линейно зависими тогава и само ако те колинеарен.

◄ Ако векторите a и b са линейно зависими, то единият от тях, например a, се изразява чрез другия, т.е. a = λb за някакво реално число λ. Съгласно определение 1.7 върши работавектори на число, векторите a и b са колинеарни.

Нека сега векторите a и b са колинеарни. Ако и двете са нула, тогава е очевидно, че са линейно зависими, тъй като всяка линейна комбинация от тях е равна на нулевия вектор. Нека един от тези вектори не е равен на 0, например вектор b. Нека означим с λ отношението на дължините на векторите: λ = |a|/|b|. Колинеарни вектори могат да бъдат еднопосоченили противоположно насочени. В последния случай променяме знака на λ. Тогава, проверявайки Определение 1.7, се убеждаваме, че a = λb. Съгласно теорема 2.1 векторите a и b са линейно зависими.

Забележка 2.1.В случай на два вектора, като се вземе предвид критерият за линейна зависимост, доказаната теорема може да бъде преформулирана по следния начин: два вектора са колинеарни тогава и само ако единият от тях е представен като произведение на другия с число. Това е удобен критерий за колинеарност на два вектора.

Теорема 2.3.Три вектора са линейно зависими тогава и само ако те компланарен.

◄ Ако три вектора a, b, c са линейно зависими, то съгласно теорема 2.1 единият от тях, например a, е линейна комбинация от останалите: a = βb + γс. Нека съберем началото на векторите b и c в точка A. Тогава векторите βb, γс ще имат общо начало в точка A и по според правилото на успоредника техният сбор етези. вектор a ще бъде вектор с начало A и край, който е връх на успоредник, изграден върху компонентни вектори. По този начин всички вектори лежат в една и съща равнина, т.е. копланарни.

Нека векторите a, b, c са копланарни. Ако един от тези вектори е нула, тогава той очевидно ще бъде линейна комбинация от останалите. Достатъчно е всички коефициенти на линейна комбинация да бъдат равни на нула. Следователно можем да приемем, че и трите вектора не са нула. Съвместим започнана тези вектори в обща точка O. Нека техните краища са съответно точки A, B, C (фиг. 2.1). През точка C начертаваме прави, успоредни на прави, минаващи през двойки точки O, A и O, B. Означавайки точките на пресичане като A" и B", получаваме успоредник OA"CB", следователно OC" = OA" + OB". Вектор OA" и ненулевият вектор a = OA са колинеарни и следователно първият от тях може да се получи чрез умножаване на втория по реално число α:OA" = αOA. По същия начин OB" = βOB, β ∈ R. В резултат на това получаваме, че OC" = α OA + βOB, т.е. векторът c е линейна комбинация от вектори a и b. Съгласно теорема 2.1 векторите a, b, c са линейно зависими.

Теорема 2.4.Всеки четири вектора са линейно зависими.

◄ Провеждаме доказателството по същата схема, както в теорема 2.3. Да разгледаме произволни четири вектора a, b, c и d. Ако един от четирите вектора е нула, или сред тях има два колинеарни вектора, или три от четирите вектора са компланарни, тогава тези четири вектора са линейно зависими. Например, ако векторите a и b са колинеарни, тогава можем да направим тяхната линейна комбинация αa + βb = 0 с ненулеви коефициенти и след това да добавим останалите два вектора към тази комбинация, като вземем нули като коефициенти. Получаваме линейна комбинация от четири вектора, равни на 0, в които има ненулеви коефициенти.

По този начин можем да приемем, че сред избраните четири вектора нито един вектор не е нула, няма два колинеарни и няма три копланарни. Нека за тяхно общо начало изберем точка O. Тогава краищата на векторите a, b, c, d ще бъдат някои точки A, B, C, D (фиг. 2.2). През точка D начертаваме три равнини, успоредни на равнините OBC, OCA, OAB и нека A", B", C" са точките на пресичане на тези равнини съответно с правите OA, OB, OS. Получаваме паралелепипед OA" C "B" C" B"DA", а векторите a, b, c лежат на ръбовете му, излизащи от върха O. Тъй като четириъгълникът OC"DC" е успоредник, тогава OD = OC" + OC". От своя страна сегментът OC" е диагонален успоредник OA"C"B", така че OC" = OA" + OB" и OD = OA" + OB" + OC" .

Остава да се отбележи, че двойките вектори OA ≠ 0 и OA" , OB ≠ 0 и OB" , OC ≠ 0 и OC" са колинеарни и следователно е възможно да се изберат коефициентите α, β, γ така, че OA" = αOA, OB" = βOB и OC" = γOC. Накрая получаваме OD = αOA + βOB + γOC. Следователно векторът OD се изразява чрез другите три вектора и всичките четири вектора, съгласно теорема 2.1, са линейно зависими.

Векторната система се нарича линейно зависими, ако има числа, сред които поне едно е различно от нула, така че равенството https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Ако това равенство е изпълнено само в случай, когато всички , тогава системата от вектори се нарича линейно независими.

Теорема.Векторната система ще линейно зависимитогава и само ако поне един от неговите вектори е линейна комбинация от останалите.

Пример 1.Полином е линейна комбинация от полиноми https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Полиномите представляват линейно независима система, тъй като полиномът https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Пример 2.Матричната система, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> е линейно независима, тъй като линейна комбинация е равна на нулева матрица само в случай, когато https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависима.

Решение.

Нека направим линейна комбинация от тези вектори https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" височина=" 22">.

Приравнявайки същите координати на еднакви вектори, получаваме https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Накрая получаваме

И

Системата има уникално тривиално решение, така че линейна комбинация от тези вектори е равна на нула само в случай, че всички коефициенти са равни на нула. Следователно тази система от вектори е линейно независима.

Пример 4.Векторите са линейно независими. Какви ще бъдат векторните системи?

а).;

б).?

Решение.

а).Нека направим линейна комбинация и да я приравним към нула

Използвайки свойствата на операциите с вектори в линейното пространство, пренаписваме последното равенство във формата

Тъй като векторите са линейно независими, коефициентите при трябва да са равни на нула, т.е..gif" width="12" height="23 src=">

Получената система от уравнения има уникално тривиално решение .

От равенството (*) изпълнява се само когато https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независим;

б).Нека направим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Прилагайки подобни разсъждения, получаваме

Решавайки системата от уравнения по метода на Гаус, получаваме

или

Последната система има безкраен брой решения https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. По този начин има не- нулев набор от коефициенти, за които важи равенството (**) . Следователно системата от вектори – линейно зависими.

Пример 5Система от вектори е линейно независима, а система от вектори е линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

В равенство (***) . Наистина, при , системата ще бъде линейно зависима.

От връзката (***) получаваме или Нека обозначим .

Получаваме

Задачи за самостоятелно решаване (в класната стая)

1. Система, съдържаща нулев вектор, е линейно зависима.

2. Система, състояща се от един вектор А, е линейно зависим тогава и само ако, а=0.

3. Система, състояща се от два вектора, е линейно зависима тогава и само тогава, когато векторите са пропорционални (т.е. единият от тях се получава от другия чрез умножение по число).

4. Ако добавите вектор към линейно зависима система, ще получите линейно зависима система.

5. Ако един вектор се премахне от линейно независима система, тогава получената система от вектори е линейно независима.

6. Ако системата Се линейно независим, но става линейно зависим при добавяне на вектор b, след това вектора bлинейно изразени чрез системни вектори С.

° С).Система от матрици , , в пространството на матрици от втори ред.

10. Нека системата от вектори а,б,° Свекторното пространство е линейно независимо. Докажете линейна независимост следните системивектори:

а).а+b, b, c.

б).а+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–произволно число

° С).а+b, a+c, b+c.

11. Позволявам а,б,° С– три вектора на равнината, от които може да се образува триъгълник. Тези вектори ще бъдат ли линейно зависими?

12. Дадени са два вектора a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Намерете още два четириизмерни вектора a3 иa4така че системата a1,а2,a3,a4беше линейно независим .