а 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, а 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, а 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Решение.Търсят общо решениесистеми от уравнения

а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

Метод на Гаус. За да направим това, записваме тази хомогенна система в координати:

Системна матрица

Разрешената система има формата: (r A = 2, н= 3). Системата е кооперативна и несигурна. Неговото общо решение ( х 2 – свободна променлива): х 3 = 13х 2 ; 3х 1 – 2х 2 – 13х 2 = 0 => х 1 = 5х 2 => хо = . Наличието на ненулево конкретно решение, например, показва, че векторите а 1 , а 2 , а 3 линейно зависими.

Пример 2.

Разберете дали тази системалинейно зависими или линейно независими вектори:

1. а 1 = { -20, -15, - 4 }, а 2 = { –7, -2, -4 }, а 3 = { 3, –1, –2 }.

Решение.Да разгледаме хомогенна система от уравнения а 1 х 1 + а 2 х 2 + а 3 х 3 = Θ

или в разширен вид (по координати)

Системата е хомогенна. Ако не е изродено, тогава има уникално решение. Кога хомогенна система– нулево (тривиално) решение. Това означава, че в този случай системата от вектори е независима. Ако системата е изродена, тогава тя има ненулеви решения и следователно е зависима.

Проверяваме системата за израждане:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Системата е неизродена и следователно векторите а 1 , а 2 , а 3 линейно независими.

Задачи.Разберете дали дадена система от вектори е линейно зависима или линейно независима:

1. а 1 = { -4, 2, 8 }, а 2 = { 14, -7, -28 }.

2. а 1 = { 2, -1, 3, 5 }, а 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. а 1 = { -7, 5, 19 }, а 2 = { -5, 7 , -7 }, а 3 = { -8, 7, 14 }.

4. а 1 = { 1, 2, -2 }, а 2 = { 0, -1, 4 }, а 3 = { 2, -3, 3 }.

5. а 1 = { 1, 8 , -1 }, а 2 = { -2, 3, 3 }, а 3 = { 4, -11, 9 }.

6. а 1 = { 1, 2 , 3 }, а 2 = { 2, -1 , 1 }, а 3 = { 1, 3, 4 }.

7. а 1 = {0, 1, 1 , 0}, а 2 = {1, 1 , 3, 1}, а 3 = {1, 3, 5, 1}, а 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. а 1 = {-1, 7, 1 , -2}, а 2 = {2, 3 , 2, 1}, а 3 = {4, 4, 4, -3}, а 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Докажете, че система от вектори ще бъде линейно зависима, ако съдържа:

а) два равни вектора;

б) два пропорционални вектора.

Задача 1.Разберете дали системата от вектори е линейно независима. Системата от вектори ще бъде определена от матрицата на системата, чиито колони се състоят от координатите на векторите.

.

Решение.Нека линейната комбинация равно на нула. Записвайки това равенство в координати, получаваме следната системауравнения:

.

Такава система от уравнения се нарича триъгълна. Тя има само едно решение . Следователно векторите линейно независими.

Задача 2.Разберете дали системата от вектори е линейно независима.

.

Решение.Вектори са линейно независими (вижте задача 1). Нека докажем, че векторът е линейна комбинация от вектори . Коефициенти на векторно разширение се определят от системата от уравнения

.

Тази система, подобно на триъгълната, има уникално решение.

Следователно системата от вектори линейно зависими.

Коментирайте. Извикват се матрици от същия тип като в задача 1 триъгълна , а в задача 2 – стъпаловидно триъгълно . Въпросът за линейната зависимост на система от вектори се решава лесно, ако матрицата, съставена от координатите на тези вектори, е стъпаловидно триъгълна. Ако матрицата няма специална форма, тогава използвайте елементарни преобразувания на низове , запазвайки линейните връзки между колоните, тя може да бъде намалена до стъпаловидна триъгълна форма.

Елементарни преобразувания на низовематрици (EPS) следните операции върху матрица се наричат:

1) пренареждане на редове;

2) умножаване на низ с различно от нула число;

3) добавяне на друг низ към низ, умножен по произволно число.

Задача 3.Намерете максималната линейно независима подсистема и изчислете ранга на системата от вектори

.

Решение.Нека намалим матрицата на системата, използваща EPS, до стъпаловидна триъгълна форма. За да обясним процедурата, обозначаваме реда с номера на матрицата, която трябва да се преобразува, със символа . Колоната след стрелката показва действията върху редовете на преобразуваната матрица, които трябва да бъдат извършени, за да се получат редовете на новата матрица.

.

Очевидно първите две колони на получената матрица са линейно независими, третата колона е тяхната линейна комбинация, а четвъртата не зависи от първите две. Вектори се наричат ​​основни. Те образуват максимална линейно независима подсистема на системата , а рангът на системата е три.

Основа, координати

Задача 4.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху набора от геометрични вектори, чиито координати отговарят на условието .

Решение. Множеството е равнина, минаваща през началото. Произволен базис на равнина се състои от два неколинеарни вектора. Координатите на векторите в избрания базис се определят от решението на съответната система линейни уравнения.

Има друг начин за решаване на този проблем, когато можете да намерите основата с помощта на координатите.

Координати пространствата не са координати в равнината, тъй като са свързани с релацията , тоест не са независими. Независимите променливи и (те се наричат ​​свободни) уникално дефинират вектор в равнината и следователно могат да бъдат избрани като координати в . След това основата се състои от вектори, лежащи в и съответстващи на набори от свободни променливи И , това е .

Задача 5.Намерете основата и координатите на векторите в тази база върху множеството от всички вектори в пространството, чиито нечетни координати са равни една на друга.

Решение. Нека изберем, както в предишната задача, координати в пространството.

защото , след това безплатни променливи еднозначно определят вектора от и следователно са координати. Съответният базис се състои от вектори.

Задача 6.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху множеството от всички матрици на формата , Където – произволни числа.

Решение. Всяка матрица от е уникално представима във формата:

Тази връзка е разширение на вектора от по отношение на основата
с координати .

Задача 7.Намерете размерността и основата на линейната обвивка на система от вектори

.

Решение.Използвайки EPS, ние трансформираме матрицата от координатите на системните вектори в стъпаловидна триъгълна форма.

.

Колони последните матрици са линейно независими, а колоните линейно изразено чрез тях. Следователно векторите образуват основа , И .

Коментирайте. Основа в е избран двусмислено. Например вектори също формират основа .

Позволявам Ле произволно линейно пространство, a аз Î л,- неговите елементи (вектори).

Определение 3.3.1.Изразяване , Където , - произволни реални числа, наречени линейна комбинация вектори a 1 , a 2 ,…, a н.

Ако векторът Р = , тогава те казват, че Р разложени на вектори a 1 , a 2 ,…, a н.

Определение 3.3.2.Линейна комбинация от вектори се нарича нетривиален, ако сред числата има поне едно различно от нула. В противен случай се нарича линейната комбинация тривиален.

Определение 3.3.3 . Вектори a 1 , a 2 ,…, a нсе наричат ​​линейно зависими, ако съществува нетривиална линейна комбинация от тях, така че

= 0 .

Определение 3.3.4. Вектори a 1 ,a 2 ,…, a нсе наричат ​​линейно независими, ако равенството = 0 е възможно само в случай, че всички числа л 1, л 2,…, л нса едновременно равни на нула.

Забележете, че всеки ненулев елемент a 1 може да се разглежда като линейно независима система, тъй като равенството л a 1 = 0 възможно само ако л= 0.

Теорема 3.3.1.Необходими и достатъчно условиелинейна зависимост a 1, a 2,…, a не възможността за разлагане на поне един от тези елементи на останалите.

Доказателство. Необходимост. Нека елементите a 1 , a 2 ,…, a нлинейно зависими. Означава, че = 0 , и поне едно от числата л 1, л 2,…, л нразличен от нула. Нека за сигурност л 1 ¹ 0. Тогава

т.е. елемент a 1 се разлага на елементи a 2 , a 3 , …, a н.

Адекватност. Нека елемент a 1 се разложи на елементи a 2 , a 3 , …, a н, т.е. a 1 = . Тогава = 0 , следователно има нетривиална линейна комбинация от вектори a 1 , a 2 ,…, a н, равен 0 , така че те са линейно зависими .

Теорема 3.3.2. Ако поне един от елементите a 1 , a 2 ,…, a ннула, тогава тези вектори са линейно зависими.

Доказателство . Позволявам а н= 0 , след това = 0 , което означава линейната зависимост на тези елементи.

Теорема 3.3.3. Ако сред n вектора има p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Доказателство. Нека за определеност елементите a 1 , a 2 ,…, a стрлинейно зависими. Това означава, че има нетривиална линейна комбинация, такава че = 0 . Посоченото равенство ще се запази, ако добавим елемента към двете му части. Тогава + = 0 , и поне едно от числата л 1, л 2,…, л.празличен от нула. Следователно векторите a 1 , a 2 ,…, a нса линейно зависими.

Следствие 3.3.1.Ако n елемента са линейно независими, тогава всеки k от тях е линейно независим (k< n).

Теорема 3.3.4. Ако векторите a 1 , a 2 ,…, a н- 1 са линейно независими, а елементите a 1 , a 2 ,…, a н- 1, а n са линейно зависими, тогава векторъта n може да се разшири във вектори a 1 , a 2 ,…, a н- 1 .

Доказателство.Тъй като по условие a 1 , a 2 ,…, а н- 1, а н са линейно зависими, тогава има нетривиална линейна комбинация от тях = 0 , и (в противен случай векторите a 1 , a 2 ,…, a ще се окажат линейно зависими н- 1). Но тогава векторът

,

Q.E.D.

Линейна зависимост и линейна независимост на векторите.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В залата има количка с шоколадови бонбони, а всеки посетител днес ще получи сладка двойка - аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще засегне едновременно два раздела от висшата математика и ще видим как те съществуват съвместно в една обвивка. Направете си почивка, хапнете Twix! ...по дяволите, какви глупости. Въпреки че, добре, няма да вкарам точки, в крайна сметка трябва да имате положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна векторна независимост, основа на вектории други термини имат не само геометрично тълкуване, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие „вектор“ от гледна точка на линейната алгебра не винаги е „обикновеният“ вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте се да начертаете вектор от петизмерно пространство . Или векторът на времето, за който току-що отидох в Gismeteo: – температура и Атмосферно наляганесъответно. Примерът, разбира се, е неправилен от гледна точка на свойствата на векторното пространство, но въпреки това никой не забранява формализиране на тези параметри като вектор. Полъх на есен...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и т.н.) се отнасят за всички вектори от алгебрична гледна точка, но ще бъдат дадени геометрични примери. Така всичко е просто, достъпно и ясно. В допълнение към задачите от аналитичната геометрия ще разгледаме и някои типични задачи от алгебрата. За да овладеете материала, препоръчително е да се запознаете с уроците Вектори за манекениИ Как да изчислим детерминантата?

Линейна зависимост и независимост на равнинните вектори.
Равнинна основа и афинна координатна система

Нека разгледаме равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще бъде следващи стъпки:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че е интуитивно, че ще са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа зададена координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички обекти на масата.

Не се учудвайте, в началото обясненията ще са на пръсти. Освен това на вашия. Моля поставете показалецлява ръкана ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място Малък пръст дясна ръка на ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво можем да кажем за векторите? Вектори на данни колинеарен, което означава линеенизразени един чрез друг:
, добре, или обратното: , където е някакво число, различно от нула.

Можете да видите снимка на това действие в клас. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножение на вектор по число.

Пръстите ви ще поставят ли основата върху равнината на компютърното бюро? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред и назад напречно сампосока, а равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

Справка: Думите "линеен", "линеен" означават факта, че в математическите уравнения и изрази няма квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и др. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Скръстете пръсти на масата, така че да има ъгъл между тях, различен от 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинеен Независими тогава и само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се притеснявате, че основата се оказа „изкривена“ с неперпендикулярни вектори с различна дължина. Много скоро ще видим, че не само ъгъл от 90 градуса е подходящ за построяването му, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единствения начинсе разширява според основата:
, където са реални числа. Извикват се номерата векторни координатив тази основа.

Също така се казва, че векторпредставен като линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганепо основаили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, можем да кажем, че векторът е разложен по ортонормална основа на равнината, или можем да кажем, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме определение за основаформално: Основата на самолетасе нарича двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , при което всякаквиплоският вектор е линейна комбинация от базисни вектори.

Съществен момент от дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. Бази – това са две напълно различни бази! Както се казва, не можете да замените малкия пръст на лявата си ръка вместо малкия пръст на дясната си ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатна мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се скитат из цялата равнина. И така, как да зададете координати на тези малки мръсни петна по масата, останали от дивия уикенд? Необходима е отправна точка. И такава забележителност е точка, позната на всички - произходът на координатите. Нека разберем координатната система:

Ще започна с „училищната“ система. Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои разлики между правоъгълната координатна система и ортонормалната основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорят за правоъгълна координатна система, тогава най-често те означават началото, координатните оси и мащаба по осите. Опитайте да напишете „правоъгълна координатна система“ в търсачката и ще видите, че много източници ще ви разкажат за познатите от 5-6 клас координатни оси и как да начертаете точки върху равнина.

От друга страна, изглежда, че една правоъгълна координатна система може да бъде напълно дефинирана от гледна точка на ортонормална основа. И това е почти вярно. Формулировката е следната:

произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна равнинна координатна система . Тоест правоъгълната координатна система определеносе определя от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометричните задачи често (но не винаги) се чертаят както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (начало) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЕКИ ВЕКТОР от равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да бъде номерирано“.

Изисква ли се координатните вектори да бъдат единици? Не, те могат да имат произволна ненулева дължина. Да разгледаме точка и два ортогонални вектора с произволна ненулева дължина:

Такава основа се нарича ортогонален. Началото на координатите с вектори се определя от координатна мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има своите координати в дадена основа. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори V общ случай имат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните основи на равнината и пространството, се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица по оста x съдържа 4 см, една единица по ординатната ос съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразувате „нестандартните“ координати в „нашите обичайни сантиметри“.

И вторият въпрос, на който всъщност вече беше отговорено, е дали ъгълът между базисните вектори трябва да е равен на 90 градуса? Не! Както гласи дефиницията, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всичко освен 0 и 180 градуса.

Точка на равнината, наречена произход, И неколинеарнивектори, , комплект афинна равнинна координатна система :

Понякога се нарича такава координатна система кососистема. Като примери чертежът показва точки и вектори:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна; формулите за дължините на векторите и сегментите, които обсъдихме във втората част на урока, не работят в нея Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларно произведение на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, формулите за разделяне на отсечка в тази връзка, както и някои други видове задачи, които скоро ще разгледаме, са валидни.

И изводът е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Ето защо най-често трябва да я виждаш, скъпа моя. ...Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които косият ъгъл (или някой друг напр. полярен) координатна система. И хуманоидите може да харесат такива системи =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълната координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарността на равнинните вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са били колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционалниПо същество това е детайлизиране на очевидната връзка координата по координата.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
б) Векторите образуват ли база? ?

Решение:
а) Нека разберем дали има за вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенствата:

Непременно ще ви разкажа за „фопишкия“ тип приложение от това правило, което работи доста добре на практика. Идеята е веднага да съставите пропорцията и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Нека съкратим:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Връзката може да бъде направена обратното, това е еквивалентен вариант:

За самопроверка можете да използвате факта, че колинеарните вектори са линейно изразени един през друг. IN в такъв случайима равенства . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , Което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват базис.

Опростена версия на решението изглежда така:

Нека направим пропорция от съответните координати на векторите :
, което означава, че тези вектори са линейно независими и образуват базис.

Обикновено тази опция не се отхвърля от рецензентите, но възниква проблем в случаите, когато някои координати са равни на нула. Като този: . Или така: . Или така: . Как да работим с пропорцията тук? (наистина не можете да разделите на нула). Поради тази причина нарекох опростеното решение „шампанско“.

Отговор:а), б) форма.

Малко творчески пример за независимо решение:

Пример 2

При каква стойност на параметъра са векторите колинеарни ли ще са?

В примерния разтвор параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност. Нека систематизираме знанията си и ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите образуват базис;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

съответно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват базис;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е равна на нула.

Наистина, наистина се надявам на това този моментвече разбирате всички термини и твърдения, които срещате.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни тогава и само тогава, когато детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За използване на тази характеристикаЕстествено, трябва да можете намерете детерминанти.

Нека решимПример 1 по втория начин:

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, което означава, че тези вектори са колинеарни.

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати :
, което означава, че векторите са линейно независими и образуват базис.

Отговор:а), б) форма.

Изглежда много по-компактно и по-красиво от решение с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже паралелността на сегменти и прави линии. Нека разгледаме няколко задачи с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да създавате чертеж в задачата, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Нека си припомним дефиницията на успоредник:
Успоредник Нарича се четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) паралелизъм на противоположните страни и.

Доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училището” – равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре решението да се формализира ясно, с подреждане. Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:
, което означава, че тези вектори са колинеарни и .

Заключение: Противоположните страни на четириъгълник са успоредни по двойки, което означава, че той е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да получите дефиницията на трапец, но е достатъчно просто да си спомните как изглежда.

Това е задача, която трябва да решите сами. Цялостно решениев края на урока.

И сега е време бавно да се преместим от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да бъдат колинеарни два пространствени вектора, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

А) ;
б)
V)

Решение:
а) Да проверим дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се формализира чрез проверка на пропорцията. В такъв случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

Отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Съществува метод за проверка на пространствени вектори за колинеарност чрез детерминанта от трети ред, този методобхванати в статията Векторно произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелността на пространствени сегменти и прави линии.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на векторите в тримерното пространство.
Пространствен базис и афинна координатна система

Много от моделите, които изследвахме в самолета, ще бъдат валидни и за космоса. Опитах се да минимизирам теоретичните бележки, защото лъвски дялинформацията вече е предъвкана. Все пак препоръчвам да прочетете внимателно уводната част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърното бюро, ние изследваме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Някой сега е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да избягаме от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за да се изгради основа, ще са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите си. Моля, вдигнете ръката си нагоре и я разтворете в различни посоки палец, показалец и среден пръст . Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, няма нужда да демонстрирате това на учителите, колкото и да въртите пръстите си, но няма как да избягате от определенията =)

След това да попитаме важен въпрос, всеки три вектора образуват ли база триизмерно пространство ? Моля, натиснете здраво с три пръста горната част на компютърното бюро. Какво стана? Три вектора са разположени в една равнина и, грубо казано, сме загубили едно от измеренията - височината. Такива вектори са компланарени е съвсем очевидно, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че копланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (просто не правете това с пръсти, само Салвадор Дали е правил това =)).

Определение: вектори се наричат компланарен, ако има равнина, на която са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са копланарни.

Три копланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те са линейно изразени един през друг. За простота, нека отново си представим, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите не само са копланарни, те могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (а защо е лесно да се досетите от материалите в предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест по никакъв начин не се изразяват един през друг. И очевидно само такива вектори могат да формират основата на триизмерното пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка от линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен реди всеки вектор на пространството единствения начинсе разлага върху даден базис, където са координатите на вектора в този базис

Нека ви напомня, че можем също да кажем, че векторът е представен във формата линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда по абсолютно същия начин, както за случая на равнина и са достатъчни три линейно независими вектора:

произход, И некомпланарнивектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на тримерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е „наклонена“ и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява определеноопределяне на координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка в пространството. Подобно на равнината, някои формули, които вече споменах, няма да работят в афинната координатна система на пространството.

Най-познатият и удобен специален случай на афинна координатна система, както всички предполагат, е правоъгълна пространствена координатна система:

Точка в пространството, наречена произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна пространствена координатна система . Позната снимка:

Преди да преминем към практически задачи, нека отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите образуват базис;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Мисля, че противоположните твърдения са разбираеми.

Линейната зависимост/независимост на пространствените вектори традиционно се проверява с помощта на детерминанта (точка 5). оставащи практически задачище има подчертан алгебричен характер. Време е да окачите геометричната пръчка и да размахате бейзболната бухалка на линейната алгебра:

Три вектора на пространствотоса компланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Обръщам внимание на една малка технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминантата няма да се промени от това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За тези читатели, които малко са забравили методите за изчисляване на детерминантите или може би изобщо не ги разбират, препоръчвам един от най-старите ми уроци: Как да изчислим детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори формират основата на триизмерното пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминантата.

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати (детерминантата се разкрива в първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не копланарни) и формират основата на триизмерното пространство.

Отговор: тези вектори формират основа

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Има и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат копланарни?

Решение: Векторите са копланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на тези вектори е равна на нула:

По същество трябва да решите уравнение с детерминанта. Ние се спускаме върху нули като хвърчила върху тушканчета - най-добре е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простото линейно уравнение:

Отговор: при

Тук е лесно да проверите; трябва да замените получената стойност в оригиналната детерминанта и да се уверите, че , отваряйки го отново.

В заключение, нека да разгледаме още един типична задача, който е по-алгебричен по природа и традиционно се включва в курса по линейна алгебра. Толкова е често срещано, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора формират основата на триизмерното пространство
и намерете координатите на 4-ия вектор в тази основа

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис в тримерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение: Първо, нека се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е тази база, не ни интересува. Интересно е следното: три вектора може да образуват нова основа. И първият етап напълно съвпада с решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите са наистина линейно независими;

Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:

, което означава, че векторите са линейно независими и формират основата на триизмерното пространство.

! важно : векторни координати Задължителнозаписвам в колонидетерминанта, а не в низове. В противен случай ще има объркване в по-нататъшния алгоритъм за решение.

Определение. Линейна комбинация от вектори a 1 , ..., a n с коефициенти x 1 , ..., x n се нарича вектор

x 1 a 1 + ... + x n a n .

тривиален, ако всички коефициенти x 1 , ..., x n са равни на нула.

Определение. нетривиаленЛинейната комбинация x 1 a 1 + ... + x n a n се нарича

, ако поне един от коефициентите x 1, ..., x n не е равен на нула.линейно независими

Тоест, векторите a 1, ..., a n са линейно независими, ако x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 тогава и само ако x 1 = 0, ..., x n = 0.

Определение. линейно зависимиВекторите a 1, ..., a n се наричат

, ако има нетривиална комбинация от тези вектори, равна на нулевия вектор.

Свойства на линейно зависими вектори:

За двумерни и тримерни вектори.

Два линейно зависими вектора са колинеарни. (Колинеарните вектори са линейно зависими.)

За 3-измерни вектори.

• Три линейно зависими вектора са компланарни. (Три копланарни вектора са линейно зависими.)

  За n-мерни вектори.

n + 1 вектора винаги са линейно зависими.

Примери за задачи за линейна зависимост и линейна независимост на вектори:

Решение:

Пример 1. Проверете дали векторите a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) са линейно независими .

Векторите ще бъдат линейно зависими, тъй като размерът на векторите е по-малък от броя на векторите.

Решение:

	Пример 2. Проверете дали векторите a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) са линейно независими.
	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

x 1 + x 3 = 0

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

извадете втория от първия ред; добавете втори ред към третия ред:

Това решение показва, че системата има много решения, тоест има ненулева комбинация от стойности на числата x 1, x 2, x 3, така че линейната комбинация от вектори a, b, c е равна на нулевия вектор, например:

A + b + c = 0

Отговор:което означава, че векторите a, b, c са линейно зависими.

векторите a, b, c са линейно зависими.

Решение:Пример 3. Проверете дали векторите a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) са линейно независими.

Нека намерим стойностите на коефициентите, при които линейната комбинация от тези вектори ще бъде равна на нулевия вектор.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

	Пример 2. Проверете дали векторите a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) са линейно независими.
	x 1 + x 2 = 0
	Това векторно уравнение може да бъде написано като система от линейни уравнения

x 1 + 2x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

Нека решим тази система по метода на Гаус

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

извадете първия от втория ред; извадете първия от третия ред: