Директното преброяване на случаи в полза на дадено събитие може да бъде трудно. Следователно, за да се определи вероятността от дадено събитие, може да е полезно да си представим това събитие като комбинация от някои други, по-прости събития. В този случай обаче трябва да знаете правилата, които управляват вероятностите в комбинации от събития. Именно към тези правила се отнасят теоремите, споменати в заглавието на параграфа.

Първият от тях се отнася до изчисляване на вероятността поне едно от няколкото събития да се случи.

Теорема за събиране.

Нека A и B са две несъвместими събития. Тогава вероятността поне едно от тези две събития да се случи е равна на сумата от техните вероятности:

Доказателство. Нека е пълна група от по двойки несъвместими събития. Ако тогава сред тези елементарни събития има точно събития, благоприятни за А, и точно събития, благоприятни за Б. Тъй като събития А и Б са несъвместими, тогава никое събитие не може да благоприятства и двете от тези събития. Едно събитие (A или B), състоящо се в настъпването на поне едно от тези две събития, очевидно е благоприятно както от всяко от събитията, благоприятстващи A, така и от всяко от събитията

Благоприятно B. Следователно общият брой събития, благоприятни за събитие (A или B), е равен на сумата, която следва:

Q.E.D.

Лесно се вижда, че теоремата за добавяне, формулирана по-горе за случая на две събития, може лесно да се пренесе в случая на всеки краен брой от тях. Точно ако има по двойки несъвместими събития, тогава

За случай на три събития, например, може да се напише

Важно следствие от теоремата за добавяне е твърдението: ако събитията са по двойки несъвместими и уникално възможни, тогава

Действително, събитието или или или е по предположение сигурно и неговата вероятност, както е посочено в § 1, е равна на единица. По-специално, ако означават две взаимно противоположни събития, тогава

Нека илюстрираме теоремата за добавяне с примери.

Пример 1. При стрелба по мишена вероятността да направите отличен изстрел е 0,3, а вероятността да направите „добър“ изстрел е 0,4. Каква е вероятността да получите резултат поне „добър“ за удар?

Решение. Ако събитие A означава получаване на „отлична“ оценка, а събитие B означава получаване на „добра“ оценка, тогава

Пример 2. В урна, съдържаща бели, червени и черни топки, има бели топки и I червени топки. Каква е вероятността да изтеглите топка, която не е черна?

Решение. Ако събитие A се състои от появата на бяла топка, а събитие B се състои от червена топка, тогава появата на топката не е черна

означава появата на бяла или червена топка. Тъй като по дефиниция на вероятността

тогава, съгласно теоремата за добавяне, вероятността да се появи нечерна топка е равна;

Този проблем може да бъде решен по този начин. Нека събитие C се състои в появата на черна топка. Броят на черните топки е равен, така че P (C) Появата на нечерна топка е обратното събитие на C, следователно, въз основа на горното следствие от теоремата за добавяне, имаме:

по старому.

Пример 3. При парично-материална лотария за серия от 1000 билета има 120 парични и 80 материални печалби. Каква е вероятността да спечелите нещо от един лотарен билет?

Решение. Ако означим с A събитие, състоящо се от парична печалба и с B материална печалба, тогава от определението за вероятност следва

Събитието, което ни интересува, е представено с (A или B), следователно следва от теоремата за добавяне

По този начин вероятността за печалба е 0,2.

Преди да преминете към следващата теорема, е необходимо да се запознаете с нова важна концепция - концепцията за условната вероятност. За тази цел ще започнем с разглеждане на следния пример.

Да предположим, че в склад има 400 електрически крушки, произведени в две различни фабрики, като първата произвежда 75% от всички крушки, а втората - 25%. Да приемем, че сред електрическите крушки, произведени от първия завод, 83% отговарят на условията на определен стандарт, а за продуктите от втория завод този процент е 63. Нека определим вероятността електрическа крушка, произволно взета от складът ще отговаря на условията на стандарта.

Обърнете внимание, че общият брой налични стандартни електрически крушки се състои от електрическите крушки, произведени от първия

фабрика и 63 електрически крушки, произведени от втория завод, тоест равно на 312. Тъй като изборът на всяка крушка трябва да се счита за еднакво възможен, имаме 312 благоприятни случая от 400, така че

където събитие B е, че крушката, която сме избрали е стандартна.

По време на това изчисление не бяха направени предположения за продукта на кое растение принадлежи електрическата крушка, която избрахме. Ако направим предположения от този вид, тогава е очевидно, че вероятността, която ни интересува, може да се промени. Така например, ако се знае, че избраната електрическа крушка е произведена в първия завод (събитие А), тогава вероятността тя да е стандартна вече няма да бъде 0,78, а 0,83.

Този вид вероятност, т.е. вероятността за събитие B, като се има предвид, че събитие A се случва, се нарича условна вероятност за събитие B, като се има предвид настъпването на събитие A и се обозначава

Ако в предишния пример означим с A събитието, че избраната електрическа крушка е произведена в първия завод, тогава можем да напишем

Сега можем да формулираме важна теорема, свързана с изчисляването на вероятността от комбиниране на събития.

Теорема за умножение.

Вероятността за комбиниране на събития A и B е равна на произведението на вероятността за едно от събитията и условната вероятност за другото, като се приеме, че първото се е случило:

В този случай комбинацията от събития A и B означава настъпване на всяко от тях, тоест настъпване както на събитие A, така и на събитие B.

Доказателство. Нека разгледаме пълна група от еднакво възможни по двойки несъвместими събития, всяко от които може да бъде благоприятно или неблагоприятно както за събитие А, така и за събитие Б.

Нека разделим всички тези събития на четири различни групипо следния начин. Първата група включва онези събития, които благоприятстват както събитие А, така и събитие Б; Втората и третата група включват онези събития, които благоприятстват едно от двете събития, които ни интересуват, и не благоприятстват другото, например втората група включва тези, които благоприятстват А, но не благоприятстват Б, а третата група включва тези, които предпочитат B, но не предпочитат A; най-накрая да

Четвъртата група включва онези събития, които не са в полза нито на А, нито на Б.

Тъй като номерацията на събитията няма значение, можем да приемем, че това разделение на четири групи изглежда така:

Група I:

Група II:

III група:

IV група:

По този начин, сред еднакво възможни и по двойки несъвместими събития има събития, които благоприятстват както събитие А, така и събитие Б, събития, които благоприятстват събитие А, но не благоприятстват събитие А, събития, които благоприятстват Б, но не благоприятстват А, и накрая, събития, които не са в полза нито на А, нито на Б.

Между другото, нека отбележим, че нито една от четирите групи, които разгледахме (и дори повече от една), може да не съдържа нито едно събитие. В този случай съответното число, указващо броя на събитията в такава група, ще бъде равно на нула.

Нашата разбивка на групи ви позволява незабавно да пишете

тъй като комбинацията от събития A и B се благоприятства от събитията от първата група и само от тях. Общият брой на събитията в полза на А е равен на общия брой на събитията в първа и втора група, а тези в полза на Б е равен на общия брой събития в първа и трета група.

Нека сега изчислим вероятността, т.е. вероятността за събитие B, при условие че събитие A се е случило. Сега събитията, включени в третата и четвъртата група, изчезват, тъй като появата им би противоречала на настъпването на събитие А, а броят възможни случаивече не се оказва равен. От тях събитие B се предпочита само от събития от първата група, така че получаваме:

За да докажем теоремата, сега е достатъчно да напишем очевидното тъждество:

и заменете и трите дроби с изчислените по-горе вероятности. Стигаме до равенството, посочено в теоремата:

Ясно е, че тъждеството, което написахме по-горе, има смисъл само ако винаги е вярно, освен ако А е невъзможно събитие.

Тъй като събитията A и B са равни, тогава, като ги разменим, получаваме друга форма на теоремата за умножение:

Въпреки това, това равенство може да се получи по същия начин като предишното, ако забележите, че използвате идентичността

Сравнявайки десните части на двата израза за вероятността P(A и B), получаваме полезно равенство:

Нека сега разгледаме примери, илюстриращи теоремата за умножение.

Пример 4. В продуктите на определено предприятие 96% от продуктите се считат за подходящи (събитие А). 75 продукта от всеки сто подходящи се оказват в първи клас (събитие B). Определете вероятността произволно избран продукт да е подходящ и да принадлежи към първи клас.

Решение. Желаната вероятност е вероятността за комбиниране на събития A и B. По условие имаме: . Следователно теоремата за умножение дава

Пример 5. Вероятността за попадение в целта с един изстрел (събитие А) е 0,2. Каква е вероятността за попадение в целта, ако 2% от предпазителите се повредят (т.е. в 2% от случаите изстрелът не

Решение. Нека събитието B е, че ще се получи изстрел, и нека B означава обратното събитие. След това по условие и съгласно следствието от теоремата за събиране. Освен това, според условието.

Уцелването на целта означава комбинация от събития A и B (изстрелът ще стреля и ще уцели), следователно, съгласно теоремата за умножение

важно специален случайтеоремите за умножение могат да бъдат получени чрез използване на концепцията за независимост на събитията.

Две събития се наричат ​​независими, ако вероятността за едно от тях не се променя в резултат на това дали другото се случва или не се случва.

Примери за независими събития са отпадане различни числаточки при повторно хвърляне на зар или една или друга страна на монети при повторно хвърляне на монета, тъй като е очевидно, че вероятността герб да изпадне при второто хвърляне е еднаква, независимо дали гербът е изпаднал или не в първия.

По същия начин, вероятността за изтегляне на бяла топка за втори път от урна, съдържаща бели и черни топки, ако първата изтеглена топка е била върната преди това, не зависи от това дали топката е била изтеглена първия път, бяла или черна. Следователно резултатите от първото и второто отстраняване са независими един от друг. Напротив, ако топката, извадена първа, не се върне в урната, тогава резултатът от второто изваждане зависи от първото, тъй като съставът на топките в урната след първото изваждане се променя в зависимост от неговия резултат. Тук имаме пример за зависими събития.

Използвайки нотацията, възприета за условни вероятности, можем да запишем условието за независимост на събития A и B във формата

Използвайки тези равенства, можем да редуцираме теоремата за умножение за независими събития до следния вид.

Ако събития A и B са независими, тогава вероятността от тяхната комбинация е равна на произведението на вероятностите на тези събития:

Наистина, достатъчно е да поставим първоначалния израз на теоремата за умножение, която следва от независимостта на събитията, и ще получим търсеното равенство.

Нека сега разгледаме няколко събития: Ще ги наречем колективно независими, ако вероятността за настъпване на някое от тях не зависи от това дали са се случили други разглеждани събития или не

В случай на събития, които са колективно независими, теоремата за умножение може да бъде разширена до всеки краен брой от тях, така че може да бъде формулирана по следния начин:

Вероятността за комбиниране на независими събития в съвкупността е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

Пример 6. Работник обслужва три автоматични машини, всяка от които трябва да се приближи, за да коригира неизправност, ако машината спре. Вероятността първата машина да не спре в рамките на един час е 0,9. Същата вероятност за втората машина е 0,8, а за третата - 0,7. Определете вероятността в рамките на един час на работника да не му се налага да се доближава до някоя от машините, които обслужва.

Пример 7. Вероятност за сваляне на самолет с изстрел от пушка Каква е вероятността за унищожаване на вражески самолет, ако 250 пушки бъдат изстреляни едновременно?

Решение. Вероятността самолетът да не бъде свален с един изстрел е равна на теоремата за събиране. След това можем да изчислим, използвайки теоремата за умножение, вероятността самолетът да не бъде свален с 250 изстрела, като вероятността за комбиниране. събития. Тя е равна на След това можем отново да използваме теоремата за добавяне и да намерим вероятността самолетът да бъде свален като вероятността от обратното събитие

От това може да се види, че въпреки че вероятността да свалите самолет с един изстрел от пушка е незначителна, въпреки това, когато стреляте от 250 пушки, вероятността да свалите самолет вече е много забележима. Увеличава се значително, ако се увеличи броят на пушките. Така че, когато стреляте от 500 пушки, вероятността да свалите самолет, както е лесно да се изчисли, е равна на тази при стрелба от 1000 пушки - дори.

Доказаната по-горе теорема за умножение ни позволява донякъде да разширим теоремата за добавяне, разширявайки я до случая на съвместими събития. Ясно е, че ако събитията A и B са съвместими, тогава вероятността за настъпване на поне едно от тях не е равна на сумата от техните вероятности. Например, ако събитие А означава четно число

броя на точките при хвърляне на зар и събитие B е загуба на брой точки, кратен на три, тогава събитието (A или B) се предпочита от загубата на 2, 3, 4 и 6 точки, това е

От друга страна, т.е. Така че в този случай

От това става ясно, че в случай на съвместими събития теоремата за добавяне на вероятности трябва да бъде променена. Както ще видим сега, тя може да бъде формулирана по такъв начин, че да е валидна както за съвместими, така и за несъвместими събития, така че разгледаната по-рано теорема за добавяне да се окаже частен случай на новата.

Събития, които не са благоприятни за А.

Всички елементарни събития, които благоприятстват дадено събитие (A или B), трябва да благоприятстват или само A, или само B, или и двете A и B. Така общият брой на такива събития е равен на

и вероятността

Q.E.D.

Прилагайки формула (9) към горния пример за броя на точките, появяващи се при хвърляне на зарове, получаваме:

който съвпада с резултата от директното изчисление.

Очевидно формула (1) е частен случай на (9). Наистина, ако събития А и Б са несъвместими, тогава вероятността от комбинация

Например. Два предпазителя са свързани последователно към електрическата верига. Вероятността за повреда на първия предпазител е 0,6, а на втория е 0,2. Нека определим вероятността от прекъсване на захранването в резултат на повреда на поне един от тези предпазители.

Решение. Тъй като събития A и B, състоящи се от повреда на първия и втория от предпазителите, са съвместими, необходимата вероятност ще се определи по формула (9):

Упражнения

Концепцията за събитие и вероятността от събитие. Надеждни и невъзможни събития. Класическа дефиниция на вероятността. Теорема за добавяне на вероятности. Теорема за умножение на вероятностите. Решаване на най-простите задачи за определяне на вероятността чрез добавяне на вероятности.

Насоки за тема 3.1:

Концепцията за събитие и вероятността от събитие. Надеждни и невъзможни събития. Класическа дефиниция на вероятностите:

Изследването на всяко явление по реда на наблюдение или експеримент е свързано с изпълнението на определен набор от условия (тестове). Всеки резултат или изход от тест се извиква събитие.

Ако дадено събитие при дадени условия може да се случи или да не се случи, то се нарича случаен.Когато едно събитие е сигурно, че ще се случи, то се нарича надежден, а в случай, че това очевидно не може да се случи, - невъзможен.

Събитията се наричат несъвместим,ако само един от тях е възможно да се появява всеки път. Събитията се наричат става,ако при дадени условия настъпването на едно от тези събития не изключва настъпването на друго по време на същото изпитване.

Събитията се наричат обратното,ако при условията на теста те, бидейки единствените му резултати, са несъвместими.

Вероятността за събитие се разглежда като мярка за обективната възможност за настъпване на случайно събитие.

Вероятностсъбития се нарича съотношение на броя на резултатите м, благоприятни за настъпването на дадено събитие, до броя n на всички изходи (несъвместими, само възможни и еднакво възможни), т.е.

Вероятността за всяко събитие не може да бъде по-малка от нула и по-голяма от единица, т.е. . Невъзможно събитие съответства на вероятност, а надеждно събитие съответства на вероятност

Пример 1. В лотария от 1000 билета има 200 печеливши. Един билет се вади на случаен принцип. Каква е вероятността този билет да е печеливш?

Общият брой различни резултати е н= 1000. Броят на резултатите, благоприятни за победа, е м= 200. Според формулата получаваме .

Пример 2. Една топка се изтегля от урна, съдържаща 5 бели и 3 черни топки. Намерете вероятността топката да е черна.

Нека означим събитието, състоящо се в появата на черна топка с . Общ брой случаи. Брой случаи м, благоприятен за настъпване на събитието, е равен на 3. Използвайки формулата, получаваме .

Пример 3. От урна, съдържаща 12 бели и 8 черни топки, произволно се изтеглят две топки. Каква е вероятността и двете топки да са черни?

Нека означим събитието, състоящо се в появата на две черни топки с . Общ брой възможни случаи нравен на броя на комбинациите от 20 елемента (12 + 8) по две:

Брой случаи м, благоприятен за събитието, е

Използвайки формулата, намираме вероятността да се появят две черни топки:

Теорема за добавяне на вероятности. Решаване на най-простите задачи за определяне на вероятността с помощта на теоремата за добавяне на вероятности:

Теорема за събиране на вероятностите за несъвместими събития.Вероятността за възникване на едно от няколко двойки несъвместими събития, без значение кое от тях, е равна на сумата от вероятностите на тези събития:

Теорема за добавяне на вероятности за съвместни събития.Вероятността за настъпване на поне едно от две съвместни събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития без вероятността за тяхното съвместно възникване:

Пример 4. В кутия има 20 части, подредени в произволен ред, пет от които са стандартни. Работник взема три части на случаен принцип. Намерете вероятността поне една от взетите части да е стандартна.

Очевидно поне една от взетите части ще бъде стандартна, ако възникне някое от трите несъвместими събития: б- една част е стандартна, две са нестандартни; ° С- две стандартни части, една нестандартна и д- три части са стандартни.

Така че събитието Аможе да се представи като сбор от тези три събития: A = B + C + D.По теоремата за добавяне имаме P(A) = P(B) + P(C) + P(D).Намерете вероятността за всяко от тези събития:

Добавяйки намерените стойности, получаваме

Пример 5. Намерете вероятността произволно взето двуцифрено числоще бъде кратно на 3 или 5, или и на двете.

Позволявам А- събитие, състоящо се в това, че произволно избрано число е кратно на 3, и б- е, че е кратно на 5. Нека намерим Since АИ бсъвместни събития, тогава използваме формулата:

Има общо 90 двуцифрени числа: 10, 11, 98, 99. От тях 30 са кратни на 3 (благоприятстват настъпването на събитието А); 18 - кратно на 5 (благоприятства настъпването на събитие б) и 6 - кратни на 3 и 5 едновременно (благоприятстват настъпването на събитието AB). Така, т.е.

Теорема за умножение на вероятностите:

Теорема за умножаване на вероятностите за независими събития.Вероятността за съвместна поява на две независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития:

Вероятността за възникване на няколко събития, които са независими в съвкупността, се изчислява по формулата:

Теорема за умножаване на вероятностите от зависими събития.Вероятността за съвместна поява на две зависими събития е равна на произведението на едно от тях и условната вероятност на второто:

Пример 6. Една урна съдържа 4 бели и 8 черни топки, другата съдържа 3 бели и 9 черни топки. От всяка урна беше взета топка. Намерете вероятността и двете топки да са бели.

Нека бъде появата на бяла топка от първата урна и нека бъде появата на бяла топка от втората урна. Очевидно е, че събитията са независими. Ще намерим

Използвайки формулата, получаваме:

Въпроси за самоконтрол по тема 3.1:

1. Какво е събитие?

2. Какви събития се наричат ​​надеждни?

3. Кои събития се наричат ​​невъзможни?

4. Определете вероятността.

5. Формулирайте теоремата за събиране на вероятности.

6. Формулирайте теоремата за умножение на вероятностите.

Задачи за независимо решениепо тема 3.1:

1. Една кутия съдържа 10 части в произволен ред, от които 4 са стандартни. Инспекторът взе 3 части на случаен принцип. Намерете вероятността поне една от взетите части да се окаже стандартна.

2. Една урна съдържа 10 бели, 15 черни, 20 сини и 25 червени топки. Намерете вероятността изтеглената топка да бъде: 1) бяла; 2) черно или червено.

3. Намерете вероятността двуцифрено число, избрано на случаен принцип, да бъде кратно на 4 или 5, или и на двете.

4. Работник обслужва две машини, които работят независимо една от друга. Вероятността първата машина да не изисква вниманието на работника в рамките на един час е 0,8, а за втората машина тази вероятност е 0,7. Намерете вероятността в рамките на един час нито една машина да не изисква вниманието на работник.

5. Урната съдържа 6 топки, 3 от които са бели. Две топки се теглят на случаен принцип една след друга. Изчислете вероятността и двете топки да са бели.

6. Една урна съдържа 10 бели и 6 черни топки. Намерете вероятността три произволно изтеглени една след друга топки да се окажат черни.

Обмисля се експеримент д. Предполага се, че може да се извършва многократно. В резултат на експеримента могат да се появят различни събития, съставляващи определен набор Е. Наблюдаваните събития се разделят на три вида: надеждни, невъзможни, случайни.

Надежден се нарича събитие, което със сигурност ще се случи в резултат на експеримент д. Означава се с Ω.

Невъзможен се нарича събитие, за което е известно, че не се случва в резултат на експеримент д. Означава се с .

Случаен се нарича събитие, което може или не може да се случи в резултат на експеримент д.

Допълнителен (срещу) събитие Ае събитие, означено с , което се случва, ако и само ако събитието не се случва А.

Сума (комбинация) събития е събитие, което се случва, ако и само ако се случи поне едно от тези събития (Фигура 3.1). Нотация.

Фигура 3.1

Продукт (пресечна точка) събития е събитие, което се случва, ако и само ако всички тези събития се случват заедно (едновременно) (Фигура 3.2). Нотация. Очевидно е, че събития А и Б несъвместими , Ако .

Фигура 3.2

Пълна група събития е набор от събития, чиято сума е определено събитие:

Събитие INНаречен специален случай на събитие А, ако с настъпването на събитие INсъбитието се появява А. Те също така казват, че събитието INвключва събитие А(Фигура 3.3). Обозначаване

Фигура 3.3

събития АИ INса наречени еквивалентен , ако се появят или не се появят заедно по време на експеримента д. Обозначаване Очевидно е, че ако.

Трудно събитие наричаме наблюдавано събитие, изразено чрез други събития, наблюдавани в същия експеримент, използвайки алгебрични операции.

Вероятността за възникване на определено сложно събитие се изчислява с помощта на формулите за събиране и умножение на вероятностите.

Теорема за добавяне на вероятности

Последствия:

1) ако събития АИ INса непоследователни, теоремата за добавяне приема формата:

2) в случай на три членове, теоремата за добавяне е записана във формата

3) сумата от вероятностите на взаимно противоположни събития е равна на 1:

Множеството от събития ,, ..., се нарича пълна група от събития , Ако

Сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група, е равна на 1:

Вероятност за възникване на събитие Апри условие, че събитието INсе случи, наричат ​​го условна вероятност и обозначават или.

АИ IN – зависими събития , Ако .

АИ IN – независими събития , Ако .

Теорема за умножение на вероятностите

Последствия:

1) за независими събития АИ IN

2) в общ случайза произведението на три събития теоремата за умножение на вероятността има формата:

Примери за решаване на проблеми

Пример1 - Три елемента са свързани последователно към електрическата верига, работещи независимо един от друг. Вероятностите за отказ на първия, втория и третия елемент са съответно равни на ,. Намерете вероятността във веригата да няма ток.

Решение

Първи начин.

Нека обозначим следните събития: - повреда на първия, втория и третия елемент на веригата, съответно.

Събитие А– няма да има ток във веригата (поне един от елементите ще се повреди, тъй като са свързани последователно).

Събитие - има ток във веригата (работят три елемента), . Вероятността от противоположни събития е свързана с формула (3.4). Едно събитие е продукт на три събития, които са независими по двойки. Използвайки теоремата за умножаване на вероятностите за независими събития, получаваме

Тогава вероятността за желаното събитие е .

Втори начин.

Като вземем предвид приетата по-рано нотация, записваме желаното събитие А– поне един от елементите ще се провали:

Тъй като членовете, включени в сумата, са съвместими, трябва да се приложи теоремата за добавяне на вероятности в общ изгледза случая на три члена (3.3):

Отговор: 0,388.

Проблеми за самостоятелно решаване

1 Читалнята разполага с шест учебника по теория на вероятностите, три от които са подвързани. Библиотекарката взе наслуки два учебника. Намерете вероятността двата учебника да бъдат подвързани.

2 В чантата има смесени конци, 30% от които са бели, а останалите са червени. Определете вероятностите две произволно изтеглени нишки да бъдат: с един и същи цвят; различни цветове.

3 Устройството се състои от три елемента, които работят независимо. Вероятностите за безотказна работа за определен период от време съответно на първия, втория и третия елемент са 0,6; 0,7; 0,8. Намерете вероятностите през това време само един елемент да работи безотказно; само два елемента; и трите елемента; най-малко два елемента.

4 Три хвърлени зарове. Намерете вероятностите за следните събития:

а) пет точки ще се появят от всяка начертана страна;

б) еднакъв брой точки ще се появи на всички изпуснати страни;

в) една точка ще се появи на две изпуснати страни, а друг брой точки ще се появи на третата страна;

г) различен брой точки ще се появи на всички изпуснати лица.

5 Вероятността стрелецът да уцели целта с един изстрел е 0,8. Колко изстрела трябва да произведе стрелецът, за да може с вероятност по-малка от 0,4 да се очаква, че няма да има пропуски?

6 От числата 1, 2, 3, 4, 5 първо се избира едно, а след това от останалите четири се избира втората цифра. Приема се, че всичките 20 възможни изхода са еднакво вероятни. Намерете вероятността да бъде избрано нечетно число: за първи път; втори път; и двата пъти.

7 Вероятността чифт обувки с размер 46 да бъдат продадени отново в секцията с мъжки обувки на магазина е 0,01. Колко чифта обувки трябва да се продадат в един магазин, за да може с вероятност най-малко 0,9 да се очаква, че ще бъде продаден поне един чифт обувки с размер 46?

8 Кутията съдържа 10 части, включително две нестандартни. Намерете вероятността от шест произволно избрани части да има не повече от една нестандартна.

9 Отделът за технически контрол проверява продуктите за стандартност. Вероятността продуктът да е нестандартен е 0,1. Намерете вероятността, че:

а) от три тествани продукта само два ще се окажат нестандартни;

б) само четвъртият тестван продукт ще се окаже нестандартен.

10 32 букви от руската азбука са написани на изрязани карти с азбука:

а) три карти се изваждат произволно една след друга и се поставят на масата в реда на появяване. Намерете вероятността да се получи думата „свят“;

б) трите премахнати карти могат да бъдат разменени по всякакъв начин. Каква е вероятността те да бъдат използвани за образуване на думата „свят“?

11 Изтребител атакува бомбардировач и изстрелва два независими залпа по него. Вероятността за сваляне на бомбардировач с първия изблик е 0,2, а вторият - 0,3. Ако бомбардировачът не бъде свален, той стреля по изтребителя от задните си оръдия и го сваля с вероятност 0,25. Намерете вероятността бомбардировач или изтребител да бъде свален в резултат на въздушна битка.

Домашна работа

1 Формула за пълна вероятност. Формула на Бейс.

2 Решавам проблеми

Задача1 . Един работник управлява три машини, които работят независимо една от друга. Вероятността първата машина да не изисква вниманието на работника в рамките на един час е 0,9, втората – 0,8, а третата – 0,85. Намерете вероятността в рамките на един час поне една машина да изисква вниманието на работник.

Задача2 . Компютърният център, който трябва непрекъснато да обработва входящата информация, има две изчислителни устройства. Известно е, че всеки от тях има вероятност от повреда за известно време, равна на 0,2. Трябва да определите вероятността:

а) фактът, че едно от устройствата ще се повреди, а второто ще работи;

б) безпроблемна работа на всяко устройство.

Задача3 . Четирима ловци се съгласиха да стрелят по дивеч в определена последователност: следващият ловец стреля само ако предишният пропусне. Вероятността за попадение за първия ловец е 0,6, за втория – 0,7, за третия – 0,8. Намерете вероятността да бъдат произведени изстрели:

г) четири.

Задача4 . Частта преминава през четири операции на обработка. Вероятността за получаване на дефект при първата операция е 0,01, при втората - 0,02, при третата - 0,03 и при четвъртата - 0,04. Намерете вероятността да получите част без дефекти след четири операции, като приемете, че събитията на получаване на дефекти в отделните операции са независими.

Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

СЪБИРАНЕ И УМНОЖЕНИЕ НА ВЕРОЯТНОСТИ. ПОВТОРНИ НЕЗАВИСИМИ ТЕСТОВЕ

Лекция за студенти от факултет „Земеустройство“.

задочни курсове

Горки, 2012 г

Събиране и умножение на вероятности. Повтаря се

независими тестове

Добавяне на вероятности

Сборът от две съвместни събития АИ INнаречено събитие СЪС, състоящ се в настъпването на поне едно от събитията Аили IN. По същия начин сборът от няколко съвместни събития е събитие, състоящо се от настъпването на поне едно от тези събития.

Сборът от две несъвместими събития АИ INнаречено събитие СЪСсъстоящ се от събитие или събитие А, или събития IN. По същия начин, сумата от няколко несъвместими събития е събитие, състоящо се от настъпването на някое от тези събития.

Валидна е теоремата за събиране на вероятностите за несъвместими събития: вероятността за сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития , т.е. . Тази теорема може да се разшири до всеки краен брой несъвместими събития.

От тази теорема следва:

сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група, е равна на единица;

сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица, т.е.
.

Пример 1 . Кутията съдържа 2 бели, 3 червени и 5 сини топки. Топките се смесват и една се тегли на случаен принцип. Каква е вероятността топката да е оцветена?

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(изтеглена цветна топка);

б=(изтеглена бяла топка);

° С=(изтеглена червена топка);

д=(изтеглена синя топка).

Тогава А= ° С+ д. От събитията ° С, дса непоследователни, тогава ще използваме теоремата за добавяне на вероятностите за несъвместими събития: .

Пример 2 . Урната съдържа 4 бели топки и 6 черни. От урната се изтеглят произволно 3 топки. Каква е вероятността всички те да са с един и същи цвят?

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(теглени са топки от един и същи цвят);

б=(изваждат се бели топки);

° С=(изваждат се черни топки).

защото А= б+ ° Си събития INИ СЪСса несъвместими, а след това по теоремата за събиране на вероятностите за несъвместими събития
. Вероятност за събитие INравна на
, Където
4,

. Да заместим кИ нвъв формулата и получаваме
По същия начин намираме вероятността за събитието СЪС:
, Където
,
, т.е.
. Тогава
.

Пример 3 . От тесте с 36 карти се теглят произволно 4 карти. Намерете вероятността сред тях да има поне три аса.

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(сред извадените карти има поне три аса);

б=(сред извадените карти има три аса);

° С=(сред извадените карти има четири аса).

защото А= б+ ° С, и събития INИ СЪСтогава са несъвместими
. Нека намерим вероятностите за събития INИ СЪС:

,
. Следователно вероятността сред изтеглените карти да има поне три аса е равна на

0.0022.

Умножаване на вероятностите

Работата две събития АИ INнаречено събитие СЪС, състоящ се в съвместното възникване на тези събития:
. Това определение се прилага за всеки краен брой събития.

Двете събития се наричат независима , ако вероятността едно от тях да се случи не зависи от това дали другото събитие се е случило или не. събития ,, … ,са наречени колективно независими , ако вероятността за настъпване на всяко от тях не зависи от това дали други събития са настъпили или не.

Пример 4 . Двама стрелци стрелят по мишена. Нека обозначим събитията:

А=(първият стрелец уцели целта);

б=(вторият стрелец уцели целта).

Очевидно е, че вероятността първият стрелец да уцели целта не зависи от това дали вторият стрелец е уцелил или пропуснал, и обратното. Следователно, събития АИ INнезависима.

Валидна е теоремата за умножаване на вероятностите за независими събития: вероятността от произведението на две независими събития е равна на произведението от вероятностите на тези събития : .

Тази теорема е валидна и за нколективно независими събития: .

Пример 5 . Двама стрелци стрелят по една и съща цел. Вероятността за уцелване на първия стрелец е 0,9, а на втория е 0,7. И двамата стрелци стрелят по един изстрел. Определете вероятността да има две попадения в целта.

Решение . Нека обозначим събитията:

А

б

° С=(и двамата стрелци ще уцелят целта).

защото
, и събития АИ INзначи са независими
, т.е.

събития АИ INса наречени зависим , ако вероятността едно от тях да се случи зависи от това дали е настъпило друго събитие или не. Вероятност за настъпване на събитие Апри условие, че събитието INвече пристигна, вика се условна вероятност и е обозначен
или
.

Пример 6 . Урната съдържа 4 бели и 7 черни топки. От урната се вадят топки. Нека обозначим събитията:

А=(изтеглена бяла топка) ;

б=(изтеглена черна топка).

Преди да започнете да изваждате топките от урната
. От урната е взета една топка, която се оказва черна. Тогава вероятността от събитието Аслед събитието INще има друг, равен . Това означава, че вероятността от събитие Азависи от събитието IN, т.е. тези събития ще бъдат зависими.

Валидна е теоремата за умножаване на вероятностите от зависими събития: вероятността за настъпване на две зависими събития е равна на произведението на вероятността за едно от тях и условната вероятност за другото, изчислена при предположението, че първото събитие вече се е случило, т.е. или.

Пример 7 . Урната съдържа 4 бели топки и 8 червени топки. От него произволно се изтеглят последователно две топки. Намерете вероятността и двете топки да са черни.

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(първо изтеглена черна топка);

б=(изтеглена е втората черна топка).

събития АИ INзависим, защото
, А
. Тогава
.

Пример 8 . Трима стрелци стрелят по целта независимо един от друг. Вероятността за попадение в целта за първия стрелец е 0,5, за втория – 0,6 и за третия – 0,8. Намерете вероятността да има две попадения в мишената, ако всеки стрелец стреля по един изстрел.

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(ще има две попадения в целта);

б=(първият стрелец ще уцели целта);

° С=(вторият стрелец ще уцели целта);

д=(третият стрелец ще уцели целта);

=(първият стрелец няма да уцели целта);

=(вторият стрелец няма да уцели целта);

=(третият стрелец няма да уцели целта).

Според примера
,
,
,

,
,
. Тъй като, използвайки теоремата за събиране на вероятностите за несъвместими събития и теоремата за умножаване на вероятностите за независими събития, получаваме:

Нека събития
формират пълна група от събития на някакъв тест и събитията Аможе да възникне само с едно от тези събития. Ако са известни вероятностите и условните вероятности на събитието А, тогава вероятността за събитие А се изчислява по формулата:

или
. Тази формула се нарича формула за обща вероятност , и събития
хипотези .

Пример 9 . Конвейерът получава 700 части от първата машина и 300 части от втория. Първата машина произвежда 0,5% скрап, а втората - 0,7%. Намерете вероятността взетата част да е дефектна.

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(взетата част ще бъде дефектна);

=(частта е направена на първата машина);

=(частта е изработена на втората машина).

Вероятността частта да бъде направена на първата машина е равна на
. За втората машина
. Според условието вероятността за получаване на дефектна част, направена на първата машина, е равна на
. За втората машина тази вероятност е равна на
. Тогава вероятността взетата част да е дефектна се изчислява по формулата за обща вероятност

Ако е известно, че в резултат на теста е настъпило някакво събитие А, тогава вероятността това събитие да се е случило с хипотезата
, е равно
, Където
- обща вероятност за събитие А. Тази формула се нарича Формула на Бейс и ви позволява да изчислявате вероятностите за събития
след като стана известно, че събитието Авече е пристигнал.

Пример 10 . Еднотипните авточасти се произвеждат в два завода и се доставят до магазина. Първият завод произвежда 80% от общия брой части, а вторият - 20%. Продуктите на първия завод съдържат 90% стандартни части, а вторият - 95%. Купувачът закупи една част и се оказа стандартна. Намерете вероятността тази част да е произведена във втория завод.

Решение . Нека обозначим събитията:

А=(закупена стандартна част);

=(частта е произведена в първия завод);

=(частта е произведена във втория завод).

Според примера
,
,
И
. Нека изчислим общата вероятност на събитието А: 0,91. Ние изчисляваме вероятността частта да е произведена във втория завод, използвайки формулата на Bayes:

.

Задачи за самостоятелна работа

Вероятността за попадение в целта за първия стрелец е 0,8, за втория – 0,7 и за третия – 0,9. Стрелците са произвели по един изстрел. Намерете вероятността да има поне две попадения в целта.

Ремонтната работилница получи 15 трактора. Известно е, че 6 от тях трябва да сменят двигателя, а останалите трябва да сменят отделни компоненти. На случаен принцип се избират три трактора. Намерете вероятността смяната на двигателя да е необходима за не повече от два избрани трактора.

Стоманобетоновият завод произвежда панели, 80% от които са с най-високо качество. Намерете вероятността от три произволно избрани панела поне два да са с най-висок клас.

Трима работници сглобяват лагери. Вероятността лагерът, сглобен от първия работник, да е с най-високо качество е 0,7, от втория – 0,8 и от третия – 0,6. За контрол се взема произволно по един лагер от сглобените от всеки работник. Намерете вероятността поне две от тях да са с най-високо качество.

Вероятността да спечелите първия лотарен билет е 0,2, втория е 0,3 и третия е 0,25. За всеки брой има по един билет. Намерете вероятността поне два билета да спечелят.

Счетоводителят извършва изчисления, като използва три справочника. Вероятността данните, които го интересуват, да са в първата директория е 0,6, във втората - 0,7 и в третата - 0,8. Намерете вероятността данните, които интересуват счетоводителя, да се съдържат в не повече от две директории.

Три машини произвеждат части. Първата машина произвежда част от най-високо качество с вероятност 0,9, втората с вероятност 0,7 и третата с вероятност 0,6. От всяка машина се взема произволно една част. Намерете вероятността поне две от тях да са с най-високо качество.

Еднотипните детайли се обработват на две машини. Вероятността за производство на нестандартен детайл за първата машина е 0,03, за втората – 0,02. Обработените части се съхраняват на едно място. Сред тях 67% са от първата машина, а останалите са от втората. Произволно взетата част се оказа стандартна. Намерете вероятността да е направено на първата машина.

Сервизът получи две кутии от същия тип кондензатори. Първата кутия съдържаше 20 кондензатора, от които 2 бяха дефектни. Втората кутия съдържа 10 кондензатора, от които 3 са дефектни. Кондензаторите бяха поставени в една кутия. Намерете вероятността кондензатор, взет на случаен принцип от кутия, да бъде в добро състояние.

Три машини произвеждат еднотипни части, които се подават към общ конвейер. От всички части 20% са от първата машина, 30% от втората и 505 от третата. Вероятността за производство на стандартен детайл на първата машина е 0,8, на втората – 0,6 и на третата – 0,7. Взетата част се оказа стандартна. Намерете вероятността тази част да е направена на третата машина.

Монтажникът получава 40% от частите от фабриката за сглобяване А, а останалите - фабрично IN. Вероятността частта да е от фабриката А– превъзходно качество, равно на 0,8, и от завода IN– 0,9. Монтажникът взе едната част на случаен принцип и се оказа некачествена. Намерете вероятността тази част да е от фабриката IN.

10 ученици от първа група и 8 от втора бяха разпределени за участие в ученически спортни състезания. Вероятността студент от първа група да попадне в отбора на академията е 0,8, а от втора – 0,7. В отбора беше включен произволно избран ученик. Намерете вероятността той да е от първата група.

Формула на Бернули

Тестовете се наричат независима , ако за всеки от тях събитието Асе случва със същата вероятност
, независимо дали това събитие се е появило или не в други опити. Вероятност за обратното събитие в този случай е равно
.

Пример 11 . Зарове се хвърлят нведнъж. Да обозначим събитието А=(търкаляне на три точки). Вероятност за настъпване на събитие Авъв всеки опит е еднакъв и не зависи от това дали това събитие се е случило или не в други опити. Следователно тези тестове са независими. Вероятност за обратното събитие
(без хвърляне на три точки) е равно на
.

Вероятността, че в ннезависими опити, във всяко от които вероятността събитието да се случи Аравна на стр, събитието ще се случи точно кпъти (няма значение в какъв ред), изчислени по формулата
, Където
. Тази формула се нарича Формула на Бернули и е удобно, ако броят на тестовете n не е твърде голям.

Пример 12 . Делът на плодовете, заразени с болестта в латентна форма, е 25%. 6 плода са избрани на случаен принцип. Намерете вероятността сред избраните да има: а) точно 3 заразени плода; б) не повече от два заразени плода.

Решение . Според примерните условия.

а) Според формулата на Бернули вероятността от шест избрани плода точно три да бъдат заразени е равна на

0.132.

б) Да обозначим събитието А=(не повече от два плода ще бъдат заразени). Тогава . Според формулата на Бернули:

0.297.

следователно
0.178+0.356+0.297=0.831.

Теореми на Лаплас и Поасон

Формулата на Бернули се използва за намиране на вероятността дадено събитие Аще дойде кведнъж на всеки ннезависими опити и във всеки опит вероятността от събитие Ае постоянен. За големи стойности на n изчисленията, използващи формулата на Бернули, стават трудоемки. В този случай, за да се изчисли вероятността от събитие АБи било по-добре да използвате друга формула.

Локална теорема на Лаплас . Нека вероятността стрнастъпване на събитие Авъв всеки опит е постоянна и различна от нула и единица. Тогава вероятността събитието Аще дойде точно кпъти с достатъчно голям брой n тестове, се изчислява по формулата

, Където
и стойностите на функцията
са дадени в таблицата.

Основни свойства на функцията
са:

функция
определени и непрекъснати в интервала
.

функция
е положителен, т.е.
>0.

функция
даже, т.е.
.

Тъй като функцията
е четен, тогава таблицата показва стойностите му само за положителни стойности х.

Пример 13 . Кълняемостта на семената на пшеницата е 80%. За опита се избират 100 семена. Намерете вероятността точно 90 от избраните семена да поникнат.

Решение . Според примера н=100, к=90, стр=0.8, р=1-0,8=0,2. Тогава
. С помощта на таблицата намираме стойността на функцията
:
. Вероятността точно 90 от избраните семена да покълнат е равна на
0.0044.

При решаването на практически проблеми става необходимо да се намери вероятността за настъпване на събитие Апри ннезависими тестове не по-малко веднъж и не повече веднъж. Този проблем се решава с помощта на Интегрална теорема на Лаплас : Нека вероятността стрнастъпване на събитие Авъв всеки ннезависими тестове е постоянна и различна от нула и единица. Тогава вероятността събитието да се случи е най-малко веднъж и не повече пъти с достатъчно голям брой тестове, се изчислява по формулата

Където
,
.

функция
Наречен Функция на Лаплас и не се изразява чрез елементарни функции. Стойностите на тази функция са дадени в специални таблици.

Основни свойства на функцията
са:

.

функция
нараства в интервала
.

при
.

функция
странно, т.е.
.

Пример 14 . Компанията произвежда продукти, 13% от които не са с най-високо качество. Определете вероятността в нетествана партида от 150 единици най-висококачествен продукт да има не по-малко от 125 и не повече от 135.

Решение . Нека обозначим . Нека изчислим
,

Теореми за събиране и умножение на вероятности.

Теорема за събиране на вероятностите за две събития. Вероятността за сумата от две събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития без вероятността за тяхното съвместно възникване:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Теорема за събиране на вероятностите за две несъвместими събития. Вероятността за сумата от две несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тях:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Пример 2.16.Стрелецът стреля по мишена, разделена на 3 зони. Вероятността за попадение в първата зона е 0,45, втората - 0,35. Намерете вероятността стрелецът да удари или първата, или втората област с един изстрел.

Решение.

събития А- „стрелецът удари първата зона“ и IN- „стрелецът е уцелил втората зона“ - са непоследователни (попадането в една зона изключва попадане в друга), така че теоремата за добавяне е приложима.

Необходимата вероятност е:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Теорема за добавяне на вероятности Пнесъвместими събития. Вероятността за сбор от n несъвместими събития е равна на сбора от вероятностите на тези:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Сумата от вероятностите за противоположни събития е равна на единица:

Вероятност за събитие INпри условие, че събитието се е случило А, се нарича условна вероятност на събитието INи се обозначава по следния начин: P(V/A),или R A (B).

. Вероятността за настъпване на две събития е равна на произведението на вероятността за едното от тях и условната вероятност за другото, при условие че се е случило първото събитие:

P(AB)=P(A)P A (B).

Събитие INне зависи от събитието А, Ако

R A (V) = R (V),

тези. вероятност за събитие INне зависи от това дали събитието се е случило А.

Теорема за умножаване на вероятностите за две независими събития.Вероятността за произведението на две независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

P(AB)=P(A)P(B).

Пример 2.17.Вероятностите за попадение в целта при стрелба от първото и второто оръдие са съответно равни: стр. 1 = 0,7; стр. 2= 0,8. Намерете вероятността за попадение с един залп (от двете оръдия) от поне едно от оръдията.

Решение.

Вероятността всеки пистолет да удари целта не зависи от резултата от стрелбата от другия пистолет, така че събитията А– „ударен от първия пистолет“ и IN– „попадение от втория пистолет“ са независими.

Вероятност за събитие AB- „и двата пистолета са ударени“:

Необходима вероятност

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Теорема за умножение на вероятностите Псъбития.Вероятността за продукт от n събития е равна на произведението на едно от тях по условните вероятности на всички останали, изчислени при предположението, че всички предишни събития са се случили:

Пример 2.18. В урната има 5 бели, 4 черни и 3 сини топки. Всеки тест се състои в премахване на една топка на случаен принцип, без да се връща обратно. Намерете вероятността при първия опит да се появи бяла топка (събитие A), при втория – черна топка (събитие B) и при третия – синя топка (събитие C).

Решение.

Вероятност бяла топка да се появи в първия опит:

Вероятността черна топка да се появи при втория опит, изчислена при предположението, че бяла топка се е появила при първия опит, т.е. условна вероятност:

Вероятността синя топка да се появи в третия опит, изчислена при предположението, че бяла топка се е появила в първия опит и черна във втория, т.е. условна вероятност:

Необходимата вероятност е:

Теорема за умножение на вероятностите Пнезависими събития.Вероятността за произведение от n независими събития е равна на произведението на техните вероятности:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

Вероятността поне едно от събитията да се случи. Вероятността за възникване на поне едно от събитията A 1, A 2, ..., A n, независими в съвкупността, е равна на разликата между единица и произведението на вероятностите на противоположни събития:

.

Пример 2.19.Вероятностите за попадение в целта при стрелба от три оръдия са следните: стр. 1 = 0,8; стр. 2 = 0,7;стр. 3= 0,9. Намерете вероятността за поне едно попадение (събитие А) с един залп от всички оръдия.

Решение.

Вероятността всеки пистолет да удари целта не зависи от резултатите от стрелба от други оръдия, така че разглежданите събития A 1(ударен от първия пистолет), А 2(ударен от втория пистолет) и A 3(ударени от третия пистолет) са независими в съвкупността.

Вероятности за събития, противоположни на събития A 1, А 2И A 3(т.е. вероятността от пропуски) са съответно равни на:

, , .

Необходимата вероятност е:

Ако независими събития A 1, A 2, …, A pимат същата вероятност за Р, тогава вероятността за настъпване на поне едно от тези събития се изразява с формулата:

Р(А)= 1 – q n ,

Където q=1- p

2.7. Формула за пълна вероятност. Формула на Бейс.

Нека събитието Аможе да възникне при настъпване на едно от несъвместимите събития N 1, N 2, …, N p, образувайки пълна група от събития. Тъй като не е известно предварително кое от тези събития ще се случи, те се наричат хипотези.

Вероятност за възникване на събитие Аизчислено от формула за обща вероятност:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+...+ P(N p)P(A/N p).

Да приемем, че е проведен експеримент, в резултат на който събитието Асе случи. Условни вероятности за събития N 1, N 2, …, N pотносно събитието Аса определени Формули на Бейс:

,

Пример 2.20. В група от 20 студента, явили се на изпита, 6 са били отлично подготвени, 8 са били добре подготвени, 4 са били задоволително и 2 са били слабо подготвени. Изпитните работи съдържат 30 въпроса. Добре подготвен ученик може да отговори на всички 30 въпроса, добре подготвен ученик може да отговори на 24 въпроса, добре подготвен ученик може да отговори на 15 въпроса, а зле подготвен ученик може да отговори на 7 въпроса.

Студент, извикан произволно, отговори на три произволно. зададени въпроси. Намерете вероятността този ученик да е подготвен: а) отлично; б) лошо.

Решение.

Хипотези – „ученикът е добре подготвен”;

– „ученикът е добре подготвен”;

– „ученикът е подготвен задоволително”;

– „ученикът е слабо подготвен“.

Преди опит:

; ; ; ;

7. Какво се нарича пълна група от събития?

8. Кои събития се наричат ​​еднакво възможни? Дайте примери за такива събития.

9. Какво се нарича елементарен резултат?

10. Какви резултати смятам за благоприятни за това събитие?

11. Какви операции могат да се извършват върху събития? Дефинирайте ги. Как се обозначават? Дай примери.

12. Какво се нарича вероятност?

13. Каква е вероятността за надеждно събитие?

14. Каква е вероятността за невъзможно събитие?

15. Какви са границите на вероятността?

16. Как се определя геометричната вероятност на равнина?

17. Как се определя вероятността в пространството?

18. Как се определя вероятността по права линия?

19. Каква е вероятността за сумата от две събития?

20. Каква е вероятността за сумата от две несъвместими събития?

21. Каква е вероятността за сумата от n несъвместими събития?

22. Каква вероятност се нарича условна? Дай пример.

23. Посочете теоремата за умножение на вероятностите.

24. Как да намерим вероятността за настъпване на поне едно от събитията?

25. Какви събития се наричат ​​хипотези?

26. Кога се използват формулата за пълна вероятност и формулата на Байс?