সারিবদ্ধ তত্ত্ব সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি শাখা। এই তত্ত্ব বিবেচনা করে সম্ভাব্যকাজ এবং গাণিতিক মডেল(এর আগে আমরা নির্ধারক গাণিতিক মডেল বিবেচনা করতাম)। আসুন আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে:
নির্ধারক গাণিতিক মডেলদৃষ্টিকোণ থেকে একটি বস্তুর আচরণ (সিস্টেম, প্রক্রিয়া) প্রতিফলিত করে সম্পূর্ণ নিশ্চিততাবর্তমান এবং ভবিষ্যতে।
সম্ভাব্য গাণিতিক মডেলএকটি বস্তুর (সিস্টেম, প্রক্রিয়া) আচরণের উপর এলোমেলো কারণগুলির প্রভাবকে বিবেচনায় নেয় এবং তাই, নির্দিষ্ট ইভেন্টের সম্ভাবনার দৃষ্টিকোণ থেকে ভবিষ্যতের মূল্যায়ন করে।
সেগুলো. এখানে, যেমন, উদাহরণস্বরূপ, গেম তত্ত্বের সমস্যাগুলি বিবেচনা করা হয় শর্তেঅনিশ্চয়তা.
আসুন আমরা প্রথমে কিছু ধারণা বিবেচনা করি যা "স্টোকাস্টিক অনিশ্চয়তা" চিহ্নিত করে, যখন সমস্যাটিতে অন্তর্ভুক্ত অনিশ্চিত কারণগুলি র্যান্ডম ভেরিয়েবল (বা এলোমেলো ফাংশন) হয়, যার সম্ভাব্য বৈশিষ্ট্যগুলি হয় পরিচিত বা অভিজ্ঞতা থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। এই ধরনের অনিশ্চয়তাকে "অনুকূল", "সৌম্য"ও বলা হয়।
এলোমেলো প্রক্রিয়ার ধারণা
কঠোরভাবে বলতে গেলে, এলোমেলো ঝামেলা যেকোনো প্রক্রিয়ার অন্তর্নিহিত। "নন-এলোমেলো" প্রক্রিয়ার চেয়ে এলোমেলো প্রক্রিয়ার উদাহরণ দেওয়া সহজ। এমনকি, উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘড়ি চালানোর প্রক্রিয়া (এটি একটি কঠোরভাবে ক্যালিব্রেটেড কাজ বলে মনে হচ্ছে - "একটি ঘড়ির মতো কাজ করে") এলোমেলো পরিবর্তনের সাপেক্ষে (এগিয়ে যাওয়া, পিছিয়ে থাকা, থামানো)। কিন্তু যতক্ষণ না এই ব্যাঘাতগুলি তুচ্ছ এবং আমাদের স্বার্থের পরামিতিগুলিতে সামান্য প্রভাব ফেলে, আমরা সেগুলিকে অবহেলা করতে পারি এবং প্রক্রিয়াটিকে নির্ধারক, অ-এলোমেলো হিসাবে বিবেচনা করতে পারি।
কিছু ব্যবস্থা থাকুক এস(প্রযুক্তিগত ডিভাইস, এই জাতীয় ডিভাইসের গ্রুপ, প্রযুক্তিগত সিস্টেম - মেশিন, সাইট, ওয়ার্কশপ, এন্টারপ্রাইজ, শিল্প, ইত্যাদি)। সিস্টেমে এসফুটো এলোমেলো প্রক্রিয়া, যদি এটি সময়ের সাথে তার অবস্থা পরিবর্তন করে (এক রাজ্য থেকে অন্য রাজ্যে চলে যায়), উপরন্তু, পূর্বে অজানা র্যান্ডম পদ্ধতিতে।
উদাহরণ: 1. সিস্টেম এস- প্রযুক্তিগত সিস্টেম (মেশিন বিভাগ)। মেশিনগুলি সময়ে সময়ে ভেঙে যায় এবং মেরামত করা হয়। এই সিস্টেমে প্রক্রিয়াটি এলোমেলো।
2. সিস্টেম এস- একটি নির্দিষ্ট রুট বরাবর একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় উড়ন্ত একটি বিমান। বিরক্তিকর কারণগুলি - আবহাওয়ার অবস্থা, ক্রু ত্রুটি, ইত্যাদি, পরিণতি - বাধা, ফ্লাইটের সময়সূচী লঙ্ঘন ইত্যাদি।
মার্কভ এলোমেলো প্রক্রিয়া
একটি সিস্টেমে ঘটমান একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া বলা হয় মার্কোভস্কি, যদি কোন মুহূর্তের জন্য tভবিষ্যতে একটি প্রক্রিয়ার 0 সম্ভাব্য বৈশিষ্ট্যগুলি শুধুমাত্র এই মুহূর্তে তার অবস্থার উপর নির্ভর করে t 0 এবং কখন এবং কিভাবে সিস্টেম এই অবস্থায় পৌঁছেছে তার উপর নির্ভর করে না।
এই মুহূর্তে সিস্টেমটি একটি নির্দিষ্ট অবস্থায় থাকুক t 0 এস 0 আমরা বর্তমান ব্যবস্থার রাষ্ট্রের বৈশিষ্ট্যগুলি জানি, যখন যা ঘটেছিল সবই t<t 0 (প্রক্রিয়ার ইতিহাস)। আমরা কি ভবিষ্যৎ বা ভবিষ্যতবাণী করতে পারি, অর্থাৎ কখন কি হবে t>t 0? ঠিক নয়, তবে ভবিষ্যতে প্রক্রিয়াটির কিছু সম্ভাব্য বৈশিষ্ট্য পাওয়া যাবে। উদাহরণস্বরূপ, সম্ভাবনা যে কিছু সময় পরে সিস্টেম এসসক্ষম হবে এস 1 বা রাজ্যে থাকবে এস 0, ইত্যাদি
উদাহরণ. পদ্ধতি এস- বিমান যুদ্ধে অংশগ্রহণকারী বিমানের একটি দল। দিন এক্স- "লাল" প্লেনের সংখ্যা, y- "নীল" বিমানের সংখ্যা। সময় দ্বারা tযথাক্রমে ০ সংখ্যক বেঁচে থাকা ( গুলিবিদ্ধ করা হয়নি) বিমান - এক্স 0 ,y 0 আমরা সম্ভাব্যতার বিষয়ে আগ্রহী যে এই মুহূর্তে সংখ্যাগত শ্রেষ্ঠত্ব "লাল" এর পাশে থাকবে। এই সম্ভাবনা নির্ভর করে সেই সময়ে সিস্টেমটি কী অবস্থায় ছিল তার উপর t 0, এবং কখন এবং কী ক্রমানুসারে যারা গুলিবিদ্ধ হয়ে মারা গেছে সে মুহূর্ত পর্যন্ত নয় t 0 প্লেন।
অনুশীলনে, মার্কভ প্রক্রিয়া করে বিশুদ্ধ ফর্মসাধারণত পাওয়া যায় না। কিন্তু এমন কিছু প্রক্রিয়া রয়েছে যার জন্য "প্রাগৈতিহাসিক" এর প্রভাবকে উপেক্ষা করা যেতে পারে। এবং এই জাতীয় প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন করার সময়, মার্কভ মডেলগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে (সারি তত্ত্ব মার্কভ সারিবদ্ধ সিস্টেমগুলি বিবেচনা করে না, তবে গাণিতিক যন্ত্রপাতি যা তাদের বর্ণনা করে তা আরও জটিল)।
অপারেশন গবেষণা তাত্পর্যপূর্ণবিযুক্ত অবস্থা এবং অবিচ্ছিন্ন সময় সহ মার্কভের এলোমেলো প্রক্রিয়া রয়েছে।
প্রক্রিয়া বলা হয় পৃথক রাষ্ট্র প্রক্রিয়া, যদি তার সম্ভাব্য অবস্থা এস 1 ,এস 2, ... আগে থেকেই নির্ধারণ করা যেতে পারে, এবং রাজ্য থেকে রাজ্যে সিস্টেমের রূপান্তর প্রায় তাৎক্ষণিকভাবে "এক লাফে" ঘটে।
প্রক্রিয়া বলা হয় ক্রমাগত সময় প্রক্রিয়া, যদি রাজ্য থেকে রাজ্যে সম্ভাব্য পরিবর্তনের মুহূর্তগুলি আগে থেকে স্থির করা না হয়, তবে অনিশ্চিত, এলোমেলো এবং যে কোনো মুহূর্তে ঘটতে পারে।
উদাহরণ. প্রযুক্তিগত ব্যবস্থা (বিভাগ) এসদুটি মেশিন নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটি এলোমেলো মুহূর্তসময় ব্যর্থ হতে পারে (ব্যর্থ), যার পরে ইউনিটের মেরামত অবিলম্বে শুরু হয়, এছাড়াও একটি অজানা, এলোমেলো সময়ের জন্য অব্যাহত থাকে। নিম্নলিখিত সিস্টেম অবস্থা সম্ভব:
এস 0 - উভয় মেশিন কাজ করছে;
এস 1 - প্রথম মেশিনটি মেরামত করা হচ্ছে, দ্বিতীয়টি কাজ করছে;
এস 2 - দ্বিতীয় মেশিনটি মেরামত করা হচ্ছে, প্রথমটি কাজ করছে;
এস 3 - উভয় মেশিন মেরামত করা হচ্ছে.
সিস্টেম ট্রানজিশন এসরাজ্য থেকে রাজ্যে প্রায় তাত্ক্ষণিকভাবে ঘটে, এলোমেলো মুহূর্তে যখন একটি নির্দিষ্ট মেশিন ব্যর্থ হয় বা একটি মেরামত সম্পন্ন হয়।
বিচ্ছিন্ন অবস্থার সাথে এলোমেলো প্রক্রিয়াগুলি বিশ্লেষণ করার সময়, একটি জ্যামিতিক স্কিম ব্যবহার করা সুবিধাজনক - রাষ্ট্রীয় গ্রাফ. গ্রাফের শীর্ষবিন্দুগুলি হল সিস্টেমের অবস্থা। গ্রাফ আর্কস – রাষ্ট্র থেকে সম্ভাব্য রূপান্তর
আকার 1. সিস্টেম স্টেট গ্রাফ
অবস্থা. আমাদের উদাহরণের জন্য, রাজ্যের গ্রাফ চিত্র 1 এ দেখানো হয়েছে।
বিঃদ্রঃ. রাজ্য থেকে উত্তরণ এস 0 ইঞ্চি এস 3 চিত্রে নির্দেশিত নয়, কারণ এটা অনুমান করা হয় যে মেশিনগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে ব্যর্থ হয়। আমরা উভয় মেশিনের একযোগে ব্যর্থতার সম্ভাবনাকে অবহেলা করি।
সময়ের প্যারামিটারের যে কোনো প্রদত্ত মানের পরে যার বিবর্তন t (\ ডিসপ্লেস্টাইল টি)পূর্ববর্তী বিবর্তনের উপর নির্ভর করে না t (\ ডিসপ্লেস্টাইল টি), যদি এই মুহুর্তে প্রক্রিয়াটির মান স্থির থাকে (প্রক্রিয়াটির "ভবিষ্যত" একটি পরিচিত "বর্তমান" সহ "অতীতের" উপর নির্ভর করে না; অন্য ব্যাখ্যা (ওয়েনজেল): প্রক্রিয়াটির "ভবিষ্যত" নির্ভর করে "অতীতের" উপর শুধুমাত্র "বর্তমান" এর মাধ্যমে)।
বিশ্বকোষীয় ইউটিউব
1 / 3
লেকচার 15: মার্কভ এলোমেলো প্রক্রিয়া
মার্কভ চেইনের উৎপত্তি
সাধারণীকৃত মার্কভ প্রক্রিয়া মডেল
সাবটাইটেল
গল্প
যে সম্পত্তি একটি মার্কভ প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত করে তাকে সাধারণত মার্কোভিয়ান বলা হয়; এটি প্রথম প্রণয়ন করেন A. A. Markov, যিনি 1907 সালের কাজগুলিতে, নির্ভরশীল পরীক্ষার ক্রম এবং তাদের সাথে সম্পর্কিত যোগফলের অধ্যয়ন শুরু করেছিলেন এলোমেলো ভেরিয়েবল. গবেষণার এই লাইনটি মার্কভ চেইন তত্ত্ব নামে পরিচিত।
ক্রমাগত-সময় মার্কভ প্রক্রিয়ার সাধারণ তত্ত্বের ভিত্তি কলমোগোরভ দ্বারা স্থাপিত হয়েছিল।
মার্কভ সম্পত্তি
সাধারণ মামলা
দিন (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- ফিল্টারিং সহ সম্ভাব্য স্থান (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T))কিছু (আংশিকভাবে আদেশকৃত) সেটের উপরে T (\ ডিসপ্লেস্টাইল T); এটা যেতে দিন (S , S) (\ ডিসপ্লেস্টাইল (S, (\ mathcal (S))))- পরিমাপযোগ্য স্থান। এলোমেলো প্রক্রিয়া X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)), ফিল্টার করা সম্ভাব্যতা স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত, সন্তুষ্ট বলে মনে করা হয় মার্কভ সম্পত্তি, যদি প্রত্যেকের জন্য A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S)))এবং s, t ∈ T: s<
t
{\displaystyle s,t\in T:s
মার্কভ প্রক্রিয়াএকটি এলোমেলো প্রক্রিয়া যা সন্তুষ্ট করে মার্কভ সম্পত্তিপ্রাকৃতিক পরিস্রাবণ সহ।
বিচ্ছিন্ন সময়ের মার্কভ চেইনের জন্য
যদি S (\displaystyle S)একটি পৃথক সেট এবং T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ), সংজ্ঞা সংস্কার করা যেতে পারে:
P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1 , X n − 2 = x n − 2 , … , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1), X_(n-2)=x_(n-2), \ বিন্দু , X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).মার্কভ প্রক্রিয়ার উদাহরণ
মার্কভ এলোমেলো প্রক্রিয়ার একটি সহজ উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। একটি বিন্দু অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর এলোমেলোভাবে চলে। শূন্য সময়ে, বিন্দুটি উৎপত্তিস্থলে থাকে এবং সেখানে এক সেকেন্ডের জন্য থাকে। এক সেকেন্ডের পরে, একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয় - যদি অস্ত্রের আবরণটি ফেলে দেওয়া হয়, তাহলে X বিন্দুটি দৈর্ঘ্যের এক একককে ডানদিকে নিয়ে যায়, যদি সংখ্যাটি - বাম দিকে। এক সেকেন্ড পরে, মুদ্রাটি আবার নিক্ষেপ করা হয় এবং একই এলোমেলো নড়াচড়া করা হয়, ইত্যাদি। একটি বিন্দুর অবস্থান পরিবর্তন করার প্রক্রিয়া ("হাঁটা") একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া যার মধ্যে বিচ্ছিন্ন সময় (t=0, 1, 2, ...) এবং একটি গণনাযোগ্য অবস্থা রয়েছে। এই ধরনের একটি এলোমেলো প্রক্রিয়াকে মার্কভ বলা হয়, যেহেতু বিন্দুর পরবর্তী অবস্থা শুধুমাত্র বর্তমান (বর্তমান) অবস্থার উপর নির্ভর করে এবং অতীতের অবস্থার উপর নির্ভর করে না (কোন পথে এবং কোন সময়ের জন্য বিন্দুটি বর্তমান স্থানাঙ্কে এসেছে তা বিবেচ্য নয়) .
মার্কোভ প্রক্রিয়া
আফটারফেক্ট ছাড়া প্রক্রিয়া - এলোমেলো প্রক্রিয়া,সময়ের পরামিতি t এর কোনো প্রদত্ত মানের পরে যে বিবর্তনটি তার পূর্ববর্তী বিবর্তনের উপর নির্ভর করে না টি,শর্ত থাকে যে এতে প্রক্রিয়াটির মান স্থির থাকে (সংক্ষেপে: প্রক্রিয়াটির "ভবিষ্যত" এবং "অতীত" একটি পরিচিত "বর্তমান" সহ একে অপরের উপর নির্ভর করে না)।
যে সম্পত্তি একটি চৌম্বক ক্ষেত্র সংজ্ঞায়িত করে সাধারণত বলা হয় মার্কোভিয়ান; এটি প্রথম প্রণয়ন করেন এ.এ.মার্কভ। যাইহোক, ইতিমধ্যেই এল. ব্যাচেলিয়ারের কাজের মধ্যে কেউ ব্রাউনিয়ানকে একটি চৌম্বক ক্ষেত্র হিসাবে ব্যাখ্যা করার একটি প্রচেষ্টা উপলব্ধি করতে পারে, একটি প্রচেষ্টা যা এন. উইনার (এন. উইনার, 1923) এর গবেষণার পরে ন্যায্যতা পেয়েছিল। ক্রমাগত-সময় চৌম্বক প্রক্রিয়ার সাধারণ তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন এ.এন. কোলমোগোরভ।
মার্কভ সম্পত্তি। M. এর সংজ্ঞা রয়েছে যা একে অপরের থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে পৃথক। সবচেয়ে সাধারণগুলির মধ্যে একটি হল নিম্নলিখিত। একটি পরিমাপযোগ্য স্থান থেকে মান সহ একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া একটি সম্ভাব্য স্থানের উপর দেওয়া যাক যেখানে টি -বাস্তব অক্ষের উপসেট Let এনটি(যথাক্রমে এনটিএকটি s-বীজগণিত আছে
X(গুলি) পরিমাণ দ্বারা উত্পন্ন
কোথায়
অন্য কথায়, এনটি(যথাক্রমে এনটি) টি মোমেন্ট পর্যন্ত প্রক্রিয়ার বিবর্তনের সাথে যুক্ত ইভেন্টের একটি সেট (t থেকে শুরু করে) .
প্রক্রিয়া X(t) বলা হয় মার্কভ প্রক্রিয়া যদি (প্রায় নিশ্চিত) মার্কভ সম্পত্তি সবার জন্য থাকে:
অথবা, কি একই, যদি কোন জন্য
M. p., যার জন্য T প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটে থাকে, বলা হয়। মার্কভ চেইন(তবে, পরবর্তী শব্দটি প্রায়শই সর্বাধিক গণনাযোগ্য E-এর ক্ষেত্রে যুক্ত থাকে) .
যদি একটি ব্যবধান গণনাযোগ্য থেকে বেশি হয়, M. বলা হয়। ক্রমাগত সময় Markov চেইন. অবিচ্ছিন্ন-সময়ের চৌম্বকীয় প্রক্রিয়াগুলির উদাহরণগুলি পয়সন এবং ওয়েনার প্রক্রিয়া সহ স্বাধীন বৃদ্ধি সহ প্রসারণ প্রক্রিয়া এবং প্রক্রিয়া দ্বারা সরবরাহ করা হয়।
নিম্নলিখিত কি, সুনির্দিষ্টতার জন্য, আমরা শুধুমাত্র মামলা সম্পর্কে কথা বলতে হবে 
সূত্র (1) এবং (2) পরিচিত "বর্তমান" দেওয়া "অতীত" এবং "ভবিষ্যত" এর স্বাধীনতার নীতির একটি সুস্পষ্ট ব্যাখ্যা প্রদান করে, তবে তাদের উপর ভিত্তি করে এম এর সংজ্ঞা অপর্যাপ্তভাবে নমনীয় বলে প্রমাণিত হয়েছে। সেই অসংখ্য পরিস্থিতিতে যখন এটি একটি নয়, তবে (1) বা (2) ধরণের শর্তগুলির একটি সেট বিবেচনা করা প্রয়োজন, ভিন্নগুলির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, যদিও একটি নির্দিষ্ট উপায়ে সম্মত হয়েছে, ব্যবস্থা। এই ধরণের বিবেচনাগুলি গ্রহণের দিকে পরিচালিত করে নিম্নলিখিত সংজ্ঞা (দেখুন,)।
নিম্নলিখিত দেওয়া যাক:
ক) যেখানে s-বীজগণিত E-তে সমস্ত এক-বিন্দু সেট রয়েছে;
b) পরিমাপযোগ্য s-বীজগণিতের একটি পরিবার দিয়ে সজ্জিত যেমন যদি
V) ("") x t = xt(w) ,
কোনো পরিমাপযোগ্য ম্যাপিংয়ের জন্য সংজ্ঞায়িত করা
d) প্রতিটির জন্য এবং s-বীজগণিতের উপর একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ যেমন ফাংশন 
যদি এবং এর সাথে পরিমাপযোগ্য
নামের সেট (অ-সমাপ্ত) মার্কভ প্রক্রিয়া সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যদি -প্রায় নিশ্চয়ই
এখানে যাই হোক না কেন - প্রাথমিক ঘটনার স্থান, - ফেজ স্পেস বা স্টেট স্পেস, P( s, x, t, V)- ট্রানজিশন ফাংশনবা প্রক্রিয়ার পরিবর্তনের সম্ভাবনা X(t) .
যদি E টপোলজি দ্বারা সমৃদ্ধ হয়, এবং এটি বোরেল সেটের একটি সংগ্রহ ই,তাহলে এটা বলার রেওয়াজ আছে যে M. p. দেওয়া আছে ই.সাধারণত, M. p.-এর সংজ্ঞায় সেই প্রয়োজনীয়তা অন্তর্ভুক্ত থাকে এবং তারপরে সম্ভাব্যতা হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, তবে শর্ত থাকে যে x s = x।
প্রশ্ন উঠেছে: প্রতিটি মার্কভ ট্রানজিশন ফাংশন P( s, x;টেলিভিশন),
একটি পরিমাপযোগ্য স্থানে প্রদত্ত একটি নির্দিষ্ট M. স্থানের একটি রূপান্তর ফাংশন হিসাবে বিবেচিত হতে পারে৷ উত্তরটি ইতিবাচক যদি, উদাহরণস্বরূপ, E একটি বিভাজ্য স্থানীয়ভাবে কমপ্যাক্ট স্থান, এবং এটি বোরেল সেটগুলির একটি সংগ্রহ। ই.তাছাড়া, যাক ই -সম্পূর্ণ মেট্রিক স্থান এবং যাক
যে কারো জন্য যেখানে a একটি বিন্দুর ই-প্রতিবেশীর পরিপূরক এক্স.তারপরে সংশ্লিষ্ট চৌম্বক ক্ষেত্রটিকে ডানদিকে অবিচ্ছিন্ন এবং বাম দিকে সীমাবদ্ধতা বিবেচনা করা যেতে পারে (অর্থাৎ, এর ট্র্যাজেক্টোরিগুলি যেমন বেছে নেওয়া যেতে পারে)। একটি অবিচ্ছিন্ন চৌম্বক ক্ষেত্রের অস্তিত্ব (দেখুন, ) এ শর্ত দ্বারা নিশ্চিত করা হয়। যান্ত্রিক প্রক্রিয়ার তত্ত্বে, প্রধান মনোযোগ দেওয়া হয় এমন প্রক্রিয়াগুলিতে যা একজাতীয় (সময়ে)। সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা একটি প্রদত্ত সিস্টেম অনুমান করে বস্তু a) - d) পার্থক্যের সাথে যে প্যারামিটার s এবং u এর বিবরণে প্রদর্শিত হয়েছে, শুধুমাত্র মান 0 এখন অনুমোদিত। স্বরলিপিটিও সরলীকৃত:
আরও, স্থান W-এর একজাতীয়তা অনুমান করা হয়, অর্থাৎ এটি প্রয়োজন যে কোনো 
এমন একটা জিনিস ছিল 
(w) এর কারণে, s-বীজগণিতের উপর এন, W-এর ক্ষুদ্রতম s-বীজগণিত যাতে ফর্মের যে কোনো ঘটনা থাকে 
সময় স্থানান্তর অপারেটর q নির্দিষ্ট করা হয় t, যা সেটের মিলন, ছেদ এবং বিয়োগের ক্রিয়াকলাপ সংরক্ষণ করে এবং যার জন্য
নামের সেট (অ-সমাপ্ত) সমজাতীয় মার্কভ প্রক্রিয়া যদি -প্রায় নিশ্চিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়
X(t) প্রক্রিয়ার ট্রানজিশন ফাংশনের জন্য P( t, x, V), এবং, বিশেষ সংরক্ষণ না থাকলে, তাদের অতিরিক্ত প্রয়োজন যে এটি মনে রাখা দরকারী যে চেক করার সময় (4) এটি শুধুমাত্র ফর্মের সেটগুলি বিবেচনা করা যথেষ্ট যেখানে 
এবং যে (4) সর্বদা ফুটসমাপ্তির ছেদকে সমান s-বীজগণিত দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে ফুটসমস্ত সম্ভাব্য পরিমাপের জন্য। প্রায়শই, একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ m ("প্রাথমিক") স্থির করা হয় এবং একটি মার্কভ র্যান্ডম ফাংশন বিবেচনা করা হয় 
যেখানে সমতা দ্বারা প্রদত্ত পরিমাপ
এম.পি. ডাকলেন। ক্রমান্বয়ে পরিমাপযোগ্য যদি প্রতি t>0 ফাংশনটি s-বীজগণিত কোথায় একটি পরিমাপযোগ্য প্ররোচিত করে
বোরেল উপসেট . ডান অবিচ্ছিন্ন এমপিরা ধীরে ধীরে পরিমাপযোগ্য। একটি ভিন্নধর্মী কেসকে একটি সমজাতীয় (দেখুন) থেকে কমিয়ে আনার একটি উপায় রয়েছে এবং পরবর্তীতে আমরা সমজাতীয় এমপিদের সম্পর্কে কথা বলব।
কঠোরভাবে।একটি m দ্বারা একটি পরিমাপযোগ্য স্থান দেওয়া যাক।
ফাংশন বলা হয় মার্কভ মুহূর্ত,যদি 
সবার জন্য
এই ক্ষেত্রে, তারা F t পরিবারের অন্তর্গত যদি at থাকে (প্রায়শই F t কে X(t) এর বিবর্তনের সাথে যুক্ত ইভেন্টের সেট হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় t মুহূর্ত পর্যন্ত)। বিশ্বাসের জন্য
ক্রমান্বয়ে পরিমাপযোগ্য M. p. Xnaz. কঠোরভাবে মার্কভ প্রক্রিয়া (s.m.p.), যদি কোন Markov মুহূর্ত m এবং সব 
এবং অনুপাত
(কঠোরভাবে মার্কভ সম্পত্তি) সেট Wt প্রায় নিশ্চিতভাবে ঝুলিতে . চেক করার সময় (5), এটি শুধুমাত্র যেখানে ফর্মের সেটগুলি বিবেচনা করা যথেষ্ট 
এই ক্ষেত্রে, একটি S. m. স্থান, উদাহরণস্বরূপ, একটি টপোলজিক্যালে যেকোনো ডান অবিচ্ছিন্ন ফেলার M. স্থান। স্থান ই.এম.পি. ডাকলেন। Feller Markov প্রক্রিয়া যদি ফাংশন
যখনই f অবিচ্ছিন্ন এবং আবদ্ধ হয় তখনই অবিচ্ছিন্ন।
সাথে ক্লাসে। m.p. কিছু উপশ্রেণী আলাদা করা হয়। যাক মার্কোভিয়ান পি( t, x, V),
একটি মেট্রিক স্থানীয়ভাবে কমপ্যাক্ট স্থান সংজ্ঞায়িত ই,স্টোকাস্টিক্যালি একটানা:
প্রতিটি বিন্দুর যে কোন আশেপাশের U এর জন্য। তারপর যদি অপারেটররা নিজেদের মধ্যে এমন ফাংশন গ্রহণ করে যা ক্রমাগত থাকে এবং অসীমতায় অদৃশ্য হয়ে যায়, তাহলে ফাংশন P( t, x, V) মান M. p পূরণ করে। এক্স,অর্থাৎ ডানদিকে অবিরত। m.p., যার জন্য
- প্রায় সম্ভবত অনেকের উপর 
a হল Pmarkov মুহূর্ত যা বৃদ্ধির সাথে হ্রাস পায় না। মার্কভ প্রক্রিয়া বন্ধ করা।প্রায়ই শারীরিক এটি একটি নন-টার্মিনেটিং ম্যাগনেটিক ফিল্ড ব্যবহার করে সিস্টেমগুলি বর্ণনা করার পরামর্শ দেওয়া হয়, তবে শুধুমাত্র এলোমেলো দৈর্ঘ্যের একটি সময়ের ব্যবধানে। উপরন্তু, চৌম্বকীয় প্রক্রিয়াগুলির এমনকি সাধারণ রূপান্তরগুলি একটি এলোমেলো ব্যবধানে নির্দিষ্ট ট্র্যাজেক্টোরিজ সহ একটি প্রক্রিয়ার দিকে নিয়ে যেতে পারে (দেখুন। কার্যকরীএকটি মার্কভ প্রক্রিয়া থেকে)। এই বিবেচনার দ্বারা পরিচালিত, একটি ভাঙা এমপি ধারণা চালু করা হয়.
একটি ট্রানজিশন ফাংশন সহ ফেজ স্পেসে একটি সমজাতীয় M.P হতে দিন 
এবং একটি বিন্দু এবং একটি ফাংশন হতে দিন 
যেমন যদি এবং অন্যথায় (যদি কোন বিশেষ ধারা না থাকে, বিবেচনা করুন)। নতুন পথচলা xt(w) সমতার মাধ্যমে শুধুমাত্র ) এর জন্য নির্দিষ্ট করা হয়েছে 
ক ফুটসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত
কোথায় সেট করুন 
ডাকা একটি সমাপ্তি মার্কভ প্রক্রিয়া (o.m.p.) দ্বারা, z সময়ে সমাপ্ত (বা হত্যা) দ্বারা এটি থেকে প্রাপ্ত। z মান বলা হয় বিরতির মুহূর্ত, বা জীবনের সময়, o. m.p. নতুন প্রক্রিয়ার পর্যায় স্থান যেখানে s-বীজগণিতের একটি চিহ্ন রয়েছে ই.ট্রানজিশন ফাংশন o. m.p একটি সেটের সীমাবদ্ধতা 
প্রক্রিয়া X(t) বলা হয় একটি কঠোরভাবে মার্কভ প্রক্রিয়া, বা একটি আদর্শ মার্কভ প্রক্রিয়া, যদি এটির সংশ্লিষ্ট সম্পত্তি থাকে। m.p. ভাঙ্গনের মুহূর্ত সহ Heterogeneous o. m.p. একইভাবে নির্ধারিত হয়। এম.
মার্কভ প্রক্রিয়া এবং .ব্রাউনিয়ান গতির প্রকারের এমপিরা প্যারাবোলিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। টাইপ স্থানান্তর p(s, x, t, y) বিস্তার প্রক্রিয়ার কিছু অতিরিক্ত অনুমানের অধীনে, কলমোগোরভের বিপরীত এবং সরাসরি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে:
ফাংশন p( s, x, t, y.হলো সবুজের সমীকরণের ফাংশন (6) - (7), এবং ডিফিউশন প্রক্রিয়া তৈরির প্রথম পরিচিত পদ্ধতিগুলি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (6) - (7) এর জন্য এই ফাংশনের অস্তিত্বের উপপাদ্যগুলির উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছিল। একটি সময়-অভিন্ন প্রক্রিয়ার জন্য L( s, x)= এল(x) মসৃণ ফাংশন বৈশিষ্ট্যের সাথে মিলে যায়। অপারেটর এম. পি. (দেখুন ট্রানজিশন অপারেটর সেমিগ্রুপ).
গণিত ডিফিউশন প্রসেস থেকে বিভিন্ন ফাংশনালের প্রত্যাশা সংশ্লিষ্ট সীমানা মান সমস্যার সমাধান হিসেবে কাজ করে আঙ্গক(1)। যাক - গাণিতিক। পরিমাপের প্রত্যাশা তখন ফাংশনটি সন্তুষ্ট হয় s
একইভাবে, ফাংশন
সঙ্গে সন্তুষ্ট s
এবং শর্ত এবং 2 ( টি, এক্স) = 0.
প্রথম সীমানা পৌঁছানোর মুহূর্ত হতে দিন ডিডিঅঞ্চল
প্রক্রিয়া গতিপথ
তারপর, কিছু শর্ত অধীনে, ফাংশন
সমীকরণ সন্তুষ্ট
এবং সেটে cp মান নেয়
একটি সাধারণ রৈখিক প্যারাবোলিকের জন্য 1ম সীমানা মান সমস্যার সমাধান। ২য় ক্রম সমীকরণ
মোটামুটি সাধারণ অনুমানের অধীনে ফর্মে লেখা যেতে পারে
ক্ষেত্রে যখন L এবং ফাংশন s, চউপর নির্ভর করবেন না s,রৈখিক উপবৃত্তাকার সমাধানের জন্য (9) অনুরূপ একটি উপস্থাপনাও সম্ভব। সমীকরণ আরো সঠিকভাবে, ফাংশন
কিছু অনুমান অধীনে সমস্যা আছে
ক্ষেত্রে যখন অপারেটর L অবক্ষয় হয় (del b( s, x) = 0
বা ডিডিযথেষ্ট "ভাল" নয়; সীমানা মানগুলি পৃথক পয়েন্টে বা সম্পূর্ণ সেটগুলিতে ফাংশন (9), (10) দ্বারা গ্রহণ করা যাবে না। একটি অপারেটরের জন্য একটি নিয়মিত সীমানা বিন্দুর ধারণা৷ এলএকটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যা আছে. সীমানার নিয়মিত বিন্দুতে, সীমানা মানগুলি ফাংশন (9), (10) দ্বারা অর্জন করা হয়। সমস্যার সমাধান (8), (11) আমাদের সংশ্লিষ্ট বিস্তার প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্য এবং তাদের কার্যকারিতা অধ্যয়ন করতে দেয়।
এমপিদের গঠনের জন্য এমন পদ্ধতি রয়েছে যা সমীকরণ (6), (7) সমাধানের উপর নির্ভর করে না। পদ্ধতি স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ,পরিমাপের একেবারে অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তন, ইত্যাদি। এই পরিস্থিতিতে, একসাথে সূত্র (9), (10), আমাদের সম্ভাব্যতামূলকভাবে সমীকরণ (8) এর জন্য সীমানা মান সমস্যার বৈশিষ্ট্য নির্মাণ এবং অধ্যয়ন করতে দেয়, সেইসাথে সমাধানের বৈশিষ্ট্যগুলি সংশ্লিষ্ট উপবৃত্তাকার। সমীকরণ
যেহেতু স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানটি ম্যাট্রিক্স b(এর অবক্ষয়ের প্রতি সংবেদনশীল নয়) s, x), যেউপবৃত্তাকার এবং প্যারাবোলিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অবক্ষয় সমাধানের জন্য সম্ভাব্য পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়েছিল। N. M. Krylov এবং N. N. Bogolyubov-এর গড় নীতিকে স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রসারিত করা সম্ভব হয়েছে, (9) ব্যবহার করে উপবৃত্তাকার এবং প্যারাবোলিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য সংশ্লিষ্ট ফলাফল পাওয়া। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে সম্ভাব্য বিবেচনাগুলি ব্যবহার করে সর্বোচ্চ ডেরিভেটিভের একটি ছোট প্যারামিটার সহ এই ধরণের সমীকরণের সমাধানের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়নের কিছু কঠিন সমস্যা সমাধান করা সম্ভব। সমীকরণ (6) এর জন্য 2য় সীমানা মান সমস্যার সমাধানেরও একটি সম্ভাব্য অর্থ রয়েছে। একটি সীমাহীন ডোমেনের জন্য সীমানা মান সমস্যাগুলির গঠন সংশ্লিষ্ট বিস্তার প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।
একটি সময়-সমজাতীয় প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে (L s-এর উপর নির্ভর করে না), সমীকরণের ধনাত্মক সমাধান, একটি গুণক ধ্রুবক পর্যন্ত, এমপির স্থির বন্টন ঘনত্বের সাথে কিছু অনুমানের সাথে মিলে যায়। সম্ভাব্য বিবেচনাগুলিও দেখা যায় অরৈখিক প্যারাবোলিক্সের জন্য সীমানা মান সমস্যা বিবেচনা করার সময় দরকারী হবে। সমীকরণ আর. 3. খাসমিনস্কি।
লিট: মার্কভ এ. এ., "ইজভেস্টিয়া। কাজান ইউনিভার্সিটির পদার্থ-গণিত সোসাইটি", 1906, ভলিউম 15, নং 4, পৃ. 135-56; V a s h e l i e r L., " Ann. scient. Ecole norm, super.", 1900, v. 17, পৃ. 21-86; কোলমোগোরভ এ.এন., "ম্যাথ। অ্যান।", 1931, বিডি 104, এস. 415-458; rus অনুবাদ। - "উসপেখি মাতেমাতিশেস্কিখ নাউক", 1938, শতাব্দী। 5, পৃ. 5-41; ঝুন কাই-লাই, সমজাতীয় মার্কভ চেইন, ট্রান্স। ইংরেজি থেকে, এম., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math।", 1954, v. 60, পৃ. 417-36; Dynkin E.B., Yushkevich A.A., "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগ," 1956, ভলিউম 1, শতাব্দী। 1, পৃ. 149-55; Xant J.-A., মার্কভ প্রক্রিয়া এবং সম্ভাবনা, ট্রান্স। ইংরেজি থেকে, এম., 1962; D e l l a s h e r i K., ক্ষমতা এবং এলোমেলো প্রক্রিয়া, ট্রান্স। ফ্রেঞ্চ, এম., 1975 থেকে; ডিঙ্ক এবং ই.ভি., মার্কভ প্রক্রিয়ার তত্ত্বের ভিত্তি, এম., 1959; তাকে, মার্কভ প্রসেস, এম., 1963; জি এবং এইচ ম্যান I. I., S k o r o x o d A. V., এলোমেলো প্রক্রিয়ার তত্ত্ব, ভলিউম 2, M., 1973; ফ্রেডলিন এমআই, বইয়ে: বিজ্ঞানের ফলাফল। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব, . - তাত্ত্বিক। 1966, এম।, 1967, পি। 7-58; X a sminskiy R. 3., "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং এর প্রয়োগ," 1963, ভলিউম 8, ইন
মার্কভ প্রক্রিয়া- বিচ্ছিন্ন বা অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো প্রক্রিয়া X(t), যা সম্পূর্ণরূপে দুটি পরিমাণ ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে: সম্ভাব্যতা P(x,t) যে t সময়ে এলোমেলো পরিবর্তনশীল x(t) x এর সমান এবং সম্ভাব্যতা P(x2, t2½x1t1) যে... ... অর্থনৈতিক-গাণিতিক অভিধান
মার্কভ প্রক্রিয়া- একটি বিচ্ছিন্ন বা অবিচ্ছিন্ন এলোমেলো প্রক্রিয়া X(t), যা সম্পূর্ণরূপে দুটি পরিমাণ ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে: সম্ভাব্যতা P(x,t) যে t সময়ে এলোমেলো পরিবর্তনশীল x(t) x এর সমান এবং সম্ভাব্যতা P(x2) , t2? x1t1) যে যদি x এ t = t1... ... প্রযুক্তিগত অনুবাদকের গাইড
একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ধরনের এলোমেলো প্রক্রিয়া। মার্কভ প্রক্রিয়ার একটি উদাহরণ হল একটি তেজস্ক্রিয় পদার্থের ক্ষয়, যেখানে অল্প সময়ের মধ্যে একটি প্রদত্ত পরমাণুর ক্ষয় হওয়ার সম্ভাবনা পূর্ববর্তী সময়ের প্রক্রিয়াটির উপর নির্ভর করে না। বৃহৎ বিশ্বকোষীয় অভিধান - মার্কোভো প্রসেস স্ট্যাটাস টি sritis স্বয়ংক্রিয় অ্যাটিটিকমেনিস: ইংরেজি। Markovprocess vok. Markovprozeß, m rus. মার্কভ প্রক্রিয়া, মি; মার্কভ প্রসেস, এম প্রাংক। প্রসেস মার্কোভিয়েন, এম … স্বয়ংক্রিয় টার্মিনোজ žodynas
মার্কভ প্রক্রিয়া- মার্কোভো ভ্যাক্সমাস স্ট্যাটাস টি sritis ফিজিকা অ্যাটিটিকমেনিস: ইংরেজি। মার্কভ প্রক্রিয়া; মার্কোভিয়ান প্রক্রিয়া vok. Markow Prozeß, m; Markowscher Prozeß, m rus. মার্কভ প্রক্রিয়া, মি; মার্কভ প্রসেস, এম প্রাংক। প্রসেস ডি মার্কফ, এম; প্রসেস মার্কোভিয়েন, এম;… … ফিজিকোস টার্মিনোজ যোডিনাস
একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ধরনের এলোমেলো প্রক্রিয়া। মার্কভ প্রক্রিয়ার একটি উদাহরণ হল একটি তেজস্ক্রিয় পদার্থের ক্ষয়, যেখানে অল্প সময়ের মধ্যে একটি প্রদত্ত পরমাণুর ক্ষয় হওয়ার সম্ভাবনা পূর্ববর্তী সময়ের প্রক্রিয়াটির উপর নির্ভর করে না। বিশ্বকোষীয় অভিধান
একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ধরনের এলোমেলো প্রক্রিয়া (দেখুন র্যান্ডম প্রক্রিয়া), যা প্রাকৃতিক বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির বিভিন্ন শাখায় সম্ভাব্যতা তত্ত্বের প্রয়োগের ক্ষেত্রে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। একটি চৌম্বক প্রক্রিয়ার একটি উদাহরণ হল একটি তেজস্ক্রিয় পদার্থের ক্ষয়। গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া
গণিতের ক্ষেত্রে একটি অসামান্য আবিষ্কার 1906 সালে রাশিয়ান বিজ্ঞানী A.A. মার্কভ।
অনুরোধের প্রবাহের পয়সন প্রকৃতি এবং পরিষেবার সময়ের সূচকীয় বন্টন সম্পর্কে অনুমানগুলি মূল্যবান যে তারা আমাদেরকে সারিবদ্ধ তত্ত্বে তথাকথিত মার্কভ এলোমেলো প্রক্রিয়াগুলির যন্ত্রপাতি প্রয়োগ করার অনুমতি দেয়৷
একটি ভৌত ব্যবস্থায় ঘটতে থাকা একটি প্রক্রিয়াকে মার্কভ প্রক্রিয়া (অথবা প্রভাব ছাড়াই একটি প্রক্রিয়া) বলা হয় যদি সময়ের প্রতিটি মুহূর্তের জন্য ভবিষ্যতে সিস্টেমের কোনো অবস্থার সম্ভাবনা শুধুমাত্র বর্তমান মুহূর্তে সিস্টেমের অবস্থার উপর নির্ভর করে এবং তা করে। সিস্টেম এই অবস্থায় কিভাবে এসেছিল তার উপর নির্ভর করে না।
মার্কভ এলোমেলো প্রক্রিয়ার একটি প্রাথমিক উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। বিন্দুটি অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর এলোমেলোভাবে চলে। সময়ের মুহুর্তে, বিন্দুটি উৎপত্তিস্থলে এবং এক সেকেন্ডের জন্য সেখানে থাকে। এক সেকেন্ড পরে, একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয়; যদি কোট অফ আর্মস পড়ে যায়, বিন্দুটি দৈর্ঘ্যের এক একক ডানদিকে নিয়ে যায়, যদি সংখ্যাটি বাম দিকে চলে যায়। এক সেকেন্ড পরে, মুদ্রাটি আবার ছুড়ে ফেলা হয় এবং একই এলোমেলো নড়াচড়া করা হয়, ইত্যাদি। একটি বিন্দুর অবস্থান পরিবর্তন করার প্রক্রিয়া (বা, যেমন তারা বলে, "বিচরণ") হল বিচ্ছিন্ন সময় এবং একটি গণনাযোগ্য সেট সহ একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া। রাজ্যের
এই প্রক্রিয়ার সম্ভাব্য রূপান্তরের একটি চিত্র চিত্রে দেখানো হয়েছে। 19.7.1।
আসুন দেখান যে এই প্রক্রিয়াটি মার্কোভিয়ান। প্রকৃতপক্ষে, আসুন আমরা কল্পনা করি যে কোনও সময়ে সিস্টেমটি, উদাহরণস্বরূপ, একটি রাজ্যে - উত্সের ডানদিকে এক ইউনিট। সময়ের এককের পরে একটি বিন্দুর সম্ভাব্য অবস্থানগুলি 1/2 এবং 1/2 সম্ভাবনা সহ হবে; দুটি ইউনিটের মাধ্যমে - , , সম্ভাব্যতা 1/4, ½, 1/4 ইত্যাদি সহ। স্পষ্টতই, এই সমস্ত সম্ভাবনাগুলি শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে বিন্দুটি কোথায় রয়েছে তার উপর নির্ভর করে এবং এটি কীভাবে সেখানে পৌঁছেছে তার থেকে সম্পূর্ণ স্বাধীন।
আরেকটি উদাহরণ দেখা যাক। উপাদান (অংশ) ধরনের এবং বিভিন্ন স্থায়িত্ব আছে সমন্বিত একটি প্রযুক্তিগত ডিভাইস আছে। এই উপাদানগুলি এলোমেলো সময়ে এবং একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে ব্যর্থ হতে পারে। সামগ্রিকভাবে ডিভাইসের অপারেশনের জন্য প্রতিটি উপাদানের সঠিক অপারেশন একেবারে প্রয়োজনীয়। একটি উপাদানের ব্যর্থতা-মুক্ত অপারেশন সময় একটি সূচকীয় আইন অনুযায়ী বিতরণ করা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল; ধরনের উপাদানের জন্য এবং এই আইনের পরামিতিগুলি যথাক্রমে ভিন্ন এবং সমান এবং সমান। ডিভাইসের ব্যর্থতার ক্ষেত্রে, কারণগুলি সনাক্ত করার জন্য অবিলম্বে ব্যবস্থা নেওয়া হয় এবং সনাক্ত করা ত্রুটিযুক্ত উপাদানটি অবিলম্বে একটি নতুন দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়। ডিভাইসটি পুনরুদ্ধার (মেরামত) করার জন্য প্রয়োজনীয় সময় প্যারামিটার (যদি টাইপের একটি উপাদান) এবং (যদি টাইপের একটি উপাদান) ব্যর্থ হয় তার সাথে একটি সূচকীয় আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়।
এই উদাহরণে, সিস্টেমে ঘটমান এলোমেলো প্রক্রিয়াটি একটি মার্কভ প্রক্রিয়া যার মধ্যে একটানা সময় এবং একটি সীমাবদ্ধ অবস্থা রয়েছে:
সমস্ত উপাদান কার্যকরী ক্রমে রয়েছে, সিস্টেম কাজ করছে,
টাইপ উপাদান ত্রুটিপূর্ণ, সিস্টেম মেরামত করা হচ্ছে,
টাইপ উপাদান ত্রুটিপূর্ণ, সিস্টেম মেরামত করা হচ্ছে.
সম্ভাব্য রূপান্তরের একটি চিত্র চিত্রে দেখানো হয়েছে। 19.7.2।
প্রকৃতপক্ষে, প্রক্রিয়াটিতে মার্কভ সম্পত্তি রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এই মুহূর্তে সিস্টেমটি একটি অবস্থায় রয়েছে (কার্যকর)। যেহেতু প্রতিটি উপাদানের ব্যর্থতা-মুক্ত অপারেশন সময় নির্দেশক, তাই ভবিষ্যতে প্রতিটি উপাদানের ব্যর্থতার মুহূর্তটি ইতিমধ্যে কতক্ষণ কাজ করেছে (যখন এটি বিতরণ করা হয়েছিল) তার উপর নির্ভর করে না। অতএব, সম্ভাবনা যে ভবিষ্যতে সিস্টেমটি একটি অবস্থায় থাকবে বা এটি ছেড়ে যাবে তা প্রক্রিয়াটির "প্রাগৈতিহাসিক" এর উপর নির্ভর করে না। আসুন এখন ধরে নিই যে এই মুহূর্তে সিস্টেমটি অবস্থায় রয়েছে (টাইপের উপাদান ত্রুটিপূর্ণ)। যেহেতু মেরামতের সময়টিও নির্দেশক, তার পরে যে কোনও সময়ে মেরামত সম্পূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কখন মেরামত শুরু হয়েছিল এবং কখন অবশিষ্ট (পরিষেবাযোগ্য) উপাদানগুলি বিতরণ করা হয়েছিল তার উপর নির্ভর করে না। সুতরাং, প্রক্রিয়াটি মার্কোভিয়ান।
উল্লেখ্য যে উপাদানটির অপারেটিং সময়ের সূচকীয় বন্টন এবং মেরামতের সময়ের সূচকীয় বন্টন অপরিহার্য শর্ত, যা ছাড়া প্রক্রিয়াটি মার্কোভিয়ান হবে না। প্রকৃতপক্ষে, আসুন আমরা ধরে নিই যে উপাদানটির সঠিক ক্রিয়াকলাপের সময়টি সূচকীয় আইন অনুসারে নয়, তবে অন্য কোনও আইন অনুসারে বিতরণ করা হয় - উদাহরণস্বরূপ, অঞ্চলে অভিন্ন ঘনত্বের আইন অনুসারে। এর মানে হল যে প্রতিটি উপাদান নির্দিষ্ট সময়ের জন্য কাজ করার গ্যারান্টিযুক্ত, এবং এটি থেকে বিভাগে একই সম্ভাবনার ঘনত্বের সাথে যেকোনো মুহূর্তে ব্যর্থ হতে পারে। চলুন অনুমান করা যাক যে কিছু সময়ে উপাদানটি সঠিকভাবে কাজ করছে। স্পষ্টতই, ভবিষ্যতের কোনো সময়ে কোনো উপাদানের ব্যর্থ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ভর করে কতক্ষণ আগে উপাদানটি ইনস্টল করা হয়েছিল, অর্থাৎ, এটি পূর্ববর্তী ইতিহাসের উপর নির্ভর করে এবং প্রক্রিয়াটি মার্কোভিয়ান হবে না।
পরিস্থিতি মেরামতের সময় অনুরূপ; যদি এটি নির্দেশক না হয় এবং এই মুহুর্তে উপাদানটি মেরামত করা হচ্ছে, তবে অবশিষ্ট মেরামতের সময় কখন শুরু হয়েছিল তার উপর নির্ভর করে; প্রক্রিয়াটি আবার মার্কোভিয়ান হবে না।
সাধারণভাবে, সূচকীয় বণ্টন ক্রমাগত সময়ের সাথে মার্কভ এলোমেলো প্রক্রিয়ার তত্ত্বে একটি বিশেষ ভূমিকা পালন করে। এটি যাচাই করা সহজ যে একটি স্থির মার্কভ প্রক্রিয়ায় যে সময়টি সিস্টেমটি যে কোনও অবস্থায় থাকে তা সর্বদা একটি সূচকীয় আইন অনুসারে বিতরণ করা হয় (সাধারণত বলতে গেলে, এই অবস্থার উপর নির্ভর করে একটি প্যারামিটার সহ)। প্রকৃতপক্ষে, আসুন আমরা ধরে নিই যে এই মুহুর্তে সিস্টেমটি একটি অবস্থায় রয়েছে এবং কিছু সময়ের জন্য এটির মধ্যে ছিল। মার্কভ প্রক্রিয়ার সংজ্ঞা অনুসারে, ভবিষ্যতে কোন ঘটনার সম্ভাবনা পূর্বের ইতিহাসের উপর নির্ভর করে না; বিশেষ করে, একটি সিস্টেম সময়ের মধ্যে একটি অবস্থা ছেড়ে চলে যাওয়ার সম্ভাবনা সিস্টেমটি ইতিমধ্যে সেই অবস্থায় কত সময় ব্যয় করেছে তার উপর নির্ভর করে না। ফলস্বরূপ, সিস্টেমটি রাষ্ট্রে থাকা সময় অবশ্যই একটি সূচকীয় আইন অনুসারে বিতরণ করা উচিত।
এমন ক্ষেত্রে যখন একটি ভৌত ব্যবস্থায় একটি গণনাযোগ্য অবস্থার সেট এবং অবিচ্ছিন্ন সময় মার্কোভিয়ান হয়, এই প্রক্রিয়াটিকে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে যেখানে অজানা ফাংশনগুলি হল রাষ্ট্রীয় সম্ভাব্যতা। আমরা একটি সাধারণ সারিবদ্ধ সিস্টেমের উদাহরণ ব্যবহার করে নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির সংকলন এবং সমাধান প্রদর্শন করব।
একটি র্যান্ডম প্রক্রিয়া হল র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সেট বা পরিবার যার মান একটি সময় পরামিতি দ্বারা সূচিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি শ্রেণীকক্ষে শিক্ষার্থীর সংখ্যা, বায়ুমণ্ডলীয় চাপ বা সময়ের একটি ফাংশন হিসাবে সেই শ্রেণীকক্ষের তাপমাত্রা এলোমেলো প্রক্রিয়া।
এলোমেলো প্রক্রিয়াগুলি জটিল স্টোকাস্টিক সিস্টেমগুলির গবেষণায় এই ধরনের সিস্টেমগুলির কার্যকারিতার পর্যাপ্ত গাণিতিক মডেল হিসাবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।
এলোমেলো প্রক্রিয়াগুলির জন্য মৌলিক ধারণাগুলি হল ধারণা প্রক্রিয়া অবস্থাএবং স্থানান্তরএটা এক রাজ্য থেকে অন্য রাজ্যে।
একটি নির্দিষ্ট সময়ে এলোমেলো প্রক্রিয়া বর্ণনা করে এমন ভেরিয়েবলের মানগুলিকে বলা হয় অবস্থাএলোমেলোপ্রক্রিয়া. একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া এক অবস্থা থেকে অন্য অবস্থাতে রূপান্তর ঘটায় যদি একটি রাষ্ট্রকে সংজ্ঞায়িত করে এমন ভেরিয়েবলের মানগুলি অন্য অবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করে এমন মানগুলিতে পরিবর্তিত হয়।
এলোমেলো প্রক্রিয়ার সম্ভাব্য অবস্থার সংখ্যা (স্টেট স্পেস) সসীম বা অসীম হতে পারে। যদি সম্ভাব্য অবস্থার সংখ্যা সসীম বা গণনাযোগ্য হয় (সমস্ত সম্ভাব্য রাজ্যের ক্রমিক সংখ্যা নির্ধারণ করা যেতে পারে), তাহলে এলোমেলো প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় বিচ্ছিন্ন অবস্থার সাথে প্রক্রিয়া. উদাহরণস্বরূপ, একটি দোকানে গ্রাহকের সংখ্যা, দিনের বেলায় একটি ব্যাঙ্কে গ্রাহকের সংখ্যা বিচ্ছিন্ন অবস্থার সাথে এলোমেলো প্রক্রিয়া দ্বারা বর্ণনা করা হয়।
যদি একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া বর্ণনাকারী ভেরিয়েবলগুলি একটি সসীম বা অসীম অবিচ্ছিন্ন ব্যবধান থেকে কোনো মান নিতে পারে, এবং তাই, অবস্থার সংখ্যা অগণিত হয়, তাহলে র্যান্ডম প্রক্রিয়া বলা হয় ক্রমাগত অবস্থার সাথে প্রক্রিয়া. উদাহরণস্বরূপ, দিনের বেলা বাতাসের তাপমাত্রা একটানা অবস্থার সাথে একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া।
বিচ্ছিন্ন অবস্থা সহ র্যান্ডম প্রক্রিয়াগুলি এক অবস্থা থেকে অন্য রাজ্যে আকস্মিক রূপান্তর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে অবিচ্ছিন্ন অবস্থার সাথে প্রক্রিয়াগুলিতে রূপান্তরগুলি মসৃণ হয়। আরও আমরা শুধুমাত্র বিচ্ছিন্ন অবস্থার সাথে প্রক্রিয়াগুলি বিবেচনা করব, যা প্রায়শই বলা হয় চেইন.
আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক g(t) বিযুক্ত অবস্থা এবং সম্ভাব্য মান সহ একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া g(t), i.e. সার্কিটের সম্ভাব্য অবস্থা, - প্রতীকের মাধ্যমে ই 0 , ই 1 , ই 2 , … . কখনও কখনও প্রাকৃতিক সিরিজ থেকে 0, 1, 2,... সংখ্যাগুলি পৃথক অবস্থা বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।
এলোমেলো প্রক্রিয়া g(t) বলা হয় প্রক্রিয়াসঙ্গেবিচ্ছিন্নসময়, যদি প্রক্রিয়ার স্থানান্তর রাষ্ট্র থেকে রাজ্যে সম্ভব হয় শুধুমাত্র কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত, সময়ে পূর্ব-নির্ধারিত মুহূর্তে t 0 , t 1 , t 2 , … . যদি কোনো পূর্ববর্তী অজানা সময়ে কোনো প্রক্রিয়ার রাষ্ট্র থেকে রাষ্ট্রে রূপান্তর সম্ভব হয়, তাহলে একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া বলা হয়। প্রক্রিয়াক্রমাগত সঙ্গেসময়. প্রথম ক্ষেত্রে, এটা স্পষ্ট যে ট্রানজিশনের মধ্যে সময়ের ব্যবধানগুলি নির্ধারক, এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে তারা এলোমেলো পরিবর্তনশীল।
একটি বিচ্ছিন্ন-সময় প্রক্রিয়া হয় যখন এই প্রক্রিয়া দ্বারা বর্ণিত সিস্টেমের কাঠামোটি এমন হয় যে এর অবস্থাগুলি কেবলমাত্র পূর্বনির্ধারিত সময়ে পরিবর্তিত হতে পারে, অথবা যখন ধরে নেওয়া হয় যে প্রক্রিয়াটি (সিস্টেম) বর্ণনা করার জন্য এটি যথেষ্ট। নির্দিষ্ট সময়ে রাজ্যগুলি জানুন। তারপর এই মুহূর্তগুলি সংখ্যা করা যেতে পারে এবং আমরা রাষ্ট্র সম্পর্কে কথা বলতে পারি ই iসময়ে একটি সময়ে t i .
বিচ্ছিন্ন অবস্থার সাথে র্যান্ডম প্রক্রিয়াগুলিকে রূপান্তরের একটি গ্রাফ (বা রাজ্য) হিসাবে চিত্রিত করা যেতে পারে, যেখানে শীর্ষবিন্দুগুলি রাজ্যের সাথে মিলে যায় এবং ওরিয়েন্টেড আর্কগুলি এক অবস্থা থেকে অন্য রাজ্যে রূপান্তরের সাথে মিলে যায়। যদি রাজ্য থেকে ই iশুধুমাত্র একটি রাজ্যে রূপান্তর সম্ভব ই j, তাহলে এই সত্যটি শীর্ষবিন্দু থেকে নির্দেশিত একটি চাপ দ্বারা রূপান্তর গ্রাফে প্রতিফলিত হয় ই iশীর্ষে ই j(চিত্র 1, ক)। এক রাজ্য থেকে অন্য রাজ্যে এবং একাধিক রাজ্য থেকে এক রাজ্যে রূপান্তরগুলি রূপান্তর গ্রাফে প্রতিফলিত হয়েছে, যেমন চিত্র 1, b এবং 1, c-এ দেখানো হয়েছে।
