Jednotná distribuce.Náhodná hodnota X má význam souřadnic náhodně vybraného bodu na segmentu

[a, b. Jednotná hustota rozdělení náhodných veličin X(obr. 10.5, A) lze definovat jako:

Rýže. 10.5. Rovnoměrné rozdělení náhodné veličiny: A- hustota distribuce; b- distribuční funkce

Funkce náhodné proměnné distribuce X má tvar:

Graf funkce rovnoměrného rozdělení je na Obr. 10,5, b.

Laplaceovu transformaci rovnoměrného rozdělení vypočítáme pomocí (10.3):

Očekávanou hodnotu a rozptyl lze snadno vypočítat přímo z odpovídajících definic:

Podobné vzorce pro matematické očekávání a disperze lze také získat pomocí Laplaceovy transformace pomocí vzorců (10.8), (10.9).

Uvažujme příklad systému služeb, který lze popsat rovnoměrným rozdělením.

Provoz na křižovatce je regulován automatickým semaforem, ve kterém svítí zelená 1 minutu a červená 0,5 minuty. Řidiči se blíží ke křižovatce náhodné okamžikyčasu s rovnoměrným rozložením nesouvisejícím s provozem semaforu. Najděte pravděpodobnost, že auto projede křižovatkou bez zastavení.

Okamžik průjezdu automobilu křižovatkou je rovnoměrně rozložen v intervalu 1 + 0,5 = 1,5 minuty. Automobil projede křižovatkou bez zastavení, pokud okamžik projetí křižovatkou spadá do časového intervalu. Pro rovnoměrně rozloženou náhodnou veličinu v intervalu je pravděpodobnost pádu do intervalu 1/1,5=2/3. Čekací doba Гож je smíšená náhodná veličina. S pravděpodobností 2/3 se rovná nule as pravděpodobností 0,5/1,5 nabývá jakékoliv hodnoty mezi 0 a 0,5 min. Proto průměrná čekací doba a rozptyl na křižovatce

Exponenciální (exponenciální) rozdělení. Pro exponenciální rozdělení lze hustotu rozdělení náhodné proměnné zapsat jako:

kde A se nazývá distribuční parametr.

Graf hustoty pravděpodobnosti exponenciálního rozdělení je na Obr. 10.6, A.

Distribuční funkce náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením má tvar

Rýže. 10.6. Exponenciální rozdělení náhodné veličiny: A- hustota distribuce; b - distribuční funkce

Graf exponenciální distribuční funkce je na Obr. 10.6, 6.

Laplaceovu transformaci exponenciálního rozdělení vypočítáme pomocí (10.3):

Ukažme si to pro náhodnou veličinu X, s exponenciálním rozdělením, očekávaná hodnota rovná se směrodatné odchylce a a inverzně k parametru A:

Pro exponenciální rozdělení tedy máme: Lze také ukázat, že

těch. exponenciální rozdělení je zcela charakterizováno průměrem nebo parametrem X .

Exponenciální rozdělení má číslo prospěšné vlastnosti, které se používají při modelování obslužných systémů. Například nemá paměť. Když , Že

Jinými slovy, pokud náhodná veličina odpovídá času, pak rozdělení zbývajícího trvání nezávisí na době, která již uplynula. Tato vlastnost je znázorněna na Obr. 10.7.

Rýže. 10.7.

Uvažujme příklad systému, jehož provozní parametry lze popsat exponenciálním rozdělením.

Při provozu zařízení dochází v náhodných časech k poruchám. Provozní doba zařízení T od jeho zapnutí do výskytu poruchy je rozdělena podle exponenciálního zákona s parametrem X. Pokud je zjištěna porucha, zařízení okamžitě přejde do opravy, která trvá po dobu / 0. Najděte hustotu a distribuční funkci časového intervalu Г mezi dvěma sousedními poruchami, matematické očekávání a rozptyl, stejně jako pravděpodobnost, že čas T x bude toho víc 2t 0.

Od té doby

Normální distribuce. Normální je rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny, která je popsána hustotou

Z (10.48) vyplývá, že normální distribuce určeno dvěma parametry - matematickým očekáváním T a disperze a 2. Graf hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny s normálním rozdělením at t= 0 a 2 = 1 je znázorněno na Obr. 10.8, A.

Rýže. 10.8. Zákon normálního rozdělení náhodné veličiny at T= 0, st 2 = 1: A- hustota pravděpodobnosti; 6 - distribuční funkce

Distribuční funkce je popsána vzorcem

Graf funkce rozdělení pravděpodobnosti normálně rozdělené náhodné veličiny at T= 0 a 2 = 1 je znázorněno na Obr. 10.8, b.

Pojďme určit pravděpodobnost, že X bude mít hodnotu patřící do intervalu (a, p):

Kde je Laplaceova funkce a pravděpodobnost, že

že absolutní hodnota odchylky je menší než kladné číslo 6:

Zejména když t = 0 rovnost platí:

Jak vidíte, náhodná proměnná s normálním rozdělením může nabývat kladných i záporných hodnot. Pro výpočet momentů je tedy nutné použít obousměrnou Laplaceovu transformaci

Tento integrál však nemusí nutně existovat. Pokud existuje, místo (10.50) se obvykle používá výraz

který se nazývá charakteristická funkce nebo generující funkce momentů.

Vypočítejme generující funkci momentů normálního rozdělení pomocí vzorce (10.51):

Po transformaci čitatele subexponenciálního výrazu do tvaru, který dostaneme

Integrální

protože je to integrál normální hustoty pravděpodobnosti s parametry t + tak 2 a 2. Proto,

Diferencováním (10.52) získáme

Z těchto výrazů můžete najít následující body:

Normální rozdělení je v praxi široce používáno, protože podle centrální limitní věty, pokud je náhodná veličina součtem velmi velkého počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin, přičemž vliv každé z nich na celý součet je zanedbatelný, pak má distribuci blízko normálu.

Uvažujme příklad systému, jehož parametry lze popsat normálním rozdělením.

Firma vyrábí díl dané velikosti. Kvalita součásti se posuzuje měřením její velikosti. Náhodné chyby měření podléhají normálnímu zákonu se směrodatnou odchylkou A - Yumkm. Najděte pravděpodobnost, že chyba měření nepřesáhne 15 mikronů.

Od (10.49) najdeme

Pro usnadnění použití uvažovaných rozdělení shrnujeme získané vzorce v tabulce. 10.1 a 10.2.

Tabulka 10.1. Základní charakteristiky spojitých rozdělení

Tabulka 10.2. Generující funkce spojitých rozdělení

KONTROLNÍ OTÁZKY

• 1. Jaká rozdělení pravděpodobnosti jsou považována za spojitá?
• 2. Co je Laplaceova-Stieltjesova transformace? K čemu se používá?
• 3. Jak vypočítat momenty náhodných veličin pomocí Laplace-Stieltjesovy transformace?
• 4. Co je Laplaceova transformace součtu nezávislých náhodných veličin?
• 5. Jak vypočítat průměrný čas a rozptyl času přechodu systému z jednoho stavu do druhého pomocí signálových grafů?
• 6. Uveďte hlavní charakteristiky rovnoměrného rozdělení. Uveďte příklady jeho použití v servisních úkolech.
• 7. Uveďte hlavní charakteristiky exponenciálního rozdělení. Uveďte příklady jeho použití v servisních úkolech.
• 8. Uveďte hlavní charakteristiky normálního rozdělení. Uveďte příklady jeho použití v servisních úkolech.

Kapitola 6. Spojité náhodné veličiny.

§ 1. Hustota a distribuční funkce spojité náhodné veličiny.

Množina hodnot spojité náhodné veličiny je nepočitatelná a obvykle představuje nějaký konečný nebo nekonečný interval.

Volá se náhodná veličina x(w) definovaná v pravděpodobnostním prostoru (W, S, P). kontinuální(absolutně spojitá) W, pokud existuje nezáporná funkce taková, že pro libovolné x lze distribuční funkci Fx(x) reprezentovat jako integrál

Funkce se nazývá funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti.

Definice implikuje vlastnosti distribuční hustoty:

1..gif" width="97" height="51">

3. V bodech spojitosti je hustota rozdělení rovna derivaci distribuční funkce: .

4. Hustota rozdělení určuje zákon rozdělení náhodné veličiny, protože určuje pravděpodobnost, že náhodná veličina spadne do intervalu:

5. Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabude konkrétní hodnoty, je nulová: . Platí tedy následující rovnosti:

Zavolá se graf funkce hustoty rozdělení distribuční křivka a plocha ohraničená distribuční křivkou a osou x je rovna jednotce. Potom geometricky je hodnota distribuční funkce Fx(x) v bodě x0 plocha ohraničená distribuční křivkou a osou x a ležící vlevo od bodu x0.

Úkol 1. Funkce hustoty spojité náhodné veličiny má tvar:

Určete konstantu C, sestrojte distribuční funkci Fx(x) a vypočítejte pravděpodobnost.

Řešení. Konstanta C se zjistí z podmínky Máme:

odkud C=3/8.

Chcete-li sestavit distribuční funkci Fx(x), všimněte si, že interval rozděluje rozsah hodnot argumentu x (číselná osa) na tři části: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

protože hustota x na poloose je nulová. V druhém případě

Konečně, v posledním případě, když x>2,

Protože hustota mizí na poloose. Tak je získána distribuční funkce

Pravděpodobnost Počítejme pomocí vzorce. Tím pádem,

§ 2. Numerické charakteristiky spojité náhodné veličiny

Očekávaná hodnota pro spojitě distribuované náhodné proměnné je určen vzorcem https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

pokud integrál vpravo konverguje absolutně.

Disperze x lze vypočítat pomocí vzorce a také, jako v samostatném případě, podle vzorce https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Všechny vlastnosti matematického očekávání a disperze uvedené v kapitole 5 pro diskrétní náhodné veličiny platí i pro spojité náhodné veličiny.

Problém 2. Pro náhodnou veličinu x z úlohy 1 vypočítejte matematické očekávání a rozptyl .

Řešení.

A to znamená

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Graf rovnoměrného rozložení hustoty viz Obr. .

Obr.6.2. Distribuční funkce a distribuční hustota. jednotný zákon

Distribuční funkce Fx(x) rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny je rovna

Fx(x)=

Očekávání a rozptyl; .

Exponenciální (exponenciální) rozdělení. Spojitá náhodná veličina x nabývající nezáporných hodnot má exponenciální rozdělení s parametrem l>0, pokud se rozdělení hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny rovná

рx(x)=

Rýže. 6.3. Distribuční funkce a hustota distribuce exponenciálního zákona.

Distribuční funkce exponenciálního rozdělení má tvar

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> a pokud je jeho hustota distribuce rovna

.

Přes označuje množinu všech náhodných veličin distribuovaných podle normálního zákona s parametry parametry a .

Distribuční funkce normálně rozdělené náhodné veličiny je rovna

.

Rýže. 6.4. Distribuční funkce a normální distribuční hustota

Parametry normálního rozdělení jsou matematické očekávání https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Ve zvláštním případě, kdy https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> se nazývá normální rozdělení Standard a třída takových distribucí je označena https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

a distribuční funkce

Takový integrál nelze analyticky vypočítat (nebere se v „kvadraturách“), a proto byly pro funkci sestaveny tabulky. Funkce souvisí s funkcí Laplace představenou v kapitole 4

,

následujícím vztahem . V případě libovolných hodnot parametrů https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> distribuční funkce náhodné proměnné souvisí s Laplaceovou funkcí pomocí vztahu:

.

Pravděpodobnost normálně rozdělené náhodné veličiny spadající do intervalu lze tedy vypočítat pomocí vzorce

.

Nezáporná náhodná proměnná x se nazývá lognormálně rozdělená, pokud její logaritmus h=lnx dodržuje normální zákon. Očekávaná hodnota a rozptyl lognormálně rozdělené náhodné veličiny jsou Mx= a Dx=.

Úkol 3. Nechť je zadána náhodná proměnná https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Řešení. Zde https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplaceova distribuce je dána funkcí fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> a špičatost je gx=3.

Obr.6.5. Laplaceova distribuční funkce hustoty.

Náhodná veličina x je distribuována přes Weibullův zákon, pokud má funkci hustoty distribuce rovnou https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Distribuce Weibull řídí dobu bezporuchového provozu mnoha technických zařízení. V úkolech tohoto profilu důležitá vlastnost je poruchovost (úmrtnost) l(t) studovaných prvků věku t, určená vztahem l(t)=. Pokud a=1, pak se Weibullovo rozdělení změní na exponenciální rozdělení a pokud a=2 - na tzv. rozdělení Rayleigh.

Matematické očekávání Weibullova rozdělení: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, kde Г(а) je Eulerův funkce.

V různé úkoly V aplikovaných statistikách se často setkáváme s tzv. „zkrácenými“ distribucemi. Daňové úřady se například zajímají o rozdělení příjmů těch fyzických osob, jejichž roční příjem přesahuje určitou hranici c0 stanovenou daňovými zákony. Ukázalo se, že tyto distribuce se přibližně shodují s distribucí Pareto. Paretova distribuce daný funkcemi

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> náhodné proměnné x a monotónní diferencovatelné funkce ..gif" width="200" height="51">

Zde https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Úkol 4. Náhodná veličina je na segmentu rovnoměrně rozložena. Najděte hustotu náhodné veličiny.

Řešení. Z problémových podmínek vyplývá, že

Dále funkce je monotónní a diferencovatelná funkce na intervalu a má inverzní funkci , jehož derivace se rovná Proto,

§ 5. Dvojice spojitých náhodných veličin

Nechť jsou dány dvě spojité náhodné veličiny x a h. Potom dvojice (x, h) definuje „náhodný“ bod v rovině. Zavolá se dvojice (x, h). náhodný vektor nebo dvourozměrná náhodná veličina.

Společná distribuční funkce náhodné proměnné x a ha funkce se nazývá F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. hustota kloubů rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin x a h se nazývá funkce taková, že .

Význam této definice hustoty společného rozložení je následující. Pravděpodobnost, že „náhodný bod“ (x, h) spadne do oblasti v rovině, se vypočítá jako objem trojrozměrného obrazce – „křivočarého“ válce ohraničeného povrchem https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Nejjednodušší příklad společného rozdělení dvou náhodných proměnných je dvourozměrný rovnoměrné rozložení na scéněA. Nechť je dána omezená množina M s plochou. Je definována jako rozložení dvojice (x, h), definované následující hustotou spoje:

Úkol 5. Nechť je uvnitř trojúhelníku rovnoměrně rozmístěn dvourozměrný náhodný vektor (x, h). Vypočítejte pravděpodobnost nerovnosti x>h.

Řešení. Plocha naznačeného trojúhelníku je rovna (viz obr. č.?). Na základě definice dvourozměrného rovnoměrného rozdělení je sdružená hustota náhodných proměnných x, h rovna

Událost odpovídá množině na rovině, tedy polorovině. Pak pravděpodobnost

V polorovině B je hustota spoje nulová mimo množinu https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. polorovina B je rozdělena na dvě množiny a https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> a , a druhý integrál je roven nula, protože hustota spoje je rovna nule. Proto

Pokud je dána hustota společného rozložení pro pár (x, h), pak se hustoty obou složek x a h nazývají soukromé hustoty a vypočítávají se pomocí vzorců:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Pro spojitě rozložené náhodné veličiny s hustotami рx(х), рh(у) nezávislost znamená to

Úkol 6. V podmínkách předchozí úlohy určete, zda jsou složky náhodného vektoru x a h nezávislé?

Řešení. Vypočítejme dílčí hustoty a . My máme:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Je zřejmé, že v našem případě https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> je hustota spojení veličin x a h a j( x, y) je tedy funkcí dvou argumentů

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Úkol 7. V podmínkách předchozí úlohy vypočítejte .

Řešení. Podle výše uvedeného vzorce máme:

.

Reprezentující trojúhelník jako

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Hustota součtu dvou spojitých náhodných veličin

Nechť x ah jsou nezávislé náhodné proměnné s hustotami https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Hustota náhodné proměnné x + h se vypočítá podle vzorce konvoluce

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Vypočítejte hustotu součtu.

Řešení. Protože x a h jsou rozděleny podle exponenciálního zákona s parametrem , jsou jejich hustoty stejné

Proto,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Pokud x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">je negativní, a proto . Pokud tedy https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Tak jsme dostali odpověď:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> je normálně distribuována s parametry 0 a 1. Náhodné proměnné x1 a x2 jsou nezávislé a mají normální rozdělení s parametry a1, respektive a2. Dokažte, že x1 + x2 má normální rozdělení. Náhodné veličiny x1, x2, ... xn jsou rozdělené a nezávislé a mají stejnou funkci hustoty

.

Najděte distribuční funkci a hustotu distribuce hodnot:

a) h1 = min (xl, x2, ...xn); b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Náhodné veličiny x1, x2, ... xn jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na intervalu [a, b]. Najděte distribuční funkce a funkce hustoty rozdělení veličin

x(1) = min (x1,x2, ...xn) a x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Dokažte, že Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Náhodná veličina je rozdělena podle Cauchyho zákona Najděte: a) koeficient a; b) distribuční funkce; c) pravděpodobnost pádu do intervalu (-1, 1). Ukažte, že matematické očekávání x neexistuje. Náhodná veličina podléhá Laplaceovu zákonu s parametrem l (l>0): Najděte koeficient a; konstruovat grafy hustoty distribuce a distribuční funkce; najít Mx a Dx; najít pravděpodobnosti událostí (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Napište vzorec pro hustotu rozdělení, najděte Mx a Dx.

Výpočtové úlohy.

Náhodný bod A má rovnoměrné rozložení v kruhu o poloměru R. Najděte matematické očekávání a rozptyl vzdálenosti r bodu od středu kružnice. Ukažte, že hodnota r2 je na segmentu rovnoměrně rozložena.

Distribuční hustota náhodné veličiny má tvar:

Vypočítejte konstantu C, distribuční funkci F(x) a pravděpodobnost Distribuční hustota náhodné veličiny má tvar:

Vypočítejte konstantu C, distribuční funkci F(x) a pravděpodobnost Distribuční hustota náhodné veličiny má tvar:
Vypočítejte konstantu C, distribuční funkci F(x), , rozptyl a pravděpodobnost Náhodná veličina má distribuční funkci

Vypočítejte hustotu náhodné veličiny, matematické očekávání, rozptyl a pravděpodobnost Zkontrolujte, že funkce =
může být distribuční funkcí náhodné veličiny. Najděte číselné charakteristiky této veličiny: Mx a Dx. Náhodná veličina je na segmentu rovnoměrně rozložena. Zapište hustotu rozložení. Najděte distribuční funkci. Najděte pravděpodobnost dopadu náhodné veličiny na segment a na segment. Distribuční hustota x je rovna

.

Najděte konstantu c, hustotu rozdělení h = a pravděpodobnost

P (0,25

Doba bezporuchového provozu počítače je rozdělena podle exponenciálního zákona s parametrem l = 0,05 (poruchy za hodinu), tj. má funkci hustoty

p(x) = .

Řešení určitého problému vyžaduje bezproblémový provoz stroje po dobu 15 minut. Pokud při řešení problému dojde k selhání, chyba je detekována až po dokončení řešení a problém je vyřešen znovu. Najděte: a) pravděpodobnost, že během řešení úlohy nenastane jediná porucha; b) průměrná doba, za kterou bude problém vyřešen.

Tyč 24 cm dlouhá se rozlomí na dvě části; Budeme předpokládat, že bod zlomu je rozmístěn rovnoměrně po celé délce tyče. Jaká je průměrná délka většiny tyče? Kus o délce 12 cm je náhodně rozřezán na dvě části. Bod řezu je rovnoměrně rozložen po celé délce segmentu. Jaká je průměrná délka malé části segmentu? Náhodná veličina je na segmentu rovnoměrně rozložena. Najděte hustotu rozdělení náhodné veličiny a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(l-x); c) h3 =.

Ukažte, že pokud x má spojitou distribuční funkci

F(x) = P(x

Najděte funkci hustoty a distribuční funkci součtu dvou nezávislých veličin x a h se zákony o rovnoměrném rozdělení na úsecích resp. Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na segmentech resp. Vypočítejte hustotu součtu x+h. Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na segmentech resp. Vypočítejte hustotu součtu x+h. Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na segmentech resp. Vypočítejte hustotu součtu x+h. Náhodné veličiny jsou nezávislé a mají exponenciální rozdělení s hustotou . Najděte hustotu rozdělení jejich součtu. Najděte rozdělení součtu nezávislých náhodných veličin x a h, kde x má rovnoměrné rozdělení na intervalu a h má exponenciální rozdělení s parametrem l. Najděte P , jestliže x má: a) normální rozdělení s parametry a a s2; b) exponenciální rozdělení s parametrem l; c) rovnoměrné rozložení na segmentu [-1;1]. Společné rozdělení x, h je na druhou mocninu rovnoměrné
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Najděte pravděpodobnost . Jsou x a h nezávislé? Dvojice náhodných proměnných x a h je rovnoměrně rozložena uvnitř trojúhelníku K=. Vypočítejte hustoty x a h. Jsou tyto náhodné veličiny nezávislé? Najděte pravděpodobnost. Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené na segmentech a [-1,1]. Najděte pravděpodobnost. Dvourozměrná náhodná veličina (x, h) je rovnoměrně rozložena ve čtverci s vrcholy (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Najděte hodnotu funkce společného rozdělení v bodě (1, -1). Náhodný vektor (x, h) je rovnoměrně rozložen uvnitř kruhu o poloměru 3 se středem v počátku. Napište výraz pro hustotu společného rozdělení. Určete, zda jsou tyto náhodné veličiny závislé. Vypočítejte pravděpodobnost. Dvojice náhodných proměnných x a h je rovnoměrně rozložena uvnitř lichoběžníku s vrcholy v bodech (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Najděte hustotu společného rozdělení pro tuto dvojici náhodných veličin a hustotu složek. Jsou x a h závislé? Náhodný pár (x, h) je rovnoměrně rozmístěn uvnitř půlkruhu. Najděte hustoty x a h, prozkoumejte otázku jejich závislosti. Hustota spojení dvou náhodných veličin x a h je rovna .
Najděte hustoty x, h. Prozkoumejte otázku závislosti x a h. Náhodný pár (x, h) je rovnoměrně rozmístěn na množině. Najděte hustoty x a h, prozkoumejte otázku jejich závislosti. Najděte M(xh). Náhodné veličiny x a h jsou nezávislé a rozdělené podle exponenciálního zákona s parametrem Find

S jehož pomocí je simulováno mnoho reálných procesů. A nejčastějším příkladem je jízdní řád MHD. Předpokládejme, že jde o určitý autobus (trolejbus/tramvaj) jezdí každých 10 minut a zastavíte se v náhodném okamžiku. Jaká je pravděpodobnost, že autobus přijede do 1 minuty? Jednoznačně 1/10. Jaká je pravděpodobnost, že budete muset čekat 4–5 minut? Totéž . Jaká je pravděpodobnost, že budete muset čekat na autobus déle než 9 minut? Jedna desetina!

Uvažujme o některých konečný interval, pro jistotu nechť je to segment. Li náhodná hodnota má konstantní hustota rozdělení pravděpodobnosti na daném segmentu a nulové hustotě mimo něj, pak říkají, že je distribuován rovnoměrně. V tomto případě bude funkce hustoty přesně definována:

Ve skutečnosti, pokud je délka segmentu (viz nákres) je , pak je hodnota nevyhnutelně rovna - takže se získá jednotková plocha obdélníku a je pozorována známá vlastnost:


Pojďme to formálně zkontrolovat:
, atd. Z pravděpodobnostního hlediska to znamená, že náhodná veličina spolehlivě bude mít jednu z hodnot segmentu..., eh, pomalu se ze mě stává nudný stařík =)

Podstatou uniformity je jakákoli vnitřní mezera pevná délka nezvažovali jsme (pamatujte na „autobusové“ minuty)– pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty z tohoto intervalu, bude stejná. Na výkresu mám zastíněny tři takové pravděpodobnosti - to ještě jednou zdůrazňuji jsou určeny oblastmi, nikoli funkční hodnoty!

Podívejme se na typický úkol:

Příklad 1

Spojitá náhodná veličina je určena hustotou její distribuce:

Najděte konstantu, vypočítejte a sestavte distribuční funkci. Vytvářejte grafy. Nalézt

Jinými slovy, vše, o čem byste mohli snít :)

Řešení: protože na intervalu (konečný interval) , pak má náhodná veličina rovnoměrné rozdělení a hodnotu „ce“ lze nalézt pomocí přímého vzorce . Ale je to lepší obecně - pomocí vlastnosti:

...proč je to lepší? Aby nebyly zbytečné otázky ;)

Funkce hustoty je tedy:

Pojďme udělat kresbu. Hodnoty nemožné , a proto jsou níže umístěny tučné tečky:


Pro rychlou kontrolu vypočítejme plochu obdélníku:
, atd.

Pojďme najít očekávaná hodnota, a asi už tušíte, čemu se rovná. Pamatujte na „10minutový“ autobus: pokud náhodně blíží se k zastávce na mnoho a mnoho dní průměrný budete na něj muset 5 minut počkat.

Ano, je to tak - očekávání by mělo být přesně uprostřed intervalu „události“:
, podle očekávání.

Vypočítejme rozptyl pomocí vzorec . A tady potřebujete oko a oko při výpočtu integrálu:

Tím pádem, disperze:

Pojďme skládat distribuční funkce . Tady nic nového:

1) pokud , pak a ;

2) pokud , pak a:

3) a nakonec kdy , Proto:

Jako výsledek:

Udělejme nákres:


Na „živém“ intervalu funguje distribuční funkce rostoucí lineární, a to je další známka toho, že máme rovnoměrně rozloženou náhodnou veličinu. No samozřejmě, koneckonců derivát lineární funkce- existuje konstanta.

Požadovanou pravděpodobnost lze vypočítat dvěma způsoby pomocí nalezené distribuční funkce:

nebo pomocí určitého integrálu hustoty:

Komu se to líbí.

A zde můžete také psát Odpovědět: ,
, jsou grafy sestaveny podle řešení.

... „je to možné“, protože za jeho nepřítomnost obvykle neexistuje žádný trest. Obvykle;)

Existují speciální vzorce pro výpočet jednotné náhodné proměnné, které doporučuji odvodit sami:

Příklad 2

Spojitá náhodná veličina je dána hustotou .

Vypočítejte matematické očekávání a rozptyl. Výsledky co nejvíce zjednodušte (zkrácené násobící vzorce pomoci).

Výsledné vzorce je vhodné použít pro ověření; zejména zkontrolujte problém, který jste právě vyřešili, tím, že do nich dosadíte konkrétní hodnoty „a“ ​​a „b“. Stručné řešení v dolní části stránky.

A na konci lekce se podíváme na několik „textových“ problémů:

Příklad 3

Hodnota dílku stupnice měřicího zařízení je 0,2. Údaje přístroje jsou zaokrouhleny na nejbližší celý dílek. Za předpokladu, že zaokrouhlovací chyby jsou rozloženy rovnoměrně, najděte pravděpodobnost, že při příštím měření nepřekročí 0,04.

Pro lepší pochopení řešení Představme si, že se jedná o nějaké mechanické zařízení se šipkou, např. váhu s hodnotou dílku 0,2 kg, a my musíme vážit prase v pytli. Ne však proto, aby zjistil jeho tloušťku – nyní bude důležité, KDE se šíp zastaví mezi dvěma sousedními divizemi.

Uvažujme náhodnou proměnnou - vzdálenostšipky z nejbližší levá divize. Nebo od nejbližšího doprava, na tom nezáleží.

Složme funkci hustoty pravděpodobnosti:

1) Protože vzdálenost nemůže být záporná, pak na intervalu . Logický.

2) Z podmínky vyplývá, že šipka stupnice s stejná pravděpodobnost může zastavit kdekoli mezi divizemi * , včetně samotných divizí, a tedy na intervalu:

* To je zásadní podmínka. Takže například při vážení kousků vaty nebo kilogramových balení soli bude zachována jednotnost v mnohem užších intervalech.

3) A protože vzdálenost od NEAREST levého dělení nemůže být větší než 0,2, pak je at také rovno nule.

Tím pádem:

Nutno podotknout, že na funkci hustoty se nás nikdo neptal a její kompletní konstrukci jsem prezentoval výhradně v kognitivních řetězcích. Při dokončení úkolu stačí zapsat pouze 2. bod.

Nyní odpovězme na otázku problému. Kdy chyba v zaokrouhlování na nejbližší dílek nepřekročí 0,04? K tomu dojde, když se šipka nezastaví dále než 0,04 od levého dílku napravo nebo ne dále než 0,04 od pravého dělení vlevo, odjet. Na výkresu jsem vystínoval odpovídající oblasti:

Zbývá tyto oblasti najít pomocí integrálů. V zásadě je lze vypočítat „ve školním stylu“ (jako plochy obdélníků), ale jednoduchost není vždy pochopena;)

Podle věta o sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí:

– pravděpodobnost, že chyba zaokrouhlení nepřekročí 0,04 (40 gramů pro náš příklad)

Je snadné vidět, že maximální možná chyba zaokrouhlení je 0,1 (100 gramů) a proto pravděpodobnost, že chyba zaokrouhlení nepřekročí 0,1 rovný jedné.

Odpovědět: 0,4

V jiných zdrojích informací jsou alternativní vysvětlení/formulace tohoto problému a já jsem zvolil možnost, která se mi zdála nejsrozumitelnější. Speciální pozornost je třeba dát pozor na to, že v podmínce můžeme mluvit o chybách NE zaokrouhlování, ale o náhodný chyby měření, které jsou obvykle (ale ne vždy), distribuovány normální zákon. Tím pádem, Jediné slovo může radikálně změnit vaše rozhodnutí! Buďte bdělí a pochopte význam.

A jakmile jde všechno do kruhu, nohy nás přivedou na stejnou autobusovou zastávku:

Příklad 4

Autobusy na určité trase jezdí přesně podle jízdního řádu a každých 7 minut. Sestavte funkci hustoty náhodné veličiny – doby čekání na další autobus cestujícího, který se náhodně přiblížil k zastávce. Najděte pravděpodobnost, že nebude čekat na autobus déle než tři minuty. Najděte distribuční funkci a vysvětlete její smysluplný význam.

Jak již bylo zmíněno, příklady rozdělení pravděpodobnosti spojitá náhodná veličina X jsou:

• rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny;
• exponenciální rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny;
• normální distribuce pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny.

Uveďme pojem zákonů rovnoměrného a exponenciálního rozdělení, pravděpodobnostní vzorce a číselné charakteristiky uvažovaných funkcí.

Index	Zákon o jednotné distribuci	Zákon exponenciálního rozdělení
Definice	Jmenuje se uniforma rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, jejíž hustota zůstává na segmentu konstantní a má tvar	Exponenciální (exponenciální) se nazývá rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, která je popsána hustotou mající tvar
		kde λ je konstantní kladná hodnota
Distribuční funkce
Pravděpodobnost spadající do intervalu
Očekávaná hodnota
Disperze
Standardní odchylka

Příklady řešení úloh na téma „Zákony rovnoměrného a exponenciálního rozdělení“

Úkol 1.

Autobusy jezdí přesně podle jízdního řádu. Interval pohybu 7 min. Najděte: a) pravděpodobnost, že cestující přijíždějící na zastávku bude čekat méně než dvě minuty na další autobus; b) pravděpodobnost, že cestující přijíždějící na zastávku bude čekat nejméně tři minuty na další autobus; c) matematické očekávání a směrodatná odchylka náhodné veličiny X - čekací doba cestujícího.

Řešení. 1. Podle podmínek úlohy spojitá náhodná veličina X = (doba čekání cestujícího) rovnoměrně rozděleno mezi příjezdy dvou autobusů. Délka distribučního intervalu náhodné veličiny X je rovna b-a=7, kde a=0, b=7.

2. Čekací doba bude kratší než dvě minuty, pokud náhodná veličina X spadá do intervalu (5;7). Pravděpodobnost pádu do daného intervalu zjistíme pomocí vzorce: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Čekací doba bude minimálně tři minuty (tj. od tří do sedmi minut), pokud náhodná veličina X spadá do intervalu (0;4). Pravděpodobnost pádu do daného intervalu zjistíme pomocí vzorce: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Matematické očekávání spojité, rovnoměrně rozložené náhodné veličiny X – čekací doby cestujícího – se zjistí pomocí vzorce: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Směrodatnou odchylku spojité, rovnoměrně rozložené náhodné veličiny X – čekací doby cestujícího – zjistíme pomocí vzorce: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Úkol 2.

Exponenciální rozdělení je dáno pro x ≥ 0 hustotou f(x) = 5e – 5x. Požadováno: a) napsat výraz pro distribuční funkci; b) najděte pravděpodobnost, že v důsledku testu X spadá do intervalu (1;4); c) najděte pravděpodobnost, že jako výsledek testu X ≥ 2; d) vypočítejte M(X), D(X), σ(X).

Řešení. 1. Jelikož podmínka je dána exponenciální distribuce , pak ze vzorce pro hustotu rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X získáme λ = 5. Pak bude mít distribuční funkce tvar:

2. Pravděpodobnost, že v důsledku testu X spadne do intervalu (1;4), zjistíme vzorcem:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Pravděpodobnost, že v důsledku testu bude X ≥ 2 nalezeno podle vzorce: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Najděte exponenciální rozdělení:

• matematické očekávání podle vzorce M(X) = 1/λ = 1/5 = 0,2;
• rozptyl podle vzorce D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• směrodatná odchylka podle vzorce σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Tato problematika byla dlouho podrobně studována a nejpoužívanější metodou je metoda polárních souřadnic, kterou v roce 1958 navrhli George Box, Mervyn Muller a George Marsaglia. Tato metoda vám umožňuje získat pár nezávislých normálně rozdělených náhodných proměnných s matematickým očekáváním 0 a rozptylem 1 takto:

Kde Z 0 a Z 1 jsou požadované hodnoty, s = u 2 + v 2 a u a v jsou náhodné proměnné rovnoměrně rozložené na intervalu (-1, 1), vybrané tak, aby byla splněna podmínka 0< s < 1.
Mnoho lidí používá tyto vzorce bez přemýšlení a mnozí ani netuší, že existují, protože používají hotové implementace. Ale jsou lidé, kteří mají otázky: „Odkud se vzal tento vzorec? A proč dostáváte několik kusů najednou?" Dále se pokusím na tyto otázky dát jasnou odpověď.

Pro začátek mi dovolte připomenout, co je hustota pravděpodobnosti, distribuční funkce náhodné veličiny a inverzní funkce. Předpokládejme, že existuje určitá náhodná veličina, jejíž rozdělení je určeno funkcí hustoty f(x), která má následující tvar:

To znamená, že pravděpodobnost, že hodnota dané náhodné veličiny bude v intervalu (A, B), se rovná ploše stínované oblasti. A v důsledku toho musí být plocha celé stínované oblasti rovna jedné, protože v každém případě bude hodnota náhodné proměnné spadat do oblasti definice funkce f.
Distribuční funkce náhodné veličiny je integrálem funkce hustoty. A v tomto případě bude jeho přibližný vzhled vypadat takto:

Znamená to, že hodnota náhodné proměnné bude menší než A s pravděpodobností B. V důsledku toho funkce nikdy neklesá a její hodnoty leží v intervalu.

Inverzní funkce je funkce, která vrací argument původní funkci, pokud je do ní předána hodnota původní funkce. Například pro funkci x 2 je inverzní funkcí extrahování odmocniny, pro sin(x) je to arcsin(x) atd.

Protože většina generátorů pseudonáhodných čísel produkuje jako výstup pouze rovnoměrné rozdělení, často je potřeba jej převést na jiné. V tomto případě na normální Gaussian:

Základem všech metod pro transformaci rovnoměrného rozdělení na jakékoli jiné je metoda inverzní transformace. Funguje následovně. Je nalezena funkce, která je inverzní k funkci požadovaného rozdělení, a jako argument se do ní předá náhodná veličina rovnoměrně rozložená na intervalu (0, 1). Na výstupu získáme hodnotu s požadovaným rozdělením. Pro přehlednost uvádím následující obrázek.

Rovnoměrný segment je tedy jakoby rozmazaný v souladu s novým rozložením, promítnutý na jinou osu prostřednictvím inverzní funkce. Problém je ale v tom, že integrál hustoty Gaussova rozdělení není snadné vypočítat, takže výše uvedení vědci museli podvádět.

Existuje chí-kvadrát rozdělení (Pearsonovo rozdělení), což je rozdělení součtu čtverců k nezávislých normálních náhodných veličin. A v případě, kdy k = 2, je toto rozdělení exponenciální.

To znamená, že pokud má bod v pravoúhlém souřadnicovém systému náhodné souřadnice X a Y rozložené normálně, pak po převodu těchto souřadnic na polární systém (r, θ) se čtverec poloměru (vzdálenost od počátku k bodu) bude rozdělena podle exponenciálního zákona, protože druhá mocnina poloměru je součtem druhých mocnin souřadnic (podle Pythagorova zákona). Hustota rozložení takových bodů v rovině bude vypadat takto:

Protože je ve všech směrech stejný, bude mít úhel θ rovnoměrné rozložení v rozsahu od 0 do 2π. Platí to i obráceně: pokud definujete bod v polárním souřadnicovém systému pomocí dvou nezávislých náhodných proměnných (úhel rozdělený rovnoměrně a poloměr rozdělený exponenciálně), pak budou pravoúhlé souřadnice tohoto bodu nezávislé normální náhodné proměnné. A je mnohem jednodušší získat exponenciální rozdělení z jednotného pomocí stejné metody inverzní transformace. To je podstata polární Box-Mullerovy metody.
Nyní odvodíme vzorce.

(1)

Pro získání r a θ je nutné vygenerovat dvě náhodné veličiny rovnoměrně rozložené na intervalu (0, 1) (říkejme jim u a v), z nichž rozdělení jedné (řekněme v) je nutné převést na exponenciální na získat poloměr. Funkce exponenciálního rozdělení vypadá takto:

Jeho inverzní funkce je:

Protože rovnoměrné rozdělení je symetrické, bude transformace fungovat podobně s funkcí

Z vzorce rozdělení chí-kvadrát vyplývá, že λ = 0,5. Dosaďte λ, v do této funkce a získejte druhou mocninu poloměru a poté samotný poloměr:

Úhel získáme natažením jednotkového segmentu na 2π:

Nyní dosadíme r a θ do vzorců (1) a dostaneme:

(2)

Tyto vzorce jsou již připraveny k použití. X a Y budou nezávislé a normálně rozdělené s rozptylem 1 a matematickým očekáváním 0. K získání rozdělení s jinými charakteristikami stačí vynásobit výsledek funkce směrodatnou odchylkou a přidat matematické očekávání.
Ale je možné se zbavit goniometrických funkcí zadáním úhlu nikoli přímo, ale nepřímo přes pravoúhlé souřadnice náhodného bodu v kruhu. Pomocí těchto souřadnic pak bude možné vypočítat délku vektoru poloměru a poté najít kosinus a sinus tak, že jimi vydělíme x a y. Jak a proč to funguje?
Vyberme náhodný bod z těch, které jsou rovnoměrně rozmístěny v kružnici o jednotkovém poloměru a označme druhou mocninu délky vektoru poloměru tohoto bodu písmenem s:

Výběr se provádí zadáním náhodných pravoúhlých souřadnic x a y, rovnoměrně rozložených v intervalu (-1, 1), a vyřazením bodů, které do kruhu nepatří, a také centrálního bodu, ve kterém je úhel vektoru poloměru není definováno. To znamená, že musí být splněna podmínka 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Dostaneme vzorce jako na začátku článku. Nevýhodou této metody je vyřazení bodů, které nejsou zahrnuty v kruhu. Tedy za použití pouze 78,5 % vygenerovaných náhodných proměnných. Na starších počítačích byl nedostatek trigonometrických funkcí stále velkou výhodou. Nyní, když jeden příkaz procesoru vypočítá sinus i kosinus v okamžiku, myslím, že tyto metody mohou stále konkurovat.

Osobně mám ještě dvě otázky:

• Proč je hodnota s rozložena rovnoměrně?
• Proč je součet druhých mocnin dvou normálních náhodných proměnných distribuován exponenciálně?

Protože s je druhá mocnina poloměru (pro zjednodušení říkám poloměru délce vektoru poloměru, který určuje polohu náhodného bodu), nejprve zjistíme, jak jsou poloměry rozděleny. Protože je kružnice vyplněna rovnoměrně, je zřejmé, že počet bodů o poloměru r je úměrný délce kružnice o poloměru r. A obvod kruhu je úměrný poloměru. To znamená, že hustota rozložení poloměrů se rovnoměrně zvyšuje od středu kruhu k jeho okrajům. A funkce hustoty má tvar f(x) = 2x na intervalu (0, 1). Koeficient 2, takže plocha obrázku pod grafem je rovna jedné. Když je taková hustota na druhou, stane se stejnoměrnou. Protože teoreticky je v tomto případě nutné vydělit funkci hustoty její derivací transformační funkce (tj. x 2). A zjevně se to děje takto:

Pokud se podobná transformace provede pro normální náhodnou veličinu, pak se funkce hustoty její čtverce ukáže být podobná hyperbole. A sčítání dvou čtverců normálních náhodných veličin je mnohem složitější proces spojený s dvojitou integrací. A to, že výsledkem bude exponenciální rozdělení, si osobně musím ověřit pouze praktickou metodou nebo přijmout jako axiom. A pro ty, kteří mají zájem, navrhuji, aby se na toto téma podívali blíže a získali znalosti z těchto knih:

• Ventzel E.S. Teorie pravděpodobnosti
• Knut D.E. Umění programování, svazek 2

Na závěr uvádíme příklad implementace normálně distribuovaného generátoru náhodných čísel v JavaScriptu:

Funkce Gauss() ( var ready = false; var second = 0,0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == nedefinováno ? 0,0: mean; dev = dev == nedefinováno ? 1,0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1,0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1,0 || s == 0,0); var r = Math.sqrt(-2,0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // vytvoření objektu a = g.next(); // vygeneruje pár hodnot a získá první b = g.next(); // získáme druhé c = g.next(); // vygenerujte znovu pár hodnot a získejte první
Parametry mean (matematické očekávání) a dev (směrodatná odchylka) jsou volitelné. Upozorňuji na skutečnost, že logaritmus je přirozený.