Řešení problémů v 8. já

cíle:

• Vzdělávací: zopakovat základní vzorce a pravidla derivace, geometrický význam derivace; formovat dovednost komplexní aplikace znalosti, dovednosti, schopnosti a jejich přenos do nových podmínek; otestovat znalosti, dovednosti a schopnosti studentů na toto téma v rámci přípravy na jednotnou státní zkoušku.
• Vývojový: podporovat rozvoj mentálních operací: analýza, syntéza, zobecnění; formování dovedností sebeúcty.
• Vzdělávací: podporovat touhu po neustálém zlepšování svých znalostí

Zařízení:

• Multimediální projektor.

Typ lekce: systematizace a zobecnění.
Rozsah znalostí: dvě lekce (90 min.)
Očekávaný výsledek: Učitelé využívají nabyté znalosti v praktické aplikaci, rozvíjejí komunikační, tvůrčí a vyhledávací dovednosti a schopnost analyzovat zadaný úkol.

Struktura lekce:

1. Org. Moment, aktualizace znalostí nezbytných pro řešení praktické úkoly z materiálů jednotné státní zkoušky.
2. Praktická část (testování znalostí studentů).
3. Reflexe, kreativní domácí úkol

Průběh konzultace

I. Organizační moment.

Sdělení tématu lekce, cíle lekce, motivace vzdělávací aktivity(prostřednictvím vytvoření problematické teoretické znalostní báze).

II. Aktualizace subjektivních zkušeností studentů a jejich znalostí.

Projděte si pravidla a definice.

1) je-li v bodě funkce spojitá a derivace v něm změní znaménko z plus na mínus, pak je to maximální bod;

2) pokud je v bodě funkce spojitá a derivace v něm změní znaménko z mínus na plus, pak je to minimální bod.

• Kritické body – jedná se o vnitřní body definičního oboru funkce, ve kterých derivace neexistuje nebo je rovna nule.
• Dostatečná známka nárůstu, klesající funkcí .
• Pokud f "(x)>0 pro všechna x z intervalu (a; b), pak funkce na intervalu (a; b) roste.
• Pokud f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

• Algoritmus pro nalezení největšího a nejmenší hodnoty funkce na segmentu [a;b], pokud je dán graf derivace funkce:

Pokud je derivace na segmentu kladná, pak a je nejmenší hodnota, b je největší hodnota.

Pokud je derivace na segmentu záporná, pak a je největší a b je nejmenší hodnota.

Geometrický význam derivace je následující. Pokud je možné nakreslit tečnu ke grafu funkce y = f(x) v bodě s úsečkou x0, který není rovnoběžný s osou y, pak f "(x0) vyjadřuje sklon tečny: k = f "(x0). Protože κ = tanα, platí rovnost f "(x0) = tanα

Uvažujme tři případy:

1. Tečna nakreslená ke grafu funkce svírala s osou OX ostrý úhel, tzn. α< 90º. Производная положительная.
2. Tečna svírala s osou OX tupý úhel, tzn. α > 90º. Derivát je záporný.
3. Tečna je rovnoběžná s osou OX. Derivace je nula.

Cvičení 1. Obrázek ukazuje graf funkcí y = f(x) a tečna k tomuto grafu nakreslená v bodě s úsečkou -1. Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x0 = -1

Řešení: a) Tečna nakreslená ke grafu funkce svírá s osou OX tupý úhel. Pomocí redukčního vzorce najdeme tangens tohoto úhlu tg(180º - α) = - tanα. To znamená f "(x) = - tanα. Z toho, co jsme studovali dříve, víme, že tečna se rovná poměru protilehlé strany k sousední straně.

K tomu postavíme pravoúhlý trojúhelník tak, aby vrcholy trojúhelníku byly ve vrcholech buněk. Počítáme buňky opačné strany a sousední. Rozdělte opačnou stranu sousední stranou. (Snímek 44)

b) Tečna nakreslená ke grafu funkce svírá s osou OX ostrý úhel.

f "(x)= tgα. Odpověď bude kladná. (Snímek 30)

Cvičení 2. Obrázek ukazuje graf derivát funkce f(x), definovaná na intervalu (-4; 13). Najděte intervaly, ve kterých funkce klesá. Ve své odpovědi uveďte délku největšího z nich.

Řešení: f "(x)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

Praktická část.
35 min. Připravené snímky vyžadují teoretické znalosti k tématu lekce. Účelem slidů je umožnit studentům zdokonalit a prakticky aplikovat znalosti.
Pomocí snímků můžete:
- frontální průzkum (berou se v úvahu individuální charakteristiky studentů);
- je objasněna informační formulace hlavních pojmů, vlastností, definic;
- algoritmus pro řešení problémů. Studenti musí odpovídat na snímky.

IV. Individuální práce. Řešení problémů pomocí snímků.

V. Shrnutí lekce, reflexe.

Řešení. Maximální počet bodů odpovídá bodům, kde se znaménko derivace mění z plus na mínus. Na úsečce má funkce dva maximální body x = 4 a x = 4. Odpověď: 2. Obrázek ukazuje graf derivace funkce f(x), definované na intervalu (10; 8). Najděte počet maximálních bodů funkce f(x) na segmentu.

Řešení. Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x), definované na intervalu (1; 12). Určete počet celočíselných bodů, ve kterých je derivace funkce záporná. Derivace funkce je záporná na těch intervalech, na kterých funkce klesá, tj. na intervalech (0,5; 3), (6; 10) a (11; 12). Obsahují celé body 1, 2, 7, 8 a 9. Celkem je 5 bodů. Odpověď: 5.

Obrázek ukazuje graf derivace funkce f(x), definované na intervalu (10; 4). Najděte intervaly poklesu funkce f(x). Ve své odpovědi uveďte délku největšího z nich. Řešení. Klesající intervaly funkce f(x) odpovídají intervalům, na kterých je derivace funkce záporná, tj. intervalu (9; 6) délky 3 a intervalu (2; 3) délky 5. délka největšího z nich je 5. Odpověď: 5.

Obrázek ukazuje graf derivace funkce f(x), definované na intervalu (7; 14). Najděte počet maximálních bodů funkce f(x) na segmentu. Řešení. Maximální počet bodů odpovídá bodům, kde se derivační znaménko mění z kladného na záporné. Na úsečce má funkce jeden maximální bod x = 7. Odpověď: 1.

Obrázek ukazuje graf derivace funkce f(x), definované na intervalu (8; 6). Najděte intervaly nárůstu funkce f(x). Ve své odpovědi uveďte délku největšího z nich. Řešení. Intervaly nárůstu funkce f(x) odpovídají intervalům, na kterých je derivace funkce kladná, tedy intervalům (7; 5), (2; 5). Největší z nich je interval (2; 5), jehož délka je 3.

Obrázek ukazuje graf derivace funkce f(x), definované na intervalu (7; 10). Najděte počet minimálních bodů funkce f(x) na úsečce. Řešení. Minimální počet bodů odpovídá bodům, kde se znaménko derivace mění z mínus na plus. Na úsečce má funkce jeden minimální bod x = 4. Odpověď: 1.

Obrázek ukazuje graf derivace funkce f(x), definované na intervalu (16; 4). Najděte počet extrémních bodů funkce f(x) na segmentu. Řešení. Extrémní body odpovídají bodům, kde se mění znaménko derivace a nulám derivace zobrazeným v grafu. Derivace zaniká v bodech 13, 11, 9, 7. Funkce má na segmentu 4 extrémní body. Odpověď: 4.

Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x), definované na intervalu (2; 12). Najděte součet extrémních bodů funkce f(x). Řešení. Daná funkce má maxima v bodech 1, 4, 9, 11 a minima v bodech 2, 7, 10. Součet bodů extrému je tedy = 44. Odpověď: 44.

Na obrázku je graf funkce y=f(x) a tečna k ní v bodě s úsečkou x 0. Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x 0. Řešení. Hodnota derivace v bodě tečnosti se rovná sklonu tečny, která se zase rovná tečně úhlu sklonu této tečny k ose úsečky. Sestrojme trojúhelník s vrcholy v bodech A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Úhel sklonu tečny k ose x se bude rovnat úhlu sousedícímu s úhlem ACB

Na obrázku je graf funkce y = f(x) a tečna k tomuto grafu v bodě úsečky rovné 3. Najděte hodnotu derivace této funkce v bodě x = 3. K řešení použijeme geometrický význam derivace: hodnota derivace funkce v bodě je rovna sklonu tečny ke grafu této funkce nakreslenému v tomto bodě. Úhel tečny je roven tečně úhlu mezi tečnou a kladným směrem osy x (tg α). Úhel α = β, jako příčné úhly s rovnoběžnými přímkami y=0, y=1 a sečna-tečna. Pro trojúhelník ABC

Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x 0. Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x 0. Na základě vlastnosti tečny, vzorec pro tečnu k funkci f(x) v bodě x 0 je roven y=f (x 0) x+b, b=konst Obrázek ukazuje, že tečna k funkci f( x) v bodě x 0 prochází body (-3;2), (5,4). Můžeme tedy vytvořit soustavu rovnic

Prameny

Individuální lekce přes SKYPE o efektivním online školení na Jednotnou státní zkoušku z matematiky.

Problémy typu B8 jsou problémy s aplikací derivačních funkcí. Cíle v úkolech:

• najít derivaci v určitém bodě
• určete extrémy funkce, maximální a minimální body
• intervaly zvyšování a snižování

Podívejme se na pár příkladů. Úkol v8.1: obrázek ukazuje graf funkce y=f (x) a tečnu k ní v bodě s úsečkou x0. Najděte hodnotu derivace funkce y=f (x) v bodě x0.

Trochu teorie. Pokud tečna roste, bude derivace kladná, a pokud tečna klesá, derivace bude záporná. Derivace funkce y’= tgА, kde A je úhel sklonu tečny k ose X

Řešení: v našem příkladu je tečna rostoucí, což znamená, že derivace bude kladná. Uvažujme pravoúhlý trojúhelník ABC a najděte z něj tan A = BC/AB, kde BC je vzdálenost mezi charakteristickými body podél osy y, AB je vzdálenost mezi body podél osy x. Charakteristické body na grafu jsou zvýrazněny tučnými tečkami a označeny písmeny A a C. Charakteristické body musí být jasné a úplné. Z grafu je zřejmé, že AB = 5+3 = 8 a slunce = 3-1 = 2,

tgα= BC/AB=2/8=1/4=0,25, tedy derivace y’=0,25

Odpovědět: 0,25

Úkol B8.2 Obrázek ukazuje graf funkce y=f(x), definované na intervalu (-9;4). Najděte součet úseček extrémních bodů funkcí f(x)

Řešení: Nejprve si definujme, co jsou extrémní body? To jsou body, ve kterých derivace mění své znaménko na opačné, jinými slovy všechny „kopce“ a „údolí“. V našem příkladu máme 4 „kopce“ a 4 „údolí“. Přesuňte všechny body „krajiny“ na osu X a najděte hodnotu úsečky, nyní sečtěte celou hodnotu těchto bodů podél osy X

dostaneme -8-7-5-3-2+0+1+3=-21

Odpovědět: -21

podívejte se na videonávod, jak tento úkol vyřešit

Řešení úloh B8 pomocí materiálů otevřená bankaÚlohy ke státní zkoušce z matematiky 2012 Přímka y = 4x + 11 je rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce y = x2 + 8x + 6. Najděte úsečku tečného bodu č. 1 Řešení: Pokud přímka je v nějakém bodě rovnoběžná s tečnou ke grafu funkce (říkejme tomu xo), pak její sklon (v našem případě k = 4 z rovnice y = 4x +11) je roven hodnotě derivace funkce funkce v bodě xo: k = f ′(xo) = 4Derivace funkce f′(x) = (x2+8x + 6) ′= 2x +8. To znamená, že pro nalezení požadovaného bodu tečnosti je nutné, aby 2xo + 8 = 4, z čehož xo = – 2. Odpověď: – 2. Přímka y = 3x + 11 je tečnou ke grafu

funkce y = x3−3x2− 6x + 6.

Najděte úsečku tečného bodu.

č. 2 Řešení: Všimněte si, že pokud je přímka tečnou ke grafu, pak se její sklon (k = 3) musí rovnat derivaci funkce v bodě tečnosti, ze které máme Zx2 − 6x − 6 = 3 , tedy Zx2 − 6x − 9 = 0 nebo x2 − 2x − 3 = 0. Tato kvadratická rovnice má dva kořeny: −1 a 3. Existují tedy dva body, ve kterých tečna ke grafu funkce y = x3 − 3x2 − 6x + 6 má sklon rovný 3. Abychom určili, který z těchto dvou bodů se přímka y = 3x + 11 dotýká grafu funkce, vypočítáme hodnoty funkce v těchto bodech. body a zkontrolujte, zda splňují rovnici tečny. Hodnota funkce v bodě −1 je y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8 a hodnota v bodě 3 je y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Všimněte si, že bod se souřadnicemi (−1; 8) splňuje rovnici tečny, protože 8 = −3 + 11. Ale bod (3; −12) nesplňuje rovnici tečny, protože −12 ≠ 9 + 11. znamená, že požadovaná úsečka tečného bodu je −1. Odpověď: −1 Na obrázku je graf y = f ′(x) – derivace funkce f(x), definované na intervalu (–10; 8). V jakém bodě segmentu [–8; –4] funkce f(x) má nejmenší hodnotu č. 3 Řešení: Všimněte si, že na segmentu [–8; –4] derivace funkce je záporná, což znamená, že funkce samotná je klesající, což znamená, že na tomto segmentu nabývá nejmenší hodnoty na pravém konci segmentu, tedy v bodě –4.у = f ′(x) f(x) –Odpověď: –4 .Na obrázku je graf y = f ′(x) – derivace funkce f(x), definované na intervalu (–8; 8). Najděte počet extrémních bodů funkce f(x) patřících segmentu [– 6; 6].č. 4Řešení: V extrémním bodě je derivace funkce rovna 0 nebo neexistuje. Je vidět, že existují takové body patřící do segmentu [–6; 6] tři. V tomto případě derivace v každém bodě změní znaménko buď z „+“ na „–“, nebo z „–“ na „+“.у = f ′(x) ++––Odpověď: 3. graf у = f ′(x) – derivace funkce f(x), definované na intervalu (–8; 10). Najděte krajní bod funkce f(x) na intervalu (– 4; 8) č. 5. Řešení: Všimněte si, že na intervalu (–4; 8) se derivace v bodě xo = 4 změní na 0 a při průchodu tímto bodem se derivace znaménka změní z „–“ na „+“, bod 4 je požadovaný extrémní bod funkce na daném intervalu. y = f ′(x) +–Odpověď: 4. Na obrázku je graf y = f ′(x) – derivace funkce f(x), definované na intervalu (–8; 8). Najděte počet bodů, ve kterých je tečna ke grafu funkce f(x) rovnoběžná s přímkou ​​y = –2x + 2 nebo se s ní shoduje č. 6 Řešení: Je-li tečna ke grafu funkce f (x) je rovnoběžná s přímkou ​​y = –2x+ 2 nebo se s ní shoduje, pak její sklon k = –2, což znamená, že musíme najít počet bodů, ve kterých je derivace funkce f ′(x) = – 2. K tomu nakreslete na derivačním grafu přímku y = –2 a spočítejte počet bodů na derivačním grafu ležících na této přímce. Takové body jsou 4. y = f ′(x) y = –2Odpověď: 4. Obrázek ukazuje graf funkce y = f(x), definované na intervalu (–6; 5). Určete počet celočíselných bodů, ve kterých je derivace funkce záporná č. 7y Řešení: Všimněte si, že derivace funkce je záporná, pokud je samotná funkce f(x) klesající, což znamená, že je nutné najít číslo celočíselných bodů zahrnutých v intervalech klesající funkce. Těchto bodů je 6: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x ) x–6–45–1–20–33Odpověď: 6. Na obrázku je graf funkce y = f(x), definované na intervalu (–6; 6).Najděte počet bodů, ve kterých tečna k graf funkce je rovnoběžný s přímkou ​​y = –5. č. 8yŘešení: Přímka y = −5 je vodorovná, což znamená, že pokud je s ní tečna ke grafu funkce rovnoběžná, pak je také vodorovná. V důsledku toho je sklon v požadovaných bodech k = f′(x)= 0. V našem případě se jedná o extrémní body. Těchto bodů je 6. ho na úsečce xo. Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě xo. č. 9 Řešení: Hodnota derivace funkce f′(хo) = tanα = k k rovnoúhlému koeficientu tečny nakreslené ke grafu této funkce v daném bodě. V našem případě k > 0, protože α je ostrý úhel (tgα > 0) Pro zjištění úhlového koeficientu zvolíme dva body A a B ležící na tečně, jejichž úsečky a pořadnice jsou celá čísla. Nyní určíme modul úhlového koeficientu. K tomu sestrojíme trojúhelník ABC. tgα =ВС: AC = 5: 4 = 1,25 у = f(x) Вα5хоαС4АOdpověď: 1,25 Na obrázku je graf funkce у = f(x), definované na intervalu (–10; 2) a tečně k je v bodě s úsečkou xo. Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě xo. č. 10Řešení: Hodnota derivace funkce f′(хo) = tanα = k k rovnoúhlému koeficientu tečny nakreslené ke grafu této funkce v daném bodě. V našem případě k< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, přímočarý pohyb provedená podle zákona x = x(t), je rovna hodnotě derivace funkce xnput = to, požadovaná rychlost bude x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ (6) = 6 – 2 = 4 m/s Odpověď: 4. Hmotný bod se pohybuje přímočaře podle zákona x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, kde x je vzdálenost od referenčního bodu v metrech, t je čas v sekundách, měřený od začátku pohybu. V jakém časovém okamžiku (v sekundách) byla jeho rychlost rovna 4 m/s?č.16 Řešení. Protože okamžitá rychlost bodu v čase to, přímočarého pohybu provedeného podle zákona x = x(t), je rovna hodnotě derivace funkce xnput = to, bude požadovaná rychlost x ′(to) = 0,5 ∙ 2 až – 2 = až – 2, Protože podle podmínky, x ′(do) = 4, pak do – 2 = 4, odkud do = 4 + 2 = 6 m/s Odpověď: 6. Na obrázku je graf funkce y = f(x), definované na intervalu (– 8; 6).Najděte součet extrémních bodů funkce f(x).č. 17Řešení: Extrémní body jsou minimální a maximální body. Je vidět, že takových bodů patřících do intervalu (–8; 6) je pět. Najděte součet jejich úseček: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Odpověď: 6. Na obrázku je graf derivace y = f ′ (x) – funkce f (x), definovaná na intervalu (–10; 8). Najděte intervaly rostoucí funkce f(x). Ve své odpovědi uveďte součet celočíselných bodů zahrnutých v těchto intervalech. Řešení: Všimněte si, že funkce f(x) roste, je-li derivace funkce kladná; to znamená, že je nutné najít součet celočíselných bodů obsažených v intervalech rostoucí funkce. Těchto bodů je 7: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x = 6, x = 7. Jejich součet: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Odpověď: 20. Použité materiály

Jednotná státní zkouška 2012. Matematika. Problém B8. Geometrický význam derivace. pracovní sešit/ Ed. A.L. Semenov a I.V. Jaščenko. 3. vyd. stereotyp. − M.: MTsNMO, 2012. − 88 s.

http://mathege.ru/or/ege/Main− Materiály otevřené banky úloh z matematiky 2012