La construcción de gráficas de funciones que contienen módulos suele causar considerables dificultades a los escolares. Sin embargo, no todo es tan malo. Basta recordar algunos algoritmos para resolver este tipo de problemas, y podrá construir fácilmente un gráfico incluso para los más aparentemente función compleja. Averigüemos qué tipo de algoritmos son estos.
1. Trazar una gráfica de la función y = |f(x)|
Tenga en cuenta que el conjunto de valores de la función y = |f(x)| : y ≥ 0. Por lo tanto, las gráficas de tales funciones siempre están ubicadas completamente en el semiplano superior.
Trazar una gráfica de la función y = |f(x)| consta de los siguientes cuatro sencillos pasos.
1) Construya con cuidado y cuidado una gráfica de la función y = f(x).
2) Deje sin cambios todos los puntos del gráfico que están encima o en el eje 0x.
3) Muestre la parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x simétricamente con respecto al eje 0x.
Ejemplo 1. Dibuja una gráfica de la función y = |x 2 – 4x + 3|
1) Construimos una gráfica de la función y = x 2 – 4x + 3. Obviamente, la gráfica de esta función es una parábola. Encontremos las coordenadas de todos los puntos de intersección de la parábola con los ejes de coordenadas y las coordenadas del vértice de la parábola.
x2 – 4x + 3 = 0.
x1 = 3, x2 = 1.
Por lo tanto, la parábola corta al eje 0x en los puntos (3, 0) y (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Por lo tanto, la parábola corta al eje 0y en el punto (0, 3).
Coordenadas del vértice de la parábola:
x pulg = -(-4/2) = 2, y pulg = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Por tanto, el punto (2, -1) es el vértice de esta parábola.
Dibuja una parábola usando los datos obtenidos. (Figura 1)
2) La parte del gráfico que se encuentra debajo del eje 0x se muestra simétricamente con respecto al eje 0x.
3) Obtenemos una gráfica de la función original ( arroz. 2, mostrado en línea de puntos).
2. Graficar la función y = f(|x|)
Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = f(|x|) son pares:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Esto significa que las gráficas de tales funciones son simétricas con respecto al eje 0y.
Trazar una gráfica de la función y = f(|x|) consta de la siguiente cadena simple de acciones.
1) Grafica la función y = f(x).
2) Dejar aquella parte de la gráfica para la cual x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica ubicada en el semiplano derecho.
3) Visualice la parte del gráfico especificada en el punto (2) simétricamente al eje 0y.
4) Como gráfica final, seleccione la unión de las curvas obtenidas en los puntos (2) y (3).
Ejemplo 2. Dibuja una gráfica de la función y = x 2 – 4 · |x| + 3
Dado que x 2 = |x| 2, entonces la función original se puede reescribir de la siguiente forma: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Ahora podemos aplicar el algoritmo propuesto anteriormente.
1) Construimos cuidadosa y cuidadosamente una gráfica de la función y = x 2 – 4 x + 3 (ver también arroz. 1).
2) Dejamos aquella parte de la gráfica para la que x ≥ 0, es decir, la parte de la gráfica situada en el semiplano derecho.
3) Pantalla lado derecho Los gráficos son simétricos al eje 0y.
(Fig. 3).
Ejemplo 3. Dibuja una gráfica de la función y = log 2 |x|
Aplicamos el esquema dado anteriormente.
1) Grafica la función y = log 2 x (Figura 4).
3. Trazar la función y = |f(|x|)|
Tenga en cuenta que las funciones de la forma y = |f(|x|)| también están igualados. De hecho, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), y por lo tanto, sus gráficas son simétricas con respecto al eje 0y. El conjunto de valores de tales funciones: y ≥ 0. Esto significa que las gráficas de tales funciones están ubicadas completamente en el semiplano superior.
Para trazar la función y = |f(|x|)|, necesitas:
1) Construya con cuidado una gráfica de la función y = f(|x|).
2) Deje sin cambios la parte del gráfico que está encima o en el eje 0x.
3) Muestre la parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x simétricamente con respecto al eje 0x.
4) Como gráfica final, seleccione la unión de las curvas obtenidas en los puntos (2) y (3).
Ejemplo 4. Dibuja una gráfica de la función y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Tenga en cuenta que x 2 = |x| 2. Esto significa que en lugar de la función original y = -x 2 + 2|x| - 1
puedes usar la función y = -|x| 2 + 2|x| – 1, ya que sus gráficas coinciden.
Construimos una gráfica y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Para ello utilizamos el algoritmo 2.
a) Grafica la función y = -x 2 + 2x – 1 (Figura 6).
b) Dejamos esa parte de la gráfica que se ubica en el semiplano derecho.
c) Mostramos la parte resultante del gráfico simétricamente al eje 0y.
d) La gráfica resultante se muestra en la línea de puntos de la figura. (Figura 7).
2) No hay puntos sobre el eje 0x; dejamos los puntos en el eje 0x sin cambios.
3) La parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x se muestra simétricamente con respecto a 0x.
4) El gráfico resultante se muestra en la figura con una línea de puntos. (Figura 8).
Ejemplo 5. Grafica la función y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Primero necesitas trazar la función y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Para ello volvemos al Algoritmo 2.
a) Trace cuidadosamente la función y = (2x – 4) / (x + 3) (Figura 9).
Darse cuenta de esta función es lineal fraccional y su gráfica es una hipérbola. Para trazar una curva, primero necesitas encontrar las asíntotas de la gráfica. Horizontal – y = 2/1 (la relación de los coeficientes de x en el numerador y denominador de la fracción), vertical – x = -3.
2) Dejaremos sin cambios esa parte del gráfico que está encima del eje 0x o sobre él.
3) La parte del gráfico ubicada debajo del eje 0x se mostrará simétricamente con respecto a 0x.
4) El gráfico final se muestra en la figura. (Figura 11).
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Lección sobre el tema: "Gráfica y propiedades de la función $y=x^3$. Ejemplos de trazado de gráficas"
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Propiedades de la función $y=x^3$
Describamos las propiedades de esta función:
1. x es una variable independiente, y es una variable dependiente.
2. Dominio de definición: es obvio que para cualquier valor del argumento (x) se puede calcular el valor de la función (y). En consecuencia, el dominio de definición de esta función es la recta numérica completa.
3. Rango de valores: y puede ser cualquier cosa. En consecuencia, el rango de valores es también la recta numérica completa.
4. Si x= 0, entonces y= 0.
Gráfica de la función $y=x^3$
1. Creemos una tabla de valores:
2. Para valores positivos de x, la gráfica de la función $y=x^3$ es muy similar a una parábola, cuyas ramas están más "presionadas" hacia el eje OY.
3. Dado que para valores negativos de x la función $y=x^3$ tiene valores opuestos, la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen.
Ahora marquemos los puntos en el plano de coordenadas y construyamos una gráfica (ver Fig. 1).
Esta curva se llama parábola cúbica.
Ejemplos
I. En un barco pequeño se acabó por completo. agua dulce. Es necesario traer suficiente agua de la ciudad. El agua se pide con antelación y se paga por un cubo lleno, aunque lo llenes un poco menos. ¿Cuántos cubos debo pedir para no pagar de más por un cubo extra y llenar el tanque por completo? Se sabe que el tanque tiene el mismo largo, ancho y alto, que son iguales a 1,5 m. Resolvamos este problema sin realizar cálculos.
Solución:
1. Tracemos la función $y=x^3$.
2. Encuentre el punto A, coordenada x, que es igual a 1,5. Vemos que la coordenada de la función está entre los valores 3 y 4 (ver Fig. 2). Entonces necesitas pedir 4 cubos.
La función y=x^2 se llama función cuadrática. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. forma general La parábola se muestra en la siguiente figura.
Función cuadrática
Fig 1. Vista general de la parábola.
Como puede verse en el gráfico, es simétrico con respecto al eje Oy. El eje Oy se llama eje de simetría de la parábola. Esto significa que si dibuja una línea recta en el gráfico paralela al eje Ox sobre este eje. Luego cortará la parábola en dos puntos. La distancia desde estos puntos al eje Oy será la misma.
El eje de simetría divide la gráfica de una parábola en dos partes. Estas partes se llaman ramas de la parábola. Y el punto de una parábola que se encuentra sobre el eje de simetría se llama vértice de la parábola. Es decir, el eje de simetría pasa por el vértice de la parábola. Las coordenadas de este punto son (0;0).
Propiedades básicas de una función cuadrática.
1. En x =0, y=0 e y>0 en x0
2. La función cuadrática alcanza su valor mínimo en su vértice. Ymín en x=0; También cabe señalar que la función no tiene un valor máximo.
3. La función disminuye en el intervalo (-∞;0] y aumenta en el intervalo, porque la recta y=kx coincidirá con la gráfica y=|x-3|-|x+3| en esta sección. Esta La opción no es adecuada para nosotros. 
Si k es menor que -2, entonces la recta y=kx con la gráfica y=|x-3|-|x+3| Tendrá una intersección. Esta opción nos conviene. 
Si k=0, entonces la intersección de la recta y=kx con la gráfica y=|x-3|-|x+3| También habrá una. Esta opción nos conviene. 
Respuesta: para k perteneciente al intervalo (-∞;-2)U)
