نحوه حل معادله خطی با پرانتز نوشته هایی با برچسب "معادلات کلاس ششم"

معادلات خطی راه حل، مثال

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

معادلات خطی

معادلات خطی- سخت ترین موضوع در ریاضیات مدرسه نیست. اما ترفندهایی وجود دارد که می تواند حتی یک دانش آموز آموزش دیده را نیز متحیر کند. بیایید بفهمیم؟)

به طور معمول یک معادله خطی به عنوان معادله ای از شکل زیر تعریف می شود:

تبر + ب = 0 جایی که الف و ب- هر عدد

2x + 7 = 0. در اینجا a=2، b=7

0.1x - 2.3 = 0 در اینجا a=0.1، b=-2.3

12x + 1/2 = 0 در اینجا a=12، b=1/2

هیچ چیز پیچیده ای نیست، درست است؟ به خصوص اگر متوجه کلمات زیر نباشید: "جایی که a و b هر عددی هستند"... و اگر متوجه شدید و بی دقت به آن فکر کنید؟) بالاخره اگر a=0، b=0(هر عددی ممکن است؟)، سپس یک عبارت خنده دار دریافت می کنیم:

اما این همه ماجرا نیست! اگر بگو a=0،آ b=5،معلوم می شود که این چیزی کاملاً غیرعادی است:

که آزاردهنده است و اعتماد به نفس را در ریاضی تضعیف می کند، بله...) مخصوصاً در ایام امتحانات. اما از بین این عبارات عجیب و غریب باید X را نیز پیدا کنید! که اصلا وجود ندارد و در کمال تعجب، یافتن این X بسیار آسان است. ما یاد خواهیم گرفت که این کار را انجام دهیم. در این درس

چگونه یک معادله خطی را از روی ظاهر آن تشخیص دهیم؟ بستگی به چی داره ظاهر.) ترفند این است که نه تنها معادلات فرم معادلات خطی نامیده می شوند تبر + ب = 0 ، بلکه هر معادله ای که می تواند با تبدیل و ساده سازی به این شکل کاهش یابد. و چه کسی می داند که آیا پایین می آید یا نه؟)

یک معادله خطی در برخی موارد به وضوح قابل تشخیص است. فرض کنید، اگر معادله ای داشته باشیم که در آن فقط مجهولات درجه اول و اعداد وجود دارد. و در معادله وجود ندارد کسری تقسیم بر ناشناخته , مهم است! و تقسیم بر عدد،یا کسری عددی - خوش آمدید! مثلا:

این یک معادله خطی است. در اینجا کسری وجود دارد، اما هیچ x در مربع، مکعب و غیره وجود ندارد، و هیچ x در مخرج، یعنی. خیر تقسیم بر x. و این معادله است

نمی توان خطی نامید. در اینجا X ها همه در درجه اول هستند، اما وجود دارند تقسیم بر عبارت با x. پس از ساده سازی ها و تبدیل ها، می توانید یک معادله خطی، یک معادله درجه دوم یا هر چیزی که می خواهید بدست آورید.

معلوم می شود که تشخیص معادله خطی در برخی مثال های پیچیده تا زمانی که تقریباً آن را حل نکنید، غیرممکن است. این ناراحت کننده است. اما در تکالیف، به عنوان یک قاعده، آنها در مورد شکل معادله نمی پرسند، درست است؟ تکالیف معادلات را می خواهند تصميم گرفتن.این باعث خوشحالی من می شود.)

حل معادلات خطی مثال ها.

کل حل معادلات خطی از تبدیل معادلات یکسان تشکیل شده است. به هر حال، این دگرگونی ها (دوتا از آنها!) اساس راه حل ها هستند تمام معادلات ریاضیبه عبارت دیگر راه حل هرمعادله با همین دگرگونی ها آغاز می شود. در مورد معادلات خطی، آن (حل) بر اساس این تبدیل ها است و با یک پاسخ کامل به پایان می رسد. منطقی است که پیوند را دنبال کنید، درست است؟) علاوه بر این، نمونه هایی از حل معادلات خطی نیز وجود دارد.

ابتدا به ساده ترین مثال نگاه می کنیم. بدون هیچ تله ای. فرض کنید باید این معادله را حل کنیم.

x - 3 = 2 - 4x

این یک معادله خطی است. X ها همه در توان اول هستند، هیچ تقسیم بر X وجود ندارد. اما، در واقع، برای ما مهم نیست که چه نوع معادله ای است. ما باید آن را حل کنیم. طرح در اینجا ساده است. همه چیز را با X در سمت چپ معادله، همه چیز بدون X (اعداد) در سمت راست را جمع آوری کنید.

برای انجام این کار باید انتقال دهید - 4 برابر اینچ سمت چپ، البته با تغییر علامت و - 3 - به سمت راست. به هر حال، این است اولین تبدیل یکسان معادلات.غافلگیر شدن؟ این بدان معنی است که شما پیوند را دنبال نکردید، اما بیهوده ...) ما دریافت می کنیم:

x + 4x = 2 + 3

در اینجا موارد مشابه وجود دارد، ما در نظر می گیریم:

برای خوشبختی کامل به چه چیزهایی نیاز داریم؟ بله، به طوری که یک X خالص در سمت چپ وجود دارد! پنج در راه است. خلاص شدن از شر این پنج با کمک دومین تبدیل یکسان معادلات.یعنی هر دو طرف معادله را بر 5 تقسیم می کنیم. جواب آماده می گیریم:

البته یک مثال ابتدایی. این برای گرم کردن است.) خیلی واضح نیست که چرا من تحولات یکسان را در اینجا به یاد آوردم؟ خوب. بیایید گاو نر را از شاخ هایش بگیریم.) بیایید چیز محکم تری تصمیم بگیریم.

به عنوان مثال، این معادله است:

از کجا شروع کنیم؟ با X - به چپ، بدون X - به سمت راست؟ میتونه اینطور باشه قدم های کوچک در امتداد یک جاده طولانی. یا می توانید بلافاصله، جهانی و به روشی قدرتمند. اگر، البته، تبدیل معادلات یکسانی در زرادخانه خود دارید.

من از شما یک سوال کلیدی می پرسم: چه چیزی را در این معادله بیشتر دوست ندارید؟

95 از 100 نفر پاسخ خواهند داد: کسری ! پاسخ درست است. پس بیایید از شر آنها خلاص شویم. بنابراین، ما بلافاصله شروع می کنیم تغییر هویت دوم. برای ضرب کسر سمت چپ به چه چیزی نیاز دارید تا مخرج کاملاً کاهش یابد؟ درست است، در 3. و در سمت راست؟ در 4. اما ریاضیات به ما اجازه می دهد که هر دو طرف را در ضرب کنیم همان تعداد. چگونه می توانیم خارج شویم؟ بیایید هر دو طرف را در 12 ضرب کنیم! آن ها به یک مخرج مشترک سپس هر دو سه و چهار کاهش می یابد. فراموش نکنید که باید هر قسمت را ضرب کنید به طور کامل. در اینجا مرحله اول به نظر می رسد:

گسترش براکت ها:

توجه داشته باشید! صورت کسر (x+2)داخل پرانتز گذاشتم! این به این دلیل است که هنگام ضرب کسرها، کل صورتگر ضرب می شود! اکنون می توانید کسرها را کاهش دهید:

براکت های باقی مانده را باز کنید:

نه یک مثال، بلکه لذت خالص!) حالا بیایید طلسم را به یاد بیاوریم کلاس های خردسال: با X - به سمت چپ، بدون X - به سمت راست!و این تبدیل را اعمال کنید:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

و هر دو قسمت را بر 25 تقسیم کنید، یعنی. تغییر دوم را دوباره اعمال کنید:

همین. پاسخ: ایکس=0,16

لطفاً توجه داشته باشید: برای آوردن معادله گیج کننده اصلی به شکل خوب، از دو استفاده کردیم (فقط دو!) تحولات هویتی– ترجمه چپ به راست با تغییر علامت و ضرب-تقسیم یک معادله بر همان عدد. این یک روش جهانی است! با این روش کار خواهیم کرد هر معادلات! مطلقا هر کسی. به همین دلیل است که من همیشه در مورد این دگرگونی های یکسان تکرار می کنم.)

همانطور که می بینید، اصل حل معادلات خطی ساده است. معادله را می گیریم و با استفاده از تبدیل های یکسان آن را ساده می کنیم تا به جواب برسیم. مشکلات اصلی در اینجا در محاسبات است، نه در اصل راه حل.

اما... در فرآیند حل ابتدایی ترین معادلات خطی، چنین شگفتی هایی وجود دارد که می توانند شما را به گیجی شدید بکشانند...) خوشبختانه، تنها دو شگفتی از این دست وجود دارد. بیایید آنها را موارد خاص بنامیم.

موارد خاص در حل معادلات خطی.

سورپرایز اول

فرض کنید با یک معادله بسیار اساسی روبرو می شوید، چیزی شبیه به:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

کمی حوصله اش را با یک X به سمت چپ، بدون X - به سمت راست ... با تغییر علامت، همه چیز عالی است ... می گیریم:

2x-5x+3x=5-2-3

حساب می کنیم و... اوه!!! ما گرفتیم:

این برابری فی نفسه ایرادی ندارد. صفر واقعاً صفر است. اما X گم شده است! و ما باید در پاسخ بنویسیم، x برابر چیست؟وگرنه راه حل به حساب نمیاد درسته...) بن بست؟

آرام! در چنین موارد مشکوکی، کلی ترین قوانین شما را نجات می دهد. چگونه معادلات را حل کنیم؟ حل معادله به چه معناست؟ این یعنی، تمام مقادیر x را پیدا کنید که در صورت جایگزین شدن در آنها معادله اصلی، برابری واقعی را به ما خواهد داد.

اما ما برابری واقعی داریم قبلا، پیش از ایناتفاق افتاد! 0=0 چقدر دقیق تر؟! باقی مانده است که بفهمیم در چه زمانی این اتفاق می افتد. چه مقادیری از X را می توان جایگزین کرد اصلیمعادله اگر این x ها باشد آیا آنها همچنان به صفر می رسند؟بیا دیگه؟)

آره!!! X را می توان جایگزین کرد هر!کدام ها را می خواهید؟ حداقل 5، حداقل 0.05، حداقل -220. آنها همچنان کوچک خواهند شد. اگر به من اعتقاد ندارید، می توانید آن را بررسی کنید.) هر مقدار X را جایگزین کنید اصلیمعادله و محاسبه کنید. همیشه حقیقت محض را دریافت خواهید کرد: 0=0، 2=2، -7.1=-7.1 و غیره.

در اینجا پاسخ شما است: x - هر عدد.

پاسخ را می توان در نمادهای ریاضی مختلف نوشت، ماهیت تغییر نمی کند. این یک پاسخ کاملا صحیح و کامل است.

سورپرایز دوم

بیایید همان معادله خطی ابتدایی را در نظر بگیریم و فقط یک عدد را در آن تغییر دهیم. این چیزی است که ما تصمیم خواهیم گرفت:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

پس از همان دگرگونی‌های یکسان، چیز جالبی دریافت می‌کنیم:

مثل این. ما یک معادله خطی را حل کردیم و یک برابری عجیب به دست آوردیم. صحبت كردن زبان ریاضی، گرفتیم برابری کاذبو صحبت کردن به زبان ساده، این درست نیست. دیوانه. اما با این وجود، این مزخرف دلیل بسیار خوبی برای حل صحیح معادله است.)

باز هم بر اساس فکر می کنیم قوانین عمومی. هنگامی که x در معادله اصلی جایگزین شود، چه چیزی را به ما می دهد درست است، واقعیبرابری؟ بله، هیچ کدام! چنین X وجود ندارد. مهم نیست چه چیزی وارد کنید، همه چیز کاهش می یابد، فقط مزخرف باقی می ماند.)

در اینجا پاسخ شما است: هیچ راه حلی وجود ندارد

این نیز یک پاسخ کاملاً کامل است. در ریاضیات، چنین پاسخ هایی اغلب یافت می شود.

مثل این. حالا، امیدوارم ناپدید شدن X در فرآیند حل هر معادله (نه فقط خطی) شما را به هیچ وجه گیج نکند. این قبلاً یک موضوع آشناست.)

اکنون که به تمام مشکلات موجود در معادلات خطی پرداختیم، حل آنها منطقی است.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

یکی از مهم ترین مهارت ها وقتی پذیرش در کلاس پنجمتوانایی حل معادلات ساده است. از آنجایی که کلاس پنجم هنوز خیلی دور نیست دبستان، پس انواع زیادی از معادلات وجود ندارد که دانش آموز بتواند حل کند. ما شما را با انواع اصلی معادلات آشنا می کنیم که اگر بخواهید بتوانید آنها را حل کنید وارد مدرسه فیزیک و ریاضی شوید.

نوع 1: "پیازدار"
اینها معادلاتی هستند که احتمالاً در چه زمانی با آنها مواجه خواهید شد پذیرش در هر مدرسهیا یک باشگاه کلاس 5 به عنوان یک کار جداگانه. تشخیص آنها از دیگران آسان است: در آنها متغیر فقط یک بار وجود دارد. به عنوان مثال، یا.
آنها بسیار ساده حل می شوند: شما فقط باید به ناشناخته "رسیدن" کنید ، به تدریج همه چیز غیر ضروری را که اطراف آن را احاطه کرده است "حذف کنید" - گویی پیاز را پوست می کنید - از این رو این نام. برای حل آن، فقط چند قانون از کلاس دوم را به خاطر بسپارید. بیایید همه آنها را فهرست کنیم:

اضافه

1. term1 + term2 = جمع
2. term1 = جمع - term2
3. term2 = جمع - term1

منها کردن

1. minuend - subtrahend = تفاوت
2. minuend = زیره + تفاوت
3. subtrahend = minuend - تفاوت

ضرب

1. فاکتور 1 * فاکتور 2 = محصول
2. فاکتور 1 = محصول: فاکتور 2
3. فاکتور 2 = محصول: فاکتور 1

بخش

1. سود سهام: مقسم = ضریب
2. سود = مقسوم علیه * ضریب
3. مقسم = سود سهام: نسبی

بیایید به مثالی از نحوه اعمال این قوانین نگاه کنیم.

توجه داشته باشید که ما در حال تقسیم هستیم در و ما دریافت می کنیم . در این وضعیت مقسوم علیه و ضریب را می شناسیم. برای پیدا کردن سود تقسیمی، باید مقسوم علیه را در ضریب ضرب کنید:

کمی به خودمان نزدیک شده ایم. حالا ما آن را می بینیم اضافه می شود و معلوم می شود . این بدان معنی است که برای پیدا کردن یکی از عبارت ها، باید عبارت شناخته شده را از مجموع کم کنید:

و یک "لایه" دیگر از ناشناخته حذف شده است! اکنون وضعیت را می بینیم ارزش شناخته شدهمحصول () و یک عامل شناخته شده ().

اکنون وضعیت "دغدغه - زیردست = تفاوت" است

و آخرین مرحله محصول شناخته شده () و یکی از عوامل () است.

نوع 2: معادلات با براکت
معادلات این نوع اغلب در مسائل یافت می شود - 90٪ از همه مسائل برای پذیرش در کلاس پنجم. بر خلاف "معادلات پیاز"متغیر در اینجا می تواند چندین بار ظاهر شود، بنابراین حل آن با استفاده از روش های پاراگراف قبلی غیرممکن است. معادلات معمولی: یا
مشکل اصلی باز کردن براکت ها به درستی است. بعد از اینکه موفق شدید این کار را به درستی انجام دهید، باید اصطلاحات مشابه را کاهش دهید (اعداد به اعداد، متغیرها به متغیر)، و پس از آن ساده ترین را دریافت می کنیم. "معادله پیاز"که می توانیم حل کنیم اما اول از همه.

پرانتز در حال گسترش. ما چند قانون را ارائه خواهیم داد که باید در آنها استفاده شود در این مورد. اما، همانطور که تمرین نشان می دهد، دانش آموز تنها پس از 70-80 مشکل کامل شروع به باز کردن براکت ها به درستی می کند. قاعده اصلی این است: هر عامل خارج از براکت باید در هر جمله داخل پرانتز ضرب شود. و علامت منهای جلوی براکت علامت تمام عبارات داخل را تغییر می دهد. بنابراین، قوانین اساسی افشا:

آوردن مشابه. در اینجا همه چیز بسیار ساده تر است: شما باید با انتقال شرایط از طریق علامت مساوی اطمینان حاصل کنید که از یک طرف فقط اصطلاحات با مجهول وجود دارد و از طرف دیگر - فقط اعداد. قاعده اصلی این است: هر اصطلاحی که از طریق منتقل می شود علامت خود را تغییر می دهد - اگر با بود، با تبدیل می شود و بالعکس. پس از انتقال موفقیت آمیز، باید تعداد کل مجهولات، تعداد کل در طرف دیگر برابری نسبت به متغیرها را بشمارید و یک ساده حل کنید. "معادله پیاز".

در این ویدیو مجموعه کاملی از معادلات خطی را که با استفاده از همان الگوریتم حل شده اند تجزیه و تحلیل خواهیم کرد - به همین دلیل آنها را ساده ترین می نامند.

ابتدا اجازه دهید تعریف کنیم: معادله خطی چیست و کدام یک را ساده ترین می نامند؟

معادله خطی معادله ای است که در آن فقط یک متغیر و فقط تا درجه اول وجود داشته باشد.

ساده ترین معادله به معنای ساخت است:

تمام معادلات خطی دیگر با استفاده از الگوریتم به ساده ترین آنها کاهش می یابد:

1. در صورت وجود، پرانتزها را گسترش دهید.
2. عبارت‌های حاوی متغیر را به یک طرف علامت مساوی و عبارت‌های بدون متغیر را به طرف دیگر منتقل کنید.
3. برای سمت چپ و راست علامت مساوی عباراتی مشابه بنویسید.
4. معادله بدست آمده را بر ضریب متغیر $x$ تقسیم کنید.

البته این الگوریتم همیشه کمک نمی کند. واقعیت این است که گاهی اوقات پس از این همه ماشینکاری، ضریب متغیر $x$ برابر با صفر می شود. در این مورد، دو گزینه ممکن است:

1. معادله اصلاً راه حلی ندارد. برای مثال، وقتی چیزی شبیه $0\cdot x=8$ معلوم می‌شود، i.e. در سمت چپ صفر و در سمت راست عددی غیر از صفر است. در ویدیوی زیر به چندین دلیل برای امکان این وضعیت نگاه خواهیم کرد.
2. راه حل همه اعداد است. تنها موردی که این امکان وجود دارد زمانی است که معادله به ساختار $0\cdot x=0$ کاهش یافته باشد. کاملاً منطقی است که مهم نیست $x$ را جایگزین کنیم، باز هم معلوم می شود که "صفر برابر با صفر است". برابری عددی صحیح

حال بیایید ببینیم که چگونه همه اینها با استفاده از مثال های واقعی کار می کنند.

نمونه هایی از حل معادلات

امروز ما با معادلات خطی و فقط ساده ترین آنها سر و کار داریم. به طور کلی معادله خطی به معنای هر برابری است که دقیقاً یک متغیر داشته باشد و فقط به درجه اول می رود.

چنین سازه هایی تقریباً به همان روش حل می شوند:

1. اول از همه، شما باید پرانتزها را، در صورت وجود، گسترش دهید (مانند نمونه آخر ما).
2. سپس مشابه را با هم ترکیب کنید
3. در نهایت، متغیر را جدا کنید، i.e. هر چیزی که با متغیر مرتبط است - اصطلاحاتی که در آن وجود دارد - را به یک طرف منتقل کنید و هر چیزی که بدون آن باقی می ماند را به طرف دیگر منتقل کنید.

سپس، به عنوان یک قاعده، باید موارد مشابه را در هر طرف برابری حاصل ارائه دهید، و پس از آن تنها چیزی که باقی می ماند تقسیم بر ضریب "x" است و پاسخ نهایی را خواهیم گرفت.

از نظر تئوری، این کار زیبا و ساده به نظر می‌رسد، اما در عمل، حتی دانش‌آموزان با تجربه دبیرستانی نیز می‌توانند در معادلات خطی نسبتاً ساده مرتکب اشتباهات تهاجمی شوند. به طور معمول، هنگام باز کردن پرانتزها یا هنگام محاسبه "مضافات" و "منفی" خطاها رخ می دهد.

علاوه بر این، این اتفاق می افتد که یک معادله خطی اصلاً راه حلی ندارد، یا این که راه حل کل خط اعداد است، یعنی. هر عددی در درس امروز به این نکات ظریف خواهیم پرداخت. اما همانطور که قبلاً فهمیدید، ما با همین موضوع شروع خواهیم کرد کارهای ساده.

طرحی برای حل معادلات خطی ساده

ابتدا اجازه دهید یک بار دیگر کل طرح حل ساده ترین معادلات خطی را بنویسم:

1. در صورت وجود، براکت ها را باز کنید.
2. ما متغیرها را جدا می کنیم، یعنی. ما هر چیزی را که حاوی "X" است به یک سمت و هر چیزی که "X" وجود ندارد به سمت دیگر منتقل می کنیم.
3. ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.
4. همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم.

البته این طرح همیشه جواب نمی دهد؛ ظرافت ها و ترفندهای خاصی در آن وجود دارد که اکنون با آنها آشنا می شویم.

حل مثال های واقعی معادلات خطی ساده

وظیفه شماره 1

در مرحله اول باید پرانتزها را باز کنیم. اما آنها در این مثال نیستند، بنابراین از این مرحله می گذریم. در مرحله دوم باید متغیرها را جدا کنیم. لطفا توجه داشته باشید: ما فقط در مورد شرایط فردی صحبت می کنیم. بیایید آن را بنویسیم:

ما اصطلاحات مشابهی را در سمت چپ و راست ارائه می کنیم، اما این قبلاً در اینجا انجام شده است. بنابراین به مرحله چهارم می رویم: تقسیم بر ضریب:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

پس جواب گرفتیم.

وظیفه شماره 2

می‌توانیم پرانتزها را در این مشکل ببینیم، بنابراین اجازه دهید آنها را گسترش دهیم:

هم در سمت چپ و هم در سمت راست تقریباً یک طرح را می بینیم، اما بیایید طبق الگوریتم عمل کنیم، i.e. جداسازی متغیرها:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

این در چه ریشه ای کار می کند؟ پاسخ: برای هر. بنابراین، می توانیم بنویسیم که $x$ هر عددی است.

وظیفه شماره 3

معادله سوم خطی جالب تر است:

\[\چپ(6-x \راست)+\چپ(12+x \راست)-\چپ(3-2x \راست)=15\]

در اینجا چندین براکت وجود دارد، اما آنها در هیچ چیز ضرب نمی شوند، به سادگی با علائم مختلف قبل از آنها وجود دارد. بیایید آنها را تجزیه کنیم:

ما مرحله دوم را که قبلاً برای ما شناخته شده است انجام می دهیم:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

بیایید حساب کنیم:

ما آخرین مرحله را انجام می دهیم - همه چیز را بر ضریب "x" تقسیم می کنیم:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

نکاتی که در حل معادلات خطی باید به خاطر بسپارید

اگر کارهای خیلی ساده را نادیده بگیریم، می خواهم موارد زیر را بگویم:

• همانطور که در بالا گفتم، هر معادله خطی راه حلی ندارد - گاهی اوقات به سادگی هیچ ریشه ای وجود ندارد.
• حتی اگر ریشه ها وجود داشته باشد، ممکن است در بین آنها صفر وجود داشته باشد - هیچ اشکالی در آن وجود ندارد.

صفر همان عدد دیگری است؛ شما نباید به هیچ وجه بین آن تبعیض قائل شوید یا فرض کنید که اگر به صفر رسیدید، کار اشتباهی انجام داده اید.

ویژگی دیگر مربوط به باز شدن براکت ها است. لطفا توجه داشته باشید: هنگامی که یک "منفی" در مقابل آنها وجود دارد، آن را حذف می کنیم، اما در پرانتز علامت ها را به تغییر می دهیم. مقابل. و سپس می توانیم آن را با استفاده از الگوریتم های استاندارد باز کنیم: آنچه را که در محاسبات بالا دیدیم به دست می آوریم.

درک این واقعیت ساده به شما کمک می کند تا از انجام اشتباهات احمقانه و آسیب زا در دبیرستان جلوگیری کنید، در حالی که انجام چنین کارهایی بدیهی است.

حل معادلات خطی پیچیده

بیایید به معادلات پیچیده تر برویم. اکنون ساختارها پیچیده تر می شوند و هنگام انجام تبدیل های مختلف یک تابع درجه دوم ظاهر می شود. با این حال، ما نباید از این ترس داشته باشیم، زیرا اگر طبق برنامه نویسنده، معادله خطی را حل کنیم، در طول فرآیند تبدیل، مطمئناً همه تک جملات حاوی یک تابع درجه دوم لغو می شوند.

مثال شماره 1

بدیهی است که اولین قدم باز کردن براکت ها است. بیایید این کار را با دقت انجام دهیم:

حالا بیایید نگاهی به حریم خصوصی بیندازیم:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بدیهی است که این معادله هیچ راه حلی ندارد، بنابراین این را در پاسخ می نویسیم:

\[\varnothing\]

یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

مثال شماره 2

ما همین اقدامات را انجام می دهیم. گام اول:

بیایید همه چیز را با یک متغیر به سمت چپ و بدون آن - به راست منتقل کنیم:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بدیهی است که این معادله خطی هیچ راه حلی ندارد، بنابراین آن را به این صورت می نویسیم:

\[\varnothing\]،

یا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

تفاوت های ظریف راه حل

هر دو معادله کاملا حل شده است. با استفاده از این دو عبارت به عنوان مثال، ما یک بار دیگر متقاعد شدیم که حتی در ساده ترین معادلات خطی، همه چیز ممکن است چندان ساده نباشد: می تواند یک یا هیچ، یا بی نهایت ریشه وجود داشته باشد. در مورد ما، ما دو معادله را در نظر گرفتیم، هر دو به سادگی ریشه ندارند.

اما توجه شما را به یک واقعیت دیگر جلب می کنم: نحوه کار با پرانتز و نحوه باز کردن آنها در صورت وجود علامت منفی در مقابل آنها. این عبارت را در نظر بگیرید:

قبل از باز کردن، باید همه چیز را در "X" ضرب کنید. لطفا توجه داشته باشید: ضرب می شود هر ترم جداگانه. در داخل دو عبارت وجود دارد - به ترتیب، دو جمله و ضرب.

و فقط پس از تکمیل این دگرگونی های به ظاهر ابتدایی، اما بسیار مهم و خطرناک، می توانید براکت را از این نظر باز کنید که بعد از آن علامت منفی وجود دارد. بله، بله: فقط اکنون، هنگامی که تبدیل ها کامل شد، به یاد می آوریم که یک علامت منفی در جلوی براکت ها وجود دارد، به این معنی که همه چیز زیر به سادگی علائم را تغییر می دهد. در عین حال ، خود براکت ها ناپدید می شوند و مهمتر از همه ، "منهای" جلو نیز ناپدید می شوند.

همین کار را با معادله دوم انجام می دهیم:

تصادفی نیست که به این حقایق کوچک و به ظاهر کم اهمیت توجه می کنم. از آنجا که حل معادلات همیشه دنباله ای از تبدیل های ابتدایی است، که در آن ناتوانی در انجام واضح و شایسته اقدامات ساده منجر به این واقعیت می شود که دانش آموزان دبیرستانی به سراغ من می آیند و دوباره حل چنین معادلات ساده ای را یاد می گیرند.

البته روزی فرا می رسد که این مهارت ها را تا حد خودکار ارتقا دهید. دیگر مجبور نخواهید بود هر بار این همه تغییر و تحول انجام دهید، همه چیز را در یک خط خواهید نوشت. اما در حالی که تازه در حال یادگیری هستید، باید هر عمل را جداگانه بنویسید.

حل معادلات خطی حتی پیچیده تر

چیزی که اکنون می خواهیم حل کنیم را به سختی می توان ساده ترین کار نامید، اما معنی همان است.

وظیفه شماره 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

بیایید تمام عناصر قسمت اول را ضرب کنیم:

بیایید حریم خصوصی را رعایت کنیم:

در اینجا برخی از موارد مشابه آورده شده است:

بیایید آخرین مرحله را کامل کنیم:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

در اینجا پاسخ نهایی ما است. و علیرغم اینکه در فرآیند حل ما ضرایبی با تابع درجه دوم داشتیم، آنها یکدیگر را خنثی کردند که باعث می شود معادله خطی باشد و درجه دوم نباشد.

وظیفه شماره 2

\[\ چپ (1-4x \راست)\ چپ (1-3x \راست)=6x\چپ (2x-1 \راست)\]

بیایید مرحله اول را با دقت انجام دهیم: هر عنصر از براکت اول را در هر عنصر از دومی ضرب کنید. پس از تبدیل ها باید در مجموع چهار عبارت جدید وجود داشته باشد:

حالا بیایید ضرب را در هر جمله با دقت انجام دهیم:

بیایید عبارات "X" را به سمت چپ و موارد بدون - را به راست منتقل کنیم:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد:

یک بار دیگر پاسخ نهایی را دریافت کردیم.

تفاوت های ظریف راه حل

مهم ترین نکته در مورد این دو معادله این است: به محض اینکه شروع به ضرب براکت هایی می کنیم که بیش از یک جمله دارند، این کار طبق قانون زیر انجام می شود: جمله اول را از اولی می گیریم و با هر عنصر از آن ضرب می کنیم. دومین؛ سپس عنصر دوم را از اولی می گیریم و به طور مشابه در هر عنصر از عنصر دوم ضرب می کنیم. در نتیجه چهار ترم خواهیم داشت.

در مورد جمع جبری

با این مثال آخر، می خواهم به دانش آموزان یادآوری کنم که جمع جبری چیست. در ریاضیات کلاسیک، منظور ما از 1 تا 7 دلار یک ساختار ساده است: هفت را از یک کم کنید. منظور ما در جبر این است: به عدد "یک" عدد دیگری به نام "منهای هفت" اضافه می کنیم. اینگونه است که یک مجموع جبری با یک مجموع حسابی معمولی متفاوت است.

به محض انجام تمام تبدیل ها، هر جمع و ضرب، شروع به دیدن ساختارهای مشابه آنچه در بالا توضیح داده شد، در جبر هنگام کار با چند جمله ای ها و معادله ها مشکلی نخواهید داشت.

در نهایت، بیایید به چند مثال دیگر نگاه کنیم که حتی پیچیده‌تر از نمونه‌هایی هستند که اکنون به آنها نگاه کردیم، و برای حل آنها باید کمی الگوریتم استاندارد خود را گسترش دهیم.

حل معادلات با کسر

برای حل چنین کارهایی باید یک مرحله دیگر به الگوریتم خود اضافه کنیم. اما ابتدا اجازه دهید الگوریتم خود را به شما یادآوری کنم:

1. پرانتز ها را باز کنید.
2. متغیرها را جدا کنید
3. موارد مشابه را بیاورید.
4. تقسیم بر نسبت.

افسوس، این الگوریتم فوق العاده، با تمام اثربخشی آن، زمانی که کسری در مقابل خود داریم، کاملاً مناسب نیست. و در آنچه در زیر خواهیم دید، در هر دو معادله هم در سمت چپ و هم در سمت راست کسری داریم.

در این مورد چگونه باید کار کرد؟ بله، خیلی ساده است! برای انجام این کار، باید یک مرحله دیگر به الگوریتم اضافه کنید، که هم قبل و هم بعد از اولین اقدام، یعنی خلاص شدن از شر کسری، قابل انجام است. بنابراین الگوریتم به صورت زیر خواهد بود:

1. از شر کسری خلاص شوید.
2. پرانتز ها را باز کنید.
3. متغیرها را جدا کنید
4. موارد مشابه را بیاورید.
5. تقسیم بر نسبت.

"رهایی از کسری" به چه معناست؟ و چرا می توان این کار را هم بعد و هم قبل از اولین مرحله استاندارد انجام داد؟ در واقع، در مورد ما، همه کسرها در مخرج خود عددی هستند، یعنی. همه جا مخرج فقط یک عدد است. بنابراین اگر هر دو طرف معادله را در این عدد ضرب کنیم از شر کسر خلاص می شویم.

مثال شماره 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \راست))(4)=((x)^(2))-1\]

بیایید از کسرهای این معادله خلاص شویم:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \راست)\cdot 4\]

لطفاً توجه داشته باشید: همه چیز یک بار در "چهار" ضرب می شود، یعنی. فقط به این دلیل که دو پرانتز دارید به این معنی نیست که باید هر یک را در "چهار" ضرب کنید. بیایید بنویسیم:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

حالا بیایید گسترش دهیم:

متغیر را جدا می کنیم:

ما کاهش عبارات مشابه را انجام می دهیم:

\[-4x=-1\ چپ| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

گرفتیم تصمیم نهایی، به معادله دوم می رویم.

مثال شماره 2

\[\frac(\left(1-x \راست)\left(1+5x \راست))(5)+((x)^(2))=1\]

در اینجا ما همه اقدامات مشابه را انجام می دهیم:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \راست)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

مشکل حل شده است.

در واقع، این تنها چیزی است که امروز می خواستم به شما بگویم.

امتیاز کلیدی

یافته های کلیدی عبارتند از:

• الگوریتم حل معادلات خطی را بدانید.
• قابلیت باز کردن براکت ها
• اگه دیدی نگران نباش توابع درجه دوم، به احتمال زیاد، در روند تحولات بعدی آنها کاهش خواهند یافت.
• در معادلات خطی سه نوع ریشه وجود دارد، حتی ساده ترین آنها: یک ریشه، کل خط اعداد یک ریشه است و اصلاً ریشه ندارد.

امیدوارم این درس به شما در تسلط بر یک مبحث ساده اما بسیار مهم برای درک بیشتر تمامی ریاضیات کمک کند. اگر چیزی واضح نیست، به سایت بروید و مثال های ارائه شده در آنجا را حل کنید. با ما همراه باشید، چیزهای جالب دیگری در انتظار شما هستند!

پرانتز برای نشان دادن ترتیب انجام اقدامات در عبارات عددی، تحت اللفظی و متغیر استفاده می شود. جابجایی از یک عبارت با پرانتز به یک عبارت یکسان بدون پرانتز راحت است. به این تکنیک باز کردن براکت ها گفته می شود.

گسترش پرانتز به معنای حذف پرانتز از یک عبارت است.

یک نکته دیگر سزاوار توجه ویژه است که مربوط به ویژگی های ضبط تصمیمات هنگام باز کردن پرانتز است. می توانیم عبارت اولیه را با پرانتز بنویسیم و نتیجه ای که پس از باز کردن پرانتزها به دست می آید را به صورت تساوی بنویسیم. به عنوان مثال، پس از گسترش پرانتز به جای عبارت
3-(5-7) عبارت 3-5+7 را دریافت می کنیم. می‌توانیم هر دوی این عبارات را به‌عنوان برابری 3−(5−7)=3−5+7 بنویسیم.

و یکی دیگر نکته مهم. در ریاضیات، برای کوتاه کردن نمادها، مرسوم است که علامت مثبت را اگر ابتدا در یک عبارت یا داخل پرانتز آمده است، ننویسند. به عنوان مثال، اگر دو عدد مثبت، مثلاً هفت و سه را با هم جمع کنیم، با وجود اینکه هفت نیز یک عدد مثبت است، نه +7+3، بلکه به سادگی 7+3 می نویسیم. به همین ترتیب، اگر مثلاً عبارت (5+x) را مشاهده کردید - بدانید که قبل از پرانتز یک پلاس وجود دارد که نوشته نشده است و قبل از پنج یک +(+5+x) وجود دارد.

قانون باز کردن پرانتز در هنگام جمع

هنگام باز کردن براکت ها، اگر جلوی براکت ها مثبت باشد، این پلاس به همراه براکت ها حذف می شود.

مثال. پرانتزها را در عبارت 2 + (7 + 3) باز کنید جلوی پرانتزها یک علامت مثبت وجود دارد، یعنی علامت های جلوی اعداد داخل پرانتز را تغییر نمی دهیم.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

قانون باز کردن پرانتز هنگام تفریق

اگر قبل از پرانتز یک منهای وجود داشته باشد، این منفی همراه با براکت ها حذف می شود، اما عبارت هایی که در پرانتز بودند، علامت خود را به عکس تغییر می دهند. عدم وجود علامت قبل از جمله اول در پرانتز به معنی علامت + است.

مثال. پرانتزها را در عبارت 2 - (7 + 3) باز کنید

قبل از پرانتز یک منهای وجود دارد، به این معنی که باید علائم جلوی اعداد داخل پرانتز را تغییر دهید. در پرانتز هیچ علامتی قبل از عدد 7 وجود ندارد، به این معنی که هفت مثبت است، در نظر گرفته می شود که یک علامت + در مقابل آن وجود دارد.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

هنگام باز کردن براکت ها، منهای که در جلوی براکت ها بود و خود براکت ها را 2 − (+ 7 + 3) از مثال حذف می کنیم و علائمی را که در براکت ها قرار داشتند به علامت های مخالف تغییر می دهیم.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

بسط پرانتز هنگام ضرب

اگر جلوی پرانتز علامت ضرب باشد، هر عدد داخل پرانتز در ضریب جلوی پرانتز ضرب می شود. در این صورت از ضرب یک منهای در منهای یک مثبت به دست می‌آید و با ضرب یک منهای در مثبت، مانند ضرب یک مثبت در منهای، یک منهای به دست می‌آید.

بنابراین، پرانتزها در محصولات مطابق با خاصیت توزیعی ضرب گسترش می یابند.

مثال. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

وقتی یک براکت را در یک براکت ضرب می کنید، هر جمله در براکت اول با هر جمله در براکت دوم ضرب می شود.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

در واقع، نیازی به به خاطر سپردن همه قوانین نیست، کافی است تنها یکی را به خاطر بسپارید، این: c(a−b)=ca−cb. چرا؟ زیرا اگر به جای c یکی را جایگزین کنید، قانون (a−b)=a−b را دریافت خواهید کرد. و اگر منهای یک را جایگزین کنیم، قاعده −(a−b)=−a+b را می‌گیریم. خوب، اگر به جای c براکت دیگری را جایگزین کنید، می توانید قانون آخر را دریافت کنید.

باز کردن پرانتز هنگام تقسیم

اگر بعد از براکت ها علامت تقسیم وجود داشته باشد، هر عدد داخل پرانتز به مقسوم علیه بعد از پرانتز تقسیم می شود و بالعکس.

مثال. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

نحوه گسترش پرانتزهای تو در تو

اگر عبارتی حاوی پرانتزهای تو در تو باشد، آن‌ها به ترتیب بسط می‌شوند و از بیرونی یا درونی شروع می‌شوند.

در این مورد، مهم است که هنگام باز کردن یکی از براکت ها، براکت های باقی مانده را لمس نکنید، فقط آنها را همانطور که هستند بازنویسی کنید.

مثال. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

آن قسمت از معادله عبارت داخل پرانتز است. برای باز کردن پرانتز به علامت جلوی پرانتز نگاه کنید. اگر علامت مثبت وجود داشته باشد، باز کردن پرانتز در عبارت چیزی را تغییر نمی دهد: فقط پرانتز را بردارید. اگر علامت منفی وجود دارد، هنگام باز کردن براکت ها، باید تمام علائمی را که در ابتدا در براکت ها بودند، به علامت های مخالف تغییر دهید. به عنوان مثال، -(2x-3)=-2x+3.

ضرب دو پرانتز
اگر معادله حاصل ضرب دو براکت باشد، براکت ها را مطابق با باز کنید قانون استاندارد. هر جمله در براکت اول با هر جمله در براکت دوم ضرب می شود. اعداد به دست آمده خلاصه می شوند. در این صورت حاصل ضرب دو مثبت یا دو منفی به عبارت علامت مثبت می دهد و اگر عوامل دارای نشانه های مختلف، سپس علامت منفی دریافت می کند.
در نظر بگیریم.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

با باز کردن پرانتز، گاهی اوقات بالا بردن یک عبارت به . فرمول های مربع و مکعب را باید از روی قلب دانست و به خاطر بسپارید.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
فرمول های ساخت یک عبارت بزرگتر از سه را می توان با استفاده از مثلث پاسکال انجام داد.

منابع:

• فرمول گسترش پرانتز

داخل پرانتز عملیات ریاضیمی تواند شامل متغیرها و عبارات باشد درجات مختلفمشکلات برای ضرب چنین عباراتی، باید به دنبال راه حلی در آن بگردید نمای کلی، باز کردن براکت ها و ساده کردن نتیجه. اگر براکت ها حاوی عملیات بدون متغیر، فقط با مقادیر عددی هستند، باز کردن براکت ها ضروری نیست، زیرا اگر رایانه دارید، کاربر آن به منابع محاسباتی بسیار مهم دسترسی دارد - استفاده از آنها آسان تر از ساده کردن عبارت است.

دستورالعمل ها

اگر می‌خواهید نتیجه را به شکل کلی دریافت کنید، هر یک (یا minuend با ) موجود در یک براکت را در محتوای سایر براکت‌ها ضرب کنید. برای مثال، اجازه دهید عبارت اصلی به صورت زیر نوشته شود: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). سپس ضرب متوالی (یعنی باز کردن پرانتزها) نتیجه زیر را به دست می دهد: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6*x-x*x)*(x*x+2*x) = (5*6*5**+5*6*5*2) - (5***5***+ 5***5*2) + (6*******+********2**) - (x*******+*********2**) = 5*6*5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5*x*5*x - 5*x*5*2 + 6*x*x*x + 6*x*2*x - x*x**x* - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

نتیجه را با کوتاه کردن عبارات ساده کنید. به عنوان مثال، عبارت به دست آمده در مرحله قبل را می توان به صورت زیر ساده کرد: 150*x + 300 - 25*x² - 50*x + 6*x3 + 12*x² - x*x3 - 2*x3 = 100*x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

اگر می خواهید x را برابر 4.75 ضرب کنید، از ماشین حساب استفاده کنید، یعنی (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). برای محاسبه این مقدار به وب سایت موتور جستجوی گوگل یا نیگما رفته و عبارت را در قسمت query به شکل اصلی (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) وارد کنید. گوگل 82.265625 را بلافاصله و بدون کلیک کردن بر روی دکمه ای نشان می دهد، اما نیگما باید با کلیک یک دکمه داده ها را به سرور ارسال کند.