اولین نمونه های حد فوق العاده. اولین حد قابل توجه: نظریه و مثال

محدودیت های شگفت انگیز را پیدا کنیدنه تنها برای بسیاری از دانش آموزان سال اول و دوم که تئوری حدود را مطالعه می کنند، بلکه برای برخی از معلمان نیز دشوار است.

فرمول اولین محدودیت قابل توجه

پیامدهای اولین حد قابل توجه بیایید آن را در فرمول بنویسیم
1. 2. 3. 4. اما به تنهایی فرمول های کلیمحدودیت های قابل توجه به هیچ کس در امتحان یا آزمون کمک نمی کند. نکته این است که وظایف واقعی به گونه‌ای ساخته می‌شوند که همچنان باید به فرمول‌های نوشته شده در بالا برسید. و اکثر دانش‌آموزانی که کلاس‌ها را از دست می‌دهند، این درس را غیرحضوری مطالعه می‌کنند، یا معلمانی دارند که خودشان همیشه نمی‌فهمند آنچه را که توضیح می‌دهند، نمی‌توانند ابتدایی‌ترین مثال‌ها را تا حد قابل توجه محاسبه کنند. از فرمول های اولین حد قابل توجه می بینیم که با کمک آنها می توان عدم قطعیت های نوع صفر تقسیم بر صفر برای عبارات با توابع مثلثاتی را مطالعه کرد. اجازه دهید ابتدا تعدادی مثال برای اولی در نظر بگیریم حد فوق العاده y، و سپس دومین حد قابل توجه را مطالعه خواهیم کرد.

مثال 1. حد تابع sin(7*x)/(5*x) را بیابید.
راه حل: همانطور که می بینید، تابع زیر حد به اولین حد قابل توجه نزدیک است، اما حد خود تابع قطعا برابر با یک نیست. در این نوع کارها در مورد حد، باید در مخرج متغیری با همان ضریب موجود در متغیر زیر سینوس انتخاب شود. در در این موردباید در 7 تقسیم و ضرب شود

برای برخی، چنین جزئیاتی غیر ضروری به نظر می رسد، اما برای اکثر دانش آموزانی که با محدودیت ها مشکل دارند، به آنها کمک می کند قوانین را بهتر درک کنند و بر مطالب نظری تسلط پیدا کنند.
همچنین، اگر یک شکل معکوس از یک تابع وجود داشته باشد، این نیز اولین حد شگفت انگیز است. و همه به این دلیل که حد شگفت انگیز برابر با یک است

همین قاعده در مورد پیامدهای حد قابل توجه 1 صدق می کند. بنابراین، اگر از شما بپرسند: "اولین حد قابل توجه چیست؟" باید بدون معطلی پاسخ دهید که یک واحد است.

مثال 2. حد تابع sin(6x)/tan(11x) را بیابید.
راه حل: برای درک نتیجه نهایی، اجازه دهید تابع را در فرم بنویسیم

برای اعمال قوانین حد قابل توجه، ضرب و تقسیم بر فاکتورها کنید

سپس حد حاصلضرب توابع را از طریق حاصلضرب حد می نویسیم

بدون فرمول های پیچیدهما حد چاسکا را پیدا کردیم توابع مثلثاتی. برای جذب فرمول های سادهسعی کنید حد 2 و 4 را پیدا کنید، فرمول نتیجه 1 از حد فوق العاده. ما مشکلات پیچیده تری را بررسی خواهیم کرد.

مثال 3: حد (1-cos(x))/x^2 را محاسبه کنید
راه حل: هنگام بررسی با تعویض، عدم قطعیت 0/0 دریافت می کنیم. بسیاری از مردم نمی دانند چگونه چنین مثالی را به یک حد قابل توجه کاهش دهند. در اینجا باید از فرمول مثلثاتی استفاده شود

در این مورد، حد به یک فرم واضح تبدیل می شود

ما موفق شدیم تابع را به مربع حد قابل توجه کاهش دهیم.

مثال 4. حد را پیدا کنید
راه حل: هنگام تعویض، ویژگی آشنا 0/0 را دریافت می کنیم. با این حال، متغیر به جای صفر، به Pi تمایل دارد. بنابراین برای اعمال اولین حد قابل توجه، چنین تغییری را در متغیر x انجام می دهیم تا متغیر جدید به صفر برسد. برای انجام این کار، مخرج را به عنوان یک متغیر جدید Pi-x=y نشان می‌دهیم

بنابراین، با استفاده از فرمول مثلثاتی ارائه شده در کار قبلی، مثال به 1 حد قابل توجه کاهش می یابد.

مثال 5: محاسبه حد
راه حل: در ابتدا مشخص نیست که چگونه می توان محدودیت ها را ساده کرد. اما از آنجایی که یک مثال وجود دارد، پس باید پاسخ داده شود. این واقعیت که متغیر به واحد می رود، در هنگام جایگزینی، یک ویژگی شکل صفر ضرب در بی نهایت می دهد، بنابراین مماس باید با استفاده از فرمول جایگزین شود.

پس از این، عدم قطعیت مورد نیاز 0/0 را دریافت می کنیم. در مرحله بعد، تغییر متغیرها را در حد انجام می دهیم و از تناوب کوتانژانت استفاده می کنیم

آخرین تعویض‌ها به ما امکان می‌دهد از نتیجه 1 از حد قابل توجه استفاده کنیم.

دومین حد قابل توجه برابر با نمایی است

این یک کلاسیک است که همیشه در مشکلات حد واقعی به راحتی نمی توان به آن دست یافت.
در محاسبات شما نیاز خواهید داشت محدودیت ها پیامدهای دومین حد قابل توجه است:
1. 2. 3. 4.
به لطف دومین حد قابل توجه و پیامدهای آن، می توان عدم قطعیت هایی مانند صفر تقسیم بر صفر، یک به توان بی نهایت و بی نهایت تقسیم بر بی نهایت و حتی به همان درجه را کشف کرد.

بیایید با مثال های ساده شروع کنیم.

مثال 6. حد یک تابع را پیدا کنید
راه حل: اعمال مستقیم دومین حد قابل توجه کارساز نخواهد بود. ابتدا، شما باید توان را طوری تبدیل کنید که مانند معکوس عبارت داخل پرانتز به نظر برسد

این تکنیک کاهش به دومین حد قابل توجه و در اصل، استنتاج فرمول دوم برای نتیجه حد است.

مثال 7. حد یک تابع را پیدا کنید
راه حل: ما برای فرمول 3 از نتیجه 2 یک حد فوق العاده وظایف داریم. با جایگزینی صفر، تکینگی به شکل 0/0 به دست می آید. برای افزایش حد به یک قاعده، مخرج را می چرخانیم تا متغیر ضریب مشابهی در لگاریتم داشته باشد.

همچنین درک و اجرای آن در امتحان آسان است. مشکلات دانش آموزان در محاسبه حدود با مسائل زیر آغاز می شود.

مثال 8. حد یک تابع را محاسبه کنید[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
راه حل: ما یک تکینگی نوع 1 به توان بی نهایت داریم. اگر من را باور ندارید، می توانید بی نهایت را جایگزین "X" در همه جا کنید و از آن مطمئن شوید. برای ساختن یک قانون، صورت را بر مخرج داخل پرانتز تقسیم می کنیم، ابتدا دستکاری ها را انجام می دهیم

بیایید عبارت را جایگزین حد کنیم و آن را به 2 حد فوق العاده تبدیل کنیم

حد برابر با توان نمایی 10 است. ثابت هایی که عبارت های دارای متغیر هستند، هم در پرانتز و هم در درجه، هیچ "آب و هوا" را معرفی نمی کنند - این را باید به خاطر داشت. و اگر معلمان از شما بپرسند، "چرا شاخص را تبدیل نمی کنید؟" (برای این مثال در x-3)، سپس بگویید که "وقتی متغیری به سمت بی نهایت میل می کند، حتی 100 به آن اضافه کنید یا 1000 را کم کنید، و حد همان چیزی که بود باقی می ماند!"
راه دومی برای محاسبه محدودیت های این نوع وجود دارد. در کار بعدی در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

مثال 9. حد را پیدا کنید
راه حل: حالا بیایید متغیر در صورت و مخرج را برداریم و یک ویژگی را به ویژگی دیگر تبدیل کنیم. برای بدست آوردن مقدار نهایی از فرمول نتیجه 2 حد قابل توجه استفاده می کنیم

مثال 10. حد یک تابع را پیدا کنید
راه حل: همه نمی توانند حد تعیین شده را پیدا کنند. برای افزایش حد به 2، تصور کنید که sin (3x) یک متغیر است و شما باید توان را بچرخانید.

بعد، نشانگر را به عنوان یک توان به یک توان می نویسیم


آرگومان های میانی در پرانتز توضیح داده شده اند. در نتیجه استفاده از حد قابل توجه اول و دوم، نمایی را در مکعب به دست آوردیم.

مثال 11. حد یک تابع را محاسبه کنید sin(2*x)/ln(3*x+1)
راه حل: ما یک عدم قطعیت از فرم 0/0 داریم. علاوه بر این، می بینیم که تابع باید برای استفاده از هر دو محدودیت فوق العاده تبدیل شود. اجازه دهید تبدیل های ریاضی قبلی را انجام دهیم

علاوه بر این، بدون مشکل، محدودیت مقدار را می گیرد

اگر یاد بگیرید که به سرعت توابع را یادداشت کنید و آنها را تا حد فوق العاده اول یا دوم کاهش دهید، در انجام تکالیف، تست ها، ماژول ها چقدر آزاد خواهید بود. اگر به خاطر سپردن روش های داده شده برای یافتن محدودیت ها برای شما دشوار است، همیشه می توانید سفارش دهید کار آزمایشیبه محدودیت های ما
برای انجام این کار، فرم را پر کنید، داده ها را ارائه دهید و یک فایل همراه با نمونه ها را پیوست کنید. ما به دانش آموزان زیادی کمک کرده ایم - ما نیز می توانیم به شما کمک کنیم!

اثبات:

اجازه دهید ابتدا قضیه را برای مورد دنباله اثبات کنیم

طبق فرمول دوجمله ای نیوتن:

با فرض اینکه بگیریم

از این برابری (1) نتیجه می شود که با افزایش n، تعداد جمله های مثبت سمت راست افزایش می یابد. علاوه بر این، با افزایش n، تعداد کاهش می یابد، بنابراین مقادیر در حال افزایش هستند. بنابراین دنباله افزایش می یابد، و (2) * نشان می دهیم که محدود است. هر پرانتز سمت راست برابری را با یک پرانتز جایگزین کنید، سمت راستافزایش می یابد، نابرابری می گیریم

بیایید نابرابری حاصل را تقویت کنیم، 3،4،5، ... را که در مخرج کسرها ایستاده ایم، با عدد 2 جایگزین کنیم: با استفاده از فرمول مجموع عبارت، مجموع را در پرانتز پیدا می کنیم. پیشرفت هندسی: برای همین (3)*

بنابراین، دنباله از بالا محدود می شود و نابرابری های (2) و (3) برآورده می شوند: بنابراین، بر اساس قضیه وایرشتراس (معیار همگرایی یک دنباله)، دنباله یکنواخت افزایش می یابد و محدود می شود، به این معنی که حدی دارد که با حرف e نشان داده می شود. آن ها

با دانستن اینکه حد قابل توجه دوم برای مقادیر طبیعی x صادق است، حد قابل توجه دوم را برای x واقعی ثابت می کنیم، یعنی ثابت می کنیم که . بیایید دو مورد را در نظر بگیریم:

1. هر مقدار x بین دو عدد صحیح مثبت باشد: ,where is کل بخش x => =>

اگر، پس بنابراین، با توجه به حد ما داریم

بر اساس معیار (در مورد حد تابع میانی) وجود حدود

2. اجازه دهید. اجازه دهید جایگزینی − x = t را انجام دهیم، سپس

از این دو مورد چنین بر می آید که برای x واقعی

عواقب:

9 .) مقایسه بینهایت کوچک. قضیه جایگزینی بینهایت کوچک با معادل در حد و قضیه قسمت اصلی بینهایت کوچک.

اجازه دهید توابع a( x) و ب( x) – ب.م. در x ® x 0 .

تعاریف.

1) الف( x) تماس گرفت بی نهایت کوچک بیشتر نظم بالاچگونه ب (x) اگر

بنویسید: الف( x) = o(b( x)) .

2) الف( x) وب( x)نامیده می شوند بینهایت کوچک از همان ترتیب، اگر

جایی که سیÎℝ و سی¹ 0 .

بنویسید: الف( x) = O(ب( x)) .

3) الف( x) وب( x) نامیده می شوند معادل , اگر

بنویسید: الف( x) ~ ب( x).

4) الف( x) بی نهایت کوچک از مرتبه k نسبی نامیده می شود
کاملا بی نهایت کوچکب( x), اگر بی نهایت کوچک باشدالف( x)و(ب( x)) ک همین ترتیب را داشته باشند، یعنی اگر

جایی که سیÎℝ و سی¹ 0 .

قضیه 6 (در مورد جایگزینی بینهایت کوچک با موارد معادل).

اجازه دهیدالف( x), ب( x), یک 1 ( x), b 1 ( x)- b.m. در x ® x 0 . اگرالف( x) ~ یک 1 ( x), ب( x) ~ b 1 ( x),

که

اثبات: اجازه دهید a( x) ~ یک 1 ( x), ب( x) ~ b 1 ( x)، سپس

قضیه 7 (در مورد قسمت اصلی بینهایت کوچک).

اجازه دهیدالف( x)وب( x)- b.m. در x ® x 0 ، وب( x)- b.m. مرتبه بالاتر ازالف( x).

= , a از آنجایی که b( x) – مرتبه بالاتر از a( x)، سپس، یعنی. از واضح است که یک ( x) + ب( x) ~ a( x)

10) پیوستگی یک تابع در یک نقطه (به زبان اپسیلون-دلتا، حدود هندسی) پیوستگی یک طرفه. تداوم در یک بازه، در یک بخش. خواص توابع پیوسته

1. تعاریف اساسی

اجازه دهید f(x) در برخی از همسایگی های نقطه تعریف شده است x 0 .

تعریف 1. تابع f(x) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه x 0 اگر برابری درست باشد

یادداشت ها.

1) به موجب قضیه 5 §3، برابری (1) را می توان به شکل نوشت

شرایط (2) - تعریف تداوم یک تابع در یک نقطه از زبان محدودیت های یک طرفه.

2) برابری (1) را می توان به صورت زیر نیز نوشت:

می گویند: «اگر تابعی در نقطه ای پیوسته باشد x 0، سپس علامت حد و تابع را می توان با هم عوض کرد."

تعریف 2 (به زبان e-d).

تابع f(x) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه x 0 اگر"e>0 $d>0 چنین, چی

اگر xОU( x 0، د) (یعنی | x – x 0 | < d),

سپس f(x)ÎU( f(x 0)، ه) (یعنی | f(x) – f(x 0) | < e).

اجازه دهید x, x 0 Î D(f) (x 0 - ثابت، x –دلخواه)

نشان دهیم: D x= x – x 0 – افزایش آرگومان

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – افزایش تابع در نقطه ایکس 0

تعریف 3 (هندسی).

تابع f(x) در تماس گرفت پیوسته در یک نقطه x 0 اگر در این مرحله یک افزایش بی نهایت کوچک در آرگومان با یک افزایش بی نهایت کوچک در تابع مطابقت داشته باشد، یعنی

اجازه دهید تابع f(x) در بازه [ x 0 ; x 0 + d) (در بازه ( x 0 - d; x 0 ]).

تعریف. تابع f(x) تماس گرفت پیوسته در یک نقطه x 0 درست است (سمت چپ ), اگر برابری درست باشد

بدیهی است که f(x) در نقطه ممتد است x 0 Û f(x) در نقطه ممتد است x 0 راست و چپ

تعریف. تابع f(x) تماس گرفت پیوسته برای یک بازه e ( الف; ب) اگر در هر نقطه از این بازه پیوسته باشد.

تابع f(x) پیوسته روی قطعه نامیده می شود [الف; ب] اگر در بازه ممتد باشد (الف; ب) و در نقاط مرزی تداوم یک طرفه دارد(یعنی پیوسته در نقطه الفدر سمت راست، در نقطه ب- چپ).

11) نقاط شکست، طبقه بندی آنها

تعریف. اگر تابع f(x) در نزدیکی نقطه x تعریف شده است 0 , اما در این مرحله پیوسته نیست f(x) در نقطه x ناپیوسته نامیده می شود 0 , و خود نکته x 0 نقطه شکست نامیده می شود توابع f(x) .

یادداشت ها.

1) f(x) را می توان در یک همسایگی ناقص نقطه تعریف کرد x 0 .

سپس پیوستگی یک طرفه مربوط به تابع را در نظر بگیرید.

2) از تعریف نقطه Þ x 0 نقطه شکست تابع است f(x) در دو مورد:

الف) U( x 0، د)О D(f) اما برای f(x) برابری برقرار نیست

ب) U * ( x 0، د)О D(f) .

برای توابع ابتدایی، فقط مورد ب) امکان پذیر است.

اجازه دهید x 0 - نقطه شکست تابع f(x) .

تعریف. نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست من به نوعی اگر تابع f(x)در این نقطه دارای محدودیت های محدود در چپ و راست است.

اگر این حدود مساوی هستند، نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست قابل جابجایی , در غیر این صورت - نقطه پرش .

تعریف. نقطه x 0 تماس گرفت نقطه شکست II به نوعی اگر حداقل یکی از حدود یک طرفه تابع f باشد(x)در این مرحله برابر است¥ یا وجود ندارد.

12) ویژگی های توابع پیوسته روی یک بازه (قضیه های وایرشتراس (بدون اثبات) و کوشی

قضیه وایرشتراس

پس اجازه دهید تابع f(x) در بازه پیوسته باشد

1)f(x) محدود به

2)f(x) کوچکترین مقدار خود را در بازه و می گیرد بالاترین ارزش

تعریف: مقدار تابع m=f کوچکترین مقدار اگر m≤f(x) برای هر x€ D(f) نامیده می شود.

مقدار تابع m=f اگر m≥f(x) برای هر x € D(f) بزرگترین باشد.

تابع می تواند کوچکترین/بزرگترین مقدار را در چندین نقطه از بخش به خود بگیرد.

f(x 3) = f(x 4) = حداکثر

قضیه کوشی.

فرض کنید تابع f(x) روی قطعه پیوسته باشد و x عدد موجود بین f(a) و f(b) باشد، پس حداقل یک نقطه x 0 € وجود دارد به طوری که f(x 0) = g

این مقاله: «دومین حد قابل توجه» به افشا در محدوده عدم قطعیت های شکل اختصاص دارد:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ و $^\infty $.

همچنین، چنین عدم قطعیت هایی را می توان با استفاده از لگاریتم تابع نمایی آشکار کرد، اما این روش حل دیگری است که در مقاله دیگری به آن پرداخته خواهد شد.

فرمول و پیامدها

فرمولمحدودیت قابل توجه دوم به صورت زیر نوشته شده است: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $$

از فرمول بر می آید عواقب، که برای حل مثال هایی با محدودیت ها بسیار راحت هستند: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( کجا ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $ $ \lim_(x \ به 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

شایان ذکر است که حد قابل توجه دوم را نمی توان همیشه برای یک تابع نمایی اعمال کرد، بلکه فقط در مواردی که پایه به وحدت تمایل دارد. برای این کار ابتدا حد پایه را به صورت ذهنی محاسبه کنید و سپس نتیجه گیری کنید. همه اینها در راه حل های مثال مورد بحث قرار خواهند گرفت.

نمونه هایی از راه حل ها

بیایید به نمونه هایی از راه حل ها با استفاده از فرمول مستقیم و پیامدهای آن نگاه کنیم. ما همچنین مواردی را که در آن فرمول مورد نیاز نیست، تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. فقط کافی است یک پاسخ آماده را یادداشت کنید.

مثال 1

حد $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ را پیدا کنید

راه حل

بیایید بی نهایت را به حد جایگزین کنیم و به عدم قطعیت نگاه کنیم: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\frac (\infty)(\infty)\bigg)^\infty $$ بیایید حد پایه را پیدا کنیم: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ ما پایه ای برابر با یک به دست آورده ایم، به این معنی که می توانیم از قبل محدودیت قابل توجه دوم را اعمال کنیم. برای انجام این کار، بیایید پایه تابع را با تفریق و اضافه کردن یک به فرمول تنظیم کنیم: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ big(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ بیایید نتیجه دوم را بررسی کنیم و پاسخ را بنویسیم: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما راه حل دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ دهید

$$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$

مثال 4

حل محدودیت $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $

راه حل

حد پایه را پیدا می کنیم و می بینیم که $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $، یعنی می توانیم محدودیت قابل توجه دوم را اعمال کنیم. طبق طرح استاندارد، یک عدد را از پایه مدرک جمع و کم می کنیم: $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ کسر را با فرمول نت دوم تنظیم می کنیم. حد: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ حالا بیایید درجه را تنظیم کنیم. توان باید دارای کسری برابر با مخرج پایه $ \frac(3x^2-2)(6) $ باشد. برای این کار، درجه را ضرب و تقسیم بر آن کنید و به حل ادامه دهید: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ حد موجود در توان در $ e $ برابر است با: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. بنابراین، در ادامه راه حل داریم:

پاسخ دهید

$$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$

اجازه دهید مواردی را بررسی کنیم که مشکل مشابه محدودیت قابل توجه دوم است، اما بدون آن قابل حل است.

در مقاله: «دومین حد قابل توجه: نمونه‌هایی از راه‌حل‌ها» فرمول، پیامدهای آن مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت و انواع مشکلات رایج در این موضوع ارائه شد.

از مقاله بالا می توانید دریابید که محدودیت چیست و با چه چیزی خورده می شود - این بسیار مهم است. چرا؟ شما ممکن است درک نکنید که چه چیزهایی هستند و آنها را با موفقیت حل کنید، ممکن است اصلاً درک نکنید که یک مشتق چیست و آنها را با "A" بیابید. اما اگر نمی دانید محدودیت چیست، حل وظایف عملی دشوار خواهد بود. همچنین ایده خوبی خواهد بود که با نمونه راه حل ها و توصیه های طراحی من آشنا شوید. تمام اطلاعات به صورت ساده و در دسترس ارائه شده است.

و برای اهداف این درس به مواد آموزشی زیر نیاز داریم: محدودیت های شگفت انگیزو فرمول های مثلثاتی. آنها را می توان در صفحه پیدا کرد. بهتر است کتابچه ها را چاپ کنید - بسیار راحت تر است، و علاوه بر این، اغلب مجبور خواهید بود به آنها به صورت آفلاین مراجعه کنید.

چه چیزی در مورد محدودیت های قابل توجه خاص است؟ نکته قابل توجه در مورد این محدودیت ها این است که آنها توسط بزرگترین ذهن های ریاضیدانان مشهور ثابت شده اند و فرزندان سپاسگزار مجبور نیستند از محدودیت های وحشتناکی با انبوهی از توابع مثلثاتی، لگاریتم ها و قدرت ها رنج ببرند. یعنی در زمان یافتن حدود از نتایج آماده ای که به صورت تئوری ثابت شده است استفاده می کنیم.

چندین محدودیت فوق العاده وجود دارد، اما در عمل، در 95٪ موارد، دانش آموزان پاره وقت دو محدودیت فوق العاده دارند: اولین حد فوق العاده, دومین محدودیت فوق العاده. لازم به ذکر است که اینها اسامی تثبیت شده تاریخی هستند و وقتی مثلاً از "نخستین حد قابل توجه" صحبت می کنند ، منظور آنها یک چیز کاملاً خاص است و نه محدودیت تصادفی از سقف.

اولین حد فوق العاده

محدودیت زیر را در نظر بگیرید: (به جای حرف بومی "او" از حرف یونانی "آلفا" استفاده می کنم، این از نظر ارائه مطالب راحت تر است).

طبق قانون ما برای یافتن محدودیت ها (به مقاله مراجعه کنید محدودیت ها نمونه هایی از راه حل ها) سعی می کنیم صفر را جایگزین تابع کنیم: در صورت حساب صفر می شود (سینوس صفر صفر است) و در مخرج بدیهی است که صفر نیز وجود دارد. بنابراین با عدم قطعیت شکل مواجه هستیم که خوشبختانه نیازی به افشای آن نیست. در اطلاع تجزیه و تحلیل ریاضی، ثابت می شود که:

این واقعیت ریاضی نامیده می شود اولین حد فوق العاده. من یک مدرک تحلیلی از حد ارائه نمی کنم، اما اینجاست: معنی هندسیدر مورد آن را در کلاس بررسی خواهیم کرد توابع بی نهایت کوچک.

اغلب در وظایف عملیتوابع را می توان متفاوت مرتب کرد، چیزی را تغییر نمی دهد:

- همان حد فوق العاده اول.

اما شما نمی توانید صورت و مخرج را دوباره مرتب کنید! اگر محدودیتی در فرم داده شده باشد، باید به همان شکل حل شود، بدون اینکه چیزی دوباره تنظیم شود.

در عمل، نه تنها یک متغیر می تواند به عنوان یک پارامتر عمل کند، بلکه همچنین عملکرد ابتدایی, تابع پیچیده. تنها نکته مهم این است که به سمت صفر میل می کند.

مثال ها:
, , ,

اینجا،،، ، و همه چیز خوب است - اولین محدودیت فوق العاده قابل اجرا است.

اما مدخل زیر بدعت است:

چرا؟ چون چندجمله ای به صفر تمایل ندارد، به پنج گرایش دارد.

به هر حال، یک سوال سریع: محدودیت چیست؟ ? پاسخ را می توان در انتهای درس یافت.

در عمل، همه چیز چندان هموار نیست. هوم... من دارم این سطرها را می نویسم و ​​یک فکر بسیار مهم به ذهنم خطور کرد - بالاخره بهتر است تعاریف و فرمول های ریاضی «رایگان» را به خاطر بسپارید، این می تواند کمک ارزشمندی در آزمون ارائه کند، زمانی که این سؤال انجام شود. بین «دو» و «سه» تصمیم گیری شود، و معلم تصمیم می گیرد از دانش آموز سؤال ساده یا پیشنهادی برای حل آن بپرسد. ساده ترین مثال(«شاید او (ها) هنوز چه چیزی را بداند؟!»).

بیایید به بررسی ادامه دهیم نمونه های عملی:

مثال 1

حد را پیدا کنید

اگر متوجه یک سینوس در حد شدیم، باید بلافاصله ما را به فکر کردن در مورد امکان اعمال اولین حد قابل توجه بیندیشیم.

ابتدا سعی می کنیم 0 را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنیم (این کار را به صورت ذهنی یا به صورت پیش نویس انجام می دهیم):

بنابراین ما یک عدم قطعیت در فرم داریم حتما نشان دهیددر تصمیم گیری عبارت زیر علامت حد شبیه به اولین حد فوق العاده است، اما این دقیقاً آن نیست، زیر سینوس است، اما در مخرج است.

در چنین مواردی، ما باید اولین محدودیت قابل توجه را خودمان با استفاده از یک تکنیک مصنوعی سازماندهی کنیم. خط استدلال می تواند به شرح زیر باشد: "تحت سینوس ما داریم ، به این معنی که ما نیز باید مخرج را وارد کنیم."
و این کار بسیار ساده انجام می شود:

یعنی مخرج به طور مصنوعی در این مورد در 7 ضرب و بر همان هفت تقسیم می شود. حالا ضبط ما شکلی آشنا به خود گرفته است.
هنگامی که کار با دست ترسیم می شود، توصیه می شود اولین حد قابل توجه را با یک مداد ساده مشخص کنید:

چه اتفاقی افتاد؟ در واقع، بیان دایره ای ما به یک واحد تبدیل شد و در کار ناپدید شد:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند خلاص شدن از شر کسری سه طبقه است:

چه کسی ساده سازی کسرهای چند سطحی را فراموش کرده است، لطفاً مطالب را در کتاب مرجع تازه کنید. فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه .

آماده است. پاسخ نهایی:

اگر نمی خواهید از علامت مداد استفاده کنید، راه حل را می توان به این صورت نوشت:

“

بیایید از اولین محدودیت فوق العاده استفاده کنیم

“

مثال 2

حد را پیدا کنید

باز هم کسری و سینوس را در حد می بینیم. بیایید سعی کنیم صفر را با صورت و مخرج جایگزین کنیم:

در واقع، ما عدم اطمینان داریم و بنابراین، باید سعی کنیم اولین حد شگفت انگیز را سازماندهی کنیم. در کلاس محدودیت ها نمونه هایی از راه حل هاما این قاعده را در نظر گرفتیم که وقتی عدم قطعیت داریم، باید صورت و مخرج را فاکتور بگیریم. در اینجا هم همین است، ما درجات را به عنوان یک محصول (ضریب) نشان خواهیم داد:

مشابه مثال قبلی، ما یک مداد در اطراف حدود قابل توجه می کشیم (در اینجا دو مورد از آنها وجود دارد)، و نشان می دهیم که آنها تمایل به وحدت دارند:

در واقع، پاسخ آماده است:

در مثال‌های زیر، من در Paint هنر انجام نمی‌دهم، فکر می‌کنم چگونه یک راه‌حل را به درستی در یک نوت بوک ترسیم کنم - قبلاً متوجه شده‌اید.

مثال 3

حد را پیدا کنید

صفر را به عبارت زیر علامت حد جایگزین می کنیم:

یک عدم قطعیت به دست آمده است که باید افشا شود. اگر یک مماس در حد وجود داشته باشد، تقریباً همیشه با استفاده از فرمول مثلثاتی شناخته شده به سینوس و کسینوس تبدیل می‌شود (به هر حال، آنها تقریباً همان کار را با کوتانژانت انجام می‌دهند، به شکل 1.3.1 مراجعه کنید). مواد روش شناختی داغ فرمول های مثلثاتی در صفحه فرمول های ریاضی، جداول و مواد مرجع).

در این مورد:

کسینوس صفر برابر است با یک، و خلاص شدن از شر آن آسان است (فراموش نکنید که علامت بزنید که به یک میل دارد):

بنابراین، اگر کسینوس در حد یک MULTIPLIER باشد، به طور تقریبی، باید به یک واحد تبدیل شود که در محصول ناپدید می شود.

در اینجا همه چیز ساده تر شد، بدون هیچ ضرب و تقسیم. اولین محدودیت قابل توجه نیز به یک تبدیل می شود و در محصول ناپدید می شود:

در نتیجه بی نهایت به دست می آید و این اتفاق می افتد.

مثال 4

حد را پیدا کنید

بیایید سعی کنیم صفر را با صورت و مخرج جایگزین کنیم:

عدم قطعیت به دست می آید (کسینوس صفر همانطور که به یاد داریم برابر با یک است)

از فرمول مثلثاتی استفاده می کنیم. توجه داشته باشید! به دلایلی، محدودیت های استفاده از این فرمول بسیار رایج است.

اجازه دهید عوامل ثابت را فراتر از نماد حد انتقال دهیم:

بیایید اولین محدودیت فوق العاده را سازماندهی کنیم:

در اینجا ما فقط یک محدودیت قابل توجه داریم که به یکی تبدیل می شود و در محصول ناپدید می شود:

بیایید از ساختار سه طبقه خلاص شویم:

حد در واقع حل شده است، نشان می دهیم که سینوس باقیمانده به سمت صفر میل می کند:

مثال 5

حد را پیدا کنید

این مثال پیچیده تر است، سعی کنید خودتان آن را بفهمید:

برخی از محدودیت ها را می توان با تغییر یک متغیر به اولین حد قابل توجه کاهش داد، می توانید در این مورد کمی بعد در مقاله بخوانید. روش های حل حدود.

دومین محدودیت فوق العاده

در تئوری تحلیل ریاضی ثابت شده است که:

این واقعیت نامیده می شود دومین محدودیت فوق العاده.

مرجع: یک عدد غیر منطقی است

پارامتر می تواند نه تنها یک متغیر، بلکه یک تابع پیچیده باشد. تنها چیزی که مهم است این است که برای بی نهایت تلاش می کند.

مثال 6

حد را پیدا کنید

وقتی عبارت زیر علامت حد در درجه باشد، این اولین علامتی است که باید سعی کنید حد فوق العاده دوم را اعمال کنید.

اما ابتدا، مثل همیشه، سعی می کنیم یک عدد بی نهایت بزرگ را در عبارت جایگزین کنیم، اصلی که توسط آن انجام می شود در درس مورد بحث قرار می گیرد. محدودیت ها نمونه هایی از راه حل ها.

به راحتی می توان متوجه شد که وقتی پایه درجه است و توان آن است ، یعنی عدم قطعیت شکل وجود دارد:

این عدم قطعیت دقیقاً با کمک دومین حد قابل توجه آشکار می شود. اما، همانطور که اغلب اتفاق می افتد، دومین حد شگفت انگیز روی یک بشقاب نقره ای قرار نمی گیرد و باید به طور مصنوعی سازماندهی شود. شما می توانید به صورت زیر دلیل کنید: در این مثال پارامتر . برای این کار، پایه را به پاور می بریم و برای اینکه عبارت تغییر نکند، آن را به پاور می بریم:

وقتی کار با دست کامل شد، با مداد علامت می زنیم:

تقریباً همه چیز آماده است، درجه وحشتناک به یک نامه زیبا تبدیل شده است:

در این حالت خود آیکون حد را به نشانگر منتقل می کنیم:

مثال 7

حد را پیدا کنید

توجه! این نوع محدودیت اغلب اتفاق می افتد، لطفا این مثال را با دقت مطالعه کنید.

بیایید سعی کنیم یک عدد بی نهایت بزرگ را در عبارت زیر علامت حد جایگزین کنیم:

نتیجه عدم قطعیت است. اما محدودیت قابل توجه دوم در مورد عدم قطعیت فرم اعمال می شود. چه باید کرد؟ باید پایه مدرک را تبدیل کنیم. ما اینگونه استدلال می کنیم: در مخرج که داریم، به این معنی که در صورت نیز باید سازماندهی کنیم.

اولین حد قابل توجه برابری زیر است:

\begin(معادله)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله)

از آنجایی که برای $\alpha\to(0)$ ما $\sin\alpha\to(0)$ داریم، آنها می گویند که اولین حد قابل توجه عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ را نشان می دهد. به طور کلی، در فرمول (1)، به جای متغیر $\alpha$، هر عبارتی را می توان در زیر علامت سینوس و مخرج قرار داد، تا زمانی که دو شرط وجود داشته باشد:

1. عبارات زیر علامت سینوس و مخرج به طور همزمان به صفر تمایل دارند، یعنی. عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد.
2. عبارات زیر علامت سینوس و مخرج یکسان است.

نتایج حاصل از اولین حد قابل توجه نیز اغلب استفاده می شود:

\begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادله) \begin(معادله) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \پایان (معادله)

یازده مثال در این صفحه حل شده است. مثال شماره 1 به اثبات فرمول های (2)-(4) اختصاص دارد. مثال های شماره 2، شماره 3، شماره 4 و شماره 5 حاوی راه حل هایی با نظرات دقیق هستند. مثال‌های شماره 6-10 حاوی راه‌حل‌هایی هستند که عملاً هیچ نظری ندارند، زیرا توضیحات مفصلی در مثال‌های قبلی ارائه شده است. راه حل از برخی فرمول های مثلثاتی استفاده می کند که می توان آنها را پیدا کرد.

اجازه دهید توجه داشته باشم که وجود توابع مثلثاتی همراه با عدم قطعیت $\frac (0) (0)$ به این معنی نیست درخواست اجباریاولین محدودیت قابل توجه گاهی اوقات تبدیل های مثلثاتی ساده کافی است - برای مثال، ببینید.

مثال شماره 1

ثابت کنید $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

الف) از آنجایی که $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$، پس:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

از آنجایی که $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ و $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$، که:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

ب) تغییر $\alpha=\sin(y)$ را انجام دهیم. از آنجایی که $\sin(0)=0$، پس از شرط $\alpha\to(0)$، $y\to(0)$ داریم. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که در آن $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$، بنابراین:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

ج) جایگزین $\alpha=\tg(y)$ را بسازیم. از آنجایی که $\tg(0)=0$، پس شرایط $\alpha\to(0)$ و $y\to(0)$ معادل هستند. علاوه بر این، یک همسایگی صفر وجود دارد که در آن $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ وجود دارد، بنابراین بر اساس نتایج نقطه a) خواهیم داشت:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

برابری $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ثابت شده است.

برابری های a)، b)، c) اغلب همراه با اولین حد قابل توجه استفاده می شود.

مثال شماره 2

حد $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) را محاسبه کنید (x+7))$.

از آنجایی که $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ و $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$، یعنی. و صورت و مخرج کسر به طور همزمان به صفر میل می کنند، پس در اینجا با عدم قطعیتی از شکل $\frac(0)(0)$ سروکار داریم، یعنی. انجام شد. علاوه بر این، واضح است که عبارات زیر علامت سینوس و مخرج منطبق است (یعنی و راضی است):

بنابراین، هر دو شرط ذکر شده در ابتدای صفحه وجود دارد. از این نتیجه می شود که فرمول قابل اجرا است، یعنی. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 )) = 1 دلار.

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\راست))(\frac(x^2-4)(x +7)) = 1 دلار.

مثال شماره 3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ و $\lim_(x\to(0))x=0$، پس با عدم قطعیت شکل $\frac روبرو هستیم. (0)(0)$، یعنی. انجام شد. با این حال، عبارات زیر علامت سینوس و در مخرج منطبق نیستند. در اینجا باید عبارت در مخرج را به شکل دلخواه تنظیم کنید. ما نیاز داریم که عبارت $9x$ در مخرج باشد، سپس درست می شود. اساساً، ما ضریب 9 دلار را در مخرج از دست می دهیم، که وارد کردن آن چندان سخت نیست - فقط عبارت در مخرج را در 9 دلار ضرب کنید. به طور طبیعی، برای جبران ضرب در 9 دلار، باید بلافاصله بر 9 دلار تقسیم کنید:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

حال عبارات مخرج و زیر علامت سینوس بر هم منطبق هستند. هر دو شرط برای محدودیت $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ برآورده می شود. بنابراین، $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. و این به این معنی است که:

$9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

مثال شماره 4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ و $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$، در اینجا با عدم قطعیت فرم سروکار داریم. $\frac(0)(0)$. با این حال، شکل اولین حد قابل توجه نقض شده است. یک عدد شامل $\sin(5x)$ به مخرج $5x$ نیاز دارد. در این شرایط، ساده‌ترین راه این است که صورت‌گر را بر 5x$ تقسیم کرده و فوراً در 5x$ ضرب کنیم. علاوه بر این، عملیات مشابهی را با مخرج انجام می دهیم و $\tg(8x)$ را در $8x$ ضرب و تقسیم می کنیم:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

با کاهش $x$ و در نظر گرفتن ثابت $\frac(5)(8)$ خارج از علامت حد، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

توجه داشته باشید که $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ به طور کامل الزامات اولین حد قابل توجه را برآورده می کند. برای پیدا کردن $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ فرمول زیر قابل استفاده است:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

مثال شماره 5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (به یاد داشته باشید که $\cos(0)=1$) و $\ lim_(x\to(0))x^2=0$، پس با عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. با این حال، برای اعمال اولین حد قابل توجه، باید از کسینوس در صورت خلاص شوید و به سینوس ها (برای اعمال فرمول) یا مماس ها (برای اعمال فرمول) بروید. این را می توان با تبدیل زیر انجام داد:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\راست)$$$$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

بیایید به حد مجاز برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\راست) $$

کسر $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ در حال حاضر به شکل مورد نیاز برای اولین حد قابل توجه نزدیک است. بیایید کمی با کسری $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ کار کنیم و آن را به اولین حد قابل توجه تنظیم کنیم (توجه داشته باشید که عبارات در عدد و زیر سینوس باید مطابقت داشته باشند):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2$$

بیایید به حد مورد نظر برگردیم:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\راست)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) = 25. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

مثال شماره 6

حد $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ و $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$، پس ما با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. اجازه دهید با کمک اولین حد قابل توجه آن را آشکار کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید از کسینوس به سینوس حرکت کنیم. از آنجایی که $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$، پس:

$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

با عبور از سینوس در حد داده شده، خواهیم داشت:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\چپ|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\راست)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

مثال شماره 7

حد $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ را با توجه به $\alpha\neq محاسبه کنید \ بتا$.

توضیحات مفصل قبلا داده شد، اما در اینجا به سادگی توجه می کنیم که دوباره عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ وجود دارد. بیایید با استفاده از فرمول از کسینوس به سینوس حرکت کنیم

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

با استفاده از این فرمول، دریافت می کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ بتا(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to (0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ آلفا^2)(2)$.

مثال شماره 8

حد $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (به یاد داشته باشید که $\sin(0)=\tg(0)=0$) و $\ lim_(x\to(0))x^3=0$، پس در اینجا با عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ سروکار داریم. بیایید آن را به صورت زیر تقسیم کنیم:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\راست))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\راست))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

مثال شماره 9

حد $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2)) را پیدا کنید.

از آنجایی که $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ و $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$، سپس عدم قطعیت شکل $\frac(0)(0)$ وجود دارد. قبل از ادامه گسترش آن، راحت است که متغیر را به گونه ای تغییر دهید که متغیر جدید به صفر گرایش پیدا کند (توجه داشته باشید که در فرمول ها متغیر $\alpha \ به 0$). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=x-3$ است. با این حال، به منظور راحتی تغییرات بیشتر (این مزیت را می توان در مسیر راه حل ارائه شده در زیر مشاهده کرد)، ارزش جایگزینی زیر را دارد: $t=\frac(x-3)(2)$. توجه می کنم که هر دو جایگزین در این مورد قابل اجرا هستند، فقط جایگزینی دوم به شما امکان می دهد کمتر با کسری کار کنید. از $x\to(3)$، سپس $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\چپ|\frac (0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\راست) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

مثال شماره 10

حد $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right) را پیدا کنید. 2) دلار.

بار دیگر با عدم قطعیت $\frac(0)(0)$ روبرو هستیم. قبل از ادامه بسط آن، راحت است که متغیر را به گونه ای تغییر دهید که متغیر جدید به سمت صفر گرایش پیدا کند (توجه داشته باشید که در فرمول ها متغیر $\alpha\to(0)$ است). ساده ترین راه معرفی متغیر $t=\frac(\pi)(2)-x$ است. از $x\to\frac(\pi)(2)$، سپس $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\راست)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\چپ|\begin(تراز شده)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(تراز شده)\راست| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\راست)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

مثال شماره 11

محدودیت های $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) را پیدا کنید \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

در این مورد ما مجبور نیستیم از اولین محدودیت فوق العاده استفاده کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که حد اول و دوم فقط شامل توابع و اعداد مثلثاتی هستند. اغلب در نمونه هایی از این نوع می توان عبارت واقع در زیر علامت حد را ساده کرد. همچنین پس از ساده سازی و کاهش برخی عوامل مذکور، عدم قطعیت از بین می رود. من این مثال را فقط برای یک هدف آوردم: نشان دادن اینکه وجود توابع مثلثاتی در زیر علامت حد لزوماً به معنای استفاده از اولین حد قابل توجه نیست.

از آنجایی که $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (به یاد داشته باشید که $\sin\frac(\pi)(2)=1$) و $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (اجازه دهید به شما یادآوری کنم که $\cos\frac(\pi)(2)=0$)، سپس ما داریم برخورد با عدم قطعیت فرم $\frac(0)(0)$. با این حال، این بدان معنا نیست که ما نیاز به استفاده از اولین محدودیت فوق العاده خواهیم داشت. برای آشکار کردن عدم قطعیت، کافی است در نظر بگیرید که $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\راست| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

راه حل مشابهی در کتاب حل دمیدویچ (شماره 475) وجود دارد. در مورد محدودیت دوم، مانند مثال های قبلی در این بخش، عدم قطعیت به شکل $\frac(0)(0)$ داریم. چرا بوجود می آید؟ دلیل آن است که $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ و $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. ما از این مقادیر برای تبدیل عبارات در صورت و مخرج استفاده می کنیم. هدف از اقدامات ما این است که جمع را در صورت و مخرج به عنوان یک حاصل ضرب بنویسیم. به هر حال، اغلب در یک نوع مشابه، تغییر یک متغیر راحت است، ساخته شده به گونه ای که متغیر جدید به سمت صفر میل کند (به عنوان مثال، به مثال های شماره 9 یا شماره 10 در این صفحه مراجعه کنید). با این حال، در این مثال جایگزین کردن هیچ فایده ای ندارد، اگرچه در صورت تمایل، جایگزینی متغیر $t=x-\frac(2\pi)(3)$ دشوار نیست.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\راست )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2 \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

همانطور که می بینید، ما مجبور نبودیم اولین محدودیت فوق العاده را اعمال کنیم. البته در صورت تمایل می توانید این کار را انجام دهید (به یادداشت زیر مراجعه کنید) اما لازم نیست.

راه حل با استفاده از اولین حد قابل توجه چیست؟ نمایش/پنهان کردن

با استفاده از اولین محدودیت قابل توجه به دست می آوریم:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\راست))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ راست))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\راست) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

پاسخ دهید: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) دلار.