معادله مماس بر نمودار یک تابع

پی. رومانوف، تی. رومانوا،
مگنیتوگورسک،
منطقه چلیابینسک

معادله مماس بر نمودار یک تابع

این مقاله با حمایت مجتمع هتلی ITAKA+ منتشر شده است. هنگام اقامت در شهر کشتی سازان Severodvinsk، با مشکل یافتن مسکن موقت مواجه نخواهید شد. ، در سایت مجتمع هتلی "ITHAKA+" http://itakaplus.ru می توانید به راحتی و به سرعت آپارتمان در شهر را برای هر دوره ای با پرداخت روزانه اجاره کنید.

بر مرحله مدرنتوسعه آموزش، یکی از وظایف اصلی آن، تشکیل شخصیت خلاقانه است. توانایی خلاقیت در دانش آموزان تنها در صورتی می تواند توسعه یابد که آنها به طور سیستماتیک در اصول فعالیت های تحقیقاتی درگیر شوند. شالوده استفاده دانش آموزان از قدرت ها، توانایی ها و استعدادهای خلاقانه، دانش و مهارت های تمام عیار است. در این راستا مشکل تشکیل نظام دانش و مهارت های پایه برای هر مبحث درس ریاضی مدرسه اهمیت کمی ندارد. در عین حال، مهارت های تمام عیار باید یک هدف آموزشی باشد نه وظایف فردی، اما سیستم با دقت فکر شده آنها. در گسترده‌ترین مفهوم، یک سیستم به عنوان مجموعه‌ای از عناصر متقابل به هم پیوسته که یکپارچگی و ساختاری پایدار دارند، درک می‌شود.

بیایید تکنیکی را برای آموزش نحوه نوشتن معادله برای مماس بر نمودار یک تابع در نظر بگیریم. اساساً، همه مشکلات یافتن معادله مماس به نیاز به انتخاب از یک مجموعه (بسته، خانواده) خطوط برمی‌گردد که یک نیاز خاص را برآورده می‌کنند - آنها مماس بر نمودار یک تابع خاص هستند. در این مورد، مجموعه خطوطی که انتخاب از آنها انجام می شود به دو صورت قابل تعیین است:

الف) نقطه ای که روی صفحه xOy قرار دارد (مداد مرکزی خطوط).
ب) ضریب زاویه ای (پرتو موازی خطوط مستقیم).

در این راستا، هنگام مطالعه مبحث "مماس بر نمودار یک تابع" به منظور جداسازی عناصر سیستم، دو نوع مشکل را شناسایی کردیم:

1) مسائل مربوط به مماس با نقطه ای که از آن عبور می کند.
2) مشکلات روی مماس داده شده توسط شیب آن.

آموزش حل مسائل مماس با استفاده از الگوریتم پیشنهادی A.G انجام شد. موردکوویچ. تفاوت اساسی آن با موارد شناخته شده در این است که ابسیسا نقطه مماس با حرف a (به جای x0) نشان داده می شود و بنابراین معادله مماس شکل می گیرد.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(مقایسه کنید با y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). تکنیک روشمندبه نظر ما، به دانش آموزان اجازه می دهد تا به سرعت و به راحتی بفهمند که در معادله مماس کلی مختصات نقطه فعلی نوشته شده است و نقاط مماس کجا هستند.

الگوریتم تشکیل معادله مماس بر نمودار تابع y = f(x)

1. آبسیسا نقطه مماس را با حرف a مشخص کنید.
2. f(a) را پیدا کنید.
3. f "(x) و f "(a) را پیدا کنید.
4. اعداد a، f(a)، f "(a) را جایگزین کنید معادله کلیمماس y = f(a) = f "(a)(x – a).

این الگوریتم را می توان بر اساس شناسایی مستقل عملیات توسط دانش آموزان و توالی اجرای آنها تدوین کرد.

تمرین نشان داده است که حل متوالی هر یک از مسائل کلیدی با استفاده از یک الگوریتم به شما امکان می دهد مهارت های نوشتن معادله مماس بر نمودار یک تابع را در مراحل توسعه دهید و مراحل الگوریتم به عنوان نقاط مرجع برای اقدامات عمل می کنند. . این رویکرد مطابق با نظریه شکل گیری تدریجی اعمال ذهنی است که توسط P.Ya توسعه یافته است. گالپرین و N.F. تالیزینا.

در نوع اول وظایف، دو وظیفه کلیدی شناسایی شد:

• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار دارد (مسئله 1).
• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار ندارد (مسئله 2).

وظیفه 1. یک معادله برای مماس بر نمودار تابع بنویسید در نقطه M(3; – 2).

راه حل. نقطه M(3; – 2) یک نقطه مماس است، زیرا

1. a = 3 – آبسیسا نقطه مماس.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4، f "(3) = 5.
y = – 2 + 5 (x – 3)، y = 5x – 17 – معادله مماس.

مسئله 2. معادلات تمام مماس ها بر نمودار تابع y = – x 2 – 4x + 2 را که از نقطه M(– 3; 6) می گذرد بنویسید.

راه حل. نقطه M(– 3; 6) یک نقطه مماس نیست، زیرا f(– 3) 6 (شکل 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4، f “(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – معادله مماس.

مماس از نقطه M(- 3; 6) عبور می کند، بنابراین، مختصات آن معادله مماس را برآورده می کند.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a)
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4، a 2 = – 2.

اگر a = – 4 باشد، معادله مماس y = 4x + 18 است.

اگر a = – 2 باشد، معادله مماس به شکل y = 6 است.

در نوع دوم، وظایف کلیدی به شرح زیر خواهد بود:

• مماس با یک خط موازی است (مسئله 3).
• مماس در یک زاویه معین از خط داده شده عبور می کند (مسئله 4).

مسئله 3. معادلات همه مماس ها بر نمودار تابع y = x 3 – 3x 2 + 3 موازی با خط y = 9x + 1 بنویسید.

راه حل.

1. الف – آبسیسه نقطه مماس.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x، f "(a) = 3a 2 - 6a.

اما، از سوی دیگر، f "(a) = 9 (شرط موازی). این بدان معنی است که ما باید معادله 3a 2 – 6a = 9 را حل کنیم. ریشه های آن a = – 1، a = 3 هستند (شکل 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - معادله مماس.

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – معادله مماس.

مسئله 4. معادله مماس بر نمودار تابع y = 0.5x 2 – 3x + 1 را با زاویه 45 درجه از خط مستقیم y = 0 بنویسید (شکل 4).

راه حل. از شرط f "(a) = قهوهای مایل به زرد 45 درجه، a را پیدا می کنیم: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – آبسیسه نقطه مماس.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – معادله مماس.

به راحتی می توان نشان داد که حل هر مشکل دیگری به حل یک یا چند مشکل کلیدی ختم می شود. دو مشکل زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید.

1. معادلات مماس ها به سهمی y = 2x 2 – 5x – 2 را بنویسید، اگر مماس ها در زاویه قائمه همدیگر را قطع کنند و یکی از آنها با آبسیسا 3 با سهمی در نقطه برخورد کند (شکل 5).

راه حل. از آنجایی که آبسیسا نقطه مماس داده شده است، بخش اول راه حل به مسئله کلیدی 1 کاهش می یابد.

1. a = 3 – آبسیسه نقطه مماس یکی از اضلاع زاویه قائمه.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5، f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7 (x – 3)، y = 7x – 20 – معادله مماس اول.

اجازه دهید a – زاویه میل مماس اول. از آنجایی که مماس ها عمود هستند، پس زاویه میل مماس دوم است. از معادله y = 7x – 20 مماس اول tg داریم a = 7. بیایید پیدا کنیم

یعنی شیب مماس دوم برابر است با .

راه حل بیشتر به وظیفه کلیدی 3 می رسد.

فرض کنید B(c؛ f(c)) نقطه مماس خط دوم باشد

1. – آبسیسه نقطه مماس دوم.
2.
3.
4.
- معادله مماس دوم

توجه داشته باشید. اگر دانش‌آموزان نسبت ضرایب خطوط عمود بر k 1 k 2 = - 1 را بدانند، ضریب زاویه‌ای مماس را راحت‌تر می‌توان یافت.

2. معادلات تمام مماس های مشترک بر نمودار توابع را بنویسید

راه حل. کار به یافتن آبسیسا نقاط مماس مماس های مشترک می رسد، یعنی حل مسئله کلیدی 1 به شکل کلی، ترسیم یک سیستم معادلات و سپس حل آن (شکل 6).

1. فرض کنید a آبسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع y = x 2 + x + 1 باشد.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. فرض کنید c ابسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع باشد.
2.
3. f "(c) = c.
4.

از آنجایی که مماس ها کلی هستند، پس

بنابراین y = x + 1 و y = – 3x – 3 مماس های مشترک هستند.

هدف اصلی وظایف در نظر گرفته شده این است که دانش آموزان را برای تشخیص مستقل نوع مسئله کلیدی در هنگام حل مسائل پیچیده تری که نیاز به مهارت های تحقیقاتی خاصی دارند (توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، تعمیم، ارائه یک فرضیه و غیره) تشخیص دهند. چنین وظایفی شامل هر وظیفه ای است که وظیفه کلیدی به عنوان یک جزء در آن گنجانده شده است. اجازه دهید به عنوان مثال مسئله (معکوس مسئله 1) یافتن تابعی از خانواده مماس های آن را در نظر بگیریم.

3. برای کدام b و c خطوط y = x و y = – 2x مماس بر نمودار تابع y = x 2 + bx + c هستند؟

راه حل.

فرض کنید t ابسیسا نقطه مماس خط مستقیم y = x با سهمی y = x 2 + bx + c باشد. p ابسیسا نقطه مماس خط مستقیم y = – 2x با سهمی y = x 2 + bx + c است. سپس معادله مماس y = x به صورت y = (2t + b)x + c – t 2 و معادله مماس y = – 2x به شکل y = (2p + b)x + c – p 2 خواهد بود. .

بیایید یک سیستم معادلات بسازیم و حل کنیم

پاسخ:

مشکلاتی که باید مستقل حل شوند

1. معادلات مماس های رسم شده بر نمودار تابع y = 2x 2 – 4x + 3 را در نقاط تقاطع نمودار با خط y = x + 3 بنویسید.

پاسخ: y = – 4x + 3، y = 6x – 9.5.

2. مماس ترسیم شده به نمودار تابع y = x 2 – ax در نقطه نمودار با آبسیسا x 0 = 1 برای چه مقادیری از نقطه M(2; 3) عبور می کند؟

پاسخ: a = 0.5.

3. خط مستقیم y = px – 5 برای چه مقادیری منحنی y = 3x 2 – 4x – 2 را لمس می کند؟

پاسخ: p 1 = – 10، p 2 = 2.

4. تمام نقاط مشترک نمودار تابع y = 3x – x 3 و مماس ترسیم شده به این نمودار را از طریق نقطه P(0; 16) بیابید.

پاسخ: الف (2؛ – 2)، ب(– 4؛ 52).

5. کوتاه ترین فاصله بین سهمی y = x 2 + 6x + 10 و خط مستقیم را بیابید.

پاسخ:

6. در منحنی y = x 2 – x + 1، نقطه ای را پیدا کنید که مماس نمودار با خط y – 3x + 1 = 0 موازی است.

پاسخ: م(2؛ 3).

7. معادله مماس بر نمودار تابع y = x 2 + 2x – را بنویسید | 4x |، که آن را در دو نقطه لمس می کند. یک نقاشی بکشید.

پاسخ: y = 2x – 4.

8. ثابت کنید که خط y = 2x – 1 منحنی y = x 4 + 3x 2 + 2x را قطع نمی کند. فاصله بین نزدیکترین نقاط آنها را پیدا کنید.

پاسخ:

9. در سهمی y = x 2، دو نقطه با ابسیسا x 1 = 1، x 2 = 3 گرفته می شود. یک سکانس از این نقاط کشیده می شود. مماس بر آن در چه نقطه ای از سهمی موازی با مقطع خواهد بود؟ معادلات مقطع و مماس را بنویسید.

پاسخ: y = 4x – 3 – معادله سکانس; y = 4x – 4 – معادله مماس.

10. زاویه q را پیدا کنید بین مماس ها بر نمودار تابع y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 که در نقاط با ابسیساهای 0 و 1 رسم شده است.

پاسخ: q = 45 درجه.

11. مماس بر نمودار تابع در چه نقاطی با محور Ox زاویه 135 درجه تشکیل می دهد؟

پاسخ: الف(0؛ – 1)، ب(4؛ 3).

12. در نقطه A(1؛ 8) به منحنی یک مماس رسم شده است. طول پاره مماس بین محورهای مختصات را بیابید.

پاسخ:

13. معادله تمام مماس های مشترک بر نمودارهای توابع y = x 2 – x + 1 و y = 2x 2 – x + 0.5 بنویسید.

پاسخ: y = – 3x و y = x.

14. فاصله مماس ها با نمودار تابع را بیابید موازی با محور x

پاسخ:

15. تعیین کنید که سهمی y = x 2 + 2x – 8 محور x را در چه زوایایی قطع می کند.

پاسخ: q 1 = آرکتان 6، q 2 = آرکتان (– 6).

16. نمودار تابع تمام نقاطی را بیابید که مماس هر یک از آنها بر این نمودار، نیم محورهای مثبت مختصات را قطع می کند و بخش های مساوی را از آنها جدا می کند.

جواب: الف (– 3؛ 11).

17. خط y = 2x + 7 و سهمی y = x 2 – 1 در نقاط M و N قطع می شوند. نقطه تقاطع خطوط مماس بر سهمی را در نقاط M و N پیدا کنید.

پاسخ: K(1; – 9).

18. خط y = 9x + b برای چه مقادیری بر نمودار تابع y = x 3 – 3x + 15 مماس است؟

پاسخ 1؛ 31.

19. خط راست y = kx – 10 برای کدام مقادیر k فقط یک نقطه مشترک با نمودار تابع y = 2x 2 + 3x – 2 دارد؟ برای مقادیر یافت شده k، مختصات نقطه را تعیین کنید.

پاسخ: k 1 = – 5، A(– 2; 0); k 2 = 11، B(2; 12).

20. مماس رسم شده به نمودار تابع y = bx 3 – 2x 2 – 4 برای چه مقادیری از b از نقطه M(1; 8) می گذرد؟

پاسخ: b = – 3.

21. سهمی با راس در محور Ox خطی را که از نقاط A(1; 2) و B(2; 4) در نقطه B می گذرد لمس می کند. معادله سهمی را بیابید.

پاسخ:

22. سهمی y = x 2 + kx + 1 در چه مقداری از ضریب k با محور Ox برخورد می کند؟

پاسخ: k = d 2.

23. زوایای بین خط مستقیم y = x + 2 و منحنی y = 2x 2 + 4x – 3 را بیابید.

29. فاصله مماس ها با نمودار تابع و مولدها را با جهت مثبت محور Ox در زاویه 45 درجه بیابید.

پاسخ:

30. مکان رئوس تمام سهمی های شکل y = x 2 + ax + b مماس بر خط y = 4x – 1 را بیابید.

پاسخ: خط مستقیم y = 4x + 3.

ادبیات

1. Zvavich L.I.، Shlyapochnik L.Ya.، Chinkina M.V. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: 3600 مشکل برای دانش آموزان و کسانی که وارد دانشگاه می شوند. - م.، باستارد، 1999.
2. Mordkovich A. سمینار چهار برای معلمان جوان. موضوع: کاربردهای مشتق. – م.، «ریاضی»، شماره 21/94.
3. شکل گیری دانش و مهارت بر اساس نظریه جذب تدریجی کنش های ذهنی. / اد. P.Ya. گالپرینا، N.F. تالیزینا. - M.، دانشگاه دولتی مسکو، 1968.

این مقاله توضیح مفصلی از تعاریف، معنای هندسی مشتق با نمادهای گرافیکی ارائه می دهد. معادله یک خط مماس با مثال در نظر گرفته می شود، معادلات یک منحنی مماس به مرتبه 2 پیدا می شود.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

زاویه تمایل خط مستقیم y = k x + b را زاویه α می گویند که از جهت مثبت محور x به خط مستقیم y = k x + b در جهت مثبت اندازه گیری می شود.

در شکل، جهت x با یک فلش سبز و یک کمان سبز و زاویه تمایل با یک قوس قرمز نشان داده شده است. خط آبی به خط مستقیم اشاره دارد.

تعریف 2

شیب خط مستقیم y = k x + b را ضریب عددی k می نامند.

ضریب زاویه ای برابر است با مماس خط مستقیم، به عبارت دیگر k = t g α.

• زاویه میل یک خط مستقیم فقط در صورتی برابر با 0 است که حدود x موازی و شیب آن برابر با صفر باشد، زیرا مماس صفر برابر با 0 است. این به این معنی است که شکل معادله y = b خواهد بود.
• اگر زاویه میل خط مستقیم y = k x + b تند باشد، شرایط 0 برقرار است.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0، و افزایش در نمودار وجود دارد.
• اگر α = π 2، آنگاه محل خط عمود بر x است. تساوی با x = c مشخص می شود و مقدار c یک عدد واقعی است.
• اگر زاویه میل خط مستقیم y = k x + b مبهم باشد، آنگاه با شرایط π 2 مطابقت دارد.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

تعریف 3

سکانت خطی است که از 2 نقطه تابع f (x) می گذرد. به عبارت دیگر، سکانت یک خط مستقیم است که از هر دو نقطه در نمودار یک تابع مشخص کشیده می شود.

شکل نشان می دهد که A B یک سکونت است، و f (x) یک منحنی سیاه است، α یک قوس قرمز است، که زاویه تمایل سکانس را نشان می دهد.

هنگامی که ضریب زاویه ای یک خط مستقیم برابر با مماس زاویه میل باشد، واضح است که مماس یک مثلث قائم الزاویه A B C را می توان با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور پیدا کرد.

تعریف 4

ما یک فرمول برای یافتن سکانس فرم دریافت می کنیم:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A، که در آن ابسیساهای نقاط A و B مقادیر x A، x B، و f (x A)، f (x هستند. ب) توابع مقادیر در این نقاط هستند.

بدیهی است که ضریب زاویه ای سکانت با استفاده از برابری k = f (x B) - f (x A) x B - x A یا k = f (x A) - f (x B) x A - x B تعیین می شود. ، و معادله باید به صورت y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) یا
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

سکنت نمودار را از نظر بصری به 3 قسمت تقسیم می کند: سمت چپ نقطه A، از A به B، به سمت راست B. شکل زیر نشان می دهد که سه سکانس وجود دارد که همزمان در نظر گرفته می شوند، یعنی با استفاده از یک تنظیم شده اند. معادله مشابه

با تعریف، مشخص است که یک خط مستقیم و برش آن در در این موردمطابقت دادن

یک سکانت می تواند نمودار یک تابع معین را چندین بار قطع کند. اگر معادله ای به شکل y = 0 برای یک سکانت وجود داشته باشد، تعداد نقاط تقاطع با سینوسی بی نهایت است.

تعریف 5

مماس بر نمودار تابع f (x) در نقطه x 0 ; f (x 0) خط مستقیمی است که از نقطه معین x 0 می گذرد. f (x 0)، با حضور قطعه ای که مقادیر x زیادی نزدیک به x 0 دارد.

مثال 1

بیایید نگاه دقیق تری به مثال زیر بیندازیم. سپس مشخص می شود که خطی که با تابع y = x + 1 تعریف می شود، مماس بر y = 2 x در نقطه با مختصات (1؛ 2) در نظر گرفته می شود. برای وضوح، لازم است نمودارهایی با مقادیر نزدیک به (1؛ 2) در نظر گرفته شود. تابع y = 2 x به رنگ مشکی نشان داده شده است، خط آبی خط مماس و نقطه قرمز نقطه تقاطع است.

بدیهی است که y = 2 x با خط y = x + 1 ادغام می شود.

برای تعیین مماس، ما باید رفتار مماس A B را در نظر بگیریم، زیرا نقطه B به نقطه A بی نهایت نزدیک می شود.

مقطع A B که با خط آبی نشان داده می شود، به سمت موقعیت مماس خود میل می کند و زاویه میل سکنت α شروع به گرایش به زاویه میل خود مماس α x می کند.

تعریف 6

مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه A به عنوان موقعیت محدود کننده A B در نظر گرفته می شود زیرا B به A تمایل دارد، یعنی B → A.

حال بیایید به بررسی معنای هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه بپردازیم.

بیایید به در نظر گرفتن سکانس A B برای تابع f (x)، که در آن A و B با مختصات x 0، f (x 0) و x 0 + ∆ x، f (x 0 + ∆ x)، و ∆ x است حرکت کنیم. به عنوان افزایش استدلال نشان داده شده است. اکنون تابع به شکل ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) خواهد بود. برای وضوح، بیایید یک نمونه از نقاشی را ارائه دهیم.

بیایید نتیجه را در نظر بگیریم راست گوشه A B C. از تعریف مماس برای حل استفاده می کنیم، یعنی رابطه ∆ y ∆ x = t g α را بدست می آوریم. از تعریف مماس چنین بر می آید که lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . طبق قاعده مشتق در یک نقطه، مشتق f (x) در نقطه x 0 را حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان می گویند، جایی که ∆ x → 0 سپس آن را f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x نشان می‌دهیم.

نتیجه می شود که f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x، که در آن k x به عنوان شیب مماس نشان داده می شود.

یعنی دریافتیم که f’ (x) می‌تواند در نقطه x 0 وجود داشته باشد و مماس بر آن را دوست داشته باشد برنامه داده شدهتابع در نقطه مماس برابر با x 0، f 0 (x 0)، که در آن مقدار شیب مماس در نقطه برابر با مشتق در نقطه x 0 است. سپس دریافت می کنیم که k x = f " (x 0).

معنای هندسیمشتق تابع در یک نقطه این است که مفهوم وجود مماس بر نمودار در همان نقطه داده می شود.

برای نوشتن معادله هر خط مستقیم روی صفحه باید ضریب زاویه ای با نقطه ای که از آن می گذرد داشته باشیم. نماد آن در تقاطع x 0 در نظر گرفته می شود.

معادله مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه x 0، f 0 (x 0) به شکل y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) است.

این بدان معنی است که مقدار نهایی مشتق f "(x 0) می تواند موقعیت مماس را تعیین کند، یعنی به صورت عمودی، lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ و lim x → x 0 - را تعیین می کند. 0 f "(x) = ∞ یا اصلاً در شرایط lim x → x 0 + 0 f" (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x) .

مکان مماس به مقدار ضریب زاویه ای آن بستگی دارد k x = f "(x 0). هنگامی که با محور o x موازی باشد، به دست می آوریم که k k = 0، زمانی که موازی با o y - k x = ∞، و شکل معادله مماس x = x 0 با k x > 0 افزایش می یابد، با k x کاهش می یابد< 0 .

مثال 2

معادله ای برای مماس بر نمودار تابع y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 در نقطه ای با مختصات (1؛ 3) تهیه کنید و زاویه میل را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، داریم که تابع برای همه اعداد واقعی تعریف شده است. متوجه می‌شویم که نقطه‌ای با مختصات مشخص شده توسط شرط (1؛ 3) یک نقطه مماس است، سپس x 0 = - 1، f (x 0) = - 3 است.

لازم است مشتق را در نقطه ای با مقدار - 1 پیدا کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

مقدار f' (x) در نقطه مماس، شیب مماس است که برابر با مماس شیب است.

سپس k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

نتیجه می شود که α x = a r c t g 3 3 = π 6

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

برای وضوح، مثالی را در یک تصویر گرافیکی می آوریم.

رنگ سیاه برای نمودار تابع اصلی استفاده می شود، رنگ ابی– تصویر مماس، نقطه قرمز – نقطه مماس. شکل سمت راست نمای بزرگ شده را نشان می دهد.

مثال 3

وجود مماس بر نمودار یک تابع معین را تعیین کنید
y = 3 · x - 1 5 + 1 در نقطه با مختصات (1 ; 1) . معادله بنویسید و زاویه میل را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، داریم که دامنه تعریف یک تابع معین، مجموعه تمام اعداد حقیقی در نظر گرفته شود.

بیایید به سراغ یافتن مشتق برویم

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

اگر x 0 = 1، آنگاه f' (x) تعریف نشده است، اما حدود به صورت lim x نوشته می شود → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ و lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ، که به معنی وجود مماس عمودی در نقطه (1؛ 1).

پاسخ:معادله به شکل x = 1 است که در آن زاویه تمایل برابر با π 2 خواهد بود.

برای وضوح، بیایید آن را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم.

مثال 4

نقاط روی نمودار تابع y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 را پیدا کنید، جایی که

1. هیچ مماس وجود ندارد.
2. مماس موازی x است.
3. مماس با خط y = 8 5 x + 4 موازی است.

راه حل

توجه به محدوده تعریف ضروری است. با شرط، داریم که تابع بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است. ما ماژول را گسترش می دهیم و سیستم را با فواصل x ∈ - ∞ حل می کنیم. 2 و [ - 2 ; + ∞). ما آن را دریافت می کنیم

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176، x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12، x ∈ [ - 2 ; + ∞)

لازم است که عملکرد را متمایز کنیم. ما آن را داریم

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3، x ∈ [ - 2 ; + ∞)

وقتی x = − 2 باشد، مشتق وجود ندارد زیرا حدود یک طرفه در آن نقطه برابر نیستند:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

ما مقدار تابع را در نقطه x = - 2 محاسبه می کنیم، جایی که به آن می رسیم

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2، یعنی مماس در نقطه ( - 2؛ - 2) وجود نخواهد داشت.
2. وقتی شیب صفر باشد مماس موازی با x است. سپس k x = t g α x = f "(x 0). یعنی زمانی که مشتق تابع آن را صفر می کند، باید مقادیر چنین x را پیدا کرد. یعنی مقادیر f ' (x) نقاط مماس خواهند بود، جایی که مماس با x موازی است.

وقتی x ∈ - ∞ ; - 2، سپس - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0، و برای x ∈ (- 2; + ∞) 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 می گیریم.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

مقادیر تابع مربوطه را محاسبه کنید

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

از این رو - 5; 8 5، - 4; 4 3، 1; 8 5، 3; 4 3 به عنوان نقاط مورد نیاز نمودار تابع در نظر گرفته می شوند.

بیایید به یک نمایش گرافیکی از راه حل نگاه کنیم.

خط سیاه نمودار تابع و نقاط قرمز نقاط مماس هستند.

1. هنگامی که خطوط موازی هستند، ضرایب زاویه ای برابر است. سپس باید نقاطی را در نمودار تابع جستجو کنید که شیب برابر با مقدار 8 5 باشد. برای انجام این کار، باید معادله ای به شکل y "(x) = 8 5 حل کنید. سپس، اگر x ∈ - ∞؛ - 2، به دست می آوریم که - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5، و اگر x ∈ (- 2 ; + ∞)، آنگاه 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

معادله اول ریشه ندارد زیرا تفکیک کننده کمتر از صفر است. بیایید آن را بنویسیم

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

پس معادله دیگر دو ریشه واقعی دارد

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

بیایید به سراغ یافتن مقادیر تابع برویم. ما آن را دریافت می کنیم

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

امتیاز با مقادیر - 1؛ 4 15، 5; 8 3 نقاطی هستند که در آنها مماس ها با خط y = 8 5 x + 4 موازی هستند.

پاسخ:خط سیاه - نمودار تابع، خط قرمز - نمودار y = 8 5 x + 4، خط آبی - مماس در نقاط - 1. 4 15، 5; 8 3.

ممکن است تعداد نامتناهی مماس برای توابع داده شده وجود داشته باشد.

مثال 5

معادلات تمام مماس های موجود تابع y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 را بنویسید که عمود بر خط مستقیم y = - 2 x + 1 2 قرار دارند.

راه حل

برای تدوین معادله مماس، باید ضریب و مختصات نقطه مماس را بر اساس شرط عمود بودن خطوط پیدا کرد. تعریف به شرح زیر است: حاصل ضرب ضرایب زاویه ای که بر خطوط مستقیم عمود هستند برابر با - 1 است، یعنی به صورت k x · k ⊥ = - 1 نوشته می شود. از شرطی که داریم که ضریب زاویه ای عمود بر خط قرار دارد و برابر با k ⊥ = - 2 است، سپس k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 است.

اکنون باید مختصات نقاط لمسی را پیدا کنید. شما باید x و سپس مقدار آن را برای یک تابع مشخص پیدا کنید. توجه داشته باشید که از معنای هندسی مشتق در نقطه
x 0 به دست می آوریم که k x = y "(x 0). از این برابری مقادیر x را برای نقاط تماس پیدا می کنیم.

ما آن را دریافت می کنیم

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

این معادله مثلثاتی برای محاسبه مختصات نقاط مماس استفاده خواهد شد.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk یا x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z مجموعه ای از اعداد صحیح است.

x نقاط تماس پیدا شده است. اکنون باید به جستجوی مقادیر y بروید:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 یا y 0 = - 4 5 + 1 3

از این نتیجه می گیریم که 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 نقاط مماس هستند.

پاسخ:معادلات لازم به صورت نوشته خواهد شد

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 ، k ∈ Z

برای نمایش بصری، یک تابع و یک مماس را روی یک خط مختصات در نظر بگیرید.

شکل نشان می دهد که مکان توابع در حال آمدندر فاصله [ - 10 ; 10 ]، جایی که خط سیاه نمودار تابع است، خطوط آبی مماس هستند که عمود بر خط داده شده به شکل y = - 2 x + 1 2 قرار دارند. نقاط قرمز نقاط لمسی هستند.

معادلات متعارف منحنی های مرتبه 2 توابع تک مقداری نیستند. معادلات مماس برای آنها بر اساس طرح های شناخته شده جمع آوری شده است.

مماس بر دایره

برای تعریف دایره ای با مرکز در نقطه x c e n t e r ; y c e n t e r و شعاع R، فرمول x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 را اعمال کنید.

این برابری را می توان به صورت اتحاد دو تابع نوشت:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

تابع اول همانطور که در شکل نشان داده شده است در بالا و تابع دوم در پایین قرار دارد.

برای جمع آوری معادله یک دایره در نقطه x 0; y 0 که در نیم دایره بالا یا پایین قرار دارد، باید معادله نمودار یک تابع به شکل y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r یا y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + را پیدا کنید. y c e n t e r در نقطه مشخص شده.

وقتی در نقاط x c e n t e r ; y c e n t e r + R و x c e n t e r ; مماس های y c e n t e r - R را می توان با معادلات y = y c e n t e r + R و y = y c e n t e r - R و در نقاط x c e n t e r + R به دست داد. y c e n t e r و
x c e n t e r - R ; y c e n t e r موازی با o y خواهد بود، سپس معادلاتی به شکل x = x c e n t e r + R و x = x c e n t e r - R به دست می آوریم.

مماس بر بیضی

هنگامی که بیضی مرکزی در x c e n t e r باشد. y c e n t e r با نیم محورهای a و b ، سپس می توان آن را با استفاده از معادله x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 مشخص کرد.

یک بیضی و یک دایره را می توان با ترکیب دو تابع، یعنی نیمه بیضی بالا و پایین نشان داد. سپس ما آن را دریافت می کنیم

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

اگر مماس ها در راس های بیضی قرار داشته باشند، آنگاه حدود x یا حدود y موازی هستند. در زیر، برای وضوح، شکل را در نظر بگیرید.

مثال 6

معادله مماس بر بیضی x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 در نقاطی با مقادیر x برابر با x = 2 بنویسید.

راه حل

لازم است نقاط مماس مطابق با مقدار x = 2 را پیدا کنید. معادله موجود بیضی را جایگزین می کنیم و آن را پیدا می کنیم

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = 5 ± 3 2 + 5

سپس 2 ؛ 5 3 2 + 5 و 2; - 5 3 2 + 5 نقاط مماسی هستند که به نیمه بیضی بالا و پایین تعلق دارند.

بیایید به سراغ یافتن و حل معادله بیضی نسبت به y برویم. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

بدیهی است که نیمه بیضی بالایی با استفاده از تابعی به شکل y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 و نیمه بیضی پایینی y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 مشخص می شود.

بیایید از یک الگوریتم استاندارد برای ایجاد معادله ای برای مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه استفاده کنیم. اجازه دهید بنویسیم که معادله مماس اول در نقطه 2. 5 3 2 + 5 شبیه خواهد بود

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

متوجه می شویم که معادله مماس دوم با مقداری در نقطه است
2 ; - 5 3 2 + 5 شکل می گیرد

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

از نظر گرافیکی، مماس ها به صورت زیر تعیین می شوند:

مماس بر هذلولی

وقتی یک هذلول مرکز x c e n t e r باشد. y c e n t e r و رئوس x c e n t e r + α ; y c e n t e r و x c e n t e r - α ; y c e n t e r ، نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 صورت می گیرد، اگر با رئوس x c e n t e r ; y c e n t e r + b و x c e n t e r ; y c e n t e r - b , سپس با استفاده از نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 مشخص می شود .

هذلولی را می توان به عنوان دو تابع ترکیبی از فرم نشان داد

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r یا y = b a · (x - x c e n t e r · 2 + a 2 - a r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

در حالت اول داریم که مماس ها موازی y هستند و در حالت دوم موازی x هستند.

نتیجه این است که برای یافتن معادله مماس بر هذلولی، باید مشخص شود که نقطه مماس متعلق به کدام تابع است. برای تعیین این، لازم است معادلات را جایگزین کرده و هویت را بررسی کنید.

مثال 7

معادله ای برای مماس بر هذلولی x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 در نقطه 7 بنویسید. - 3 3 - 3 .

راه حل

لازم است رکورد راه حل برای یافتن هذلولی با استفاده از 2 تابع تبدیل شود. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 و y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

باید مشخص شود که به کدام عملکرد تعلق دارد نقطه تنظیمبا مختصات 7; - 3 3 - 3 .

بدیهی است که برای بررسی تابع اول y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 لازم است، سپس نقطه متعلق به نمودار نیست، از آنجایی که برابری برقرار نیست.

برای تابع دوم داریم که y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3، یعنی نقطه متعلق به نمودار داده شده است. از اینجا باید شیب را پیدا کنید.

ما آن را دریافت می کنیم

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

پاسخ:معادله مماس را می توان به صورت نمایش داد

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

به وضوح به این صورت نشان داده شده است:

مماس بر سهمی

برای ایجاد یک معادله برای مماس به سهمی y = a x 2 + b x + c در نقطه x 0, y (x 0)، باید از یک الگوریتم استاندارد استفاده کنید، سپس معادله به شکل y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) چنین مماس در راس موازی با x است.

شما باید سهمی x = a y 2 + b y + c را به عنوان اتحاد دو تابع تعریف کنید. بنابراین، باید معادله y را حل کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

بیایید آن را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم:

برای اینکه بفهمید یک نقطه x 0، y (x 0) متعلق به یک تابع است یا خیر، طبق الگوریتم استاندارد به آرامی عمل کنید. چنین مماس موازی با o y نسبت به سهمی خواهد بود.

مثال 8

معادله مماس بر نمودار x - 2 y 2 - 5 y + 3 را وقتی که زاویه مماس 150 درجه داریم بنویسید.

راه حل

حل را با نمایش سهمی به عنوان دو تابع آغاز می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

مقدار شیب برابر با مقدار مشتق در نقطه x 0 این تابع و برابر با مماس زاویه میل است.

ما گرفتیم:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 درجه = - 1 3

از اینجا مقدار x را برای نقاط تماس تعیین می کنیم.

تابع اول به صورت نوشته خواهد شد

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

بدیهی است که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، زیرا ما یک مقدار منفی دریافت کردیم. نتیجه می گیریم که هیچ مماس با زاویه 150 درجه برای چنین تابعی وجود ندارد.

تابع دوم به صورت نوشته خواهد شد

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

ما داریم که نقاط تماس 23 4 ; - 5 + 3 4 .

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

بیایید آن را به صورت گرافیکی به این شکل به تصویر بکشیم:

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

آیا از قبل می دانید مشتق چیست؟ اگر نه، اول تاپیک را بخوانید. پس شما می گویید مشتق را می دانید. اکنون آن را بررسی کنیم. افزایش تابع را وقتی پیدا کنید که افزایش آرگومان برابر باشد. توانستی مدیریت کنی؟ باید کار کند. حالا مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید. پاسخ: . اتفاق افتاد؟ اگر با هر یک از این مثال ها مشکل دارید، اکیداً توصیه می کنم که به موضوع برگردید و دوباره آن را مطالعه کنید. من می دانم که موضوع بسیار بزرگ است، اما در غیر این صورت هیچ فایده ای برای ادامه دادن ندارد. نمودار یک تابع را در نظر بگیرید:

بیایید نقطه خاصی را در خط نمودار انتخاب کنیم. اجازه دهید ابسیسه آن، سپس ترتیب برابر است. سپس نقطه ای را با آبسیسا نزدیک به نقطه انتخاب می کنیم. دستور آن عبارت است از:

بیایید از میان این نقاط یک خط مستقیم بکشیم. به آن سکانت می گویند (درست مانند هندسه). اجازه دهید زاویه میل خط مستقیم به محور را به عنوان نشان دهیم. همانطور که در مثلثات، این زاویه از جهت مثبت محور x در خلاف جهت عقربه های ساعت اندازه گیری می شود. زاویه چه مقادیری می تواند داشته باشد؟ مهم نیست که چگونه این خط مستقیم را کج کنید، یک نیمه همچنان بالا خواهد ماند. بنابراین، حداکثر زاویه ممکن است، و حداقل زاویه ممکن است. به معنای، . زاویه گنجانده نشده است، زیرا موقعیت خط مستقیم در این مورد دقیقاً منطبق است، و منطقی تر است که یک زاویه کوچکتر انتخاب کنید. بیایید نقطه ای را در شکل در نظر بگیریم که خط مستقیم موازی با محور آبسیسا و a محور مختصات باشد:

از شکل مشاهده می شود که الف. سپس نسبت افزایش ها برابر است با:

(از آنجایی که مستطیل شکل است).

حالا کمش کنیم سپس نقطه به نقطه نزدیک می شود. وقتی بینهایت کوچک می شود، نسبت برابر با مشتق تابع در نقطه می شود. چه اتفاقی برای سکنت خواهد افتاد؟ نقطه بی نهایت به نقطه نزدیک خواهد بود، به طوری که می توان آنها را یک نقطه در نظر گرفت. اما یک خط مستقیم که تنها یک نقطه مشترک با یک منحنی دارد چیزی بیش نیست مماس(در این مورد، این شرط فقط در یک منطقه کوچک - نزدیک به نقطه وجود دارد، اما این کافی است). می گویند در این صورت سکانت می گیرد موقعیت محدود.

بیایید زاویه میل سکنت به محور را بنامیم. سپس معلوم می شود که مشتق

به این معنا که مشتق برابر است با مماس زاویه میل مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.

از آنجایی که مماس یک خط است، اکنون معادله یک خط را به خاطر می آوریم:

ضریب مسئول چیست؟ برای شیب خط مستقیم. این چیزی است که به آن می گویند: شیب. چه مفهومی داره؟ و این که برابر است با مماس زاویه بین خط مستقیم و محور! بنابراین این چیزی است که اتفاق می افتد:

اما این قانون را با در نظر گرفتن یک تابع افزایشی به دست آوردیم. اگر تابع در حال کاهش باشد چه چیزی تغییر می کند؟ اجازه بدید ببینم:
حالا زوایای آن کج است. و افزایش تابع منفی است. بیایید دوباره در نظر بگیریم: . از طرف دیگر، . دریافت می کنیم: یعنی همه چیز مثل دفعه قبل است. اجازه دهید دوباره نقطه را به نقطه هدایت کنیم، و سکنت یک موقعیت محدود می شود، یعنی به یک مماس بر نمودار تابع در نقطه تبدیل می شود. بنابراین، اجازه دهید قانون نهایی را فرموله کنیم:
مشتق تابع در یک نقطه معین برابر است با مماس زاویه میل مماس بر نمودار تابع در این نقطه یا (که یکسان است) شیب این مماس:

همین است معنی هندسی مشتق.خوب، همه اینها جالب است، اما چرا به آن نیاز داریم؟ اینجا مثال:
شکل نمودار یک تابع و مماس بر آن را در نقطه ابسیسا نشان می دهد. مقدار مشتق تابع را در نقطه پیدا کنید.
راه حل.
همانطور که اخیرا متوجه شدیم مقدار مشتق در نقطه مماس برابر با شیب مماس است که به نوبه خود برابر است با مماس زاویه میل این مماس بر محور آبسیسا: . این بدان معنی است که برای یافتن مقدار مشتق باید مماس زاویه مماس را پیدا کنیم. در شکل دو نقطه روی مماس را مشخص کرده ایم که مختصات آنها برای ما مشخص است. پس بیایید ساخت مثلث قائم الزاویه را که از این نقاط می گذرد کامل کنیم و مماس زاویه مماس را پیدا کنیم!

زاویه تمایل مماس بر محور است. مماس این زاویه را پیدا کنیم: . بنابراین، مشتق تابع در یک نقطه برابر است با.
پاسخ:. حالا خودتان امتحان کنید:

پاسخ ها:

دانستن معنای هندسی مشتق، می توانیم خیلی ساده این قانون را توضیح دهیم که مشتق در نقطه است حداکثر محلییا حداقل صفر است. در واقع، مماس بر نمودار در این نقاط "افقی" است، یعنی موازی با محور x:

زاویه بین خطوط موازی چقدر است؟ البته صفر! و مماس صفر نیز صفر است. بنابراین مشتق برابر با صفر است:

بیشتر در این مورد در مبحث "یکنواختی توابع" بخوانید. نقاط افراطی."

حالا بیایید روی مماس های دلخواه تمرکز کنیم. فرض کنید عملکردی داریم، به عنوان مثال، . ما نمودار آن را رسم کرده ایم و می خواهیم در نقطه ای مماس بر آن رسم کنیم. مثلا در یک نقطه. یک خط کش می گیریم، آن را به نمودار وصل می کنیم و ترسیم می کنیم:

از این خط چه می دانیم؟ مهم ترین چیزی که در مورد یک خط در صفحه مختصات باید بدانید چیست؟ از آنجایی که خط مستقیم یک تصویر است تابع خطی، دانستن معادله آن بسیار راحت خواهد بود. یعنی ضرایب موجود در معادله

اما ما از قبل می دانیم! این شیب مماس است که برابر است با مشتق تابع در این نقطه:

در مثال ما به این صورت خواهد بود:

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند یافتن آن است. این به سادگی پوست اندازی گلابی است: پس از همه - ارزش. از نظر گرافیکی، این مختصات تقاطع خط با محور مختصات است (بالاخره، در تمام نقاط محور):

بیایید آن را بکشیم (بنابراین مستطیل شکل است). سپس (به همان زاویه بین مماس و محور x). چه هستند و برابرند؟ شکل به وضوح نشان می دهد که، الف. سپس دریافت می کنیم:

تمام فرمول های به دست آمده را در معادله یک خط مستقیم ترکیب می کنیم:

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

1. پیدا کردن معادله مماسبه یک تابع در یک نقطه
2. مماس بر سهمی محور را به صورت زاویه ای قطع می کند. معادله این مماس را پیدا کنید.
3. خط با مماس نمودار تابع موازی است. آبسیسا نقطه مماس را پیدا کنید.
4. خط با مماس نمودار تابع موازی است. آبسیسا نقطه مماس را پیدا کنید.

راه حل ها و پاسخ ها:

معادله مماس بر نمودار یک تابع. شرح مختصر و فرمول های اساسی

مشتق یک تابع در یک نقطه خاص برابر با مماس مماس بر نمودار تابع در این نقطه یا شیب این مماس است:

معادله مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه:

الگوریتم یافتن معادله مماس:

خب موضوع تموم شد اگر در حال خواندن این سطرها هستید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که دریافت کردند یک آموزش خوب، بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما درخواست تئوری نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مثل ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل، تجزیه و تحلیل دقیق و تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید - 299 روبل.
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - 499 روبل.

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!