قوانین توزیع متغیرهای تصادفی گسسته. توزیع هندسی

سخنرانی 8

توزیع احتمال متغیرهای تصادفی گسسته.توزیع دو جمله ای. توزیع پواسون توزیع هندسی تابع تولید.

6. توزیع احتمال
متغیرهای تصادفی گسسته

توزیع دو جمله ای

بگذارید تولید شود nمحاکمه های مستقل، که در هر یک از این رویداد آممکن است ظاهر شود یا نباشد. احتمال پوقوع یک رویداد آدر همه آزمون ها ثابت است و از آزمونی به آزمون دیگر تغییر نمی کند. به عنوان یک متغیر تصادفی X تعداد وقوع رویداد را در نظر بگیرید آدر این تست ها فرمولی برای یافتن احتمال وقوع یک رویداد آ
صاف کیک بار در هر nآزمایشات، همانطور که مشخص است، شرح داده شده است فرمول برنولی

توزیع احتمال تعریف شده توسط فرمول برنولی نامیده می شود دو جمله ای .

این قانون "دوجمله ای" نامیده می شود زیرا سمت راست را می توان به عنوان یک اصطلاح کلی در بسط دو جمله ای نیوتن در نظر گرفت.

بیایید قانون دوجمله ای را به صورت جدول بنویسیم

اجازه دهید ویژگی های عددی این توزیع را پیدا کنیم.

.

اجازه دهید تساوی را بنویسیم که یک باینری نیوتنی است

.

و آن را با توجه به p متمایز کنید. در نتیجه بدست می آوریم

.

ضلع چپ و راست را در ضرب کنید پ:

.

با توجه به اینکه p+q=1، ما داریم

(6.2)

بنابراین، انتظار ریاضی تعداد وقوع رویداد در n آزمایش مستقل برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش n در احتمال p وقوع یک رویداد در هر آزمایش..

بیایید واریانس را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم

برای این ما پیدا خواهیم کرد

.

اجازه دهید ابتدا فرمول دوجمله ای نیوتن را دو بار با توجه به آن متمایز کنیم پ:

و هر دو طرف تساوی را در ضرب کنید پ 2:

از این رو،

بنابراین، واریانس توزیع دوجمله ای است

. (6.3)

این نتایج را می توان از استدلال صرفاً کیفی نیز به دست آورد. تعداد کل X وقوع رویداد A در تمام آزمایش‌ها، مجموع تعداد وقوع رویداد در آزمایش‌های فردی است. بنابراین، اگر X 1 تعداد وقوع رویداد در آزمایش اول، X 2 - در آزمایش دوم و غیره باشد، تعداد کل وقوع رویداد A در همه آزمایش‌ها برابر است با X = X 1 +X 2 +…+X n. با توجه به ویژگی انتظار ریاضی:

هر یک از اصطلاحات سمت راست برابری، انتظار ریاضی تعداد رویدادها در یک آزمایش است که برابر با احتمال رویداد است. بدین ترتیب،

با توجه به خاصیت پراکندگی:

از آنجا که , و انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی است که می تواند تنها دو مقدار داشته باشد، یعنی 1 2 با احتمال پو 0 2 با احتمال q, آن . بدین ترتیب، در نتیجه می گیریم

با استفاده از مفهوم گشتاورهای اولیه و مرکزی، می‌توانیم فرمول‌هایی برای عدم تقارن و کشیدگی به دست آوریم:

. (6.4)

چند ضلعی توزیع دو جمله ای شکل زیر را دارد (شکل 6.1 را ببینید). احتمال P n(ک) ابتدا با افزایش افزایش می یابد ک، به بالاترین مقدار خود می رسد و سپس شروع به کاهش می کند. توزیع دوجمله ای به جز مورد کج است پ=0.5. توجه داشته باشید که با تعداد زیادی تست nتوزیع دوجمله ای بسیار نزدیک به نرمال است. (دلیل این پیشنهاد مربوط به قضیه محلی مویور-لاپلاس است.)

عدد m 0 وقوع یک رویداد نامیده می شود به احتمال زیاد، اگر احتمال وقوع یک رویداد در تعداد معینی بارها در این سری از آزمایش ها بیشترین باشد (حداکثر در چند ضلعی توزیع). برای توزیع دو جمله ای

. (6.5)

اظهار نظر. این نابرابری را می توان با استفاده از فرمول بازگشتی برای احتمالات دو جمله ای اثبات کرد:

(6.6)

مثال 6.1.سهم محصولات ممتاز در این شرکت 31 درصد است. انتظارات و واریانس ریاضی و همچنین محتمل ترین تعداد محصولات ممتاز در یک دسته 75 محصولی انتخاب شده به صورت تصادفی چیست؟

راه حل. از آنجا که پ=0,31, q=0,69, n= 75، پس

M[ ایکس] = n.p.= 75×0.31 = 23.25; D[ ایکس] = npq= 75×0.31×0.69 = 16.04.

برای یافتن محتمل ترین عدد متر 0، بیایید یک نابرابری مضاعف ایجاد کنیم

نتیجه می شود که متر 0 = 23.

توزیع پواسون

همانطور که قبلاً اشاره شد، توزیع دوجمله ای زمانی به نرمال نزدیک می شود n®¥. با این حال، این اتفاق نمی افتد اگر، همراه با افزایش nیکی از مقادیر پیا qبه سمت صفر میل می کند. در این مورد، فرمول مجانبی پواسون برقرار است، یعنی. در n®¥, پ®0

, (6.7)

جایی که l= n.p.. این فرمول تعیین می کند قانون توزیع پواسون ، که معنای مستقلی دارد و نه فقط به عنوان یک مورد خاص از توزیع دوجمله ای. برخلاف توزیع دو جمله ای، در اینجا متغیر تصادفی است کمی تواند بی نهایت مقدار را به خود بگیرد: ک=0,1,2,…

قانون پواسون تعداد رویدادهای k را که در بازه‌های زمانی مساوی رخ می‌دهند، توصیف می‌کند، مشروط بر اینکه رویدادها مستقل از یکدیگر با شدت متوسط ​​ثابت رخ دهند که با پارامتر l مشخص می‌شود. چند ضلعی توزیع پواسون در شکل نشان داده شده است. 6.2. توجه داشته باشید که برای مسابقات L بزرگ
توزیع پواسون به نرمال نزدیک می شود. بنابراین، توزیع پواسون، به عنوان یک قاعده، در مواردی استفاده می شود که l از مرتبه وحدت و تعداد آزمایش است. nباید بزرگ باشد و احتمال وقوع رویداد پدر هر آزمون کوچک است. در این رابطه اغلب قانون پواسون نیز نامیده می شود قانون توزیع پدیده های نادر.

نمونه هایی از موقعیت هایی که در آن توزیع پواسون ایجاد می شود، توزیع های زیر است: 1) تعداد میکروب های خاص در واحد حجم. 2) تعداد الکترون های ساطع شده از کاتد گرم شده در واحد زمان. 3) تعداد ذرات a که از منبع رادیواکتیو در یک دوره زمانی معین ساطع می شود. 4) تعداد تماس هایی که در ساعت معینی از روز به مرکز تلفن می رسد و غیره.

بیایید قانون پواسون را به صورت جدول بنویسیم

بیایید بررسی کنیم که مجموع همه احتمالات برابر با یک باشد:

اجازه دهید ویژگی های عددی این توزیع را پیدا کنیم. با تعریف انتظارات ریاضی برای DSV، ما داریم

توجه داشته باشید که در آخرین جمع، جمع با شروع می شود ک=1، زیرا اولین ترم از مجموع مربوط به ک= 0، برابر با صفر است.

برای یافتن واریانس، ابتدا انتظار ریاضی مجذور تصادف را پیدا می کنیم:

بنابراین، انتظار ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون پواسون منطبق و برابر با پارامتر این توزیع است.

. (6.8)

این ویژگی متمایز توزیع پواسون است. بنابراین، اگر بر اساس داده های تجربی، مشخص شد که انتظارات ریاضی و واریانس یک مقدار معین به یکدیگر نزدیک هستند، دلیلی وجود دارد که فرض کنیم این متغیر تصادفی مطابق با قانون پواسون توزیع شده است.

با استفاده از مفهوم گشتاورهای اولیه و مرکزی می توان نشان داد که برای توزیع پواسون ضریب چولگی و کشیدگی برابر است:

. (6.9)

از آنجایی که پارامتر l همیشه مثبت است، توزیع پواسون همیشه دارای چولگی و کشیدگی مثبت است.

اجازه دهید نشان دهیم که فرمول پواسون را می توان به عنوان یک مدل ریاضی از ساده ترین جریان رویدادها در نظر گرفت.

جریان وقایعدنباله ای از رویدادها را که در زمان های تصادفی رخ می دهند فراخوانی کنید. جریان نامیده می شود ساده ترین، اگر دارای خواص باشد ایستایی, بدون عواقبو معمولی بودن.

شدت جریان l میانگین تعداد رویدادهایی است که در واحد زمان رخ می دهد.

اگر ثابت شدت جریان l مشخص باشد، پس احتمال وقوع کوقایع از ساده ترین جریان در طول زمان تیبا فرمول پواسون تعیین می شود:

. (6.10)

این فرمول تمام ویژگی های ساده ترین جریان را منعکس می کند. علاوه بر این، هر ساده ترین جریان با فرمول پواسون توصیف می شود، بنابراین ساده ترین جریان ها اغلب نامیده می شوند پواسون.

دارایی ثابت کرویدادها در هر دوره زمانی فقط به تعداد آنها بستگی دارد کو در مدت تیدوره زمانی است و به شروع شمارش آن بستگی ندارد. به عبارت دیگر، اگر جریان دارای خاصیت ایستایی باشد، احتمال وقوع وجود دارد کرویدادها در یک دوره زمانی تیتابعی وجود دارد که فقط به آن بستگی دارد کو از تی.

در مورد ساده ترین جریان، از فرمول پواسون (6.10) نتیجه می گیرد که احتمال کحوادث در طول تی، در یک شدت معین، تابعی از تنها دو آرگومان است: کو تی، که ویژگی ثابت بودن را مشخص می کند.

بدون خاصیت افترافکتاین است که احتمال وقوع کرویدادها در هر دوره زمانی بستگی به این دارد که آیا رویدادها در مقاطع زمانی قبل از شروع دوره مورد نظر ظاهر شده اند یا نه. به عبارت دیگر، تاریخچه جریان تأثیری بر احتمال وقوع رویدادها در آینده نزدیک ندارد.

در مورد ساده‌ترین جریان، فرمول پواسون (6.10) از اطلاعات مربوط به وقوع رویدادها قبل از شروع دوره زمانی مورد بررسی استفاده نمی‌کند، که مشخصه‌ی ویژگی عدم وجود عواقب بعدی است.

دارایی معمولیاین است که وقوع دو یا چند رویداد در مدت زمان کوتاه عملا غیر ممکن است. به عبارت دیگر، احتمال وقوع بیش از یک رویداد در یک دوره زمانی کوتاه در مقایسه با احتمال وقوع تنها یک رویداد ناچیز است.

اجازه دهید نشان دهیم که فرمول پواسون (6.10) خاصیت عادی بودن را منعکس می کند. قرار دادن ک=0 و ک=1، به ترتیب، احتمال عدم وقوع رویداد و وقوع یک رویداد را پیدا می کنیم:

بنابراین، احتمال وقوع بیش از یک رویداد وجود دارد

با استفاده از بسط تابع در سری Maclaurin، پس از تبدیل های ابتدایی به دست می آوریم

.

مقایسه کردن Pt(1) و Pt(ک>1)، نتیجه می گیریم که برای مقادیر کوچک تیاحتمال وقوع بیش از یک رویداد در مقایسه با احتمال وقوع یک رویداد، که ویژگی عادی بودن را مشخص می کند، ناچیز است.

مثال 6.2.در مشاهدات رادرفورد و گایگر، یک ماده رادیواکتیو در یک دوره زمانی 7.5 ثانیهبه طور متوسط ​​3.87 ذره a منتشر کرد. احتمال 1 را پیدا کنید ثانیهاین ماده حداقل یک ذره ساطع می کند.

راه حل. همانطور که قبلاً اشاره کردیم، توزیع تعداد ذرات a منتشر شده توسط یک منبع رادیواکتیو در یک دوره زمانی معین با فرمول پواسون توصیف می‌شود. ساده ترین جریان رویدادها را تشکیل می دهد. از آنجایی که شدت انتشار ذرات a برای 1 ثانیهبرابر است

,

سپس فرمول پواسون (6.10) شکل می گیرد

بنابراین، این احتمال وجود دارد که تی=1 ثانیهاین ماده حداقل یک ذره را ساطع خواهد کرد

توزیع هندسی

اجازه دهید تیراندازی در یک هدف مشخص تا اولین ضربه و احتمال انجام شود پاصابت به هدف در هر شلیک یکسان است و به نتایج شلیک های قبلی بستگی ندارد. به عبارت دیگر، در آزمایش مورد بررسی، طرح برنولی اجرا می شود. به عنوان یک متغیر تصادفی X تعداد تیرهای شلیک شده را در نظر می گیریم. بدیهی است که مقادیر ممکن متغیر تصادفی X اعداد طبیعی هستند: ایکس 1 =1, ایکس 2 = 2، ... سپس احتمال نیاز به آن وجود دارد کضربات برابر خواهد بود

. (6.11)

با فرض این فرمول ک=1,2, ... با جمله اول یک تصاعد هندسی بدست می آوریم پو یک ضریب q:

به همین دلیل توزیع تعریف شده با فرمول (6.11) نامیده می شود هندسی .

با استفاده از فرمول مجموع یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت، به راحتی می توان تأیید کرد که

.

بیایید ویژگی های عددی توزیع هندسی را پیدا کنیم.

با تعریف انتظارات ریاضی برای DSV، ما داریم

.

بیایید واریانس را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم

.

برای این ما پیدا خواهیم کرد

.

از این رو،

.

بنابراین، انتظار ریاضی و واریانس توزیع هندسی برابر است

. (6.12)

6.4. * تابع تولید

هنگام حل مسائل مربوط به DSV، اغلب از روش های ترکیبی استفاده می شود. یکی از پیشرفته‌ترین روش‌های نظری تحلیل ترکیبی، روش تولید توابع است که یکی از قوی‌ترین روش‌ها در کاربردها است. بیایید به طور خلاصه با او آشنا شویم.

اگر متغیر تصادفی x فقط مقادیر صحیح غیر منفی را بگیرد، یعنی.

,

که تابع تولید توزیع احتمال یک متغیر تصادفی x تابع نامیده می شود

, (6.13)

جایی که z- متغیر واقعی یا مختلط توجه داشته باشید که بین توابع مولد چندگانه j x ( ایکس)و بسیاری از توزیع ها(P(x= ک)} مکاتبات یک به یک وجود دارد.

اجازه دهید متغیر تصادفی x داشته باشد توزیع دو جمله ای

.

سپس با استفاده از فرمول دو جمله ای نیوتن به دست می آوریم

,

آن ها تابع مولد توزیع دو جمله ای به نظر می رسد

. (6.14)

اضافه شدن. تابع تولید پواسون

به نظر می رسد

. (6.15)

تابع مولد توزیع هندسی

به نظر می رسد

. (6.16)

با استفاده از توابع تولید، یافتن ویژگی های عددی اصلی DSV راحت است. برای مثال، گشتاورهای اولیه اول و دوم با تساوی های زیر به تابع مولد مربوط می شوند:

, (6.17)

. (6.18)

روش تولید توابع اغلب راحت است زیرا در برخی موارد تعیین تابع توزیع DSV بسیار دشوار است، در حالی که گاهی اوقات تابع تولید به راحتی یافت می شود. به عنوان مثال، طرح تست مستقل متوالی برنولی را در نظر بگیرید، اما یک تغییر در آن ایجاد کنید. اجازه دهید احتمال یک رویداد رخ دهد آاز آزمایشی به آزمایشی دیگر متفاوت است. این بدان معناست که فرمول برنولی برای چنین طرحی غیر قابل اجرا می شود. وظیفه یافتن تابع توزیع در این مورد با مشکلات قابل توجهی مواجه است. با این حال، برای این طرح، تابع تولید به راحتی یافت می شود، و بنابراین، مشخصه های عددی مربوطه به راحتی یافت می شوند.

استفاده گسترده از توابع مولد بر این واقعیت استوار است که مطالعه مجموع متغیرهای تصادفی را می توان با مطالعه محصولات توابع مولد مربوطه جایگزین کرد. بنابراین، اگر x 1، x 2، ...، x nپس مستقل هستند

اجازه دهید p k=Pk(آ) - احتمال "موفقیت" در ک-امین آزمایش در مدار برنولی (به ترتیب، q k=1–p k- احتمال "شکست" در کآزمون ام). سپس مطابق با فرمول (6.19) تابع مولد شکل خواهد داشت

. (6.20)

با استفاده از این تابع تولید، می توانیم بنویسیم

.

در اینجا در نظر گرفته شده است که p k +q k=1. اکنون با استفاده از فرمول (6.1) دومین لحظه اولیه را پیدا می کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید ابتدا محاسبه کنیم

و .

در یک مورد خاص پ 1 =پ 2 =…=p n=پ(یعنی در مورد توزیع دو جمله ای) از فرمول های بدست آمده نتیجه می شود که Mx= n.p.، Dx= npq.

ما می توانیم رایج ترین قوانین توزیع متغیرهای تصادفی گسسته را برجسته کنیم:

• قانون توزیع دوجمله ای
• قانون توزیع پواسون
• قانون توزیع هندسی
• قانون توزیع فراهندسی

برای توزیع های داده شده از متغیرهای تصادفی گسسته، محاسبه احتمالات مقادیر آنها، و همچنین ویژگی های عددی (انتظار ریاضی، واریانس، و غیره) با استفاده از "فرمول های" خاص انجام می شود. بنابراین شناخت این نوع توزیع ها و خواص اساسی آنها بسیار مهم است.

1. قانون توزیع دوجمله ای.

یک متغیر تصادفی گسسته $X$ مشمول قانون توزیع احتمال دو جمله ای است اگر مقادیر $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ با احتمالات $P\left(X=k\right)= را بگیرد. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. در واقع، متغیر تصادفی $X$ تعداد وقوع رویداد $A$ در $n$ آزمایشات مستقل است. قانون توزیع احتمال متغیر تصادفی $X$:

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\راست) & P_n\left(1\راست) & \dots & P_n\left(n\راست) \\
\hline
\end(آرایه)$

برای چنین متغیر تصادفی، انتظار ریاضی $M\left(X\right)=np$، واریانس $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ است.

مثال . خانواده دو فرزند دارند. با فرض احتمال داشتن یک پسر و یک دختر برابر با $0.5، قانون توزیع متغیر تصادفی $\xi$ - تعداد پسران خانواده را پیدا کنید.

متغیر تصادفی $\xi $ تعداد پسران خانواده باشد. مقادیری که $\xi می تواند بگیرد:\ 0,\ ​​1,\ 2$. احتمالات این مقادیر را می توان با استفاده از فرمول $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k پیدا کرد. )$، که $n=2$ تعداد آزمایش‌های مستقل است، $p=0.5$ احتمال وقوع یک رویداد در یک سری آزمایش‌های $n$ است. ما گرفتیم:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\راست))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 = 0.25 دلار

سپس قانون توزیع متغیر تصادفی $\xi $ مطابقت بین مقادیر $0,\ 1,\ 2$ و احتمالات آنها است، یعنی:

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) و 0.25 و 0.5 و 0.25 \\
\hline
\end(آرایه)$

مجموع احتمالات در قانون توزیع باید برابر با $1 باشد، یعنی $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0، 25 = 1 دلار.

انتظار $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$، واریانس $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$، انحراف استاندارد $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\تقریباً 0.707 دلار.

2. قانون توزیع پواسون.

اگر یک متغیر تصادفی گسسته $X$ فقط می تواند مقادیر صحیح غیر منفی $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ با احتمالات $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

اظهار نظر. ویژگی این توزیع این است که بر اساس داده‌های تجربی، تخمین‌های $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ را می‌یابیم، اگر تخمین‌های به‌دست‌آمده به هم نزدیک باشند، آنگاه داریم دلیلی برای اثبات اینکه متغیر تصادفی تابع قانون توزیع پواسون است.

مثال . نمونه هایی از متغیرهای تصادفی مشمول قانون توزیع پواسون عبارتند از: تعداد خودروهایی که فردا توسط یک پمپ بنزین سرویس می شوند. تعداد اقلام معیوب در محصولات تولیدی

مثال . این کارخانه 500 دلار محصولات را به پایگاه ارسال کرد. احتمال آسیب دیدن محصول در حین حمل 0.002 دلار است. قانون توزیع متغیر تصادفی $X$ برابر با تعداد محصولات آسیب دیده را بیابید. $M\left(X\right)،\ D\left(X\right)$ چیست.

اجازه دهید متغیر تصادفی گسسته $X$ تعداد محصولات آسیب دیده باشد. چنین متغیر تصادفی تابع قانون توزیع پواسون با پارامتر $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ است. احتمالات مقادیر برابر است با $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

قانون توزیع متغیر تصادفی $X$:

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & K \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(آرایه)$

برای چنین متغیر تصادفی، انتظارات ریاضی و واریانس برابر یکدیگر و برابر با پارامتر $\lambda $ است، یعنی $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda = 1 دلار

3. قانون توزیع هندسی.

اگر یک متغیر تصادفی گسسته $X$ فقط می تواند مقادیر طبیعی $1,\ 2,\ \dots,\ n$ با احتمالات $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) بگیرد. راست)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $، سپس می گویند که چنین متغیر تصادفی $X$ تابع قانون هندسی توزیع احتمال است. در واقع توزیع هندسی تا اولین موفقیت یک آزمون برنولی است.

مثال . نمونه هایی از متغیرهای تصادفی که دارای توزیع هندسی هستند می توانند عبارتند از: تعداد شلیک قبل از اولین ضربه به هدف. تعداد تست های دستگاه تا اولین شکست؛ تعداد پرتاب سکه تا بالا آمدن اولین سر و غیره

انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی مشمول توزیع هندسی به ترتیب برابر است با $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ 2 دلار.

مثال . در مسیر حرکت ماهی به محل تخم ریزی یک قفل 4 دلاری وجود دارد. احتمال عبور ماهی از هر قفل $p=3/5$ است. یک سری توزیع از متغیر تصادفی $X$ ایجاد کنید - تعداد قفل هایی که ماهی قبل از اولین بازداشت در قفل عبور داده است. $M\left(X\right)،\ D\left(X\right)،\ \sigma \left(X\right)$ را پیدا کنید.

اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ تعداد قفل هایی باشد که ماهی قبل از اولین دستگیری در قفل عبور داده است. چنین متغیر تصادفی تابع قانون هندسی توزیع احتمال است. مقادیری که متغیر تصادفی $X می تواند بگیرد: $ 1، 2، 3، 4. احتمالات این مقادیر با استفاده از فرمول محاسبه می شود: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$، جایی که: $ p=2/5$ - احتمال محبوس شدن ماهی از طریق قفل، $q=1-p=3/5$ - احتمال عبور ماهی از قفل، $k=1،\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\راست))^0=((2)\ بیش از (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24 $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\راست))^2=((2)\ بیش از (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\راست))^3+(\left(( (3)\over (5))\راست))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i و 1 و 2 و 3 و 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(آرایه)$

ارزش مورد انتظار:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

پراکندگی:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ چپ( 1-2,176\راست))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\راست))^2+0,144\cdot (\ چپ (3-2,176\راست))^2+$

$+\0.216\cdot (\چپ(4-2176\راست))^2\تقریباً 1.377.$

انحراف معیار:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\تقریباً 1173.$

4. قانون توزیع هایپرهندسی.

اگر اشیاء $N$، که در میان آنها اشیاء $m$ دارای خاصیت معین هستند. اشیاء $n$ به طور تصادفی و بدون بازگشت بازیابی می‌شوند، در میان آنها اشیاء $k$ وجود دارند که دارای یک ویژگی هستند. توزیع فراهندسی این امکان را فراهم می‌کند که این احتمال را که دقیقاً $k$ اشیاء در نمونه دارای یک خاصیت هستند، تخمین بزنیم. اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ تعداد اشیایی در نمونه باشد که دارای خاصیت معین هستند. سپس احتمالات مقادیر متغیر تصادفی $X$:

$P\left(X=k\راست)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

اظهار نظر. تابع آماری HYPERGEOMET جادوگر تابع اکسل $f_x$ به شما امکان می دهد تا احتمال موفقیت تعداد معینی از تست ها را تعیین کنید.

$f_x\to$ آماری$\ به $ هایپرژئومت$\ به $ خوب. یک کادر محاوره ای ظاهر می شود که باید آن را پر کنید. در ستون تعداد_موفقیت_در_نمونهمقدار $k$ را نشان می دهد. اندازهی نمونهبرابر $n$ است. در ستون تعداد_موفقیت_در_هممقدار $m$ را نشان می دهد. میزان جمعیتبرابر $N$ است.

انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی گسسته $X$، مشروط به قانون توزیع هندسی، به ترتیب برابر با $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= است. ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

مثال . واحد اعتبارات بانک 5 نفر متخصص با تحصیلات عالی مالی و 3 نفر متخصص با تحصیلات عالی حقوقی استخدام می کند. مدیریت بانک تصمیم گرفت 3 متخصص را برای ارتقای صلاحیت خود اعزام کند و آنها را به ترتیب تصادفی انتخاب کند.

الف) یک سری توزیع برای تعداد متخصصان دارای تحصیلات مالی عالی که می توانند برای ارتقای مهارت های خود اعزام شوند؛

ب) مشخصه های عددی این توزیع را بیابید.

فرض کنید متغیر تصادفی $X$ تعداد متخصصان دارای تحصیلات مالی بالاتر در بین سه نفر انتخاب شده باشد. مقادیری که $X می تواند بگیرد: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. این متغیر تصادفی $X$ بر اساس یک توزیع فوق هندسی با پارامترهای زیر توزیع می‌شود: $N=8$ - اندازه جمعیت، $m=5$ - تعداد موفقیت‌ها در جامعه، $n=3$ - حجم نمونه، $ k=0،\ 1، \2،\3$ - تعداد موفقیت‌ها در نمونه. سپس احتمالات $P\left(X=k\right)$ را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ بیش از C_(N)^(n) ) $. ما داریم:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\حدود 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\حدود 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\حدود 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\حدود 0.179.$

سپس سری توزیع متغیر تصادفی $X$:

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i و 0 و 1 و 2 و 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(آرایه)$

اجازه دهید ویژگی های عددی متغیر تصادفی $X$ را با استفاده از فرمول های عمومی توزیع فراهندسی محاسبه کنیم.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\چپ(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\راست)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\راست))\over (8-1))=((225)\بیش از (448))\تقریبا 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\حدود 0.7085.$

آن ها تصادفی گسسته مقدار X یک geom دارد. پخش کننده با پارامتر آرو مخرج q، اگر مقادیر 1،2،3،… ک، ... با احتمالات

P(X) = pq k-1، کجا q=1-آر.

توزیع geom نامیده می شود، زیرا. حقیقت ص 1، ص 2، ...یک پیشرفت هندسی را تشکیل می دهند که اولین عضو آن است آر، و مخرج است q.

اگر تعداد تست ها محدود نباشد، یعنی. اگر یک متغیر تصادفی بتواند مقادیر 1، 2، ...، ∞ را بگیرد، آنگاه مقدار و واریانس مورد انتظار هندسی هستند. توزیع ها را می توان با استفاده از فرمول های Mх = 1/p، Dх = q/p 2 یافت

مثال. اسلحه تا رسیدن به اولین ضربه به سمت هدف شلیک می شود. احتمال اصابت به هدف با هر شلیک 0.6 = p است. S.v. X تعداد شلیک های ممکن قبل از ضربه اول است.

الف) یک سری توزیع را کامپایل کنید، تابع توزیع را پیدا کنید، نمودار آن را رسم کنید و تمام ویژگی های عددی را بیابید. ب) در صورتی که تیرانداز قصد شلیک بیش از سه تیر را نداشته باشد، انتظار و واریانس ریاضی موردی را بیابید.

آ)متغیر تصادفی می تواند مقادیر 1، 2، 3، 4،...، ∞ را بگیرد.
P(1) = p = 0.6
P(2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p = 0.4 2 0.6 = 0.096 ...
P(k) = q k-1 p = 0.4 k-1 0.6 ...
محدوده توزیع:

کنترل: Σp i = 0.6/(1-0.4) = 1 (مجموع پیشرفت هندسی)

تابع توزیع احتمالی است که r.v. X مقداری کمتر از مقدار عددی خاص x به خود می گیرد. مقادیر تابع توزیع با جمع کردن احتمالات پیدا می شود.

اگر x ≤ 1، آنگاه F(x) = 0

اگر 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
اگر 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
اگر 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
اگر k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mx = 1/p = 1/0.6 ≈ 1.667
Dх = q/p 2 = 0.4/0.36 ≈ 1.111
σ = √Dх ≈ 1.054

ب)متغیر تصادفی می تواند مقادیر 1، 2، 3 را بگیرد.
P(1) = p = 0.6
P(2) = qp = 0.4 0.6 = 0.24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0.4 2 0.6 + 0.4 3 = 0.16
محدوده توزیع:

کنترل: Σp i = 0.6 + 0.24 + 0.16 = 1
تابع توزیع

اگر x ≤ 1، آنگاه F(x) = 0
اگر 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
اگر 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
اگر x > 3 باشد، آنگاه F(x) = 0.84 + 0.16 = 1
M(X) = 1 0.6 + 2 0.24 + 3 0.16 = 1.56
D(X) = 1 2 0.6 + 2 2 0.24 + 3 2 0.16 - 1.56 2 = 0.5664
σ(X) ≈ 0.752

چولگی و کشیدگی

عدم تقارن یک ویژگی توزیع نمونه است که عدم تقارن توزیع یک متغیر تصادفی را مشخص می کند. در عمل، توزیع های متقارن نادر است و به منظور شناسایی و ارزیابی درجه عدم تقارن، مفهوم عدم تقارن معرفی می شود. در مورد ضریب عدم تقارن منفی، یک "نزول" ملایم تر در سمت چپ مشاهده می شود، در غیر این صورت - در سمت راست. در مورد اول، عدم تقارن سمت چپ نامیده می شود، و در مورد دوم - سمت راست.

ضریب عدم تقارن گسستهمتغیر تصادفی با استفاده از فرمول محاسبه می شود:
به عنوان (X) = (ایکس 1-M ایکس) 3 p 1 + (ایکس 2 - م ایکس) 3 p 2 + ... + ( ایکس n-M ایکس) 3 p n

Coef. عدم تقارن مداوم sl.vel. با فرمول محاسبه می شود:

اضافی اندازه گیری شیب منحنی توزیع است. ضریب کشیدگی یک متغیر تصادفی گسسته با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

Ex(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

ضریب کشیدگی یک متغیر تصادفی پیوسته با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

مثال.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X فهرستی از تمام مقادیر ممکن متغیر بعدی است. X که می تواند بپذیرد و احتمالات مربوطه. مجموع همه باورها باید برابر با 1 باشد. بررسی کنید: 0.1 + 0.2 + 0.5 + 0.1 + 0.1 = 1.

1. ارزش مورد انتظار: M(X) = -2 0.1 - 1 0.2 + 0 0.5 + 1 0.1 + 2 0.1 = -0.1
2. پراکندگیانتظار ریاضی انحراف مجذور مقادیر سطح بعدی است. X از او mat.ozh.: D(X) = (-2 + 0.1) 2 0.1 + (- 1 + 0.1) 2 0.2 + (0 + 0.1) 2 0.5 + (1 + 0.1) 2 0.1 + (2 + 0.1) 2 0.1 = 1.09
   یا D(X) = (-2) 2 0.1 + (-1) 2 0.2 + 0 2 0.5 + 1 2 0.1 + 2 0.1 - (-0 ,1) 2 = 1.1 - 0.01 = 1.09
3. چهارشنبه مربع خاموشجذر واریانس است: σ = √1.09 ≈ 1.044
4. Coef. عدم تقارن As(X) = [(-2 + 0.1) 3 0.1 + (- 1 + 0.1) 3 0.2 + (0 + 0.1) 3 0.5 + (1 + 0.1) 3 0.1 + (2 + 0.1) 3 0.1] / 1.044 3 = 0.200353
5. Coef. اضافی E ایکس(X) = [(-2 + 0.1) 4 0.1 + (- 1 + 0.1) 4 0.2 + (0 + 0.1) 4 0.5 + (1 + 0 ,1) 4 · 0.1 + (2 + 0.1) 4 · 0.1 ]/1.044 4 - 3 = 0.200353
6. تابع توزیع احتمال این است که متغیر تصادفی X مقداری کمتر از مقداری عددی بگیرد ایکس: F(X) = P(X< ایکس). تابع توزیع یک تابع غیر نزولی است. مقادیری در محدوده 0 تا 1 می گیرد.

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0.05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.5 + 0.1 + 0.1 = 0.7

2) متغیرهای تصادفی پیوسته. توزیع نرمال.

مداوممتغیر تصادفی خاصی را نمی گیرد مقادیر عددی، اما هر مقدار در خط اعداد. شرح قانون توزیع در حالت پیوسته بسیار پیچیده تر از حالت گسسته است.

مداومیک متغیر تصادفی نامیده می شود که می تواند هر مقداری را از یک بازه معین دریافت کند، به عنوان مثال، زمان انتظار برای حمل و نقل، دمای هوا در هر ماه، انحراف اندازه واقعی یک قطعه از اندازه اسمی و غیره. فاصله ای که در آن مشخص می شود می تواند در یک یا هر دو جهت بی نهایت باشد.

تفاوت اصلی در مسائل محاسبه احتمالات برای موارد گسسته و پیوسته به شرح زیر است. در یک مورد گسستهبرای رویدادهایی مانند x = c(متغیر تصادفی مقدار مشخصی را می گیرد) احتمال جستجو می شود آر(با). در حالت مستمراحتمالات از این نوع برابر با صفر هستندبنابراین، احتمالات رویدادهایی از نوع "متغیر تصادفی مقادیر را از یک بخش خاص می گیرد" مورد توجه است، به عنوان مثال. آ≤ ایکس≤ ب. یا برای رویدادهایی مانند ایکس≤ بابه دنبال احتمال آر(ایکس≤ با). ما نموداری از تابع توزیع F( ایکس≤ با).

بنابراین، تنوع متغیرهای تصادفی بسیار زیاد است. تعداد مقادیری که آنها می پذیرند می تواند محدود، قابل شمارش یا غیرقابل شمارش باشد. مقادیر را می توان به صورت مجزا قرار داد یا فواصل را به طور کامل پر کرد. برای مشخص کردن احتمالات مقادیر متغیرهای تصادفی که ماهیت بسیار متفاوتی دارند، و علاوه بر این، برای تعیین آنها به یک شکل، مفهوم تابع توزیع یک متغیر تصادفی.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی و ایکس- یک عدد واقعی دلخواه احتمال اینکه مقدار آن کمتر از ایکس،تماس گرفت تابع توزیع احتمالمتغیر تصادفی: F(x)= P(<х}.

بیایید آنچه گفته شد را خلاصه کنیم: متغیر تصادفیکمیتی است که مقادیر آن به مورد بستگی دارد و تابع توزیع احتمال برای آن تعریف شده است.

برای متغیرهای تصادفی پیوسته (زمانی که مجموعه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی غیرقابل شمارش باشد)، قانون توزیع با استفاده از یک تابع مشخص می شود. اغلب این تابع توزیع :F( ایکس) = P(X<ایکس) .

تابع F( ایکس) دارای موارد زیر است خواص:

1. 0 ≤ F( ایکس) ≤ 1 ;

2.F( ایکس) کاهش نمی یابد;

3.F( ایکس) پیوسته باقی مانده است;

4.F(- ∞ ) = 0، F( ∞ ) = 1.