વધારોઅંતરાલ પર \(X\) જો કોઈપણ \(x_1, x_2\in X\) માટે જેમ કે \(x_1 કાર્ય કહેવાય છે બિન-ઘટતું \(\blacktriangleright\) ફંક્શન \(f(x)\) કહેવાય છે ઘટતુંઅંતરાલ પર \(X\) જો કોઈપણ \(x_1, x_2\in X\) માટે જેમ કે \(x_1 કાર્ય કહેવાય છે બિન-વધતુંઅંતરાલ પર \(X\) જો કોઈપણ \(x_1, x_2\in X\) માટે જેમ કે \(x_1 \(\blacktriangleright\) વધતા અને ઘટતા કાર્યો કહેવાય છે સખત એકવિધ, અને બિન-વધતા અને ન ઘટતા સરળ છે એકવિધ. \(\blacktriangleright\) મૂળભૂત ગુણધર્મો: આઈ.જો ફંક્શન \(f(x)\) સખત રીતે \(X\) પર એકવિધ હોય, તો પછી સમાનતા \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) થી તે \(f( x_1)= f(x_2)\) , અને ઊલટું. ઉદાહરણ: ફંક્શન \(f(x)=\sqrt x\) બધા \(x\in \) માટે સખત રીતે વધી રહ્યું છે, તેથી સમીકરણ \(x^2=9\) આ અંતરાલ પર વધુમાં વધુ એક ઉકેલ ધરાવે છે, અથવા તેના બદલે એક: \(x=-3\) . ફંક્શન \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) બધા \(x\in (-1;+\infty)\) માટે સખત રીતે વધી રહ્યું છે, તેથી સમીકરણ \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) પાસે આ અંતરાલ પર એક કરતાં વધુ ઉકેલ નથી, અથવા તેના બદલે કોઈ નથી, કારણ કે ડાબી બાજુનો અંશ ક્યારેય શૂન્યની બરાબર ન હોઈ શકે. III.જો કાર્ય \(f(x)\) બિન-ઘટતું (ન-વધતું) અને સેગમેન્ટ પર સતત હોય તો \(\), અને સેગમેન્ટના છેડે તે મૂલ્યો લે છે \(f(a)= A, f(b)=B\) , પછી \(C\in \) (\(C\in \) ) સમીકરણ \(f(x)=C\) માટે હંમેશા ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય છે. ઉદાહરણ: ફંક્શન \(f(x)=x^3\) સખત રીતે વધી રહ્યું છે (એટલે કે, સખત રીતે એકવિધ) અને બધા માટે સતત છે \(x\in\mathbb(R)\), તેથી કોઈપણ \(C\) માટે ( -\infty;+\infty)\) સમીકરણ \(x^3=C\) માં બરાબર એક ઉકેલ છે: \(x=\sqrt(C)\) . કાર્ય 1 #3153 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા કરતાં વધુ સરળ બરાબર બે મૂળ ધરાવે છે. ચાલો સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખીએ: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]કાર્ય \(f(t)=t^3+t\) ધ્યાનમાં લો. પછી સમીકરણ ફોર્મમાં ફરીથી લખવામાં આવશે: \ ચાલો ફંક્શનનો અભ્યાસ કરીએ \(f(t)\) . પરિણામે, કાર્ય \(f(t)\) બધા \(t\) માટે વધે છે. આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શનની દરેક કિંમત \(f(t)\) દલીલ \(t\)ના એક મૂલ્યને અનુલક્ષે છે. તેથી, સમીકરણને મૂળ બનાવવા માટે, તે જરૂરી છે: \
પરિણામી સમીકરણના બે મૂળ હોવા માટે, તેનો ભેદભાવ હકારાત્મક હોવો જોઈએ: \
જવાબ: \(\left(-\infty;\dfrac1(12)\જમણે)\) કાર્ય 2 #2653 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણ \(a\) ના તમામ મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે \
બે મૂળ ધરાવે છે. (સબ્સ્ક્રાઇબર્સ તરફથી કાર્ય.) ચાલો બદલીએ: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . પછી સમીકરણ ફોર્મ લેશે: \
કાર્ય \(f(w)=7^w+\sqrtw\) ને ધ્યાનમાં લો. પછી આપણું સમીકરણ ફોર્મ લેશે: \ ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ \
નોંધ કરો કે બધા માટે \(w\ne 0\) વ્યુત્પન્ન \(f"(w)>0\) છે, કારણ કે \(7^w>0\) , \(w^6>0\) પણ નોંધ કરો. કે ફંક્શન \(f(w)\) પોતે જ બધા \(w\) માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. કારણ કે, વધુમાં, \(f(w)\) સતત છે, અમે નિષ્કર્ષ લઈ શકીએ છીએ કે \(f (w)\) સમગ્ર \(\mathbb(R)\) પર વધે છે. \
આ સમીકરણ બે મૂળ ધરાવવા માટે, તે ચોરસ હોવું જોઈએ અને તેનો ભેદભાવ હકારાત્મક હોવો જોઈએ: \[\begin(કેસો) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(કેસ) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]
જવાબ: \(-\infty;1)\કપ(1;2)\) કાર્ય 3 #3921 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણ \(a\) ના તમામ હકારાત્મક મૂલ્યો શોધો જેના માટે સમીકરણ છે ઓછામાં ઓછા \(2\) ઉકેલો ધરાવે છે. ચાલો \(ax\) ધરાવતા તમામ શબ્દોને ડાબી બાજુએ અને \(x^2\) ધરાવતા તમામ શબ્દોને જમણી બાજુએ ખસેડીએ અને કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. પછી મૂળ સમીકરણ ફોર્મ લેશે: ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ: કારણ કે \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), પછી \(f"(t)\geqslant 0\) કોઈપણ \(t\in \mathbb(R)\) માટે. વધુમાં, \(f"(t)=0\) જો \(t-2)^2=0\) અને \(1+\cos(2t)=0\) એક જ સમયે, જે સાચું નથી કોઈપણ \(t\) માટે. તેથી, \(f"(t)> 0\) કોઈપણ \(t\in \mathbb(R)\) માટે. આમ, ફંક્શન \(f(t)\) બધા \(t\in \mathbb(R)\) માટે સખત રીતે વધી રહ્યું છે. આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ \(f(ax)=f(x^2)\) એ સમીકરણ \(ax=x^2\) ની સમકક્ષ છે. \(a=0\) માટે સમીકરણ \(x^2-ax=0\) એક મૂળ \(x=0\), અને \(a\ne 0\) માટે બે છે વિવિધ મૂળ\(x_1=0\) અને \(x_2=a\) . જવાબ: \(0;+\infty)\) . કાર્ય 4 #1232 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો \(a\) , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ \
એક અનન્ય ઉકેલ છે. ચાલો સમીકરણની જમણી અને ડાબી બાજુઓને \(2^(\sqrt(x+1))\) (થી \(2^(\sqrt(x+1))>0\) વડે ગુણાકાર કરીએ અને સમીકરણને ફરીથી લખીએ ફોર્મમાં: \
કાર્યને ધ્યાનમાં લો \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))(t+2))\)\(t\geqslant 0\) માટે (\(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) થી ). વ્યુત્પન્ન \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\જમણે)\). કારણ કે \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\)બધા માટે \(t\geqslant 0\), પછી \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. પરિણામે, \(t\geqslant 0\) ફંક્શન \(y\) એકવિધ રીતે ઘટે છે. સમીકરણને \(y(t)=y(z)\) સ્વરૂપમાં ગણી શકાય, જ્યાં \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . કાર્યની એકવિધતા પરથી તે અનુસરે છે કે સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જો \(t=z\) . આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ સમીકરણની સમકક્ષ છે: \(ax=\sqrt(x+1)\), જે બદલામાં સિસ્ટમની સમકક્ષ છે: \[\begin(કેસો) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(કેસ)\] જ્યારે \(a=0\) સિસ્ટમ પાસે એક ઉકેલ \(x=-1\) હોય છે જે સ્થિતિને સંતોષે છે \(ax\geqslant 0\) . કેસને ધ્યાનમાં લો \(a\ne 0\) . સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણનો ભેદભાવ \(D=1+4a^2>0\) બધા માટે \(a\) . પરિણામે, સમીકરણમાં હંમેશા બે મૂળ \(x_1\) અને \(x_2\) હોય છે, અને તે અલગ-અલગ ચિહ્નોના હોય છે (કેમકે વિયેટાના પ્રમેય મુજબ \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\)
). આનો અર્થ એ છે કે \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\) સ્થિતિ હકારાત્મક મૂળ દ્વારા સંતુષ્ટ છે. તેથી, સિસ્ટમ પાસે હંમેશા અનન્ય ઉકેલ છે. તેથી, \(a\in \mathbb(R)\) . જવાબ: \(a\in \mathbb(R)\) . કાર્ય 5 #1234 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો \(a\) , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ \
સેગમેન્ટમાંથી ઓછામાં ઓછું એક રુટ છે \([-1;0]\) . કાર્યને ધ્યાનમાં લો \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)અમુક નિશ્ચિત \(a\) માટે. ચાલો તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\). નોંધ કરો કે \(f"(x)\geqslant 0\) \(x\) અને \(a\) ના તમામ મૂલ્યો માટે, અને માત્ર \(x=a=1 માટે \(0\) ની બરાબર છે. \). પરંતુ \(a=1\) માટે : આનો અર્થ એ છે કે બધા માટે \(a\ne 1\) ફંક્શન \(f(x)\) સખત રીતે વધી રહ્યું છે, તેથી, સમીકરણ \(f(x)=0\) એક કરતાં વધુ મૂળ ધરાવી શકે નહીં. ક્યુબિક ફંક્શનના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેતા, અમુક નિશ્ચિત \(a\) માટે \(f(x)\) નો ગ્રાફ આના જેવો દેખાશે: આનો અર્થ એ છે કે સમીકરણને સેગમેન્ટમાંથી મૂળ મેળવવા માટે \([-1;0]\), તે જરૂરી છે: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(કેસ) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\] આમ, \(a\in [-2;0]\) . જવાબ: \(a\in [-2;0]\) . કાર્ય 6 #2949 કાર્ય સ્તર: યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની સમાન પરિમાણના તમામ મૂલ્યો શોધો \(a\) , જેમાંથી દરેક માટે સમીકરણ \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\] મૂળ ધરાવે છે. (સબ્સ્ક્રાઇબર્સ તરફથી કાર્ય) ODZ સમીકરણો: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). તેથી, સમીકરણમાં મૂળ હોય તે માટે, ઓછામાં ઓછું એક સમીકરણ હોવું જરૂરી છે \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] ODZ પર નિર્ણયો લીધા હતા. 1) પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(સંરેખિત) \end(એકત્ર કરેલ)\જમણે. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]આ સમીકરણનું મૂળ \(\) માં હોવું આવશ્યક છે. વર્તુળનો વિચાર કરો: આમ, આપણે જોઈએ છીએ કે કોઈપણ \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) માટે સમીકરણનો એક ઉકેલ હશે, અને બીજા બધા માટે તેનો કોઈ ઉકેલ નથી. તેથી, જ્યારે \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\જમણે]\)સમીકરણમાં ઉકેલો છે. 2) બીજા સમીકરણને ધ્યાનમાં લો \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\] કાર્ય \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) ધ્યાનમાં લો. ચાલો તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: \
ODZ પર, વ્યુત્પન્નમાં એક શૂન્ય છે: \(x=\frac34\) , જે કાર્ય \(f(x)\) નો મહત્તમ બિંદુ પણ છે. તેથી, સમીકરણને ઉકેલો મેળવવા માટે, તે જરૂરી છે કે આલેખ \(f(x)\) સીધી રેખા \(y=-a\) સાથે છેદે છે (આકૃતિ યોગ્ય વિકલ્પોમાંથી એક બતાવે છે). એટલે કે, તે જરૂરી છે \
. આ માટે \(x\): કાર્ય \(y_1=\sqrt(x-1)\) સખત રીતે વધી રહ્યું છે. ફંક્શનનો આલેખ \(y_2=5x^2-9x\) એ પેરાબોલા છે, જેનો શિરોબિંદુ બિંદુ \(x=\dfrac(9)(10)\) પર છે. પરિણામે, બધા માટે \(x\geqslant 1\), કાર્ય \(y_2\) પણ સખત રીતે વધી રહ્યું છે (પેરાબોલાની જમણી શાખા). કારણ કે સખત રીતે વધતા કાર્યોનો સરવાળો સખત રીતે વધી રહ્યો છે, પછી \(f_a(x)\) સખત રીતે વધી રહ્યો છે (સતત \(3a+8\) કાર્યની એકવિધતાને અસર કરતું નથી). ફંક્શન \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) બધા માટે \(x\geqslant 1\) હાયપરબોલાની જમણી શાખાના ભાગને રજૂ કરે છે અને સખત રીતે ઘટી રહ્યું છે. સમીકરણ \(f_a(x)=g_a(x)\) ઉકેલવાનો અર્થ થાય છે ફંક્શન્સ \(f\) અને \(g\) ના આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવા. તેમની વિરોધી એકવિધતા પરથી તે અનુસરે છે કે સમીકરણમાં વધુમાં વધુ એક મૂળ હોઈ શકે છે. જ્યારે \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 \\ કપ જવાબ: \(a\in (-\infty;-1]\ કપ ,
આ સેગમેન્ટ પર મર્યાદિત; · વધતા (ઘટાતા) કાર્યોનો સરવાળો એ વધતો (ઘટતો) કાર્ય છે; · જો કાર્ય fવધે છે (ઘટે છે) અને n- એક વિચિત્ર સંખ્યા, તે પણ વધે છે (ઘટે છે); · જો f"(x)>0બધા માટે xО(a,b),પછી કાર્ય y=f(x)અંતરાલ પર વધી રહી છે (a,b); · જો f"(x)<0
બધા માટે xО(a,b),પછી કાર્ય y=f(x)અંતરાલ પર ઘટે છે (a,b); · જો f(x) -સેટ પર સતત અને એકવિધ કાર્ય એક્સ, પછી સમીકરણ f(x)=C, ક્યાં સાથે- આ સતત હોઈ શકે છે એક્સએક કરતાં વધુ ઉકેલ નહીં; · જો સમીકરણની વ્યાખ્યાના ડોમેન પર હોય f(x)=g(x)કાર્ય f(x)વધે છે, અને કાર્ય g(x)ઘટે છે, તો સમીકરણમાં એક કરતાં વધુ ઉકેલ હોઈ શકે નહીં. પ્રમેય. (કાર્યની એકવિધતા માટે પૂરતી સ્થિતિ). જો સેગમેન્ટ પર સતત [ a, b] કાર્ય y = f(એક્સ) અંતરાલના દરેક બિંદુએ ( a, b) પાસે સકારાત્મક (નકારાત્મક) વ્યુત્પન્ન છે, પછી આ કાર્ય સેગમેન્ટ પર વધે છે (ઘટે છે) [ a, b]. પુરાવો. ચાલો >0 દરેક માટે xО(a,b).
બે મનસ્વી મૂલ્યો x 2 ધ્યાનમાં લો > x 1 ,જોડાયેલ છે [ a, b]. લેગ્રેન્જના સૂત્ર મુજબ x 1<с < х 2
.
(સાથે) > 0
અને x 2 – x 1 > 0,
તેથી > 0,
જ્યાંથી >, એટલે કે, ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર વધે છે [ a, b]. પ્રમેયનો બીજો ભાગ એ જ રીતે સાબિત થાય છે. પ્રમેય 3. (ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વની આવશ્યક નિશાની). જો બિંદુ c પર ફંક્શન ડિફરન્સિબલ હોય ખાતે=f(એક્સ) આ બિંદુએ એક સીમા છે, પછી. પુરાવો. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન ખાતે= f(એક્સ) બિંદુ c પર મહત્તમ છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ c ની એક પંચર પડોશી છે જેમ કે તમામ બિંદુઓ માટે xઆ પડોશી સંતુષ્ટ છે f(x) < f
(c),
તે જ f(c) આ પડોશમાં ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય છે. પછી ફર્મેટના પ્રમેય દ્વારા. બિંદુ c પર લઘુત્તમનો કિસ્સો એ જ રીતે સાબિત થાય છે. ટિપ્પણી. ફંક્શનમાં એવા બિંદુએ એક્સ્ટ્રીમમ હોઈ શકે છે જ્યાં તેનું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શનમાં ન્યૂનતમ બિંદુ x હોય છે =
0, જો કે તે અસ્તિત્વમાં નથી. જે બિંદુઓ પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય હોય અથવા અસ્તિત્વમાં ન હોય તે બિંદુઓને કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ કહેવામાં આવે છે. જો કે, ફંક્શનમાં તમામ નિર્ણાયક બિંદુઓ પર એક્સ્ટ્રીમમ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય y = x 3તેના વ્યુત્પન્ન હોવા છતાં તેની કોઈ આત્યંતિકતા નથી
=0. પ્રમેય 4. (એક ચરમસીમાના અસ્તિત્વની પર્યાપ્ત નિશાની). જો સતત કાર્ય y = f(x) નિર્ણાયક બિંદુ C ધરાવતા ચોક્કસ અંતરાલના તમામ બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્ન હોય છે (સિવાય કે, કદાચ આ બિંદુ માટે જ), અને જો વ્યુત્પન્ન, જ્યારે દલીલ ગંભીર બિંદુ C દ્વારા ડાબેથી જમણે પસાર થાય છે, તો વત્તામાંથી ચિહ્ન બદલાય છે. બાદમાં, પછી બિંદુ C પરનું કાર્ય મહત્તમ હોય છે, અને જ્યારે ચિહ્ન માઈનસથી વત્તામાં બદલાય છે, ત્યારે ન્યૂનતમ. પુરાવો. ચાલો c એ નિર્ણાયક બિંદુ બનીએ અને ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે દલીલ બિંદુ cમાંથી પસાર થાય ત્યારે વત્તાથી માઈનસમાં ચિહ્ન બદલાય છે. આનો અર્થ એ છે કે અમુક અંતરાલ પર (c–e; c)કાર્ય વધે છે, અને અંતરાલ પર (c; c+e)- ઘટે છે (એટ ઇ>0). તેથી, બિંદુ c પર કાર્ય મહત્તમ છે. મિનિમમનો કિસ્સો એ જ રીતે સાબિત થાય છે. ટિપ્પણી. જો દલીલ નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થાય ત્યારે વ્યુત્પન્ન ચિન્હને બદલતું નથી, તો આ બિંદુ પરના કાર્યમાં એક્સ્ટ્રીમમ નથી. ઘણા ચલોના કાર્ય માટે મર્યાદા અને સાતત્યની વ્યાખ્યાઓ વ્યવહારીક રીતે એક ચલના કાર્ય માટે અનુરૂપ વ્યાખ્યાઓ સાથે સુસંગત હોવાથી, પછી ઘણા ચલોના કાર્યો માટે મર્યાદા અને સતત કાર્યોના તમામ ગુણધર્મો સાચવવામાં આવે છે. ©2015-2019 સાઇટ મોનોટોન ફંક્શનની મર્યાદા પર પ્રમેય. પ્રમેયનો પુરાવો બે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને આપવામાં આવે છે. સખત રીતે વધતા, ન ઘટતા, સખત રીતે ઘટતા અને ન વધતા કાર્યોની વ્યાખ્યાઓ પણ આપવામાં આવે છે. એકવિધ કાર્યની વ્યાખ્યા. વધતા અને ઘટતા કાર્યોની વ્યાખ્યાઓ તે અનુસરે છે કે સખત રીતે વધતું કાર્ય પણ ઘટતું નથી. સખત રીતે ઘટતું કાર્ય પણ બિન-વધતું હોય છે. એકવિધ કાર્યની વ્યાખ્યા ચોક્કસ સેટ X પર ફંક્શનની એકવિધતાનો અભ્યાસ કરવા માટે, તમારે આ સમૂહ સાથે જોડાયેલા બે મનસ્વી બિંદુઓ પર તેના મૂલ્યોનો તફાવત શોધવાની જરૂર છે. જો , તો પછી કાર્ય સખત રીતે વધી રહ્યું છે; જો , તો કાર્ય ઘટતું નથી; જો , તો પછી સખત રીતે ઘટે છે; જો, તો તે વધતું નથી. જો ચોક્કસ સેટ પર કાર્ય હકારાત્મક છે: , તો પછી એકવિધતા નક્કી કરવા માટે, તમે આ સમૂહના બે મનસ્વી બિંદુઓ પર તેના મૂલ્યોને વિભાજીત કરવાના ભાગનો અભ્યાસ કરી શકો છો. જો , તો પછી કાર્ય સખત રીતે વધી રહ્યું છે; જો , તો કાર્ય ઘટતું નથી; જો , તો પછી સખત રીતે ઘટે છે; જો, તો તે વધતું નથી. પ્રમેય જો બિંદુઓ a અને b અનંત પર હોય, તો પછી અભિવ્યક્તિઓમાં મર્યાદા ચિહ્નોનો અર્થ એ છે કે . ચાલો ફંક્શન f (x)અંતરાલમાં ઘટાડો થતો નથી (a, b), ક્યાં . પછી બિંદુ a અને b પર એકતરફી મર્યાદાઓ છે: બિન-વધતા કાર્ય માટે સમાન પ્રમેય. જ્યાં અંતરાલ પર ફંક્શન ન વધવા દો. પછી એકતરફી મર્યાદાઓ છે: પરિણામ કારણ કે કાર્ય ઘટતું નથી, પછી જ્યારે . પછી 1. અંતરાલ પર ફંક્શન ઘટવા ન દો. ચાલો સૂચિત કરીએ. પછી કોઈપણ માટે ત્યાં છે, તેથી 1. અંતરાલ પર ફંક્શન ઘટવા ન દો. કાર્ય ઉપર બાઉન્ડેડ હોવાથી, ત્યાં એક મર્યાદિત સર્વોચ્ચ છે કારણ કે કાર્ય ઘટતું નથી, પછી જ્યારે . પછી ખાતે. અથવા તેથી, અમને જાણવા મળ્યું કે કોઈપણ માટે ત્યાં સંખ્યા છે, તેથી 1. અંતરાલ પર ફંક્શન ઘટવા ન દો. ફંક્શન ઉપર બાઉન્ડેડ ન હોવાથી, કોઈપણ સંખ્યા M માટે, જેના માટે દલીલ છે કારણ કે કાર્ય ઘટતું નથી, પછી જ્યારે . પછી ખાતે. તેથી કોઈપણ માટે સંખ્યા છે, તેથી હવે જ્યારે ફંક્શન વધતું નથી ત્યારે કેસને ધ્યાનમાં લો. તમે, ઉપર મુજબ, દરેક વિકલ્પને અલગથી ધ્યાનમાં લઈ શકો છો. પરંતુ અમે તેમને તરત જ આવરી લઈશું. આ માટે આપણે ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો સાબિત કરીએ કે આ કિસ્સામાં એક મર્યાદા છે. ફંક્શન મૂલ્યોના સમૂહના મર્યાદિત ઇનફિમમને ધ્યાનમાં લો: કારણ કે ફંક્શન વધતું નથી, પછી જ્યારે . ત્યારથી તેથી, અમને જાણવા મળ્યું કે બિંદુના કોઈપણ પડોશ માટે, બિંદુ b ના ડાબા પડોશમાં પંચર થયેલું છે કે જે હવે આપણે બતાવીશું કે બિંદુ a પર મર્યાદા છે અને તેનું મૂલ્ય શોધીશું. ચાલો કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. પ્રમેયની શરતો અનુસાર, કાર્ય માટે એકવિધ છે. ચાલો ચલ x ને - x સાથે બદલીએ (અથવા અવેજી કરીએ અને પછી ચલ t ને x સાથે બદલો). પછી કાર્ય માટે મોનોટોનિક છે. દ્વારા અસમાનતાનો ગુણાકાર -1
અને તેમનો ક્રમ બદલીને અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે કાર્ય માટે એકવિધ છે. એવી જ રીતે તે બતાવવાનું સરળ છે કે જો તે ઘટતું નથી, તો તે વધતું નથી. પછી, ઉપર જે સાબિત થયું હતું તે મુજબ, ત્યાં મર્યાદા છે હવે તે બતાવવાનું બાકી છે કે જો ત્યાં ફંક્શનની મર્યાદા છે, તો ત્યાં ફંક્શનની મર્યાદા છે, અને આ મર્યાદાઓ સમાન છે: ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ: એક મર્યાદિત સંખ્યા હોવા દો. ચાલો અસમાનતાઓનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ -a ના ડાબા પંચર પડોશને વ્યક્ત કરીએ: એક અનંત સંખ્યા બનવા દો, . અમે તર્કનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ. તેથી, અમને જાણવા મળ્યું કે કોઈપણ માટે એવું છે પ્રમેય સાબિત થયો છે. વધારાની સામગ્રી 1C થી ગ્રેડ 10 માટે ઇન્ટિગ્રલ ઑનલાઇન સ્ટોરમાં મેન્યુઅલ અને સિમ્યુલેટર
આપણે શું અભ્યાસ કરીશું: ગાય્ઝ, અગાઉ આપણે ઘણું જોયું વિવિધ કાર્યોઅને તેમના આલેખ બનાવ્યા. હવે ચાલો નવા નિયમો રજૂ કરીએ જે તમામ કાર્યો માટે કાર્ય કરે છે જે આપણે ધ્યાનમાં લીધા છે અને ધ્યાનમાં લેવાનું ચાલુ રાખીશું. ફંક્શન એ પત્રવ્યવહાર છે y= f(x), જેમાં x નું દરેક મૂલ્ય y ના એક મૂલ્ય સાથે સંકળાયેલું છે. ચાલો અમુક કાર્યનો ગ્રાફ જોઈએ: અમારો ગ્રાફ બતાવે છે: x જેટલું મોટું, y નાનું. તો ચાલો ઘટતા કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. જો દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો ફંક્શનને ઘટાડવું કહેવામાં આવે છે. જો x2 > x1, તો f(x2) હવે આ ફંકશનનો ગ્રાફ જોઈએ: જો કોઈ કાર્ય ચોક્કસ અંતરાલમાં વધે અથવા ઘટે, તો તે કહેવાય છે તે આ અંતરાલ પર એકવિધ છે. જો તમે અમારા સ્પર્શકને જુઓ અથવા અન્ય કોઈ સ્પર્શકને દૃષ્ટિની રીતે દોરો, તો તમે જોશો કે સ્પર્શક અને x-અક્ષની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો ખૂણો તીવ્ર હશે. આનો અર્થ એ છે કે સ્પર્શકમાં હકારાત્મક ઢોળાવ છે. સ્પર્શક ઢાળ મૂલ્યની સમાનસ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુના એબ્સીસામાં વ્યુત્પન્ન. આમ, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય આપણા ગ્રાફમાં તમામ બિંદુઓ પર હકારાત્મક છે. વધતા કાર્ય માટે, નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે: f"(x) ≥ 0, કોઈપણ બિંદુ x માટે. મિત્રો, હવે ચાલો અમુક ઘટતા ફંક્શનના ગ્રાફને જોઈએ અને ફંક્શનના ગ્રાફમાં સ્પર્શક બનાવીએ. ચાલો સ્પર્શકોને જોઈએ અને કોઈપણ અન્ય સ્પર્શકને દૃષ્ટિની રીતે દોરીએ. આપણે જોશું કે સ્પર્શક અને x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો ખૂણો અસ્પષ્ટ છે, જેનો અર્થ થાય છે કે સ્પર્શકને નકારાત્મક ઢોળાવ છે. આમ, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય આપણા ગ્રાફમાં તમામ બિંદુઓ પર નકારાત્મક છે. ઘટતા કાર્ય માટે, નીચેની અસમાનતા ધરાવે છે: f"(x) ≤ 0, કોઈપણ બિંદુ x માટે. તેથી, કાર્યની એકવિધતા વ્યુત્પન્નના સંકેત પર આધારિત છે: જો કોઈ કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે અને આ અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન હોય છે, તો આ વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક રહેશે નહીં. જો કોઈ કાર્ય અંતરાલ પર ઘટે છે અને આ અંતરાલ પર વ્યુત્પન્ન હોય, તો આ વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક રહેશે નહીં. મહત્વપૂર્ણ, જેથી અંતરાલો કે જેના પર આપણે કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ તે ખુલ્લા છે! પ્રમેય 1. જો અસમાનતા f'(x) ≥ 0 ખુલ્લા અંતરાલ X ના તમામ બિંદુઓ પર ધરાવે છે (અને શૂન્યથી વ્યુત્પન્નની સમાનતા કાં તો પકડી રાખતી નથી અથવા ધરાવે છે, પરંતુ માત્ર બિંદુઓના મર્યાદિત સમૂહ પર), તો પછી કાર્ય y = f(x) અંતરાલ X પર વધે છે. પ્રમેય 2. જો અસમાનતા f'(x) ≤ 0 ખુલ્લા અંતરાલ X ના તમામ બિંદુઓ પર ધરાવે છે (અને શૂન્યથી વ્યુત્પન્નની સમાનતા કાં તો પકડી રાખતી નથી અથવા ધરાવે છે, પરંતુ માત્ર બિંદુઓના મર્યાદિત સમૂહ પર), તો પછી કાર્ય y= f(x) અંતરાલ X પર ઘટે છે. પ્રમેય 3. જો ખુલ્લા અંતરાલ X ના તમામ બિંદુઓ પર સમાનતા 1) સાબિત કરો કે ફંક્શન y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વધી રહ્યું છે. ઉકેલ: ચાલો આપણા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. કારણ કે x પરની ડિગ્રી સમાન છે, તો પછી પાવર કાર્યમાત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો લે છે. પછી કોઈપણ x માટે y"> 0, જેનો અર્થ પ્રમેય 1 દ્વારા થાય છે, આપણું કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વધે છે. 2) સાબિત કરો કે કાર્ય ઘટી રહ્યું છે: y=sin(2x) - 3x. ચાલો આપણા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: y"= 2cos(2x) - 3. 3) કાર્યની એકવિધતા તપાસો: y= x 2 + 3x - 1. ઉકેલ: ચાલો આપણા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: y"= 2x + 3. 4) ફંક્શનની એકવિધતા તપાસો: y= $\sqrt(3x - 1)$. ઉકેલ: ચાલો આપણા કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$. આપણી અસમાનતા શૂન્ય કરતા વધારે અથવા બરાબર છે: $\sqrt(3x-1)$ ≤ 0, કાર્યના વધારા, ઘટાડા અને ચરમસીમાના અંતરાલો શોધવા એ એક સ્વતંત્ર કાર્ય અને અન્ય કાર્યોનો આવશ્યક ભાગ છે, ખાસ કરીને, સંપૂર્ણ કાર્ય અભ્યાસ. કાર્યના વધારા, ઘટાડા અને ચરમસીમા વિશે પ્રારંભિક માહિતી આપવામાં આવી છે વ્યુત્પન્ન પર સૈદ્ધાંતિક પ્રકરણ, જેનો હું પ્રારંભિક અભ્યાસ માટે ખૂબ ભલામણ કરું છું (અથવા પુનરાવર્તન)– એ પણ કારણસર કે નીચેની સામગ્રી ખૂબ જ પર આધારિત છે આવશ્યકપણે વ્યુત્પન્ન,આ લેખનું સુમેળભર્યું ચાલુ છે. જો કે, જો સમય ઓછો હોય, તો આજના પાઠમાંથી ઉદાહરણોની સંપૂર્ણ ઔપચારિક પ્રેક્ટિસ પણ શક્ય છે. અને આજે હવામાં દુર્લભ સર્વસંમતિની ભાવના છે, અને હું સીધો અનુભવ કરી શકું છું કે હાજર દરેક વ્યક્તિ ઇચ્છાથી બળી રહ્યો છે તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ કરવાનું શીખો. તેથી, વાજબી, સારી, શાશ્વત પરિભાષા તરત જ તમારા મોનિટર સ્ક્રીન પર દેખાય છે. શેના માટે? કારણો પૈકી એક સૌથી વ્યવહારુ છે: જેથી તે સ્પષ્ટ થાય કે કોઈ ચોક્કસ કાર્યમાં તમારા માટે સામાન્ય રીતે શું જરૂરી છે! ચાલો કેટલાક કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ. સરળ રીતે કહીએ તો, અમે ધારીએ છીએ કે તેણી સતતસમગ્ર સંખ્યા રેખા પર: ફક્ત કિસ્સામાં, ચાલો તરત જ સંભવિત ભ્રમણાથી છૂટકારો મેળવીએ, ખાસ કરીને તે વાચકો માટે કે જેઓ તાજેતરમાં પરિચિત થયા છે. કાર્યના સતત સંકેતના અંતરાલો. હવે અમે રસ નથી, કેવી રીતે કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષની તુલનામાં સ્થિત છે (ઉપર, નીચે, જ્યાં અક્ષ છેદે છે). ખાતરી કરવા માટે, માનસિક રૂપે અક્ષોને ભૂંસી નાખો અને એક ગ્રાફ છોડી દો. કારણ કે ત્યાં જ રસ રહેલો છે. કાર્ય વધે છેઅંતરાલ પર જો આ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો અસમાનતા સાચી છે. એટલે કે, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ છે, અને તેનો ગ્રાફ "નીચેથી ઉપર" જાય છે. નિદર્શન કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે. તેવી જ રીતે, કાર્ય ઘટે છેઅંતરાલ પર જો આપેલ અંતરાલના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે જેમ કે, અસમાનતા સાચી છે. એટલે કે, દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે અને તેનો ગ્રાફ "ઉપરથી નીચે સુધી" જાય છે. આપણું કાર્ય અંતરાલ પર ઘટે છે જો કોઈ કાર્ય અંતરાલમાં વધે અથવા ઘટે, તો તેને કહેવામાં આવે છે સખત એકવિધઆ અંતરાલ પર. એકવિધતા શું છે? તેને શાબ્દિક રીતે લો - એકવિધતા. તમે પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો બિન-ઘટતુંકાર્ય (પ્રથમ વ્યાખ્યામાં હળવા સ્થિતિ) અને બિન-વધતુંકાર્ય (2જી વ્યાખ્યામાં નરમ સ્થિતિ). એક અંતરાલ પર બિન-ઘટતા અથવા ન વધતા કાર્યને આપેલ અંતરાલ પર એકવિધ કાર્ય કહેવાય છે (કડક એકવિધતા - ખાસ કેસ"માત્ર" એકવિધતા). થિયરી ફંક્શનના વધારા/ઘટાડાને નિર્ધારિત કરવા માટેના અન્ય અભિગમોને પણ ધ્યાનમાં લે છે, જેમાં અર્ધ-અંતરો, સેગમેન્ટ્સનો સમાવેશ થાય છે, પરંતુ તમારા માથા પર તેલ-તેલ-તેલ ન રેડવા માટે, અમે સ્પષ્ટ વ્યાખ્યાઓ સાથે ખુલ્લા અંતરાલ સાથે કામ કરવા સંમત થઈશું. - આ સ્પષ્ટ છે, અને ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે પૂરતું છે. આમ, મારા લેખોમાં "ફંક્શનની એકવિધતા" શબ્દ લગભગ હંમેશા છુપાયેલો રહેશે અંતરાલ કડક એકવિધતા
(ફંક્શનમાં સખત વધારો અથવા સખત ઘટાડો). બિંદુની પડોશ. શબ્દો કે જેના પછી વિદ્યાર્થીઓ ગમે ત્યાં ભાગી જાય છે અને ખૂણામાં ભયાનક રીતે સંતાઈ જાય છે. ...જોકે પોસ્ટ પછી કોચી મર્યાદાતેઓ કદાચ હવે છુપાઈ રહ્યા નથી, પરંતુ માત્ર સહેજ ધ્રૂજી રહ્યા છે =) ચિંતા કરશો નહીં, હવે પ્રમેયના કોઈ પુરાવા હશે નહીં ગાણિતિક વિશ્લેષણ- વ્યાખ્યાઓ વધુ કડક રીતે ઘડવા માટે મને આસપાસના વાતાવરણની જરૂર હતી આત્યંતિક બિંદુઓ. ચાલો યાદ કરીએ: બિંદુની પડોશસમાવિષ્ટ અંતરાલ કહેવાય છે આ બિંદુ, જ્યારે સગવડ માટે અંતરાલ ઘણીવાર સપ્રમાણ હોવાનું માનવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક બિંદુ અને તેના પ્રમાણભૂત પડોશી: બિંદુ કહેવાય છે સખત મહત્તમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેણીનો પડોશ, બધા માટેજેનાં મૂલ્યો, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા. અમારા વિશિષ્ટ ઉદાહરણમાં, આ એક બિંદુ છે. બિંદુ કહેવાય છે કડક ન્યૂનતમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેણીનો પડોશ, બધા માટેજેનાં મૂલ્યો, બિંદુ સિવાય, અસમાનતા. ડ્રોઇંગમાં બિંદુ "a" છે. નૉૅધ
: પડોશી સમપ્રમાણતાની જરૂરિયાત બિલકુલ જરૂરી નથી. વધુમાં, તે મહત્વપૂર્ણ છે અસ્તિત્વની હકીકતપડોશી (પછી ભલે નાનું હોય કે માઇક્રોસ્કોપિક) જે ઉલ્લેખિત શરતોને સંતોષે છે પોઈન્ટ કહેવાય છે સખત આત્યંતિક બિંદુઓઅથવા સરળ રીતે આત્યંતિક બિંદુઓકાર્યો એટલે કે, તે મહત્તમ પોઈન્ટ અને ન્યૂનતમ પોઈન્ટ માટે સામાન્યકૃત શબ્દ છે. આપણે "આત્યંતિક" શબ્દને કેવી રીતે સમજી શકીએ? હા, એકવિધતા જેટલી જ સીધી. રોલર કોસ્ટરના એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ. મોનોટોનિસિટીના કિસ્સામાં, છૂટક પોસ્ટ્યુલેટ્સ અસ્તિત્વમાં છે અને સિદ્ધાંતમાં વધુ સામાન્ય છે (જે, અલબત્ત, માનવામાં આવતા કડક કેસો હેઠળ આવે છે!): બિંદુ કહેવાય છે મહત્તમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેની આસપાસનો માહોલ એવો છે બધા માટે નોંધ કરો કે છેલ્લી બે વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, સ્થિર કાર્યના કોઈપણ બિંદુ (અથવા કાર્યનો "સપાટ વિભાગ") મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુ બંને ગણવામાં આવે છે! કાર્ય, માર્ગ દ્વારા, બંને બિન-વધતા અને ન ઘટતા, એટલે કે, એકવિધ છે. જો કે, અમે આ વિચારણાઓ સિદ્ધાંતવાદીઓ પર છોડી દઈશું, કારણ કે વ્યવહારમાં આપણે હંમેશા પરંપરાગત "પહાડીઓ" અને "હોલોઝ" (રેખાંકન જુઓ) પર એક અનન્ય "પહાડીનો રાજા" અથવા "સ્વેમ્પની રાજકુમારી" સાથે વિચાર કરીએ છીએ. વિવિધતા તરીકે, તે થાય છે ટીપ, ઉપર અથવા નીચે નિર્દેશિત, ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ પર કાર્યનું ન્યૂનતમ. ઓહ, અને રોયલ્ટી વિશે બોલતા: સામાન્ય નામ – ચરમસીમાકાર્યો કૃપા કરીને તમારા શબ્દોથી સાવચેત રહો! એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ- આ "X" મૂલ્યો છે. ! નૉૅધ
: કેટલીકવાર સૂચિબદ્ધ શબ્દો "X-Y" બિંદુઓનો સંદર્ભ આપે છે જે સીધા જ કાર્યના ગ્રાફ પર આવેલા છે. ફંક્શનમાં કેટલા એક્સ્ટ્રીમા હોઈ શકે? કોઈ નહીં, 1, 2, 3, ... વગેરે. અનંત સુધી. ઉદાહરણ તરીકે, સાઈનમાં અનંતપણે ઘણા મિનિમા અને મેક્સિમા છે. મહત્વપૂર્ણ!શબ્દ "મહત્તમ કાર્ય" સમાન નથી"ફંક્શનનું મહત્તમ મૂલ્ય" શબ્દ. તે નોંધવું સરળ છે કે મૂલ્ય ફક્ત સ્થાનિક પડોશમાં જ મહત્તમ છે, અને ટોચની ડાબી બાજુએ "કૂલર સાથીઓ" છે. તેવી જ રીતે, "ફંક્શનનું ન્યુનત્તમ" એ "ફંક્શનની ન્યૂનતમ કિંમત" સમાન નથી અને ડ્રોઇંગમાં આપણે જોઈએ છીએ કે મૂલ્ય ફક્ત ચોક્કસ વિસ્તારમાં ન્યૂનતમ છે. આ સંદર્ભે, એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ પણ કહેવામાં આવે છે સ્થાનિક એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ, અને અંતિમ - સ્થાનિક ચરમસીમાઓ
. તેઓ ચાલે છે અને નજીકમાં ભટકતા હોય છે અને વૈશ્વિકભાઈઓ તેથી, કોઈપણ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ પર હોય છે વૈશ્વિક લઘુત્તમઅથવા વૈશ્વિક મહત્તમ. આગળ, હું ચરમસીમાના પ્રકારો વચ્ચે તફાવત કરીશ નહીં, અને સમજૂતી સામાન્ય શૈક્ષણિક હેતુઓ માટે વધુ ઉચ્ચારવામાં આવે છે - વધારાના વિશેષણો "સ્થાનિક"/"વૈશ્વિક" તમને આશ્ચર્યચકિત કરવા જોઈએ નહીં. ચાલો ટેસ્ટ શૉટ સાથે સિદ્ધાંતમાં અમારા ટૂંકા પ્રવાસનો સારાંશ આપીએ: કાર્ય "એકવિધતાના અંતરાલો અને કાર્યના અંતિમ બિંદુઓ શોધો" નો અર્થ શું છે? શબ્દો તમને શોધવા માટે પ્રોત્સાહિત કરે છે: - વધતા/ઘટાડતા કાર્યના અંતરાલો (ઘટાડા વગરના, ન વધતા ઘણી ઓછી વાર દેખાય છે); - મહત્તમ અને/અથવા લઘુત્તમ પોઈન્ટ (જો કોઈ હોય તો). ઠીક છે, નિષ્ફળતા ટાળવા માટે, લઘુત્તમ/મહત્તમ ;-) પોતાને શોધવાનું વધુ સારું છે. આ બધું કેવી રીતે નક્કી કરવું?વ્યુત્પન્ન કાર્યનો ઉપયોગ કરીને! ઘણા નિયમો, વાસ્તવમાં, પહેલાથી જ જાણીતા અને સમજવામાં આવ્યા છે વ્યુત્પન્નના અર્થ વિશેનો પાઠ. સ્પર્શક વ્યુત્પન્ન કોટેન્જેન્ટ અને તેના વ્યુત્પન્ન સાથે આર્કસાઇન અંતરાલ પર વધે છે - અહીં વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે: મને લાગે છે કે તમારા માટે આર્ક કોસાઇન અને તેના વ્યુત્પન્ન માટે સમાન તર્ક હાથ ધરવા તે ખૂબ મુશ્કેલ નહીં હોય. ઉપરોક્ત તમામ કેસો, જેમાંથી ઘણા છે ટેબ્યુલર ડેરિવેટિવ્ઝ, હું તમને યાદ કરું છું, સીધા જ અનુસરો વ્યુત્પન્ન વ્યાખ્યાઓ. આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે તે વધુ સારી રીતે સમજવા માટે: જ્યાં તે “નીચે ઉપર” જાય છે, જ્યાં “ટોપ ડાઉન”, જ્યાં તે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ સુધી પહોંચે છે (જો તે બિલકુલ પહોંચે તો). બધા ફંક્શન એટલા સરળ હોતા નથી - મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં આપણને ચોક્કસ ફંક્શનના ગ્રાફ વિશે બિલકુલ ખ્યાલ હોતો નથી. વધુ અર્થપૂર્ણ ઉદાહરણો તરફ આગળ વધવાનો અને વિચારવાનો સમય છે એકવિધતા અને કાર્યના અંતરાલો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ: ઉદાહરણ 1 ફંક્શનના વધારા/ઘટાડા અને અંતરાલો શોધો ઉકેલ: 1) પ્રથમ પગલું શોધવાનું છે ફંક્શનનું ડોમેન, અને વિરામ બિંદુઓની પણ નોંધ લો (જો તેઓ અસ્તિત્વમાં હોય તો). IN આ બાબતેફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે, અને આ ક્રિયા અમુક હદ સુધી ઔપચારિક છે. પરંતુ સંખ્યાબંધ કેસોમાં, ગંભીર જુસ્સો અહીં ભડકે છે, તેથી ચાલો અણગમો કર્યા વિના ફકરાની સારવાર કરીએ. 2) અલ્ગોરિધમનો બીજો મુદ્દો કારણે છે જો કોઈ બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ હોય, તો કાં તો મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં નથી. અંત દ્વારા મૂંઝવણમાં છો? "મોડ્યુલસ x" ફંક્શનની સીમા .
શરત જરૂરી છે, પરંતુ પૂરતી નથી, અને વાતચીત હંમેશા સાચી હોતી નથી. તેથી, તે હજુ સુધી સમાનતાથી અનુસરતું નથી કે કાર્ય બિંદુ પર મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે. એક ઉત્તમ ઉદાહરણ ઉપર પહેલેથી જ પ્રકાશિત કરવામાં આવ્યું છે - આ એક ક્યુબિક પેરાબોલા અને તેનું નિર્ણાયક બિંદુ છે. પરંતુ તે જેમ બને તેમ બનો, જરૂરી સ્થિતિઆત્યંતિક શંકાસ્પદ બિંદુઓ શોધવાની જરૂરિયાત સૂચવે છે. આ કરવા માટે, વ્યુત્પન્ન શોધો અને સમીકરણ હલ કરો: પ્રથમ લેખની શરૂઆતમાં કાર્ય ગ્રાફ વિશેમેં તમને એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલા ઝડપથી કેવી રીતે બનાવવું તે કહ્યું ઉદાહરણ 2 એકવિધતાના અંતરાલો અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા શોધો માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે કાર્યનો અંદાજિત અંતિમ નમૂનો. અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યો સાથે મળવાની લાંબા સમયથી રાહ જોવાતી ક્ષણ આવી ગઈ છે: ઉદાહરણ 3 પ્રથમ ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ કરો એક અને સમાન કાર્યને કેવી રીતે બદલી શકાય છે તેના પર ધ્યાન આપો. ઉકેલ: 1) કાર્ય પોઈન્ટ પર અનંત વિરામનો ભોગ બને છે. 2) અમે નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધીએ છીએ. ચાલો પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ. અપૂર્ણાંક શૂન્ય છે જ્યારે તેનો અંશ શૂન્ય છે: આમ, અમને ત્રણ નિર્ણાયક મુદ્દા મળે છે: 3) અમે નંબર લાઇન પરના તમામ શોધાયેલ બિંદુઓ અને અંતરાલ પદ્ધતિઅમે ડેરિવેટિવના ચિહ્નોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ: ક્રિયા, જેમ તમે સમજો છો, છ અંતરાલોમાંથી દરેક માટે હાથ ધરવાની જરૂર છે. માર્ગ દ્વારા, નોંધ કરો કે અંશ પરિબળ અને છેદ કોઈપણ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુ માટે સખત રીતે હકારાત્મક છે, જે કાર્યને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. તેથી, વ્યુત્પન્નએ અમને જણાવ્યું કે FUNCTION ITSELF દ્વારા વધે છે બિંદુએ કાર્ય તેની મહત્તમ પહોંચે છે: શા માટે તમારે બીજા મૂલ્યની પુનઃગણતરી કરવાની જરૂર નથી તે વિશે વિચારો ;-) જ્યારે કોઈ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન બદલાતું નથી, તેથી ફંક્શનને ત્યાં કોઈ EXTREMUM નથી - તે બંને ઘટ્યું અને ઘટતું રહ્યું. ! ચાલો પુનરાવર્તન કરીએ મહત્વપૂર્ણ બિંદુ
: બિંદુઓને નિર્ણાયક ગણવામાં આવતા નથી - તેમાં એક કાર્ય છે નક્કી નથી. તદનુસાર, અહીં સિદ્ધાંતમાં કોઈ ચરમસીમા હોઈ શકે નહીં(ભલે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો સાઇન). જવાબ આપો: દ્વારા કાર્ય વધે છે એકવિધતા અંતરાલો અને ચરમસીમાનું જ્ઞાન, સ્થાપિત સાથે જોડાયેલું એસિમ્પ્ટોટ્સપહેલેથી જ ખૂબ જ સારો વિચાર આપે છે દેખાવકાર્ય ગ્રાફિક્સ. સરેરાશ તાલીમ ધરાવનાર વ્યક્તિ મૌખિક રીતે નક્કી કરવામાં સક્ષમ છે કે ફંક્શનના ગ્રાફમાં બે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ અને એક ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ છે. અહીં અમારો હીરો છે: ઉદાહરણ 4 ફંક્શનની સીમા શોધો ઉદાહરણ 5 કાર્યના એકવિધતા અંતરાલ, મેક્સિમા અને મિનિમા શોધો …આજે લગભગ અમુક પ્રકારની “X in a ક્યુબ” રજા જેવું છે.... દરેક કાર્યમાં તેની પોતાની નોંધપાત્ર ઘોંઘાટ અને તકનીકી સૂક્ષ્મતા હોય છે, જેના પર પાઠના અંતે ટિપ્પણી કરવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે સમાનતા \(f(t)=f(u)\) શક્ય છે જો અને માત્ર જો \(t=u\) . ચાલો મૂળ ચલ પર પાછા જઈએ અને પરિણામી સમીકરણ હલ કરીએ:
\
\
\
આપણે \(a\) ના મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે કે જેના પર સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછા બે મૂળ હશે, એ હકીકતને પણ ધ્યાનમાં લઈને કે \(a>0\) .
તેથી, જવાબ છે: \(a\in (0;+\infty)\) .
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)સમીકરણ \(2(x-1)^3=0\) એક જ મૂળ \(x=1\) ધરાવે છે જે સ્થિતિને સંતોષતું નથી. તેથી, \(a\) \(1\) ની બરાબર ન હોઈ શકે.
નોંધ કરો કે \(f(0)=f(1)=0\) . તેથી, યોજનાકીય રીતે ગ્રાફ \(f(x)\) આના જેવો દેખાય છે: 
તમામ અધિકારો તેમના લેખકોના છે. આ સાઇટ લેખકત્વનો દાવો કરતી નથી, પરંતુ પ્રદાન કરે છે મફત ઉપયોગ.
પૃષ્ઠ બનાવવાની તારીખ: 2016-02-12વ્યાખ્યાઓ
ફંકશનને એફ (x)વાસ્તવિક સંખ્યાઓ X ના અમુક સમૂહ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
કાર્ય કહેવાય છે સખત રીતે વધી રહ્યું છે (સખત રીતે ઘટતું), જો બધા માટે x′, x′′ ∈ એક્સજેમ કે x′< x′′
выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′)
(એફ (x′) > f(x′′) )
.
કાર્ય કહેવાય છે બિન-ઘટતું (બિન વધતું), જો બધા માટે x′, x′′ ∈ એક્સજેમ કે x′< x′′
выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(એફ (x′) ≥ f(x′′) )
.
કાર્ય કહેવાય છે એકવિધ, જો તે ઘટતું ન હોય અથવા ન વધતું હોય.
ફંકશનને એફ (x)અંતરાલમાં ઘટાડો થતો નથી (a, b), ક્યાં .
જો તે ઉપર M: સંખ્યા દ્વારા બંધાયેલ હોય, તો બિંદુ b: પર મર્યાદિત ડાબી મર્યાદા છે. જો એફ (x)ઉપરથી મર્યાદિત નથી, તો પછી.
જો એફ (x)નીચે m : નંબર દ્વારા બંધાયેલ છે, તો પછી બિંદુ a : પર મર્યાદિત અધિકાર મર્યાદા છે. જો એફ (x)નીચે બંધાયેલ નથી, તો પછી.
આ પ્રમેય વધુ સઘન રીતે ઘડી શકાય છે.
;
.
;
.
અંતરાલ પર ફંક્શનને મોનોટોનિક થવા દો. પછી આ અંતરાલમાંથી કોઈપણ સમયે, કાર્યની એકતરફી મર્યાદિત મર્યાદાઓ છે:
અને .પ્રમેયનો પુરાવો
કાર્ય ઘટતું નથી
b - અંતિમ સંખ્યા
કાર્ય ઉપરથી મર્યાદિત છે
1.1.1. વિધેયને ઉપરથી M: for ની સંખ્યા દ્વારા સીમિત થવા દો.
.
;
.
ખાતે
ચાલો છેલ્લી અસમાનતાને રૂપાંતરિત કરીએ:
;
;
.
કારણ કે, પછી. પછી
ખાતે
ખાતે
"અંતિમ બિંદુ પર કાર્યની એકતરફી મર્યાદાઓની વ્યાખ્યાઓ").કાર્ય ઉપરથી મર્યાદિત નથી
1.1. સંખ્યા b ને મર્યાદિત રહેવા દો: .
1.1.2. કાર્યને ઉપરથી બંધ ન થવા દો.
ચાલો સાબિત કરીએ કે આ કિસ્સામાં એક મર્યાદા છે.
.
ખાતે
ખાતે
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ b પર ડાબી બાજુની મર્યાદા છે (જુઓ "અંતિમ બિંદુ પર કાર્યની એકતરફી અનંત મર્યાદાઓની વ્યાખ્યાઓ").b પ્રારંભિક વત્તા અનંત
કાર્ય ઉપરથી મર્યાદિત છે
1.2.1. વિધેયને ઉપરથી M: for ની સંખ્યા દ્વારા સીમિત થવા દો.
ચાલો સાબિત કરીએ કે આ કિસ્સામાં એક મર્યાદા છે.
.
ચોક્કસ ઉપલા બાઉન્ડની વ્યાખ્યા અનુસાર, નીચેની શરતો:
;
કોઈપણ હકારાત્મક માટે ત્યાં એક દલીલ છે જેના માટે
.
ખાતે
ખાતે
"અનંત પર એકતરફી મર્યાદાઓની વ્યાખ્યાઓ").કાર્ય ઉપરથી મર્યાદિત નથી
1.2. સંખ્યા b ને વત્તા અનંતની બરાબર થવા દો: .
1.2.2. કાર્યને ઉપરથી બંધ ન થવા દો.
ચાલો સાબિત કરીએ કે આ કિસ્સામાં એક મર્યાદા છે.
.
ખાતે
આનો અર્થ એ છે કે પરની મર્યાદા બરાબર છે (જુઓ "અનંત પર એકતરફી અનંત મર્યાદાઓની વ્યાખ્યાઓ").કાર્ય વધતું નથી
.
અહીં B એ મર્યાદિત સંખ્યા અથવા અનંત પરનો બિંદુ હોઈ શકે છે. ચોક્કસ નીચલા બાઉન્ડની વ્યાખ્યા અનુસાર, નીચેની શરતો સંતુષ્ટ છે:
;
બિંદુ B ના કોઈપણ પડોશ માટે એક દલીલ છે જેના માટે
.
પ્રમેયની શરતો અનુસાર, . એ કારણે .
ખાતે
અથવા
ખાતે
આગળ, અમે નોંધીએ છીએ કે અસમાનતા બિંદુ b ના ડાબા પંચર પડોશને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
ખાતે
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ b પર ડાબી બાજુની મર્યાદા છે:
(કોચી અનુસાર કાર્યની મર્યાદાની સાર્વત્રિક વ્યાખ્યા જુઓ).બિંદુ a પર મર્યાદા
.
જો તે વધતું નથી, તો તે ઘટતું નથી. આ કિસ્સામાં એક મર્યાદા છે
.
.
(1)
.
ચાલો g ની દ્રષ્ટિએ f વ્યક્ત કરીએ:
.
ચાલો મનસ્વી હકારાત્મક સંખ્યા લઈએ. બિંદુ A ની એપ્સીલોન પડોશી રહેવા દો. એપ્સીલોન પડોશી A ના મર્યાદિત અને અનંત બંને મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે (જુઓ "બિંદુની પડોશ"). મર્યાદા (1) હોવાથી, મર્યાદાની વ્યાખ્યા મુજબ, કોઈપણ માટે એવું અસ્તિત્વમાં છે
ખાતે
ખાતે
ચાલો x ને -x થી બદલીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ કે:
ખાતે
છેલ્લી બે અસમાનતાઓ બિંદુ a ના પંચર થયેલ જમણા પડોશને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. પછી
ખાતે
ખાતે;
ખાતે;
ખાતે;
ખાતે
ખાતે
તેનો અર્થ એ છે કે
.
વિષય પર 10મા ધોરણમાં બીજગણિતમાં પાઠ અને પ્રસ્તુતિ: "એકવિધતા માટે કાર્યની તપાસ. સંશોધન અલ્ગોરિધમ"
પ્રિય વપરાશકર્તાઓ, તમારી ટિપ્પણીઓ, સમીક્ષાઓ, શુભેચ્છાઓ આપવાનું ભૂલશો નહીં! એન્ટી-વાયરસ પ્રોગ્રામ દ્વારા તમામ સામગ્રીની તપાસ કરવામાં આવી છે.
પરિમાણો સાથે બીજગણિત સમસ્યાઓ, ગ્રેડ 9-11
સોફ્ટવેર પર્યાવરણ "1C: મેથેમેટિકલ કન્સ્ટ્રક્ટર 6.1"
1. કાર્યોમાં ઘટાડો અને વધારો.
2. કાર્યની વ્યુત્પન્નતા અને એકવિધતા વચ્ચેનો સંબંધ.
3. એકવિધતા પર બે મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય.
4. ઉદાહરણો.કાર્યોમાં ઘટાડો અને વધારો
ચાલો વધતા અને ઘટતા કાર્યોની વિભાવના જોઈએ. મિત્રો, કાર્ય શું છે? 
આ આલેખ બતાવે છે કે જેટલો મોટો x, તેટલો મોટો y. તો ચાલો વધતા કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. જો દલીલનું મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો ફંક્શનને વધતું કહેવામાં આવે છે.
જો x2 > x1, તો f(x2 > f(x1) અથવા: જેટલો મોટો x, તેટલો મોટો y.કાર્યની વ્યુત્પન્નતા અને એકવિધતા વચ્ચેનો સંબંધ
મિત્રો, ચાલો હવે વિચારીએ કે ફંક્શન ગ્રાફનો અભ્યાસ કરતી વખતે તમે ડેરિવેટિવનો ખ્યાલ કેવી રીતે લાગુ કરી શકો. ચાલો વધતા જતા વિભેદક કાર્યનો ગ્રાફ દોરીએ અને આપણા આલેખમાં થોડા સ્પર્શકો દોરીએ. 
એકવિધતા પર બે મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય
f’(x)= 0, પછી ફંક્શન y= f(x) આ અંતરાલ પર સ્થિર છે.એકવિધતા માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવાના ઉદાહરણો
ચાલો અસમાનતાને હલ કરીએ:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
કારણ કે -1 ≤ cos(x) ≤ 1, જેનો અર્થ છે કે આપણી અસમાનતા કોઈપણ x માટે સંતુષ્ટ છે, પછી પ્રમેય 2 દ્વારા કાર્ય y= sin(2x) - 3x ઘટે છે.
ચાલો અસમાનતાને હલ કરીએ:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
પછી આપણું કાર્ય x ≥ -3/2 માટે વધે છે, અને x ≤ -3/2 માટે ઘટે છે.
જવાબ: x ≥ -3/2 માટે, કાર્ય વધે છે, x ≤ -3/2 માટે, કાર્ય ઘટે છે.
ચાલો અસમાનતા હલ કરીએ: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
ચાલો અસમાનતાને હલ કરીએ:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
પરંતુ આ અશક્ય છે, કારણ કે વર્ગમૂળમાત્ર હકારાત્મક અભિવ્યક્તિઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે આપણા કાર્યમાં કોઈ ઘટતા અંતરાલો નથી.
જવાબ: x ≥ 1/3 માટે કાર્ય વધે છે.સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલવા માટે સમસ્યાઓ
a) સાબિત કરો કે ફંક્શન y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 સમગ્ર સંખ્યા રેખા સાથે વધી રહ્યું છે.
b) સાબિત કરો કે ફંક્શન ઘટી રહ્યું છે: y= cos(5x) - 7x.
c) કાર્યની એકવિધતા તપાસો: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) ફંક્શનની એકવિધતા તપાસો: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$. કાર્યમાં વધારો, ઘટાડો અને ચરમસીમા
કાર્યની એકવિધતા. એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા
.
વાસ્તવમાં, વ્યાખ્યાઓ:
બિંદુ કહેવાય છે ન્યૂનતમ બિંદુ, જો અસ્તિત્વમાં છેતેની આસપાસનો માહોલ એવો છે બધા માટેઆ પડોશના મૂલ્યો, અસમાનતા ધરાવે છે.
- અર્થ કહેવાય છે મહત્તમકાર્યો;
- અર્થ કહેવાય છે ન્યૂનતમકાર્યો
આત્યંતિક- "રમત" નો અર્થ.વધતા, ઘટતા અંતરાલો કેવી રીતે શોધવી,
એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ્સ અને ફંક્શનના એક્સ્ટ્રીમા?
ખુશખુશાલ સમાચાર લાવે છે કે કાર્ય સમગ્રમાં વધી રહ્યું છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર.
પરિસ્થિતિ બરાબર વિપરીત છે.
.
જ્યારે ફંક્શન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ અલગ નથી. જો કે, નિર્ણાયક બિંદુ પર જમણા હાથે વ્યુત્પન્ન અને જમણા હાથની સ્પર્શક હોય છે, અને બીજી ધાર પર તેમના ડાબા હાથના સમકક્ષ હોય છે.તેના વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને ફંક્શનનું અન્વેષણ શા માટે કરવું?
એક્સ્ટ્રીમ માટે જરૂરી સ્થિતિ:
: "...અમે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન લઈએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ: ...તેથી, આપણા સમીકરણનો ઉકેલ: - આ બિંદુએ પેરાબોલાના શિરોબિંદુ સ્થિત છે..." હવે, મને લાગે છે કે, દરેક જણ સમજે છે કે શા માટે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ આ બિંદુએ બરાબર સ્થિત છે =) સામાન્ય રીતે, આપણે અહીં સમાન ઉદાહરણથી શરૂઆત કરવી જોઈએ, પરંતુ તે ખૂબ સરળ છે (એક ચાની કીટલી માટે પણ). વધુમાં, વિશેના પાઠના ખૂબ જ અંતમાં એક એનાલોગ છે કાર્યનું વ્યુત્પન્ન. તેથી, ચાલો ડિગ્રી વધારીએ:
હું તમને યાદ કરાવું છું કે તમારે અંતરાલમાં અમુક બિંદુ લેવાની અને તેના પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્યની ગણતરી કરવાની જરૂર છે 
અને તેની નિશાની નક્કી કરો. ગણતરી ન કરવી પણ મૌખિક રીતે "અંદાજ" કરવી તે વધુ નફાકારક છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, અંતરાલ સાથે સંબંધિત બિંદુ લઈએ અને અવેજી કરીએ: 
. 
બે "પ્લીસસ" અને એક "માઈનસ" એક "માઈનસ" આપે છે, તેથી, જેનો અર્થ છે કે વ્યુત્પન્ન સમગ્ર અંતરાલ પર નકારાત્મક છે.
અને દ્વારા ઘટે છે. જોડાવા આયકન સાથે સમાન પ્રકારના અંતરાલોને જોડવાનું અનુકૂળ છે.
બિંદુએ કાર્ય ન્યૂનતમ સુધી પહોંચે છે: 
અને તે બિંદુએ ઘટે છે જ્યાં ફંક્શનની મહત્તમ સંખ્યા પહોંચી જાય છે: 
, અને બિંદુ પર - ન્યૂનતમ: .
અભ્યાસના પરિણામોને આ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે સાંકળવાનો ફરી એકવાર પ્રયાસ કરો.
નિર્ણાયક બિંદુ પર કોઈ આત્યંતિક નથી, પરંતુ ત્યાં છે આલેખ વળાંક(જે, એક નિયમ તરીકે, સમાન કિસ્સાઓમાં થાય છે).
સૂઓ, ગેલેરીમાં કોણે આ માટે પીવાની ઓફર કરી? =)
>
