ઘર પ્રોસ્થેટિક્સ અને ઇમ્પ્લાન્ટેશન મૂળભૂત લઘુગણક સૂત્રો. ચાલો સંખ્યાત્મક નિર્ભરતાના કેટલાક ઉદાહરણો આપીએ

પ્રોસ્થેટિક્સ અને ઇમ્પ્લાન્ટેશન

મૂળભૂત લઘુગણક સૂત્રો. ચાલો સંખ્યાત્મક નિર્ભરતાના કેટલાક ઉદાહરણો આપીએ

a (a > 0, a ≠ 1) ના આધાર માટે સંખ્યા b (b > 0) નો લઘુગણક– ઘાતાંક કે જેના પર b મેળવવા માટે a સંખ્યા વધારવી આવશ્યક છે.

b નો આધાર 10 લઘુગણક આ રીતે લખી શકાય લોગ(b), અને લોગરીધમ થી બેઝ e (કુદરતી લઘુગણક) છે ln(b).

લોગરીધમ્સ સાથે સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે વારંવાર ઉપયોગ થાય છે:

લઘુગણકના ગુણધર્મો

ત્યાં ચાર મુખ્ય છે લઘુગણકના ગુણધર્મો.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 અને y > 0 ચાલો.

ગુણધર્મ 1. ઉત્પાદનનો લઘુગણક

ઉત્પાદનનો લઘુગણક સરવાળો સમાનલઘુગણક

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

ગુણધર્મ 2. ભાગનો લઘુગણક

ભાગલાકારનો લઘુગણકલઘુગણકના તફાવતની સમાન:

log a (x / y) = log a x – log a y

ગુણધર્મ 3. શક્તિનો લઘુગણક

ડિગ્રીનો લઘુગણકશક્તિ અને લઘુગણકના ઉત્પાદનની સમાન:

જો લઘુગણકનો આધાર પાવરમાં હોય, તો બીજું સૂત્ર લાગુ પડે છે:

ગુણધર્મ 4. મૂળનો લઘુગણક

આ ગુણધર્મ પાવરના લઘુગણકના ગુણધર્મમાંથી મેળવી શકાય છે, કારણ કે પાવરનું nમું મૂળ 1/n ની ઘાતની બરાબર છે:

એક આધારમાં લઘુગણકમાંથી બીજા આધારમાં લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનું સૂત્ર

આ સૂત્રનો ઉપયોગ લોગરીધમ પરના વિવિધ કાર્યોને ઉકેલતી વખતે પણ થાય છે:

ખાસ કેસ:

લઘુગણકની તુલના (અસમાનતા)

ચાલો આપણે 2 ફંકશન f(x) અને g(x) લોગરીધમ હેઠળ સમાન પાયા સાથે રાખીએ અને તેમની વચ્ચે અસમાનતાનું ચિહ્ન છે:

તેમની સરખામણી કરવા માટે, તમારે સૌપ્રથમ લોગરીધમનો આધાર જોવાની જરૂર છે a:

જો a > 0, તો f(x) > g(x) > 0
જો 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

લોગરીધમ્સ સાથે સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવી: ઉદાહરણો

લઘુગણક સાથે સમસ્યાઓકાર્ય 5 અને કાર્ય 7 માં ગ્રેડ 11 માટે ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં સમાવિષ્ટ, તમે યોગ્ય વિભાગોમાં અમારી વેબસાઇટ પર ઉકેલો સાથેના કાર્યો શોધી શકો છો. ઉપરાંત, ગણિત કાર્ય બેંકમાં લઘુગણક સાથેના કાર્યો જોવા મળે છે. તમે સાઇટ પર શોધ કરીને બધા ઉદાહરણો શોધી શકો છો.

લઘુગણક શું છે

શાળાના ગણિતના અભ્યાસક્રમોમાં લઘુગણકને હંમેશા મુશ્કેલ વિષય ગણવામાં આવે છે. લઘુગણકની ઘણી જુદી જુદી વ્યાખ્યાઓ છે, પરંતુ કેટલાક કારણોસર મોટાભાગના પાઠ્યપુસ્તકો તેમાંના સૌથી જટિલ અને અસફળનો ઉપયોગ કરે છે.

અમે લોગરીધમને સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીશું. આ કરવા માટે, ચાલો એક ટેબલ બનાવીએ:

તેથી, આપણી પાસે બે શક્તિઓ છે.

લોગરીધમ્સ - ગુણધર્મો, સૂત્રો, કેવી રીતે ઉકેલવા

જો તમે નીચેની લાઇનમાંથી નંબર લો છો, તો તમે સરળતાથી તે પાવર શોધી શકો છો કે જેના પર તમારે આ નંબર મેળવવા માટે બે વધારવા પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, 16 મેળવવા માટે, તમારે બેથી ચોથા પાવર વધારવાની જરૂર છે. અને 64 મેળવવા માટે, તમારે બેથી છઠ્ઠી શક્તિ વધારવાની જરૂર છે. આ ટેબલ પરથી જોઈ શકાય છે.

અને હવે - વાસ્તવમાં, લઘુગણકની વ્યાખ્યા:

દલીલ xનો આધાર a એ એવી શક્તિ છે કે જેના પર સંખ્યા x મેળવવા માટે સંખ્યા aને વધારવી આવશ્યક છે.

હોદ્દો: લોગ a x = b, જ્યાં a એ આધાર છે, x એ દલીલ છે, b એ લોગરીધમ વાસ્તવમાં બરાબર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (8 નો આધાર 2 લઘુગણક ત્રણ છે કારણ કે 2 3 = 8). સમાન સફળતા સાથે, લોગ 2 64 = 6, 2 6 = 64 થી.

આપેલ આધાર માટે સંખ્યાના લઘુગણક શોધવાની કામગીરી કહેવામાં આવે છે. તેથી, ચાલો આપણા કોષ્ટકમાં એક નવી લાઇન ઉમેરીએ:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
લોગ 2 2 = 1	લોગ 2 4 = 2	લોગ 2 8 = 3	લોગ 2 16 = 4	લોગ 2 32 = 5	લોગ 2 64 = 6

કમનસીબે, બધા લઘુગણકની ગણતરી એટલી સરળતાથી થતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 2 5 શોધવાનો પ્રયાસ કરો. 5 નંબર કોષ્ટકમાં નથી, પરંતુ તર્ક સૂચવે છે કે લઘુગણક અંતરાલ પર ક્યાંક આવેલો હશે. કારણ કે 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

આવી સંખ્યાઓને અતાર્કિક કહેવામાં આવે છે: દશાંશ બિંદુ પછીની સંખ્યાઓ અનંત લખી શકાય છે, અને તે ક્યારેય પુનરાવર્તિત થતી નથી. જો લઘુગણક અતાર્કિક હોવાનું બહાર આવે છે, તો તેને તે રીતે છોડવું વધુ સારું છે: લોગ 2 5, લોગ 3 8, લોગ 5 100.

એ સમજવું અગત્યનું છે કે લઘુગણક એ બે ચલો (આધાર અને દલીલ) સાથેની અભિવ્યક્તિ છે. શરૂઆતમાં, ઘણા લોકો મૂંઝવણમાં મૂકે છે કે આધાર ક્યાં છે અને દલીલ ક્યાં છે. હેરાન કરતી ગેરસમજણો ટાળવા માટે, ફક્ત ચિત્ર જુઓ:

આપણી સમક્ષ લઘુગણકની વ્યાખ્યા કરતાં વધુ કંઈ નથી. યાદ રાખો: લઘુગણક એક શક્તિ છે, જેમાં દલીલ મેળવવા માટે આધાર બાંધવો આવશ્યક છે. તે આધાર છે જે શક્તિ સુધી ઉભો થાય છે - તે ચિત્રમાં લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થયેલ છે. તે તારણ આપે છે કે આધાર હંમેશા તળિયે છે! હું મારા વિદ્યાર્થીઓને આ અદ્ભુત નિયમ પહેલા જ પાઠમાં કહું છું - અને કોઈ મૂંઝવણ ઊભી થતી નથી.

લઘુગણકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી

અમે વ્યાખ્યા શોધી કાઢી છે - જે બાકી છે તે શીખવાનું છે કે લઘુગણકની ગણતરી કેવી રીતે કરવી, એટલે કે. "લોગ" ચિહ્નથી છુટકારો મેળવો. શરૂઆતમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે વ્યાખ્યામાંથી બે મહત્વપૂર્ણ તથ્યો અનુસરે છે:

દલીલ અને આધાર હંમેશા શૂન્ય કરતા મોટો હોવો જોઈએ. આ તર્કસંગત ઘાતાંક દ્વારા ડિગ્રીની વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે, જેમાં લઘુગણકની વ્યાખ્યા ઘટાડવામાં આવે છે.
આધાર એકથી અલગ હોવો જોઈએ, કારણ કે એકથી કોઈપણ ડિગ્રી હજુ પણ એક જ રહે છે. આને કારણે, "બે મેળવવા માટે એકને કઈ શક્તિ સુધી ઉભી કરવી જોઈએ" એ પ્રશ્ન અર્થહીન છે. આવી કોઈ ડિગ્રી નથી!

આવા પ્રતિબંધો કહેવામાં આવે છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી(ODZ). તે તારણ આપે છે કે લઘુગણકનો ODZ આના જેવો દેખાય છે: લોગ a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

નોંધ કરો કે સંખ્યા b (લોગરિધમનું મૂલ્ય) પર કોઈ નિયંત્રણો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, લઘુગણક નકારાત્મક હોઈ શકે છે: લોગ 2 0.5 = −1, કારણ કે 0.5 = 2 −1.

જો કે, હવે અમે માત્ર સંખ્યાત્મક સમીકરણો પર વિચાર કરી રહ્યા છીએ જ્યાં લઘુગણકના VA જાણવાની જરૂર નથી. સમસ્યાઓના લેખકો દ્વારા પહેલાથી જ તમામ પ્રતિબંધો ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા છે. પરંતુ જ્યારે લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓ અમલમાં આવશે, ત્યારે DL આવશ્યકતાઓ ફરજિયાત બની જશે. છેવટે, આધાર અને દલીલમાં ખૂબ જ મજબૂત બાંધકામો હોઈ શકે છે જે ઉપરોક્ત પ્રતિબંધોને અનુરૂપ હોય તે જરૂરી નથી.

હવે લોગરીધમની ગણતરી માટે સામાન્ય યોજના જોઈએ. તે ત્રણ પગલાંઓ સમાવે છે:

આધાર a અને દલીલ x ને એક કરતા વધુ ન્યૂનતમ શક્ય આધાર સાથે શક્તિ તરીકે વ્યક્ત કરો. રસ્તામાં, દશાંશથી છુટકારો મેળવવો વધુ સારું છે;
ચલ b માટે સમીકરણ ઉકેલો: x = a b ;
પરિણામી સંખ્યા b એ જવાબ હશે.

બસ! જો લઘુગણક અતાર્કિક હોવાનું બહાર આવે છે, તો આ પ્રથમ પગલામાં પહેલેથી જ દેખાશે. આધાર એક કરતા વધારે હોવો જરૂરી છે તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે: આ ભૂલની સંભાવનાને ઘટાડે છે અને ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. સાથે જ દશાંશ: જો તમે તેને તરત જ નિયમિતમાં રૂપાંતરિત કરો છો, તો ઘણી ઓછી ભૂલો હશે.

ચાલો જોઈએ કે વિશિષ્ટ ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આ યોજના કેવી રીતે કાર્ય કરે છે:

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો: લોગ 5 25

ચાલો આધાર અને દલીલની પાંચની શક્તિ તરીકે કલ્પના કરીએ: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

ચાલો સમીકરણ બનાવીએ અને હલ કરીએ:
લોગ 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

અમને જવાબ મળ્યો: 2.

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો:

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો: લોગ 4 64

ચાલો બેની શક્તિ તરીકે આધાર અને દલીલની કલ્પના કરીએ: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
ચાલો સમીકરણ બનાવીએ અને હલ કરીએ:
લોગ 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
અમને જવાબ મળ્યો: 3.

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો: લોગ 16 1

ચાલો બેની શક્તિ તરીકે આધાર અને દલીલની કલ્પના કરીએ: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
ચાલો સમીકરણ બનાવીએ અને હલ કરીએ:
લોગ 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
અમને જવાબ મળ્યો: 0.

કાર્ય. લઘુગણકની ગણતરી કરો: લોગ 7 14

ચાલો આધાર અને દલીલની સાતની શક્તિ તરીકે કલ્પના કરીએ: 7 = 7 1 ; 7 1 થી, 14 ને સાતની શક્તિ તરીકે રજૂ કરી શકાતી નથી< 14 < 7 2 ;
પાછલા ફકરામાંથી તે અનુસરે છે કે લઘુગણકની ગણતરી થતી નથી;
જવાબ કોઈ ફેરફાર નથી: લોગ 7 14.

છેલ્લા ઉદાહરણ પર એક નાની નોંધ. તમે કેવી રીતે ખાતરી કરી શકો કે સંખ્યા એ બીજી સંખ્યાની ચોક્કસ શક્તિ નથી? તે ખૂબ જ સરળ છે - ફક્ત તેને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરો. જો વિસ્તરણમાં ઓછામાં ઓછા બે અલગ અલગ પરિબળો હોય, તો સંખ્યા ચોક્કસ શક્તિ નથી.

કાર્ય. સંખ્યાઓ ચોક્કસ શક્તિઓ છે કે કેમ તે શોધો: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - ચોક્કસ ડિગ્રી, કારણ કે ત્યાં માત્ર એક ગુણક છે;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ચોક્કસ શક્તિ નથી, કારણ કે ત્યાં બે પરિબળો છે: 3 અને 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ચોક્કસ ડિગ્રી;
35 = 7 · 5 - ફરીથી ચોક્કસ શક્તિ નથી;
14 = 7 · 2 - ફરીથી ચોક્કસ ડિગ્રી નથી;

એ પણ નોંધ લો કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પોતે હંમેશા પોતાની ચોક્કસ શક્તિઓ હોય છે.

દશાંશ લઘુગણક

કેટલાક લઘુગણક એટલા સામાન્ય હોય છે કે તેમની પાસે વિશિષ્ટ નામ અને પ્રતીક હોય છે.

દલીલ x એ આધાર 10 માટે લઘુગણક છે, એટલે કે. સંખ્યા x મેળવવા માટે સંખ્યા 10 વધારવાની આવશ્યકતા છે. હોદ્દો: એલજી એક્સ.

ઉદાહરણ તરીકે, લોગ 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - વગેરે.

હવેથી, જ્યારે પાઠ્યપુસ્તકમાં “Find lg 0.01” જેવો વાક્ય દેખાય, ત્યારે જાણો: આ કોઈ લખાણની ભૂલ નથી. આ એક દશાંશ લઘુગણક છે. જો કે, જો તમે આ સંકેતથી અજાણ હોવ, તો તમે હંમેશા તેને ફરીથી લખી શકો છો:
લોગ x = લોગ 10 x

સામાન્ય લઘુગણક માટે જે સાચું છે તે દશાંશ લઘુગણક માટે પણ સાચું છે.

કુદરતી લઘુગણક

ત્યાં અન્ય લઘુગણક છે જેનું પોતાનું હોદ્દો છે. કેટલીક રીતે, તે દશાંશ કરતાં પણ વધુ મહત્વપૂર્ણ છે. અમે કુદરતી લઘુગણક વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ.

દલીલ x એ બેઝ e માટે લઘુગણક છે, એટલે કે. સંખ્યા x મેળવવા માટે સંખ્યા e ને વધારવાની જરૂર છે. હોદ્દો: ln x.

ઘણા લોકો પૂછશે: નંબર e શું છે? આ એક અતાર્કિક સંખ્યા છે, તેની ચોક્કસ મૂલ્યશોધવું અને રેકોર્ડ કરવું અશક્ય છે. હું ફક્ત પ્રથમ આંકડા આપીશ:
e = 2.718281828459…

આ નંબર શું છે અને શા માટે તેની જરૂર છે તે વિશે અમે વિગતમાં જઈશું નહીં. ફક્ત યાદ રાખો કે e કુદરતી લઘુગણકનો આધાર છે:
ln x = log e x

આમ ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - વગેરે. બીજી બાજુ, ln 2 એ અતાર્કિક સંખ્યા છે. સામાન્ય રીતે, કોઈપણનું કુદરતી લઘુગણક તર્કસંગત સંખ્યાઅતાર્કિક સિવાય, અલબત્ત, એકતા માટે: ln 1 = 0.

માટે કુદરતી લઘુગણકસામાન્ય લઘુગણક માટે સાચા હોય તેવા તમામ નિયમો માન્ય છે.

આ પણ જુઓ:

લઘુગણક. લઘુગણકના ગુણધર્મો (લોગરીધમની શક્તિ).

લોગરીધમ તરીકે સંખ્યાને કેવી રીતે રજૂ કરવી?

અમે લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

લઘુગણક એ ઘાતાંક છે કે જેના માટે લઘુગણક ચિન્હ હેઠળની સંખ્યા મેળવવા માટે આધારને વધારવો આવશ્યક છે.

આમ, a માટે લઘુગણક તરીકે ચોક્કસ સંખ્યા c ને રજૂ કરવા માટે, તમારે લઘુગણકના ચિહ્ન હેઠળ લઘુગણકના પાયા જેટલો જ આધાર ધરાવતો પાવર મૂકવાની જરૂર છે, અને આ સંખ્યા c ને ઘાતાંક તરીકે લખો:

ચોક્કસ કોઈપણ સંખ્યાને લઘુગણક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે - હકારાત્મક, નકારાત્મક, પૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંક, તર્કસંગત, અતાર્કિક:

પરીક્ષા અથવા પરીક્ષાની તણાવપૂર્ણ પરિસ્થિતિઓમાં a અને c ને ગૂંચવવામાં ન આવે તે માટે, તમે નીચેના યાદ રાખવાના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

જે નીચે છે તે નીચે જાય છે, જે ઉપર છે તે ઉપર જાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમારે સંખ્યા 2 ને બેઝ 3 માટે લઘુગણક તરીકે રજૂ કરવાની જરૂર છે.

આપણી પાસે બે સંખ્યાઓ છે - 2 અને 3. આ સંખ્યાઓ આધાર અને ઘાતાંક છે, જેને આપણે લઘુગણકની નિશાની હેઠળ લખીશું. તે નિર્ધારિત કરવાનું બાકી છે કે આમાંથી કઈ સંખ્યા લખવી જોઈએ, પાવરના આધાર પર, અને કઈ – ઉપર, ઘાતાંક સુધી.

લઘુગણકના સંકેતમાં આધાર 3 તળિયે છે, જેનો અર્થ છે કે જ્યારે આપણે બેને બેઝ 3 માટે લઘુગણક તરીકે રજૂ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે આધાર પર 3 પણ લખીશું.

2 એ ત્રણ કરતા વધારે છે. અને ડિગ્રી બે માટે સંકેતમાં આપણે ત્રણ ઉપર લખીએ છીએ, એટલે કે ઘાતાંક તરીકે:

લઘુગણક. પ્રવેશ સ્તર.

લઘુગણક

લઘુગણકહકારાત્મક સંખ્યા bપર આધારિત છે a, ક્યાં a > 0, a ≠ 1, ઘાતાંક કહેવાય છે જેના પર સંખ્યા વધારવી આવશ્યક છે aમેળવવા માટે b.

લઘુગણકની વ્યાખ્યાસંક્ષિપ્તમાં આ રીતે લખી શકાય છે:

આ સમાનતા માટે માન્ય છે b > 0, a > 0, a ≠ 1.તે સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે લઘુગણક ઓળખ.
સંખ્યાના લઘુગણક શોધવાની ક્રિયા કહેવાય છે લઘુગણક દ્વારા.

લઘુગણકના ગુણધર્મો:

ઉત્પાદનનો લઘુગણક:

ભાગલાકારનો લઘુગણક:

લઘુગણક આધારને બદલીને:

ડિગ્રીનો લઘુગણક:

મૂળનો લઘુગણક:

પાવર બેઝ સાથે લોગરીધમ:

દશાંશ અને કુદરતી લઘુગણક.

દશાંશ લઘુગણકસંખ્યાઓ આ નંબરના લઘુગણકને આધાર 10 પર કૉલ કરે છે અને lg લખે છે b
કુદરતી લઘુગણકસંખ્યાઓને તે સંખ્યાના આધાર માટે લઘુગણક કહેવામાં આવે છે ઇ, ક્યાં ઇ- એક અતાર્કિક સંખ્યા લગભગ 2.7 ની બરાબર છે. તે જ સમયે તેઓ ln લખે છે b.

બીજગણિત અને ભૂમિતિ પરની અન્ય નોંધો

લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મો

લઘુગણક, કોઈપણ સંખ્યાઓની જેમ, દરેક રીતે ઉમેરી, બાદબાકી અને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. પરંતુ લોગરીધમ બરાબર સામાન્ય સંખ્યાઓ નથી, તેથી અહીં નિયમો છે, જેને કહેવામાં આવે છે મુખ્ય ગુણધર્મો.

તમારે ચોક્કસપણે આ નિયમો જાણવાની જરૂર છે - તેમના વિના, એક પણ ગંભીર લઘુગણક સમસ્યા હલ થઈ શકતી નથી. વધુમાં, તેમાંના ઘણા ઓછા છે - તમે એક દિવસમાં બધું શીખી શકો છો. તો ચાલો શરુ કરીએ.

લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી

સમાન પાયા સાથે બે લઘુગણકને ધ્યાનમાં લો: લોગ a x અને લોગ a y. પછી તેઓ ઉમેરી અને બાદ કરી શકાય છે, અને:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

તેથી, લઘુગણકનો સરવાળો ઉત્પાદનના લઘુગણક જેટલો છે, અને તફાવત ગુણાંકના લઘુગણક જેટલો છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અહીં મુખ્ય મુદ્દો છે સમાન આધારો. જો કારણો અલગ હોય, તો આ નિયમો કામ કરતા નથી!

આ સૂત્રો તમને લઘુગણક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવામાં મદદ કરશે, ભલે તેના વ્યક્તિગત ભાગોને ધ્યાનમાં લેવામાં ન આવે (પાઠ જુઓ "લોગરિધમ શું છે"). ઉદાહરણો પર એક નજર નાખો અને જુઓ:

લોગ 6 4 + લોગ 6 9.

લોગરીધમ્સ સમાન પાયા ધરાવતા હોવાથી, અમે સરવાળા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
લોગ 6 4 + લોગ 6 9 = લોગ 6 (4 9) = લોગ 6 36 = 2.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 2 48 − log 2 3.

પાયા સમાન છે, અમે તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
લોગ 2 48 − લોગ 2 3 = લોગ 2 (48: 3) = લોગ 2 16 = 4.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 3 135 − log 3 5.

ફરીથી પાયા સમાન છે, તેથી અમારી પાસે છે:
લોગ 3 135 − લોગ 3 5 = લોગ 3 (135: 5) = લોગ 3 27 = 3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂળ અભિવ્યક્તિઓ "ખરાબ" લઘુગણકથી બનેલી છે, જેની અલગથી ગણતરી કરવામાં આવતી નથી. પરંતુ પરિવર્તન પછી, સંપૂર્ણ સામાન્ય સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થાય છે. ઘણા આ હકીકત પર બાંધવામાં આવે છે પરીક્ષણો. હા, યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન પર તમામ ગંભીરતામાં (કેટલીકવાર વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના) ટેસ્ટ જેવા અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવે છે.

લઘુગણકમાંથી ઘાતાંક કાઢવું

હવે ચાલો કાર્યને થોડું જટિલ બનાવીએ. જો લઘુગણકનો આધાર અથવા દલીલ શક્તિ હોય તો શું? પછી આ ડિગ્રીના ઘાતાંકને નીચેના નિયમો અનુસાર લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

તે નોંધવું સરળ છે છેલ્લો નિયમપ્રથમ બેને અનુસરે છે. પરંતુ કોઈપણ રીતે તેને યાદ રાખવું વધુ સારું છે - કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ગણતરીઓની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરશે.

અલબત્ત, જો લઘુગણકની ODZ અવલોકન કરવામાં આવે તો આ બધા નિયમોનો અર્થ થાય છે: a > 0, a ≠ 1, x > 0. અને બીજી એક વાત: બધા ફોર્મ્યુલાને માત્ર ડાબેથી જમણે જ નહીં, પણ ઊલટું પણ લાગુ કરવાનું શીખો. , એટલે કે લોગરીધમમાં જ લોગરીધમ સાઇન કરતા પહેલા તમે નંબરો દાખલ કરી શકો છો.

લોગરીધમ્સ કેવી રીતે ઉકેલવા

આ તે છે જે મોટાભાગે જરૂરી છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 7 49 6 .

ચાલો પ્રથમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દલીલમાં ડિગ્રીથી છુટકારો મેળવીએ:
લોગ 7 49 6 = 6 લોગ 7 49 = 6 2 = 12

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નોંધ કરો કે છેદમાં લઘુગણક હોય છે, જેનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. અમારી પાસે છે:

મને લાગે છે કે છેલ્લા ઉદાહરણમાં થોડી સ્પષ્ટતા જરૂરી છે. લઘુગણક ક્યાં ગયા? છેલ્લી ક્ષણ સુધી આપણે માત્ર છેદ સાથે જ કામ કરીએ છીએ. અમે સત્તાના રૂપમાં ત્યાં ઊભેલા લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ રજૂ કરી અને ઘાતાંક કાઢ્યા - અમને "ત્રણ માળનું" અપૂર્ણાંક મળ્યો.

હવે મુખ્ય અપૂર્ણાંક જોઈએ. અંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા ધરાવે છે: લોગ 2 7. લોગ 2 7 ≠ 0 હોવાથી, આપણે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકીએ છીએ - 2/4 છેદમાં રહેશે. અંકગણિતના નિયમો અનુસાર, ચારને અંશમાં સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, જે કરવામાં આવ્યું હતું. પરિણામ જવાબ હતો: 2.

નવા પાયામાં સંક્રમણ

લઘુગણક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમો વિશે બોલતા, મેં ખાસ ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે તેઓ ફક્ત સમાન પાયા સાથે કામ કરે છે. જો કારણો અલગ હોય તો શું? જો તેઓ સમાન સંખ્યાની ચોક્કસ શક્તિઓ ન હોય તો શું?

નવા પાયામાં સંક્રમણ માટેના સૂત્રો બચાવમાં આવે છે. ચાલો તેમને પ્રમેયના રૂપમાં ઘડીએ:

લોગરીધમ લોગ a x આપવા દો. પછી કોઈપણ સંખ્યા c માટે જેમ કે c > 0 અને c ≠ 1, સમાનતા સાચી છે:

ખાસ કરીને, જો આપણે c = x સેટ કરીએ, તો આપણને મળશે:

બીજા સૂત્રમાંથી તે અનુસરે છે કે લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ અદલાબદલી કરી શકાય છે, પરંતુ આ કિસ્સામાં સમગ્ર અભિવ્યક્તિ "વળી" છે, એટલે કે. લઘુગણક છેદમાં દેખાય છે.

સામાન્ય આંકડાકીય અભિવ્યક્તિઓમાં આ સૂત્રો ભાગ્યે જ જોવા મળે છે. લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે જ તેઓ કેટલા અનુકૂળ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરવું શક્ય છે.

જો કે, એવી સમસ્યાઓ છે કે જે નવા પાયા પર જવા સિવાય બિલકુલ હલ કરી શકાતી નથી. ચાલો આમાંના કેટલાકને જોઈએ:

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 5 16 log 2 25.

નોંધ કરો કે બંને લઘુગણકની દલીલોમાં ચોક્કસ શક્તિઓ હોય છે. ચાલો સૂચકાંકો કાઢીએ: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; લોગ 2 25 = લોગ 2 5 2 = 2લોગ 2 5;

હવે ચાલો બીજા લઘુગણકને "વિપરીત" કરીએ:

કારણ કે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવતી વખતે ઉત્પાદન બદલાતું નથી, અમે શાંતિથી ચાર અને બેનો ગુણાકાર કર્યો, અને પછી લઘુગણક સાથે વ્યવહાર કર્યો.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 9 100 lg 3.

પ્રથમ લઘુગણકનો આધાર અને દલીલ ચોક્કસ શક્તિઓ છે. ચાલો આ લખીએ અને સૂચકાંકોથી છૂટકારો મેળવીએ:

હવે છુટકારો મેળવીએ દશાંશ લઘુગણક, નવા આધાર પર ખસેડવું:

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

ઘણીવાર સોલ્યુશન પ્રક્રિયામાં આપેલ આધાર માટે લઘુગણક તરીકે સંખ્યા રજૂ કરવી જરૂરી છે.

આ કિસ્સામાં, નીચેના સૂત્રો અમને મદદ કરશે:

પ્રથમ કિસ્સામાં, સંખ્યા n દલીલમાં ઘાતાંક બને છે. સંખ્યા n સંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે, કારણ કે તે માત્ર લઘુગણક મૂલ્ય છે.

બીજું સૂત્ર વાસ્તવમાં એક પરિભાષિત વ્યાખ્યા છે. તે તેને કહેવાય છે: .

વાસ્તવમાં, જો સંખ્યા b ને એવી ઘાત સુધી વધારવામાં આવે કે આ ઘાતની સંખ્યા b એ સંખ્યા a આપે તો શું થશે? તે સાચું છે: પરિણામ એ જ સંખ્યા છે a. આ ફકરો ફરીથી ધ્યાનથી વાંચો - ઘણા લોકો તેના પર અટકી જાય છે.

નવા આધાર પર જવા માટેના સૂત્રોની જેમ, મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ ક્યારેક એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:

નોંધ લો કે લોગ 25 64 = લોગ 5 8 - અમે લોગરીધમના આધાર અને દલીલમાંથી ખાલી ચોરસ લીધો છે. સમાન આધાર સાથે શક્તિનો ગુણાકાર કરવાના નિયમોને ધ્યાનમાં લેતા, અમને મળે છે:

જો કોઈને ખબર ન હોય તો, યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું આ એક વાસ્તવિક કાર્ય હતું :)

લઘુગણક એકમ અને લઘુગણક શૂન્ય

નિષ્કર્ષમાં, હું બે ઓળખ આપીશ જેને ભાગ્યે જ ગુણધર્મો કહી શકાય - તેના બદલે, તે લઘુગણકની વ્યાખ્યાના પરિણામો છે. તેઓ સતત સમસ્યાઓમાં દેખાય છે અને આશ્ચર્યજનક રીતે, "અદ્યતન" વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ સમસ્યાઓ ઊભી કરે છે.

log a a = 1 છે. એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખો: તે આધારના કોઈપણ આધાર a માટે લઘુગણક પોતે એક સમાન છે.
લોગ એ 1 = 0 છે. આધાર a કંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ જો દલીલમાં એક હોય, તો લઘુગણક શૂન્ય બરાબર છે! કારણ કે 0 = 1 એ વ્યાખ્યાનું સીધું પરિણામ છે.

તે તમામ ગુણધર્મો છે. તેમને વ્યવહારમાં મૂકવાની પ્રેક્ટિસ કરવાની ખાતરી કરો! પાઠની શરૂઆતમાં ચીટ શીટ ડાઉનલોડ કરો, તેને છાપો અને સમસ્યાઓ હલ કરો.

લઘુગણક ઉમેરવું અને બાદબાકી કરવી

સમાન પાયા સાથેના બે લઘુગણકને ધ્યાનમાં લો: લોગ a xઅને લોગ a y. પછી તેઓ ઉમેરી અને બાદ કરી શકાય છે, અને:

લોગ a x+ લોગ a y= લોગ a (x · y);
લોગ a x- લોગ a y= લોગ a (x : y).

લોગ 6 4 + લોગ 6 9.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 2 48 − log 2 3.

પાયા સમાન છે, અમે તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
લોગ 2 48 − લોગ 2 3 = લોગ 2 (48: 3) = લોગ 2 16 = 4.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 3 135 − log 3 5.

ફરીથી પાયા સમાન છે, તેથી અમારી પાસે છે:
લોગ 3 135 − લોગ 3 5 = લોગ 3 (135: 5) = લોગ 3 27 = 3.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, મૂળ અભિવ્યક્તિઓ "ખરાબ" લઘુગણકથી બનેલી છે, જેની અલગથી ગણતરી કરવામાં આવતી નથી. પરંતુ પરિવર્તન પછી, સંપૂર્ણ સામાન્ય સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થાય છે. ઘણા પરીક્ષણો આ હકીકત પર આધારિત છે. હા, યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન પર તમામ ગંભીરતામાં (કેટલીકવાર વર્ચ્યુઅલ રીતે કોઈ ફેરફાર કર્યા વિના) ટેસ્ટ-જેવા અભિવ્યક્તિઓ આપવામાં આવે છે.

લઘુગણકમાંથી ઘાતાંક બહાર કાઢવું

તે જોવાનું સરળ છે કે છેલ્લો નિયમ પ્રથમ બેને અનુસરે છે. પરંતુ કોઈપણ રીતે તેને યાદ રાખવું વધુ સારું છે - કેટલાક કિસ્સાઓમાં તે ગણતરીઓની માત્રામાં નોંધપાત્ર ઘટાડો કરશે.

અલબત્ત, જો લઘુગણકનો ODZ અવલોકન કરવામાં આવે તો આ બધા નિયમોનો અર્થ થાય છે: a > 0, a ≠ 1, x> 0. અને એક વધુ વસ્તુ: બધા ફોર્મ્યુલાને માત્ર ડાબેથી જમણે જ નહીં, પણ ઊલટું પણ લાગુ કરવાનું શીખો, એટલે કે. લોગરીધમમાં જ લોગરીધમ સાઇન કરતા પહેલા તમે નંબરો દાખલ કરી શકો છો. આ તે છે જે મોટાભાગે જરૂરી છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 7 49 6 .

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:
[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

નવા પાયામાં સંક્રમણ

લોગરીધમ લોગ આપવા દો a x. પછી કોઈપણ નંબર માટે cજેમ કે c> 0 અને c≠ 1, સમાનતા સાચી છે:
[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]
ખાસ કરીને, જો આપણે મૂકીએ c = x, અમને મળે છે:
[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 5 16 log 2 25.

હવે ચાલો બીજા લઘુગણકને "વિપરીત" કરીએ:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

કાર્ય. અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો: log 9 100 lg 3.

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

હવે ચાલો નવા આધાર પર જઈને દશાંશ લઘુગણકથી છુટકારો મેળવીએ:

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

ઘણીવાર સોલ્યુશન પ્રક્રિયામાં આપેલ આધાર માટે લઘુગણક તરીકે સંખ્યા રજૂ કરવી જરૂરી છે. આ કિસ્સામાં, નીચેના સૂત્રો અમને મદદ કરશે:

પ્રથમ કિસ્સામાં, સંખ્યા nદલીલમાં રહેલી ડિગ્રીનું સૂચક બને છે. નંબર nસંપૂર્ણપણે કંઈપણ હોઈ શકે છે, કારણ કે તે માત્ર એક લઘુગણક મૂલ્ય છે.

બીજું સૂત્ર વાસ્તવમાં એક પરિભાષિત વ્યાખ્યા છે. તેને તે કહેવામાં આવે છે: મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ.

વાસ્તવમાં, નંબર જો શું થશે bએવી શક્તિ સુધી વધારો કે સંખ્યા bઆ પાવર નંબર આપે છે a? તે સાચું છે: તમને આ જ નંબર મળે છે a. આ ફકરો ફરીથી ધ્યાનથી વાંચો - ઘણા લોકો તેના પર અટકી જાય છે.

કાર્ય. અભિવ્યક્તિનો અર્થ શોધો:
[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

[ચિત્ર માટે કૅપ્શન]

જો કોઈને ખબર ન હોય તો, યુનિફાઈડ સ્ટેટ પરીક્ષાનું આ એક વાસ્તવિક કાર્ય હતું :)

લઘુગણક એકમ અને લઘુગણક શૂન્ય

લોગ a a= 1 લઘુગણક એકમ છે. એકવાર અને બધા માટે યાદ રાખો: કોઈપણ આધાર માટે લઘુગણક aઆ ખૂબ જ આધાર થી એક સમાન છે.
લોગ a 1 = 0 લઘુગણક શૂન્ય છે. આધાર aકંઈપણ હોઈ શકે છે, પરંતુ જો દલીલમાં એક હોય, તો લઘુગણક શૂન્ય બરાબર છે! કારણ કે a 0 = 1 એ વ્યાખ્યાનું સીધું પરિણામ છે.

બેઝ a (a>0, a 1 ની બરાબર નથી) ની સકારાત્મક સંખ્યા b નો લઘુગણક એ સંખ્યા c છે જેમ કે c = b: લોગ a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

નોંધ કરો કે બિન-ધન સંખ્યાનો લઘુગણક અવ્યાખ્યાયિત છે. વધુમાં, લઘુગણકનો આધાર ધન સંખ્યા હોવી જોઈએ જે 1 ની બરાબર ન હોય. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે -2 નો વર્ગ કરીએ, તો આપણને નંબર 4 મળે છે, પરંતુ તેનો અર્થ એ નથી કે 4 નો આધાર -2 લઘુગણક સમાન છે. થી 2.

મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ

a લોગ a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

તે મહત્વનું છે કે આ સૂત્રની જમણી અને ડાબી બાજુઓની વ્યાખ્યાનો અવકાશ અલગ છે. ડાબી બાજુમાત્ર b>0, a>0 અને a ≠ 1 માટે વ્યાખ્યાયિત. જમણી બાજુકોઈપણ b માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, પરંતુ એ બિલકુલ નિર્ભર નથી. આમ, સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે મૂળભૂત લઘુગણક "ઓળખ" નો ઉપયોગ OD માં ફેરફાર તરફ દોરી શકે છે.

લઘુગણકની વ્યાખ્યાના બે સ્પષ્ટ પરિણામો

લોગ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
લોગ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

ખરેખર, જ્યારે a ને પ્રથમ ઘાત સુધી વધારીએ છીએ, ત્યારે આપણને સમાન સંખ્યા મળે છે, અને જ્યારે તેને શૂન્ય ઘાત સુધી વધારીએ છીએ, ત્યારે આપણને એક મળે છે.

ગુણાંકનો લઘુગણક અને ગુણાંકનો લઘુગણક

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

લોગ a b c = લોગ a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

લઘુગણક સમીકરણો અને અસમાનતાઓને ઉકેલતી વખતે હું આ સૂત્રોનો વિચાર વગર ઉપયોગ કરવા સામે શાળાના બાળકોને ચેતવણી આપવા માંગુ છું. જ્યારે "ડાબેથી જમણે" તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ODZ સંકુચિત થાય છે, અને જ્યારે લઘુગણકના સરવાળા અથવા તફાવતથી ઉત્પાદન અથવા ભાગના લઘુગણક સુધી ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે ODZ વિસ્તરે છે.

ખરેખર, અભિવ્યક્તિ લોગ a (f (x) g (x)) બે કિસ્સાઓમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: જ્યારે બંને કાર્યો સખત હકારાત્મક હોય અથવા જ્યારે f (x) અને g (x) બંને શૂન્ય કરતા ઓછા હોય.

આ અભિવ્યક્તિને સરવાળા લોગ a f (x) + log a g (x) માં રૂપાંતરિત કરીને, અમને ફક્ત f(x)>0 અને g(x)>0 સુધી મર્યાદિત રાખવાની ફરજ પડી છે. સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીમાં સંકુચિતતા છે, અને આ સ્પષ્ટપણે અસ્વીકાર્ય છે, કારણ કે તે ઉકેલોની ખોટ તરફ દોરી શકે છે. ફોર્મ્યુલા (6) માટે સમાન સમસ્યા અસ્તિત્વમાં છે.

લઘુગણકના ચિહ્નમાંથી ડિગ્રી લઈ શકાય છે

લોગ a b p = p લોગ a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

અને ફરીથી હું સાવચેતી રાખવાની વિનંતી કરવા માંગુ છું. નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો:

લોગ a (f (x) 2 = 2 લોગ a f (x)

સમાનતાની ડાબી બાજુ સ્પષ્ટપણે શૂન્ય સિવાય f(x) ના તમામ મૂલ્યો માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જમણી બાજુ માત્ર f(x)>0 માટે છે! લઘુગણકમાંથી ડિગ્રી લઈને, અમે ફરીથી ODZ ને સંકુચિત કરીએ છીએ. વિપરીત પ્રક્રિયા સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીના વિસ્તરણ તરફ દોરી જાય છે. આ બધી ટીપ્પણી માત્ર પાવર 2 પર જ નહીં, પણ કોઈપણ સમ શક્તિને પણ લાગુ પડે છે.

નવા ફાઉન્ડેશન પર જવા માટેની ફોર્મ્યુલા

લોગ a b = લોગ c b લોગ c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

તે દુર્લભ કેસ જ્યારે પરિવર્તન દરમિયાન ODZ બદલાતું નથી. જો તમે બેઝ સીને સમજદારીપૂર્વક પસંદ કર્યો છે (ધનાત્મક અને 1 ની બરાબર નથી), તો નવા આધાર પર જવા માટેની ફોર્મ્યુલા સંપૂર્ણપણે સલામત છે.

જો આપણે b ને નવા આધાર c તરીકે પસંદ કરીએ, તો આપણને એક મહત્વપૂર્ણ મળે છે ખાસ કેસસૂત્રો (8):

લોગ a b = 1 લોગ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

લઘુગણક સાથેના કેટલાક સરળ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 1. ગણતરી કરો: log2 + log50.
ઉકેલ. log2 + log50 = log100 = 2. અમે લઘુગણક સૂત્ર (5) નો સરવાળો અને દશાંશ લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો.

ઉદાહરણ 2. ગણતરી કરો: lg125/lg5.
ઉકેલ. log125/log5 = log 5 125 = 3. અમે નવા આધાર (8) પર જવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો.

લઘુગણકથી સંબંધિત સૂત્રોનું કોષ્ટક

a લોગ a b = b (a > 0, a ≠ 1)

લોગ a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

લોગ a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

લોગ a b p = p લોગ a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

લોગ a b = લોગ c b લોગ c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

લોગ a b = 1 લોગ b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

લોગરીધમ ચિહ્ન હેઠળ નકારાત્મક સંખ્યાઓ છે કે એક છે તે તપાસો. આ પદ્ધતિફોર્મના અભિવ્યક્તિઓ પર લાગુ લોગ b ⁡ (x) લોગ b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). જો કે, તે કેટલાક વિશિષ્ટ કેસો માટે યોગ્ય નથી:
- લઘુગણક નકારાત્મક સંખ્યાકોઈપણ આધાર પર નિર્ધારિત નથી (ઉદાહરણ તરીકે, લોગ ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3))અથવા લોગ 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). આ કિસ્સામાં "કોઈ ઉકેલ નથી" લખો.
- કોઈપણ આધાર માટે શૂન્યનો લઘુગણક પણ અવ્યાખ્યાયિત છે. જો તમે પકડાઈ જાઓ ln ⁡ (0) (\Displaystyle \ln(0)), "કોઈ ઉકેલ નથી" લખો.
- કોઈપણ આધાર માટે એકનો લઘુગણક ( લોગ ⁡ (1) (\પ્રદર્શન શૈલી \log(1))) હંમેશા શૂન્ય છે, કારણ કે x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1)બધા મૂલ્યો માટે x. આ લઘુગણકને બદલે 1 લખો અને નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરશો નહીં.
- ઉદાહરણ તરીકે, જો લઘુગણકના વિવિધ પાયા હોય l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a))), અને પૂર્ણાંકમાં ઘટાડવામાં આવતા નથી, અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય જાતે શોધી શકાતું નથી.
અભિવ્યક્તિને એક લઘુગણકમાં કન્વર્ટ કરો.જો અભિવ્યક્તિ ઉપરોક્તમાંથી એક નથી ખાસ પ્રસંગો, તેને એક લઘુગણક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આ માટે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરો: log b ⁡ (x) લોગ b ⁡ (a) = લોગ a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- ઉદાહરણ 1: અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લો લોગ ⁡ 16 લોગ ⁡ 2 (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ (\frac (\log (16))(\log (2)))).
  પ્રથમ, ચાલો ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિને એક લઘુગણક તરીકે રજૂ કરીએ: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
- લોગરીધમના "બેઝને બદલવા" માટેનું આ સૂત્ર લઘુગણકના મૂળભૂત ગુણધર્મોમાંથી ઉતરી આવ્યું છે.
જો શક્ય હોય તો, અભિવ્યક્તિના મૂલ્યનું જાતે જ મૂલ્યાંકન કરો.શોધવા માટે લોગ a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), અભિવ્યક્તિની કલ્પના કરો " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", એટલે કે, નીચેનો પ્રશ્ન પૂછો: "તમારે કઈ શક્તિ વધારવી જોઈએ aમેળવવા માટે x?
- ઉદાહરણ 1 (ચાલુ): આ રીતે ફરીથી લખો 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). તમારે "?" ની જગ્યાએ કયો નંબર હોવો જોઈએ તે શોધવાની જરૂર છે. આ અજમાયશ અને ભૂલ દ્વારા કરી શકાય છે:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
  તેથી, આપણે જે નંબર શોધી રહ્યા છીએ તે 4 છે: લોગ 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .
તમારા જવાબને લઘુગણક સ્વરૂપમાં છોડો જો તમે તેને સરળ બનાવી શકતા નથી.ઘણા લઘુગણકની ગણતરી હાથથી કરવી ખૂબ જ મુશ્કેલ છે. આ કિસ્સામાં, સચોટ જવાબ મેળવવા માટે, તમારે કેલ્ક્યુલેટરની જરૂર પડશે. જો કે, જો તમે વર્ગમાં કોઈ સમસ્યા હલ કરી રહ્યા હોવ, તો શિક્ષક મોટે ભાગે લઘુગણક સ્વરૂપમાં જવાબથી સંતુષ્ટ થશે. નીચે ચર્ચા કરેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ વધુ જટિલ ઉદાહરણને ઉકેલવા માટે થાય છે:
- ઉદાહરણ 2: શું સમાન છે લોગ 3 ⁡ (58) લોગ 3 ⁡ (7) (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))?
- ચાલો આ અભિવ્યક્તિને એક લઘુગણકમાં રૂપાંતરિત કરીએ: લોગ 3 ⁡ (58) લોગ 3 ⁡ (7) = લોગ 7 ⁡ (58) (\ડિસ્પ્લેસ્ટાઈલ (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))=\ લોગ_(7)(58)). નોંધ કરો કે બંને લઘુગણક માટે સામાન્ય આધાર 3 અદૃશ્ય થઈ જાય છે; આ કોઈપણ કારણોસર સાચું છે.
- ચાલો ફોર્મમાં અભિવ્યક્તિને ફરીથી લખીએ 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58)અને ચાલો મૂલ્ય શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
  કારણ કે 58 આ બે સંખ્યાઓ વચ્ચે છે, તે સંપૂર્ણ સંખ્યા તરીકે દર્શાવવામાં આવતી નથી.
- અમે લોગરીધમિક સ્વરૂપમાં જવાબ છોડીએ છીએ: લોગ 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).