મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ SLAU ઉકેલોસમીકરણોની નિરાકરણ પ્રણાલી પર લાગુ થાય છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યાને અનુરૂપ હોય છે. લો-ઓર્ડર સિસ્ટમ્સને ઉકેલવા માટે પદ્ધતિનો શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ થાય છે. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ મેટ્રિક્સ ગુણાકારના ગુણધર્મોના ઉપયોગ પર આધારિત છે.
આ પદ્ધતિ, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ,કહેવામાં આવે છે કારણ કે સોલ્યુશન સામાન્ય મેટ્રિક્સ સમીકરણમાં ઘટાડે છે, જેને ઉકેલવા માટે તમારે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાની જરૂર છે.
મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન પદ્ધતિનિર્ણાયક સાથેનો SLAE જે શૂન્ય કરતા મોટો અથવા ઓછો છે તે નીચે મુજબ છે:
ધારો કે તેની સાથે SLE (રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ) છે nઅજ્ઞાત (એક મનસ્વી ક્ષેત્ર પર):
આનો અર્થ એ છે કે તેને સરળતાથી મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે:
AX=B, ક્યાં એ- સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ, બીઅને એક્સ- સિસ્ટમની મફત શરતો અને ઉકેલોની કૉલમ, અનુક્રમે:
ચાલો આ મેટ્રિક્સ સમીકરણને ડાબેથી વડે ગુણાકાર કરીએ A−1- વિપરિત મેટ્રિક્સથી મેટ્રિક્સ A: A −1 (AX)=A −1 B.
કારણ કે A −1 A=E, મતલબ X=A −1 B. જમણો ભાગસમીકરણ ઉકેલો કૉલમ આપે છે પ્રારંભિક સિસ્ટમ. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિની લાગુ પડવાની શરત મેટ્રિક્સની બિન-અધોગતિ છે એ. જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિઆનો અર્થ એ છે કે મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન નથી એ:
detA≠0.
માટે રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ, એટલે કે જો વેક્ટર B=0, વિરુદ્ધ નિયમ ધરાવે છે: સિસ્ટમ AX=0ત્યાં એક બિન-તુચ્છ (એટલે કે શૂન્ય બરાબર નથી) ઉકેલ ત્યારે જ છે જ્યારે detA=0. રેખીય સમીકરણોની સજાતીય અને અસંગત પ્રણાલીઓના ઉકેલો વચ્ચેના આ જોડાણને કહેવામાં આવે છે. ફ્રેડહોમ વૈકલ્પિક.
આમ, SLAE ના ઉકેલ મેટ્રિક્સ પદ્ધતિફોર્મ્યુલા અનુસાર ઉત્પાદિત 
. અથવા, SLAE નો ઉકેલ ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A−1.
તે જાણીતું છે કે ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે એઓર્ડર nપર nત્યાં છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A−1માત્ર જો તેનો નિર્ણાયક બિનશૂન્ય હોય. આમ, સિસ્ટમ nરેખીય બીજગણિતીય સમીકરણોસાથે nજો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન ન હોય તો જ અમે મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અજાણ્યાઓને ઉકેલીએ છીએ.
હકીકત એ છે કે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની શક્યતાઓની મર્યાદાઓ હોવા છતાં અને ગુણાંક અને સિસ્ટમોના મોટા મૂલ્યોની ગણતરીમાં મુશ્કેલીઓ છે ઉચ્ચ ક્રમ, પદ્ધતિ સરળતાથી કમ્પ્યુટર પર અમલમાં મૂકી શકાય છે.
બિન-સમાન્ય SLAE ઉકેલવાનું ઉદાહરણ.
પ્રથમ, ચાલો તપાસ કરીએ કે શું અજાણ્યા SLAE ના ગુણાંક મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી.
હવે આપણે શોધીએ છીએ યુનિયન મેટ્રિક્સ, તેને સ્થાનાંતરિત કરો અને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ નક્કી કરવા માટે તેને સૂત્રમાં બદલો.
ચલોને સૂત્રમાં બદલો:
હવે આપણે ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ અને ફ્રી ટર્મ્સના કોલમનો ગુણાકાર કરીને અજ્ઞાતને શોધીએ છીએ.
તેથી, x=2; y=1; z=4.
જ્યારે SLAE ના સામાન્ય સ્વરૂપમાંથી મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ તરફ જતી વખતે, સિસ્ટમના સમીકરણોમાં અજાણ્યા ચલોના ક્રમથી સાવચેત રહો. દાખ્લા તરીકે:
તે આ રીતે લખી શકાતું નથી:
તે જરૂરી છે, પ્રથમ, સિસ્ટમના દરેક સમીકરણમાં અજાણ્યા ચલોને ઓર્ડર કરવા અને તે પછી જ મેટ્રિક્સ નોટેશન પર આગળ વધો:
વધુમાં, તમારે તેના બદલે અજાણ્યા ચલોના હોદ્દા સાથે સાવચેત રહેવાની જરૂર છે x 1, x 2, …, x nઅન્ય અક્ષરો હોઈ શકે છે. દા.ત:
મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં આપણે તેને આ રીતે લખીએ છીએ:
મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોને હલ કરવાનું વધુ સારું છે રેખીય સમીકરણો, જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા સાથે મેળ ખાય છે અને સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્યની બરાબર નથી. જ્યારે સિસ્ટમમાં 3 થી વધુ સમીકરણો હોય, ત્યારે વિપરિત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે વધુ કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયત્નોની જરૂર પડશે, તેથી, આ કિસ્સામાં, ઉકેલ માટે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.
સેવાનો હેતુ. આ ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને, અજ્ઞાત (x 1, x 2, ..., x n) ની ગણતરી સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કરવામાં આવે છે. નિર્ણય હાથ ધરવામાં આવે છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ. જેમાં:- મેટ્રિક્સ A ના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવામાં આવે છે;
- દ્વારા બીજગણિત ઉમેરાઓવ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 જોવા મળે છે;
- એક્સેલમાં સોલ્યુશન ટેમ્પલેટ બનાવવામાં આવે છે;
સૂચનાઓ. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ મેળવવા માટે, તમારે મેટ્રિક્સનું પરિમાણ સ્પષ્ટ કરવાની જરૂર છે. આગળ, નવા સંવાદ બોક્સમાં, મેટ્રિક્સ A અને પરિણામો B ના વેક્ટર ભરો.
મેટ્રિક્સ સમીકરણો ઉકેલવા પણ જુઓ.ઉકેલ અલ્ગોરિધમનો
- મેટ્રિક્સ A ના નિર્ણાયકની ગણતરી કરવામાં આવે છે. જો નિર્ણાયક શૂન્ય છે, તો ઉકેલ સમાપ્ત થઈ ગયો છે. સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.
- જ્યારે નિર્ણાયક શૂન્યથી અલગ હોય છે, ત્યારે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 બીજગણિત ઉમેરણો દ્વારા જોવા મળે છે.
- ઉકેલ વેક્ટર X =(x 1, x 2, ..., x n) પરિણામ વેક્ટર B દ્વારા વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે.
બીજગણિત ઉમેરાઓ.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
પરીક્ષા:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
આપણા જીવનમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ વ્યાપક છે. તેનો ઉપયોગ ઘણી ગણતરીઓ, માળખાના નિર્માણ અને રમતગમતમાં પણ થાય છે. માણસ પ્રાચીન સમયમાં સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતો હતો, અને ત્યારથી તેનો ઉપયોગ વધ્યો છે. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ તમને કોઈપણ જટિલતાના SLAEs (રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ્સ) માટે ઉકેલો શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. SLAE ને ઉકેલવાની સમગ્ર પ્રક્રિયા બે મુખ્ય ક્રિયાઓ પર નીચે આવે છે:
મુખ્ય મેટ્રિક્સના આધારે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનું નિર્ધારણ:
ઉકેલોના કૉલમ વેક્ટર દ્વારા પરિણામી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર.
ધારો કે અમને નીચેના ફોર્મનું SLAE આપવામાં આવ્યું છે:
\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(મેટ્રિક્સ)\જમણે.\]
ચાલો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ લખીને આ સમીકરણ ઉકેલવાનું શરૂ કરીએ:
જમણી બાજુ મેટ્રિક્સ:
ચાલો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ વ્યાખ્યાયિત કરીએ. તમે નીચે પ્રમાણે 2જી ઓર્ડર મેટ્રિક્સ શોધી શકો છો: 1 - મેટ્રિક્સ પોતે બિન-એકવચન હોવું જોઈએ; 2 - તેના ઘટકો કે જે મુખ્ય કર્ણ પર છે તે સ્વેપ કરવામાં આવે છે, અને ગૌણ કર્ણના તત્વો માટે આપણે સાઇનને વિરુદ્ધ એકમાં બદલીએ છીએ, ત્યારબાદ આપણે પરિણામી તત્વોને મેટ્રિક્સના નિર્ધારક દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. અમને મળે છે:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \\end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 મેટ્રિસિસ સમાન ગણવામાં આવે છે જો તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય. પરિણામે, અમારી પાસે SLAE ઉકેલ માટે નીચેના જવાબો છે:
મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હું સમીકરણોની સિસ્ટમ ક્યાં ઉકેલી શકું?
તમે અમારી વેબસાઇટ પર સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરી શકો છો. ફ્રી ઓનલાઈન સોલ્વર તમને કોઈપણ જટિલતાના ઓનલાઈન સમીકરણોને સેકન્ડોની બાબતમાં ઉકેલવા દેશે. તમારે ફક્ત તમારા ડેટાને સોલ્વરમાં દાખલ કરવાની જરૂર છે. તમે અમારી વેબસાઇટ પર સમીકરણ કેવી રીતે હલ કરવું તે પણ શોધી શકો છો. અને જો તમને હજી પણ પ્રશ્નો હોય, તો તમે તેમને અમારા VKontakte જૂથમાં પૂછી શકો છો.
ચાલો વિચાર કરીએ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ(SLAU) પ્રમાણમાં nઅજ્ઞાત x 1 , x 2 , ..., x n :
"સંકુચિત" સ્વરૂપમાં આ સિસ્ટમ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
એસ n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
મેટ્રિક્સ ગુણાકારના નિયમ અનુસાર, રેખીય સમીકરણોની ગણવામાં આવેલ સિસ્ટમ આમાં લખી શકાય છે. મેટ્રિક્સ ફોર્મ Ax=b, ક્યાં
,
,.
મેટ્રિક્સ એ, જેનાં સ્તંભો અનુરૂપ અજ્ઞાત માટે ગુણાંક છે, અને પંક્તિઓ અનુરૂપ સમીકરણમાં અજ્ઞાત માટે ગુણાંક છે તેને કહેવાય છે. સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ. કૉલમ મેટ્રિક્સ b, જે તત્વો સિસ્ટમના સમીકરણોની જમણી બાજુ છે, તેને જમણી બાજુનું મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે અથવા ફક્ત સિસ્ટમની જમણી બાજુ. કૉલમ મેટ્રિક્સ x , જેના તત્વો અજ્ઞાત અજ્ઞાત છે, કહેવાય છે સિસ્ટમ સોલ્યુશન.
ફોર્મમાં લખેલ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ Ax=b, છે મેટ્રિક્સ સમીકરણ.
જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ બિન-અધોગતિ, પછી તેની પાસે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે અને પછી સિસ્ટમનો ઉકેલ છે Ax=bસૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
x=A -1 b.
ઉદાહરણસિસ્ટમ ઉકેલો 
મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ.
ઉકેલચાલો સિસ્ટમના ગુણાંક મેટ્રિક્સ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ
ચાલો પ્રથમ લીટી સાથે વિસ્તરણ કરીને નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:
કારણ કે Δ ≠ 0 , તે એ -1 અસ્તિત્વમાં છે.
વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું હતું.
ચાલો સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધીએ 
આથી, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
પરીક્ષા: 
7. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા પર ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય.
રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમફોર્મ ધરાવે છે:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
અહીં a i j અને b i ( i = ; j = ) આપેલ છે, અને x j અજાણી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. મેટ્રિસીસના ઉત્પાદનની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સિસ્ટમ (5.1) ને ફોર્મમાં ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
જ્યાં A = (a i j) એ અજ્ઞાત સિસ્ટમ (5.1) માટે ગુણાંકનો સમાવેશ કરતું મેટ્રિક્સ છે, જેને કહેવામાં આવે છે સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T એ અનુક્રમે અજાણ્યા x j અને મુક્ત શબ્દો b i થી બનેલા કૉલમ વેક્ટર છે.
ઓર્ડર કરેલ સંગ્રહ nવાસ્તવિક સંખ્યાઓ (c 1, c 2,..., c n) કહેવાય છે સિસ્ટમ સોલ્યુશન(5.1), જો અનુરૂપ ચલ x 1, x 2,..., x n ને બદલે આ સંખ્યાઓને બદલવાના પરિણામે, સિસ્ટમનું દરેક સમીકરણ અંકગણિત ઓળખમાં ફેરવાય છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો ત્યાં વેક્ટર C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T હોય તો AC B.
સિસ્ટમ (5.1) કહેવાય છે સંયુક્તઅથવા ઉકેલી શકાય તેવું,જો તેની પાસે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે. સિસ્ટમ કહેવાય છે અસંગત,અથવા વણઉકેલાયેલ, જો તેની પાસે કોઈ ઉકેલો નથી.
,
મેટ્રિક્સ A ની જમણી બાજુએ મફત શબ્દોની કૉલમ સોંપીને રચાય છે સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ.
સિસ્ટમની સુસંગતતાનો પ્રશ્ન (5.1) નીચેના પ્રમેય દ્વારા હલ થાય છે.
ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય . રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત હોય છે જો અને માત્ર જો મેટ્રિસિસ A અનેA ની રેન્ક એકરૂપ થાય, એટલે કે. r(A) = r(A) = r.
સિસ્ટમ (5.1) ના ઉકેલોના સમૂહ M માટે ત્રણ શક્યતાઓ છે:
1) M = (આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ અસંગત છે);
2) M એક તત્વ ધરાવે છે, એટલે કે. સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે (આ કિસ્સામાં સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ);
3) M એક કરતાં વધુ તત્વ ધરાવે છે (પછી સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે અનિશ્ચિત). ત્રીજા કિસ્સામાં, સિસ્ટમ (5.1) પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે.
જો r(A) = n હોય તો જ સિસ્ટમ પાસે અનન્ય ઉકેલ છે. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા (mn) કરતાં ઓછી નથી; જો m>n, તો m-n સમીકરણોઅન્યના પરિણામો છે. જો 0 રેખીય સમીકરણોની મનસ્વી પ્રણાલીને ઉકેલવા માટે, તમારે એવી પ્રણાલીઓને હલ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે - કહેવાતા ક્રેમર પ્રકારની સિસ્ટમો: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . સિસ્ટમ્સ (5.3) નીચેનામાંથી એક રીતે ઉકેલવામાં આવે છે: 1) ગૌસ પદ્ધતિ, અથવા અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ; 2) ક્રેમરના સૂત્રો અનુસાર; 3) મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ. ઉદાહરણ 2.12. સમીકરણોની સિસ્ટમનું અન્વેષણ કરો અને જો તે સુસંગત હોય તો તેને હલ કરો: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. ઉકેલ.અમે સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ છીએ:
ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના ક્રમની ગણતરી કરીએ. તે સ્પષ્ટ છે કે, ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરના ડાબા ખૂણામાં બીજા-ક્રમના નાના = 7 0; તે ધરાવતા ત્રીજા ક્રમના સગીર શૂન્યના બરાબર છે: પરિણામે, સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ 2 છે, એટલે કે. r(A) = 2. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ A ના ક્રમની ગણતરી કરવા માટે, કિનારી નાનાને ધ્યાનમાં લો આનો અર્થ છે કે વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ r(A) = 3. r(A) r(A) હોવાથી, સિસ્ટમ અસંગત છે. સામાન્ય રીતે સમીકરણો, રેખીય બીજગણિત સમીકરણો અને તેમની પ્રણાલીઓ, તેમજ તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ, સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ બંને રીતે ગણિતમાં વિશેષ સ્થાન ધરાવે છે. આ એ હકીકતને કારણે છે કે મોટાભાગની ભૌતિક, આર્થિક, તકનીકી અને શિક્ષણશાસ્ત્રની સમસ્યાઓનું વર્ણન અને વિવિધ સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. તાજેતરમાં, ગાણિતિક મોડેલિંગે લગભગ તમામ વિષયોના ક્ષેત્રોમાં સંશોધકો, વૈજ્ઞાનિકો અને પ્રેક્ટિશનરોમાં વિશેષ લોકપ્રિયતા મેળવી છે, જે વિવિધ પ્રકૃતિના પદાર્થોના અભ્યાસ માટે અન્ય જાણીતી અને સાબિત પદ્ધતિઓ પરના તેના સ્પષ્ટ ફાયદાઓ દ્વારા સમજાવે છે, ખાસ કરીને, કહેવાતા જટિલ. સિસ્ટમો વિવિધ સમયે વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા આપવામાં આવેલ ગાણિતિક મોડલની વિવિધ વ્યાખ્યાઓની વિશાળ વિવિધતા છે, પરંતુ અમારા મતે, નીચેનું નિવેદન સૌથી સફળ છે. ગાણિતિક મોડલ એ સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ એક વિચાર છે. આમ, સમીકરણો અને તેમની સિસ્ટમો કંપોઝ કરવાની અને ઉકેલવાની ક્ષમતા એ આધુનિક નિષ્ણાતની અભિન્ન લાક્ષણિકતા છે. રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે, ક્રેમર, જોર્ડન-ગૌસ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે. મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન પદ્ધતિ એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને શૂન્ય નિર્ણાયક સાથે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ છે. જો આપણે મેટ્રિક્સ A માં અજ્ઞાત જથ્થાઓ xi માટે ગુણાંક લખીએ, વેક્ટર કૉલમ X માં અજાણ્યા જથ્થાઓ અને વેક્ટર કૉલમ B માં મુક્ત શબ્દો એકત્રિત કરીએ, તો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. નીચેના મેટ્રિક્સ સમીકરણ A · X = B, જે માત્ર ત્યારે જ અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે જ્યારે મેટ્રિક્સ A નો નિર્ધારક શૂન્યની બરાબર ન હોય. આ કિસ્સામાં, સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ નીચેની રીતે શોધી શકાય છે એક્સ = એ-1 · બી, ક્યાં એ-1 એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે. મેટ્રિક્સ સોલ્યુશન પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે. ચાલો સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આપીએ nઅજ્ઞાત: તે મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખી શકાય છે: AX =
બી, ક્યાં એ- સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ, બીઅને એક્સ- અનુક્રમે સિસ્ટમની મફત શરતો અને ઉકેલોની કૉલમ: ચાલો આ મેટ્રિક્સ સમીકરણને ડાબેથી વડે ગુણાકાર કરીએ એ-1 - મેટ્રિક્સનો મેટ્રિક્સ વ્યસ્ત એ: એ -1 (AX) = એ -1 બી કારણ કે એ -1 એ = ઇ, અમને મળે છે એક્સ= એ -1 બી. આ સમીકરણની જમણી બાજુ મૂળ સિસ્ટમનો ઉકેલ કૉલમ આપશે. આ પદ્ધતિની લાગુ પડવાની શરત (તેમજ સામાન્ય રીતે ઉકેલનું અસ્તિત્વ) નથી સજાતીય સિસ્ટમઅજ્ઞાતની સંખ્યા સમાન સમીકરણોની સંખ્યા સાથે રેખીય સમીકરણો) મેટ્રિક્સની બિન-અધોગતિ છે એ. આ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી. એ:det એ≠ 0. રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ માટે, એટલે કે જ્યારે વેક્ટર બી = 0
, ખરેખર વિપરીત નિયમ: સિસ્ટમ AX =
0 પાસે બિન-તુચ્છ (એટલે કે, શૂન્ય સિવાયનું) સોલ્યુશન હોય તો જ det એ= 0. રેખીય સમીકરણોની સજાતીય અને અસંગત પ્રણાલીઓના ઉકેલો વચ્ચેના આવા જોડાણને ફ્રેડહોમ વૈકલ્પિક કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીના ઉકેલો. ચાલો ખાતરી કરીએ કે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના અજાણ્યા ગુણાંકથી બનેલા મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર નથી. આગળનું પગલું એ અજ્ઞાતના ગુણાંક ધરાવતા મેટ્રિક્સના ઘટકો માટે બીજગણિતીય પૂરકની ગણતરી કરવાનું છે. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે તેમની જરૂર પડશે.
.
