ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ્સનું નિરાકરણ. ગૌસીયન પદ્ધતિ અથવા બાળકોને ગણિત કેમ સમજાતું નથી

ગૌસ પદ્ધતિરેખીય સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે યોગ્ય બીજગણિતીય સમીકરણો(SLAU). અન્ય પદ્ધતિઓની તુલનામાં તેના ઘણા ફાયદા છે:

• સૌ પ્રથમ, સુસંગતતા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમની પ્રથમ તપાસ કરવાની જરૂર નથી;
• બીજું, ગૌસ પદ્ધતિ માત્ર SLAE ને ઉકેલી શકે છે જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા સાથે એકરુપ હોય છે અને સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે, પણ સમીકરણોની સિસ્ટમો પણ જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા એકરૂપ થતી નથી. અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા અથવા મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ધારક શૂન્યની બરાબર છે;
• ત્રીજે સ્થાને, ગૌસીયન પદ્ધતિ પ્રમાણમાં ઓછી સંખ્યામાં કોમ્પ્યુટેશનલ કામગીરી સાથે પરિણામો તરફ દોરી જાય છે.

લેખની સંક્ષિપ્ત ઝાંખી.

પ્રથમ, અમે જરૂરી વ્યાખ્યાઓ આપીએ છીએ અને સંકેતો રજૂ કરીએ છીએ.

આગળ, અમે સરળ કેસ માટે ગૌસ પદ્ધતિના અલ્ગોરિધમનું વર્ણન કરીશું, એટલે કે, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો માટે, સમીકરણોની સંખ્યા જેમાં અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા અને સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક સાથે સુસંગત છે. શૂન્ય બરાબર નથી. સમીકરણોની આવી પ્રણાલીઓને હલ કરતી વખતે, ગૌસ પદ્ધતિનો સાર સૌથી વધુ સ્પષ્ટપણે દેખાય છે, જે અજ્ઞાત ચલોનું ક્રમિક નિવારણ છે. તેથી, ગૌસીયન પદ્ધતિને અજ્ઞાતને ક્રમિક રીતે દૂર કરવાની પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે. અમે કેટલાક ઉદાહરણોના વિગતવાર ઉકેલો બતાવીશું.

નિષ્કર્ષમાં, અમે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોની ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલને ધ્યાનમાં લઈશું, જેનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ કાં તો લંબચોરસ અથવા એકવચન છે. આવી સિસ્ટમોના ઉકેલમાં કેટલીક સુવિધાઓ છે, જે અમે ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને વિગતવાર તપાસ કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને સંકેતો.

p ની સિસ્ટમનો વિચાર કરો રેખીય સમીકરણો n અજ્ઞાત સાથે (p n ની બરાબર હોઈ શકે છે):

અજ્ઞાત ચલો ક્યાં છે, સંખ્યાઓ છે (વાસ્તવિક અથવા જટિલ), અને મફત શરતો છે.

જો , પછી રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સમાન, અન્યથા - વિજાતીય.

અજ્ઞાત ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ જેના માટે સિસ્ટમના તમામ સમીકરણો ઓળખ બની જાય છે તેને કહેવામાં આવે છે. SLAU નો નિર્ણય.

જો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત, અન્યથા - બિન-સંયુક્ત.

જો SLAE પાસે અનન્ય ઉકેલ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ. જો ત્યાં એક કરતાં વધુ ઉકેલો હોય, તો સિસ્ટમને બોલાવવામાં આવે છે અનિશ્ચિત.

તેઓ કહે છે કે સિસ્ટમમાં લખેલું છે સંકલન સ્વરૂપ, જો તે ફોર્મ ધરાવે છે
.

આ સિસ્ટમ માં મેટ્રિક્સ ફોર્મરેકોર્ડમાં ફોર્મ હોય છે, ક્યાં - SLAE નું મુખ્ય મેટ્રિક્સ, - અજ્ઞાત ચલોના કૉલમનું મેટ્રિક્સ, - ફ્રી ટર્મ્સનું મેટ્રિક્સ.

જો આપણે મેટ્રિક્સ A માં (n+1)મી કૉલમ તરીકે મફત શબ્દોની મેટ્રિક્સ-કૉલમ ઉમેરીએ, તો અમને કહેવાતા વિસ્તૃત મેટ્રિક્સરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. સામાન્ય રીતે, વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ અક્ષર T દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને મુક્ત શબ્દોના કૉલમને બાકીના કૉલમમાંથી ઊભી રેખા દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે,

ચોરસ મેટ્રિક્સ A કહેવાય છે અધોગતિ, જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે. જો , તો મેટ્રિક્સ A કહેવાય છે બિન-અધોગતિ.

નીચેના મુદ્દાની નોંધ લેવી જોઈએ.

જો આપણે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ સાથે પ્રદર્શન કરીએ નીચેની ક્રિયાઓ

• બે સમીકરણોની અદલાબદલી,
• કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુઓને મનસ્વી અને બિન-શૂન્ય વાસ્તવિક (અથવા જટિલ) સંખ્યા k દ્વારા ગુણાકાર કરો,
• કોઈપણ સમીકરણની બંને બાજુએ અન્ય સમીકરણના અનુરૂપ ભાગો ઉમેરો, એક મનસ્વી સંખ્યા k વડે ગુણાકાર કરો,

પછી તમને એક સમકક્ષ સિસ્ટમ મળશે જેમાં સમાન ઉકેલો છે (અથવા, મૂળની જેમ, કોઈ ઉકેલો નથી).

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ માટે, આ ક્રિયાઓનો અર્થ એ થશે કે પંક્તિઓ સાથે પ્રાથમિક રૂપાંતરણો હાથ ધરવા:

• બે લીટીઓની અદલાબદલી,
• મેટ્રિક્સ T ની કોઈપણ પંક્તિના તમામ ઘટકોને બિનશૂન્ય સંખ્યા k વડે ગુણાકાર કરીને,
• મેટ્રિક્સની કોઈપણ પંક્તિના ઘટકોમાં બીજી પંક્તિના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરીને, મનસ્વી સંખ્યા k દ્વારા ગુણાકાર.

હવે આપણે ગૌસ પદ્ધતિના વર્ણન પર આગળ વધી શકીએ છીએ.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની નિરાકરણ પ્રણાલીઓ, જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલી હોય છે અને સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે, ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને.

જો અમને સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવાનું કાર્ય સોંપવામાં આવે તો શાળામાં આપણે શું કરીશું? .

કેટલાક તે કરશે.

નોંધ કરો કે બીજા સમીકરણની ડાબી બાજુએ ઉમેરો ડાબી બાજુપ્રથમ, અને જમણી બાજુ - જમણી બાજુ, તમે અજાણ્યા ચલો x 2 અને x 3 થી છુટકારો મેળવી શકો છો અને તરત જ x 1 શોધી શકો છો:

અમે સિસ્ટમના પ્રથમ અને ત્રીજા સમીકરણોમાં મળેલ મૂલ્ય x 1 =1 ને બદલીએ છીએ:

જો આપણે સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણની બંને બાજુઓને -1 વડે ગુણાકાર કરીએ અને તેમને પ્રથમ સમીકરણના અનુરૂપ ભાગોમાં ઉમેરીએ, તો આપણે અજ્ઞાત ચલ x 3 થી છુટકારો મેળવી શકીએ છીએ અને x 2 શોધી શકીએ છીએ:

અમે પરિણામી મૂલ્ય x 2 = 2 ને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને બાકીના અજ્ઞાત ચલ x 3 શોધીએ છીએ:

અન્ય લોકોએ અલગ રીતે કર્યું હોત.

ચાલો આપણે અજ્ઞાત ચલ x 1 ના સંદર્ભમાં સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ઉકેલીએ અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાં બદલીએ જેથી આ ચલને તેમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે:

હવે x 2 માટે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને હલ કરીએ અને તેમાંથી અજાણ્યા ચલ x 2ને દૂર કરવા માટે ત્રીજા સમીકરણમાં મેળવેલા પરિણામને બદલીએ:

સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે x 3 =3. બીજા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ , અને પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ.

પરિચિત ઉકેલો, બરાબર?

અહીં સૌથી રસપ્રદ બાબત એ છે કે બીજી ઉકેલ પદ્ધતિ અનિવાર્યપણે અજાણ્યાઓને ક્રમિક રીતે દૂર કરવાની પદ્ધતિ છે, એટલે કે, ગૌસીયન પદ્ધતિ. જ્યારે અમે અજાણ્યા ચલો (પ્રથમ x 1, પછીના તબક્કામાં x 2) વ્યક્ત કર્યા અને તેમને સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણોમાં બદલ્યા, ત્યારે અમે તેમને બાકાત રાખ્યા. છેલ્લા સમીકરણમાં માત્ર એક જ અજ્ઞાત ચલ બાકી રહે ત્યાં સુધી અમે નાબૂદી હાથ ધરી. ક્રમિક રીતે અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સીધી ગૌસિયન પદ્ધતિ. સમાપ્ત કર્યા પછી ફોરવર્ડ સ્ટ્રોકહવે આપણી પાસે છેલ્લા સમીકરણમાં અજાણ્યા ચલની ગણતરી કરવાની તક છે. તેની મદદથી, આપણે ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી આગલું અજ્ઞાત ચલ શોધીએ છીએ, વગેરે. છેલ્લા સમીકરણથી પ્રથમ તરફ જતી વખતે ક્રમિક રીતે અજાણ્યા ચલો શોધવાની પ્રક્રિયા કહેવાય છે. ઉલટું. ઉંધુંગૌસ પદ્ધતિ.

એ નોંધવું જોઈએ કે જ્યારે આપણે પ્રથમ સમીકરણમાં x 2 અને x 3ના સંદર્ભમાં x 1 વ્યક્ત કરીએ છીએ અને પછી પરિણામી અભિવ્યક્તિને બીજા અને ત્રીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, ત્યારે નીચેની ક્રિયાઓ સમાન પરિણામ તરફ દોરી જાય છે:

ખરેખર, આવી પ્રક્રિયા સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ચલ x 1 ને દૂર કરવાનું પણ શક્ય બનાવે છે:

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અજ્ઞાત ચલોને નાબૂદ કરવા સાથેનો ઘોંઘાટ ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે સિસ્ટમના સમીકરણોમાં કેટલાક ચલોનો સમાવેશ થતો નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, SLAU માં પ્રથમ સમીકરણમાં કોઈ અજ્ઞાત ચલ x 1 નથી (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેની સામેનો ગુણાંક શૂન્ય છે). તેથી, બાકીના સમીકરણોમાંથી આ અજાણ્યા ચલને દૂર કરવા માટે આપણે x 1 માટે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને હલ કરી શકતા નથી. આ પરિસ્થિતિમાંથી બહાર નીકળવાનો રસ્તો એ છે કે સિસ્ટમના સમીકરણોને બદલવાનો. આપણે લીનિયર સમીકરણોની સિસ્ટમો પર વિચાર કરી રહ્યા છીએ જેના મુખ્ય મેટ્રિસીસના નિર્ધારકો શૂન્યથી અલગ છે, ત્યાં હંમેશા એક સમીકરણ હોય છે જેમાં આપણને જોઈતું ચલ હાજર હોય છે, અને આપણે આ સમીકરણને આપણને જોઈતી સ્થિતિમાં ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ. અમારા ઉદાહરણ માટે, તે સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોને સ્વેપ કરવા માટે પૂરતું છે , તો પછી તમે x 1 માટેના પ્રથમ સમીકરણને ઉકેલી શકો છો અને તેને સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણોમાંથી બાકાત કરી શકો છો (જોકે x 1 હવે બીજા સમીકરણમાં હાજર નથી).

અમે આશા રાખીએ છીએ કે તમને ભાવાર્થ મળશે.

ચાલો વર્ણન કરીએ ગૌસીયન પદ્ધતિ અલ્ગોરિધમ.

ધારો કે આપણે n અજ્ઞાત સાથે n રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે ફોર્મના ચલો , અને તેના મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકને શૂન્યથી અલગ થવા દો.

અમે ધારીશું કે , કારણ કે અમે સિસ્ટમના સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવીને હંમેશા આ પ્રાપ્ત કરી શકીએ છીએ. ચાલો બીજાથી શરૂ કરીને સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી અજ્ઞાત ચલ x 1 નાબૂદ કરીએ. આ કરવા માટે, સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર, ત્રીજા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર, અને તેથી આગળ, nમા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર. આવા પરિવર્તનો પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

ક્યાં અને .

જો આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં અન્ય અજાણ્યા ચલોના સંદર્ભમાં x 1 વ્યક્ત કર્યો હોત અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને અન્ય તમામ સમીકરણોમાં બદલ્યો હોત તો આપણે સમાન પરિણામ પર પહોંચ્યા હોત. આમ, ચલ x 1 એ બીજાથી શરૂ થતા તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત છે.

આગળ, અમે તે જ રીતે આગળ વધીએ છીએ, પરંતુ માત્ર પરિણામી સિસ્ટમના ભાગ સાથે, જે આકૃતિમાં ચિહ્નિત થયેલ છે.

આ કરવા માટે, સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, ચોથા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેથી આગળ, nમા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. આવા પરિવર્તનો પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

ક્યાં અને . આમ, ચલ x 2 ને ત્રીજાથી શરૂ કરીને તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે.

આગળ, અમે અજ્ઞાત x 3 ને દૂર કરવા આગળ વધીએ છીએ, જ્યારે અમે આકૃતિમાં ચિહ્નિત સિસ્ટમના ભાગ સાથે સમાન રીતે કાર્ય કરીએ છીએ.

તેથી જ્યાં સુધી સિસ્ટમ ફોર્મ ન લે ત્યાં સુધી અમે ગૌસીયન પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિ ચાલુ રાખીએ છીએ

આ ક્ષણથી આપણે ગૌસિયન પદ્ધતિથી વિપરીત શરૂઆત કરીએ છીએ: આપણે છેલ્લા સમીકરણમાંથી x n ની ગણતરી કરીએ છીએ, x n ની પ્રાપ્ત કિંમતનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી x n-1 શોધીએ છીએ, અને તેથી, આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી x 1 શોધીએ છીએ. .

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને એલ્ગોરિધમ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

ગૌસ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

ગુણાંક a 11 શૂન્યથી અલગ છે, તેથી ચાલો ગૌસીયન પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિ તરફ આગળ વધીએ, એટલે કે, પ્રથમ સિવાય સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ચલ x 1ને બાકાત રાખવા માટે. આ કરવા માટે, બીજા, ત્રીજા અને ચોથા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ, પ્રથમ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓને અનુક્રમે , વડે ગુણાકાર કરો. અને:

અજ્ઞાત ચલ x 1 નાબૂદ કરવામાં આવ્યો છે, ચાલો x 2 નાબૂદ કરવા માટે આગળ વધીએ. સિસ્ટમના ત્રીજા અને ચોથા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ આપણે બીજા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓને અનુક્રમે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને :

ગૌસીયન પદ્ધતિની આગળની પ્રગતિ પૂર્ણ કરવા માટે, આપણે સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી અજ્ઞાત ચલ x 3 દૂર કરવાની જરૂર છે. ચાલો ચોથા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ અનુક્રમે ડાબી અને જમણી બાજુ ઉમેરીએ જમણી બાજુદ્વારા ગુણાકાર ત્રીજા સમીકરણ :

તમે ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત શરૂઆત કરી શકો છો.

છેલ્લા સમીકરણથી આપણી પાસે છે ,
ત્રીજા સમીકરણમાંથી આપણને મળે છે,
બીજા થી,
પ્રથમ થી.

તપાસવા માટે, તમે અજ્ઞાત ચલોના મેળવેલ મૂલ્યોને સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમમાં બદલી શકો છો. બધા સમીકરણો ઓળખમાં ફેરવાય છે, જે સૂચવે છે કે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ યોગ્ય રીતે મળ્યો હતો.

જવાબ:

હવે ચાલો મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાન ઉદાહરણનો ઉકેલ આપીએ.

ઉદાહરણ.

સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધો ગૌસ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે . દરેક સ્તંભની ટોચ પર અજાણ્યા ચલો છે જે મેટ્રિક્સના ઘટકોને અનુરૂપ છે.

અહીં ગૌસીયન પદ્ધતિના સીધા અભિગમમાં પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને ટ્રેપેઝોઇડલ સ્વરૂપમાં ઘટાડવાનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રક્રિયા અજાણ્યા ચલો નાબૂદ કરવા જેવી જ છે જે અમે સિસ્ટમ સાથે સંકલન સ્વરૂપમાં કર્યું હતું. હવે તમે આ જોશો.

ચાલો મેટ્રિક્સને રૂપાંતરિત કરીએ જેથી પ્રથમ કૉલમના તમામ ઘટકો, બીજાથી શરૂ કરીને, શૂન્ય થઈ જાય. આ કરવા માટે, બીજી, ત્રીજી અને ચોથી લીટીના તત્વોમાં આપણે પ્રથમ લીટીના અનુરૂપ તત્વોને , વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને તે મુજબ:

આગળ, અમે પરિણામી મેટ્રિક્સને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ જેથી કરીને બીજા સ્તંભમાં બધા ઘટકો, ત્રીજાથી શરૂ કરીને, શૂન્ય થઈ જાય. આ અજાણ્યા ચલ x 2 ને દૂર કરવા માટે અનુરૂપ હશે. આ કરવા માટે, ત્રીજી અને ચોથી પંક્તિના ઘટકોમાં આપણે મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિના અનુરૂપ ઘટકોને અનુક્રમે ગુણાકાર કરીએ છીએ. અને :

તે સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી અજાણ્યા ચલ x 3 ને બાકાત રાખવાનું બાકી છે. આ કરવા માટે, પરિણામી મેટ્રિક્સની છેલ્લી પંક્તિના ઘટકોમાં આપણે ઉપાંત્ય પંક્તિના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરીએ છીએ, જે દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. :

એ નોંધવું જોઈએ કે આ મેટ્રિક્સ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને અનુરૂપ છે

જે અગાઉ આગળ વધ્યા પછી પ્રાપ્ત થયું હતું.

પાછા વળવાનો સમય છે. મેટ્રિક્સ નોટેશનમાં, ગૌસીયન પદ્ધતિના વ્યસ્તમાં પરિણામી મેટ્રિક્સને રૂપાંતરિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે જેમ કે આકૃતિમાં ચિહ્નિત મેટ્રિક્સ

વિકર્ણ બન્યું, એટલે કે, સ્વરૂપ લીધું

કેટલાક નંબરો ક્યાં છે.

આ પરિવર્તનો ગૌસીયન પદ્ધતિના ફોરવર્ડ રૂપાંતરણો જેવા જ છે, પરંતુ તે પ્રથમ લાઇનથી છેલ્લી સુધી નહીં, પરંતુ છેલ્લાથી પ્રથમ સુધી કરવામાં આવે છે.

ત્રીજી, બીજી અને પ્રથમ લીટીના તત્વોમાં છેલ્લી લીટીના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરો, વડે ગુણાકાર , ચાલુ અને ચાલુ અનુક્રમે:

હવે બીજી અને પ્રથમ લીટીના તત્વોમાં ત્રીજી લીટીના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરો, અનુક્રમે અને વડે ગુણાકાર કરો:

રિવર્સ ગૌસીયન પદ્ધતિના છેલ્લા પગલા પર, પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોમાં આપણે બીજી હરોળના અનુરૂપ તત્વો ઉમેરીએ છીએ, આનાથી ગુણાકાર કરીએ છીએ:

પરિણામી મેટ્રિક્સ સમીકરણોની સિસ્ટમને અનુરૂપ છે , જ્યાંથી આપણે અજાણ્યા ચલો શોધીએ છીએ.

જવાબ:

નૉૅધ.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, અંદાજિત ગણતરીઓ ટાળવી જોઈએ, કારણ કે આ સંપૂર્ણપણે ખોટા પરિણામો તરફ દોરી શકે છે. અમે દશાંશને ગોળાકાર ન કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ. થી વધુ સારું દશાંશસામાન્ય અપૂર્ણાંક તરફ આગળ વધો.

ઉદાહરણ.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો .

ઉકેલ.

નોંધ કરો કે આ ઉદાહરણમાં અજાણ્યા ચલો અલગ હોદ્દો ધરાવે છે (x 1, x 2, x 3 નહીં, પરંતુ x, y, z). ચાલો સામાન્ય અપૂર્ણાંકો તરફ આગળ વધીએ:

ચાલો સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા xને બાકાત કરીએ:

પરિણામી સિસ્ટમમાં, અજ્ઞાત ચલ y બીજા સમીકરણમાં ગેરહાજર છે, પરંતુ y ત્રીજા સમીકરણમાં હાજર છે, તેથી, ચાલો બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોને સ્વેપ કરીએ:

આ ગૌસ પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિને પૂર્ણ કરે છે (ત્રીજા સમીકરણમાંથી y ને બાકાત રાખવાની કોઈ જરૂર નથી, કારણ કે આ અજ્ઞાત ચલ હવે અસ્તિત્વમાં નથી).

ચાલો વિપરીત ચાલ શરૂ કરીએ.

છેલ્લા સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ ,
ઉપાંત્યમાંથી


આપણી પાસે પ્રથમ સમીકરણથી

જવાબ:

X = 10, y = 5, z = -20.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યાઓની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી નથી અથવા ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ એકવચન છે.

સમીકરણોની પ્રણાલીઓ, જેનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ લંબચોરસ અથવા ચોરસ એકવચન છે, તેમાં કોઈ ઉકેલો ન હોઈ શકે, એક જ ઉકેલ હોઈ શકે અથવા અસંખ્ય ઉકેલો હોઈ શકે.

હવે આપણે સમજીશું કે કેવી રીતે ગૌસ પદ્ધતિ આપણને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા અથવા અસંગતતા સ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, અને તેની સુસંગતતાના કિસ્સામાં, બધા ઉકેલો (અથવા એક જ ઉકેલ) નક્કી કરો.

સૈદ્ધાંતિક રીતે, આવા SLAE ના કિસ્સામાં અજાણ્યા ચલોને દૂર કરવાની પ્રક્રિયા સમાન રહે છે. જો કે, કેટલીક પરિસ્થિતિઓ જે ઊભી થઈ શકે છે તેના વિશે વિગતવાર જવું યોગ્ય છે.

ચાલો સૌથી મહત્વપૂર્ણ તબક્કામાં આગળ વધીએ.

તેથી, ચાલો ધારીએ કે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ, ગૌસ પદ્ધતિની આગળની પ્રગતિ પૂર્ણ કર્યા પછી, સ્વરૂપ લે છે અને એક પણ સમીકરણ ઘટાડવામાં આવ્યું ન હતું (આ કિસ્સામાં અમે તારણ કરીશું કે સિસ્ટમ અસંગત છે). એક તાર્કિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: "આગળ શું કરવું"?

ચાલો આપણે અજ્ઞાત ચલો લખીએ જે પરિણામી સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાં પ્રથમ આવે છે:

અમારા ઉદાહરણમાં આ x 1, x 4 અને x 5 છે. સિસ્ટમના સમીકરણોની ડાબી બાજુએ આપણે ફક્ત તે જ શબ્દો છોડીએ છીએ જેમાં લખેલા અજ્ઞાત ચલો x 1, x 4 અને x 5 હોય છે, બાકીના શબ્દો વિરુદ્ધ ચિહ્ન સાથે સમીકરણોની જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત થાય છે:

ચાલો અજ્ઞાત ચલો આપીએ જે સમીકરણોની મનસ્વી મૂલ્યોની જમણી બાજુએ છે, જ્યાં - મનસ્વી સંખ્યાઓ:

આ પછી, અમારા SLAE ના તમામ સમીકરણોની જમણી બાજુએ સંખ્યાઓ હોય છે અને આપણે ગૌસીયન પદ્ધતિના વિપરીત તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ.

આપણી પાસે રહેલી સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી, ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી આપણે શોધીએ છીએ, પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણને મળે છે

સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ એ અજાણ્યા ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ છે

નંબર આપતા વિવિધ મૂલ્યો, આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમના વિવિધ ઉકેલો મેળવીશું. એટલે કે, આપણી સમીકરણોની સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.

જવાબ:

જ્યાં - મનસ્વી સંખ્યાઓ.

સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, અમે ઘણા વધુ ઉદાહરણોના ઉકેલોનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું.

ઉદાહરણ.

નક્કી કરો સજાતીય સિસ્ટમરેખીય બીજગણિત સમીકરણો ગૌસ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

ચાલો સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ચલ xને બાકાત કરીએ. આ કરવા માટે, બીજા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ, અમે અનુક્રમે, પ્રથમ સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ઉમેરીએ છીએ, જેનો ગુણાકાર , અને ત્રીજા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુએ, આપણે ડાબી અને જમણી બાજુ ઉમેરીએ છીએ. પ્રથમ સમીકરણની જમણી બાજુઓ, વડે ગુણાકાર:

હવે પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણમાંથી y ને બાકાત કરીએ:

પરિણામી SLAE સિસ્ટમની સમકક્ષ છે .

અમે સિસ્ટમ સમીકરણોની ડાબી બાજુએ ફક્ત અજ્ઞાત ચલ x અને y ધરાવતાં શબ્દો છોડીએ છીએ, અને અજ્ઞાત ચલ z સાથેની શરતોને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ:

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની એક સિસ્ટમ આપવા દો જેને ઉકેલવાની જરૂર છે (અજ્ઞાત xi ના આવા મૂલ્યો શોધો જે સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સમાનતામાં ફેરવે).

આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ આ કરી શકે છે:

1) કોઈ ઉકેલ નથી (હો બિન-સંયુક્ત).
2) અનંત ઘણા ઉકેલો છે.
3) એક જ ઉપાય છે.

જેમ આપણે યાદ રાખીએ છીએ, ક્રેમરનો નિયમ અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિએવા કિસ્સાઓમાં અયોગ્ય છે કે જ્યાં સિસ્ટમમાં અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો હોય અથવા અસંગત હોય. ગૌસ પદ્ધતિ – રેખીય સમીકરણોની કોઈપણ સિસ્ટમના ઉકેલો શોધવા માટેનું સૌથી શક્તિશાળી અને બહુમુખી સાધન, જે દરેક કિસ્સામાંઅમને જવાબ તરફ દોરી જશે! બધામાં જ પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ ત્રણ કેસએ જ કામ કરે છે. જો ક્રેમર અને મેટ્રિક્સ પદ્ધતિને નિર્ણાયકોના જ્ઞાનની જરૂર હોય, તો ગૌસ પદ્ધતિ લાગુ કરવા માટે તમારે માત્ર જ્ઞાનની જરૂર છે અંકગણિત કામગીરી, જે તેને પ્રાથમિક શાળાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પણ સુલભ બનાવે છે.

ઓગમેન્ટેડ મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશન્સ ( આ સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ છે - એક મેટ્રિક્સ જે ફક્ત અજાણ્યાના ગુણાંકથી બનેલું છે, ઉપરાંત મફત શરતોની કૉલમ)ગૌસ પદ્ધતિમાં રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો:

1) સાથે ટ્રોકીમેટ્રિસિસ કરી શકે છે ફરીથી ગોઠવોકેટલાક સ્થળોએ.

2) જો મેટ્રિક્સમાં પ્રમાણસર દેખાય છે (અથવા અસ્તિત્વમાં છે). ખાસ કેસ- સમાન) રેખાઓ, પછી તે અનુસરે છે કાઢી નાખોમેટ્રિક્સમાંથી એક સિવાય આ બધી પંક્તિઓ.

3) જો પરિવર્તન દરમિયાન મેટ્રિક્સમાં શૂન્ય પંક્તિ દેખાય છે, તો તે પણ હોવી જોઈએ કાઢી નાખો.

4) મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ હોઈ શકે છે ગુણાકાર (ભાગાકાર)શૂન્ય સિવાયની કોઈપણ સંખ્યા માટે.

5) મેટ્રિક્સની એક પંક્તિ સુધી તમે કરી શકો છો સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને બીજી સ્ટ્રિંગ ઉમેરો, શૂન્યથી અલગ.

ગૌસ પદ્ધતિમાં, પ્રાથમિક રૂપાંતરણો સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલને બદલતા નથી.

ગૌસ પદ્ધતિમાં બે તબક્કાઓ શામેલ છે:

1. "ડાયરેક્ટ મૂવ" - પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને "ત્રિકોણાકાર" સ્ટેપ ફોર્મમાં લાવો: મુખ્ય કર્ણની નીચે સ્થિત વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના તત્વો શૂન્ય (ટોપ-ડાઉન ચાલ) ની બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે, આ પ્રકાર માટે:

આ કરવા માટે, નીચેના પગલાંઓ કરો:

1) ચાલો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ અને x 1 માટે ગુણાંક K બરાબર છે. બીજું, ત્રીજું, વગેરે. અમે સમીકરણોને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરીએ છીએ: અમે દરેક સમીકરણમાં અજ્ઞાત x 1 ના ગુણાંક દ્વારા દરેક સમીકરણ (અજાણ્યાના ગુણાંક, મુક્ત શરતો સહિત) ને વિભાજીત કરીએ છીએ, અને K વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. આ પછી, આપણે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરીએ છીએ ( અજાણ્યા અને મુક્ત શબ્દોના ગુણાંક). બીજા સમીકરણમાં x 1 માટે આપણે ગુણાંક 0 મેળવીએ છીએ. ત્રીજા રૂપાંતરિત સમીકરણમાંથી આપણે પ્રથમ સમીકરણને બાદ કરીએ ત્યાં સુધી પ્રથમ સિવાયના તમામ સમીકરણો, અજાણ્યા x 1 માટે, ગુણાંક 0 હોય.

2) ચાલો આગળના સમીકરણ પર જઈએ. ચાલો આ બીજું સમીકરણ હોઈએ અને x 2 બરાબર M નું ગુણાંક. આપણે ઉપર વર્ણવ્યા પ્રમાણે બધા "નીચલા" સમીકરણો સાથે આગળ વધીએ. આમ, અજ્ઞાત x 2 ની "નીચે" બધા સમીકરણોમાં શૂન્ય હશે.

3) આગલા સમીકરણ પર આગળ વધો અને આ રીતે જ્યાં સુધી એક છેલ્લું અજ્ઞાત ન રહે અને રૂપાંતરિત મુક્ત શબ્દ બાકી રહે.

1. ગૌસ પદ્ધતિની "વિપરીત ચાલ" એ રેખીય બીજગણિત સમીકરણો ("બોટમ-અપ" ચાલ) ની સિસ્ટમનો ઉકેલ મેળવવાનો છે. છેલ્લા "નીચલા" સમીકરણમાંથી આપણે એક પ્રથમ ઉકેલ મેળવીએ છીએ - અજ્ઞાત x n. આ કરવા માટે, અમે પ્રાથમિક સમીકરણ A * x n = B ઉકેલીએ છીએ. ઉપર આપેલા ઉદાહરણમાં, x 3 = 4. અમે "ઉપલા" આગલા સમીકરણમાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ અને તેને આગલા અજ્ઞાતના સંદર્ભમાં હલ કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, x 2 – 4 = 1, એટલે કે. x 2 = 5. અને જ્યાં સુધી આપણે બધા અજાણ્યા શોધીએ ત્યાં સુધી.

ઉદાહરણ.

ચાલો ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરીએ, જેમ કે કેટલાક લેખકો સલાહ આપે છે:

ચાલો સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સને લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

અમે ઉપર ડાબી બાજુ "પગલું" જોઈએ છીએ. આપણે ત્યાં એક હોવું જોઈએ. સમસ્યા એ છે કે પ્રથમ કૉલમમાં કોઈ એકમો નથી, તેથી પંક્તિઓને ફરીથી ગોઠવવાથી કંઈપણ હલ થશે નહીં. આવા કિસ્સાઓમાં, એકમ પ્રાથમિક પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને ગોઠવાયેલ હોવું જોઈએ. આ સામાન્ય રીતે ઘણી રીતે કરી શકાય છે. ચાલો આ કરીએ:
1 પગલું . પ્રથમ લીટીમાં આપણે બીજી લીટી ઉમેરીએ છીએ, -1 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. એટલે કે, અમે માનસિક રીતે બીજી લાઇનને –1 વડે ગુણાકાર કરી અને પ્રથમ અને બીજી લાઇન ઉમેરી, જ્યારે બીજી લાઇન બદલાઈ નહીં.

હવે ઉપર ડાબી બાજુએ “માઈનસ વન” છે, જે આપણને ખૂબ અનુકૂળ આવે છે. કોઈપણ જે +1 મેળવવા માંગે છે તે વધારાની ક્રિયા કરી શકે છે: પ્રથમ લીટીને –1 વડે ગુણાકાર કરો (તેનું ચિહ્ન બદલો).

પગલું 2 . પ્રથમ લીટી, 5 વડે ગુણાકાર, બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી. પ્રથમ લીટી, 3 વડે ગુણાકાર, ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી.

પગલું 3 . પ્રથમ લાઇનને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો, સૈદ્ધાંતિક રીતે, આ સુંદરતા માટે છે. ત્રીજી લાઇનનું ચિહ્ન પણ બદલાયું હતું અને તેને બીજા સ્થાને ખસેડવામાં આવ્યું હતું, જેથી બીજા "પગલાં" પર અમારી પાસે જરૂરી એકમ હતું.

પગલું 4 . ત્રીજી લાઇન બીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, જેનો 2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

પગલું 5 . ત્રીજી લાઇનને 3 વડે વિભાજિત કરવામાં આવી હતી.

એક ચિહ્ન જે ગણતરીમાં ભૂલ સૂચવે છે (વધુ ભાગ્યે જ, ટાઇપો) એ "ખરાબ" બોટમ લાઇન છે. એટલે કે, જો આપણને નીચે (0 0 11 |23) જેવું કંઈક મળ્યું હોય, અને તે મુજબ, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, તો પછી ઉચ્ચ ડિગ્રી સંભાવના સાથે આપણે કહી શકીએ કે પ્રાથમિક દરમિયાન ભૂલ થઈ હતી. પરિવર્તનો

ચાલો ઊલટું કરીએ; ઉદાહરણોની રચનામાં, સિસ્ટમ પોતે ઘણીવાર ફરીથી લખાતી નથી, પરંતુ સમીકરણો "આપેલ મેટ્રિક્સમાંથી સીધા લેવામાં આવે છે." વિપરીત ચાલ, હું તમને યાદ કરાવું છું, નીચેથી ઉપર કામ કરે છે. આ ઉદાહરણમાં, પરિણામ ભેટ હતું:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, તેથી x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

જવાબ આપો:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

ચાલો સૂચિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સમાન સિસ્ટમને હલ કરીએ. અમને મળે છે

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

બીજા સમીકરણને 5 વડે અને ત્રીજાને 3 વડે વિભાજીત કરો. આપણને મળે છે:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

બીજા અને ત્રીજા સમીકરણને 4 વડે ગુણાકાર કરવાથી આપણને મળે છે:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

બીજા અને ત્રીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરો, અમારી પાસે છે:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

ત્રીજા સમીકરણને 0.64 વડે વિભાજીત કરો:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

ત્રીજા સમીકરણને 0.4 વડે ગુણાકાર કરો

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ત્રીજા સમીકરણમાંથી બીજાને બાદ કરીને, આપણે "સ્ટેપ્ડ" વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

આમ, ગણતરી દરમિયાન ભૂલ એકઠી થઈ હોવાથી, આપણે x 3 = 0.96 અથવા આશરે 1 મેળવીએ છીએ.

x 2 = 3 અને x 1 = –1.

આ રીતે ઉકેલવાથી, તમે ગણતરીમાં ક્યારેય ગૂંચવશો નહીં અને, ગણતરીની ભૂલો હોવા છતાં, તમને પરિણામ મળશે.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવાની આ પદ્ધતિ પ્રોગ્રામ કરવા માટે સરળ છે અને તે ધ્યાનમાં લેતી નથી ચોક્કસ લક્ષણોઅજ્ઞાત માટે ગુણાંક, કારણ કે વ્યવહારમાં (આર્થિક અને તકનીકી ગણતરીઓમાં) વ્યક્તિએ બિન-પૂર્ણાંક ગુણાંક સાથે વ્યવહાર કરવો પડે છે.

હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું! વર્ગમાં મળીશું! શિક્ષક.

blog.site, જ્યારે સામગ્રીની સંપૂર્ણ અથવા આંશિક નકલ કરતી વખતે, મૂળ સ્ત્રોતની લિંક આવશ્યક છે.

સિસ્ટમ આપવા દો, ∆≠0. (1)
ગૌસ પદ્ધતિક્રમિક રીતે અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની પદ્ધતિ છે.

ગૌસ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે (1) ને ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સવાળી સિસ્ટમમાં રૂપાંતરિત કરવું, જેમાંથી તમામ અજ્ઞાતના મૂલ્યો પછી ક્રમિક રીતે (વિપરીત) મેળવવામાં આવે છે. ચાલો એક કોમ્પ્યુટેશનલ સ્કીમનો વિચાર કરીએ. આ સર્કિટને સિંગલ ડિવિઝન સર્કિટ કહેવામાં આવે છે. તો ચાલો આ રેખાકૃતિ જોઈએ. 11 ≠0 (અગ્રણી તત્વ) ને પ્રથમ સમીકરણને 11 વડે ભાગવા દો. અમને મળે છે
(2)
સમીકરણ (2) નો ઉપયોગ કરીને, સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા x 1 ને દૂર કરવું સરળ છે (આ કરવા માટે, દરેક સમીકરણમાંથી સમીકરણ (2) બાદબાકી કરવા માટે તે પૂરતું છે, અગાઉ x 1 માટે અનુરૂપ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો) , એટલે કે, પ્રથમ પગલામાં આપણે મેળવીએ છીએ
.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પગલું 1 પર, અનુગામી પંક્તિઓનું દરેક ઘટક, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે મૂળ તત્વ અને તેના પ્રથમ કૉલમ અને પ્રથમ (રૂપાંતરિત) પંક્તિ પરના "પ્રોજેક્શન" ના ઉત્પાદન વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે.
આ પછી, પ્રથમ સમીકરણને એકલા છોડીને, અમે પ્રથમ પગલામાં મેળવેલા સિસ્ટમના બાકીના સમીકરણો પર સમાન રૂપાંતર કરીએ છીએ: અમે તેમાંથી અગ્રણી તત્વ સાથેનું સમીકરણ પસંદ કરીએ છીએ અને તેની મદદથી, બાકીનામાંથી x 2 ને બાકાત કરીએ છીએ. સમીકરણો (પગલું 2).
n પગલાંઓ પછી, (1) ને બદલે, આપણે સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ
(3)
આમ, પ્રથમ તબક્કે આપણે ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમ (3) મેળવીએ છીએ. આ તબક્કાને ફોરવર્ડ સ્ટ્રોક કહેવામાં આવે છે.
બીજા તબક્કે (વિપરીત), આપણે (3) x n, x n -1, ..., x 1 મૂલ્યોમાંથી ક્રમિક રીતે શોધીએ છીએ.
ચાલો પરિણામી ઉકેલને x 0 તરીકે દર્શાવીએ. પછી તફાવત ε=b-A x 0 શેષ કહેવાય છે.
જો ε=0 હોય, તો મળેલ ઉકેલ x 0 સાચો છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ બે તબક્કામાં કરવામાં આવે છે:

1. પ્રથમ તબક્કાને ફોરવર્ડ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે. પ્રથમ તબક્કે, મૂળ સિસ્ટમ ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
2. બીજા તબક્કાને રિવર્સ સ્ટ્રોક કહેવામાં આવે છે. બીજા તબક્કે, મૂળની સમકક્ષ ત્રિકોણાકાર સિસ્ટમ ઉકેલાય છે.

ગુણાંક a 11, a 22, ... ને અગ્રણી તત્વો કહેવામાં આવે છે.
દરેક પગલા પર, અગ્રણી તત્વ બિનશૂન્ય હોવાનું માનવામાં આવતું હતું. જો આ કિસ્સો ન હોય તો, સિસ્ટમના સમીકરણોને ફરીથી ગોઠવતા હોય તેમ, અન્ય કોઈપણ તત્વનો અગ્રણી તત્વ તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે.

ગૌસ પદ્ધતિનો હેતુ

ગૌસ પદ્ધતિ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે રચાયેલ છે. સીધી ઉકેલ પદ્ધતિઓનો સંદર્ભ આપે છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિના પ્રકાર

1. શાસ્ત્રીય ગૌસીયન પદ્ધતિ;
2. ગૌસ પદ્ધતિના ફેરફારો. ગૌસીયન પદ્ધતિના ફેરફારોમાંની એક એ મુખ્ય તત્વની પસંદગી સાથેની યોજના છે. મુખ્ય તત્વની પસંદગી સાથે ગૌસ પદ્ધતિની વિશેષતા એ સમીકરણોની આવી પુનઃ ગોઠવણી છે જેથી kth સ્ટેપ પર અગ્રણી તત્વ kth સ્તંભમાં સૌથી મોટું તત્વ હોવાનું બહાર આવે.
3. જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિ;

જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિ અને શાસ્ત્રીય પદ્ધતિ વચ્ચેનો તફાવત ગૌસ પદ્ધતિજ્યારે ઉકેલ શોધવાની દિશા મુખ્ય કર્ણ (ઓળખ મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતર) સાથે થાય છે ત્યારે લંબચોરસ નિયમ લાગુ કરવામાં આવે છે. ગૌસ પદ્ધતિમાં, ઉકેલ શોધવાની દિશા સ્તંભો સાથે થાય છે (ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સવાળી સિસ્ટમમાં પરિવર્તન).
ચાલો તફાવત સમજાવીએ જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિઉદાહરણો સાથે ગૌસીયન પદ્ધતિમાંથી.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલનું ઉદાહરણ
ચાલો સિસ્ટમ હલ કરીએ:

ગણતરીની સરળતા માટે, ચાલો લીટીઓને સ્વેપ કરીએ:

ચાલો બીજી લીટીને (2) વડે ગુણાકાર કરીએ. 2જીમાં 3જી લાઇન ઉમેરો

2જી લીટીને (-1) વડે ગુણાકાર કરો. 1 લી માં 2જી લાઇન ઉમેરો

1લી લીટીથી આપણે x 3 વ્યક્ત કરીએ છીએ:
2જી લીટીથી આપણે x 2 વ્યક્ત કરીએ છીએ:
3જી લાઇનથી આપણે x 1 વ્યક્ત કરીએ છીએ:

જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલનું ઉદાહરણ
ચાલો Jordano-Gauss પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમાન SLAE ઉકેલીએ.

અમે ક્રમિક રીતે રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટ RE પસંદ કરીશું, જે મેટ્રિક્સના મુખ્ય કર્ણ પર આવેલું છે.
રિઝોલ્યુશન તત્વ (1) ની બરાબર છે.



NE = SE - (A*B)/RE
RE - રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટ (1), A અને B - મેટ્રિક્સ તત્વો STE અને RE તત્વો સાથે લંબચોરસ બનાવે છે.
ચાલો દરેક તત્વની ગણતરી કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરીએ:

x 1	x 2	x 3	બી
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

નિરાકરણ તત્વ (3) ની બરાબર છે.
રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટની જગ્યાએ આપણને 1 મળે છે, અને કોલમમાં જ આપણે શૂન્ય લખીએ છીએ.
મેટ્રિક્સના અન્ય તમામ ઘટકો, કૉલમ B ના ઘટકો સહિત, લંબચોરસ નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આ કરવા માટે, અમે ચાર નંબરો પસંદ કરીએ છીએ જે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત છે અને તેમાં હંમેશા રિઝોલ્વિંગ તત્વ RE શામેલ છે.

x 1	x 2	x 3	બી
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

રિઝોલ્યુશન એલિમેન્ટ (-4) છે.
રિઝોલ્વિંગ એલિમેન્ટની જગ્યાએ આપણને 1 મળે છે, અને કોલમમાં જ આપણે શૂન્ય લખીએ છીએ.
મેટ્રિક્સના અન્ય તમામ ઘટકો, કૉલમ B ના ઘટકો સહિત, લંબચોરસ નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
આ કરવા માટે, અમે ચાર નંબરો પસંદ કરીએ છીએ જે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત છે અને તેમાં હંમેશા રિઝોલ્વિંગ તત્વ RE શામેલ છે.
ચાલો દરેક તત્વની ગણતરી કોષ્ટકના રૂપમાં રજૂ કરીએ:

x 1	x 2	x 3	બી
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

જવાબ આપો: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

ગૌસીયન પદ્ધતિનો અમલ

ગૌસિયન પદ્ધતિ ઘણી પ્રોગ્રામિંગ ભાષાઓમાં લાગુ કરવામાં આવે છે, ખાસ કરીને: પાસ્કલ, C++, php, ડેલ્ફી, અને ગૌસિયન પદ્ધતિનું ઑનલાઇન અમલીકરણ પણ છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને

ગેમ થિયરીમાં ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ

ગેમ થિયરીમાં, જ્યારે ખેલાડીની મહત્તમ શ્રેષ્ઠ વ્યૂહરચના શોધવામાં આવે છે, ત્યારે સમીકરણોની સિસ્ટમનું સંકલન કરવામાં આવે છે, જે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલાય છે.

વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવામાં ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ

વિભેદક સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે, પ્રથમ લેખિત આંશિક ઉકેલ (y=f(A,B,C,D)) માટે યોગ્ય ડિગ્રીના વ્યુત્પન્ન શોધો, જે આમાં અવેજી કરવામાં આવે છે. મૂળ સમીકરણ. શોધવા માટે આગળ ચલ A, B, C, Dસમીકરણોની સિસ્ટમ ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા સંકલિત અને ઉકેલવામાં આવે છે.

રેખીય પ્રોગ્રામિંગમાં જોર્ડાનો-ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ

IN રેખીય પ્રોગ્રામિંગ, ખાસ કરીને, સિમ્પ્લેક્સ પદ્ધતિમાં, લંબચોરસ નિયમ, જે જોર્ડાનો-ગૉસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે, તેનો ઉપયોગ દરેક પુનરાવૃત્તિ પર સિમ્પ્લેક્સ કોષ્ટકને બદલવા માટે થાય છે.

કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસ, મહાન ગણિતશાસ્ત્રી ઘણા સમય સુધીફિલસૂફી અને ગણિત વચ્ચે પસંદગી કરતા અચકાતા. કદાચ તે ચોક્કસપણે આ માનસિકતા હતી જેણે તેને વિશ્વ વિજ્ઞાનમાં આવા નોંધપાત્ર "વારસો" બનાવવાની મંજૂરી આપી. ખાસ કરીને, "ગૌસ પદ્ધતિ" બનાવીને ...

લગભગ 4 વર્ષથી, આ સાઇટ પરના લેખો શાળાના શિક્ષણ સાથે સંકળાયેલા છે, મુખ્યત્વે ફિલસૂફીના દૃષ્ટિકોણથી, બાળકોના મનમાં દાખલ થયેલા (ખોટી) સમજણના સિદ્ધાંતો. વધુ સ્પષ્ટીકરણો, ઉદાહરણો અને પદ્ધતિઓનો સમય આવી રહ્યો છે... હું માનું છું કે આ પરિચિત, મૂંઝવણ અને મહત્વપૂર્ણજીવનના ક્ષેત્રો વધુ સારા પરિણામો આપે છે.

અમે લોકો એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે કે આપણે ગમે તેટલી વાત કરીએ અમૂર્ત વિચાર, પરંતુ સમજવુ હંમેશાઉદાહરણો દ્વારા થાય છે. જો કોઈ દાખલા ન હોય, તો સિદ્ધાંતોને સમજવું અશક્ય છે... જેમ પગથી આખો ઢોળાવ ચાલ્યા સિવાય પર્વતની ટોચ પર પહોંચવું અશક્ય છે.

શાળા સાથે સમાન: હમણાં માટે જીવંત વાર્તાઓતે પૂરતું નથી કે આપણે સહજપણે તેને એક એવી જગ્યા તરીકે માનતા રહીએ જ્યાં બાળકોને સમજવાનું શીખવવામાં આવે.

ઉદાહરણ તરીકે, ગૌસીયન પદ્ધતિ શીખવવી...

5મા ધોરણની શાળામાં ગૌસ પદ્ધતિ

મને તરત જ આરક્ષણ કરવા દો: ગૌસીયન પદ્ધતિમાં ઘણું બધું છે વિશાળ એપ્લિકેશન, ઉદાહરણ તરીકે, ઉકેલતી વખતે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. આપણે જેની વાત કરીશું તે 5મા ધોરણમાં થાય છે. આ શરૂ કર્યું, જે સમજ્યા પછી, વધુ "અદ્યતન વિકલ્પો" ને સમજવું વધુ સરળ છે. આ લેખમાં આપણે તેના વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ શ્રેણીનો સરવાળો શોધવા માટે ગૌસની પદ્ધતિ (પદ્ધતિ).

અહીં એક ઉદાહરણ છે જે હું શાળામાંથી લાવ્યો છું નાનો પુત્ર, મોસ્કોના અખાડામાં 5મા ધોરણમાં ભણે છે.

ગૌસ પદ્ધતિનું શાળા પ્રદર્શન

ગણિત શિક્ષકનો ઉપયોગ કરે છે ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ (આધુનિક પદ્ધતિઓતાલીમ) બાળકોને નાના ગૌસ દ્વારા "પદ્ધતિની રચના" ના ઇતિહાસની રજૂઆત બતાવી.

શાળાના શિક્ષકે નાના કાર્લને ચાબુક માર્યા (એક જૂની પદ્ધતિ, જે આજકાલ શાળાઓમાં ઉપયોગમાં લેવાતી નથી) કારણ કે તે

ક્રમશઃ 1 થી 100 સુધીની સંખ્યાઓ ઉમેરવાને બદલે, તેમનો સરવાળો શોધો નોંધ્યુંઅંકગણિત પ્રગતિની ધારથી સમાન અંતરે આવેલ સંખ્યાઓની જોડી સમાન સંખ્યામાં ઉમેરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 100 અને 1, 99 અને 2. આવી જોડીની સંખ્યાની ગણતરી કર્યા પછી, નાના ગૌસે લગભગ તરત જ શિક્ષક દ્વારા પ્રસ્તાવિત સમસ્યાનું નિરાકરણ કર્યું. જેના માટે તેને આશ્ચર્યચકિત જનતાની સામે ફાંસી આપવામાં આવી હતી. જેથી અન્ય લોકો વિચારવાથી નિરાશ થાય.

નાના ગૌસે શું કર્યું? વિકસિત નંબર સેન્સ? નોંધ્યુંકેટલીક વિશેષતાસતત પગલા સાથે સંખ્યા શ્રેણી (અંકગણિત પ્રગતિ). અને બરાબર આબાદમાં તેમને મહાન વૈજ્ઞાનિક બનાવ્યા, જેઓ જાણે છે કે કેવી રીતે ધ્યાન આપવું, કર્યા લાગણી, સમજણની વૃત્તિ.

તેથી જ ગણિત મૂલ્યવાન છે, વિકાસશીલ છે જોવાની ક્ષમતાસામાન્ય રીતે ખાસ કરીને - અમૂર્ત વિચાર . તેથી, મોટાભાગના માતાપિતા અને નોકરીદાતાઓ સહજ રીતે ગણિતને એક મહત્વપૂર્ણ શિસ્ત ગણો ...

“તો તમારે ગણિત શીખવાની જરૂર છે, કારણ કે તે તમારા મનને વ્યવસ્થિત રાખે છે.
એમ.વી. લોમોનોસોવ".

જો કે, સળિયા વડે ભાવિ પ્રતિભાઓને કોરડા મારનારાઓના અનુયાયીઓએ પદ્ધતિને કંઈક વિરુદ્ધમાં ફેરવી દીધી. જેમ કે મારા મિત્રએ 35 વર્ષ પહેલા કહ્યું હતું વૈજ્ઞાનિક સલાહકાર: "તેઓ પ્રશ્ન શીખ્યા." અથવા મારા સૌથી નાના પુત્રએ ગઈકાલે ગૌસની પદ્ધતિ વિશે કહ્યું હતું: "કદાચ આમાંથી કોઈ મોટું વિજ્ઞાન બનાવવું યોગ્ય નથી, હં?"

"વૈજ્ઞાનિકો" ની સર્જનાત્મકતાના પરિણામો વર્તમાન શાળાના ગણિતના સ્તર, તેના શિક્ષણના સ્તર અને બહુમતી દ્વારા "વિજ્ઞાનની રાણી" ની સમજમાં દેખાય છે.

જો કે, ચાલો ચાલુ રાખીએ...

5મા ધોરણની શાળામાં ગૌસ પદ્ધતિ સમજાવવા માટેની પદ્ધતિઓ

મોસ્કોના વ્યાયામશાળામાં ગણિતના શિક્ષક, વિલેન્કિન અનુસાર ગૌસ પદ્ધતિ સમજાવતા, કાર્યને જટિલ બનાવ્યું.

જો અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત (પગલું) એક નહીં, પરંતુ બીજી સંખ્યા હોય તો શું? ઉદાહરણ તરીકે, 20.

તેણે પાંચમા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓને આપેલી સમસ્યા:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

જીમ્નેશિયમ પદ્ધતિથી પરિચિત થતાં પહેલાં, ચાલો ઇન્ટરનેટ પર એક નજર કરીએ: શાળાના શિક્ષકો અને ગણિતના શિક્ષકો તે કેવી રીતે કરે છે?..

ગૌસીયન પદ્ધતિ: સમજૂતી નંબર 1

તેમની YOUTUBE ચેનલ પર એક જાણીતા શિક્ષક નીચે મુજબનો તર્ક આપે છે:

"ચાલો 1 થી 100 સુધીની સંખ્યા નીચે પ્રમાણે લખીએ:

પ્રથમ 1 થી 50 સુધીની સંખ્યાઓની શ્રેણી, અને તેની નીચે 50 થી 100 સુધીની સંખ્યાઓની બીજી શ્રેણી, પરંતુ વિપરીત ક્રમમાં"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"કૃપા કરીને નોંધ કરો: ઉપર અને નીચેની પંક્તિઓમાંથી સંખ્યાઓની દરેક જોડીનો સરવાળો સમાન છે અને 101 બરાબર છે! ચાલો જોડીની સંખ્યા ગણીએ, તે 50 છે અને એક જોડીના સરવાળાને જોડીની સંખ્યાથી ગુણાકાર કરીએ! Voila: The જવાબ તૈયાર છે!"

"જો તમે સમજી શકતા નથી, તો અસ્વસ્થ થશો નહીં!" શિક્ષકે સમજૂતી દરમિયાન ત્રણ વાર પુનરાવર્તન કર્યું. "તમે આ પદ્ધતિ 9મા ધોરણમાં લેશો!"

ગૌસીયન પદ્ધતિ: સમજૂતી નંબર 2

અન્ય ટ્યુટર, ઓછા જાણીતા (દૃશ્યોની સંખ્યાને આધારે), વધુ વૈજ્ઞાનિક અભિગમ અપનાવે છે, 5 પોઈન્ટનું સોલ્યુશન અલ્ગોરિધમ ઓફર કરે છે જે ક્રમિક રીતે પૂર્ણ થવું આવશ્યક છે.

બિન-દીક્ષિત લોકો માટે, 5 એ પરંપરાગત રીતે જાદુઈ ગણાતી ફિબોનાકી સંખ્યાઓમાંથી એક છે. ઉદાહરણ તરીકે, 6 પગલાની પદ્ધતિ કરતાં 5 પગલાની પદ્ધતિ હંમેશા વધુ વૈજ્ઞાનિક હોય છે. ...અને આ ભાગ્યે જ કોઈ અકસ્માત છે, મોટે ભાગે, લેખક ફિબોનાકી સિદ્ધાંતના છુપાયેલા સમર્થક છે.

દાના અંકગણિત પ્રગતિ: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીમાં સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ:

પગલું 1: આપેલ સંખ્યાઓનો ક્રમ વિપરીતમાં ફરીથી લખો, બરાબરપ્રથમ હેઠળ.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

પગલું 2: ઊભી પંક્તિઓમાં સ્થિત સંખ્યાઓની જોડીના સરવાળાની ગણતરી કરો: 260.

પગલું 3: સંખ્યા શ્રેણીમાં આવી કેટલી જોડી છે તેની ગણતરી કરો. આ કરવા માટે, સંખ્યા શ્રેણીની મહત્તમ સંખ્યામાંથી લઘુત્તમ બાદબાકી કરો અને પગલાના કદ દ્વારા વિભાજીત કરો: (256 - 4) / 6 = 42.

તે જ સમયે, તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે વત્તા એક નિયમ : આપણે પરિણામી અવશેષમાં એક ઉમેરવો જોઈએ: અન્યથા આપણને એવું પરિણામ મળશે જે જોડીની સાચી સંખ્યા કરતા એક વડે ઓછું હશે: 42 + 1 = 43.

પગલું 4: સંખ્યાઓની એક જોડીના સરવાળાને જોડીની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો: 260 x 43 = 11,180

પગલું 5: કારણ કે અમે રકમની ગણતરી કરી છે સંખ્યાઓની જોડી, પછી પરિણામી રકમ બે વડે વિભાજિત થવી જોઈએ: 11,180 / 2 = 5590.

આ 6 ના તફાવત સાથે 4 થી 256 સુધીની અંકગણિત પ્રગતિનો જરૂરી સરવાળો છે!

ગૌસ પદ્ધતિ: મોસ્કોના અખાડામાં 5મા ધોરણમાં સમજૂતી

શ્રેણીનો સરવાળો શોધવાની સમસ્યાને કેવી રીતે હલ કરવી તે અહીં છે:

20+40+60+ ... +460+480+500

મોસ્કોના વ્યાયામશાળાના 5 મા ધોરણમાં, વિલેન્કિનની પાઠયપુસ્તક (મારા પુત્ર મુજબ).

પ્રસ્તુતિ બતાવ્યા પછી, ગણિત શિક્ષકે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને બે ઉદાહરણો બતાવ્યા અને વર્ગને 20 ની વૃદ્ધિમાં શ્રેણીમાં સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધવાનું કાર્ય આપ્યું.

આને નીચેનાની જરૂર છે:

પગલું 1: તમારી નોટબુકમાં શ્રેણીમાંના તમામ નંબરો લખવાની ખાતરી કરો 20 થી 500 સુધી (20 ના ઇન્ક્રીમેન્ટમાં).

પગલું 2: ક્રમિક શબ્દો લખો - સંખ્યાઓની જોડી:પ્રથમ છેલ્લી સાથે, બીજું ઉપાંત્ય સાથે, વગેરે. અને તેમની રકમની ગણતરી કરો.

પગલું 3: "સરવાળાના સરવાળા" ની ગણતરી કરો અને સમગ્ર શ્રેણીનો સરવાળો શોધો.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ વધુ કોમ્પેક્ટ છે અને અસરકારક તકનીક: નંબર 3 પણ ફિબોનાકી ક્રમનો સભ્ય છે

ગૌસ પદ્ધતિના શાળા સંસ્કરણ પર મારી ટિપ્પણીઓ

મહાન ગણિતશાસ્ત્રીએ ચોક્કસપણે ફિલસૂફી પસંદ કરી હોત, જો તેણે અનુમાન કર્યું હોત કે તેના અનુયાયીઓ તેની "પદ્ધતિ" કેવી રીતે ફેરવશે. જર્મન શિક્ષક, જેમણે કાર્લને સળિયા વડે માર માર્યો હતો. તેણે પ્રતીકવાદ, દ્વંદ્વાત્મક સર્પાકાર અને "શિક્ષકો" ની અમર મૂર્ખતા જોઈ હશે, ગેરસમજના બીજગણિત સાથે જીવંત ગાણિતિક વિચારોની સુમેળને માપવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છીએ ....

માર્ગ દ્વારા: શું તમે જાણો છો. કે આપણી શિક્ષણ પ્રણાલી 18મી અને 19મી સદીની જર્મન શાળામાં સમાયેલી છે?

પરંતુ ગૌસે ગણિત પસંદ કર્યું.

તેની પદ્ધતિનો સાર શું છે?

IN સરળીકરણ. IN અવલોકન અને પકડવુંસંખ્યાઓની સરળ પેટર્ન. IN શુષ્ક શાળા અંકગણિતમાં ફેરવવું રસપ્રદ અને ઉત્તેજક પ્રવૃત્તિ , મગજમાં ઊંચી કિંમતની માનસિક પ્રવૃત્તિને અવરોધવાને બદલે ચાલુ રાખવાની ઇચ્છાને સક્રિય કરે છે.

શું લગભગ અંકગણિતની પ્રગતિની સંખ્યાના સરવાળાની ગણતરી કરવા માટે આપેલ "ગૌસની પદ્ધતિના ફેરફારો"માંથી એકનો ઉપયોગ કરવો શક્ય છે? તરત? "એલ્ગોરિધમ્સ" અનુસાર, નાનકડા કાર્લને સ્પૅન્કિંગ ટાળવા, ગણિત પ્રત્યે અણગમો વિકસાવવા અને કળીમાં તેના સર્જનાત્મક આવેગને દબાવવાની ખાતરી આપવામાં આવશે.

શા માટે શિક્ષકે પાંચમા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓને પદ્ધતિની "ગેરસમજથી ડરશો નહીં" સલાહ આપી, તેમને ખાતરી આપી કે તેઓ 9મા ધોરણની શરૂઆતમાં "આવી" સમસ્યાઓ હલ કરશે? મનોવૈજ્ઞાનિક રીતે અભણ ક્રિયા. તે નોંધવું એક સારું પગલું હતું: "જુઓ? તમે પહેલેથી જ 5મા ધોરણમાં તમે કરી શકો છોતમે માત્ર 4 વર્ષમાં પૂર્ણ કરશો એવી સમસ્યાઓ ઉકેલો! તમે કેટલા મહાન સાથી છો!”

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે, વર્ગ 3 નું સ્તર પૂરતું છે, જ્યારે સામાન્ય બાળકો પહેલાથી જ જાણે છે કે કેવી રીતે 2-3 અંકોની સંખ્યાઓ ઉમેરવા, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરવો. પુખ્ત શિક્ષકોની અસમર્થતાને કારણે સમસ્યાઓ ઊભી થાય છે કે જેઓ "સંપર્કની બહાર" છે જે સામાન્ય માનવ ભાષામાં સરળ વસ્તુઓ સમજાવવા માટે, ગણિતનો ઉલ્લેખ કરતા નથી... તેઓ લોકોને ગણિતમાં રસ લેવા માટે અસમર્થ છે અને તેઓને પણ સંપૂર્ણપણે નિરાશ કરે છે જેઓ " સક્ષમ."

અથવા, જેમ કે મારા પુત્રએ ટિપ્પણી કરી: "તેમાંથી એક મોટું વિજ્ઞાન બનાવવું."

કેવી રીતે સામાન્ય કેસ) પદ્ધતિ નંબર 1 માં સંખ્યાઓના રેકોર્ડને "વિસ્તૃત" કરવા માટે કઈ સંખ્યાનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ તે શોધો?

જો શ્રેણીના સભ્યોની સંખ્યા વધી જાય તો શું કરવું એકી?

શા માટે "નિયમ પ્લસ 1" માં ફેરવો જે બાળક સરળ રીતે કરી શકે શીખોપ્રથમ ધોરણમાં પણ, જો મેં "સંખ્યાઓની ભાવના" વિકસાવી હોત, અને યાદ ન હતું"દસ દ્વારા ગણો"?

અને છેવટે: ZERO ક્યાં ગયું, એક તેજસ્વી શોધ જે 2,000 વર્ષથી વધુ જૂની છે અને જે આધુનિક ગણિતના શિક્ષકો ઉપયોગ કરવાનું ટાળે છે?!

ગૌસ પદ્ધતિ, મારા ખુલાસાઓ

મેં અને મારી પત્નીએ અમારા બાળકને આ "પદ્ધતિ" સમજાવી, એવું લાગે છે કે શાળા પહેલાં જ...

જટિલતાને બદલે સરળતા અથવા પ્રશ્નો અને જવાબોની રમત

"જુઓ, અહીં 1 થી 100 સુધીની સંખ્યાઓ છે. તમે શું જુઓ છો?"

મુદ્દો એ નથી કે બાળક બરાબર શું જુએ છે. યુક્તિ તેને જોવા માટે મેળવવા માટે છે.

"તમે તેમને એકસાથે કેવી રીતે મૂકી શકો?" પુત્રને સમજાયું કે આવા પ્રશ્નો "તેના જેવા" પૂછાતા નથી અને તમારે પ્રશ્નને "કોઈક અલગ રીતે, તે સામાન્ય રીતે કરતા અલગ રીતે" જોવાની જરૂર છે.

જો બાળક તરત જ ઉકેલ જુએ તો કોઈ વાંધો નથી, તે અસંભવિત છે. તે મહત્વનું છે કે તે જોવામાં ડરવાનું બંધ કર્યું, અથવા જેમ હું કહું છું: "કાર્ય ખસેડ્યું". આ સમજણની યાત્રાની શરૂઆત છે

"કયું સરળ છે: ઉમેરવું, ઉદાહરણ તરીકે, 5 અને 6 અથવા 5 અને 95?" એક અગ્રણી પ્રશ્ન... પરંતુ કોઈપણ તાલીમ વ્યક્તિને "જવાબ" માટે "માર્ગદર્શન" કરવા માટે નીચે આવે છે - કોઈપણ રીતે તેને સ્વીકાર્ય.

આ તબક્કે, ગણતરીઓ પર "સેવ" કેવી રીતે કરવું તે વિશે અનુમાન પહેલેથી જ ઉદ્ભવી શકે છે.

અમે જે કર્યું તે માત્ર સંકેત હતો: ગણતરીની "ફ્રન્ટલ, રેખીય" પદ્ધતિ એકમાત્ર શક્ય નથી. જો બાળક આ સમજે છે, તો પછી તે આવી બીજી ઘણી પદ્ધતિઓ સાથે આવશે, કારણ કે તે રસપ્રદ છે !!!અને તે ચોક્કસપણે ગણિતને "ગેરસમજ" ટાળશે અને તેનાથી અણગમો અનુભવશે નહીં. તેને જીત મળી!

જો બાળક શોધ્યુંકે સો સુધી ઉમેરાતા સંખ્યાઓની જોડી ઉમેરવા એ કેકનો ટુકડો છે "અંકગણિત પ્રગતિ 1 તફાવત સાથે"- બાળક માટે એક ખૂબ જ નિરાશાજનક અને રસહીન વસ્તુ - અચાનક તેના માટે જીવન મળ્યું . ઓર્ડર અરાજકતામાંથી ઉભરી આવ્યો, અને આ હંમેશા ઉત્સાહનું કારણ બને છે: તે રીતે આપણે બનેલા છીએ!

જવાબ આપવા માટેનો પ્રશ્ન: બાળકને મળેલી આંતરદૃષ્ટિ પછી, તેને ફરીથી શુષ્ક અલ્ગોરિધમ્સના માળખામાં શા માટે લઈ જવું જોઈએ, જે આ કિસ્સામાં કાર્યાત્મક રીતે નકામું પણ છે?!

શા માટે મૂર્ખ પુનઃલેખન દબાણ?નોટબુકમાં ક્રમ નંબરો: જેથી સક્ષમને પણ સમજવાની એક તક ન મળે? આંકડાકીય રીતે, અલબત્ત, પરંતુ સામૂહિક શિક્ષણ "આંકડા" તરફ સજ્જ છે...

શૂન્ય ક્યાં ગયું?

અને તેમ છતાં, 101 સુધી ઉમેરાતા સંખ્યાઓ કરતાં 100 સુધી ઉમેરાતી સંખ્યાઓ મનને વધુ સ્વીકાર્ય છે...

"ગૌસ શાળા પદ્ધતિ" ને બરાબર આની જરૂર છે: બેધ્યાનપણે ફોલ્ડ કરોપ્રગતિના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે સંખ્યાઓની જોડી, બધું હોવા છતાં.

જો તમે જુઓ તો શું?

તેમ છતાં, શૂન્ય એ માનવજાતની સૌથી મોટી શોધ છે, જે 2,000 વર્ષથી વધુ જૂની છે. અને ગણિત શિક્ષકો તેની અવગણના કરવાનું ચાલુ રાખે છે.

1 થી શરૂ થતી સંખ્યાઓની શ્રેણીને 0 થી શરૂ થતી શ્રેણીમાં રૂપાંતરિત કરવું ખૂબ સરળ છે. સરવાળો બદલાશે નહીં, શું તે થશે? તમારે "પાઠ્યપુસ્તકોમાં વિચારવાનું" બંધ કરવું પડશે અને જોવાનું શરૂ કરવું પડશે...અને જુઓ કે 101 ના સરવાળા સાથે જોડીને 100 ના સરવાળા સાથે જોડી દ્વારા સંપૂર્ણપણે બદલી શકાય છે!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

"વત્તા 1 નિયમ" કેવી રીતે નાબૂદ કરવો?

સાચું કહું તો, મેં સૌપ્રથમ તે YouTube ટ્યુટર પાસેથી આવા નિયમ વિશે સાંભળ્યું હતું...

જ્યારે મારે શ્રેણીના સભ્યોની સંખ્યા નક્કી કરવાની જરૂર હોય ત્યારે મારે શું કરવું જોઈએ?

હું ક્રમ જોઉં છું:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

અને જ્યારે તમે સંપૂર્ણપણે થાકી ગયા હો, તો પછી એક સરળ પંક્તિ પર આગળ વધો:

1, 2, 3, 4, 5

અને હું સમજું છું: જો તમે 5માંથી એક બાદ કરો છો, તો તમને 4 મળશે, પરંતુ હું એકદમ સ્પષ્ટ છું મેં જોયું 5 નંબરો! તેથી, તમારે એક ઉમેરવાની જરૂર છે! માં નંબર સેન્સનો વિકાસ થયો પ્રાથમિક શાળા, સૂચવે છે: શ્રેણીના સભ્યોનું આખું Google હોય તો પણ (10 થી સોમું ઘાત), પેટર્ન એ જ રહેશે.

નિયમો શું છે? ..

જેથી કરીને બે-ત્રણ વર્ષમાં તમે તમારા કપાળ અને માથાના પાછળના ભાગ વચ્ચેની બધી જગ્યા ભરી શકો અને વિચારવાનું બંધ કરી શકો? તમારી બ્રેડ અને બટર કેવી રીતે કમાવવા? છેવટે, આપણે ડિજિટલ અર્થતંત્રના યુગમાં સમાન રેન્કમાં આગળ વધી રહ્યા છીએ!

ગૌસની શાળા પદ્ધતિ વિશે વધુ: "આમાંથી વિજ્ઞાન શા માટે બનાવવું?..."

તે કંઈપણ માટે ન હતું કે મેં મારા પુત્રની નોટબુકમાંથી સ્ક્રીનશૉટ પોસ્ટ કર્યો...

"ક્લાસમાં શું થયું?"

"સારું, મેં તરત જ ગણતરી કરી, મારો હાથ ઊંચો કર્યો, પરંતુ તેણીએ પૂછ્યું નહીં. તેથી, જ્યારે અન્ય લોકો ગણતરી કરી રહ્યા હતા, ત્યારે મેં સમય બગાડે નહીં તે માટે રશિયનમાં હોમવર્ક કરવાનું શરૂ કર્યું. પછી, જ્યારે બીજાઓએ લખવાનું સમાપ્ત કર્યું (? ??), તેણીએ મને બોર્ડમાં બોલાવ્યો. મેં જવાબ આપ્યો."

"તે સાચું છે, તમે તેને કેવી રીતે હલ કર્યું તે મને બતાવો," શિક્ષકે કહ્યું. મેં તે બતાવ્યું. તેણીએ કહ્યું: "ખોટું, મેં બતાવ્યું તેમ તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે!"

"તે સારું છે કે તેણીએ ખરાબ ગ્રેડ આપ્યો નથી. અને તેણીએ મને તેમની નોટબુકમાં "સોલ્યુશનનો અભ્યાસક્રમ" તેમની રીતે લખવા માટે બનાવ્યો. આમાંથી મોટું વિજ્ઞાન કેમ બનાવવું?..."

ગણિત શિક્ષકનો મુખ્ય ગુનો

ભાગ્યે જ પછી તે ઘટનાકાર્લ ગૌસે તેમના શાળાના ગણિતના શિક્ષક માટે ઉચ્ચ આદરનો અનુભવ કર્યો. પરંતુ જો તે જાણતો હોત કે કેવી રીતે તે શિક્ષકના અનુયાયીઓ પદ્ધતિના સારને વિકૃત કરશે...તે રોષ સાથે અને વિશ્વ સંસ્થા દ્વારા ગર્જના કરશે બૌદ્ધિક મિલકત WIPO એ શાળાના પાઠ્યપુસ્તકોમાં તેના વાજબી નામના ઉપયોગ પર પ્રતિબંધ હાંસલ કર્યો છે!..

શું માં મુખ્ય ભૂલશાળા અભિગમ? અથવા, જેમ મેં કહ્યું, શાળાના ગણિત શિક્ષકોનો બાળકો સામે ગુનો?

ગેરસમજનું અલ્ગોરિધમ

શાળાના પદ્ધતિશાસ્ત્રીઓ શું કરે છે, જેમાંથી મોટા ભાગના લોકો કેવી રીતે વિચારવું તે જાણતા નથી?

તેઓ પદ્ધતિઓ અને અલ્ગોરિધમ્સ બનાવે છે (જુઓ). આ એક રક્ષણાત્મક પ્રતિક્રિયા જે શિક્ષકોને ટીકાથી બચાવે છે ("બધું તે મુજબ થાય છે...") અને બાળકોને સમજણથી. અને આમ - શિક્ષકોની ટીકા કરવાની ઇચ્છાથી!(નોકરશાહીનું બીજું વ્યુત્પન્ન “શાણપણ”, સમસ્યાનો વૈજ્ઞાનિક અભિગમ). જે વ્યક્તિ અર્થ સમજી શકતો નથી તે શાળા પ્રણાલીની મૂર્ખતાને બદલે તેની પોતાની ગેરસમજને દોષી ઠેરવશે.

આવું થાય છે: માતા-પિતા તેમના બાળકોને દોષી ઠેરવે છે, અને શિક્ષકો... "ગણિત નથી સમજતા" બાળકો માટે પણ આવું જ કરે છે!

શું તમે સ્માર્ટ છો?

નાના કાર્લે શું કર્યું?

ફોર્મ્યુલાના કાર્ય માટે સંપૂર્ણપણે બિનપરંપરાગત અભિગમ. આ તેમના અભિગમનો સાર છે. આ મુખ્ય વસ્તુ જે શાળામાં શીખવવી જોઈએ તે છે પાઠ્યપુસ્તકોથી નહીં, પરંતુ તમારા માથાથી વિચારવું. અલબત્ત, ત્યાં એક ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ ઘટક પણ છે જેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે...ની શોધમાં સરળ અને અસરકારક પદ્ધતિઓએકાઉન્ટ્સ.

વિલેન્કિન અનુસાર ગૌસ પદ્ધતિ

શાળામાં તેઓ શીખવે છે કે ગૌસની પદ્ધતિ છે

જોડીમાંસંખ્યા શ્રેણીની કિનારીઓથી સમાન અંતરે આવેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો, ચોક્કસપણે ધારથી શરૂ થાય છે!

આવી જોડી વગેરેની સંખ્યા શોધો.

શું, જો શ્રેણીના ઘટકોની સંખ્યા વિચિત્ર હોય, મારા પુત્રને સોંપેલ સમસ્યાની જેમ? ..

આ કિસ્સામાં "કેચ" એ છે તમારે શ્રેણીમાં "વધારાની" સંખ્યા શોધવી જોઈએઅને તેને જોડીના સરવાળામાં ઉમેરો. અમારા ઉદાહરણમાં આ સંખ્યા 260 છે.

કેવી રીતે શોધવું? એક નોટબુકમાં નંબરોની તમામ જોડીની નકલ કરવી!(આ કારણે જ શિક્ષકે બાળકોને ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને "સર્જનાત્મકતા" શીખવવાનો પ્રયાસ કરવાનું આ મૂર્ખ કામ કરવા માટે પ્રેર્યું... અને આ જ કારણ છે કે આવી "પદ્ધતિ" મોટી ડેટા શ્રેણી માટે વ્યવહારીક રીતે અયોગ્ય છે, અને તેથી જ તે છે. ગૌસીયન પદ્ધતિ નથી.)

શાળાના દિનચર્યામાં થોડી સર્જનાત્મકતા...

પુત્રએ અલગ રીતે અભિનય કર્યો.

પહેલા તેણે નોંધ્યું કે 500 નંબરનો ગુણાકાર કરવો સરળ છે, 520 નહીં

(20 + 500, 40 + 480 ...).

પછી તેણે ગણતરી કરી: પગલાઓની સંખ્યા વિચિત્ર હોવાનું બહાર આવ્યું: 500 / 20 = 25.

પછી તેણે શ્રેણીની શરૂઆતમાં ઝીરો ઉમેર્યો (જો કે શ્રેણીની છેલ્લી મુદતને કાઢી નાખવાનું શક્ય હતું, જે સમાનતાની પણ ખાતરી કરશે) અને કુલ 500 આપતી સંખ્યાઓ ઉમેરી.

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 પગલાં એ "પાંચસો" ની 13 જોડી છે: 13 x 500 = 6500..

જો આપણે શ્રેણીની છેલ્લી મુદત કાઢી નાખીએ, તો જોડી 12 હશે, પરંતુ આપણે ગણતરીના પરિણામમાં "કાઢી નાખેલ" પાંચસો ઉમેરવાનું ભૂલવું જોઈએ નહીં. પછી: (12 x 500) + 500 = 6500!

મુશ્કેલ નથી, બરાબર?

પરંતુ વ્યવહારમાં તે વધુ સરળ બને છે, જે તમને રશિયનમાં રિમોટ સેન્સિંગ માટે 2-3 મિનિટ કાઢવા દે છે, જ્યારે બાકીના "ગણતરી" છે. વધુમાં, તે પદ્ધતિના પગલાંઓની સંખ્યા જાળવી રાખે છે: 5, જે અભિગમને અવૈજ્ઞાનિક હોવા માટે ટીકા કરવાની મંજૂરી આપતું નથી.

દેખીતી રીતે આ અભિગમ પદ્ધતિની શૈલીમાં સરળ, ઝડપી અને વધુ સાર્વત્રિક છે. પરંતુ... શિક્ષકે માત્ર વખાણ કર્યા જ નહીં, પણ મને તેને "સાચી રીતે" ફરીથી લખવા માટે દબાણ કર્યું (સ્ક્રીનશોટ જુઓ). એટલે કે, તેણીએ સર્જનાત્મક આવેગ અને મૂળમાં ગણિતને સમજવાની ક્ષમતાને દબાવવાનો ભયાવહ પ્રયાસ કર્યો! દેખીતી રીતે, જેથી તેણીને પાછળથી શિક્ષક તરીકે નોકરી પર રાખી શકાય... તેણીએ ખોટી વ્યક્તિ પર હુમલો કર્યો...

મેં આટલું લાંબુ અને કંટાળાજનક વર્ણન કર્યું તે બધું સમજાવી શકાય છે સામાન્ય બાળક માટેઅડધા કલાકમાં મહત્તમ. ઉદાહરણો સાથે.

અને એવી રીતે કે તે તેને ક્યારેય ભૂલી શકશે નહીં.

અને તે હશે સમજણ તરફ પગલું...માત્ર ગણિતશાસ્ત્રીઓ જ નહીં.

તે સ્વીકારો: તમે તમારા જીવનમાં કેટલી વખત ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉમેર્યું છે? અને મેં ક્યારેય કર્યું નથી!

પણ સમજણની વૃત્તિ, જે શીખવાની પ્રક્રિયામાં વિકાસ પામે છે (અથવા બુઝાઇ જાય છે). ગાણિતિક પદ્ધતિઓશાળામાં... ઓહ!.. આ ખરેખર બદલી ન શકાય તેવી વસ્તુ છે!

ખાસ કરીને સાર્વત્રિક ડિજીટલાઇઝેશનના યુગમાં, જેમાં આપણે પાર્ટી અને સરકારના કડક નેતૃત્વ હેઠળ શાંતિપૂર્વક પ્રવેશ કર્યો છે.

શિક્ષકોના બચાવમાં થોડાક શબ્દો...

શિક્ષણની આ શૈલી માટેની તમામ જવાબદારી ફક્ત શાળાના શિક્ષકો પર મૂકવી એ અયોગ્ય અને ખોટું છે. સિસ્ટમ અમલમાં છે.

કેટલાકશિક્ષકો શું થઈ રહ્યું છે તેની વાહિયાતતા સમજે છે, પરંતુ શું કરવું? શિક્ષણ પર કાયદો, ફેડરલ રાજ્ય શૈક્ષણિક ધોરણો, પદ્ધતિઓ, તકનીકી નકશાપાઠ... બધું "તેના આધારે અને તેના આધારે" થવું જોઈએ અને બધું દસ્તાવેજીકૃત હોવું જોઈએ. બાજુ પર જાઓ - બરતરફ કરવા માટે લાઇનમાં ઊભા હતા. ચાલો દંભી ન બનીએ: મોસ્કોના શિક્ષકોનો પગાર ખૂબ જ સારો છે... જો તેઓ તમને કાઢી મૂકે, તો ક્યાં જવું?..

તેથી આ સાઇટ શિક્ષણ વિશે નહીં. તેમણે વિશે છે વ્યક્તિગત શિક્ષણ, માત્ર શક્ય માર્ગભીડમાંથી બહાર નીકળો પેઢી Z ...

આ લેખમાં, પદ્ધતિને રેખીય સમીકરણો (SLAEs) ની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ તરીકે ગણવામાં આવે છે. પદ્ધતિ વિશ્લેષણાત્મક છે, એટલે કે, તે તમને સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ લખવાની મંજૂરી આપે છે સામાન્ય દૃશ્ય, અને પછી ત્યાં ચોક્કસ ઉદાહરણોમાંથી મૂલ્યો બદલો. મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ક્રેમરના સૂત્રોથી વિપરીત, જ્યારે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલી રહ્યા હોય, ત્યારે તમે એવા લોકો સાથે પણ કામ કરી શકો છો કે જેની પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે. અથવા તેઓ પાસે તે બિલકુલ નથી.

ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ લાવવાનો અર્થ શું છે?

પ્રથમ, આપણે આપણી સમીકરણોની સિસ્ટમ લખવાની જરૂર છે તે આના જેવું દેખાય છે. સિસ્ટમ લો:

ગુણાંક કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે, અને મફત શરતો જમણી બાજુએ એક અલગ કૉલમમાં લખવામાં આવે છે. મફત શરતો સાથેની કૉલમ સુવિધા માટે અલગ કરવામાં આવી છે. મેટ્રિક્સ જેમાં આ કૉલમનો સમાવેશ થાય છે તેને વિસ્તૃત કહેવામાં આવે છે.

આગળ, સહગુણાંકો સાથેનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ ઉપલા ત્રિકોણાકાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવું આવશ્યક છે. ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમને હલ કરવાનો આ મુખ્ય મુદ્દો છે. સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ચોક્કસ મેનિપ્યુલેશન્સ પછી, મેટ્રિક્સ દેખાવું જોઈએ જેથી તેના નીચલા ડાબા ભાગમાં ફક્ત શૂન્ય હોય:

પછી, જો તમે નવા મેટ્રિક્સને સમીકરણોની સિસ્ટમ તરીકે ફરીથી લખો, તો તમે જોશો કે છેલ્લી પંક્તિમાં પહેલાથી જ મૂળમાંથી એકની કિંમત છે, જે પછી ઉપરના સમીકરણમાં બદલાઈ જાય છે, બીજું મૂળ મળે છે, વગેરે.

આ સૌથી વધુ ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલનું વર્ણન છે સામાન્ય રૂપરેખા. અચાનક તંત્ર પાસે કોઈ ઉકેલ ન આવે તો શું થાય? અથવા તેમાંના અનંત ઘણા છે? આ અને અન્ય ઘણા પ્રશ્નોના જવાબો આપવા માટે, ગૌસીયન પદ્ધતિને ઉકેલવામાં ઉપયોગમાં લેવાતા તમામ ઘટકોને અલગથી ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.

મેટ્રિસિસ, તેમની મિલકતો

કોઈ નહિ છુપાયેલ અર્થમેટ્રિક્સમાં નથી. તેની સાથે અનુગામી કામગીરી માટે ડેટા રેકોર્ડ કરવાની આ સરળ રીત છે. શાળાના બાળકોને પણ તેમનાથી ડરવાની જરૂર નથી.

મેટ્રિક્સ હંમેશા લંબચોરસ હોય છે, કારણ કે તે વધુ અનુકૂળ છે. ગૌસીયન પદ્ધતિમાં પણ, જ્યાં બધું મેટ્રિક્સ બનાવવા માટે નીચે આવે છે દેખાવમાં ત્રિકોણાકાર, એન્ટ્રીમાં એક લંબચોરસ હોય છે, ફક્ત તે જગ્યાએ શૂન્ય સાથે જ્યાં કોઈ સંખ્યાઓ નથી. શૂન્ય લખી શકાતું નથી, પરંતુ તે ગર્ભિત છે.

મેટ્રિક્સનું કદ છે. તેની "પહોળાઈ" એ પંક્તિઓની સંખ્યા છે (m), "લંબાઈ" એ કૉલમની સંખ્યા છે (n). પછી મેટ્રિક્સ A નું કદ (કેપિટલ અક્ષરોનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે તેમને દર્શાવવા માટે થાય છે) અક્ષરો) A m×n તરીકે સૂચવવામાં આવશે. જો m=n, તો આ મેટ્રિક્સ ચોરસ છે, અને m=n એ તેનો ક્રમ છે. તદનુસાર, મેટ્રિક્સ A ના કોઈપણ ઘટકને તેની પંક્તિ અને કૉલમ નંબરો દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે: a xy ; x - પંક્તિ નંબર, ફેરફારો, y - કૉલમ નંબર, ફેરફારો.

B એ નિર્ણયનો મુખ્ય મુદ્દો નથી. સૈદ્ધાંતિક રીતે, બધી ક્રિયાઓ સીધા જ સમીકરણો સાથે કરી શકાય છે, પરંતુ સંકેત વધુ બોજારૂપ હશે, અને તેમાં મૂંઝવણમાં પડવું વધુ સરળ રહેશે.

નિર્ધારક

મેટ્રિક્સમાં નિર્ણાયક પણ છે. આ ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતા. હવે તેનો અર્થ શોધવાની જરૂર નથી; તમે ફક્ત બતાવી શકો છો કે તે કેવી રીતે ગણવામાં આવે છે, અને પછી તે મેટ્રિક્સના કયા ગુણધર્મો નક્કી કરે છે તે જણાવો. નિર્ણાયકને શોધવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો કર્ણ દ્વારા છે. મેટ્રિક્સમાં કાલ્પનિક કર્ણ દોરવામાં આવે છે; તેમાંના દરેક પર સ્થિત તત્વોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને પછી પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવામાં આવે છે: જમણી તરફ ઢોળાવ સાથે કર્ણ - વત્તા ચિહ્ન સાથે, ડાબી બાજુ ઢોળાવ સાથે - ઓછા ચિહ્ન સાથે.

એ નોંધવું અત્યંત અગત્યનું છે કે નિર્ણાયકની ગણતરી માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ કરી શકાય છે. લંબચોરસ મેટ્રિક્સ માટે, તમે નીચે મુજબ કરી શકો છો: પંક્તિઓની સંખ્યા અને કૉલમની સંખ્યામાંથી સૌથી નાનું પસંદ કરો (તેને k હોવા દો), અને પછી મેટ્રિક્સમાં k કૉલમ્સ અને k પંક્તિઓને રેન્ડમલી માર્ક કરો. પસંદ કરેલ કૉલમ અને પંક્તિઓના આંતરછેદ પરના તત્વો એક નવું ચોરસ મેટ્રિક્સ બનાવશે. જો આવા મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બિન-શૂન્ય સંખ્યા હોય, તો તેને મૂળ લંબચોરસ મેટ્રિક્સનો આધાર ગૌણ કહેવામાં આવે છે.

તમે ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, નિર્ણાયકની ગણતરી કરવામાં નુકસાન થતું નથી. જો તે શૂન્ય હોવાનું બહાર આવે છે, તો આપણે તરત જ કહી શકીએ કે મેટ્રિક્સમાં કાં તો અસંખ્ય ઉકેલો છે અથવા તો કંઈ જ નથી. આવા ઉદાસી કિસ્સામાં, તમારે વધુ આગળ વધવાની અને મેટ્રિક્સના રેન્ક વિશે જાણવાની જરૂર છે.

સિસ્ટમ વર્ગીકરણ

મેટ્રિક્સની રેન્ક જેવી વસ્તુ છે. આ મહત્તમ ઓર્ડરતેનું નિર્ણાયક, શૂન્યથી અલગ (જો આપણે બેઝિસ માઇનોર વિશે યાદ રાખીએ, તો આપણે કહી શકીએ કે મેટ્રિક્સનો રેન્ક એ બેઝિસ માઇનોરનો ક્રમ છે).

રેન્ક સાથેની પરિસ્થિતિના આધારે, SLAE ને આમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

• સંયુક્ત. યુસંયુક્ત પ્રણાલીઓમાં, મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ (માત્ર ગુણાંકનો સમાવેશ થાય છે) વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ (મુક્ત શરતોના કૉલમ સાથે) ની રેન્ક સાથે એકરુપ છે. આવી પ્રણાલીઓમાં સોલ્યુશન હોય છે, પરંતુ તે જરૂરી નથી, તેથી, વધુમાં, સંયુક્ત સિસ્ટમો આમાં વહેંચાયેલી છે:
• - ચોક્કસ- એક જ ઉકેલ છે. અમુક સિસ્ટમોમાં, મેટ્રિક્સનો ક્રમ અને અજાણ્યાઓની સંખ્યા (અથવા કૉલમની સંખ્યા, જે સમાન વસ્તુ છે) સમાન હોય છે;
• - અવ્યાખ્યાયિત -અસંખ્ય ઉકેલો સાથે. આવી સિસ્ટમોમાં મેટ્રિસિસનો ક્રમ અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછો છે.
• અસંગત. યુઆવી સિસ્ટમોમાં, મુખ્ય અને વિસ્તૃત મેટ્રિસિસની રેન્ક એકરૂપ થતી નથી. અસંગત સિસ્ટમો પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

ગૌસ પદ્ધતિ સારી છે કારણ કે સોલ્યુશન દરમિયાન તે સિસ્ટમની અસંગતતાનો અસ્પષ્ટ પુરાવો (મોટા મેટ્રિસેસના નિર્ધારકોની ગણતરી કર્યા વિના) અથવા અસંખ્ય ઉકેલો ધરાવતી સિસ્ટમ માટે સામાન્ય સ્વરૂપમાં ઉકેલ મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

પ્રાથમિક પરિવર્તનો

સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે સીધા જ આગળ વધતા પહેલા, તમે તેને ઓછા બોજારૂપ અને ગણતરીઓ માટે વધુ અનુકૂળ બનાવી શકો છો. આ પ્રાથમિક પરિવર્તનો દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે - જેમ કે તેમના અમલીકરણથી અંતિમ જવાબ કોઈપણ રીતે બદલાતા નથી. એ નોંધવું જોઈએ કે આપેલ કેટલાક પ્રાથમિક પરિવર્તનો માત્ર મેટ્રિસિસ માટે જ માન્ય છે, જેનો સ્ત્રોત SLAE હતો. અહીં આ પરિવર્તનોની સૂચિ છે:

1. ફરીથી ગોઠવણી રેખાઓ. દેખીતી રીતે, જો તમે સિસ્ટમ રેકોર્ડમાં સમીકરણોનો ક્રમ બદલો છો, તો આ ઉકેલને કોઈપણ રીતે અસર કરશે નહીં. પરિણામે, આ સિસ્ટમના મેટ્રિક્સમાંની પંક્તિઓ પણ અદલાબદલી થઈ શકે છે, અલબત્ત, મફત શરતોની કૉલમને ભૂલશો નહીં.
2. ચોક્કસ ગુણાંક દ્વારા સ્ટ્રિંગના તમામ ઘટકોનો ગુણાકાર. ખૂબ જ ઉપયોગી! તેનો ઉપયોગ ટૂંકો કરવા માટે થઈ શકે છે મોટી સંખ્યાઓમેટ્રિક્સમાં અથવા શૂન્ય દૂર કરો. ઘણા નિર્ણયો, હંમેશની જેમ, બદલાશે નહીં, પરંતુ વધુ કામગીરીતે વધુ અનુકૂળ બનશે. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે ગુણાંક શૂન્યની બરાબર નથી.
3. પ્રમાણસર પરિબળો સાથે પંક્તિઓ દૂર કરી રહ્યા છીએ. આ અંશતઃ પાછલા ફકરામાંથી અનુસરે છે. જો મેટ્રિક્સમાં બે અથવા વધુ પંક્તિઓ પ્રમાણસર ગુણાંક ધરાવે છે, તો પછી જ્યારે પંક્તિઓમાંથી એકને પ્રમાણસર ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર/વિભાજિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે બે (અથવા, ફરીથી, વધુ) એકદમ સમાન પંક્તિઓ પ્રાપ્ત થાય છે, અને વધારાની પંક્તિઓ દૂર કરી શકાય છે. માત્ર એક.
4. નલ લીટી દૂર કરી રહ્યા છીએ. જો, રૂપાંતર દરમિયાન, એક પંક્તિ ક્યાંક પ્રાપ્ત થાય છે જેમાં મુક્ત શબ્દ સહિત તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય, તો આવી પંક્તિને શૂન્ય કહી શકાય અને મેટ્રિક્સની બહાર ફેંકી શકાય.
5. એક પંક્તિના ઘટકોમાં બીજી પંક્તિના ઘટકો (અનુરૂપ કૉલમમાં) ઉમેરીને, ચોક્કસ ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. બધામાં સૌથી અસ્પષ્ટ અને સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિવર્તન. તેના પર વધુ વિગતમાં રહેવું યોગ્ય છે.

પરિબળ વડે ગુણાકાર કરીને સ્ટ્રિંગ ઉમેરવી

સમજવાની સરળતા માટે, આ પ્રક્રિયાને તબક્કાવાર તોડવા યોગ્ય છે. મેટ્રિક્સમાંથી બે પંક્તિઓ લેવામાં આવી છે:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

ચાલો કહીએ કે તમારે પ્રથમને બીજામાં ઉમેરવાની જરૂર છે, ગુણાંક "-2" દ્વારા ગુણાકાર.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

પછી મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિને નવી સાથે બદલવામાં આવે છે, અને પ્રથમ યથાવત રહે છે.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

એ નોંધવું જોઈએ કે ગુણાકાર ગુણાંક એવી રીતે પસંદ કરી શકાય છે કે, બે પંક્તિઓ ઉમેરવાના પરિણામે, નવી પંક્તિના ઘટકોમાંથી એક શૂન્ય બરાબર છે. પરિણામે, સિસ્ટમમાં એક સમીકરણ મેળવવું શક્ય છે જ્યાં એક ઓછું અજ્ઞાત હશે. અને જો તમને આવા બે સમીકરણો મળે, તો ઓપરેશન ફરીથી કરી શકાય છે અને એક સમીકરણ મેળવી શકાય છે જેમાં બે ઓછા અજાણ્યા હશે. અને જો દરેક વખતે તમે મૂળ પંક્તિઓની નીચેની તમામ પંક્તિઓમાંથી એક ગુણાંકને શૂન્યમાં ફેરવો છો, તો તમે સીડીની જેમ, મેટ્રિક્સના ખૂબ જ તળિયે જઈ શકો છો અને એક અજ્ઞાત સાથેનું સમીકરણ મેળવી શકો છો. આને ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમનું નિરાકરણ કહેવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે

એક સિસ્ટમ બનવા દો. તેમાં m સમીકરણો અને n અજ્ઞાત મૂળ છે. તમે તેને નીચે પ્રમાણે લખી શકો છો:

મુખ્ય મેટ્રિક્સ સિસ્ટમ ગુણાંકમાંથી સંકલિત કરવામાં આવે છે. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સમાં મફત શરતોનો કૉલમ ઉમેરવામાં આવે છે અને અનુકૂળતા માટે, એક રેખા દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે.

• મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિનો ગુણાંક k = (-a 21 /a 11) દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;
• પ્રથમ સંશોધિત પંક્તિ અને મેટ્રિક્સની બીજી પંક્તિ ઉમેરવામાં આવે છે;
• બીજી પંક્તિને બદલે, અગાઉના ફકરામાંથી ઉમેરાનું પરિણામ મેટ્રિક્સમાં દાખલ કરવામાં આવે છે;
• હવે માં પ્રથમ ગુણાંક નવી સેકન્ડરેખા એ 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 છે.

હવે પરિવર્તનની સમાન શ્રેણી કરવામાં આવે છે, ફક્ત પ્રથમ અને ત્રીજી પંક્તિઓ સામેલ છે. તદનુસાર, અલ્ગોરિધમના દરેક પગલા પર, તત્વ a 21 ને 31 દ્વારા બદલવામાં આવે છે. પછી બધું 41, ... a m1 માટે પુનરાવર્તિત થાય છે. પરિણામ એ મેટ્રિક્સ છે જ્યાં પંક્તિઓમાં પ્રથમ તત્વ શૂન્ય છે. હવે તમારે લીટી નંબર એક વિશે ભૂલી જવાની અને લીટી બેથી શરૂ કરીને સમાન અલ્ગોરિધમ કરવાની જરૂર છે:

• ગુણાંક k = (-a 32 /a 22);
• બીજી સંશોધિત લાઇન "વર્તમાન" લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવે છે;
• ઉમેરાનું પરિણામ ત્રીજી, ચોથી અને તેથી લીટીઓમાં બદલાય છે, જ્યારે પ્રથમ અને બીજું યથાવત રહે છે;
• મેટ્રિક્સની પંક્તિઓમાં પ્રથમ બે તત્વો પહેલાથી જ શૂન્ય સમાન છે.

જ્યાં સુધી ગુણાંક k = (-a m,m-1 /a mm) દેખાય ત્યાં સુધી અલ્ગોરિધમનું પુનરાવર્તન કરવું આવશ્યક છે. આનો અર્થ એ છે કે માં છેલ્લા સમયઅલ્ગોરિધમ માત્ર નીચલા સમીકરણ માટે કરવામાં આવ્યું હતું. હવે મેટ્રિક્સ ત્રિકોણ જેવો દેખાય છે, અથવા સ્ટેપ્ડ આકાર ધરાવે છે. નીચે લીટીમાં સમાનતા a mn × x n = b m છે. ગુણાંક અને મુક્ત શબ્દ જાણીતો છે, અને મૂળ તેમના દ્વારા વ્યક્ત થાય છે: x n = b m /a mn. x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 શોધવા માટે પરિણામી મૂળને ટોચની લાઇનમાં બદલવામાં આવે છે. અને તેથી સમાનતા દ્વારા: દરેક આગલી લાઇનમાં એક નવું મૂળ છે, અને, સિસ્ટમના "ટોચ" પર પહોંચ્યા પછી, તમે ઘણા ઉકેલો શોધી શકો છો. તે એક જ હશે.

જ્યારે કોઈ ઉકેલ નથી

જો મેટ્રિક્સ પંક્તિઓમાંથી એકમાં ફ્રી ટર્મ સિવાયના તમામ ઘટકો શૂન્ય સમાન હોય, તો આ પંક્તિને અનુરૂપ સમીકરણ 0 = b જેવું દેખાય છે. તેનો કોઈ ઉકેલ નથી. અને કારણ કે આવા સમીકરણ સિસ્ટમમાં શામેલ છે, તો પછી સમગ્ર સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ ખાલી છે, એટલે કે, તે અધોગતિ છે.

જ્યારે અસંખ્ય ઉકેલો હોય છે

એવું બની શકે છે કે આપેલ ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સમાં સમીકરણના એક ગુણાંક ઘટક અને એક મુક્ત પદ સાથે કોઈ પંક્તિઓ નથી. ત્યાં માત્ર એવી રેખાઓ છે જે, જ્યારે ફરીથી લખવામાં આવે છે, ત્યારે તે બે અથવા વધુ ચલો સાથેના સમીકરણની જેમ દેખાશે. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ પાસે અસંખ્ય ઉકેલો છે. આ કિસ્સામાં, જવાબ સામાન્ય ઉકેલના સ્વરૂપમાં આપી શકાય છે. તે કેવી રીતે કરવું?

મેટ્રિક્સના તમામ ચલોને મૂળભૂત અને મફતમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યા છે. મૂળભૂત તે છે જે સ્ટેપ મેટ્રિક્સમાં પંક્તિઓની "ધાર પર" ઊભા છે. બાકીના મફત છે. સામાન્ય સોલ્યુશનમાં, મૂળભૂત ચલો મફતમાં લખવામાં આવે છે.

સગવડ માટે, મેટ્રિક્સને પહેલા સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ફરીથી લખવામાં આવે છે. પછી તેમાંના છેલ્લામાં, જ્યાં બરાબર માત્ર એક મૂળભૂત ચલ બાકી છે, તે એક બાજુ રહે છે, અને બાકીનું બધું બીજી તરફ સ્થાનાંતરિત થાય છે. આ એક મૂળભૂત ચલ સાથે દરેક સમીકરણ માટે કરવામાં આવે છે. પછી, બાકીના સમીકરણોમાં, જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં, તેના માટે મેળવેલ અભિવ્યક્તિ મૂળભૂત ચલને બદલે અવેજી કરવામાં આવે છે. જો પરિણામ ફરીથી માત્ર એક મૂળભૂત ચલ ધરાવતી અભિવ્યક્તિ છે, તો તે ફરીથી ત્યાંથી વ્યક્ત થાય છે, અને તેથી જ, જ્યાં સુધી દરેક મૂળભૂત ચલ મુક્ત ચલો સાથે અભિવ્યક્તિ તરીકે લખવામાં ન આવે ત્યાં સુધી. તે શું છે સામાન્ય નિર્ણય SLAU.

તમે સિસ્ટમનો મૂળભૂત ઉકેલ પણ શોધી શકો છો - મફત ચલોને કોઈપણ મૂલ્યો આપો, અને પછી આ ચોક્કસ કેસ માટે મૂળભૂત ચલોની કિંમતોની ગણતરી કરો. ત્યાં અસંખ્ય ચોક્કસ ઉકેલો છે જે આપી શકાય છે.

ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે ઉકેલ

અહીં સમીકરણોની સિસ્ટમ છે.

સગવડ માટે, તેનું મેટ્રિક્સ તરત જ બનાવવું વધુ સારું છે

તે જાણીતું છે કે જ્યારે ગૌસીયન પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રથમ પંક્તિને અનુરૂપ સમીકરણ પરિવર્તનના અંતે યથાવત રહેશે. તેથી, તે વધુ નફાકારક રહેશે જો મેટ્રિક્સનો ઉપરનો ડાબો તત્વ સૌથી નાનો હોય - તો ઓપરેશન પછી બાકીની પંક્તિઓના પ્રથમ ઘટકો શૂન્ય થઈ જશે. આનો અર્થ એ છે કે સંકલિત મેટ્રિક્સમાં પ્રથમની જગ્યાએ બીજી પંક્તિ મૂકવી ફાયદાકારક રહેશે.

બીજી લીટી: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

ત્રીજી પંક્તિ: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

હવે, મૂંઝવણમાં ન આવવા માટે, તમારે પરિવર્તનના મધ્યવર્તી પરિણામો સાથે મેટ્રિક્સ લખવાની જરૂર છે.

દેખીતી રીતે, આવા મેટ્રિક્સને ચોક્કસ કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને ધારણા માટે વધુ અનુકૂળ બનાવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે દરેક ઘટકને “-1” વડે ગુણાકાર કરીને બીજી લાઇનમાંથી તમામ “બાદબાકી” દૂર કરી શકો છો.

એ નોંધવું પણ યોગ્ય છે કે ત્રીજી લાઇનમાં બધા તત્વો ત્રણના ગુણાંક છે. પછી તમે આ સંખ્યા દ્વારા શબ્દમાળાને ટૂંકી કરી શકો છો, દરેક ઘટકને "-1/3" દ્વારા ગુણાકાર કરી શકો છો (માઈનસ - તે જ સમયે, નકારાત્મક મૂલ્યોને દૂર કરવા માટે).

વધુ સરસ લાગે છે. હવે આપણે પ્રથમ લાઇનને એકલા છોડીને બીજી અને ત્રીજી સાથે કામ કરવાની જરૂર છે. કાર્ય એ ત્રીજી લાઇનમાં બીજી લાઇન ઉમેરવાનું છે, આવા ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે કે તત્વ a 32 શૂન્યની બરાબર બને છે.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (જો અમુક રૂપાંતરણ દરમિયાન જવાબ પૂર્ણાંક ન હોય તો, છોડવા માટેની ગણતરીઓની ચોકસાઈ જાળવવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. તે "જેમ છે તેમ", સ્વરૂપમાં સામાન્ય અપૂર્ણાંક, અને ત્યારે જ, જ્યારે જવાબો પ્રાપ્ત થાય, ત્યારે નક્કી કરો કે શું રાઉન્ડ કરવું અને રેકોર્ડિંગના બીજા સ્વરૂપમાં કન્વર્ટ કરવું)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

મેટ્રિક્સ ફરીથી નવા મૂલ્યો સાથે લખવામાં આવે છે.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

જેમ તમે જોઈ શકો છો, પરિણામી મેટ્રિક્સમાં પહેલેથી જ સ્ટેપ્ડ ફોર્મ છે. તેથી, ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમના વધુ પરિવર્તનની જરૂર નથી. અહીં શું કરી શકાય છે તે ત્રીજી લાઇનમાંથી દૂર કરવાનું છે એકંદર ગુણાંક "-1/7".

હવે બધું સુંદર છે. સમીકરણોની સિસ્ટમના રૂપમાં મેટ્રિક્સને ફરીથી લખવાનું અને મૂળની ગણતરી કરવાનું બાકી છે.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

એલ્ગોરિધમ કે જેના દ્વારા હવે મૂળ શોધવામાં આવશે તેને ગૌસીયન પદ્ધતિમાં રિવર્સ મૂવ કહેવામાં આવે છે. સમીકરણ (3) z મૂલ્ય ધરાવે છે:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

અને પ્રથમ સમીકરણ આપણને x શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

અમારી પાસે આવી સિસ્ટમને સંયુક્ત કૉલ કરવાનો અધિકાર છે, અને તે પણ નિશ્ચિત છે, એટલે કે, એક અનન્ય ઉકેલ છે. જવાબ નીચેના ફોર્મમાં લખાયેલ છે:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

અનિશ્ચિત સિસ્ટમનું ઉદાહરણ

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ સિસ્ટમને ઉકેલવાના પ્રકારનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે; હવે જો સિસ્ટમ અનિશ્ચિત હોય તો તે કેસને ધ્યાનમાં લેવો જરૂરી છે, એટલે કે, તેના માટે અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો શોધી શકાય છે.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

સિસ્ટમનો દેખાવ પહેલેથી જ ચિંતાજનક છે, કારણ કે અજાણ્યાઓની સંખ્યા n = 5 છે, અને સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ પહેલાથી જ આ સંખ્યા કરતા બરાબર ઓછો છે, કારણ કે પંક્તિઓની સંખ્યા m = 4 છે, એટલે કે, નિર્ણાયક-ચોરસનો સૌથી મોટો ક્રમ 4 છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં અસંખ્ય ઉકેલો છે, અને તમારે તેના સામાન્ય દેખાવને જોવાની જરૂર છે. રેખીય સમીકરણો માટેની ગૌસ પદ્ધતિ તમને આ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

પ્રથમ, હંમેશની જેમ, વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ સંકલિત કરવામાં આવે છે.

બીજી લાઇન: ગુણાંક k = (-a 21 /a 11) = -3. ત્રીજી લાઇનમાં, પ્રથમ તત્વ રૂપાંતરણ પહેલાં છે, તેથી તમારે કંઈપણ સ્પર્શ કરવાની જરૂર નથી, તમારે તેને જેમ છે તેમ છોડવાની જરૂર છે. ચોથી લીટી: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોને બદલામાં તેમના દરેક ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીને અને તેમને જરૂરી પંક્તિઓમાં ઉમેરીને, અમે નીચેના ફોર્મનું મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બીજી, ત્રીજી અને ચોથી પંક્તિઓ એકબીજાના પ્રમાણસર તત્વો ધરાવે છે. બીજી અને ચોથી સામાન્ય રીતે સમાન હોય છે, તેથી તેમાંથી એકને તરત જ દૂર કરી શકાય છે, અને બાકીની એકને ગુણાંક “-1” વડે ગુણાકાર કરી શકાય છે અને લાઇન નંબર 3 મેળવી શકાય છે. અને ફરીથી, બે સરખી રેખાઓમાંથી, એક છોડી દો.

પરિણામ આના જેવું મેટ્રિક્સ છે. જ્યારે સિસ્ટમ હજી સુધી લખવામાં આવી નથી, ત્યારે અહીં મૂળભૂત ચલો નક્કી કરવા જરૂરી છે - જે ગુણાંક 11 = 1 અને 22 = 1 પર ઊભા છે, અને મફત રાશિઓ - બાકીના બધા.

બીજા સમીકરણમાં માત્ર એક મૂળભૂત ચલ છે - x 2. આનો અર્થ એ છે કે તેને ત્યાંથી x 3 , x 4 , x 5 ચલ દ્વારા લખીને વ્યક્ત કરી શકાય છે, જે મુક્ત છે.

અમે પરિણામી અભિવ્યક્તિને પ્રથમ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ.

પરિણામ એ એક સમીકરણ છે જેમાં માત્ર મૂળભૂત ચલ x 1 છે. ચાલો તેની સાથે x 2 ની જેમ જ કરીએ.

તમામ મૂળભૂત ચલો, જેમાંથી બે છે, તે ત્રણ મુક્તની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે; હવે આપણે સામાન્ય સ્વરૂપમાં જવાબ લખી શકીએ છીએ.

તમે સિસ્ટમના ચોક્કસ ઉકેલોમાંથી એક પણ સ્પષ્ટ કરી શકો છો. આવા કિસ્સાઓ માટે, શૂન્ય સામાન્ય રીતે મફત ચલો માટે મૂલ્યો તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. પછી જવાબ હશે:

16, 23, 0, 0, 0.

બિન-સહકારી પ્રણાલીનું ઉદાહરણ

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીઓને ઉકેલવી એ સૌથી ઝડપી છે. તે તરત જ સમાપ્ત થાય છે કારણ કે એક તબક્કે એક સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે જેનો કોઈ ઉકેલ નથી. એટલે કે, મૂળની ગણતરી કરવાનો તબક્કો, જે ખૂબ લાંબો અને કંટાળાજનક છે, તે દૂર થઈ ગયો છે. નીચેની સિસ્ટમ ગણવામાં આવે છે:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

હંમેશની જેમ, મેટ્રિક્સ સંકલિત કરવામાં આવે છે:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

અને તે એક પગલાવાર સ્વરૂપમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

પ્રથમ રૂપાંતર પછી, ત્રીજી લાઇન ફોર્મનું સમીકરણ ધરાવે છે

ઉકેલ વિના. પરિણામે, સિસ્ટમ અસંગત છે, અને જવાબ ખાલી સેટ હશે.

પદ્ધતિના ફાયદા અને ગેરફાયદા

જો તમે પેન વડે કાગળ પર SLAE ને ઉકેલવા માટેની કઈ પદ્ધતિ પસંદ કરો છો, તો આ લેખમાં જે પદ્ધતિની ચર્ચા કરવામાં આવી છે તે સૌથી આકર્ષક લાગે છે. જો તમારે જાતે નિર્ણાયક અથવા કેટલાક મુશ્કેલ વિપરિત મેટ્રિક્સની શોધ કરવી પડે તેના કરતાં પ્રાથમિક પરિવર્તનોમાં મૂંઝવણમાં આવવું વધુ મુશ્કેલ છે. જો કે, જો તમે આ પ્રકારના ડેટા સાથે કામ કરવા માટે પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરો છો, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પ્રેડશીટ્સ, પછી તે તારણ આપે છે કે આવા પ્રોગ્રામ્સમાં મેટ્રિસીસના મુખ્ય પરિમાણો - નિર્ણાયક, સગીર, વ્યસ્ત, અને તેથી વધુની ગણતરી માટે પહેલાથી જ અલ્ગોરિધમ્સ હોય છે. અને જો તમને ખાતરી હોય કે મશીન આ મૂલ્યોની જાતે ગણતરી કરશે અને ભૂલ કરશે નહીં, તો મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો વધુ સલાહભર્યું છે, કારણ કે તેનો ઉપયોગ નિર્ધારકોની ગણતરી સાથે શરૂ થાય છે અને સમાપ્ત થાય છે. વ્યસ્ત મેટ્રિસિસ.

અરજી

ગૌસીયન સોલ્યુશન એ અલ્ગોરિધમ હોવાથી, અને મેટ્રિક્સ વાસ્તવમાં દ્વિ-પરિમાણીય એરે છે, તેનો પ્રોગ્રામિંગમાં ઉપયોગ કરી શકાય છે. પરંતુ લેખ પોતાને "ડમીઝ માટે" માર્ગદર્શિકા તરીકે સ્થાન આપે છે, એવું કહેવું જોઈએ કે પદ્ધતિને સ્પ્રેડશીટ્સમાં મૂકવાનું સૌથી સરળ સ્થાન છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક્સેલ. ફરીથી, મેટ્રિક્સના રૂપમાં કોષ્ટકમાં દાખલ થયેલ કોઈપણ SLAE ને એક્સેલ દ્વારા દ્વિ-પરિમાણીય એરે તરીકે ગણવામાં આવશે. અને તેમની સાથેની કામગીરી માટે ઘણા સરસ આદેશો છે: ઉમેરો (તમે માત્ર સમાન કદના મેટ્રિસિસ ઉમેરી શકો છો!), સંખ્યા વડે ગુણાકાર, મેટ્રિસનો ગુણાકાર (ચોક્કસ પ્રતિબંધો સાથે પણ), વ્યસ્ત અને સ્થાનાંતરિત મેટ્રિસિસ શોધવા અને, સૌથી અગત્યનું , નિર્ણાયકની ગણતરી. જો આ સમય માંગી લેનાર કાર્યને એક આદેશ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો મેટ્રિક્સનો ક્રમ વધુ ઝડપથી નક્કી કરવો શક્ય છે અને તેથી, તેની સુસંગતતા અથવા અસંગતતા સ્થાપિત કરો.