8 में समस्याओं का समाधान. मैं

लक्ष्य:

• शिक्षात्मक: विभेदीकरण के मूल सूत्रों और नियमों को दोहराएं, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ; कौशल का निर्माण करें जटिल अनुप्रयोगज्ञान, कौशल, योग्यताएं और नई परिस्थितियों में उनका स्थानांतरण; एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी में इस विषय पर छात्रों के ज्ञान, कौशल और क्षमताओं का परीक्षण करें।
• विकास संबंधी: मानसिक संचालन के विकास को बढ़ावा देना: विश्लेषण, संश्लेषण, सामान्यीकरण; आत्म-सम्मान कौशल का निर्माण।
• शिक्षात्मक: अपने ज्ञान में निरंतर सुधार की इच्छा को बढ़ावा देना

उपकरण:

• मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर.

पाठ का प्रकार:व्यवस्थितकरण और सामान्यीकरण।
ज्ञान का दायरा:दो पाठ (90 मिनट)
अपेक्षित परिणाम:शिक्षक संचार, रचनात्मक और खोज कौशल और प्राप्त कार्य का विश्लेषण करने की क्षमता विकसित करते हुए अर्जित ज्ञान का व्यावहारिक अनुप्रयोग में उपयोग करते हैं।

पाठ संरचना:

1. संगठन. फिलहाल, समाधान के लिए आवश्यक ज्ञान को अद्यतन करना व्यावहारिक कार्यएकीकृत राज्य परीक्षा सामग्री से।
2. व्यावहारिक भाग (छात्रों के ज्ञान का परीक्षण)।
3. चिंतन, रचनात्मक गृहकार्य

परामर्श प्रगति

I. संगठनात्मक क्षण।

पाठ विषय का संदेश, पाठ लक्ष्य, प्रेरणा शैक्षणिक गतिविधियां(एक समस्याग्रस्त सैद्धांतिक ज्ञान आधार के निर्माण के माध्यम से)।

द्वितीय. छात्रों के व्यक्तिपरक अनुभव और उनके ज्ञान को अद्यतन करना।

नियमों और परिभाषाओं की समीक्षा करें.

1) यदि किसी बिंदु पर फलन सतत है और उस पर व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, तो यह एक अधिकतम बिंदु है;

2) यदि किसी बिंदु पर फलन सतत है और उस पर व्युत्पन्न चिह्न ऋण से धन में बदलता है, तो यह एक न्यूनतम बिंदु है।

• महत्वपूर्ण बिंदु - ये किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र के आंतरिक बिंदु हैं जिन पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है या शून्य के बराबर है।
• वृद्धि का पर्याप्त संकेत, अवरोही कार्य .
• यदि अंतराल (ए; बी) से सभी एक्स के लिए एफ "(एक्स)>0, तो अंतराल (ए; बी) पर फ़ंक्शन बढ़ता है।
• यदि एफ "(एक्स)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

• सबसे बड़ा और खोजने के लिए एल्गोरिदम खंड [ए;बी] पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान, यदि फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ग्राफ़ दिया गया है:

यदि किसी खंड पर व्युत्पन्न धनात्मक है, तो a सबसे छोटा मान है, b सबसे बड़ा मान है।

यदि किसी खंड पर व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो a सबसे बड़ा है और b सबसे छोटा मान है।

ज्यामितीय अर्थव्युत्पन्न इस प्रकार है. यदि फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ पर भुज x0 वाले बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है जो y-अक्ष के समानांतर नहीं है, तो f "(x0) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है: κ = एफ "(x0). चूँकि κ = tanα, समानता f "(x0) = tanα सत्य है

आइए तीन मामलों पर विचार करें:

1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा ने OX अक्ष के साथ एक न्यून कोण बनाया, अर्थात। α< 90º. Производная положительная.
2. स्पर्शरेखा ने OX अक्ष के साथ एक अधिक कोण बनाया, अर्थात। α > 90º. व्युत्पन्न नकारात्मक है.
3. स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है। व्युत्पन्न शून्य है.

अभ्यास 1।चित्र एक ग्राफ़ दिखाता है कार्य y = f(x) और इस ग्राफ की स्पर्शरेखा भुज -1 वाले बिंदु पर खींची गई है। बिंदु x0 = -1 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए

समाधान: ए) फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा OX अक्ष के साथ एक अधिक कोण बनाती है। कमी सूत्र का उपयोग करके, हम इस कोण की स्पर्श रेखा tg(180º - α) = - tanα ज्ञात करते हैं। इसका मतलब है f "(x) = - tanα। हमने पहले जो अध्ययन किया था, उससे हम जानते हैं कि स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात के बराबर है।

ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं ताकि त्रिभुज के शीर्ष कोशिकाओं के शीर्ष पर हों। हम विपरीत दिशा और आसन्न की कोशिकाओं को गिनते हैं। विपरीत भुजा को आसन्न भुजा से विभाजित करें। (स्लाइड 44)

बी) फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा OX अक्ष के साथ एक न्यून कोण बनाती है।

f "(x)= tgα। उत्तर सकारात्मक होगा। (स्लाइड 30)

व्यायाम 2. चित्र एक ग्राफ दिखाता है यौगिकफ़ंक्शन f(x), अंतराल (-4; 13) पर परिभाषित। वे अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें फलन घटता है। अपने उत्तर में, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई बताएं।

समाधान: एफ "(एक्स)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

व्यावहारिक भाग.
35 मिनट. तैयार स्लाइडों के लिए पाठ के विषय पर सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता होती है। स्लाइड्स का उद्देश्य छात्रों को ज्ञान में सुधार करने और व्यावहारिक रूप से लागू करने में सक्षम बनाना है।
स्लाइड का उपयोग करके आप यह कर सकते हैं:
- फ्रंटल सर्वेक्षण (छात्रों की व्यक्तिगत विशेषताओं को ध्यान में रखा जाता है);
- मुख्य अवधारणाओं, गुणों, परिभाषाओं की सूचना सूत्रीकरण को स्पष्ट किया गया है;
- समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम. विद्यार्थियों को स्लाइडों का उत्तर देना होगा।

चतुर्थ. व्यक्तिगत काम। स्लाइडों का उपयोग करके समस्याओं का समाधान करना।

वी. पाठ का सारांश, प्रतिबिंब।

समाधान। अधिकतम अंक उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है। खंड पर, फ़ंक्शन के दो अधिकतम बिंदु x = 4 और x = 4 हैं। उत्तर: 2. यह आंकड़ा अंतराल (10; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। खंड पर फ़ंक्शन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें।

समाधान। यह आंकड़ा अंतराल (1; 12) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उन अंतरालों पर नकारात्मक होता है जिन पर फ़ंक्शन घटता है, यानी अंतराल (0.5; 3), (6; 10) और (11; 12) पर। उनमें पूर्णांक 1, 2, 7, 8 और 9 हैं। कुल मिलाकर 5 अंक हैं। उत्तर: 5.

यह आंकड़ा अंतराल (10; 4) पर परिभाषित फ़ंक्शन एफ (एक्स) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फलन f(x) के घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई बताएं। समाधान। फ़ंक्शन f(x) के घटते अंतराल उन अंतरालों के अनुरूप होते हैं जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक होता है, अर्थात लंबाई 3 का अंतराल (9; 6) और लंबाई 5 का अंतराल (2; 3) होता है। उनमें से सबसे बड़े की लंबाई 5 है। उत्तर: 5.

यह आंकड़ा अंतराल (7; 14) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। खंड पर फ़ंक्शन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें। समाधान। अधिकतम अंक उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न चिह्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है। खंड पर फ़ंक्शन का एक अधिकतम बिंदु x = 7 है। उत्तर: 1.

यह आंकड़ा अंतराल (8; 6) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फलन f(x) की वृद्धि के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई बताएं। समाधान। फ़ंक्शन f(x) की वृद्धि के अंतराल उन अंतरालों के अनुरूप होते हैं जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, अर्थात अंतराल (7; 5), (2; 5)। उनमें से सबसे बड़ा अंतराल (2; 5) है, जिसकी लंबाई 3 है।

यह आंकड़ा अंतराल (7; 10) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। खंड पर फ़ंक्शन f(x) के न्यूनतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें। समाधान। न्यूनतम अंक उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न का चिह्न शून्य से प्लस में बदल जाता है। खंड पर फ़ंक्शन का एक न्यूनतम बिंदु x = 4 है। उत्तर: 1.

यह आंकड़ा अंतराल (16; 4) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। खंड पर फ़ंक्शन f(x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें। समाधान। चरम बिंदु उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है और ग्राफ पर दिखाए गए व्युत्पन्न के शून्य। व्युत्पन्न बिंदु 13, 11, 9, 7 पर गायब हो जाता है। फ़ंक्शन के खंड पर 4 चरम बिंदु हैं। उत्तर - 4।

यह आंकड़ा अंतराल (2; 12) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन f(x) के चरम बिंदुओं का योग ज्ञात करें। समाधान। दिए गए फ़ंक्शन में बिंदु 1, 4, 9, 11 पर अधिकतम और बिंदु 2, 7, 10 पर न्यूनतम है। इसलिए, चरम बिंदुओं का योग = 44 है। उत्तर: 44।

यह चित्र फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ और भुज x 0 वाले बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है। बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें। समाधान। स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है, जो बदले में भुज अक्ष पर इस स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है। आइए बिंदु A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0) पर शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनाएं। x-अक्ष पर स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण कोण ACB के निकटवर्ती कोण के बराबर होगा

चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ दिखाता है और इस ग्राफ़ के भुज बिंदु पर एक स्पर्श रेखा 3 के बराबर है। बिंदु x = 3 पर इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें। हल करने के लिए, हम इसका उपयोग करते हैं व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ: बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का मान इस बिंदु पर खींचे गए इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है। स्पर्शरेखा कोण, स्पर्शरेखा और x-अक्ष की धनात्मक दिशा (tg α) के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है। कोण α = β, समानांतर रेखाओं y=0, y=1 और एक छेदक-स्पर्शरेखा के साथ क्रॉसस्वाइज़ कोण के रूप में। त्रिभुज ABC के लिए

चित्र फ़ंक्शन y=f(x) का ग्राफ़ और भुज x 0 वाले बिंदु पर स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें। के आधार पर स्पर्शरेखा के गुण, बिंदु x 0 पर फ़ंक्शन f(x) की स्पर्शरेखा का सूत्र y=f (x 0) x+b, b=const के बराबर है। चित्र से पता चलता है कि फ़ंक्शन f(x) की स्पर्शरेखा x) बिंदु पर x 0 बिंदु (-3;2), (5,4) से होकर गुजरता है। इसलिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बना सकते हैं

सूत्रों का कहना है

स्काइप के माध्यम से व्यक्तिगत पाठ प्रभावी ऑनलाइन प्रशिक्षण परगणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए।

प्रकार B8 की समस्याएँ व्युत्पन्न कार्यों के अनुप्रयोग पर समस्याएँ हैं। कार्यों में उद्देश्य:

• एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न खोजें
• फ़ंक्शन का चरम, अधिकतम और न्यूनतम अंक निर्धारित करें
• बढ़ने और घटने का अंतराल

आइए कुछ उदाहरण देखें. कार्य v8.1: चित्र फ़ंक्शन y=f (x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x0 पर फलन y=f (x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

थोड़ा सिद्धांत. यदि स्पर्श रेखा बढ़ रही है, तो अवकलज धनात्मक होगा, और यदि स्पर्श रेखा घट रही है, तो अवकलज ऋणात्मक होगा। फ़ंक्शन y'= tgА का व्युत्पन्न, जहां A, X अक्ष की स्पर्श रेखा के झुकाव का कोण है

समाधान: हमारे उदाहरण में, स्पर्शरेखा बढ़ रही है, जिसका अर्थ है कि व्युत्पन्न सकारात्मक होगा। समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें और उससे tan A = BC/AB ज्ञात करें, जहाँ BC, y अक्ष के अनुदिश बिंदुओं के बीच की दूरी है, AB, x अक्ष के अनुदिश बिंदुओं के बीच की दूरी है। ग्राफ़ पर विशेषता बिंदुओं को बोल्ड डॉट्स के साथ हाइलाइट किया गया है और अक्षर ए और सी द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। विशेषता बिंदु स्पष्ट और पूर्ण होने चाहिए। ग्राफ़ से यह स्पष्ट है कि AB = 5+3 = 8, और रवि = 3-1 = 2,

tgα= BC/AB=2/8=1/4=0.25, इसलिए व्युत्पन्न y'=0.25

उत्तर: 0,25

कार्य बी8.2 चित्र अंतराल (-9;4) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन f(x) के चरम बिंदुओं के भुजाओं का योग ज्ञात करें

समाधान: सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि चरम बिंदु क्या हैं? ये वे बिंदु हैं जिन पर व्युत्पन्न अपना चिह्न विपरीत में बदलता है, दूसरे शब्दों में, सभी "पहाड़ियों" और "घाटियों"। हमारे उदाहरण में, हमारे पास 4 "पहाड़ियाँ" और 4 "घाटियाँ" हैं। आइए सभी "लैंडस्केप" बिंदुओं को एक्स अक्ष पर ले जाएं और भुज का मान ज्ञात करें, अब एक्स अक्ष के साथ इन बिंदुओं का संपूर्ण मान जोड़ें

हमें -8-7-5-3-2+0+1+3=-21 मिलता है

उत्तर: -21

इस कार्य को कैसे हल करें, इस पर एक वीडियो ट्यूटोरियल देखें

सामग्री का उपयोग करके कार्य B8 को हल करना बैंक खोलेंगणित में एकीकृत राज्य परीक्षा समस्याएं 2012 रेखा y = 4x + 11 फ़ंक्शन y = x2 + 8x + 6 के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है। स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजें। नंबर 1 समाधान: यदि रेखा किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के समानांतर है (आइए इसे xo कहते हैं), तो इसकी ढलान (हमारे मामले में समीकरण y = 4x +11 से k = 4) के व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर है बिंदु xo पर फ़ंक्शन: k = f ′(xo) = 4 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न f′(x) = (x2+8x + 6) ′= 2x +8. इसका मतलब यह है कि स्पर्शरेखा का वांछित बिंदु खोजने के लिए यह आवश्यक है कि 2xo + 8 = 4, जिससे xo = – 2. उत्तर: – 2. सीधी रेखा y = 3x + 11 ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है

फलन y = x3−3x2− 6x + 6.

स्पर्शरेखा बिंदु का भुज खोजें।

नंबर 2 समाधान: ध्यान दें कि यदि रेखा ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है, तो इसकी ढलान (k = 3) स्पर्शरेखा के बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर होनी चाहिए, जिससे हमें Zx2 - 6x - 6 = 3 मिलता है , अर्थात, Zx2 − 6x − 9 = 0 या x2 − 2x − 3 = 0. इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं: −1 और 3. इस प्रकार, दो बिंदु हैं जिन पर फ़ंक्शन y के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा = x3 − 3x2 − 6x + 6 का ढलान 3 के बराबर है। यह निर्धारित करने के लिए कि इन दोनों बिंदुओं में से कौन सी सीधी रेखा y = 3x + 11 फ़ंक्शन के ग्राफ़ को छूती है, हम इन पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं बिंदु और जांचें कि क्या वे स्पर्शरेखा समीकरण को संतुष्ट करते हैं। बिंदु −1 पर फ़ंक्शन का मान y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8 है, और बिंदु 3 पर मान y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12 है। ध्यान दें कि निर्देशांक (−1; 8) वाला बिंदु स्पर्शरेखा समीकरण को संतुष्ट करता है, क्योंकि 8 = −3 + 11. लेकिन बिंदु (3; −12) स्पर्शरेखा समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, क्योंकि −12 ≠ 9 + 11. यह इसका मतलब है कि आवश्यक स्पर्शरेखा बिंदु का भुज −1 है। उत्तर: −1. चित्र y = f ′(x) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, जो अंतराल (-10; 8) पर परिभाषित है। खंड के किस बिंदु पर [-8; -4] फ़ंक्शन f(x) सबसे छोटा मान लेता है। नंबर 3 समाधान: ध्यान दें कि खंड पर [-8; -4] फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन स्वयं घट रहा है, जिसका अर्थ है कि यह खंड के दाहिने छोर पर इस खंड पर सबसे छोटा मान लेता है, अर्थात बिंदु -4.यू = पर f ′(x) f(x) -उत्तर: -4। चित्र y = f ′(x) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-8; 8) पर परिभाषित। खंड [- 6; से संबंधित फलन f(x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए; 6].नंबर 4समाधान: चरम बिंदु पर, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 के बराबर है या मौजूद नहीं है। यह देखा जा सकता है कि खंड से संबंधित ऐसे बिंदु हैं [-6; 6] तीन. इस मामले में, प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न या तो "+" से "-", या "-" से "+" में बदल जाता है। у = f ′(x) ++––उत्तर: 3। y = f ′(x) का ग्राफ़ - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-8; 10) पर परिभाषित। अंतराल (- 4; 8) पर फ़ंक्शन f(x) का चरम बिंदु खोजें। संख्या 5. समाधान: ध्यान दें कि अंतराल (-4; 8) पर बिंदु xo = 4 पर व्युत्पन्न 0 में बदल जाता है और इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न चिन्ह "-" से "+" में बदल जाता है, बिंदु 4 किसी दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का वांछित चरम बिंदु है। y = f ′(x) +–उत्तर: 4. चित्र y = f ′(x) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-8; 8) पर परिभाषित। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर फ़ंक्शन f(x) के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा रेखा y = -2x + 2 के समानांतर है या इसके साथ मेल खाती है। संख्या 6 समाधान: यदि फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है (x) रेखा y = -2x+ 2 के समानांतर है या इसके साथ संपाती है, तो इसका ढलान k = -2 है, जिसका अर्थ है कि हमें उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है जिन पर फ़ंक्शन f '(x) का व्युत्पन्न = - है। 2. ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न ग्राफ़ पर एक रेखा y = -2 खींचें और इस रेखा पर स्थित व्युत्पन्न ग्राफ़ पर बिंदुओं की संख्या गिनें। ऐसे 4 बिंदु हैं। y = f '(x) y = -2उत्तर: 4. चित्र अंतराल (-6; 5) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ऋणात्मक है। संख्या 7y समाधान: ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ऋणात्मक है यदि फ़ंक्शन f(x) स्वयं घट रहा है, जिसका अर्थ है कि संख्या ज्ञात करना आवश्यक है घटते फलन के अंतराल में शामिल पूर्णांक बिंदुओं की संख्या। ऐसे 6 बिंदु हैं: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x ) x–6–45–1–20–33उत्तर: 6. यह चित्र अंतराल (-6; 6) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f(x) का ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर स्पर्श रेखा है फ़ंक्शन का ग्राफ़ सीधी रेखा y = -5 के समानांतर है। संख्या 8yसमाधान: सीधी रेखा y = −5 क्षैतिज है, जिसका अर्थ है कि यदि फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा इसके समानांतर है, तो यह क्षैतिज भी है। नतीजतन, आवश्यक बिंदुओं पर ढलान k = f'(x)= 0. हमारे मामले में, ये चरम बिंदु हैं। ऐसे 6 बिंदु हैं। उसे भुज बिंदु xo पर। बिंदु xo पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। नंबर 9 समाधान: किसी दिए गए बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के समकोणीय गुणांक के लिए फ़ंक्शन f'(хo) = tanα = k के व्युत्पन्न का मान। हमारे मामले में, k > 0, चूँकि α एक न्यून कोण है (tgα > 0)। कोणीय गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम स्पर्शरेखा पर स्थित दो बिंदु A और B चुनते हैं, जिनके भुज और निर्देशांक पूर्णांक हैं। आइए अब कोणीय गुणांक का मापांक निर्धारित करें। ऐसा करने के लिए, हम त्रिभुज ABC की रचना करेंगे। tgα =ВС: AC = 5: 4 = 1.25 y = f(x) Вα5хоαС4Аउत्तर: 1.25. चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ दिखाता है, जो अंतराल (-10; 2) और स्पर्शरेखा पर परिभाषित है यह भुज xo वाले बिंदु पर है। बिंदु xo पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। नंबर 10समाधान: किसी दिए गए बिंदु पर इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के समकोणीय गुणांक के लिए फ़ंक्शन f'(хo) = tanα = k के व्युत्पन्न का मान। हमारे मामले में के< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, सीधीरेखीय गतिकानून x = x(t) के अनुसार निष्पादित, फ़ंक्शन xnput = के व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर है, वांछित गति x ′(t) = 0.5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ होगी (6) = 6 - 2 = 4 मी/से. उत्तर: 4. एक भौतिक बिंदु नियम x(t) = 0.5t2 - 2t - 22 के अनुसार सीधी रेखा में चलता है, जहां x मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, टी सेकंड में समय है, जिसे आंदोलन की शुरुआत से मापा जाता है। समय के किस बिंदु पर (सेकंड में) इसकी गति 4 मीटर/सेकेंड के बराबर थी? संख्या 16 समाधान। चूंकि समय पर एक बिंदु की तात्कालिक गति, कानून x = x(t) के अनुसार की गई सीधी गति, फ़ंक्शन xnput = to के व्युत्पन्न के मूल्य के बराबर है, वांछित गति x '(to) होगी = 0.5 ∙ 2 से – 2 = से – 2, क्योंकि शर्त के अनुसार, x '(से) = 4, फिर से - 2 = 4, जहां से = 4 + 2 = 6 मीटर/सेकेंड। उत्तर: 6. चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ दिखाता है, जिसे परिभाषित किया गया है अंतराल पर (- 8; 6)। फ़ंक्शन f(x) के चरम बिंदुओं का योग ज्ञात करें। संख्या 17 समाधान: चरम बिंदु न्यूनतम और अधिकतम बिंदु हैं। यह देखा जा सकता है कि अंतराल (-8; 6) से संबंधित पांच ऐसे बिंदु हैं। आइए उनके भुजाओं का योग ज्ञात करें: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f '(x) उत्तर: 6. चित्र व्युत्पन्न y = f' का एक ग्राफ दिखाता है (x) - फ़ंक्शन f (x), अंतराल (-10; 8) पर परिभाषित। बढ़ते फलन f(x) के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, इन अंतरालों में शामिल पूर्णांक बिंदुओं का योग इंगित करें। समाधान: ध्यान दें कि यदि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न सकारात्मक है तो फ़ंक्शन f(x) बढ़ता है; जिसका अर्थ है कि बढ़ते फलन के अंतराल में शामिल पूर्णांक बिंदुओं का योग ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसे 7 बिंदु हैं: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x = 6, x = 7. उनका योग: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357उत्तर: 20. प्रयुक्त सामग्री

एकीकृत राज्य परीक्षा 2012। गणित। समस्या बी8. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ. वर्कबुक/ ईडी। ए.एल. सेमेनोव और आई.वी. यशचेंको। तीसरा संस्करण. स्टीरियोटाइप. − एम.: एमटीएसएनएमओ, 2012. − 88 पी.

http://mathege.ru/or/ege/Main− गणित 2012 में कार्यों के खुले बैंक की सामग्री