Larutan.
Kemungkinan tidak ada lambang yang terambil: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Peluang terambilnya tiga lambang: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Hukum distribusi variabel acak X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Contoh No.2. Peluang satu penembak mengenai sasaran dengan satu tembakan untuk penembak pertama adalah 0,8, untuk penembak kedua – 0,85. Para penembak melepaskan satu tembakan ke sasaran. Mengingat mengenai sasaran sebagai kejadian independen bagi penembak individu, tentukan peluang terjadinya kejadian A – tepat satu sasaran tepat sasaran.
Larutan.
Pertimbangkan peristiwa A - satu pukulan tepat sasaran. Opsi yang memungkinkan Terjadinya peristiwa ini adalah sebagai berikut:
- Penembak pertama mengenai, penembak kedua meleset: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Penembak pertama meleset, penembak kedua mengenai sasaran: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Panah pertama dan kedua mengenai target secara independen satu sama lain: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Seperti diketahui, variabel acak disebut besaran variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak menunjukkan dalam huruf kapital Alfabet Latin(X, Y, Z), dan nilainya ditunjukkan dengan huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu.
Variabel acak diskrit ditelepon nilai acak, hanya mengambil himpunan nilai yang berhingga atau tak terhingga (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol.
Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitasnya yang bersesuaian. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut.
1 . Hukum distribusi dapat diberikan dalam tabel:
dimana λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) dengan menggunakan fungsi distribusi F(x) , yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x, yaitu. F(x) = P(X< x).
Sifat-sifat fungsi F(x)
3 . Hukum distribusi dapat ditentukan secara grafis – poligon distribusi (poligon) (lihat soal 3).
Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau lebih angka yang paling mencerminkan fitur penting hukum distribusi. Ini mungkin berupa angka yang memiliki arti "rata-rata" dari suatu variabel acak, atau angka yang menunjukkan ukuran rata-rata deviasi variabel acak dari nilai rata-ratanya. Bilangan semacam ini disebut ciri numerik suatu variabel acak.
Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit :
- Harapan matematis
(nilai rata-rata) dari variabel acak diskrit M(X)=Σ x saya p saya.
Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ - Penyebaran
variabel acak diskrit D(X)=M2 atau D(X) = M(X 2)− 2. Selisih X–M(X) disebut deviasi suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λ - Deviasi standar (deviasi standar) σ(X)=√D(X).
Contoh penyelesaian masalah pada topik “Hukum distribusi variabel acak diskrit”
Tugas 1.
1000 tiket lotre diterbitkan: 5 di antaranya akan memenangkan 500 rubel, 10 akan memenangkan 100 rubel, 20 akan memenangkan 50 rubel, 50 akan memenangkan 10 rubel. Tentukan hukum distribusi probabilitas dari variabel acak X - kemenangan per tiket.
Larutan. Menurut kondisi soal, nilai variabel acak X berikut ini mungkin: 0, 10, 50, 100, dan 500.
Banyaknya tiket tanpa kemenangan adalah 1000 – (5+10+20+50) = 915, maka P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Demikian pula, kita menemukan semua probabilitas lainnya: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Mari kita sajikan hukum yang dihasilkan dalam bentuk tabel:
Mari kita cari ekspektasi matematis dari nilai X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Tugas 3.
Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen. Peluang kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Buatlah hukum distribusi jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan, buatlah poligon distribusi. Temukan fungsi distribusi F(x) dan plotlah. Temukan ekspektasi matematis, varians, dan deviasi standar dari variabel acak diskrit.
Larutan. 1. Variabel acak diskrit X=(jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan) memiliki persamaan berikut nilai yang mungkin: x 1 =0 (tidak ada elemen perangkat yang gagal), x 2 =1 (satu elemen gagal), x 3 =2 (dua elemen gagal) dan x 4 =3 (tiga elemen gagal).
Kegagalan elemen tidak bergantung satu sama lain, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah sama, oleh karena itu dapat diterapkan rumus Bernoulli
. Mengingat, berdasarkan kondisi, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kita menentukan probabilitas nilai:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Periksa: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Jadi, hukum distribusi binomial X yang diinginkan berbentuk:
Kami memplot kemungkinan nilai x i sepanjang sumbu absis, dan probabilitas p i yang sesuai sepanjang sumbu ordinat. Mari kita buat poin M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Dengan menghubungkan titik-titik tersebut dengan ruas garis lurus, diperoleh poligon distribusi yang diinginkan.
3. Mari kita cari fungsi distribusi F(x) = Р(Х
Untuk x ≤ 0 kita mempunyai F(x) = Р(Х<0) = 0;untuk 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
untuk 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
untuk 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
untuk x > 3 maka F(x) = 1, karena acara tersebut dapat diandalkan.
 |
Grafik fungsi F(x)
4.
Untuk distribusi binomial X:
- ekspektasi matematis M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varians D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- simpangan baku σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Acak diskrit Variabel adalah variabel acak yang hanya mengambil nilai yang berjauhan satu sama lain dan dapat dicantumkan terlebih dahulu.
Hukum distribusi
Hukum distribusi variabel acak adalah hubungan yang membentuk hubungan antara nilai-nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitasnya yang sesuai.
Deret distribusi variabel acak diskrit adalah daftar nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai.
Fungsi distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi:
,
menentukan untuk setiap nilai argumen x probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai kurang dari x ini.
Ekspektasi variabel acak diskrit
,
dimana nilai variabel acak diskrit; - probabilitas suatu variabel acak menerima nilai X.
Jika suatu variabel acak mengambil sekumpulan nilai yang mungkin dapat dihitung, maka: 
.
Ekspektasi matematis dari banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam n percobaan bebas:
,
Dispersi dan deviasi standar dari variabel acak diskrit
Dispersi variabel acak diskrit: 
atau 
.
Varians banyaknya kemunculan suatu peristiwa dalam n percobaan bebas 
,
dimana p adalah peluang terjadinya suatu peristiwa.
Simpangan baku dari variabel acak diskrit: 
.
Contoh 1
Buatlah hukum distribusi probabilitas untuk variabel acak diskrit (DRV) X – jumlah k kemunculan paling sedikit satu “enam” dalam n = 8 pelemparan sepasang dadu. Buatlah poligon distribusi. Temukan karakteristik numerik dari distribusi (mode distribusi, ekspektasi matematis M(X), dispersi D(X), simpangan baku s(X)). Larutan: Mari kita perkenalkan notasi: kejadian A – “saat melempar sepasang dadu, muncul angka enam setidaknya satu kali.” Untuk mencari peluang P(A) = p kejadian A, akan lebih mudah jika kita mencari terlebih dahulu peluang P(Ā) = q kejadian sebaliknya Ā - “saat melempar sepasang dadu, angka enam tidak pernah muncul.”
Karena peluang munculnya angka “enam” pada pelemparan satu dadu adalah 5/6, maka menurut teorema perkalian peluang
P(Ā) = q = = .
Masing-masing,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Tes dalam soal mengikuti skema Bernoulli, jadi d.s.v. besarnya X- nomor k terjadinya paling sedikit satu angka enam ketika melempar dua dadu mematuhi hukum binomial distribusi probabilitas: 
dimana = adalah banyaknya kombinasi dari N Oleh k.
Perhitungan yang dilakukan untuk masalah ini dapat dengan mudah disajikan dalam bentuk tabel:
Distribusi probabilitas d.s.v. X º k (N = 8; P = ; Q = )
| k | ||||||||||
hal(k) |
Poligon (poligon) distribusi probabilitas suatu variabel acak diskrit X ditunjukkan pada gambar:
Beras. Poligon distribusi probabilitas d.s.v. X=k.
Garis vertikal menunjukkan ekspektasi matematis dari distribusi M(X).
Mari kita cari karakteristik numerik dari distribusi probabilitas d.s.v. X. Mode distribusinya adalah 2 (di sini P 8(2) = maksimum 0,2932). Ekspektasi matematis menurut definisi adalah:
M(X) = = 2,4444,
Di mana xk = k– nilai yang diambil oleh d.s.v. X. Perbedaan D(X) kita mencari distribusinya menggunakan rumus:
D(X) = 
= 4,8097.
Deviasi standar (RMS):
S( X) = = 2,1931.
Contoh2
Variabel acak diskrit X diberikan oleh hukum distribusi
Larutan. Jika , maka (properti ketiga).
Jika kemudian. Benar-benar, X dapat mengambil nilai 1 dengan probabilitas 0,3.
Jika kemudian. Memang benar, jika hal tersebut dapat memenuhi ketimpangan
, maka sama dengan peluang suatu kejadian yang dapat terjadi pada saat X akan mengambil nilai 1 (probabilitas kejadian ini adalah 0,3) atau nilai 4 (probabilitas kejadian ini adalah 0,1). Karena kedua kejadian tersebut tidak serasi, maka menurut teorema penjumlahan, peluang suatu kejadian sama dengan jumlah peluang 0,3 + 0,1 = 0,4. Jika kemudian. Memang benar suatu kejadian pasti, sehingga peluangnya sama dengan satu. Jadi, fungsi distribusi secara analitis dapat dituliskan sebagai berikut: 
Grafik fungsi ini:
Mari kita cari probabilitas yang sesuai dengan nilai-nilai ini. Dengan syarat, kemungkinan kegagalan perangkat adalah sama: maka kemungkinan perangkat akan berfungsi selama masa garansi adalah sama: 
Hukum distribusi berbentuk:
Institusi pendidikan "Negara Bagian Belarusia
akademi pertanian"
Departemen Matematika Tinggi
Pedoman
mempelajari topik “Variabel Acak” oleh mahasiswa Fakultas Akuntansi Pendidikan Korespondensi (NISPO)
Gorki, 2013
Variabel acak
Variabel acak diskrit dan kontinu
Salah satu konsep utama dalam teori probabilitas adalah konsep variabel acak . Variabel acak adalah besaran yang, sebagai hasil pengujian, hanya mengambil satu dari sekian banyak nilai yang mungkin, dan tidak diketahui sebelumnya yang mana.
Ada variabel acak diskrit dan kontinyu . Variabel acak diskrit (DRV) adalah variabel acak yang dapat mengambil sejumlah nilai berhingga yang diisolasi satu sama lain, yaitu. jika nilai yang mungkin dari besaran ini dapat dihitung ulang. Variabel acak kontinu (CRV) adalah variabel acak, semua nilai yang mungkin memenuhi interval tertentu dari garis bilangan.
Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital alfabet latin X, Y, Z, dst. Nilai yang mungkin dari variabel acak ditunjukkan dengan huruf kecil yang sesuai.
Catatan 
berarti "probabilitas suatu variabel acak X akan mengambil nilai 5, sama dengan 0,28.”
Contoh 1 . Dadu dilempar satu kali. Dalam hal ini, angka dari 1 hingga 6 mungkin muncul, menunjukkan jumlah poin. Mari kita nyatakan variabel acak X=(jumlah poin yang diperoleh). Variabel acak hasil pengujian ini hanya dapat mengambil satu dari enam nilai: 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Oleh karena itu, variabel acak X ada DSV.
Contoh 2 . Ketika sebuah batu dilempar, ia menempuh jarak tertentu. Mari kita nyatakan variabel acak X=(jarak terbang batu). Variabel acak ini dapat mengambil nilai apa pun, tetapi hanya satu, dari interval tertentu. Oleh karena itu, variabel acak X ada NSV.
Hukum distribusi variabel acak diskrit
Variabel acak diskrit dicirikan oleh nilai yang dapat diambilnya dan probabilitas pengambilan nilai tersebut. Korespondensi antara nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit dan probabilitasnya disebut hukum distribusi variabel acak diskrit .
Jika semua nilai yang mungkin diketahui 
variabel acak X dan probabilitas 
munculnya nilai-nilai tersebut, maka diyakini bahwa hukum distribusi DSV X diketahui dan dapat ditulis dalam bentuk tabel:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Hukum distribusi DSV dapat digambarkan secara grafis jika titik-titik digambarkan dalam sistem koordinat persegi panjang 
,
,
…,
dan menghubungkannya dengan segmen garis lurus. Gambar yang dihasilkan disebut poligon distribusi.
Contoh 3 . Biji-bijian yang dimaksudkan untuk dibersihkan mengandung 10% gulma. 4 butir dipilih secara acak. Mari kita nyatakan variabel acak X=(jumlah gulma di antara empat gulma yang dipilih). Buatlah hukum distribusi DSV X dan poligon distribusi.
Larutan . Sesuai dengan ketentuan contoh. Kemudian:
Mari kita tuliskan hukum distribusi DSV X dalam bentuk tabel dan buat poligon distribusi:
|
|
Ekspektasi variabel acak diskrit
Sifat terpenting dari variabel acak diskrit dijelaskan oleh karakteristiknya. Salah satu ciri tersebut adalah nilai yang diharapkan variabel acak.
Biarkan hukum distribusi DSV diketahui X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Harapan matematis
DSV X adalah jumlah produk dari setiap nilai besaran ini dengan probabilitas yang sesuai: 
.
Ekspektasi matematis dari suatu variabel acak kira-kira sama dengan rata-rata aritmatika dari semua nilainya. Oleh karena itu, dalam permasalahan praktis, nilai rata-rata dari variabel acak ini sering diambil sebagai ekspektasi matematis.
Contoh 8 . Penembak mencetak 4, 8, 9 dan 10 poin dengan probabilitas 0,1, 0,45, 0,3 dan 0,15. Temukan ekspektasi matematis dari jumlah poin dengan satu tembakan.
Larutan . Mari kita nyatakan variabel acak X=(jumlah poin yang dicetak). Kemudian . Jadi, jumlah rata-rata poin yang diharapkan yang dicetak dengan satu tembakan adalah 8,2, dan dengan 10 tembakan - 82.
Properti utama ekspektasi matematisnya adalah:
.
.
, Di mana 
,
.
.
, Di mana X Dan Y adalah variabel acak independen.
Perbedaan 
ditelepon deviasi
variabel acak X dari ekspektasi matematisnya. Perbedaan ini adalah variabel acak dan ekspektasi matematisnya nol, yaitu. 
.
Varians dari variabel acak diskrit
Untuk mengkarakterisasi suatu variabel acak, selain ekspektasi matematis, kami juga menggunakan penyebaran , yang memungkinkan untuk memperkirakan dispersi (penyebaran) nilai-nilai variabel acak di sekitar ekspektasi matematisnya. Saat membandingkan dua variabel acak homogen dengan ekspektasi matematis yang sama, nilai “terbaik” dianggap sebagai nilai yang penyebarannya lebih kecil, yaitu. dispersinya lebih sedikit.
Perbedaan variabel acak X disebut ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat suatu variabel acak dari ekspektasi matematisnya: .
Dalam soal-soal praktis, rumus ekuivalen digunakan untuk menghitung varians.
Sifat utama dispersi adalah:
.
Kita dapat menyoroti hukum distribusi variabel acak diskrit yang paling umum:
- Hukum distribusi binomial
- hukum distribusi Poisson
- Hukum distribusi geometris
- Hukum distribusi hipergeometri
Untuk distribusi variabel acak diskrit tertentu, perhitungan probabilitas nilainya, serta karakteristik numerik (ekspektasi matematis, varians, dll.) dilakukan dengan menggunakan “rumus” tertentu. Oleh karena itu, sangat penting untuk mengetahui jenis-jenis distribusi dan sifat dasarnya.
1. Hukum distribusi binomial.
Variabel acak diskrit $X$ tunduk pada hukum distribusi probabilitas binomial jika mengambil nilai $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\kiri(1-p\kanan))^(n-k)$. Faktanya, variabel acak $X$ adalah jumlah kemunculan peristiwa $A$ dalam uji coba independen $n$. Hukum distribusi probabilitas variabel acak $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \titik & n \\
\hline
p_i & P_n\kiri(0\kanan) & P_n\kiri(1\kanan) & \titik & P_n\kiri(n\kanan) \\
\hline
\end(array)$
Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasi matematisnya adalah $M\left(X\right)=np$, variansnya adalah $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Contoh . Keluarga itu memiliki dua anak. Dengan asumsi peluang mempunyai anak laki-laki dan perempuan sama dengan $0,5$, carilah hukum distribusi variabel acak $\xi$ - jumlah anak laki-laki dalam keluarga.
Misalkan variabel acak $\xi $ adalah jumlah anak laki-laki dalam keluarga. Nilai yang dapat diambil $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Probabilitas nilai-nilai ini dapat ditemukan menggunakan rumus $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, dimana $n =2$ adalah jumlah percobaan independen, $p=0.5$ adalah probabilitas suatu kejadian terjadi dalam serangkaian $n$ percobaan. Kita mendapatkan:
$P\kiri(\xi =0\kanan)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\kiri(\xi =1\kanan)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$
$P\kiri(\xi =2\kanan)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$
Maka hukum distribusi variabel acak $\xi $ adalah korespondensi antara nilai $0,\ 1,\ 2$ dan probabilitasnya, yaitu:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$
Jumlah probabilitas dalam hukum distribusi harus sama dengan $1$, yaitu $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.
Harapan $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varians $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0,5=0,5$, deviasi standar $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\kira-kira $0,707.
2. Hukum distribusi Poisson.
Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat non-negatif $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Komentar. Keunikan distribusi ini adalah, berdasarkan data eksperimen, kita menemukan perkiraan $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan)$, jika perkiraan yang diperoleh berdekatan, maka kita punya alasan untuk menyatakan bahwa variabel acak tunduk pada hukum distribusi Poisson.
Contoh . Contoh variabel acak yang tunduk pada hukum distribusi Poisson dapat berupa: jumlah mobil yang akan dilayani oleh sebuah SPBU besok; jumlah item cacat dalam produk yang diproduksi.
Contoh . Pabrik mengirimkan produk senilai $500 ke pangkalan. Kemungkinan kerusakan pada produk dalam perjalanan adalah $0,002$. Temukan hukum distribusi variabel acak $X$ yang sama dengan jumlah produk rusak; apa itu $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan)$.
Misalkan variabel acak diskrit $X$ adalah jumlah produk yang rusak. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum distribusi Poisson dengan parameter $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Probabilitas nilainya sama dengan $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\kiri(X=0\kanan)=((1^0)\lebih (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\kiri(X=1\kanan)=((1^1)\lebih (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\kiri(X=2\kanan)=((1^2)\lebih (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\kiri(X=3\kanan)=((1^3)\lebih (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\kiri(X=4\kanan)=((1^4)\lebih (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\kiri(X=5\kanan)=((1^5)\lebih (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\kiri(X=6\kanan)=((1^6)\lebih (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\kiri(X=k\kanan)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Hukum distribusi variabel acak $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasi dan varians matematisnya sama satu sama lain dan sama dengan parameter $\lambda $, yaitu $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Hukum distribusi geometri.
Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai natural $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) kanan)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, maka mereka mengatakan bahwa variabel acak $X$ tunduk pada hukum geometri distribusi probabilitas. Faktanya, distribusi geometri merupakan uji Bernoulli hingga keberhasilan pertama.
Contoh . Contoh variabel acak yang mempunyai sebaran geometri dapat berupa: jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran; jumlah pengujian perangkat hingga kegagalan pertama; jumlah pelemparan koin sampai muncul kepala pertama, dan seterusnya.
Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak yang tunduk pada distribusi geometri masing-masing sama dengan $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2.
Contoh . Dalam perjalanan ikan menuju tempat pemijahan terdapat gembok $4$. Peluang ikan melewati setiap kunci adalah $p=3/5$. Buatlah rangkaian distribusi variabel acak $X$ - jumlah gembok yang dilewati ikan sebelum penahanan pertama pada gembok tersebut. Temukan $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan),\ \sigma \kiri(X\kanan)$.
Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah gembok yang dilewati ikan sebelum gembok pertama kali ditangkap. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum geometri distribusi probabilitas. Nilai yang dapat diambil oleh variabel acak $X:$1, 2, 3, 4. Probabilitas nilai-nilai ini dihitung menggunakan rumus: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, dimana: $ p=2/5$ - peluang ikan tertahan melalui gembok, $q=1-p=3/5$ - peluang ikan melewati gembok, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\kiri(X=1\kanan)=((2)\lebih dari (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^0=((2)\ lebih (5))=0,4;$
$P\kiri(X=2\kanan)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24;
$P\kiri(X=3\kanan)=((2)\lebih (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^2=((2)\ lebih (5))\cdot ((9)\lebih (25))=((18)\lebih (125))=0,144;$
$P\kiri(X=4\kanan)=((2)\lebih dari (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^3+(\kiri(( (3)\over (5))\kanan))^4=((27)\over (125))=0,216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\kiri(X_i\kanan) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$
Nilai yang diharapkan:
$M\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
Penyebaran:
$D\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_i(\kiri(x_i-M\kiri(X\kanan)\kanan))^2=)0,4\cdot (\ kiri( 1-2,176\kanan))^2+0,24\cdot (\kiri(2-2,176\kanan))^2+0,144\cdot (\kiri(3-2,176\kanan))^2+$
$+\0,216\cdot (\kiri(4-2,176\kanan))^2\kira-kira 1,377.$
Deviasi standar:
$\sigma \kiri(X\kanan)=\sqrt(D\kiri(X\kanan))=\sqrt(1,377)\kira-kira 1,173.$
4. Hukum distribusi hipergeometri.
Jika objek $N$, di antaranya objek $m$ memiliki properti tertentu. Objek $n$ diambil secara acak tanpa dikembalikan, di antaranya terdapat objek $k$ yang memiliki properti tertentu. Distribusi hipergeometri memungkinkan untuk memperkirakan probabilitas bahwa objek $k$ dalam sampel memiliki properti tertentu. Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah objek dalam sampel yang mempunyai properti tertentu. Maka peluang nilai variabel acak $X$:
$P\kiri(X=k\kanan)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Komentar. Fungsi statistik HYPERGEOMET dari wizard fungsi $f_x$ Excel memungkinkan Anda menentukan probabilitas bahwa sejumlah pengujian akan berhasil.
$f_x\ke$ statistik$\ke$ HIPERGEOMET$\ke$ OKE. Sebuah kotak dialog akan muncul yang perlu Anda isi. Di kolom Jumlah_kesuksesan_dalam_sampel menunjukkan nilai $k$. ukuran sampel sama dengan $n$. Di kolom Jumlah_kesuksesan_dalam_bersama menunjukkan nilai $m$. ukuran populasi sama dengan $N$.
Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak diskrit $X$, sesuai dengan hukum distribusi geometri, masing-masing sama dengan $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
Contoh . Departemen kredit bank mempekerjakan 5 spesialis dengan pendidikan keuangan tinggi dan 3 spesialis dengan pendidikan hukum tinggi. Manajemen bank memutuskan untuk mengirimkan 3 orang spesialis untuk meningkatkan kualifikasinya, memilih mereka secara acak.
a) Membuat rangkaian distribusi jumlah dokter spesialis dengan pendidikan tinggi keuangan yang dapat dikirim untuk meningkatkan kualifikasinya;
b) Temukan karakteristik numerik dari distribusi ini.
Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah spesialis dengan pendidikan keuangan yang lebih tinggi di antara tiga spesialis yang dipilih. Nilai yang dapat diambil $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Variabel acak $X$ ini didistribusikan menurut distribusi hipergeometri dengan parameter berikut: $N=8$ - ukuran populasi, $m=5$ - jumlah keberhasilan dalam populasi, $n=3$ - ukuran sampel, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - jumlah keberhasilan dalam sampel. Maka probabilitas $P\left(X=k\right)$ dapat dihitung dengan menggunakan rumus: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ lebih dari C_( N)^(n) ) $. Kita punya:
$P\kiri(X=0\kanan)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\kira-kira 0,018;$
$P\kiri(X=1\kanan)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\kira-kira 0,268;$
$P\kiri(X=2\kanan)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\kira-kira 0,536;$
$P\kiri(X=3\kanan)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\kira-kira 0,179.$
Kemudian deret distribusi variabel acak $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$
Mari kita hitung karakteristik numerik dari variabel acak $X$ menggunakan rumus hiper umum distribusi geometris.
$M\kiri(X\kanan)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\kiri(X\kanan)=((nm\kiri(1-((m)\over (N))\kanan)\kiri(1-((n)\over (N))\kanan)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\kanan))\lebih dari (8-1))=((225)\lebih (448))\kira-kira 0,502.$
$\sigma \kiri(X\kanan)=\sqrt(D\kiri(X\kanan))=\sqrt(0,502)\kira-kira 0,7085.$
