Persamaan linear. Solusi, contoh.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Persamaan linear.
Persamaan linear- bukan topik tersulit dalam matematika sekolah. Namun ada beberapa trik yang dapat membingungkan siswa yang sudah terlatih sekalipun. Mari kita cari tahu?)
Biasanya persamaan linier didefinisikan sebagai persamaan dengan bentuk:
kapak + B = 0 Di mana a dan b– nomor apa pun.
2x + 7 = 0. Sini sebuah=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Disini Sebuah=0,1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Disini sebuah=12, b=1/2
Tidak ada yang rumit, bukan? Apalagi jika Anda tidak memperhatikan kata-kata: "di mana a dan b adalah bilangan apa saja"... Dan jika Anda memperhatikan dan memikirkannya secara sembarangan?) Lagi pula, jika sebuah=0, b=0(adakah angka yang mungkin?), maka kita mendapatkan ekspresi lucu:
Tapi bukan itu saja! Jika, katakanlah, sebuah=0, A b=5, Ini ternyata merupakan sesuatu yang sangat luar biasa:
Yang menjengkelkan dan meruntuhkan kepercayaan diri terhadap matematika ya...) Apalagi saat ujian. Namun dari ekspresi aneh ini Anda juga perlu menemukan X! Yang tidak ada sama sekali. Dan yang mengejutkan, X ini sangat mudah ditemukan. Kami akan belajar melakukan ini. Dalam pelajaran ini.
Bagaimana cara mengenali persamaan linear dari tampilannya? Tergantung apa penampilan.) Caranya adalah tidak hanya persamaan bentuk saja yang disebut persamaan linier kapak + B = 0 , tetapi juga persamaan apa pun yang dapat direduksi menjadi bentuk ini melalui transformasi dan penyederhanaan. Dan siapa yang tahu apakah itu turun atau tidak?)
Persamaan linier dapat dikenali dengan jelas dalam beberapa kasus. Katakanlah, jika kita memiliki persamaan yang hanya berisi bilangan dan derajat pertama yang tidak diketahui. Dan dalam persamaannya tidak ada pecahan dibagi tidak dikenal , itu penting! Dan pembagian berdasarkan nomor, atau pecahan numerik - diterima! Misalnya:
Ini adalah persamaan linier. Ada pecahan di sini, tetapi tidak ada x pada persegi, kubus, dan seterusnya, dan tidak ada x pada penyebutnya, mis. TIDAK pembagian dengan x. Dan inilah persamaannya
tidak bisa disebut linier. Di sini X semuanya ada pada derajat pertama, tapi ada pembagian dengan ekspresi dengan x. Setelah penyederhanaan dan transformasi, Anda bisa mendapatkan persamaan linier, persamaan kuadrat, atau apapun yang Anda inginkan.
Ternyata tidak mungkin mengenali persamaan linier dalam beberapa contoh rumit sampai Anda hampir menyelesaikannya. Ini menjengkelkan. Tapi dalam tugas biasanya mereka tidak menanyakan bentuk persamaannya kan? Tugas meminta persamaan memutuskan. Ini membuatku senang.)
Memecahkan persamaan linier. Contoh.
Seluruh solusi persamaan linear terdiri dari transformasi persamaan yang identik. Omong-omong, transformasi ini (dua di antaranya!) adalah dasar dari solusinya semua persamaan matematika. Dengan kata lain, solusinya setiap persamaannya dimulai dengan transformasi ini. Dalam kasus persamaan linier, penyelesaiannya didasarkan pada transformasi ini dan diakhiri dengan jawaban lengkap. Masuk akal untuk mengikuti tautannya, bukan?) Selain itu, ada juga contoh penyelesaian persamaan linier di sana.
Pertama, mari kita lihat contoh paling sederhana. Tanpa jebakan apa pun. Misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan ini.
x - 3 = 2 - 4x
Ini adalah persamaan linier. Tanda X semuanya ada pada pangkat satu, tidak ada pembagian dengan X. Namun, pada kenyataannya, tidak menjadi masalah bagi kita persamaan apa yang digunakan. Kita perlu menyelesaikannya. Skema di sini sederhana. Kumpulkan semuanya dengan X di sisi kiri persamaan, semuanya tanpa X (angka) di sebelah kanan.
Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan transfer - 4x masuk sisi kiri, dengan perubahan tanda tentunya, dan - 3 - ke kanan. Ngomong-ngomong, ini dia transformasi persamaan identik pertama. Terkejut? Artinya Anda tidak mengikuti tautan tersebut, tetapi sia-sia...) Kita mendapatkan:
x + 4x = 2 + 3
Berikut ini yang serupa, kami pertimbangkan:
Apa yang kita butuhkan untuk kebahagiaan seutuhnya? Ya, sehingga ada X murni di sebelah kiri! Lima menghalangi. Menyingkirkan kelimanya dengan bantuan transformasi persamaan identik kedua. Yaitu, kita membagi kedua ruas persamaan dengan 5. Kita mendapatkan jawaban yang sudah jadi:
Sebuah contoh mendasar, tentu saja. Ini untuk pemanasan.) Tidak begitu jelas mengapa saya mengingat transformasi yang sama di sini? OKE. Mari kita ambil risikonya.) Mari kita putuskan sesuatu yang lebih solid.
Misalnya, inilah persamaannya:
Di mana kita mulai? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Bisa jadi begitu. Langkah kecil di sepanjang jalan yang panjang. Atau Anda bisa segera, secara universal dan dengan cara yang ampuh. Jika, tentu saja, Anda memiliki transformasi persamaan yang identik di gudang senjata Anda.
Saya mengajukan pertanyaan kunci kepada Anda: Apa yang paling tidak Anda sukai dari persamaan ini?
95 dari 100 orang akan menjawab: pecahan ! Jawabannya benar. Jadi mari kita singkirkan mereka. Oleh karena itu, kita segera mulai dengan transformasi identitas kedua. Pecahan di sebelah kiri perlu dikalikan dengan apa agar penyebutnya berkurang seluruhnya? Benar, jam 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tapi matematika memungkinkan kita mengalikan kedua ruas dengan nomor yang sama. Bagaimana kita bisa keluar? Kalikan kedua ruasnya dengan 12! Itu. ke penyebut yang sama. Maka baik yang tiga maupun yang empat akan dikurangi. Jangan lupa bahwa Anda perlu mengalikan setiap bagian sepenuhnya. Berikut tampilan langkah pertamanya:
Memperluas tanda kurung:
Catatan! Pembilang (x+2) Saya memasukkannya ke dalam tanda kurung! Ini karena saat mengalikan pecahan, seluruh pembilangnya dikalikan! Sekarang Anda dapat mengurangi pecahan:
Luaskan tanda kurung yang tersisa:
Bukan contoh, tapi kesenangan murni!) Sekarang mari kita ingat mantranya kelas junior: dengan tanda X - ke kiri, tanpa tanda X - ke kanan! Dan terapkan transformasi ini:
Berikut beberapa yang serupa:
Dan bagi kedua bagian dengan 25, mis. terapkan transformasi kedua lagi:
Itu saja. Menjawab: X=0,16
Harap diperhatikan: untuk mengubah persamaan awal yang membingungkan menjadi bentuk yang bagus, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi identitas– translasi kiri-kanan dengan perubahan tanda dan perkalian-pembagian suatu persamaan dengan bilangan yang sama. Ini adalah metode universal! Kami akan bekerja dengan cara ini setiap persamaan! Tentu saja siapa pun. Itu sebabnya saya terus-menerus mengulangi transformasi serupa ini.)
Seperti yang Anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linear itu sederhana. Kita ambil persamaannya dan sederhanakan menggunakan transformasi identik hingga kita mendapatkan jawabannya. Masalah utama di sini terletak pada perhitungannya, bukan pada prinsip penyelesaiannya.
Tapi... Ada begitu banyak kejutan dalam proses penyelesaian persamaan linier paling dasar sehingga bisa membuat Anda sangat pingsan...) Untungnya, hanya ada dua kejutan seperti itu. Sebut saja itu kasus khusus.
Kasus khusus dalam menyelesaikan persamaan linear.
Kejutan pertama.
Misalkan Anda menemukan persamaan yang sangat mendasar, seperti:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Sedikit bosan, kita pindahkan dengan tanda X ke kiri, tanpa tanda X - ke kanan... Dengan perubahan tanda, semuanya sempurna... Kita mendapatkan:
2x-5x+3x=5-2-3
Kami menghitung, dan... ups!!! Kita mendapatkan:
Kesetaraan ini sendiri tidak dapat ditolak. Nol sebenarnya adalah nol. Tapi X hilang! Dan kita harus menuliskan jawabannya, x sama dengan apa? Kalau tidak, solusinya tidak masuk hitungan kan...) Deadlock?
Tenang! Dalam kasus yang meragukan seperti itu, aturan paling umum akan menyelamatkan Anda. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan? Ini berarti, temukan semua nilai x yang jika disubstitusikan ke persamaan asli, akan memberi kita kesetaraan sejati.
Tapi kami memiliki kesetaraan sejati sudah telah terjadi! 0=0, seberapa akuratnya?! Masih mencari tahu pada x apa hal ini terjadi. Berapa nilai X yang dapat disubstitusikan asli persamaan jika x ini apakah masih akan dikurangi menjadi nol? Ayo?)
Ya!!! X bisa diganti setiap! Yang mana yang kamu inginkan? Minimal 5, minimal 0,05, minimal -220. Mereka masih akan menyusut. Jika Anda tidak percaya, Anda dapat memeriksanya.) Gantikan nilai X apa pun ke dalamnya asli persamaan dan hitung. Sepanjang waktu Anda akan mendapatkan kebenaran murni: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.
Inilah jawaban Anda: x - nomor berapa pun.
Jawabannya bisa ditulis dalam simbol matematika yang berbeda, intinya tidak berubah. Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar dan lengkap.
Kejutan kedua.
Mari kita ambil persamaan linier dasar yang sama dan ubah satu bilangan saja di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Setelah transformasi identik yang sama, kita mendapatkan sesuatu yang menarik:
Seperti ini. Kami memecahkan persamaan linier dan mendapatkan persamaan yang aneh. Berbicara bahasa matematika, kita punya kesetaraan palsu. Dan berbicara dalam bahasa yang sederhana, ini tidak benar. Sambutan hangat. Namun demikian, omong kosong ini adalah alasan yang sangat bagus untuk penyelesaian persamaan yang benar.)
Sekali lagi kami berpikir berdasarkan aturan umum. Berapakah nilai x, jika disubstitusikan ke dalam persamaan awal, yang akan kita peroleh BENAR persamaan? Ya, tidak ada! Tidak ada X seperti itu. Tidak peduli apa yang kamu masukkan, semuanya akan berkurang, hanya omong kosong yang tersisa.)
Inilah jawaban Anda: tidak ada solusi.
Ini juga merupakan jawaban yang lengkap. Dalam matematika, jawaban seperti itu sering dijumpai.
Seperti ini. Sekarang, saya harap, hilangnya X dalam proses penyelesaian persamaan apa pun (bukan hanya persamaan linier) tidak akan membingungkan Anda sama sekali. Ini sudah merupakan hal yang biasa.)
Sekarang kita telah mengatasi semua kendala dalam persamaan linear, masuk akal untuk menyelesaikannya.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Salah satu keterampilan terpenting saat masuk ke kelas 5 adalah kemampuan menyelesaikan persamaan sederhana. Sejak kelas 5 masih jauh dari itu sekolah dasar, maka tidak banyak jenis persamaan yang dapat diselesaikan oleh seorang siswa. Kami akan memperkenalkan Anda pada semua jenis persamaan dasar yang harus Anda selesaikan jika Anda mau masuk sekolah fisika dan matematika.
Tipe 1: "bulat"
Ini adalah persamaan yang kemungkinan besar akan Anda temui masuk ke sekolah mana pun atau klub kelas 5 sebagai tugas tersendiri. Mereka mudah dibedakan dari yang lain: di dalamnya variabel hanya ada satu kali. Misalnya, atau.
Mereka diselesaikan dengan sangat sederhana: Anda hanya perlu "mencapai" hal yang tidak diketahui, secara bertahap "menghapus" segala sesuatu yang tidak perlu di sekitarnya - seolah-olah mengupas bawang - itulah namanya. Untuk mengatasinya, ingat saja beberapa aturan dari kelas kedua. Mari kita daftar semuanya:
Tambahan
- term1 + term2 = jumlah
- istilah1 = jumlah - istilah2
- istilah2 = jumlah - istilah1
Pengurangan
- minuend - pengurangan = selisih
- minuend = pengurangan + selisih
- pengurangan = minuend - selisih
Perkalian
- faktor1 * faktor2 = produk
- faktor1 = hasil kali: faktor2
- faktor2 = hasil kali: faktor1
Divisi
- pembagian: pembagi = hasil bagi
- dividen = pembagi * hasil bagi
- pembagi = dividen: hasil bagi
Mari kita lihat contoh bagaimana menerapkan aturan-aturan ini.
Perhatikan bahwa kita sedang membagi 
aktif dan kami menerima. Dalam situasi ini, kita mengetahui pembagi dan hasil bagi. Untuk mencari pembagian, Anda perlu mengalikan pembagi dengan hasil bagi:
Kami menjadi sedikit lebih dekat dengan diri kami sendiri. Sekarang kita melihatnya 
ditambahkan dan ternyata. Artinya, untuk mencari salah satu suku, Anda perlu mengurangkan suku yang diketahui dari jumlahnya:
Dan “lapisan” lainnya telah dihapus dari hal yang tidak diketahui! Sekarang kita melihat situasinya dengan nilai yang diketahui hasil kali () dan satu faktor yang diketahui ().
Sekarang situasinya adalah “minuend - pengurangan = selisih”
Dan langkah terakhir adalah hasil kali yang diketahui () dan salah satu faktornya () 
Tipe 2: persamaan dengan tanda kurung
Persamaan jenis ini paling sering ditemukan dalam soal - 90% dari semua soal masuk ke kelas 5. Berbeda dengan "persamaan bawang" variabel di sini bisa muncul beberapa kali, jadi tidak mungkin menyelesaikannya menggunakan metode dari paragraf sebelumnya. Persamaan khas: atau
Kesulitan utama adalah membuka tanda kurung dengan benar. Setelah Anda berhasil melakukannya dengan benar, Anda harus mengurangi suku-suku serupa (angka menjadi angka, variabel menjadi variabel), dan setelah itu kita mendapatkan yang paling sederhana "persamaan bawang" yang bisa kita pecahkan. Tapi hal pertama yang pertama.
Memperluas tanda kurung. Kami akan memberikan beberapa aturan yang harus digunakan pada kasus ini. Namun, seperti yang ditunjukkan oleh latihan, siswa mulai membuka tanda kurung dengan benar hanya setelah 70-80 soal diselesaikan. Aturan dasarnya begini: faktor apa pun di luar tanda kurung harus dikalikan dengan setiap suku di dalam tanda kurung. Dan tanda minus di depan tanda kurung mengubah tanda semua ekspresi di dalamnya. Jadi, aturan dasar pengungkapan: 
Membawa serupa. Di sini semuanya jauh lebih mudah: Anda perlu, dengan mentransfer suku-suku melalui tanda sama dengan, untuk memastikan bahwa di satu sisi hanya ada suku-suku yang tidak diketahui, dan di sisi lain - hanya angka. Aturan dasarnya begini: setiap suku yang ditransfer melalui perubahan tandanya - jika itu dengan, maka akan menjadi dengan, dan sebaliknya. Setelah transfer berhasil, perlu menghitung jumlah total yang tidak diketahui, jumlah total di sisi lain persamaan selain variabel, dan menyelesaikan masalah sederhana. "persamaan bawang".
Dalam video ini kita akan menganalisis seluruh rangkaian persamaan linear yang diselesaikan menggunakan algoritma yang sama - itulah mengapa persamaan ini disebut paling sederhana.
Pertama, mari kita definisikan: apa itu persamaan linier dan manakah yang disebut persamaan linier paling sederhana?
Persamaan linier adalah persamaan yang hanya terdapat satu variabel dan hanya sampai derajat pertama.
Persamaan paling sederhana berarti konstruksi:
Semua persamaan linear lainnya direduksi menjadi yang paling sederhana menggunakan algoritma:
- Perluas tanda kurung, jika ada;
- Pindahkan suku-suku yang mengandung variabel ke salah satu sisi tanda sama dengan, dan suku-suku tanpa variabel ke sisi lainnya;
- Berikan suku-suku serupa pada kiri dan kanan tanda sama dengan;
- Bagilah persamaan yang dihasilkan dengan koefisien variabel $x$.
Tentu saja algoritma ini tidak selalu membantu. Faktanya adalah terkadang setelah semua intrik ini, koefisien variabel $x$ ternyata sama dengan nol. Dalam hal ini, ada dua opsi yang mungkin:
- Persamaan tersebut tidak memiliki solusi sama sekali. Misalnya, ketika sesuatu seperti $0\cdot x=8$ muncul, mis. di sebelah kiri adalah nol, dan di sebelah kanan adalah bilangan selain nol. Dalam video di bawah ini kita akan melihat beberapa alasan mengapa situasi ini mungkin terjadi.
- Solusinya adalah semua angka. Satu-satunya kasus yang memungkinkan hal ini adalah ketika persamaan telah direduksi menjadi konstruksi $0\cdot x=0$. Cukup logis bahwa berapa pun $x$ yang kita gantikan, hasilnya tetap “nol sama dengan nol”, yaitu. persamaan numerik yang benar.
Sekarang mari kita lihat bagaimana semua ini bekerja dengan menggunakan contoh kehidupan nyata.
Contoh penyelesaian persamaan
Hari ini kita berurusan dengan persamaan linier, dan hanya persamaan yang paling sederhana. Secara umum, persamaan linier berarti persamaan apa pun yang memuat tepat satu variabel, dan persamaan tersebut hanya sampai pada derajat pertama.
Konstruksi tersebut diselesaikan dengan cara yang kira-kira sama:
- Pertama-tama, Anda perlu memperluas tanda kurung, jika ada (seperti pada contoh terakhir kami);
- Lalu gabungkan yang serupa
- Terakhir, isolasi variabelnya, mis. pindahkan segala sesuatu yang berhubungan dengan variabel—istilah yang memuatnya—ke satu sisi, dan pindahkan segala sesuatu yang tersisa tanpa variabel ke sisi lain.
Kemudian, sebagai aturan, Anda perlu memberikan persamaan serupa di setiap sisi persamaan yang dihasilkan, dan setelah itu yang tersisa hanyalah membaginya dengan koefisien “x”, dan kita akan mendapatkan jawaban akhir.
Secara teori, hal ini terlihat bagus dan sederhana, namun dalam praktiknya, bahkan siswa sekolah menengah yang berpengalaman pun dapat membuat kesalahan yang menyinggung dalam persamaan linier yang cukup sederhana. Biasanya, kesalahan terjadi baik saat membuka tanda kurung atau saat menghitung “plus” dan “minus”.
Selain itu, persamaan linier tidak memiliki solusi sama sekali, atau solusinya adalah garis bilangan keseluruhan, yaitu. nomor berapa pun. Kita akan melihat seluk-beluk ini dalam pelajaran hari ini. Tapi kita akan mulai, seperti yang sudah Anda pahami, dari awal tugas-tugas sederhana.
Skema penyelesaian persamaan linear sederhana
Pertama, izinkan saya sekali lagi menulis seluruh skema untuk menyelesaikan persamaan linier paling sederhana:
- Perluas tanda kurung, jika ada.
- Kami mengisolasi variabel, mis. Kami memindahkan segala sesuatu yang mengandung “X” ke satu sisi, dan segala sesuatu tanpa “X” ke sisi lainnya.
- Kami menyajikan istilah serupa.
- Kami membagi semuanya dengan koefisien “x”.
Tentu saja skema ini tidak selalu berhasil, ada kehalusan dan trik tertentu di dalamnya, dan sekarang kita akan mengenalnya.
Memecahkan contoh nyata persamaan linear sederhana
Tugas No.1
Langkah pertama mengharuskan kita membuka tanda kurung. Tapi mereka tidak ada dalam contoh ini, jadi kita lewati langkah ini. Pada langkah kedua kita perlu mengisolasi variabel. Harap dicatat: kita hanya berbicara tentang istilah individual. Mari kita tuliskan:
Kami menyajikan istilah serupa di kiri dan kanan, tapi ini sudah dilakukan di sini. Oleh karena itu, kita beralih ke langkah keempat: membagi dengan koefisien:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Jadi kami mendapat jawabannya.
Tugas No.2
Kita dapat melihat tanda kurung pada soal ini, jadi mari kita kembangkan:
Baik di kiri maupun di kanan kita melihat desain yang kurang lebih sama, tetapi mari kita bertindak sesuai dengan algoritmanya, yaitu. memisahkan variabel:
Berikut beberapa yang serupa:
Pada akar apa hal ini berhasil? Jawaban: untuk apa pun. Oleh karena itu, kita dapat menulis bahwa $x$ adalah bilangan apa pun.
Tugas No.3
Persamaan linear ketiga lebih menarik:
\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]
Ada beberapa tanda kurung disini, namun tidak dikalikan dengan apapun, hanya didahului dengan tanda yang berbeda. Mari kita uraikan:
Kami melakukan langkah kedua yang sudah kami ketahui:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Mari kita berhitung:
Kami melakukan langkah terakhir - membagi semuanya dengan koefisien “x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Hal yang Perlu Diingat Saat Menyelesaikan Persamaan Linier
Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu sederhana, saya ingin mengatakan yang berikut:
- Seperti yang saya katakan di atas, tidak semua persamaan linier mempunyai solusi - terkadang tidak ada akar;
- Sekalipun ada akarnya, mungkin tidak ada akarnya - tidak ada yang salah dengan itu.
Nol adalah angka yang sama dengan angka lainnya; Anda tidak boleh mendiskriminasikannya dengan cara apa pun atau berasumsi bahwa jika Anda mendapatkan angka nol, maka Anda melakukan kesalahan.
Ciri lainnya terkait dengan pembukaan tanda kurung. Harap dicatat: jika ada "minus" di depannya, kami menghapusnya, tetapi di dalam tanda kurung kami mengubah tandanya menjadi di depan. Dan kemudian kita bisa membukanya menggunakan algoritma standar: kita akan mendapatkan apa yang kita lihat pada perhitungan di atas.
Memahami fakta sederhana ini akan membantu Anda menghindari kesalahan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah, karena tindakan seperti itu dianggap remeh.
Memecahkan persamaan linear yang kompleks
Mari beralih ke persamaan yang lebih kompleks. Sekarang konstruksinya akan menjadi lebih kompleks dan ketika melakukan berbagai transformasi akan muncul fungsi kuadrat. Namun kita tidak perlu takut akan hal ini, karena jika menurut rencana penulis kita menyelesaikan persamaan linier, maka selama proses transformasi semua monomial yang mengandung fungsi kuadrat pasti akan hilang.
Contoh No.1
Tentunya langkah pertama adalah membuka tanda kurung. Mari kita lakukan ini dengan sangat hati-hati:
Sekarang mari kita lihat privasi:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Berikut beberapa yang serupa:
Jelas sekali, persamaan ini tidak memiliki solusi, jadi kami akan menuliskannya di jawabannya:
\[\varnothing\]
atau tidak ada akarnya.
Contoh No.2
Kami melakukan tindakan yang sama. Langkah pertama:
Mari kita pindahkan semuanya dengan variabel ke kiri, dan tanpa variabel - ke kanan:
Berikut beberapa yang serupa:
Jelas sekali persamaan linier ini tidak memiliki solusi, jadi kita akan menuliskannya seperti ini:
\[\varnothing\],
atau tidak ada akarnya.
Nuansa solusinya
Kedua persamaan terselesaikan sepenuhnya. Dengan menggunakan dua ekspresi ini sebagai contoh, kami sekali lagi yakin bahwa bahkan dalam persamaan linier yang paling sederhana sekalipun, segala sesuatunya mungkin tidak sesederhana itu: bisa saja ada satu, atau tidak ada sama sekali, atau akar-akar yang jumlahnya tak terhingga. Dalam kasus kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, keduanya tidak memiliki akar.
Namun saya ingin menarik perhatian Anda pada fakta lain: cara menggunakan tanda kurung dan cara membukanya jika ada tanda minus di depannya. Pertimbangkan ungkapan ini:
Sebelum membuka, Anda perlu mengalikan semuanya dengan “X”. Harap diperhatikan: berlipat ganda setiap istilah individu. Di dalamnya ada dua suku - masing-masing dua suku dan dikalikan.
Dan hanya setelah transformasi yang tampaknya mendasar, tetapi sangat penting dan berbahaya ini selesai, Anda dapat membuka tanda kurung dari sudut pandang fakta bahwa ada tanda minus setelahnya. Ya, ya: baru sekarang, ketika transformasi selesai, kita ingat bahwa ada tanda minus di depan tanda kurung, yang berarti semua yang di bawah hanya mengubah tanda. Pada saat yang sama, tanda kurung itu sendiri menghilang dan, yang paling penting, “minus” depan juga menghilang.
Kami melakukan hal yang sama dengan persamaan kedua:
Bukan suatu kebetulan saya memperhatikan fakta-fakta kecil yang tampaknya tidak penting ini. Karena menyelesaikan persamaan selalu merupakan rangkaian transformasi dasar, di mana ketidakmampuan untuk melakukan tindakan sederhana dengan jelas dan kompeten mengarah pada fakta bahwa siswa sekolah menengah datang kepada saya dan belajar lagi menyelesaikan persamaan sederhana tersebut.
Tentu saja, akan tiba saatnya Anda akan mengasah keterampilan ini hingga mencapai titik otomatis. Anda tidak lagi harus melakukan begitu banyak transformasi setiap kali; Anda akan menulis semuanya dalam satu baris. Namun saat Anda baru belajar, Anda perlu menulis setiap tindakan secara terpisah.
Memecahkan persamaan linear yang lebih kompleks
Apa yang akan kita selesaikan sekarang bukanlah tugas yang paling sederhana, tetapi maknanya tetap sama.
Tugas No.1
\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]
Mari kalikan semua elemen di bagian pertama:
Mari kita jaga privasi:
Berikut beberapa yang serupa:
Mari selesaikan langkah terakhir:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Inilah jawaban akhir kami. Dan, meskipun faktanya dalam proses penyelesaian kita mempunyai koefisien-koefisien dengan fungsi kuadrat, mereka saling meniadakan, sehingga persamaannya linier dan bukan kuadrat.
Tugas No.2
\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]
Mari kita lakukan langkah pertama dengan hati-hati: kalikan setiap elemen dari tanda kurung pertama dengan setiap elemen dari tanda kurung kedua. Seharusnya ada total empat istilah baru setelah transformasi:
Sekarang mari kita lakukan perkalian setiap suku dengan cermat:
Mari kita pindahkan suku dengan “X” ke kiri, dan suku tanpa “X” ke kanan:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Berikut istilah serupa:
Sekali lagi kami telah menerima jawaban akhir.
Nuansa solusinya
Catatan terpenting tentang kedua persamaan ini adalah sebagai berikut: segera setelah kita mulai mengalikan tanda kurung yang mengandung lebih dari satu suku, hal ini dilakukan sesuai dengan aturan berikut: kita mengambil suku pertama dari suku pertama dan mengalikannya dengan setiap elemen dari kedua; lalu kita ambil elemen kedua dari elemen pertama dan mengalikannya dengan cara yang sama dengan setiap elemen dari elemen kedua. Hasilnya, kita akan memiliki empat periode.
Tentang jumlah aljabar
Dengan contoh terakhir ini, saya ingin mengingatkan siswa apa itu penjumlahan aljabar. Dalam matematika klasik, yang kami maksud dengan $1-7$ adalah konstruksi sederhana: kurangi tujuh dari satu. Dalam aljabar yang kami maksud adalah sebagai berikut: pada bilangan “satu” kita tambahkan bilangan lain, yaitu “minus tujuh”. Inilah perbedaan jumlah aljabar dengan jumlah aritmatika biasa.
Segera setelah, saat melakukan semua transformasi, setiap penjumlahan dan perkalian, Anda mulai melihat konstruksi yang mirip dengan yang dijelaskan di atas, Anda tidak akan mengalami masalah dalam aljabar saat mengerjakan polinomial dan persamaan.
Terakhir, mari kita lihat beberapa contoh lagi yang bahkan lebih kompleks daripada yang baru saja kita lihat, dan untuk menyelesaikannya kita harus sedikit memperluas algoritma standar kita.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan
Untuk menyelesaikan tugas tersebut, kita harus menambahkan satu langkah lagi ke algoritma kita. Namun pertama-tama, izinkan saya mengingatkan Anda tentang algoritme kami:
- Buka tanda kurung.
- Variabel terpisah.
- Bawalah yang serupa.
- Bagilah dengan rasionya.
Sayangnya, algoritma yang luar biasa ini, dengan segala keefektifannya, ternyata tidak sepenuhnya tepat ketika kita memiliki pecahan di depan kita. Dan pada apa yang akan kita lihat di bawah, kita memiliki pecahan di kiri dan kanan di kedua persamaan.
Bagaimana cara kerjanya dalam kasus ini? Ya, itu sangat sederhana! Untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan satu langkah lagi ke dalam algoritme, yang dapat dilakukan sebelum dan sesudah tindakan pertama, yaitu menghilangkan pecahan. Maka algoritmanya akan menjadi sebagai berikut:
- Singkirkan pecahan.
- Buka tanda kurung.
- Variabel terpisah.
- Bawalah yang serupa.
- Bagilah dengan rasionya.
Apa yang dimaksud dengan “menyingkirkan pecahan”? Dan mengapa hal ini dapat dilakukan setelah dan sebelum langkah standar pertama? Faktanya, dalam kasus kami, semua pecahan memiliki penyebut numerik, yaitu. Di mana-mana penyebutnya hanyalah angka. Oleh karena itu, jika kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan bilangan ini, kita akan menghilangkan pecahan.
Contoh No.1
\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]
Mari kita hilangkan pecahan dalam persamaan ini:
\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)\cdot 4)(4)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]
Harap dicatat: semuanya dikalikan dengan "empat" satu kali, mis. hanya karena Anda memiliki dua tanda kurung bukan berarti Anda harus mengalikan masing-masing tanda kurung dengan "empat". Mari kita tulis:
\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]
Sekarang mari kita kembangkan:
Kami memisahkan variabel:
Kami melakukan pengurangan istilah serupa:
\[-4x=-1\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Kita punya keputusan akhir, mari kita lanjutkan ke persamaan kedua.
Contoh No.2
\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]
Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:
\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Masalah terpecahkan.
Sebenarnya hanya itu yang ingin saya sampaikan kepada Anda hari ini.
Poin-poin penting
Temuan utamanya adalah:
- Mengetahui algoritma penyelesaian persamaan linear.
- Kemampuan untuk membuka tanda kurung.
- Jangan khawatir jika Anda melihatnya fungsi kuadrat, kemungkinan besar, dalam proses transformasi lebih lanjut, jumlahnya akan berkurang.
- Ada tiga jenis akar dalam persamaan linier, bahkan yang paling sederhana sekalipun: satu akar tunggal, seluruh garis bilangan merupakan akar, dan tidak ada akar sama sekali.
Saya harap pelajaran ini akan membantu Anda menguasai topik yang sederhana namun sangat penting untuk pemahaman lebih lanjut tentang semua matematika. Jika ada yang kurang jelas, buka situsnya dan selesaikan contoh yang disajikan di sana. Nantikan terus, masih banyak hal menarik lainnya menanti Anda!
Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan urutan tindakan yang dilakukan dalam ekspresi numerik, literal, dan variabel. Akan lebih mudah untuk berpindah dari ekspresi dengan tanda kurung ke ekspresi yang identik sama tanpa tanda kurung. Teknik ini disebut kurung buka.
Memperluas tanda kurung berarti menghilangkan tanda kurung dari suatu ekspresi.
Satu hal lagi yang perlu mendapat perhatian khusus, yaitu mengenai kekhasan pencatatan keputusan saat membuka tanda kurung. Kita dapat menulis ekspresi awal dengan tanda kurung dan hasil yang diperoleh setelah membuka tanda kurung sebagai persamaan. Misalnya, setelah memperluas tanda kurung, bukan ekspresi
3−(5−7) kita mendapatkan ekspresi 3−5+7. Kita dapat menulis kedua ekspresi ini sebagai persamaan 3−(5−7)=3−5+7.
Dan satu lagi poin penting. Dalam matematika, untuk mempersingkat notasi, biasanya tanda tambah tidak ditulis jika muncul pertama kali dalam ekspresi atau tanda kurung. Misalnya, jika kita menjumlahkan dua bilangan positif, misalnya tujuh dan tiga, maka kita menulis bukan +7+3, melainkan 7+3 saja, padahal tujuh juga merupakan bilangan positif. Demikian pula, jika Anda melihat, misalnya, ekspresi (5+x) - ketahuilah bahwa sebelum tanda kurung ada tanda tambah, yang tidak ditulis, dan sebelum lima ada tanda tambah +(+5+x).
Aturan pembukaan tanda kurung saat penjumlahan
Saat membuka tanda kurung, jika ada tanda plus di depan tanda kurung, maka tanda plus tersebut dihilangkan bersama dengan tanda kurung.
Contoh. Buka tanda kurung pada persamaan 2 + (7 + 3) Ada tanda tambah di depan tanda kurung, artinya kita tidak mengubah tanda di depan angka dalam tanda kurung.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Aturan untuk membuka tanda kurung saat melakukan pengurangan
Jika ada tanda minus di depan tanda kurung, maka tanda minus tersebut dihilangkan bersama dengan tanda kurung, tetapi suku-suku yang ada di dalam tanda kurung berubah tandanya menjadi sebaliknya. Tidak adanya tanda sebelum suku pertama dalam tanda kurung berarti adanya tanda +.
Contoh. Luaskan tanda kurung pada ekspresi 2 − (7 + 3)
Ada tanda minus di depan tanda kurung, artinya Anda perlu mengubah tanda di depan angka di dalam tanda kurung. Dalam tanda kurung tidak ada tanda sebelum angka 7, artinya tujuh positif, dianggap ada tanda + di depannya.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Saat membuka tanda kurung, kita hilangkan dari contoh tanda minus yang ada di depan tanda kurung, dan tanda kurung itu sendiri 2 − (+ 7 + 3), dan ubah tanda yang ada di dalam tanda kurung menjadi tanda sebaliknya.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Memperluas tanda kurung saat mengalikan
Jika ada tanda perkalian di depan tanda kurung, maka setiap bilangan yang berada di dalam tanda kurung dikalikan dengan faktor yang ada di depan tanda kurung. Dalam hal ini, mengalikan minus dengan minus menghasilkan plus, dan mengalikan minus dengan plus, seperti mengalikan plus dengan minus, menghasilkan minus.
Dengan demikian, tanda kurung pada hasil perkalian diperluas sesuai dengan sifat distributif perkalian.
Contoh. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Saat Anda mengalikan tanda kurung dengan tanda kurung, setiap suku pada tanda kurung pertama dikalikan dengan setiap suku pada tanda kurung kedua.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Sebenarnya tidak perlu mengingat semua aturan, cukup mengingat satu saja, yaitu: c(a−b)=ca−cb. Mengapa? Karena jika Anda mengganti satu dengan c, Anda mendapatkan aturan (a−b)=a−b. Dan jika kita substitusikan minus satu, kita mendapatkan aturan −(a−b)=−a+b. Nah, jika Anda mengganti braket lain selain c, Anda bisa mendapatkan aturan terakhir.
Membuka tanda kurung saat membagi
Jika ada tanda pembagian setelah tanda kurung, maka setiap bilangan yang berada di dalam tanda kurung dibagi dengan pembagi setelah tanda kurung, begitu pula sebaliknya.
Contoh. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Cara memperluas tanda kurung bersarang
Jika ekspresi berisi tanda kurung bertumpuk, tanda kurung tersebut diperluas secara berurutan, dimulai dari tanda kurung luar atau dalam.
Dalam hal ini, penting bahwa saat membuka salah satu tanda kurung, jangan menyentuh tanda kurung yang tersisa, cukup tulis ulang apa adanya.
Contoh. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Bagian persamaan tersebut adalah ekspresi dalam tanda kurung. Untuk membuka tanda kurung, lihatlah tanda di depan tanda kurung. Jika ada tanda plus, membuka tanda kurung di ekspresi tidak akan mengubah apa pun: hapus saja tanda kurung tersebut. Jika ada tanda minus, maka pada saat membuka tanda kurung harus merubah semua tanda yang semula ada di dalam tanda kurung menjadi tanda sebaliknya. Misalnya, -(2x-3)=-2x+3.
Mengalikan dua tanda kurung.
Jika persamaan berisi hasil kali dua tanda kurung, buka tanda kurung sesuai dengan aturan standar. Tiap suku pada kurung pertama dikalikan dengan tiap suku pada kurung kedua. Angka-angka yang dihasilkan dijumlahkan. Dalam hal ini, hasil kali dua “plus” atau dua “minus” memberikan istilah tersebut tanda “plus”, dan jika faktor-faktornya mempunyai tanda-tanda yang berbeda, lalu menerima tanda minus.
Mari kita pertimbangkan.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Dengan membuka tanda kurung, terkadang memunculkan ekspresi menjadi . Rumus kuadrat dan pangkat tiga harus dihafal dan diingat.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Rumus untuk membuat ekspresi lebih besar dari tiga dapat dilakukan dengan menggunakan segitiga Pascal.
Sumber:
- rumus perluasan tanda kurung
Diapit tanda kurung operasi matematika dapat berisi variabel dan ekspresi derajat yang berbeda-beda kesulitan. Untuk mengalikan ekspresi seperti itu, Anda harus mencari solusinya pandangan umum, membuka tanda kurung dan menyederhanakan hasilnya. Jika tanda kurung berisi operasi tanpa variabel, hanya dengan nilai numerik, maka tidak perlu membuka tanda kurung, karena jika Anda memiliki komputer, penggunanya memiliki akses ke sumber daya komputasi yang sangat besar - lebih mudah menggunakannya daripada menyederhanakan ekspresi.
instruksi
Kalikan secara berurutan masing-masing (atau minuend dengan ) yang terdapat dalam satu tanda kurung dengan isi semua tanda kurung lainnya jika ingin mendapatkan hasil dalam bentuk umum. Misalnya, ekspresi aslinya ditulis sebagai berikut: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Maka perkalian berurutan (yaitu membuka tanda kurung) akan menghasilkan hasil sebagai berikut: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Sederhanakan hasilnya dengan memperpendek ekspresi. Misalnya, persamaan yang diperoleh pada langkah sebelumnya dapat disederhanakan sebagai berikut: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Gunakan kalkulator jika ingin mengalikan x sama dengan 4,75, yaitu (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Untuk menghitung nilai ini, buka situs web mesin pencari Google atau Nigma dan masukkan ekspresi di bidang kueri dalam bentuk aslinya (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google akan segera menampilkan 82.265625, tanpa mengklik tombol apa pun, tetapi Nigma perlu mengirim data ke server dengan mengklik tombol.
