Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Fungsi pangkat. Sifat-sifat. Grafik"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.
Alat peraga dan simulator di toko online Integral untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9–11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10–11 "Logaritma"
Fungsi daya, domain definisi.
Teman-teman, di pelajaran terakhir kita belajar cara bekerja dengan bilangan dengan eksponen rasional. Dalam pelajaran ini kita akan melihat fungsi pangkat dan membatasi diri pada kasus dimana eksponennya rasional.Kita akan mempertimbangkan fungsi dalam bentuk: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Mari kita pertimbangkan dulu fungsi yang eksponennya $\frac(m)(n)>1$.
Mari kita diberi fungsi tertentu $y=x^2*5$.
Berdasarkan definisi yang kita berikan pada pelajaran terakhir: jika $x≥0$, maka daerah definisi fungsi kita adalah sinar $(x)$. Mari kita gambarkan secara skematis grafik fungsi kita.
Sifat-sifat fungsi $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Fungsi tersebut tidak genap dan tidak ganjil.
3. Meningkat sebesar $$,
b) $(2,10)$,
c) pada sinar $$.
Larutan.
Teman-teman, ingatkah Anda bagaimana kita menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen di kelas 10?
Benar, kami menggunakan turunannya. Mari selesaikan contoh kita dan ulangi algoritma untuk mencari nilai terkecil dan nilai tertinggi.
1. Temukan turunan dari fungsi yang diberikan:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Turunannya ada di seluruh domain definisi fungsi aslinya, maka tidak ada titik kritis. Mari kita cari titik stasioner:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ dan $x_2=\sqrt(64)=4$.
Segmen tertentu hanya berisi satu solusi $x_2=4$.
Mari kita buat tabel nilai fungsi kita di ujung segmen dan di titik ekstrem:
Jawaban: $y_(nama)=-862.65$ pada $x=9$; $y_(maks.)=38,4$ pada $x=4$.
Contoh. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Larutan. Grafik fungsi $y=x^(\frac(4)(3))$ bertambah, dan grafik fungsi $y=24-x$ menurun. Teman-teman, Anda dan saya tahu: jika satu fungsi bertambah dan fungsi lainnya berkurang, maka fungsi tersebut hanya berpotongan di satu titik, yaitu, kita hanya memiliki satu solusi.
Catatan:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Artinya, dengan $x=8$ kita mendapatkan persamaan yang benar $16=16$, ini adalah solusi persamaan kita.
Jawaban: $x=8$.
Contoh.
Grafik fungsinya: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Larutan.
Grafik fungsi kita diperoleh dari grafik fungsi $y=x^(\frac(3)(4))$ dengan menggesernya 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas. 
Contoh. Tuliskan persamaan garis singgung garis $y=x^(-\frac(4)(5))$ di titik $x=1$.
Larutan. Persamaan tangen ditentukan dengan rumus yang kita ketahui:
$y=f(a)+f"(a)(xa)$.
Dalam kasus kami $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Mari kita cari turunannya:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Mari kita hitung:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Mari kita cari persamaan tangennya:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Jawaban: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Masalah untuk diselesaikan secara mandiri
1. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi: $y=x^\frac(4)(3)$ pada segmen:a) $$.
b) $(4,50)$.
c) pada sinar $$.
3. Selesaikan persamaan: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Buatlah grafik fungsi: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Buatlah persamaan garis singgung garis lurus $y=x^(-\frac(3)(7))$ di titik $x=1$.
Fungsi dimana X– kuantitas variabel, A– nomor tertentu dipanggil Fungsi daya .
Jika maka merupakan fungsi linier, grafiknya berupa garis lurus (lihat paragraf 4.3, Gambar 4.7).
Jika kemudian - fungsi kuadrat, grafiknya adalah parabola (lihat paragraf 4.3, Gambar 4.8).
Jika maka grafiknya adalah parabola kubik (lihat paragraf 4.3, Gambar 4.9).
Ini adalah fungsi kebalikan dari
1. Domain: 
2. Berbagai arti:
3. Genap dan ganjil: fungsinya ganjil.
4. Frekuensi fungsi: non-periodik.
5. Fungsi nol: X= 0 – satu-satunya nol.
6. Fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.
7.
8. Grafik suatu fungsi Simetris terhadap grafik parabola kubik terhadap garis lurus kamu=X dan ditunjukkan pada Gambar. 5.1.
 |
Fungsi daya
1. Domain: 
2. Berbagai arti:
3. Genap dan ganjil: fungsinya genap.
4. Frekuensi fungsi: non-periodik.
5. Fungsi nol: nol tunggal X = 0.
6. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: mengambil nilai terkecil untuk X= 0, sama dengan 0.
7. Interval kenaikan dan penurunan: fungsinya menurun pada interval dan meningkat pada interval
8. Grafik suatu fungsi(untuk setiap N Î N) “mirip” dengan grafik parabola kuadrat (grafik fungsi ditunjukkan pada Gambar 5.2).
Fungsi daya
1. Domain:
2. Berbagai arti: 
3. Genap dan ganjil: fungsinya ganjil.
4. Frekuensi fungsi: non-periodik.
5. Fungsi nol: X= 0 – satu-satunya nol.
6. Nilai tertinggi dan terendah:
7. Interval kenaikan dan penurunan: fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.
8. Grafik suatu fungsi(untuk masing-masing ) “mirip” dengan grafik parabola kubik (grafik fungsi ditunjukkan pada Gambar 5.3).
 |
Fungsi daya
1. Domain:
2. Berbagai arti:
3. Genap dan ganjil: fungsinya ganjil.
4. Frekuensi fungsi: non-periodik.
5. Fungsi nol: tidak memiliki angka nol.
6. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: fungsi tersebut tidak memiliki nilai terbesar dan terkecil
7. Interval kenaikan dan penurunan: fungsinya menurun dalam domain definisinya.
8. Asimtot:(sumbu kamu) – asimtot vertikal;
(sumbu Oh) – asimtot horizontal.
9. Grafik suatu fungsi(untuk siapa pun N) “mirip” dengan grafik hiperbola (grafik fungsi ditunjukkan pada Gambar 5.4).
 |
Fungsi daya
1. Domain:
2. Berbagai arti:
3. Genap dan ganjil: fungsinya genap.
4. Frekuensi fungsi: non-periodik.
5. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: fungsi tersebut tidak memiliki nilai terbesar dan terkecil
6. Interval kenaikan dan penurunan: fungsinya bertambah dan berkurang
7. Asimtot: X= 0 (sumbu kamu) – asimtot vertikal;
Y= 0 (sumbu Oh) – asimtot horizontal.
8. Grafik fungsi Mereka adalah hiperbola kuadrat (Gbr. 5.5).
 |
Fungsi daya
1. Domain:
2. Berbagai arti:
3. Genap dan ganjil: fungsi tersebut tidak memiliki sifat genap dan ganjil.
4. Frekuensi fungsi: non-periodik.
5. Fungsi nol: X= 0 – satu-satunya nol.
6. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: fungsi tersebut mengambil nilai terkecil sama dengan 0 pada titik tersebut X= 0; tidak menjadi masalah yang paling penting.
7. Interval kenaikan dan penurunan: fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.
8. Setiap fungsi tersebut untuk eksponen tertentu merupakan kebalikan dari fungsi yang diberikan
9. Grafik suatu fungsi"menyerupai" grafik suatu fungsi untuk sembarang N dan ditunjukkan pada Gambar. 5.6.
Fungsi daya
1. Domain:
2. Berbagai arti:
3. Genap dan ganjil: fungsinya ganjil.
4. Frekuensi fungsi: non-periodik.
5. Fungsi nol: X= 0 – satu-satunya nol.
6. Nilai fungsi terbesar dan terkecil: fungsi tersebut tidak memiliki nilai terbesar dan terkecil
7. Interval kenaikan dan penurunan: fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.
8. Grafik suatu fungsi Ditunjukkan pada Gambar. 5.7.
 |
Mari kita mengingat kembali sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat dengan bilangan bulat indikator negatif.
Untuk genap n, :
Contoh fungsi:
Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;1). Keunikan fungsi jenis ini adalah paritasnya; grafiknya simetris terhadap sumbu op-amp.
Beras. 1. Grafik suatu fungsi
Untuk n ganjil, :
Contoh fungsi:
Semua grafik fungsi tersebut melewati dua titik tetap: (1;1), (-1;-1). Keunikan fungsi jenis ini adalah grafiknya ganjil terhadap titik asal.
Beras. 2. Grafik suatu fungsi
Mari kita mengingat kembali definisi dasarnya.
Pangkat suatu bilangan non-negatif a dengan eksponen rasional positif disebut bilangan.
Pangkat bilangan positif a dengan eksponen rasional negatif disebut bilangan.
Untuk kesetaraan:
Misalnya: 
; - ekspresi, menurut definisi, tidak ada derajat dengan eksponen rasional negatif; ada karena eksponennya bilangan bulat, 
Mari kita beralih ke fungsi pangkat dengan eksponen negatif rasional.
Misalnya:
Untuk memplot grafik fungsi ini, Anda dapat membuat tabel. Kami akan melakukannya secara berbeda: pertama-tama kami akan membuat dan mempelajari grafik penyebutnya - yang kami ketahui (Gambar 3).
Beras. 3. Grafik suatu fungsi
Grafik fungsi penyebut melalui titik tetap (1;1). Saat memplot fungsi aslinya titik tertentu tetap, jika akarnya juga cenderung nol, maka fungsinya cenderung tak terhingga. Dan sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, maka fungsinya cenderung nol (Gambar 4).
Beras. 4. Grafik fungsi
Mari kita pertimbangkan fungsi lain dari rangkaian fungsi yang sedang dipelajari.
Penting bahwa menurut definisi
Mari kita perhatikan grafik fungsi pada penyebutnya: , grafik fungsi ini kita ketahui, domain definisinya bertambah dan melalui titik (1;1) (Gambar 5).
Beras. 5. Grafik suatu fungsi
Saat memplot grafik fungsi aslinya, titik (1;1) tetap, sedangkan akarnya juga cenderung nol, fungsinya cenderung tak terhingga. Dan sebaliknya, karena x cenderung tak terhingga, maka fungsinya cenderung nol (Gambar 6).
Beras. 6. Grafik suatu fungsi
Contoh-contoh yang dipertimbangkan membantu untuk memahami bagaimana grafik mengalir dan apa saja sifat-sifat fungsi yang dipelajari - fungsi dengan eksponen rasional negatif.
Grafik fungsi keluarga ini melewati titik (1;1), fungsi tersebut menurun di seluruh domain definisi.
Lingkup definisi fungsi: 
Fungsinya tidak dibatasi dari atas, tetapi dibatasi dari bawah. Fungsinya tidak memiliki nilai terbesar maupun terbesar nilai terendah.
Fungsinya kontinu dan mengambil semua nilai positif dari nol hingga plus tak terhingga.
Fungsinya cembung ke bawah (Gambar 15.7)
Titik A dan B diambil pada kurva, ditarik suatu ruas, seluruh kurva berada di bawah ruas tersebut, keadaan ini terpenuhi untuk dua titik sembarang pada kurva, oleh karena itu fungsinya cembung ke bawah. Beras. 7.
Beras. 7. Konveksitas fungsi
Penting untuk dipahami bahwa fungsi keluarga ini dibatasi dari bawah oleh nol, tetapi tidak memiliki nilai terkecil.
Contoh 1 - temukan maksimum dan minimum suatu fungsi pada interval \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]
Grafik (Gbr. 2).
Gambar 2. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n)$
Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil natural
Domain definisinya adalah semua bilangan real.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fungsinya ganjil.
$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.
Rentangnya adalah semua bilangan real.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.
$f\kiri(x\kanan)0$, untuk $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\kiri(x\kanan))=(\kiri(\kiri(2n-1\kanan)\cdot x^(2\kiri(n-1\kanan))\kanan))"=2 \kiri(2n-1\kanan)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Fungsinya cekung untuk $x\in (-\infty ,0)$ dan cembung untuk $x\in (0,+\infty)$.
Grafik (Gbr. 3).
Gambar 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat
Pertama, mari kita perkenalkan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat.
Definisi 3
Pangkat bilangan real $a$ dengan eksponen bilangan bulat $n$ ditentukan dengan rumus:
Gambar 4.
Sekarang mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat, properti dan grafiknya.
Definisi 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat.
Jika derajatnya lebih besar dari nol, maka kita sampai pada kasus fungsi pangkat dengan eksponen natural. Kami sudah membahasnya di atas. Untuk $n=0$ kita dapatkan fungsi linear$y=1$. Kami akan menyerahkan pertimbangannya kepada pembaca. Masih mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif
Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif
Domain definisinya adalah $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Jika eksponennya genap maka fungsinya genap; jika ganjil maka fungsinya ganjil.
$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.
Cakupan:
Jika eksponennya genap, maka $(0,+\infty)$; jika ganjil, maka $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Untuk eksponen ganjil, fungsinya berkurang $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Untuk eksponen genap, fungsinya berkurang $x\in (0,+\infty)$. dan bertambah seiring $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ di seluruh domain definisi
