Hukum distribusi. Poligon distribusi

Halaman 2

Secara grafis hukum distribusi nilai diskrit diberikan dalam bentuk apa yang disebut poligon distribusi.  

Representasi grafis dari deret distribusi (lihat Gambar 5) disebut poligon distribusi.  

Untuk mengkarakterisasi hukum distribusi, diskontinu variabel acak Seringkali baris (tabel) dan poligon distribusi digunakan.  

Untuk menggambarkannya, titik (Y Pi) (x - i Pa) dibangun dalam sistem koordinat persegi panjang dan dihubungkan oleh ruas garis. Poligon distribusi memberikan perkiraan representasi visual tentang sifat distribusi variabel acak.  

Untuk lebih jelasnya, hukum distribusi variabel acak diskrit juga dapat digambarkan secara grafis, dimana titik (x/, p) dibangun dalam sistem koordinat persegi panjang, dan kemudian dihubungkan oleh segmen garis.  

M (xn; pn) (hp - - nilai yang mungkin Xt pi - probabilitas yang sesuai) dan hubungkan dengan segmen lurus. Gambar yang dihasilkan disebut poligon distribusi.  

Pertimbangkan distribusi probabilitas jumlah poin dadu. Gambar di bawah menunjukkan poligon distribusi untuk kasus satu, dua, dan tiga tulang.  

Dalam hal ini, alih-alih poligon distribusi variabel acak, dibangun fungsi kepadatan distribusi, yang disebut fungsi distribusi diferensial dan mewakili hukum distribusi diferensial. Dalam teori probabilitas, kepadatan distribusi suatu variabel acak x (x Xr) dipahami sebagai batas rasio probabilitas nilai x jatuh ke dalam interval (x, x - Ax) ke Ax, ketika Al; cenderung nol. Selain fungsi diferensial, fungsi distribusi integral, yang sering disebut hanya fungsi distribusi atau hukum distribusi integral, digunakan untuk mengkarakterisasi distribusi suatu variabel acak.  

Dengan konstruksi ini, frekuensi relatif jatuh ke dalam interval akan sama dengan luas batang histogram yang bersesuaian, sama seperti probabilitasnya sama dengan luas trapesium lengkung yang bersesuaian, maka dengan n yang cukup besar dan pilihan interval yang berhasil (YJ-I, y. Kadang-kadang, untuk kejelasan perbandingan, poligon distribusi dibuat dengan menghubungkan secara berurutan titik tengah dari dasar atas batang histogram.  

Dengan memberikan m nilai yang berbeda dari 0 hingga i, diperoleh probabilitas PQ, P RF - Pn, yang diplot pada grafik. Diberikan p; z11, buatlah poligon distribusi probabilitas.  

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah setiap korespondensi antara nilai yang mungkin dan probabilitasnya. Hukum dapat ditentukan secara tabel (deret distribusi), secara grafis (poligon distribusi, dll.) dan secara analitis.  

Menemukan kurva distribusi, dengan kata lain, menetapkan distribusi variabel acak itu sendiri, memungkinkan untuk mempelajari lebih dalam suatu fenomena yang jauh dari sepenuhnya diungkapkan oleh rangkaian distribusi tertentu. Dengan menggambar kurva distribusi merata yang ditemukan dan poligon distribusi yang dibangun dari sebagian populasi, peneliti dapat melihat dengan jelas karakteristik melekat pada fenomena yang sedang dipelajari. Berkat ini, analisis statistik memusatkan perhatian peneliti pada penyimpangan data yang diamati dari beberapa perubahan alami dalam fenomena tersebut, dan peneliti dihadapkan pada tugas untuk mencari tahu alasan penyimpangan tersebut.  

Kemudian, absis (dalam skala) diambil dari tengah interval, sesuai dengan jumlah bulan dengan konsumsi dalam interval tersebut. Ujung-ujung absis ini dihubungkan dan diperoleh poligon, atau poligon distribusi.  

Titik-titik yang memberikan gambaran grafis tentang hukum distribusi suatu peubah acak diskrit pada bidang koordinat nilai besaran – peluang nilai, biasanya dihubungkan oleh ruas-ruas lurus dan hasil yang dihasilkan disebut sosok geometris poligon distribusi. Pada Gambar. 3 pada tabel 46 (serta pada gambar 4 dan 5) poligon distribusi ditampilkan.  

Diskrit disebut variabel acak yang dapat mengambil nilai individual dan terisolasi dengan probabilitas tertentu.

CONTOH 1. Berapa kali lambang negara muncul dalam tiga kali pelemparan uang logam. Nilai yang mungkin: 0, 1, 2, 3, probabilitasnya masing-masing sama:

P(0) = ; P(1) = ; (2) = ; P(3) = .

CONTOH 2. Jumlah elemen yang gagal dalam suatu perangkat yang terdiri dari lima elemen. Nilai yang mungkin: 0, 1, 2, 3, 4, 5; probabilitasnya bergantung pada keandalan setiap elemen.

Variabel acak diskrit X dapat diberikan oleh deret distribusi atau fungsi distribusi (hukum distribusi integral).

Dekat distribusi adalah himpunan semua nilai yang mungkin XSaya dan probabilitasnya yang sesuai Rsaya = P(x = xSaya), itu dapat ditentukan sebagai tabel:

x saya				xn
pi saya				hal

Dalam hal ini, kemungkinannya RSaya memenuhi syaratnya

RSaya= 1 karena

di mana adalah jumlah nilai yang mungkin N mungkin terbatas atau tidak terbatas.

Representasi grafis dari seri distribusi disebut poligon distribusi . Untuk membangunnya, nilai yang mungkin dari variabel acak ( XSaya) diplot sepanjang sumbu x, dan probabilitasnya RSaya- sepanjang sumbu ordinat; poin ASaya dengan koordinat ( Xsaya, halSaya) dihubungkan dengan garis putus-putus.

Fungsi distribusi variabel acak X disebut fungsi F(X), yang nilainya pada saat itu X sama dengan probabilitas bahwa variabel acak X akan kurang dari nilai ini X, itu adalah

F(x) = P(X< х).

Fungsi F(X) Untuk variabel acak diskrit dihitung dengan rumus

F(X) = RSaya , (1.10.1)

di mana penjumlahan dilakukan atas semua nilai Saya, untuk itu XSaya< х.

CONTOH 3. Dari batch yang berisi 100 produk, dimana terdapat 10 produk cacat, lima produk dipilih secara acak untuk diperiksa kualitasnya. Membangun serangkaian distribusi angka acak X produk cacat yang terkandung dalam sampel.

Larutan. Karena dalam sampel jumlah produk cacat dapat berupa bilangan bulat apa pun yang berkisar antara 0 hingga 5 inklusif, maka nilai yang mungkin XSaya variabel acak X adalah sama:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Kemungkinan R(X = k) bahwa sampel berisi persis k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) produk cacat, sama dengan

P (X = k) = .

Hasil perhitungan menggunakan rumus ini dengan ketelitian 0,001 diperoleh:

R 1 = hal(X = 0) @ 0,583;R 2 = hal(X = 1) @ 0,340;R 3 = hal(X = 2) @ 0,070;

R 4 = hal(X = 3) @ 0,007;R 5 = hal(X= 4) @ 0;R 6 = hal(X = 5) @ 0.

Menggunakan kesetaraan untuk memeriksa Rk=1, kami memastikan bahwa perhitungan dan pembulatan dilakukan dengan benar (lihat tabel).

x saya
pi saya

CONTOH 4. Diberikan deret distribusi suatu variabel acak X :

x saya
pi saya

Temukan fungsi distribusi probabilitas F(X) dari variabel acak ini dan buatlah.

Larutan. Jika X£10 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0;

jika 10<X£20 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0,2 ;

jika 20<X£30 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

jika 30<X£40 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

jika 40<X£50 kalau begitu F(X)= hal(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Jika X> 50, lalu F(X)= hal(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Menjawab: Pertimbangkan variabel acak diskontinu X dengan nilai yang mungkin. Masing-masing nilai ini mungkin, tetapi tidak pasti, dan nilainya X dapat menerima masing-masing dari mereka dengan beberapa kemungkinan. Sebagai hasil percobaan, nilainya X akan mengambil salah satu dari nilai-nilai ini, yaitu salah satu dari seluruh kelompok peristiwa yang tidak kompatibel akan terjadi:

Mari kita nyatakan probabilitas kejadian-kejadian ini dengan huruf R dengan indeks yang sesuai:

Artinya, distribusi probabilitas berbagai nilai dapat ditentukan oleh tabel distribusi, di mana semua nilai yang diambil oleh variabel acak diskrit tertentu ditunjukkan di baris paling atas, dan probabilitas dari nilai yang sesuai ​ditunjukkan di garis bawah. Karena kejadian-kejadian yang tidak kompatibel (3.1) membentuk grup lengkap, maka, yaitu, jumlah probabilitas semua nilai yang mungkin dari variabel acak sama dengan satu. Distribusi probabilitas variabel acak kontinu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, karena jumlah nilai variabel acak tersebut tidak terbatas bahkan dalam interval terbatas. Selain itu, kemungkinan mendapatkan nilai tertentu adalah nol. Variabel acak akan dijelaskan sepenuhnya dari sudut pandang probabilistik jika kita menentukan distribusi ini, yaitu, kita menunjukkan dengan tepat berapa probabilitas yang dimiliki setiap peristiwa. Dengan ini kita akan menetapkan apa yang disebut hukum distribusi variabel acak. Hukum distribusi variabel acak adalah setiap hubungan yang membentuk hubungan antara nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas yang sesuai. Kita akan mengatakan tentang variabel acak bahwa variabel tersebut tunduk pada hukum distribusi tertentu. Mari kita tentukan bentuk di mana hukum distribusi variabel acak diskontinu dapat ditentukan X. Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum ini adalah tabel yang mencantumkan kemungkinan nilai variabel acak dan probabilitasnya yang sesuai:

x saya	X 1	X 2	× × ×	xn
pi saya	P 1	P 2	× × ×	hal

Kita akan menyebut tabel seperti itu sebagai serangkaian distribusi variabel acak X.

Beras. 3.1

Untuk memberikan tampilan yang lebih visual pada deret distribusi, mereka sering menggunakan representasi grafisnya: nilai yang mungkin dari variabel acak diplot sepanjang sumbu absis, dan probabilitas nilai-nilai ini diplot sepanjang sumbu ordinat. Untuk lebih jelasnya, titik-titik yang dihasilkan dihubungkan oleh segmen lurus. Gambar seperti itu disebut poligon distribusi (Gbr. 3.1). Poligon distribusi, serta deret distribusi, sepenuhnya mencirikan variabel acak. itu adalah salah satu bentuk hukum distribusi. Kadang-kadang apa yang disebut penafsiran “mekanis” dari rangkaian distribusi dapat digunakan. Mari kita bayangkan suatu massa tertentu yang sama dengan satu didistribusikan sepanjang sumbu absis sehingga masuk N massa terkonsentrasi pada masing-masing titik . Kemudian deret distribusi diartikan sebagai suatu sistem titik-titik material dengan beberapa massa yang terletak pada sumbu absis.

Variabel acak adalah besaran yang, sebagai hasil percobaan, dapat mempunyai nilai tertentu yang tidak diketahui sebelumnya. Ada variabel acak terputus-putus (diskrit) Dan kontinu jenis. Kemungkinan nilai besaran terputus-putus dapat dicantumkan terlebih dahulu. Kemungkinan nilai besaran kontinu tidak dapat dicantumkan terlebih dahulu dan terus menerus mengisi celah tertentu.

Contoh variabel acak diskrit:

1) Berapa kali lambang negara muncul dalam tiga kali pelemparan uang logam. (nilai yang mungkin 0;1;2;3)

2) Frekuensi kemunculan lambang pada percobaan yang sama. (nilai yang mungkin)

3) Jumlah elemen yang gagal dalam suatu perangkat yang terdiri dari lima elemen. (Nilai yang mungkin 0;1;2;3;4;5)

Contoh variabel acak kontinu:

1) Absis (ordinat) titik tumbukan saat ditembakkan.

2) Jarak dari titik tumbukan ke pusat sasaran.

3) Waktu aktif perangkat (lampu radio).

Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital, dan nilai yang mungkin dilambangkan dengan huruf kecil yang sesuai. Misalnya, X adalah jumlah pukulan dalam tiga tembakan; nilai yang mungkin: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Mari kita perhatikan variabel acak diskontinu X dengan nilai yang mungkin X 1, X 2, ..., X n. Masing-masing nilai ini mungkin, tetapi tidak pasti, dan nilai X dapat mengambil masing-masing nilai tersebut dengan probabilitas tertentu. Sebagai hasil percobaan, nilai X akan mengambil salah satu dari nilai ini, yaitu salah satu dari seluruh kelompok peristiwa yang tidak sesuai akan terjadi.

Mari kita nyatakan probabilitas kejadian-kejadian ini dengan huruf p dengan indeks yang sesuai:

Karena kejadian-kejadian yang tidak kompatibel membentuk kelompok yang lengkap, maka

yaitu, jumlah probabilitas semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak sama dengan 1. Probabilitas total ini entah bagaimana didistribusikan di antara nilai-nilai individual. Variabel acak akan dijelaskan sepenuhnya dari sudut pandang probabilistik jika kita mendefinisikan distribusi ini, yaitu, kita menunjukkan dengan tepat berapa probabilitas yang dimiliki setiap peristiwa. (Ini akan membentuk apa yang disebut hukum distribusi variabel acak.)

Hukum distribusi variabel acak adalah hubungan apa pun yang membentuk hubungan antara nilai-nilai yang mungkin dari suatu variabel acak dan probabilitas yang sesuai. (Kami akan mengatakan tentang variabel acak bahwa variabel tersebut tunduk pada hukum distribusi tertentu)

Bentuk paling sederhana untuk menentukan hukum distribusi variabel acak adalah tabel yang mencantumkan kemungkinan nilai variabel acak dan probabilitas yang sesuai.

Tabel 1.

X saya	X 1	X 2	…	Xn
hal	hal 1	hal2	…	hal

Tabel ini disebut dekat distribusi variabel acak.

Untuk memberikan tampilan yang lebih visual pada deret distribusi, mereka menggunakan representasi grafisnya: nilai yang mungkin dari variabel acak diplot sepanjang sumbu absis, dan probabilitas nilai-nilai ini diplot sepanjang sumbu ordinat. (Untuk kejelasan, titik-titik yang dihasilkan dihubungkan oleh segmen garis lurus.)

Gambar 1 – poligon distribusi

Angka ini disebut poligon distribusi. Poligon distribusi, seperti deret distribusi, sepenuhnya mencirikan variabel acak; itu adalah salah satu bentuk hukum distribusi.

Contoh:

satu percobaan dilakukan dimana kejadian A mungkin muncul atau tidak. Peluang kejadian A = 0,3. Kami mempertimbangkan variabel acak X - jumlah kemunculan peristiwa A dalam percobaan tertentu. Perlu dibuat deret dan poligon distribusi nilai X.

Meja 2.

X saya
hal	0,7	0,3

Gambar 2 - Fungsi distribusi

Fungsi distribusi adalah karakteristik universal dari variabel acak. Itu ada untuk semua variabel acak: terputus-putus dan tidak kontinu. Fungsi distribusi sepenuhnya mencirikan suatu variabel acak dari sudut pandang probabilistik, yaitu salah satu bentuk hukum distribusi.

Untuk mengkarakterisasi secara kuantitatif distribusi probabilitas ini, akan lebih mudah untuk menggunakan bukan probabilitas kejadian X=x, tetapi probabilitas kejadian X

Fungsi distribusi F(x) kadang juga disebut fungsi distribusi kumulatif atau hukum distribusi kumulatif.

Sifat-sifat fungsi distribusi variabel acak

1. Fungsi distribusi F(x) merupakan fungsi tak menurun dari argumennya, yaitu untuk ;

2. Pada minus tak terhingga:

3. Pada plus tak terhingga:

Gambar 3 – grafik fungsi distribusi

Grafik fungsi distribusi secara umum merupakan grafik fungsi tak menurun yang nilainya dimulai dari 0 dan menuju ke 1.

Dengan mengetahui deret distribusi suatu variabel acak, kita dapat membangun fungsi distribusi variabel acak tersebut.

Contoh:

untuk kondisi contoh sebelumnya, buatlah fungsi distribusi variabel acak.

Mari kita buat fungsi distribusi X:

Gambar 4 – fungsi distribusi X

Fungsi distribusi dari setiap variabel acak diskrit diskontinu selalu terdapat fungsi langkah diskontinu, lompatannya terjadi pada titik-titik yang sesuai dengan nilai kemungkinan variabel acak dan sama dengan probabilitas nilai-nilai tersebut. Jumlah semua lompatan fungsi distribusi sama dengan 1.

Ketika jumlah nilai yang mungkin dari suatu variabel acak bertambah dan interval di antara nilai-nilai tersebut berkurang, jumlah lompatan menjadi lebih besar, dan lompatan itu sendiri menjadi lebih kecil:

Gambar 5

Kurva berundak menjadi lebih mulus:

Gambar 6

Variabel acak secara bertahap mendekati nilai kontinu, dan fungsi distribusinya mendekati fungsi kontinu. Ada juga variabel acak yang nilai kemungkinannya terus menerus mengisi interval tertentu, tetapi fungsi distribusinya tidak kontinu di semua tempat. Dan pada titik-titik tertentu rusak. Variabel acak seperti ini disebut variabel campuran.

Gambar 7

Konsep variabel acak. Hukum distribusi variabel acak

Variabel acak (disingkat: r.v.) dilambangkan dengan huruf latin kapital X, Y, Z,...(atau huruf kecil Yunani ξ (xi), η (eta), θ (theta), ψ (psi), dll.), dan nilai yang diambil masing-masing dalam huruf kecil x 1 , x 2 ,…, di 1 , di 2 , di 3 …

Contoh Dengan. V. dapat melayani: 1) X- jumlah poin yang muncul saat melempar dadu; 2) Y - jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran; 3) Z- waktu pengoperasian perangkat bebas masalah, dll. (tinggi badan seseorang, nilai tukar dolar, jumlah suku cadang yang rusak dalam satu batch, suhu udara, kemenangan pemain, koordinat titik jika dipilih secara acak, keuntungan perusahaan, . ..).

Variabel acak XΏ w

X(w), yaitu X= X(w), wО Ώ (atau X = f(w)) (31)

Contoh 1. Percobaan yang dilakukan adalah melempar sebuah uang logam sebanyak 2 kali. Pada PES Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), dimana w 1 = GG, w 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, Anda dapat mempertimbangkan hal. V. X- jumlah kemunculan lambang. S.v. X adalah fungsi dari kejadian dasar w i : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. dengan nilai x 1 = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- d.s. V.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

hal aku , Di mana saya = 1,2,3, ...,n,… .

Hukum distribusi d.s. V. p saya =P(X=x saya}, saya=1,2,3,... ,n,...,

Dengan. V. X X Saya. :

X	x 1	x 2	….	xn	…
P	hal 1	hal2	….	hal	…

Sejak peristiwa (X = x 1 ), (X = x 2 ),…, (X = xn ), yaitu .

(x 1 , hal 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) disebut poligon(atau poligon) distribusi(lihat Gambar 17).

Nilai acak X adalah diskrit, jika ada himpunan bilangan berhingga atau terhitung x 1 , x 2 , ..., x n sedemikian rupa sehingga P(X = x saya ) = pi > 0 (saya = 1,2,...) hal 1 + hal2 + hal 3 +…= 1 (32)

Jumlah d.s. V. X, mengambil nilai x i dengan probabilitas p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, dan d.s. V. Y, mengambil nilai y j dengan probabilitas p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, disebut d.s. V. Z = X + Y, mengambil nilai z ij = x i + y j dengan probabilitas p ij = P( X = x i,Y = y j), untuk semua nilai yang ditentukan Saya dan j. Jika beberapa jumlah x i + y j bertepatan, probabilitas yang bersesuaian ditambahkan.

Berdasarkan perbedaan d.s. V. X, mengambil nilai x i dengan probabilitas p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, dan d.s. V. Y, mengambil nilai y j dengan probabilitas p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, disebut d.s. V. Z = X - Y, mengambil nilai z ij = x i – y j dengan probabilitas p ij = P ( X = x i ,Y = y j ), untuk semua nilai yang ditentukan Saya dan j. Jika beberapa perbedaan x i – y j bertepatan, probabilitas terkait ditambahkan.

Pekerjaan d.s. V. X, mengambil nilai x i dengan probabilitas p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n, dan d.s. V. Y, mengambil nilai y j dengan probabilitas p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m, disebut d.s. V. Z = X × Y, mengambil nilai z ij = x i × y j dengan probabilitas p ij = P( X = x i,Y = y j), untuk semua nilai yang ditentukan Saya dan j. Jika beberapa hasil kali x i × y j bertepatan, probabilitas yang sesuai ditambahkan.

d.s. V. сХ, с x saya р saya = Р(Х = x saya ).

Kejadian X dan Y (X = x i) = A i dan (Y = y j) = B j saling bebas untuk sembarang i= 1,2,...,n; j = l,2,...,m, yaitu.

P(X = x saya ;Y = y j ) =P(X = x saya ) ×P (Y = y j ) (33)

Contoh 2. Ada 8 bola di dalam guci, 5 diantaranya berwarna putih, sisanya berwarna hitam. Dari situ diambil 3 bola secara acak. Temukan hukum distribusi jumlah bola putih dalam sampel.