ಪಾಠ ಯೋಜನೆ.

1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ.

2. ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿ.

3. ಮನೆಕೆಲಸ.

4. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ.

ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

I. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ.

II. ವಸ್ತುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿ.

ಪ್ರೇರಣೆ.

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಹೊಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (ಕಾಲ್ಪನಿಕ) ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಚಯವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಚಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ.

ನಾವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿರುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ದ್ವಿ, ಎಲ್ಲಿ iಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು i 2 = - 1.

ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ a+bi, ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿ- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎ) ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a 1 + b 1 iಮತ್ತು a 2 + b 2 iಸಮಾನವಾದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ a 1 =a 2, b 1 =b 2.

ಬಿ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ನಿಯಮದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ಸಿ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿಯಮದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ.

ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು a+biಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎ- ನಿಜವಾದ ಭಾಗ, ದ್ವಿಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಿ- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ a+biಅದರ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: a = b = 0

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ a+biನಲ್ಲಿ b = 0ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ: a + 0i = a.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ a+biನಲ್ಲಿ a = 0ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ದ್ವಿ: 0 + ದ್ವಿ = ದ್ವಿ.

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು z = a + biಮತ್ತು = ಎ - ದ್ವಿ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದ ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಯೋಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು.

1) ಸೇರ್ಪಡೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ z 1 = a 1 + b 1 iಮತ್ತು z 2 = a 2 + b 2 iಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z, ಇದರ ನೈಜ ಭಾಗವು ನೈಜ ಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ z 1ಮತ್ತು z 2, ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ z 1ಮತ್ತು z 2, ಅದು z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು z 1ಮತ್ತು z 2ಪದಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1º. ಪರಿವರ್ತನೆ: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º. ಸಹಭಾಗಿತ್ವ: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ -ಎ-ಬಿಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z = a + bi. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿರುದ್ಧ z, ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ -z. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ zಮತ್ತು -zಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ: z + (-z) = 0

ಉದಾಹರಣೆ 1: ಸೇರ್ಪಡೆ ಮಾಡು (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) ವ್ಯವಕಲನ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ z 1ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z 2 z,ಏನು z + z 2 = z 1.

ಪ್ರಮೇಯ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2: ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಮಾಡಿ (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) ಗುಣಾಕಾರ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ z 1 =a 1 +b 1 iಮತ್ತು z 2 =a 2 +b 2 iಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z, ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳು z 1ಮತ್ತು z 2ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

1º. ಪರಿವರ್ತನೆ: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. ಸಹಭಾಗಿತ್ವ: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣೆ:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮೊತ್ತದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮತ್ತು ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಿಯಮದಿಂದ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದಿಂದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 3: ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಿ (2 + 3i) (5 - 7i).

1 ದಾರಿ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.

ವಿಧಾನ 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) ವಿಭಾಗ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಿಸಿ z 1ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ z 2, ಅಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದರ್ಥ z, ಏನು z · z 2 = z 1.

ಪ್ರಮೇಯ.ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ z 2 ≠ 0 + 0i.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಸಂಯೋಗದಿಂದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅವಕಾಶ z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, ನಂತರ

.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಛೇದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಅಂಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

5) ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸುವುದು.

ಎ) ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ಅಧಿಕಾರಗಳು.

ಸಮಾನತೆಯ ಲಾಭ ಪಡೆಯುವುದು i 2 = -1, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕದ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1ಇತ್ಯಾದಿ

ಇದು ಪದವಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ನಾನು ಎನ್, ಎಲ್ಲಿ ಎನ್- ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಸೂಚಕವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆ 4 .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು iಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿಗೆ, ನಾವು ಘಾತವನ್ನು ಭಾಗಿಸಬೇಕು 4 ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಿಸಿ iಘಾತವು ವಿಭಜನೆಯ ಉಳಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಶಕ್ತಿಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

ಬೌ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಅನುಗುಣವಾದ ಶಕ್ತಿಗೆ ದ್ವಿಪದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಒಂದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಾಕಾರ.

ಉದಾಹರಣೆ 6: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವಾಗಿದೆ.

ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು , ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು:

ಯಾವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ.

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು α = a + bi ಮತ್ತು β = c + di ನೀಡಿದರೆ, ಆಗ

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (ಹನ್ನೊಂದು)

ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎರಡು ಆದೇಶ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (1) ಮತ್ತು (3) ನೋಡಿ). ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ: ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನಾವು ಅವುಗಳ ನೈಜ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಅವುಗಳ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು; ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅವುಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸಂಖ್ಯೆ – α = – a – bi ಅನ್ನು α = a + bi ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (6) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, i2 = -1. ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

ಈ ಸೂತ್ರವು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (2) ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆದೇಶ ಜೋಡಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, α = a + bi, = a – bi, ಆಗ α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b)i= 2a, ಅಂದರೆ.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವಾಗ, ಅಂಶವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ α/β = u + vi, ಇಲ್ಲಿ u, v R. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯೋಣ. . ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು α = a + bi, β = c + di ನೀಡಲಿ, ಮತ್ತು β ≠ 0, ಅಂದರೆ c2 + d2 ≠ 0. ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆ ಎಂದರೆ c ಮತ್ತು d ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (c = 0 ಮಾಡಿದಾಗ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಹೊರಗಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ , ಡಿ = 0). ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ (12) ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಳ ಎರಡನೆಯ (13), ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ (4).

β = c + di ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನೀವು ಅದರ ವಿಲೋಮ ಸಂಖ್ಯೆ β-1 = 1/β ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ (14) a = 1, b = 0 ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈ ಸೂತ್ರವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಲೋಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ; ಈ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೂಡ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು.

55. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ (ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ).

Arg.com.numbers. - ನೈಜ X ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ ನಡುವೆ.

ತ್ರಿಕೋನ ಸೂತ್ರ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:,

		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ........................................... ......... ...................
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮತಲ .............................................. ...................... ............................ ................................ ...
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು........................................... ............................................................... ..........................
	ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು........................................... ......... ....
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ .............................................. ............................................ .................
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು .............................................. ............................................................... ......................
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ .............................................. ...................... .................................. ..................
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು............................................. ............................................................. ...................
	ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪ........................................... ......... ..........
	ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು........................................... .........
		ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು........................................... ........
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಭಾಗಿಸುವುದು............................................ .......... ...
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು........................................... ...........
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಪದವಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು.....................................
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ............................................. .................. .....
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿ........................................... .............................................. ......... ....................
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿ ............................................. ............................................................... ..........................
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ ............................................. ........ .................................
		ಡಬಲ್ ಸೈಡೆಡ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ .............................................. .....
		ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳು ............................................. .......................................................
		ಮೂಲ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ............................................. ............................................................. .
		ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರಗಳು................................................ .............................................. ......... ....................
		ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಘಾತೀಯ ರೂಪ........................................... ......................
		ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ.
		ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯ................................................ .............................................. ..............
		ಸಾಮಾನ್ಯ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು............................................ ........ ...............
	ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ........................................... ..............
		ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು .............................................. ..... .................................................. ........... ............
		ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳು............................................. .......................................................
		ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಶನ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ............................................. ...................... ............................ ...
		ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು...........................................

	ಅದರ ನೈಜ ಅಥವಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ
		ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಕರ್ವ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು .............................................. ...... .......
		ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಕೌಚಿ-ರೀಮನ್ ಷರತ್ತುಗಳ ನೇರ ಅನ್ವಯ.................................
		ವಿಧಾನ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಬಯಸಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ........................................... .......... .........
	ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣ ........................................... ......... ..........
	ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೌಚಿ ಸೂತ್ರ .............................................. ..... .................................................. ..............
	ಟೇಲರ್ ಮತ್ತು ಲಾರೆಂಟ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ........................................... .......... ................................
	ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳು........................................... ..............
		ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಸೊನ್ನೆಗಳು............................................ .......... .......................
		ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಏಕವಚನ ಬಿಂದುಗಳು...........................................

14.3 ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಏಕ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು

	ಕಡಿತಗಳು .................................................. ....................................................... ................................................... ...
		ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಡಿತ ............................................. ...... ............................................. ............ ......
		ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶೇಷ ............................................ ........... ...............
	ಅವಶೇಷಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ .............................................. .......................................
	ಸ್ವಯಂ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು .............................................. ...................... .................................. ................................ .......
	ಸಾಹಿತ್ಯ................................................ .................................................. ...... ...................................
	ವಿಷಯ ಸೂಚ್ಯಂಕ ................................................ .................................................. ...... ..............

ಮುನ್ನುಡಿ

ಪರೀಕ್ಷೆ ಅಥವಾ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ ಮಾಡುವಾಗ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಮವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವಿತರಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಧಿವೇಶನದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಇದನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಸರಳವಾದವುಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಇತರರು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

"ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ" (TFCP) ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ಮಾಡುವ ಈ ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಸ್ತುಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. "ಅಭ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸತ್ತಿದೆ, ಸಿದ್ಧಾಂತವಿಲ್ಲದ ಅಭ್ಯಾಸವು ಕುರುಡಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ತತ್ವದಿಂದ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತಾರೆ, ಜೊತೆಗೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸ್ಥಾನದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಅನುಕೂಲವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅದರ ಕಂಠಪಾಠ ಮತ್ತು ತಿಳುವಳಿಕೆ.

ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಉದ್ದೇಶ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಶಿಫಾರಸುಗಳು- ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಾಗಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, TFKP ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿಸ್ತೃತ ಕೆಲಸದ ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಅವಶ್ಯಕ ಮನೆಕೆಲಸಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಣ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ತಯಾರಿ. ಜೊತೆಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು, ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಬೋರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂವಾದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತರಗತಿಗಳನ್ನು ನಡೆಸುವಾಗ ಅಥವಾ ದೂರಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿಯೋಜನೆಗಾಗಿ ಈ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಪ್ರಕಟಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಈ ಕೆಲಸವು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಅಥವಾ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ವಸ್ತುವಿನ ಆಳವಾದ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ, MSTU ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಎನ್.ಇ. ಬೌಮನ್ ಮೂಲ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ.

ಕೈಪಿಡಿಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಿದ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ ಮತ್ತು ವಿಷಯ ಸೂಚ್ಯಂಕವಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ದಪ್ಪ ಇಟಾಲಿಕ್ನಿಯಮಗಳು. ಸೂಚ್ಯಂಕವು ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಹೈಪರ್‌ಲಿಂಕ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೈಪಿಡಿಯನ್ನು MSTU ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಧ್ಯಾಪಕರ 2 ನೇ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎನ್.ಇ. ಬೌಮನ್.

1. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ

z = x + iy ರೂಪದ ಸಂಕೇತ, ಇಲ್ಲಿ x,y ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, i ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ i 2 = - 1)

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z ಬರೆಯುವ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, x ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೈಜ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು Re z (x = Re z) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, y ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು Im z (y = Im z) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ z = 4− 3i ನೈಜ ಭಾಗ Rez = 4 ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗ Imz = - 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

2. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಮಾನ

IN ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮತಲ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ z, w, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಸಮತಲ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು z = x + 0i = x ಅನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಲಂಬ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;

3. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

z = x + iy ಮತ್ತು z = x - iy ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅವರು ನೈಜ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತಾರೆ.

4. ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು

4.1 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ

z 1= x 1+ iy 1

ಮತ್ತು z 2 = x 2 + iy 2 ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

z 1+ z 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) .

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ

ಜೊತೆಗೆ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ದ್ವಿಪದಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ z 1 = 3+ 7i ಮತ್ತು z 2

= -1 +2 i

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ

z 1 +z 2 =(3 +7 i) +(−1 +2 i) =(3 -1) +(7 +2) i =2 +9 i.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ,

ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ

ಸಂಯೋಗ

ಇದೆ

ನಿಜವಾದ

z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z.

4.2 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯವಕಲನ

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ z 1 = x 1 + iy 1

X 2 +iy 2

ಎಂದು ಕರೆದರು

ಸಮಗ್ರ

ಸಂಖ್ಯೆ z 1− z 2= (x 1+ iy 1) - (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) .

ಉದಾಹರಣೆ. ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

z 1 =3 -4 i

ಮತ್ತು z 2

= -1 +2 i

ಸಮಗ್ರ ಇರುತ್ತದೆ

ಸಂಖ್ಯೆ z 1 - z 2 = (3− 4i ) - (- 1+ 2i ) = (3- (- 1) ) + (- 4- 2) i = 4- 6i ​​.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಜಕ

ಇದೆ

z - z = (x+ iy) - (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z.

4.3 ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ

z 1= x 1+ iy 1

ಮತ್ತು z 2= x 2+ iy 2

ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) .

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ದ್ವಿಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, i 2 = - 1 ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

3 ರಲ್ಲಿ ಪುಟ 2

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ - ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಾವು ರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಏಕೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ? ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ರೂಪಗಳೂ ಇವೆ, ಅದನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ,

ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ಸರಳ, ಅಲ್ಲವೇ? ಕ್ರಿಯೆಯು ತುಂಬಾ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಈ ಸರಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: ನೈಜ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಮೊದಲ ವರ್ಗದ ನಿಯಮವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ: - ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಮೊತ್ತವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು, ವೇಳೆ,

ಕ್ರಿಯೆಯು ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಕೇವಲ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯೆಂದರೆ ಸಬ್‌ಟ್ರಾಹೆಂಡ್ ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಕಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಆವರಣವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆಯಬೇಕು:

ಫಲಿತಾಂಶವು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು; ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು, ಮೂರು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ನಿಜವಾದ ಭಾಗವು ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ: . ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಎರಡನೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಇಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಭಾಗವು ಕೂಡ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದೆ:

ಯಾವುದೇ ತಗ್ಗನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ ಸಣ್ಣ ಉದಾಹರಣೆ"ಕೆಟ್ಟ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ: . ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆವರಣವಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು

ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಮಾನತೆಗೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಸಮಯ ಬಂದಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ,

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಕೆಲಸವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬೇಕು:

ಇದು ಏನನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ? ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಲು ಇದು ಬೇಡುತ್ತದೆ. ನೀವು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಅದನ್ನೇ! ಎಲ್ಲಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಶಾಲೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ: ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಒಂದು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಬಹುಪದದ ಪ್ರತಿ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ನಾನು ಅದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ

ಗಮನ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಗಮನ, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊತ್ತದಂತೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆ ನಿಜ: .

IN ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯಮತ್ತು ಅಂತರ್ಜಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಬಳಸಿ, ಆದರೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನನಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ನಾನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ, ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ- ಇದು ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯನ್ನು ಮರದ ಪುಡಿಯಿಂದ ತುಂಬಿಸುತ್ತಿದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಾಗ

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, . ಅಂಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಾವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಛೇದ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದದ ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ.

ಗಡ್ಡದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಛೇದವನ್ನು ನೋಡೋಣ: . ಛೇದವು ಈಗಾಗಲೇ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ , ಅಂದರೆ

ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು, ಏನೂ ಬದಲಾಗದಂತೆ, ಅಂಶವನ್ನು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು:

ನಾನು ಅದನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ನಾನು "ಉತ್ತಮ" ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ: ನೀವು "ಮೊದಲಿನಿಂದ" ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ವಿಭಜನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಮೊದಲು, ಅದನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: . ವಿಭಜಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಾವು ಅನಗತ್ಯ ಮೈನಸ್‌ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ: ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೈನಸ್‌ಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೈನಸ್‌ಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: . ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇಷ್ಟಪಡುವವರಿಗೆ, ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲಿದೆ:

ವಿರಳವಾಗಿ, ಆದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ (ಅಂದರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ).

ತಂತ್ರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ - ನಾವು ಛೇದ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಛೇದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಛೇದವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಛೇದ ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿತ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ:

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಅವರು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು. ಗಾಬರಿ ಬೇಡ: ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಧಾನ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ .

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ರೂಪ

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಇನ್ನಷ್ಟು ಇದೆ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ. ರಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶನ ರೂಪ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳುಕಡಿಮೆ ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಸ್ತುಪುಟದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಗಳುಮತ್ತು ಕೋಷ್ಟಕಗಳು. ಕೋಷ್ಟಕಗಳಿಲ್ಲದೆ ನೀವು ದೂರ ಹೋಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:
, ಅದು ಎಲ್ಲಿದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್, ಎ - ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್. ನಾವು ಓಡಿಹೋಗಬಾರದು, ಎಲ್ಲವೂ ತೋರುತ್ತಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾಗಿದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ವಿವರಣೆಯ ಖಚಿತತೆ ಮತ್ತು ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ನಾವು ನಂಬುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೂಲದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಉದ್ದವಾಗಿದೆತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್, ಇದನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅಥವಾ

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ: . ಈ ಸೂತ್ರನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ"ಎ" ಮತ್ತು "ಇರು" ಎಂಬ ಅರ್ಥಗಳು.

ಸೂಚನೆ: ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿನಡುವೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಏಕವಚನ: .

ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ತತ್ವವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಧ್ರುವ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಧ್ರುವ ಕೋನವು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಅಥವಾ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ, ವಾದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
. ಗಮನ!ಈ ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾದ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ! ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯು 1 ನೇ ಅಥವಾ 4 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರವು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವಾಗ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಮೌಖಿಕವಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ನಾವು ದೃಢವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ - ಉದ್ದ(ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ), ವಾದವು ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ.

1) ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಔಪಚಾರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: .
(ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಜವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ) ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ: .

ರಿವರ್ಸ್ ಚೆಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯು ದಿನದಂತೆಯೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ:

2) ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಔಪಚಾರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: .
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ (ಅಥವಾ 90 ಡಿಗ್ರಿ). ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೂಲೆಯನ್ನು ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ: .

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪವನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ (ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಚೆಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು):

3) ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಔಪಚಾರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: .
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ (ಅಥವಾ 180 ಡಿಗ್ರಿ). ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲೆಯನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ: .

ಪರೀಕ್ಷೆ:

4) ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಔಪಚಾರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ: .

ವಾದವನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು: ಮೊದಲ ಮಾರ್ಗ: (270 ಡಿಗ್ರಿ), ಮತ್ತು, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ: . ಪರೀಕ್ಷೆ:

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮವು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ: ಕೋನವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಕೋನದ ವಿರುದ್ಧ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ("ಸ್ಕ್ರೋಲಿಂಗ್") ನೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: (ಮೈನಸ್ 90 ಡಿಗ್ರಿ), ಕೋನವನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಹಸಿರು. ಅದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಕೋನ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರವೇಶವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:

ಗಮನ!ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಕೊಸೈನ್‌ನ ಸಮಾನತೆ, ಸೈನ್‌ನ ವಿಚಿತ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಾರದು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು "ಸರಳಗೊಳಿಸಬೇಕು":

ಮೂಲಕ, ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಉಲ್ಲೇಖ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು ಪುಟದ ಕೊನೆಯ ಪ್ಯಾರಾಗಳಲ್ಲಿವೆ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳು . ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಲಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ!

ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಬರೆಯಬೇಕು: "ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ... ವಾದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ...". ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಹೋಗೋಣ. ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ; ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಆದರೆ ವಾದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ (ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನಲ್ಲಿ ನಕಲಿಸಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ):

1) ಒಂದು ವೇಳೆ (1 ನೇ ಮತ್ತು 4 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಕ್ವಾರ್ಟರ್ಸ್, ಅಥವಾ ಬಲ ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್), ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

2) ವೇಳೆ (2 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕ), ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು .

3) ವೇಳೆ (3 ನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ತ್ರೈಮಾಸಿಕ), ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು .

ಉದಾಹರಣೆ 8

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿ: , , , .

ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ: ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿದಾಗ, ನಂತರ ಹೇಗಾದರೂ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ. ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಿಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತಾರೆ; ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯು ಮೈನಸ್ ಮತ್ತು ವೈಫಲ್ಯಕ್ಕೆ ಗಂಭೀರ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ.

ಓಹ್, ನಾನು ನೂರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ಕೈಯಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಚಿತ್ರಿಸಿಲ್ಲ, ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೋಗಿ:

ಯಾವಾಗಲೂ ಹಾಗೆ, ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ಕೊಳಕು =)

ನಾನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ಅದರ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.