ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಓಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹಿಂದೆ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಈ ದೂರವನ್ನು ಓಡಲು ಅಕಿಲ್ಸ್ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಓಡಿದಾಗ, ಆಮೆ ಇನ್ನೂ ಹತ್ತು ಹೆಜ್ಜೆ ತೆವಳುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಎಂದಿಗೂ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವುದಿಲ್ಲ.
ಈ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಪೀಳಿಗೆಗೆ ತಾರ್ಕಿಕ ಆಘಾತವಾಯಿತು. ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್, ಡಯೋಜಿನೆಸ್, ಕಾಂಟ್, ಹೆಗೆಲ್, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್... ಇವರೆಲ್ಲರೂ ಒಂದಲ್ಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು. ಆಘಾತವು ತುಂಬಾ ಪ್ರಬಲವಾಗಿತ್ತು " ... ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳ ಸಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ತಲುಪಲು ಚರ್ಚೆಗಳು ಇಂದಿಗೂ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಸಮುದಾಯಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ... ನಾವು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದ್ದೇವೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಹೊಸ ಭೌತಿಕ ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ ವಿಧಾನಗಳು; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಪರಿಹಾರವಾಗಲಿಲ್ಲ ..."[ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ, "ಝೆನೋಸ್ ಅಪೋರಿಯಾ". ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಾವು ಮೂರ್ಖರಾಗುತ್ತಿದ್ದಾರೆಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ವಂಚನೆಯು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಯಾರೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ.
ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಝೆನೋ ತನ್ನ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣದಿಂದ ವರೆಗಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದನು. ಈ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಶಾಶ್ವತವಾದವುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಮಾಪನದ ವೇರಿಯಬಲ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಗಣಿತದ ಉಪಕರಣವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಝೆನೋ ಅಪೋರಿಯಾಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ನಮ್ಮನ್ನು ಬಲೆಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ನಾವು, ಚಿಂತನೆಯ ಜಡತ್ವದಿಂದಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಭೌತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಹಿಡಿಯುವ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಲ್ಲುವವರೆಗೆ ಸಮಯ ನಿಧಾನವಾಗುತ್ತಿರುವಂತೆ ತೋರುತ್ತಿದೆ. ಸಮಯ ನಿಂತರೆ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಆಮೆಯನ್ನು ಮೀರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ತರ್ಕವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ. ಅಕಿಲ್ಸ್ ಜೊತೆ ಓಡುತ್ತಾನೆ ಸ್ಥಿರ ವೇಗ. ಅವನ ಹಾದಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಂತರದ ವಿಭಾಗವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಕಳೆದ ಸಮಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು "ಅನಂತ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹಿಡಿಯುತ್ತಾನೆ" ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ತಾರ್ಕಿಕ ಬಲೆ ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಹೇಗೆ? ಸಮಯದ ನಿರಂತರ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಉಳಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಡಿ. ಝೆನೋ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ಅಕಿಲ್ಸ್ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಆಮೆ ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಮುಂದಿನ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, ಅಕಿಲ್ಸ್ ಇನ್ನೂ ಸಾವಿರ ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ಓಡಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆಮೆ ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆಗಳನ್ನು ತೆವಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ಅಕಿಲ್ಸ್ ಆಮೆಗಿಂತ ಎಂಟು ನೂರು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದಿದ್ದಾರೆ.
ಈ ವಿಧಾನವು ಯಾವುದೇ ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಲ್ಲದೆ ವಾಸ್ತವವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹಾಗಲ್ಲ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದ ಎದುರಿಸಲಾಗದ ಬಗ್ಗೆ ಐನ್‌ಸ್ಟೈನ್ ಹೇಳಿಕೆಯು ಝೆನೋನ ಅಪೋರಿಯಾ "ಅಕಿಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆಮೆ" ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇನ್ನೂ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಬೇಕು, ಪುನರ್ವಿಮರ್ಶಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಳತೆಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಬೇಕು.
Zeno ನ ಮತ್ತೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಪೋರಿಯಾ ಹಾರುವ ಬಾಣದ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ:
ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಚಲನರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಈ ಅಪೋರಿಯಾದಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಕಿಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬಹಳ ಸರಳವಾಗಿ ನಿವಾರಿಸಲಾಗಿದೆ - ಪ್ರತಿ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಹಾರುವ ಬಾಣವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಾಕು, ಅದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ರಸ್ತೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರಿನ ಒಂದು ಛಾಯಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಅದರ ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಅದರ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯ. ಒಂದು ಕಾರು ಚಲಿಸುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಅವುಗಳಿಂದ ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಕಾರಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ತೆಗೆದ ಎರಡು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳಿಂದ ನೀವು ಚಲನೆಯ ಸತ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಸಹಜವಾಗಿ, ನಿಮಗೆ ಇನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಡೇಟಾ ಬೇಕು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ) ನಾನು ಏನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ, ಸಮಯದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಅವಕಾಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ.
ಬುಧವಾರ, ಜುಲೈ 4, 2018
ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದಲ್ಲಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನೋಡೋಣ.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, "ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳು ಇರಬಾರದು" ಆದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು "ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಂಜಸವಾದ ಜೀವಿಗಳು ಅಂತಹ ಅಸಂಬದ್ಧ ತರ್ಕವನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಮಾತನಾಡುವ ಗಿಳಿಗಳು ಮತ್ತು ತರಬೇತಿ ಪಡೆದ ಕೋತಿಗಳ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅವರು "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ" ಪದದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯ ತರಬೇತುದಾರರಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅವರ ಅಸಂಬದ್ಧ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ನಮಗೆ ಬೋಧಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಒಂದಾನೊಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಎಂಜಿನಿಯರ್‌ಗಳು ಸೇತುವೆಯ ಕೆಳಗೆ ದೋಣಿಯಲ್ಲಿ ಸೇತುವೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆ ನಡೆಸುತ್ತಿದ್ದರು. ಸೇತುವೆ ಕುಸಿದರೆ, ಸಾಧಾರಣ ಇಂಜಿನಿಯರ್ ತನ್ನ ಸೃಷ್ಟಿಯ ಅವಶೇಷಗಳಡಿಯಲ್ಲಿ ಸತ್ತನು. ಸೇತುವೆಯು ಭಾರವನ್ನು ತಡೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಭಾವಂತ ಎಂಜಿನಿಯರ್ ಇತರ ಸೇತುವೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು.
ಗಣಿತಜ್ಞರು "ನನ್ನನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ, ನಾನು ಮನೆಯಲ್ಲಿದ್ದೇನೆ" ಅಥವಾ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಅಮೂರ್ತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಹಿಂದೆ ಹೇಗೆ ಮರೆಮಾಡಿದರೂ, ವಾಸ್ತವದೊಂದಿಗೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದಂತೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯಿದೆ. ಈ ಹೊಕ್ಕುಳಬಳ್ಳಿಯು ಹಣ. ಅನ್ವಯಿಸುವ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಸ್ವತಃ ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ.
ನಾವು ಗಣಿತವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ನಗದು ರಿಜಿಸ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕುಳಿತು ಸಂಬಳ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬ ಗಣಿತಜ್ಞ ತನ್ನ ಹಣಕ್ಕಾಗಿ ನಮ್ಮ ಬಳಿಗೆ ಬರುತ್ತಾನೆ. ನಾವು ಅವನಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಮೇಜಿನ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಾವು ಪ್ರತಿ ರಾಶಿಯಿಂದ ಒಂದು ಬಿಲ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಅವರ "ಗಣಿತದ ಸಂಬಳದ ಸೆಟ್" ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳಿಲ್ಲದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವರು ಉಳಿದ ಬಿಲ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ವಿವರಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿಯೇ ಮೋಜು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಿಯೋಗಿಗಳ ತರ್ಕವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ: "ಇದನ್ನು ಇತರರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನನಗೆ ಅಲ್ಲ!" ನಂತರ ಅವರು ಒಂದೇ ಪಂಗಡದ ಬಿಲ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಭರವಸೆ ನೀಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸರಿ, ಸಂಬಳವನ್ನು ನಾಣ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಸೋಣ - ನಾಣ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಉದ್ರಿಕ್ತವಾಗಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ: ವಿಭಿನ್ನ ನಾಣ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಮಾಣದ ಕೊಳೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಸ್ಫಟಿಕದ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಪರಮಾಣುಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಪ್ರತಿ ನಾಣ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ...
ಮತ್ತು ಈಗ ನಾನು ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ: ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳು ಸೆಟ್ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎಲ್ಲಿದೆ? ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಾಲು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಶಾಮನ್ನರು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತಾರೆ, ವಿಜ್ಞಾನವು ಇಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು ಹೇಳಲು ಸಹ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿಲ್ಲ.
ಇಲ್ಲಿ ನೋಡು. ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಫುಟ್ಬಾಲ್ ಕ್ರೀಡಾಂಗಣಗಳುಅದೇ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ. ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ - ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಇದೇ ಸ್ಟೇಡಿಯಂಗಳ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ ನಮಗೆ ಹಲವು ಸಿಗುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಸರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಎರಡೂ ಆಗಿದೆ. ಯಾವುದು ಸರಿ? ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಗಣಿತಜ್ಞ-ಶಾಮನ್-ಶಾರ್ಪಿಸ್ಟ್ ತನ್ನ ತೋಳಿನಿಂದ ಟ್ರಂಪ್‌ಗಳ ಏಸ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ನಮಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಮಲ್ಟಿಸೆಟ್ ಬಗ್ಗೆ ಹೇಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವರು ಸರಿ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.
ಆಧುನಿಕ ಶಾಮನ್ನರು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದನ್ನು ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಿ, ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಸಾಕು: ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ? ನಾನು ನಿಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇನೆ, ಯಾವುದೇ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಲ್ಲ" ಅಥವಾ "ಒಂದೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ."
ಭಾನುವಾರ, ಮಾರ್ಚ್ 18, 2018
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ತಂಬೂರಿಯೊಂದಿಗೆ ಶಾಮನ್ನರ ನೃತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೌದು, ಗಣಿತದ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಳಸಲು ನಮಗೆ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವರು ಶಾಮನ್ನರು, ಅವರ ವಂಶಸ್ಥರಿಗೆ ಅವರ ಕೌಶಲ್ಯ ಮತ್ತು ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯನ್ನು ಕಲಿಸಲು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಸಾಯುತ್ತಾರೆ.
ನಿಮಗೆ ಪುರಾವೆ ಬೇಕೇ? ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾವನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು "ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತ" ಪುಟವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಅವಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ: "ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ." ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಶಾಮನ್ನರು ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು.
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಏನು ಮತ್ತು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 12345 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
1. ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ನಾವೇನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ? ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.
2. ನಾವು ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.
3. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ. ಇದು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲ.
4. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ. ಈಗ ಇದು ಗಣಿತ.
12345 ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 15 ಆಗಿದೆ. ಇವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಳಸುವ ಶಾಮನ್ನರು ಕಲಿಸುವ "ಕತ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತು ಹೊಲಿಗೆ ಕೋರ್ಸ್‌ಗಳು". ಆದರೆ ಇಷ್ಟೇ ಅಲ್ಲ.
ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ನಾವು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಬ್‌ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್‌ನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ 12345 ನನ್ನ ತಲೆಯನ್ನು ಮೋಸಗೊಳಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ, ಬಗ್ಗೆ ಲೇಖನದಿಂದ 26 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬೈನರಿ, ಅಷ್ಟಮ, ದಶಮಾಂಶ ಮತ್ತು ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಸೂಕ್ಷ್ಮದರ್ಶಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ; ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅದನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೂ ಗಣಿತಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ನೀವು ಮೀಟರ್ ಮತ್ತು ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ಶೂನ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸತ್ಯದ ಪರವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ವಾದವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಏನು, ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಏನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ? ನಾನು ಶಾಮನ್ನರಿಗೆ ಇದನ್ನು ಅನುಮತಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ರಿಯಾಲಿಟಿ ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ.
ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಪನದ ಘಟಕಗಳು ಎಂದು ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ನಾವು ಮಾಪನದ ವಿವಿಧ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಮಾಪನದ ವಿಭಿನ್ನ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ಕ್ರಮಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದ ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಇದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ.
ನಿಜವಾದ ಗಣಿತ ಎಂದರೇನು? ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಾತ್ರ, ಬಳಸಿದ ಅಳತೆಯ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಯಾರು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಓಹ್! ಇದು ಮಹಿಳೆಯರ ಶೌಚಾಲಯವಲ್ಲವೇ?
- ಯುವತಿ! ಸ್ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಆರೋಹಣ ಮಾಡುವಾಗ ಆತ್ಮಗಳ ಅವಿನಾಭಾವ ಪವಿತ್ರತೆಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಯೋಗಾಲಯವಾಗಿದೆ! ಮೇಲೆ ಹಾಲೋ ಮತ್ತು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಬಾಣ. ಬೇರೆ ಯಾವ ಶೌಚಾಲಯ?
ಹೆಣ್ಣು... ಮೇಲಿನ ಪ್ರಭಾವಲಯ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಬಾಣ ಪುರುಷ.
ಅಂತಹ ವಿನ್ಯಾಸದ ಕಲೆಯು ದಿನಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳ ಮುಂದೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ,
ನಿಮ್ಮ ಕಾರಿನಲ್ಲಿ ನೀವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ವಿಚಿತ್ರ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ:
ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ನಾನು ಪೂಪಿಂಗ್ ವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ (ಒಂದು ಚಿತ್ರ) (ಹಲವಾರು ಚಿತ್ರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ: ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ನಾಲ್ಕು, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪದನಾಮ). ಮತ್ತು ಈ ಹುಡುಗಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಮೂರ್ಖ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಳು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಗ್ರಹಿಸುವ ಬಲವಾದ ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾಳೆ. ಮತ್ತು ಗಣಿತಜ್ಞರು ಇದನ್ನು ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ನಮಗೆ ಕಲಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.
1A "ಮೈನಸ್ ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿ" ಅಥವಾ "ಒಂದು a" ಅಲ್ಲ. ಇದು "ಪೂಪಿಂಗ್ ಮ್ಯಾನ್" ಅಥವಾ ಹೆಕ್ಸಾಡೆಸಿಮಲ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ "ಇಪ್ಪತ್ತಾರು" ಸಂಖ್ಯೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಜನರು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಒಂದು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ.
ಈ ವೀಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ - ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ: ಏನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನು ಸರಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಹಂತದವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ.
ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೆ ನಿರ್ಮಾಣ:
ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಳಸಿ ಸರಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ:
- ಆವರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ;
- ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಮತ್ತು ವೇರಿಯಬಲ್ ಇಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ;
- ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಿ;
- ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು $x$ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕುತಂತ್ರಗಳ ನಂತರ $x$ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ:
- ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $0\cdot x=8$ ನಂತಹ ಏನಾದರೂ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದಾಗ, ಅಂದರೆ. ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸಂಖ್ಯೆ. ಕೆಳಗಿನ ವೀಡಿಯೊದಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಏಕೆ ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬ ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ.
- ಪರಿಹಾರವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಾಣ $0\cdot x=0$ ಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದಾಗ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ ಮಾತ್ರ. ನಾವು ಯಾವುದೇ $x$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೂ, ಅದು ಇನ್ನೂ "ಶೂನ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ" ಎಂದು ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸಾಕಷ್ಟು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆ.
ನಿಜ ಜೀವನದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದೆಲ್ಲವೂ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನೋಡೋಣ.
ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಇಂದು ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದವುಗಳು ಮಾತ್ರ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮೊದಲ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಹೋಗುತ್ತದೆ.
ಅಂತಹ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನೀವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ (ನಮ್ಮ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆ);
- ನಂತರ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜಿಸಿ
- ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ-ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದಗಳನ್ನು-ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಉಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ಸರಿಸಿ.
ನಂತರ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ತರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ನಂತರ "x" ನ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಇದು ಸುಂದರವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಅನುಭವಿ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಹ ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿ ಆಕ್ರಮಣಕಾರಿ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಾಗ ಅಥವಾ "ಪ್ಲಸಸ್" ಮತ್ತು "ಮೈನಸಸ್" ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ದೋಷಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳು.
ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಯೋಜನೆ
ಮೊದಲಿಗೆ, ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬರೆಯೋಣ:
- ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
- ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ನಾವು "X" ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಮತ್ತು "X" ಗಳಿಲ್ಲದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸರಿಸುತ್ತೇವೆ.
- ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
- ನಾವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "x" ನ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಯೋಜನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಅದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಗಳು ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನೈಜ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1
ಮೊದಲ ಹಂತವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಆದರೆ ಅವರು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಹಂತವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ. ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ನಿಯಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:
ನಾವು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಇಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ನಾಲ್ಕನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ: ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
ಆದ್ದರಿಂದ ನಮಗೆ ಉತ್ತರ ಸಿಕ್ಕಿತು.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2
ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:
ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡೂ ನಾವು ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು:
ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ಇದು ಯಾವ ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ? ಉತ್ತರ: ಯಾವುದಕ್ಕೂ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು $x$ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 3
ಮೂರನೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ:
\[\ಎಡ(6-x \ಬಲ)+\ಎಡ(12+x \ಬಲ)-\ಎಡ(3-2x \ಬಲ)=15\]
ಇಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಯಾವುದರಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿಲ್ಲ, ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ಸರಳವಾಗಿ ಮುಂಚಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಒಡೆಯೋಣ:
ನಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಎರಡನೇ ಹಂತವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
ಗಣಿತವನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
ನಾವು ಕೊನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ - ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "x" ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನೆನಪಿಡುವ ವಿಷಯಗಳು
ನಾವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ:
- ನಾನು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ - ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ;
- ಬೇರುಗಳಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಇರಬಹುದು - ಅದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತಪ್ಪಿಲ್ಲ.
ಸೊನ್ನೆಯು ಇತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ; ನೀವು ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಾರತಮ್ಯ ಮಾಡಬಾರದು ಅಥವಾ ನೀವು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನೀವು ಏನಾದರೂ ತಪ್ಪು ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಾರದು.
ಮತ್ತೊಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ತೆರೆಯುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಅವುಗಳ ಮುಂದೆ "ಮೈನಸ್" ಇದ್ದಾಗ, ನಾವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಆವರಣದಲ್ಲಿ ನಾವು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ವಿರುದ್ದ. ತದನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತೆರೆಯಬಹುದು: ಮೇಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ನಾವು ನೋಡಿದ್ದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಸರಳ ಸತ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಟುಪಿಡ್ ಮತ್ತು ನೋಯಿಸುವ ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಲಘುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೋಗೋಣ. ಈಗ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೇಗಾದರೂ, ನಾವು ಈ ಬಗ್ಗೆ ಭಯಪಡಬಾರದು, ಏಕೆಂದರೆ, ಲೇಖಕರ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದರೆ, ರೂಪಾಂತರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮೊದಲ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬಹಳ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮಾಡೋಣ:
ಈಗ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಇದನ್ನು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
\[\ವರ್ಣ ಏನೂ\]
ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2
ನಾವು ಅದೇ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಹಂತದ:
ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಎಡಕ್ಕೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸರಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಅದು ಇಲ್ಲದೆ - ಬಲಕ್ಕೆ:
ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:
\[\ವರ್ಣ ಏನೂ\],
ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.
ಪರಿಹಾರದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು
ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಸರಳವಾದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಎಲ್ಲವೂ ಅಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಯಿತು: ಒಂದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಬೇರುಗಳು ಇರಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಎರಡೂ ಸರಳವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.
ಆದರೆ ನಾನು ನಿಮ್ಮ ಗಮನವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಗತಿಗೆ ಸೆಳೆಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ: ಆವರಣದೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆರೆಯುವುದು. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ತೆರೆಯುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "X" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ ಪ್ರತಿ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಅವಧಿ. ಒಳಗೆ ಎರಡು ಪದಗಳಿವೆ - ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಎರಡು ಪದಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸಿದಾಗ.
ಮತ್ತು ಈ ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ, ಆದರೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಅಪಾಯಕಾರಿ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರವೇ, ಅದರ ನಂತರ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು. ಹೌದು, ಹೌದು: ಈಗ ಮಾತ್ರ, ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಾಗ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲವೂ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಸ್ವತಃ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಮುಂಭಾಗದ "ಮೈನಸ್" ಸಹ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
ಈ ಸಣ್ಣ, ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಸಂಗತಿಗಳಿಗೆ ನಾನು ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅಸಮರ್ಥತೆಯು ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ನನ್ನ ಬಳಿಗೆ ಬಂದು ಮತ್ತೆ ಅಂತಹ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಈ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯ ಹಂತಕ್ಕೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ದಿನ ಬರುತ್ತದೆ. ನೀವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ನೀವು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೀರಿ. ಆದರೆ ನೀವು ಕಲಿಯುತ್ತಿರುವಾಗ, ನೀವು ಪ್ರತಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಬರೆಯಬೇಕು.
ಇನ್ನಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ನಾವು ಈಗ ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೊರಟಿರುವುದು ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅರ್ಥವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 1
\[\ಎಡ(7x+1 \ಬಲ)\ಎಡ(3x-1 \ಬಲ)-21((x)^(2))=3\]
ಮೊದಲ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸೋಣ:
ಸ್ವಲ್ಪ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕೆಲವು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ಕೊನೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
ನಮ್ಮ ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು, ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ರದ್ದುಗೊಳಿಸಿದರು, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜವಲ್ಲ.
ಕಾರ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ 2
\[\ಎಡ(1-4x \ಬಲ)\ಎಡ(1-3x \ಬಲ)=6x\ಎಡ(2x-1 \ಬಲ)\]
ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ: ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನಿಂದ ಪ್ರತಿ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ ಒಟ್ಟು ನಾಲ್ಕು ಹೊಸ ಪದಗಳು ಇರಬೇಕು:
ಈಗ ಪ್ರತಿ ಪದದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸೋಣ:
"X" ನೊಂದಿಗೆ ಪದಗಳನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸೋಣ:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:
ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಪರಿಹಾರದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು
ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಹೀಗಿದೆ: ನಾವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: ನಾವು ಮೊದಲ ಪದದಿಂದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಎರಡನೆಯದು; ನಂತರ ನಾವು ಮೊದಲನೆಯದರಿಂದ ಎರಡನೇ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಎರಡನೆಯದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಅವಧಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ
ಈ ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಬೀಜಗಣಿತ ಮೊತ್ತ ಏನೆಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ನೆನಪಿಸಲು ನಾನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, $1-7$ ಮೂಲಕ ನಾವು ಸರಳವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ: ಒಂದರಿಂದ ಏಳು ಕಳೆಯಿರಿ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ: "ಒಂದು" ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ "ಮೈನಸ್ ಏಳು". ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಪ್ರತಿ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಾಗ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆಯೇ ನೀವು ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ತಕ್ಷಣ, ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ.
ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಈಗ ನೋಡಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಒಂದೆರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ನಮ್ಮ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.
ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು
ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ:
- ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.
- ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರ.
- ಇದೇ ತರಹ ತರ.
- ಅನುಪಾತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
ಅಯ್ಯೋ, ಈ ಅದ್ಭುತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವಕ್ಕಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ನೋಡುವ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು? ಹೌದು, ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ! ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗೆ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಹಂತವನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ನಂತರ ಎರಡೂ ಮಾಡಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:
- ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು.
- ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.
- ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರ.
- ಇದೇ ತರಹ ತರ.
- ಅನುಪಾತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.
"ಭಿನ್ನಾಂಶಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು" ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಹಂತದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅವುಗಳ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲೆಡೆ ಛೇದವು ಕೇವಲ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಎಲ್ಲವನ್ನೂ "ನಾಲ್ಕು" ಒಮ್ಮೆ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ನೀವು ಎರಡು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರಣ ನೀವು ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು "ನಾಲ್ಕು" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಎಂದರ್ಥವಲ್ಲ. ಬರೆಯೋಣ:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
ಈಗ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:
ನಾವು ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ:
ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳ ಕಡಿತವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:
\[-4x=-1\ಎಡ| :\ಎಡ (-4 \ಬಲ) \ಬಲ.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
ನಮಗೆ ಸಿಕ್ಕಿತು ಕೊನೆಯ ನಿರ್ಧಾರ, ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.
ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾನು ಇಂದು ನಿಮಗೆ ಹೇಳಲು ಬಯಸಿದ್ದು ಇಷ್ಟೇ.
ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು
ಪ್ರಮುಖ ಸಂಶೋಧನೆಗಳೆಂದರೆ:
- ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ.
- ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ.
- ನೀವು ನೋಡಿದರೆ ಚಿಂತಿಸಬೇಡಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ.
- ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಧದ ಬೇರುಗಳಿವೆ, ಸರಳವಾದವುಗಳೂ ಸಹ: ಒಂದೇ ಮೂಲ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯು ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ.
ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸರಳವಾದ, ಆದರೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಪಾಠವು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಏನಾದರೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸೈಟ್‌ಗೆ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಟ್ಯೂನ್ ಆಗಿರಿ, ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯಗಳು ನಿಮಗಾಗಿ ಕಾಯುತ್ತಿವೆ!
ಸಮೀಕರಣದ ಆ ಭಾಗವು ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯಲು, ಆವರಣದ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯುವುದರಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ: ಕೇವಲ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ. ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಾಗ, ನೀವು ಮೂಲತಃ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿದ್ದ ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, -(2x-3)=-2x+3.
ಎರಡು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು.
ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿಯಮ. ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು "ಪ್ಲಸಸ್" ಅಥವಾ ಎರಡು "ಮೈನಸಸ್" ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಪದವನ್ನು "ಪ್ಲಸ್" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ನಂತರ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ.
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು. ವರ್ಗೀಕರಣ ಮತ್ತು ಘನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೃದಯದಿಂದ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮಾಡಬಹುದು.
ಮೂಲಗಳು:
- ಆವರಣ ವಿಸ್ತರಣೆ ಸೂತ್ರ
ಆವರಣದಲ್ಲಿ ಲಗತ್ತಿಸಲಾಗಿದೆ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳುಅಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳುತೊಂದರೆಗಳು. ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು, ನೀವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹುಡುಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದು. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬಳಕೆದಾರರು ಬಹಳ ಮಹತ್ವದ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ - ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸುಲಭ.
ಸೂಚನೆಗಳು
ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲು ಬಯಸಿದರೆ ಒಂದು ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ವಿಷಯಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತಿ (ಅಥವಾ ನೊಂದಿಗೆ minuend) ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯೋಣ: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮ ಗುಣಾಕಾರ (ಅಂದರೆ ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು) ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗ 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
ನೀವು x ಅನ್ನು 4.75 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅಂದರೆ (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, Google ಅಥವಾ Nigma ಹುಡುಕಾಟ ಎಂಜಿನ್ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ಗೆ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ. ಬಟನ್ ಅನ್ನು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡದೆಯೇ Google ತಕ್ಷಣವೇ 82.265625 ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ Nigma ಒಂದು ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸರ್ವರ್‌ಗೆ ಡೇಟಾವನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಕ್ರಮಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಆವರಣದ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ \(5·3+7\) ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: \(5·3+7 =15+7=22\). ಆದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ \(5·(3+7)\) ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಗುಣಾಕಾರ: \(5·(3+7)=5·10=50\).
ಉದಾಹರಣೆ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ: \(-(4m+3)\).
ಪರಿಹಾರ
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
ಉದಾಹರಣೆ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಿ \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
ಪರಿಹಾರ
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
ಉದಾಹರಣೆ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ \(5(3-x)\).
ಪರಿಹಾರ
: ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನಾವು \(3\) ಮತ್ತು \(-x\) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಮೊದಲು ಐದು ಇರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರನ್ನು \(5\) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ನಾನು ಅದನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ನಮೂದುಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆವರಣದ ನಡುವಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ \(-2(-3x+5)\).
ಪರಿಹಾರ
: ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಂತೆ, ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ \(-3x\) ಮತ್ತು \(5\) ಅನ್ನು \(-2\) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ: \(5(x+y)-2(x-y)\).
ಪರಿಹಾರ
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
ಕೊನೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಎರಡನೆಯ ಪ್ರತಿ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
ಉದಾಹರಣೆ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ \((2-x)(3x-1)\).
ಪರಿಹಾರ
: ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗದಿರಲು, ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಮಾಡೋಣ.
ಹಂತ 1. ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ - ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:
ಹಂತ 2. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಶವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ:
- ಮೊದಲಿನದಕ್ಕೆ ಆದ್ಯತೆ...
ನಂತರ ಎರಡನೆಯದು.
ಹಂತ 3. ಈಗ ನಾವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅಂತಹ ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ; ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ನೀವು ಆವರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆರೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ವಿವರವಾಗಿ ಬರೆಯಿರಿ, ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಕಡಿಮೆ ಇರುತ್ತದೆ.
ಇಡೀ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಗಮನಿಸಿ.ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ನಾಲ್ಕು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ನೀವು ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಇದು: \(c(a-b)=ca-cb\) . ಏಕೆ? ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು c ಬದಲಿಗೆ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನೀವು \((a-b)=a-b\) ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಮತ್ತು ನಾವು ಮೈನಸ್ ಒಂದನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ \(-(a-b)=-a+b\) . ಸರಿ, ನೀವು ಸಿ ಬದಲಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಕೊನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
ಆವರಣದೊಳಗೆ ಆವರಣ
ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇತರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಒಳಗೆ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ: \(7x+2(5-(3x+y))\) ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ.
ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
- ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಗೂಡುಕಟ್ಟುವಿಕೆಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ - ಅದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದು;
- ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ತೆರೆಯಿರಿ, ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಳಗಿನ ಒಂದರಿಂದ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆರೆಯುವಾಗ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ ಉಳಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮುಟ್ಟಬೇಡಿ, ಅದನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತಿದ್ದೇನೆ.
ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನೋಡೋಣ.
ಉದಾಹರಣೆ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಿ \(7x+2(5-(3x+y))\).
ಪರಿಹಾರ:
ಉದಾಹರಣೆ.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡಿ \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
ಪರಿಹಾರ
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
ಇಲ್ಲಿ ಆವರಣದ ಮೂರು ಗೂಡುಗಳಿವೆ. ಒಳಗಿನ ಒಂದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ (ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ). ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಮುಂದೆ ಪ್ಲಸ್ ಇದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸರಳವಾಗಿ ಹೊರಬರುತ್ತದೆ. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
ಈಗ ನೀವು ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕು, ಮಧ್ಯಂತರ. ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು, ನಾವು ಈ ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಭೂತದಂತಹ ಪದಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
ಈಗ ನಾವು ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆಯುತ್ತೇವೆ (ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ). ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಮೊದಲು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ - ಆದ್ದರಿಂದ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ತೆರೆಯಿರಿ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಮುಂದೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತವೆ. |
||
ಆವರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಕೌಶಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೌಶಲ್ಯವಿಲ್ಲದೆ, 8 ಮತ್ತು 9 ನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ C ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆರಂಭಿಕ ಆವರಣದಂತಹ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯದ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
ಸೇರಿಸುವಾಗ ಆವರಣವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ತೆರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ
"+" ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮುಂಚಿನ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ
ಇದು ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಮುಂದೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆದಾಗ ಅವುಗಳೊಳಗಿನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
"-" ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮುಂಚಿನ ಆವರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು
IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಪದಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಚಿಹ್ನೆಗಳು "-" ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ಆ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಪದಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆ:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
ಗುಣಿಸುವಾಗ ಆವರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆರೆಯುವುದು
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಮೊದಲು ಗುಣಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕು. ಗುಣಕವು "-" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆ:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಗುಣಾಕಾರ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆರೆಯುವುದು
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು ಮೊದಲ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆ:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಆವರಣವನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆರೆಯುವುದು
ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬೇಕು:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಒಳಗೆ ಮೈನಸ್‌ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
ಆವರಣವನ್ನು ಇನ್ನೊಂದು ಹಂತಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ
ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ನೇ ಅಥವಾ 4 ನೇ ಶಕ್ತಿಗೆ, ನಂತರ ನೀವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು "ಚೌಕಗಳಾಗಿ" ಮುರಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಅಂಶಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಭಾಜಕದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಲಾಭಾಂಶದ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
3 ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ತೆರೆಯುವುದು
3 ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಸಮೀಕರಣಗಳಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮೊದಲು ಮೊದಲ ಎರಡು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳ ಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೂರನೇ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆ:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಈ ನಿಯಮಗಳು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.
