Pasaulē nav daudz cilvēku, kuri nekad nebūtu dzirdējuši par Fermā pēdējo teorēmu - iespējams, šī ir vienīgā matemātiskā problēma, kas kļuvusi tik plaši zināma un kļuvusi par īstu leģendu. Tas ir minēts daudzās grāmatās un filmās, un gandrīz visu pieminējumu galvenais konteksts ir neiespējamība pierādīt teorēmu.
Jā, šī teorēma ir ļoti labi zināma un savā ziņā kļuvusi par “elku”, ko pielūdz amatieru un profesionāli matemātiķi, taču tikai daži cilvēki zina, ka tās pierādījums tika atrasts, un tas notika tālajā 1995. gadā. Bet vispirms vispirms.
Tātad Fermā pēdējā teorēma (bieži saukta par Fermā pēdējo teorēmu), ko 1637. gadā formulēja izcilais franču matemātiķis Pjērs Fermā, pēc būtības ir ļoti vienkārša un saprotama ikvienam ar vidējo izglītību. Tajā teikts, ka formulai a pakāpei n + b pakāpei n = c pakāpei n nav dabisku (tas ir, nevis daļēju) atrisinājumu n > 2. Viss šķiet vienkāršs un skaidrs, bet labākie matemātiķi un parastie amatieri vairāk nekā trīsarpus gadsimtus cīnījās ar risinājuma meklējumiem.
Kāpēc viņa ir tik slavena? Tagad mēs to uzzināsim...
Vai ir daudz pārbaudītu, nepierādītu un vēl nepierādītu teorēmu? Lieta ir tāda, ka Fermā pēdējā teorēma atspoguļo vislielāko kontrastu starp formulējuma vienkāršību un pierādījuma sarežģītību. Fermā pēdējā teorēma ir neticami grūts uzdevums, un tomēr tās formulējumu var saprast ikviens vidusskolas 5. klasē, taču pat ne katrs profesionāls matemātiķis var saprast pierādījumu. Ne fizikā, ne ķīmijā, ne bioloģijā, ne matemātikā nav nevienas problēmas, kuru varētu tik vienkārši formulēt, bet tik ilgi tā paliktu neatrisināta. 2. No kā tas sastāv?
Sāksim ar Pitagora biksēm Formulējums ir patiešām vienkāršs - no pirmā acu uzmetiena. Kā mēs zinām no bērnības, "Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm." Problēma izskatās tik vienkārša, jo tā balstījās uz matemātisku apgalvojumu, ko visi zina – Pitagora teorēmu: jebkurā taisnleņķa trijstūrī uz hipotenūzas uzbūvētais kvadrāts ir vienāds ar uz kājām uzbūvēto kvadrātu summu.
5. gadsimtā pirms mūsu ēras. Pitagors nodibināja Pitagora brālību. Pitagorieši, cita starpā, pētīja veselu skaitļu trīskāršus, kas apmierina vienādību x²+y²=z². Viņi pierādīja, ka ir bezgalīgi daudz Pitagora trīskāršu, un ieguva vispārīgas formulas to atrašanai. Viņi droši vien mēģināja meklēt C un augstākus grādus. Pārliecībā, ka tas nelīdz, pitagorieši atmeta savus bezjēdzīgos mēģinājumus. Brālības locekļi bija vairāk filozofi un estēti, nevis matemātiķi.
Tas ir, ir viegli izvēlēties skaitļu kopu, kas lieliski atbilst vienādībai x²+y²=z²
Sākot no 3, 4, 5 - patiešām jaunākais students saprot, ka 9 + 16 = 25.
Vai 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Lieliski.
Tātad, izrādās, ka tie NAV. Šeit sākas triks. Vienkāršība ir šķietama, jo ir grūti pierādīt nevis kaut kā esamību, bet, gluži pretēji, tā neesamību. Ja jums ir jāpierāda, ka ir risinājums, jūs varat un vajadzētu vienkārši uzrādīt šo risinājumu.
Pierādīt prombūtni ir grūtāk: piemēram, kāds saka: tādam un tādam vienādojumam nav atrisinājumu. Ielikt viņu peļķē? viegli: bam - un lūk, risinājums! (dod risinājumu). Un tas arī viss, pretinieks ir uzvarēts. Kā pierādīt prombūtni?
Sakiet: "Es neesmu atradis šādus risinājumus"? Vai varbūt jūs neizskatījāties labi? Ko darīt, ja tie pastāv, tikai ļoti lieli, ļoti lieli, tādi, ka pat ļoti jaudīgam datoram joprojām nav pietiekami daudz spēka? Tas ir tas, kas ir grūti.
Vizuāli to var parādīt šādi: ja ņemat divus piemērota izmēra kvadrātus un izjaucat tos vienības kvadrātos, tad no šīs vienības kvadrātu kopas iegūstat trešo kvadrātu (2. att.): 
Bet darīsim to pašu ar trešo dimensiju (3. att.) — tas nedarbojas. Nav pietiekami daudz kubu vai ir palikuši papildu:
Bet 17. gadsimta matemātiķis francūzis Pjērs de Fermā ar entuziasmu pētīja vispārējo vienādojumu x n + y n = z n. Visbeidzot, es secināju: n>2 nav veselu skaitļu risinājumu. Fermā pierādījums ir neatgriezeniski zaudēts. Deg rokraksti! Palicis tikai viņa piezīme Diofanta aritmētikā: "Es esmu atradis patiesi pārsteidzošu pierādījumu šim priekšlikumam, taču piemales šeit ir pārāk šauras, lai to ietvertu."
Faktiski teorēmu bez pierādījumiem sauc par hipotēzi. Bet Fermatam ir reputācija, ka viņš nekad nepieļauj kļūdas. Pat ja viņš neatstāja pierādījumus par paziņojumu, tas vēlāk tika apstiprināts. Turklāt Fermā pierādīja savu tēzi par n=4. Tādējādi franču matemātiķa hipotēze iegāja vēsturē kā Fermā pēdējā teorēma.
Pēc Fermā pierādījuma meklējumos strādāja tādi lieli prāti kā Leonhards Eilers (1770. gadā viņš piedāvāja risinājumu n = 3),
Adriens Legendre un Johans Dirichlet (šie zinātnieki kopīgi atrada pierādījumu n = 5 1825. gadā), Gabriels Lamē (kurš atrada pierādījumu n = 7) un daudzi citi. Līdz pagājušā gadsimta 80. gadu vidum kļuva skaidrs, ka zinātniskā pasaule ir ceļā uz Fermā pēdējās teorēmas galīgo risinājumu, taču tikai 1993. gadā matemātiķi ieraudzīja un uzskatīja, ka trīs gadsimtu epopeja meklē pierādījumus Fermā pēdējā teorēma praktiski bija beigusies.
Ir viegli parādīt, ka pietiek ar Fermā teorēmu pierādīt tikai vienkāršam n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Saliktajam n pierādījums paliek spēkā. Bet pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz...
1825. gadā, izmantojot Sofijas Žermenas metodi, matemātiķes Dirihlē un Ledžendre neatkarīgi pierādīja teorēmu n=5. 1839. gadā, izmantojot šo pašu metodi, francūzis Gabriels Lame parādīja teorēmas patiesumu n=7. Pamazām teorēma tika pierādīta gandrīz visiem n mazāk nekā simts.
Visbeidzot, vācu matemātiķis Ernsts Kummers izcilā pētījumā parādīja, ka teorēmu kopumā nevar pierādīt, izmantojot 19. gadsimta matemātikas metodes. Francijas Zinātņu akadēmijas balva, kas tika iedibināta 1847. gadā par Fermā teorēmas pierādīšanu, palika nepiešķirta.
1907. gadā bagātais vācu rūpnieks Pols Volfskels nolēma atņemt sev dzīvību nelaimīgas mīlestības dēļ. Kā īsts vācietis, viņš noteica pašnāvības datumu un laiku: tieši pusnaktī. Pēdējā dienā viņš sastādīja testamentu un rakstīja vēstules draugiem un radiem. Lietas beidzās pirms pusnakts. Jāsaka, ka Pāvilu interesēja matemātika. Neko citu darīt, viņš devās uz bibliotēku un sāka lasīt slaveno Kummera rakstu. Pēkšņi viņam šķita, ka Kummers ir pieļāvis kļūdu savā argumentācijā. Volfskels sāka analizēt šo raksta daļu ar zīmuli rokās. Pusnakts ir pagājusi, ir pienācis rīts. Pierādījuma robs ir aizpildīts. Un pats pašnāvības iemesls tagad izskatījās pilnīgi smieklīgs. Pāvils saplēsa savas atvadu vēstules un pārrakstīja testamentu.
Drīz viņš nomira dabīgā nāvē. Mantinieki bija diezgan pārsteigti: 100 000 marku (vairāk nekā 1 000 000 pašreizējo sterliņu mārciņu) tika pārskaitītas Getingenes Karaliskās zinātniskās biedrības kontā, kas tajā pašā gadā izsludināja konkursu uz Volfskela balvu. 100 000 marku tika piešķirtas cilvēkam, kurš pierādīja Fermā teorēmu. Par teorēmas atspēkošanu netika piešķirts neviens pfenigs...
Lielākā daļa profesionālo matemātiķu uzskatīja, ka Fermā pēdējās teorēmas pierādījums ir bezcerīgs darbs, un apņēmīgi atteicās tērēt laiku šādam bezjēdzīgam uzdevumam. Bet amatieriem bija sprādziens. Dažas nedēļas pēc paziņojuma Getingenes Universitāti skāra "pierādījumu" lavīna. Profesors E.M. Landau, kura pienākums bija analizēt nosūtītos pierādījumus, izdalīja kartītes saviem studentiem:
Dārgs. . . . . . . .
Paldies, ka atsūtījāt man manuskriptu ar Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu. Pirmā kļūda ir lapā ... rindā... . Tā dēļ viss pierādījums zaudē savu derīgumu.
Profesors E. M. Landau
1963. gadā Pols Koens, paļaujoties uz Gēdela atklājumiem, pierādīja vienas no Hilberta divdesmit trīs problēmām – kontinuuma hipotēzes – neatrisināmību. Ja nu arī Fermā pēdējā teorēma ir neizšķirama?! Taču patiesie Lielās teorēmas fanātiķi nemaz nebija vīlušies. Datoru parādīšanās pēkšņi radīja matemātiķiem jaunu pierādīšanas metodi. Pēc Otrā pasaules kara programmētāju un matemātiķu komandas pierādīja Fermā pēdējo teorēmu visām vērtībām n līdz 500, pēc tam līdz 1000 un vēlāk līdz 10 000.
Astoņdesmitajos gados Semjuels Vāgstafs paaugstināja robežu līdz 25 000, un 90. gados matemātiķi paziņoja, ka Fermā pēdējā teorēma ir patiesa visām vērtībām no n līdz 4 miljoniem. Bet, ja no bezgalības atņem pat triljonu triljonu, tā nekļūs mazāka. Matemātiķus statistika nepārliecina. Pierādīt Lielo teorēmu nozīmēja to pierādīt VISIEM n līdz bezgalībai.
1954. gadā divi jauni japāņu matemātiķu draugi sāka pētīt moduļu formas. Šīs veidlapas ģenerē skaitļu sērijas, katrai no kurām ir sava sērija. Nejauši Tanijama salīdzināja šīs sērijas ar eliptisku vienādojumu radītajām sērijām. Viņi sakrita! Bet moduļu formas ir ģeometriski objekti, un eliptiskie vienādojumi ir algebriski. Saikne starp tik dažādiem objektiem nekad nav atrasta.
Tomēr pēc rūpīgas pārbaudes draugi izvirzīja hipotēzi: katram eliptiskajam vienādojumam ir dvīņi - modulāra forma un otrādi. Tieši šī hipotēze kļuva par visa matemātikas virziena pamatu, taču līdz brīdim, kad tika pierādīta Taniyama-Shimura hipotēze, visa ēka jebkurā brīdī varēja sabrukt.
1984. gadā Gerhards Frejs parādīja, ka Fermā vienādojuma risinājumu, ja tāds pastāv, var iekļaut kādā eliptiskā vienādojumā. Divus gadus vēlāk profesors Kens Ribets pierādīja, ka šim hipotētiskajam vienādojumam modulārajā pasaulē nevar būt līdzinieks. No šī brīža Fermā pēdējā teorēma bija nesaraujami saistīta ar Taniyama-Shimura minējumu. Pierādījuši, ka jebkura eliptiskā līkne ir modulāra, mēs secinām, ka nav neviena eliptiska vienādojuma ar Fermā vienādojuma atrisinājumu, un Fermā pēdējā teorēma tiktu pierādīta nekavējoties. Taču trīsdesmit gadus nebija iespējams pierādīt Taniyama-Shimura hipotēzi, un palika arvien mazāk cerību uz panākumiem.
1963. gadā, kad viņam bija tikai desmit gadu, Endrjū Vilsu jau aizrāva matemātika. Kad viņš uzzināja par Lielo teorēmu, viņš saprata, ka nevar atteikties no tās. Būdams skolnieks, students un absolvents, viņš gatavojās šim uzdevumam.
Uzzinājis par Kena Ribeta atklājumiem, Vilss ar galvu ķērās pie Tanijamas-Šimuras hipotēzes pierādīšanas. Viņš nolēma strādāt pilnīgā izolācijā un slepenībā. "Es sapratu, ka viss, kas ir saistīts ar Fermā pēdējo teorēmu, izraisa pārāk lielu interesi... Pārāk daudz skatītāju acīmredzami traucē sasniegt mērķi." Septiņu gadu smaga darba atmaksājās, Villss beidzot pabeidza Taniyama-Shimura minējuma pierādījumu.
1993. gadā angļu matemātiķis Endrjū Vilss iepazīstināja pasauli ar savu Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu (Vils nolasīja savu sensacionālo rakstu konferencē Sera Īzaka Ņūtona institūtā Kembridžā.), darbs pie kura ilga vairāk nekā septiņus gadus.
Kamēr ažiotāža turpinājās presē, sākās nopietns darbs, lai pārbaudītu pierādījumus. Katrs pierādījums ir rūpīgi jāpārbauda, pirms pierādījumus var uzskatīt par stingriem un precīziem. Vilss pavadīja nemierīgu vasaru, gaidot atsauksmes no recenzentiem, cerot, ka viņam izdosies iegūt viņu piekrišanu. Augusta beigās eksperti spriedumu atzina par nepietiekami pamatotu.
Izrādījās, ka šajā lēmumā ir rupja kļūda, lai gan kopumā tas ir pareizs. Villss nepadevās, aicināja palīgā slaveno skaitļu teorijas speciālistu Ričardu Teiloru un jau 1994. gadā publicēja izlabotu un paplašinātu teorēmas pierādījumu. Pats pārsteidzošākais ir tas, ka šis darbs matemātikas žurnālā “Matemātikas gadagrāmata” aizņēma pat 130 (!) lappuses. Taču ar to stāsts arī nebeidzās - galapunkts tika sasniegts tikai nākamajā, 1995. gadā, kad tika publicēta galīgā un “ideālā”, no matemātiskā viedokļa, pierādījuma versija.
“...pusminūti pēc svinīgo vakariņu sākuma viņas dzimšanas dienā es uzdāvināju Nadjai pilnīgā pierādījuma manuskriptu” (Endrjū Velss). Vai es vēl neesmu teicis, ka matemātiķi ir dīvaini cilvēki?
Šoreiz par pierādījumiem šaubu nebija. Divi raksti tika pakļauti visrūpīgākajai analīzei un tika publicēti 1995. gada maijā žurnālā Annals of Mathematics.
Kopš tā brīža ir pagājis daudz laika, taču sabiedrībā joprojām valda uzskats, ka Fermā pēdējā teorēma ir neatrisināma. Bet pat tie, kas zina par atrasto pierādījumu, turpina strādāt šajā virzienā – retais ir apmierināts, ka Lielā teorēma prasa 130 lappušu atrisinājumu!
Tāpēc tagad daudzu matemātiķu (pārsvarā amatieru, nevis profesionālu zinātnieku) pūles tiek iemestas vienkārša un kodolīga pierādījuma meklējumos, taču šis ceļš, visticamāk, nekur nevedīs...
avots
Lekcija 6. Atvasinājumu pielietošana funkciju izpētē
Ja funkcija f(x) katrā segmenta punktā ir atvasinājums [ A, b], tad tā uzvedību var pētīt, izmantojot atvasinājumu f"(X).
Apskatīsim diferenciālrēķinu pamatteorēmas, kas ir atvasinājumu lietojumu pamatā.
Fermā teorēma
Teorēma(ferma) ( par atvasinājuma vienādību ar nulli ). Ja funkcija f(x), diferencējams pēc intervāla (a, b) un sasniedz savu lielāko vai mazāko vērtību punktā c є ( a, b), tad funkcijas atvasinājums šajā punktā ir nulle, t.i. f"(Ar) = 0.
Pierādījums. Ļaujiet funkcijai f(x) ir diferencējams intervālā ( a, b) un punktā X = Ar aizņem vislielāko vērtību M plkst Ar є ( a, b) (1. att.), t.i.
f(Ar) ≥ f(x) vai f(x) – f(c) ≤ 0 vai f(s +Δ X) – f(Ar) ≤ 0.
Atvasinājums f"(x) punktā X = Ar: .
Ja x> c, Δ X> 0 (t.i., Δ X→ 0 pa labi no punkta Ar), Tas 
un tāpēc f"(Ar) ≤ 0.
Ja x< с
, Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 pa kreisi no punkta Ar), Tas 
, no kā izriet, ka f"(Ar) ≥ 0.
Pēc nosacījuma f(x) ir diferencējams punktā Ar, tāpēc tās robeža plkst x→ Ar nav atkarīgs no argumenta pieejas virziena izvēles x līdz punktam Ar, t.i. .
Mēs iegūstam sistēmu, no kuras tas izriet f"(Ar) = 0.
Gadījumā f(Ar) = T(tie. f(x) ņem pie punkta Ar mazākā vērtība), pierādījums ir līdzīgs. Teorēma ir pierādīta.
Fermā teorēmas ģeometriskā nozīme: intervālā sasniegtās lielākās vai mazākās vērtības punktā funkcijas grafika pieskare ir paralēla x asij.
Tātad Fermā pēdējā teorēma (bieži saukta par Fermā pēdējo teorēmu), ko 1637. gadā formulēja izcilais franču matemātiķis Pjērs Fermā, pēc būtības ir ļoti vienkārša un saprotama ikvienam ar vidējo izglītību. Tajā teikts, ka formulai a pakāpei n + b pakāpei n = c pakāpei n nav dabisku (tas ir, nevis daļēju) atrisinājumu n > 2. Viss šķiet vienkāršs un skaidrs, bet labākie matemātiķi un parastie amatieri vairāk nekā trīsarpus gadsimtus cīnījās ar risinājuma meklējumiem.
Kāpēc viņa ir tik slavena? Tagad mēs to uzzināsim...
Vai ir daudz pārbaudītu, nepierādītu un vēl nepierādītu teorēmu? Lieta ir tāda, ka Fermā pēdējā teorēma atspoguļo vislielāko kontrastu starp formulējuma vienkāršību un pierādījuma sarežģītību. Fermā pēdējā teorēma ir neticami grūts uzdevums, un tomēr tās formulējumu var saprast ikviens vidusskolas 5. klasē, taču pat ne katrs profesionāls matemātiķis var saprast pierādījumu. Ne fizikā, ne ķīmijā, ne bioloģijā, ne matemātikā nav nevienas problēmas, kuru varētu tik vienkārši formulēt, bet tik ilgi tā paliktu neatrisināta. 2. No kā tas sastāv?
Sāksim ar Pitagora biksēm Formulējums ir patiešām vienkāršs - no pirmā acu uzmetiena. Kā mēs zinām no bērnības, "Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm." Problēma izskatās tik vienkārša, jo tā balstījās uz matemātisku apgalvojumu, ko visi zina – Pitagora teorēmu: jebkurā taisnleņķa trijstūrī uz hipotenūzas uzbūvētais kvadrāts ir vienāds ar uz kājām uzbūvēto kvadrātu summu.
5. gadsimtā pirms mūsu ēras. Pitagors nodibināja Pitagora brālību. Pitagorieši, cita starpā, pētīja veselu skaitļu trīskāršus, kas apmierina vienādību x²+y²=z². Viņi pierādīja, ka ir bezgalīgi daudz Pitagora trīskāršu, un ieguva vispārīgas formulas to atrašanai. Viņi droši vien mēģināja meklēt C un augstākus grādus. Pārliecībā, ka tas nelīdz, pitagorieši atmeta savus bezjēdzīgos mēģinājumus. Brālības locekļi bija vairāk filozofi un estēti, nevis matemātiķi.
Tas ir, ir viegli izvēlēties skaitļu kopu, kas lieliski atbilst vienādībai x²+y²=z²
Sākot no 3, 4, 5 - patiešām jaunākais students saprot, ka 9 + 16 = 25.
Vai 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Lieliski.
Un tā tālāk. Ko darīt, ja ņemtu līdzīgu vienādojumu x³+y³=z³? Varbūt ir arī tādi cipari?
Un tā tālāk (1. att.).
Tātad, izrādās, ka tie NAV. Šeit sākas triks. Vienkāršība ir šķietama, jo ir grūti pierādīt nevis kaut kā esamību, bet, gluži pretēji, tā neesamību. Ja jums ir jāpierāda, ka ir risinājums, jūs varat un vajadzētu vienkārši uzrādīt šo risinājumu.
Pierādīt prombūtni ir grūtāk: piemēram, kāds saka: tādam un tādam vienādojumam nav atrisinājumu. Ielikt viņu peļķē? viegli: bam - un lūk, risinājums! (dod risinājumu). Un tas arī viss, pretinieks ir uzvarēts. Kā pierādīt prombūtni?
Sakiet: "Es neesmu atradis šādus risinājumus"? Vai varbūt jūs neizskatījāties labi? Ko darīt, ja tie pastāv, tikai ļoti lieli, ļoti lieli, tādi, ka pat ļoti jaudīgam datoram joprojām nav pietiekami daudz spēka? Tas ir tas, kas ir grūti.
Vizuāli to var parādīt šādi: ja ņemat divus piemērota izmēra kvadrātus un izjaucat tos vienības kvadrātos, tad no šīs vienības kvadrātu kopas iegūstat trešo kvadrātu (2. att.):
Bet darīsim to pašu ar trešo dimensiju (3. att.) - tas nedarbojas. Nav pietiekami daudz kubu vai ir palikuši papildu:
Bet 17. gadsimta franču matemātiķis Pjērs de Fermā ar entuziasmu pētīja vispārējo vienādojumu x n +y n =z n . Visbeidzot, es secināju: n>2 nav veselu skaitļu risinājumu. Fermā pierādījums ir neatgriezeniski zaudēts. Deg rokraksti! Palicis tikai viņa piezīme Diofanta aritmētikā: "Es esmu atradis patiesi pārsteidzošu pierādījumu šim priekšlikumam, taču piemales šeit ir pārāk šauras, lai to ietvertu."
Faktiski teorēmu bez pierādījumiem sauc par hipotēzi. Bet Fermatam ir reputācija, ka viņš nekad nepieļauj kļūdas. Pat ja viņš neatstāja pierādījumus par paziņojumu, tas vēlāk tika apstiprināts. Turklāt Fermā pierādīja savu tēzi par n=4. Tādējādi franču matemātiķa hipotēze iegāja vēsturē kā Fermā pēdējā teorēma.
Pēc Fermā pierādījuma meklējumos strādāja tādi lieli prāti kā Leonhards Eilers (1770. gadā viņš piedāvāja risinājumu n = 3),
Adriens Legendre un Johans Dirihlets (šie zinātnieki kopīgi atrada pierādījumu n = 5 1825. gadā), Gabriels Lamē (kurš atrada pierādījumu n = 7) un daudzi citi. Līdz pagājušā gadsimta 80. gadu vidum kļuva skaidrs, ka zinātniskā pasaule ir ceļā uz Fermā pēdējās teorēmas galīgo risinājumu, taču tikai 1993. gadā matemātiķi ieraudzīja un noticēja, ka trīs gadsimtu epopeja par pierādījumu meklēšanu. Fermā pēdējā teorēma praktiski bija beigusies.
Ir viegli parādīt, ka pietiek ar Fermā teorēmu pierādīt tikai vienkāršam n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Saliktajam n pierādījums paliek spēkā. Bet pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz...
1825. gadā, izmantojot Sofijas Žermenas metodi, matemātiķes Dirihlē un Ledžendre neatkarīgi pierādīja teorēmu n=5. 1839. gadā, izmantojot šo pašu metodi, francūzis Gabriels Lams parādīja teorēmas patiesumu n=7. Pamazām teorēma tika pierādīta gandrīz visiem n mazāk nekā simts.
Visbeidzot, vācu matemātiķis Ernsts Kummers izcilā pētījumā parādīja, ka teorēmu kopumā nevar pierādīt, izmantojot 19. gadsimta matemātikas metodes. Francijas Zinātņu akadēmijas balva, kas dibināta 1847. gadā par Fermā teorēmas pierādīšanu, palika nepiešķirta.
1907. gadā bagātais vācu rūpnieks Pols Volfskels nolēma atņemt sev dzīvību nelaimīgas mīlestības dēļ. Tāpat kā īsts vācietis, viņš noteica pašnāvības datumu un laiku: tieši pusnaktī. Pēdējā dienā viņš sastādīja testamentu un rakstīja vēstules draugiem un radiem. Lietas beidzās pirms pusnakts. Jāsaka, ka Pāvilu interesēja matemātika. Neko citu darīt, viņš devās uz bibliotēku un sāka lasīt slaveno Kummera rakstu. Pēkšņi viņam šķita, ka Kummers ir pieļāvis kļūdu savā argumentācijā. Volfskels sāka analizēt šo raksta daļu ar zīmuli rokās. Pusnakts ir pagājusi, ir pienācis rīts. Pierādījuma robs ir aizpildīts. Un pats pašnāvības iemesls tagad izskatījās pilnīgi smieklīgs. Pāvils saplēsa savas atvadu vēstules un pārrakstīja testamentu.
Drīz viņš nomira dabīgā nāvē. Mantinieki bija diezgan pārsteigti: 100 000 marku (vairāk nekā 1 000 000 pašreizējo sterliņu mārciņu) tika pārskaitītas Getingenes Karaliskās zinātniskās biedrības kontā, kas tajā pašā gadā izsludināja konkursu uz Volfskela balvu. 100 000 marku tika piešķirtas cilvēkam, kurš pierādīja Fermā teorēmu. Par teorēmas atspēkošanu netika piešķirts neviens pfenigs...
Lielākā daļa profesionālo matemātiķu uzskatīja, ka Fermā pēdējās teorēmas pierādījums ir bezcerīgs darbs, un apņēmīgi atteicās tērēt laiku šādam bezjēdzīgam uzdevumam. Bet amatieriem bija sprādziens. Dažas nedēļas pēc paziņojuma Getingenes Universitāti skāra "pierādījumu" lavīna. Profesors E.M. Landau, kura pienākums bija analizēt nosūtītos pierādījumus, izdalīja kartītes saviem studentiem:
Dārgs. . . . . . . .
Paldies, ka atsūtījāt man manuskriptu ar Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu. Pirmā kļūda ir lapā ... rindā... . Tā dēļ viss pierādījums zaudē savu derīgumu.
Profesors E. M. Landau
1963. gadā Pols Koens, paļaujoties uz Gēdela atklājumiem, pierādīja vienas no Hilberta divdesmit trīs problēmām – kontinuuma hipotēzes – neatrisināmību. Ja nu arī Fermā pēdējā teorēma ir neizšķirama?! Taču patiesie Lielās teorēmas fanātiķi nemaz nebija vīlušies. Datoru parādīšanās pēkšņi radīja matemātiķiem jaunu pierādīšanas metodi. Pēc Otrā pasaules kara programmētāju un matemātiķu komandas pierādīja Fermā pēdējo teorēmu visām vērtībām n līdz 500, pēc tam līdz 1000 un vēlāk līdz 10 000.
Astoņdesmitajos gados Semjuels Vāgstafs paaugstināja robežu līdz 25 000, un 90. gados matemātiķi paziņoja, ka Fermā pēdējā teorēma ir patiesa visām vērtībām no n līdz 4 miljoniem. Bet, ja no bezgalības atņem pat triljonu triljonu, tā nekļūs mazāka. Matemātiķus statistika nepārliecina. Pierādīt Lielo teorēmu nozīmēja to pierādīt VISIEM n līdz bezgalībai.
1954. gadā divi jauni japāņu matemātiķu draugi sāka pētīt moduļu formas. Šīs veidlapas ģenerē skaitļu sērijas, katrai no kurām ir sava sērija. Nejauši Taniyama salīdzināja šīs sērijas ar eliptisku vienādojumu radītajām sērijām. Viņi sakrita! Bet moduļu formas ir ģeometriski objekti, un eliptiskie vienādojumi ir algebriski. Saikne starp tik dažādiem objektiem nekad nav atrasta.
Tomēr pēc rūpīgas pārbaudes draugi izvirzīja hipotēzi: katram eliptiskajam vienādojumam ir dvīņi - modulāra forma un otrādi. Tieši šī hipotēze kļuva par visa matemātikas virziena pamatu, taču līdz brīdim, kad tika pierādīta Taniyama-Shimura hipotēze, visa ēka jebkurā brīdī varēja sabrukt.
1984. gadā Gerhards Frejs parādīja, ka Fermā vienādojuma risinājumu, ja tāds pastāv, var iekļaut kādā eliptiskā vienādojumā. Divus gadus vēlāk profesors Kens Ribets pierādīja, ka šim hipotētiskajam vienādojumam modulārajā pasaulē nevar būt līdzinieks. No šī brīža Fermā pēdējā teorēma bija nesaraujami saistīta ar Taniyama-Shimura minējumu. Pierādījuši, ka jebkura eliptiskā līkne ir modulāra, mēs secinām, ka nav neviena eliptiska vienādojuma ar Fermā vienādojuma atrisinājumu, un Fermā pēdējā teorēma tiktu pierādīta nekavējoties. Taču trīsdesmit gadus nebija iespējams pierādīt Taniyama-Shimura hipotēzi, un palika arvien mazāk cerību uz panākumiem.
1963. gadā, kad viņam bija tikai desmit gadu, Endrjū Vilsu jau aizrāva matemātika. Kad viņš uzzināja par Lielo teorēmu, viņš saprata, ka nevar atteikties no tās. Būdams skolnieks, students un absolvents, viņš gatavojās šim uzdevumam.
Uzzinājis par Kena Ribeta atklājumiem, Vilss ar galvu metās pierādīt Taniyama-Shimura minējumu. Viņš nolēma strādāt pilnīgā izolācijā un slepenībā. "Es sapratu, ka viss, kas ir saistīts ar Fermā pēdējo teorēmu, izraisa pārāk lielu interesi... Pārāk daudz skatītāju acīmredzami traucē sasniegt mērķi." Septiņu gadu smagais darbs atmaksājās ar rezultātu;
1993. gadā angļu matemātiķis Endrjū Vilss iepazīstināja pasauli ar savu Fermā pēdējās teorēmas pierādījumu (Vils nolasīja savu sensacionālo rakstu konferencē Sera Īzaka Ņūtona institūtā Kembridžā.), darbs pie kura ilga vairāk nekā septiņus gadus.
Kamēr ažiotāža turpinājās presē, sākās nopietns darbs, lai pārbaudītu pierādījumus. Katrs pierādījums ir rūpīgi jāpārbauda, pirms pierādījumus var uzskatīt par stingriem un precīziem. Vilss pavadīja nemierīgu vasaru, gaidot atsauksmes no recenzentiem, cerot, ka viņam izdosies iegūt viņu piekrišanu. Augusta beigās eksperti spriedumu atzina par nepietiekami pamatotu.
Izrādījās, ka šajā lēmumā ir rupja kļūda, lai gan kopumā tas ir pareizs. Villss nepadevās, aicināja palīgā slaveno skaitļu teorijas speciālistu Ričardu Teiloru un jau 1994. gadā publicēja izlabotu un paplašinātu teorēmas pierādījumu. Pats pārsteidzošākais ir tas, ka šis darbs matemātikas žurnālā “Matemātikas gadagrāmata” aizņēma pat 130 (!) lappuses. Taču ar to stāsts arī nebeidzās - galapunkts tika sasniegts tikai nākamajā, 1995. gadā, kad tika publicēta galīgā un “ideālā”, no matemātiskā viedokļa, pierādījuma versija.
“...pusminūti pēc svinīgo vakariņu sākuma viņas dzimšanas dienā es uzdāvināju Nadjai pilnīgā pierādījuma manuskriptu” (Endrjū Velss). Vai es vēl neesmu teicis, ka matemātiķi ir dīvaini cilvēki?
Šoreiz par pierādījumiem šaubu nebija. Divi raksti tika pakļauti visrūpīgākajai analīzei un tika publicēti 1995. gada maijā žurnālā Annals of Mathematics.
Kopš tā brīža ir pagājis daudz laika, taču sabiedrībā joprojām valda uzskats, ka Fermā pēdējā teorēma ir neatrisināma. Bet pat tie, kas zina par atrasto pierādījumu, turpina strādāt šajā virzienā – retais ir apmierināts, ka Lielā teorēma prasa 130 lappušu atrisinājumu!
Tāpēc tagad daudzu matemātiķu (pārsvarā amatieru, nevis profesionālu zinātnieku) pūles tiek iemestas vienkārša un kodolīga pierādījuma meklējumos, taču šis ceļš, visticamāk, nekur nevedīs...
