அரை பிரிவு முறை(மற்ற பெயர்கள்: பிரித்தல் முறை, இருவகை முறை) சமன்பாட்டை தீர்க்க f(x) = 0 பின்வருமாறு. செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது மற்றும் பிரிவின் முனைகளைப் பெறுகிறது என்பதைத் தெரியப்படுத்துங்கள்
[அ, பி] வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் மதிப்புகள், பின்னர் ரூட் இடைவெளியில் உள்ளது ( அ, பி) இடைவெளியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்போம், பின்னர் செயல்பாடு வெவ்வேறு அறிகுறிகளின் மதிப்புகளை எடுக்கும் முனைகளில் பாதியைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்தப் புதிய பிரிவை மீண்டும் இரண்டு சம பாகங்களாகப் பிரித்து, அவற்றிலிருந்து ரூட்டைக் கொண்டிருக்கும் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். அடுத்த பிரிவின் நீளம் தேவையான பிழை மதிப்பை விட குறைவாக இருக்கும் வரை இந்த செயல்முறை தொடர்கிறது. பிரித்தல் முறைக்கான வழிமுறையின் மிகவும் கடுமையான விளக்கக்காட்சி:
1) கணக்கிடுவோம் x = (அ+ பி)/2; கணக்கிடுவோம் f(x);
2) என்றால் f(x) = 0, பின்னர் படி 5 க்குச் செல்லவும்;
3) என்றால் f(x)∙f(அ) < 0, то பி = x, இல்லையெனில் அ = x;
4) என்றால் | பி – அ| > ε, புள்ளி 1 க்கு செல்க;
5) மதிப்பை வெளியிடவும் x;
எடுத்துக்காட்டு 2.4.பிரித்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி, சமன்பாட்டின் மூலத்தைச் செம்மைப்படுத்தவும் ( x– 1) 3 = 0, பிரிவைச் சேர்ந்தது.
திட்டத்தில் தீர்வு எக்செல்:
1) செல்களில் ஏ 1:எஃப் 4 அட்டவணை 2.3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி, குறியீடு, ஆரம்ப மதிப்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களை நாங்கள் அறிமுகப்படுத்துகிறோம்.
2) ஒவ்வொரு சூத்திரத்தையும் பத்தாவது வரி வரை நிரப்பு மார்க்கருடன் கீழ் செல்களில் நகலெடுக்கவும், அதாவது. பி 4 - வரை பி 10, சி 4 - வரை சி 10, டி 3 - வரை டி 10, ஈ 4 - வரை ஈ 10, எஃப் 3 - வரை எஃப் 10.
அட்டவணை 2.3
| ஏ | பி | சி | டி | ஈ | எஃப் | |
| f(a)= | =(1-B3)^3 | |||||
| கே | அ | x | f(x) | பி | b-a | |
| 0,95 | =(B3+E3)/2 | =(1-C3)^3 | 1,1 | =E3-B3 | ||
| =IF(D3=0,C3; IF(C$1*D3<0;B3;C3)) | =IF(C$1*D3>0; E3;C3) |
கணக்கீட்டு முடிவுகள் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. 2.4 நெடுவரிசையில் எஃப்இடைவெளி நீள மதிப்புகளை சரிபார்க்கிறது பி – அ. மதிப்பு 0.01 க்கும் குறைவாக இருந்தால், இந்த வரியில் ஒரு குறிப்பிட்ட பிழையுடன் ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பு காணப்படும். தேவையான துல்லியத்தை அடைய 5 மறு செய்கைகள் தேவைப்பட்டன. மூன்று தசம இடங்களுக்குச் சுற்றிய பிறகு 0.01 துல்லியத்துடன் ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பு 1.0015625 ≈ 1.00 ஆகும்.
அட்டவணை 2.4
| ஏ | பி | சி | டி | ஈ | எஃப் | |
| f(a)= | 0,000125 | |||||
| கே | அ | x | f(x) | பி | b-a | |
| 0,95 | 1,025 | -2E-05 | 1,1 | 0,15 | ||
| 0,95 | 0,9875 | 2E-06 | 1,025 | 0,075 | ||
| 0,9875 | 1,00625 | -2E-07 | 1,025 | 0,0375 | ||
| 0,9875 | 0,996875 | 3.1E-08 | 1,00625 | 0,0187 | ||
| 0,996875 | 1,0015625 | -4இ-09 | 1,00625 | 0,0094 | ||
| 0,996875 | 0,9992188 | 4.8E-10 | 1,0015625 | 0,0047 | ||
| 0,99921875 | 1,0003906 | -6E-11 | 1,0015625 | 0,0023 | ||
| 0,99921875 | 0,9998047 | 7.5E-12 | 1,000390625 | 0,0012 |
கொடுக்கப்பட்ட அல்காரிதம் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது சாத்தியமான வழக்கு"வேரைத் தாக்குதல்", அதாவது. சமத்துவம் f(x) அடுத்த கட்டத்தில் பூஜ்யம். உதாரணம் 2.3 இல் நாம் பிரிவை எடுத்துக் கொண்டால், முதல் படியில் நாம் ரூட்டிற்கு வருவோம் x= 1. உண்மையில், கலத்தில் எழுதுவோம் பி 3 மதிப்பு 0.9. பின்னர் முடிவுகளின் அட்டவணை 2.5 படிவத்தை எடுக்கும் (2 மறு செய்கைகள் மட்டுமே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன).
அட்டவணை 2.5
| ஏ | பி | சி | டி | ஈ | எஃப் | |
| f(a)= | 0,001 | |||||
| கே | அ | x | f(x) | பி | b-a | |
| 0,9 | 1,1 | 0,2 | ||||
அதை நிரலில் உருவாக்குவோம் எக்செல்உள்ளமைக்கப்பட்ட மொழியைப் பயன்படுத்தி பைசெக்ட் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தனிப்பயன் செயல்பாடுகள் f(x) மற்றும் bisect(a, b, eps) காட்சி அடிப்படை. அவற்றின் விளக்கங்கள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
செயல்பாடு f(Byval x)
செயல்பாடு இரு பிரிவு(a, b, eps)
1 x = (a + b) / 2
f(x) = 0 எனில் GoTo 5
f(x) * f(a) எனில்< 0 Then
Abs(a - b) > eps எனில் GoTo 1
செயல்பாடு f(x) தீர்மானிக்கிறது இடது பக்கம்சமன்பாடுகள் மற்றும் செயல்பாடு
bisect(a, b, eps) சமன்பாட்டின் மூலத்தை இருபக்க முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுகிறது f(x) = 0. செயல்பாடு bisect(a, b, eps) f(x) செயல்பாட்டிற்கான அணுகலைப் பயன்படுத்துகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். தனிப்பயன் செயல்பாட்டை உருவாக்குவதற்கான அல்காரிதம் இங்கே:
1) மெனு கட்டளையை இயக்கவும் “கருவிகள் - மேக்ரோ - எடிட்டர் காட்சி அடிப்படை" ஜன்னல் " மைக்ரோசாஃப்ட் விஷுவல் பேசிக்" உள்ளே இருந்தால் இந்த கோப்புதிட்டங்கள் எக்செல்மேக்ரோக்கள் அல்லது பயனர் செயல்பாடுகள் அல்லது செயல்முறைகள் இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை, இந்த சாளரம் படம் 2.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளதைப் போல் இருக்கும்.
2) "செருகு - தொகுதி" என்ற மெனு கட்டளையை இயக்கவும் மற்றும் படம் 2.5 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி நிரல் செயல்பாடுகளின் உரைகளை உள்ளிடவும்.
இப்போது நிரல் தாள் கலங்களில் எக்செல்நீங்கள் உருவாக்கிய செயல்பாடுகளை சூத்திரங்களில் பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக, ஒரு கலத்திற்குள் நுழைவோம் டி 18 சூத்திரம்
இரு பிரிவு(0.95;1;0.00001),
பின்னர் நாம் 0.999993896 மதிப்பைப் பெறுகிறோம்.
மற்றொரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க (வேறு இடது பக்கத்துடன்) "கருவிகள் - மேக்ரோ - எடிட்டர்" கட்டளையைப் பயன்படுத்தி எடிட்டர் சாளரத்திற்குச் செல்ல வேண்டும். காட்சி அடிப்படை” மற்றும் f(x) செயல்பாட்டின் விளக்கத்தை மீண்டும் எழுதவும். எடுத்துக்காட்டாக, 0.001 இன் துல்லியத்துடன், sin5 சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். x + x 2 - 1 = 0, இடைவெளியைச் சேர்ந்தது (0.4; 0.5). இதைச் செய்ய, செயல்பாட்டின் விளக்கத்தை மாற்றுவோம்
ஒரு புதிய விளக்கத்திற்கு
f = பாவம்(5 * x) + x^2 - 1
பின்னர் செல்லில் டி 18 நாம் 0.441009521 மதிப்பைப் பெறுகிறோம் (எடுத்துக்காட்டு 2.3 இல் காணப்படும் இடைவெளியின் (0.4; 0.5) மூலத்தின் மதிப்புடன் இந்த முடிவை ஒப்பிடுக!).
நிரலில் அரைப் பிரிவு முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்க Mathcadசப்ரூட்டின் செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம் பைசெக்(f, அ, பி, ε), எங்கே:
f-சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்துடன் தொடர்புடைய செயல்பாடு பெயர் f(x) = 0;
அ, பி- பிரிவின் இடது மற்றும் வலது முனைகள் [ அ, பி];
ε - ரூட்டின் தோராயமான மதிப்பின் துல்லியம்.
நிரலில் உள்ள உதாரணத்தின் தீர்வு Mathcad:
1) நிரலைத் தொடங்கவும் Mathcad.செயல்பாட்டின் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம் பைசெக்(f, அ, பி, ε). இதைச் செய்ய, விசைப்பலகை மற்றும் "கிரேக்க சின்னங்கள்" கருவிப்பட்டியைப் பயன்படுத்தி தட்டச்சு செய்யவும் பைசெக்(f, அ, பி, ε):=. "புரோகிராமிங்" கருவிப்பட்டியில் ":=" என்ற அசைன்மென்ட் அடையாளத்திற்குப் பிறகு, "வரியைச் சேர்" என்பதை இடது கிளிக் செய்ய மவுஸ் பாயிண்டரைப் பயன்படுத்தவும். ஒதுக்கீட்டு அடையாளத்திற்குப் பிறகு ஒரு செங்குத்து கோடு தோன்றும். அடுத்து, கீழே காட்டப்பட்டுள்ள நிரல் உரையை உள்ளிடவும், "புரோகிராமிங்" கருவிப்பட்டியைப் பயன்படுத்தி "←" குறி, லூப் ஆபரேட்டரை உள்ளிடவும் போது, ஆபரேட்டர் உடைக்கமற்றும் நிபந்தனை ஆபரேட்டர் இல்லையெனில்.
2) செயல்பாட்டின் வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம் f(x):=sin(5*x)+x^2–1, பின்னர் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ரூட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடவும் பைசெக்கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளில்:
பைசெக்(f, –0.8,–0.7,0.0001)=. “=” அடையாளத்திற்குப் பிறகு, நிரலால் கணக்கிடப்பட்ட ரூட் மதிப்பு –0.7266601563 தானாகவே தோன்றும். அதே வழியில் மீதமுள்ள வேர்களை கணக்கிடுவோம்.
கீழே தாள் உள்ளது Mathcadசெயல்பாட்டு வரையறையுடன் பைசெக்(f, அ, பி, ε) மற்றும் கணக்கீடுகள்:
மொழியில் ஒரு நிரல் கொடுக்கலாம் சிசமன்பாட்டை தீர்க்க ++ f(x) = 0 அரைக்கும் முறை:
#அடங்கும்
#அடங்கும்
இரட்டை f (இரட்டை x);
typedef இரட்டை (*PF)(இரட்டை);
இரட்டை பைசெக்(பிஎஃப் எஃப், டபுள் ஏ, டபுள் பி, டபுள் ஈபிஎஸ்);
இரட்டை a, b, x, eps;PF pf;
கூட்<< "\n a = "; cin >> a;
கூட்<< "\n b = "; cin >> b;
கூட்<< "\n eps = "; cin >> எபிஎஸ்;
x = பைசெக்(pf,a,b,eps); கூட்<< "\n x = " << x;
கூட்<< "\n Press any key & Enter "; cin >> a;
இரட்டை f(இரட்டை x)(
r = sin(5*x)+x*x-1;
இரட்டை பைசெக்(பிஎஃப் எஃப், டபுள் ஏ, டபுள் பி, டபுள் ஈபிஎஸ்)(
செய்( x = (a + b)/2;
என்றால் (f(x) == 0) முறிவு;
என்றால் (f(x)*f(a)<0) b = x;
)while (fabs(b-a) > eps);
திட்டத்தில் செயல்பாடு f(x) சமன்பாட்டை தீர்க்க வரையறுக்கப்படுகிறது
பாவம்5 x + x 2 – 1 = 0
உதாரணம் 2.3 இலிருந்து. இடைவெளியின் மூலத்தை (0.4; 0.5) 0.00001 துல்லியத்துடன் தீர்மானிப்பதற்கான நிரலின் முடிவு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது (கணினித் திரை):
எந்த விசையையும் அழுத்தி Enter செய்யவும்
முடிவைக் காண இடைநிறுத்தத்தை ஒழுங்கமைக்க கடைசி வரி தேவை.
நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளை 2 வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம் - இயற்கணிதம் மற்றும் ஆழ்நிலை. இயற்கணித சமன்பாடுகள்இயற்கணித செயல்பாடுகளை (முழு எண், பகுத்தறிவு, பகுத்தறிவற்ற) மட்டுமே கொண்ட சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. குறிப்பாக, பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது ஒரு முழு இயற்கணிதச் செயல்பாடாகும். பிற செயல்பாடுகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகள் (முக்கோணவியல், அதிவேக, மடக்கை, முதலியன) அழைக்கப்படுகின்றன. ஆழ்நிலை.
நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் இரண்டு குழுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன:
- துல்லியமான முறைகள் ;
- மீண்டும் செய்யும் முறைகள் .
சரியான முறைகள் வேர்களை சில வரையறுக்கப்பட்ட உறவின் (சூத்திரம்) வடிவத்தில் எழுதுவதை சாத்தியமாக்குகின்றன.
அறியப்பட்டபடி, பல சமன்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு பகுப்பாய்வு தீர்வுகள் இல்லை. இது முதன்மையாக பெரும்பாலான ஆழ்நிலை சமன்பாடுகளுக்குப் பொருந்தும். நான்கிற்கும் அதிகமான பட்டத்தின் தன்னிச்சையான இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரு சூத்திரத்தை உருவாக்குவது சாத்தியமில்லை என்பதும் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. கூடுதலாக, சில சந்தர்ப்பங்களில் சமன்பாடு தோராயமாக மட்டுமே அறியப்பட்ட குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது, எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்களைத் துல்லியமாக தீர்மானிக்கும் பணி அதன் அர்த்தத்தை இழக்கிறது. அவற்றைத் தீர்க்க, நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் மீண்டும் செய்யும் முறைகள்கொடுக்கப்பட்ட அளவு துல்லியத்துடன்.
சமன்பாடு கொடுக்கலாம்
- செயல்பாடு f(x) இடைவெளியில் தொடர்ந்து உள்ளது [ a, b] அதன் 1வது மற்றும் 2வது வரிசை வழித்தோன்றல்களுடன்.
- மதிப்புகள் f(x) பிரிவின் முனைகளில் வெவ்வேறு அறிகுறிகள் உள்ளன ( f(அ) * f(பி) < 0).
- முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் f"(x) மற்றும் f""(x) முழு பிரிவு முழுவதும் ஒரு குறிப்பிட்ட அடையாளத்தை வைத்திருங்கள்.
நிபந்தனைகள் 1) மற்றும் 2) இடைவெளியில் [ ஒரு, பி] குறைந்தது ஒரு ரூட் உள்ளது, மற்றும் 3) அது பின்வருமாறு f(x) இந்த இடைவெளியில் மோனோடோனிக் எனவே ரூட் தனித்துவமாக இருக்கும்.
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் (1) மீண்டும் செய்யும் முறைஇதன் பொருள் வேர்கள் உள்ளதா, எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதை நிறுவுதல் மற்றும் தேவையான துல்லியத்துடன் வேர்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்.
ஒரு செயல்பாட்டை மாற்றியமைக்கும் எந்த மதிப்பும் f(x) பூஜ்ஜியத்திற்கு, அதாவது. அது போன்ற:
அழைக்கப்பட்டது வேர் சமன்பாடுகள்(1) அல்லது பூஜ்யம்செயல்பாடுகள் f(x).
ஒரு சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் f(x) = 0 மறு செய்கை முறை இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது:
- வேர் பிரிப்பு - ரூட் அல்லது அதைக் கொண்ட ஒரு பிரிவின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டறிதல்;
- தோராயமான வேர்களின் சுத்திகரிப்பு - குறிப்பிட்ட அளவிலான துல்லியத்திற்கு அவற்றைக் கொண்டுவருதல்.
ரூட் பிரிப்பு செயல்முறை செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளை நிறுவுவதன் மூலம் தொடங்குகிறது f(x) எல்லையில் x=அமற்றும் x=பிஅதன் இருப்பு பகுதியில் புள்ளிகள்.
எடுத்துக்காட்டு 1 . சமன்பாட்டின் வேர்களை பிரிக்கவும்:
|
f( x) є x 3 - 6x + 2 = 0. |
தோராயமான வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்:
இதன் விளைவாக, சமன்பாடு (2) மூன்று உண்மையான வேர்களை இடைவெளிகளில் [-3, -1] மற்றும் .
வேர்களின் தோராயமான மதிப்புகள் ( ஆரம்ப தோராயங்கள்) பிரச்சனையின் இயற்பியல் அர்த்தத்திலிருந்தும், வெவ்வேறு ஆரம்ப தரவுகளுடன் இதேபோன்ற சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் இருந்தும் அறியலாம் அல்லது வரைபடமாகக் காணலாம்.
பொறியியல் நடைமுறையில் பொதுவானது வரைகலை முறைதோராயமான வேர்களை தீர்மானித்தல்.
சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்கள் (1) செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகள் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது f(x) x- அச்சுடன், செயல்பாட்டைத் திட்டமிட இது போதுமானது f(x) மற்றும் வெட்டும் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும் f(x) அச்சுடன் ஓஅல்லது அச்சில் குறிக்கவும் ஓஒரு ரூட் கொண்ட பிரிவுகள். சமன்பாடு (1) ஐ மாற்றுவதன் மூலம் வரைபடங்களின் கட்டுமானத்தை பெரும்பாலும் எளிதாக்கலாம். சமமானஅவர் சமன்பாட்டுடன்:
சமன்பாடு (4) வசதியாக சமத்துவமாக மீண்டும் எழுதப்படலாம்:
இதிலிருந்து சமன்பாட்டின் வேர்கள் (4) மடக்கை வளைவின் வெட்டுப்புள்ளிகளின் அபிசிசாக்களாகக் காணலாம் என்பது தெளிவாகிறது. ஒய்= பதிவு xமற்றும் மிகைப்படுத்தல்கள் ஒய் = . இந்த வளைவுகளை கட்டமைத்த பிறகு, சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தை (4) தோராயமாக கண்டுபிடிப்போம் அல்லது அதைக் கொண்ட பிரிவைத் தீர்மானிப்போம்.
மறுசெயல்முறையானது ஆரம்ப தோராயத்தின் வரிசையான சுத்திகரிப்பைக் கொண்டுள்ளது எக்ஸ் 0 . அத்தகைய ஒவ்வொரு படியும் அழைக்கப்படுகிறது மறு செய்கை. மறு செய்கைகளின் விளைவாக, தோராயமான ரூட் மதிப்புகளின் வரிசை காணப்படுகிறது எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., xnஇந்த மதிப்புகள் அதிக எண்ணிக்கையிலான மறு செய்கைகளுடன் இருந்தால் nமூலத்தின் உண்மையான மதிப்பை அணுகவும், பின்னர் மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை என்று கூறுகிறோம் ஒன்றிணைகிறது.
பிரிவைச் சேர்ந்த (1) சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிய [ ஒரு, பி], இந்தப் பிரிவை பாதியாகப் பிரிக்கவும். என்றால் f= 0, பின்னர் x = சமன்பாட்டின் வேர் ஆகும். என்றால் f 0 க்கு சமமாக இல்லை (இது, நடைமுறையில், பெரும்பாலும் இருக்கும்), பின்னர் நாம் பாதிகளில் ஒன்றைத் தேர்வு செய்கிறோம் அல்லது அதன் முனைகளில் செயல்பாடு f(x) எதிர் அறிகுறிகள் உள்ளன. புதிய குறுகலான பிரிவு [ ஏ 1 , பி 1] மீண்டும் பாதியாகப் பிரித்து அதே செயல்களைச் செய்யவும்.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கண்டறிய அரைகுறை முறை நடைமுறையில் வசதியானது, இந்த முறை எளிமையானது மற்றும் நம்பகமானது, மேலும் எப்போதும் ஒன்றிணைகிறது.
எடுத்துக்காட்டு 3. சமன்பாட்டின் மூலத்தை தெளிவுபடுத்த அரைகுறை முறையைப் பயன்படுத்தவும்
f( x) = x 4 + 2 x 3 - x - 1 = 0
பிரிவில் பொய் [0, 1] .
தொடர்ந்து எங்களிடம் உள்ளது:
f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;
f(0.75) = 0.32 + 0.84 - 0.75 - 1 = - 0.59;
f(0.875) = 0.59 + 1.34 - 0.88 - 1 = + 0.05;
f(0.8125) = 0.436 + 1.072 - 0.812 - 1 = - 0.304;
f(0.8438) = 0.507 + 1.202 - 0.844 - 1 = - 0.135;
f(0.8594) = 0.546 + 1.270 - 0.859 - 1 = - 0.043, முதலியன.
ஏற்றுக் கொள்ள முடியும்
x = (0.859 + 0.875) = 0.867
இந்த முறையில், மறு செய்கை செயல்முறையானது பின்வரும் மதிப்புகளை சமன்பாட்டின் மூலத்திற்கு தோராயமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது: எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x nநாண் வெட்டும் புள்ளிகள் ஏபி x அச்சுடன் (படம் 3). முதலில் நாண் சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம் ஏபி:
.
நாண் வெட்டும் புள்ளிக்கு ஏபி x அச்சுடன் ( x = x 1 ,y= 0) நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
உறுதியாக இருக்கட்டும் f""(x) > 0 மணிக்கு ஒரு x b(நடக்கிறது f""(x) < சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதினால் 0 நம்முடையதாக குறைகிறது - f(x) = 0) பின்னர் வளைவு மணிக்கு = f(x) கீழ்நோக்கி குவிந்திருக்கும், எனவே, அதன் நாண்க்கு கீழே அமைந்திருக்கும் ஏபி. இரண்டு சாத்தியமான வழக்குகள் உள்ளன: 1) f(ஏ) > 0 (படம் 3, ஏ) மற்றும் 2) f(பி) < 0 (Рисунок 3, பி).
படம் 3, a, b.
முதல் வழக்கில் முடிவு ஏஅசைவற்ற மற்றும் தொடர்ச்சியான தோராயங்கள்: x 0 = பி;x , செயல்பாடு எங்கே f (எக்ஸ்) அதன் இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் குறிக்கு எதிரே ஒரு அடையாளம் உள்ளது f""(எக்ஸ்).
அது கண்டறியப்படும் வரை மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை தொடர்கிறது
| x i - x i - 1 |< e ,
இதில் e என்பது குறிப்பிடப்பட்ட அதிகபட்ச முழுமையான பிழை.
எடுத்துக்காட்டு 4. சமன்பாட்டின் நேர்மறை மூலத்தைக் கண்டறியவும்
f( x) = x 3 - 0,2 x 2 - 0,2 எக்ஸ் - 1,2 = 0
e = 0.01 துல்லியத்துடன்.
முதலில், நாம் வேரை பிரிக்கிறோம். ஏனெனில்
f(1) = -0.6< 0 и f (2) = 5,6 > 0,
பின்னர் தேவையான ரூட் x இடைவெளியில் உள்ளது. இதன் விளைவாக இடைவெளி பெரியது, எனவே நாம் அதை பாதியாக பிரிக்கிறோம். ஏனெனில்
f (1.5) = 1.425 > 0, பிறகு 1< x < 1,5.
ஏனெனில் f""(x) = 6 x- 1 மணிக்கு 0.4 > 0< எக்ஸ் < 1,5 и f(1.5) > 0, பின்னர் சிக்கலைத் தீர்க்க சூத்திரம் (5) ஐப் பயன்படுத்துகிறோம்:
= 1,15;
| x 1-x 0 |
= 0.15 > இ,
எனவே, நாங்கள் கணக்கீடுகளைத் தொடர்கிறோம்; எக்ஸ் 1) = -0,173;
= 1,190;
f ( 2-x|x
f (எக்ஸ் 2) = -0,036;
= 1,198;
| x 3-x 2 | = 0,008 < e .
1 |
= 0.04 > இ,
எனவே, நாம் e = 0.01 துல்லியத்துடன் x = 1.198 ஐ எடுக்கலாம். f(x) சமன்பாட்டின் சரியான வேர் x = 1.2 என்பதை நினைவில் கொள்க. அ; பி], .
விடுங்கள்
எனவே, நாம் e = 0.01 துல்லியத்துடன் x = 1.198 ஐ எடுக்கலாம். f(x)
- இல் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு [ அ;
பி],
,
நியூட்டனின் முறை (தொடு முறை) 
இடைவெளியில் இருமுறை தொடர்ச்சியாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு [ அ;
பி].
மற்றும் 
அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டாம் [ 
நியூட்டனின் முறை (தொடு முறை) 
மூலம் குறிப்போம் அறிகுறிகள் இருக்கும் பிரிவின் முடிவுபொருத்தம். சரியான மூலத்திற்கு அடுத்தடுத்த தோராயங்கள்
c 
.
சூத்திரம் மூலம் கண்டுபிடிக்க 
க்கு
பிறகு 
சமன்பாட்டின் சரியான வேர் (1). ε
கணினி செயல்முறை பொதுவாக நிறுத்தப்படும் போது
குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்
. இருப்பினும், குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை அடைய இந்த நிபந்தனை கண்டிப்பாக உத்தரவாதம் அளிக்க முடியாது. முழுமையான உத்தரவாதத்திற்கு, இந்தப் பிரிவின் தொடக்கத்தில் கூறப்பட்டுள்ளபடி நீங்கள் துல்லியச் சரிபார்ப்பைச் செய்யலாம். துல்லியம் அடையப்படவில்லை என்றால், நீங்கள் மீண்டும் மீண்டும் பல முறை செய்ய வேண்டும். 
செகண்ட் முறை 
சில ஆரம்ப தோராயமாக இருக்கட்டும் . சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மேலும் ஒரு புள்ளியைப் பெறுகிறோம், எங்கே 
நியூட்டனின் முறை (தொடு முறை) 
ம 
நியூட்டனின் முறை (தொடு முறை) 
- ஒரு சிறிய எண். இந்த முறையின் பல படிகளை நாங்கள் முடித்துள்ளோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம், இந்த கட்டத்தில் இரண்டு தொடர்ச்சியான தோராயங்கள் உள்ளன
,
சரியான மூலத்திற்கு (ஆரம்ப கட்டத்தில் இது
) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அடுத்த தோராயத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்
நியூட்டனின் முறையின் அதே அளவுகோலின் படி செயல்முறை நிறுத்தப்படுகிறது. 
மறு செய்கை முறை 
மறு செய்கை முறையில், அசல் சமன்பாடு (1) சமமான சமன்பாடாக மாற்றப்படுகிறது. 
,
. ஆரம்ப தோராயம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது 
. ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த தோராயமும் சூத்திரத்தால் பெறப்படுகிறது 
நியூட்டனின் முறையின் அதே அளவுகோலின் படி செயல்முறை நிறுத்தப்படுகிறது. முறை ஒன்றிணைக்கும், அதாவது. வரம்பு
வேரின் சுற்றுப்புறத்தில் சமத்துவமின்மை இருந்தால், வேரின் சரியான மதிப்புக்கு சமம்
மற்றும் ஆரம்ப தோராயமானது ரூட்டிற்கு மிக அருகில் உள்ளது.
முறைகளின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகள்
,
பிரித்தல் முறைக்கு ரூட் பிரிக்கப்பட வேண்டும், மேலும் அதிக துல்லியத்தை அடைய செயல்பாடு பல முறை மதிப்பீடு செய்யப்பட வேண்டும். இந்த முறையில் குறிப்பிட்ட துல்லியத்தை அடைவது உறுதி. அறிகுறிகள் இருக்கும் பிரிவின் முடிவுநியூட்டனின் முறையானது மிக வேகமான ஒருங்கிணைப்பு (Qudratic convergence), அதாவது. எங்கே- வேரின் சரியான மதிப்பு;
நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்புக்கு உத்தரவாதம் அளிக்க, சில நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். பொதுவாகச் சொன்னால், இந்த நிலைமைகளைச் சரிபார்க்காமல் நியூட்டனின் முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளைத் தொடங்கலாம், ஆனால் பின்னர் ஒன்றிணைதல் கவனிக்கப்படாமல் போகலாம்.
செகண்ட் முறையானது, நியூட்டனின் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு விகிதத்திற்கு அருகில் இருக்கும் மென்மையான செயல்பாடுகளுக்கு ஒரு குவிப்பு விகிதத்தை வழங்குகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை. தொடக்கப் புள்ளி வேரிலிருந்து வெகு தொலைவில் எடுக்கப்பட்டால், ஒன்றுகூடுதல் இருக்காது.
மறு செய்கை முறையானது நியூட்டனின் முறையைக் காட்டிலும் கணிசமாகக் குறைவான ஒரு குவிப்பு விகிதத்தை அளிக்கிறது. ஒருங்கிணைப்பு இருந்தால், மதிப்பீடு பொருந்தும் 
சில ஆரம்ப தோராயமாக இருக்கட்டும் 
- எண்கள், 
,
;அறிகுறிகள் இருக்கும் பிரிவின் முடிவு- ரூட்டின் சரியான மதிப்பு. அளவுகள் எங்கே,
கேசெயல்பாட்டைச் சார்ந்தது மற்றும் மறு செய்கை எண்ணைச் சார்ந்திருக்காது. என்றால் 
1 க்கு அருகில் உள்ளது கே 1 க்கு அருகில் உள்ளது மற்றும் முறையின் ஒருங்கிணைப்பு மெதுவாக இருக்கும். நிபந்தனைகளைச் சரிபார்க்காமல் மறு செய்கை முறையைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு தொடங்கலாம் 
நியூட்டனின் முறை (தொடு முறை) 
. இந்த வழக்கில், செயல்முறை வேறுபட்டிருக்கலாம், பின்னர் பதில் பெறப்படாது.
பட்டியலிடப்பட்டுள்ளதைத் தவிர, நேரியல் அல்லாத சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய பல முறைகள் உள்ளன. MATHCAD இல், ரூட் செயல்பாடு வடிவமைப்பில் உள்ளது 
செகண்ட் முறையைப் பயன்படுத்துகிறது, மேலும் அது விரும்பிய முடிவுகளுக்கு வழிவகுக்கவில்லை என்றால், முல்லர் முறை. பிந்தையதில், செகண்ட் முறைக்கு மாறாக, ஒவ்வொரு அடியிலும் இரண்டு கூடுதல் புள்ளிகள் எடுக்கப்படுகின்றன, செயல்பாட்டின் வரைபடம் மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் பரவளையத்தால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் பரவளையத்தை அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளியாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. அடுத்த தோராயம் எருது. ரூட் வடிவத்தில் ரூட் செயல்பாட்டில் ரூட்( f(x),
x,
அ,
பி) Ridder மற்றும் Brent முறைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. MATHCAD இல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்களைக் கண்டறிய, Laguerre முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.
இருவேறு முறைபண்டைய கிரேக்க வார்த்தையிலிருந்து அதன் பெயரைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது இரண்டாகப் பிரித்தல் என்று மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது. அதனால்தான் இந்த முறைக்கு இரண்டாவது பெயர் உள்ளது: அரை முறை. நாங்கள் அதை அடிக்கடி பயன்படுத்துகிறோம். "கெஸ் தி நம்பர்" என்ற விளையாட்டை விளையாடுவதாக வைத்துக்கொள்வோம், அங்கு ஒரு வீரர் 1 முதல் 100 வரையிலான எண்ணை யூகிக்கிறார், மற்றவர் அதை "அதிகமாக" அல்லது "குறைவாக" துப்புகளால் வழிநடத்துகிறார். முதல் எண் 50 என அழைக்கப்படும் என்று கருதுவது தர்க்கரீதியானது, அது குறைவாக இருந்தால் - 25, அதிகமாக இருந்தால் - 75. இவ்வாறு, ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் (மறு செய்கை) தெரியாத நிச்சயமற்ற தன்மை 2 மடங்கு குறைக்கப்படுகிறது. அந்த. உலகின் துரதிர்ஷ்டவசமான நபர் கூட இந்த வரம்பில் மறைக்கப்பட்ட எண்ணை 100 ரேண்டம் அறிக்கைகளுக்குப் பதிலாக 7 யூகங்களில் யூகிப்பார்.
சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் அரைப் பிரிவு முறை
ஒரு சமன்பாட்டின் சரியான தீர்வு, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் ஒரு ரூட் உள்ளது மற்றும் அது தனித்துவமானது என்று தெரிந்தால் மட்டுமே பாதிகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடு சாத்தியமாகும். நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க மட்டுமே இருவகை முறை முறை பயன்படுத்தப்படும் என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை. பிளவு முறையைப் பயன்படுத்தி உயர்-வரிசை சமன்பாடுகளின் வேர்களைக் கண்டறிய, முதலில் வேர்களை பிரிவுகளாகப் பிரிக்க வேண்டும்.< 0.
செயல்பாட்டின் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றை பூஜ்ஜியமாக f"(x)=0 மற்றும் f""(x)=0 என சமன்படுத்துவதன் மூலம் வேர்களைப் பிரிக்கும் செயல்முறை மேற்கொள்ளப்படுகிறது. அடுத்து, f(x) அறிகுறிகள் முக்கியமான மற்றும் எல்லைப் புள்ளிகளில், செயல்பாடு மாறும் அடையாளம் |a,b|, அங்கு f(a)*f(b)
டிகோடமி முறையின் அல்காரிதம்
டிகோடமி முறையின் வழிமுறை மிகவும் எளிமையானது. |a,b| பிரிவைக் கவனியுங்கள் இதில் ஒரு ரூட் x 1 உள்ளது
முதல் கட்டத்தில், x 0 =(a+b)/2 கணக்கிடப்படுகிறது< 0, то , если наоборот, то ,т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x i , где i - номер иттерации.
அடுத்து, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு தீர்மானிக்கப்படுகிறது: f(x 0) என்றால்
b-a வேறுபாடு தேவையான பிழையை விட குறைவாக இருக்கும்போது கணக்கீடுகள் நிறுத்தப்படும்.
அரை வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவதற்கான உதாரணமாக, x 3 -3*x+1=0 சமன்பாட்டின் இடைவெளியில் 10 -3 துல்லியத்துடன் மூலத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.< 10 -3
அட்டவணையில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், ரூட் 0.347 ஆகும். மறு செய்கைகளின் எண்ணிக்கை 10. நிறைவு நிலை: a-b=0.0009பாதி முறை அல்லது இருவகை முறை
எண் முறைகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு எளிமையானது.
பதிவிறக்கம்:
டைகோடமி முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது - பாஸ்கலில் பைசெக்ஷன் முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.
இது டிகோடமி முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் இந்த முறை மேலே விவாதிக்கப்பட்ட முறைகளிலிருந்து வேறுபடுகிறது, அதில் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் இடைவெளியில் தங்கள் அடையாளத்தைத் தக்கவைத்துக்கொள்ளும் நிபந்தனையை நிறைவேற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை. வேறுபடுத்த முடியாதவை உட்பட f(x) எந்த தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுக்கும் இருபிரிவு முறை ஒன்றிணைகிறது.
ஒரு புள்ளியுடன் பகுதியை பாதியாக பிரிக்கவும். (இது நடைமுறையில் மிகவும் சாத்தியம்) என்றால், இரண்டு சந்தர்ப்பங்கள் சாத்தியமாகும்: f(x) பிரிவில் (படம் 3.8) அல்லது பிரிவில் (படம் 3.9) மாற்றங்களின் அடையாளங்கள்
ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் செயல்பாடு அடையாளத்தை மாற்றும் பகுதியைத் தேர்ந்தெடுத்து, மேலும் பாதியாகக் குறைக்கும் செயல்முறையைத் தொடர்வதன் மூலம், ஒருவர் சமன்பாட்டின் மூலத்தைக் கொண்ட தன்னிச்சையாக சிறிய பகுதியை அடையலாம்.
உதாரணம் 4. சமன்பாடு 5x - 6x -3 = 0 இடைவெளியில் ஒற்றை ரூட் உள்ளது. இந்த சமன்பாட்டை அரைப் பிரிவு முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கவும்.தீர்வு
: ஒரு பாஸ்கல் நிரல் இப்படி இருக்கும்:
செயல்பாடு f(x: real): real;
f:=exp(x*ln(5))-6*x-3;
a, b, e, c, x: உண்மையான;
abs(b-a)>e do போது<0 then
f(a)*f(c) என்றால்
writeln("x=",x:3:3," f(x)=",f(x):4:4);
e=0.001 x=1.562 f(x)=-0.0047
20.பாதிப்பிரிவு முறையின் அல்காரிதம்.
1.ஒரு புதிய ரூட் தோராயத்தை தீர்மானிக்கவும் எக்ஸ்பிரிவின் நடுவில் [a,b]: x=(a+b)/2.
2. புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் ஏமற்றும் எக்ஸ்: F(a)மற்றும் F(x).
3. நிலைமையை சரிபார்க்கவும் F(a)*F(x)< 0 . நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், ரூட் பிரிவில் அமைந்துள்ளது [ஓ] பிபுள்ளிக்கு நகர்த்தவும் x (b=x). நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், ரூட் பிரிவில் அமைந்துள்ளது [x,b]. இந்த வழக்கில், உங்களுக்கு ஒரு புள்ளி தேவை ஏபுள்ளிக்கு நகர்த்தவும் x (a=x).
4. படி 1 க்குச் சென்று மீண்டும் பிரிவை பாதியாகப் பிரிக்கவும். நிபந்தனை பூர்த்தியாகும் வரை அல்காரிதம் தொடர்கிறது /F(x)/< e (குறிப்பிட்ட துல்லியம்).
21. வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான எளிய மறு செய்கை முறை. வடிவியல் விளக்கம்.
அசல் சமன்பாடு f(x)=0 ஆனது, இடதுபுறத்தில் தெரியாததைக் கொண்ட படிவத்திற்குச் சமமான மாற்றங்களால் குறைக்கப்படுகிறது, அதாவது x=φ(x), இதில் φ(x) என்பது அசல் செயல்பாடு f உடன் தொடர்புடைய சில செயல்பாடு ஆகும். (x) சமன்பாட்டை எழுதும் இந்த வடிவம், ஆரம்ப தோராயமான x 0 கொடுக்கப்பட்டால், அடுத்த, முதல் தோராயமான x 1 =φ(x 0), பின்னர் இரண்டாவது தோராயமான x 2 =φ(x 1) மற்றும் x n +1 ஐப் பெற அனுமதிக்கிறது. =φ(x n)… . வரிசை (x n )= x 0, x 1, x 2, …, x n,… ஆரம்ப மதிப்பு x 0 உடன் மறு செய்கைகள் அல்லது தோராயங்களின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது. φ(x) செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இல்லாமல் மற்றும் வரம்பு இருந்தால் ξ = lim x n என்பது n→∞ ஆக, பின்னர், x n +1 =φ(x n) சமத்துவத்தில் வரம்பிற்குள் சென்றால், n→ ∞: lim x n +1 =lim φ(x n)=φ(lim x n ), அதாவது, ξ=φ(ξ) இதன் விளைவாக, தோராயங்களின் வரிசை ஒன்றிணைந்தால், அது சமன்பாட்டின் மூலத்திற்கு (2) ஒன்றிணைகிறது, எனவே சமன்பாடு (1). மறுசெயல் செயல்முறையின் ஒருங்கிணைப்பு காரணமாக, இந்த ரூட் போதுமான அளவு கணக்கிடப்படலாம் nகொடுக்கப்பட்ட எந்த துல்லியத்துடன். எவ்வாறாயினும், வரிசை (x n) எந்த நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒன்றிணைக்கப்படும் என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். ε n மற்றும் ε n +1: x n =ξ+ε n, x n +1 =ξ+ε n +1 ஆகிய இரண்டு அண்டை தோராயங்களின் பிழைகளுக்கு இடையே ஒரு இணைப்பைப் பெறுவோம். இந்த பிரதிநிதித்துவங்களை x n +1 =φ(x n) ஆக மாற்றுவோம் மற்றும் ரூட்டின் அருகே டெய்லர் தொடராக செயல்பாட்டை விரிவாக்குவோம்:ξ+ε n +1 =φ(ξ+ε n)=φ(ξ)+ε n φ'(ξ)+ (ε n 2 /2!)φ''(η), இங்கு η О [ξ; ξ+ε n ] М ξ ஒரு வேர் என்பதால், ξ=φ(ξ) , நாம் பெறுகிறோம்: ε n +1 =ε n φ'(ξ)+(φ''(η)/2)ε n 2. ε முதல்<1, то ε n 2 <<ε n . Поэтому если φ’(ξ) ¹ 0,то основной вклад в погрешность дает первое слагаемое, а слагаемым (φ’’(η)/2)ε n 2 можно пренебречь, то есть ε n +1 » ε n φ’(ξ).Это означает, что погрешность будет уменьшаться на каждом последующем шаге, если |φ’(ξ)|<1, тогда для любого n|ε n +1 |<|ε n |. Сформулируем теорему о сходимости метода простых итераций, дающую достаточные условия сходимости.
எளிய மறு செய்கை முறையின் ஒருங்கிணைப்பு பற்றிய தேற்றம்.ξ என்பது x=φ(x) சமன்பாட்டின் மூலமாக இருக்கட்டும், φ(x) சார்பு வரையறுக்கப்பட்டு இடைவெளியில் வேறுபடும், மேலும் x О க்கு φ (x) О செயல்பாட்டின் அனைத்து மதிப்புகளும் இருக்கும். அப்படியானால், அத்தகைய நேர்மறை எண் q<1, что при x Î выполняется неравенство |φ’(ξ)|≤q<1, то на отрезке уравнение x=φ(x) имеет единственный корень x=ξ и процесс итераций, выраженный формулой x n +1 =φ(x n), где n=1,2,3… , сходится к этому корню независимо от выбора начального приближения x 0 Î .Таким образом, последовательность {x n },начинающаяся с любого x 0 Î , сходится к корню ξ со скоростью геометрической прогрессии, причем скорость сходимости тем выше, чем меньше величина q Î (1;0).Если функция φ(х) монотонно возрастает и 0<φ’(х)<1, то все приближения лежат по одну сторону от корня - такую сходимость называют монотонной (или ступенчатой) – рис.1. Если функция φ(х) монотонно убывает и 0>φ'(x)>-1, பின்னர் அண்டை தோராயங்கள் வேரின் எதிர் பக்கங்களில் உள்ளன - அத்தகைய ஒருங்கிணைப்பு இருவழி (அல்லது சுழல்) என்று அழைக்கப்படுகிறது - படம் 2. இந்த வழக்கில் ரூட் இடைவெளியில் இருப்பதால், அதன் முனைகள் அண்டை தோராயமாக இருக்கும் – ξÎ(x n ,x n +1), பின்னர் நிபந்தனையின் பூர்த்தி |x n +1 -x n |<ε обеспечивает выполнение условия |ξ-x n +1 |<ε.
ஒருங்கிணைப்பு வேகத்தின் அடிப்படையில் மீண்டும் செயல்படும் முறைகளை ஒப்பிட்டுப் பார்க்க, பின்வரும் கருத்துகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன:
வரையறை 1:ஒரு வரிசையின் (x n) ξ க்கு ஒருங்கிணைப்பு அழைக்கப்படுகிறது நேரியல்(அதன்படி, மீண்டும் செயல்படும் செயல்முறை நேர்கோட்டில் குவிந்திருக்கும்), ஒரு மாறிலி CО(0,1) மற்றும் n 0 என்ற எண் இருந்தால், சமமின்மைகள் |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | n≥n 0க்கு.
முன்னர் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட பிழைகளுக்கு இதன் பொருள் |ε n+1 |≤C|ε n |. எளிமையான மறு செய்கை முறையில், மாறிலி C என்பது q மதிப்பு, அதாவது, முறை நேர்கோட்டில் ஒன்றிணைகிறது.
வரையறை 2:தோராயங்களின் வரிசை (x n ) குறைந்தபட்சம் ξ ஆக ஒன்றிணைகிறது ஆர்வது வரிசை (அதன்படி, மீண்டும் மீண்டும் செயல்முறை குறைந்தது ப-வது வரிசை), C>0 போன்ற மாறிலிகள் இருந்தால், ப≥1 மற்றும் n 0 , அனைத்து n≥n 0 க்கும் நிபந்தனைகள் |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | p (அல்லது மற்ற குறிப்புகளில் |ε n+1 |≤C|ε n | p).
