அத்தியாயம் IV. விண்வெளியில் நேரான கோடுகள் மற்றும் விமானங்கள். பாலிஹெட்ரா

§ 55. பலகோணத்தின் திட்டப் பகுதி.

ஒரு கோட்டிற்கும் ஒரு விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம் என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கும் அதன் திட்டத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம் (படம் 164) என்பதை நினைவுபடுத்துவோம்.

தேற்றம். ஒரு பலகோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பரப்பளவு, பலகோணத்தின் விமானம் மற்றும் ப்ரொஜெக்ஷன் பிளேன் ஆகியவற்றால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் கோசைனால் பெருக்கப்படும் பலகோணத்தின் பரப்பளவுக்கு சமம்.

ஒவ்வொரு பலகோணத்தையும் முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கலாம், அதன் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை பலகோணத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம். எனவே, ஒரு முக்கோணத்திற்கான தேற்றத்தை நிரூபித்தாலே போதும்.

விடுங்கள் /\ ஏபிசி ஒரு விமானத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது ஆர். இரண்டு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
அ) கட்சிகளில் ஒன்று /\ ஏபிசி விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளது ஆர்;
b) எந்த கட்சியும் இல்லை /\ ஏபிசி இணையாக இல்லை ஆர்.

கருத்தில் கொள்வோம் முதல் வழக்கு: விடு [AB] || ஆர்.

(AB) மூலம் ஒரு விமானத்தை வரைவோம். ஆர் 1 || ஆர்மற்றும் செங்குத்து வடிவில் வடிவமைக்கவும் /\ ABC ஆன் ஆர் 1 மற்றும் அன்று ஆர்(படம் 165); நாம் பெறுகிறோம் /\ ஏபிசி 1 மற்றும் /\ A"B"C".
எங்களிடம் உள்ள ப்ரொஜெக்ஷன் சொத்தின் மூலம் /\ ஏபிசி 1 /\ A"B"C", எனவே

எஸ் /\ ABC1=S /\ A"B"C"

_|_ மற்றும் D 1 C 1 பிரிவை வரைவோம். பின்னர் _|_ , a = φ என்பது விமானத்தின் இடையே உள்ள கோணத்தின் மதிப்பு /\ ஏபிசி மற்றும் விமானம் ஆர் 1. அதனால் தான்

எஸ் /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | குறுவட்டு 1 | cos φ = எஸ் /\ ஏபிசி காஸ் φ

எனவே எஸ் /\ A"B"C" = S /\ ஏபிசி காஸ் φ.

கருத்தில் கொண்டு செல்லலாம் இரண்டாவது வழக்கு. விமானம் வரைவோம் ஆர் 1 || ஆர்அதன் மேல் /\ ஏபிசி, விமானத்திற்கான தூரம் ஆர்சிறியது (இது உச்சி A ஆக இருக்கட்டும்).
வடிவமைப்போம் /\ ஒரு விமானத்தில் ஏபிசி ஆர் 1 மற்றும் ஆர்(படம் 166); அதன் கணிப்புகள் முறையே இருக்கட்டும் /\ AB 1 C 1 மற்றும் /\ A"B"C".

விடு (சூரியன்) ப 1 = D. பிறகு

எஸ் /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (எஸ் /\ ஏடிசி-எஸ் /\ ADB) cos φ = S /\ ஏபிசி காஸ் φ

பணி.ஒரு விமானம் ஒரு வழக்கமான முக்கோண ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதி வழியாக அதன் அடிப்பகுதியின் விமானத்திற்கு φ = 30° கோணத்தில் வரையப்படுகிறது. ப்ரிஸத்தின் அடிப்பகுதியின் பக்கமாக இருந்தால், அதன் விளைவாக வரும் குறுக்குவெட்டின் பகுதியைக் கண்டறியவும் ஏ= 6 செ.மீ.

இந்த ப்ரிஸத்தின் குறுக்குவெட்டை சித்தரிப்போம் (படம் 167). ப்ரிஸம் வழக்கமானதாக இருப்பதால், அதன் பக்க விளிம்புகள் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும். பொருள் /\ ஏபிசி என்பது ஒரு திட்டமாகும் /\ ADC, எனவே

ஒரு விமானத்தைக் கவனியுங்கள் ப மற்றும் அதை வெட்டும் நேர்கோடு . விடுங்கள் ஏ - விண்வெளியில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி. இந்த புள்ளியில் ஒரு நேர்கோடு வரைவோம் , கோட்டிற்கு இணையாக . விடுங்கள் . புள்ளி ஒரு புள்ளியின் கணிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏவிமானத்திற்கு பகொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டில் இணையான வடிவமைப்புடன் . விமானம் ப , விண்வெளியின் புள்ளிகள் திட்டமிடப்பட்டதன் மீது ப்ராஜெக்ஷன் பிளேன் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ப - திட்ட விமானம்;

- நேரடி வடிவமைப்பு; ;

; ; ;

ஆர்த்தோகனல் வடிவமைப்புஇணை வடிவமைப்பின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு. ஆர்த்தோகனல் வடிவமைப்பு என்பது ஒரு இணையான வடிவமைப்பாகும், இதில் வடிவமைப்புக் கோடு ப்ராஜெக்ஷன் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும். ஆர்த்தோகனல் வடிவமைப்பு தொழில்நுட்ப வரைபடத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு ஒரு உருவம் மூன்று விமானங்களில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது - கிடைமட்ட மற்றும் இரண்டு செங்குத்து.

வரையறை: ஒரு புள்ளியின் ஆர்த்தோகனல் ப்ராஜெக்ஷன் எம்விமானத்திற்கு பஅடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது எம் 1செங்குத்தாக எம்எம் 1, புள்ளியில் இருந்து கைவிடப்பட்டது எம்விமானத்திற்கு ப.

பதவி: , , .

வரையறை: ஒரு உருவத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷன் எஃப்விமானத்திற்கு பவிமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அவை உருவத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பின் ஆர்த்தோகனல் கணிப்புகளாகும் எஃப்விமானத்திற்கு ப.

ஆர்த்தோகனல் வடிவமைப்பு போன்றது சிறப்பு வழக்குஇணை வடிவமைப்பு அதே பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

ப - திட்ட விமானம்;

- நேரடி வடிவமைப்பு; ;

1) ;

2) , .

1. இணையான கோடுகளின் கணிப்புகள் இணையானவை.

ஒரு தட்டையான உருவத்தின் திட்டப் பகுதி

தேற்றம்: ஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்தின் மீது பலகோணத்தின் திட்டப் பகுதியானது, பலகோணத்தின் விமானத்திற்கும் திட்டத் தளத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனால் பெருக்கப்படும் திட்டப் பலகோணத்தின் பரப்பளவிற்கு சமம்.

நிலை 1: ப்ராஜெக்ட் ஃபிகர் என்பது ஒரு முக்கோண ABC ஆகும், இதன் பக்கம் ஏசி ப்ராஜெக்ஷன் ப்ளேனில் a (புராஜெக்ஷன் பிளேன் a க்கு இணையாக) இருக்கும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

நிரூபிக்கவும்:

ஆதாரம்:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. மூன்று செங்குத்துகளின் தேற்றத்தால்;

ВD - உயரம்; பி 1 டி - உயரம்;

5. - டைஹெட்ரல் கோணத்தின் நேரியல் கோணம்;

6. ; ; ; ;

நிலை 2: திட்டமிடப்பட்ட உருவம் ஒரு முக்கோண ABC ஆகும், அதன் பக்கங்கள் எதுவும் ப்ராஜெக்ஷன் விமானத்தில் இல்லை மற்றும் அதற்கு இணையாக இல்லை.

கொடுக்கப்பட்டது:

நிரூபிக்கவும்:

ஆதாரம்:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(நிலை 1);

5. ; ; ;

(நிலை 1);

நிலை: வடிவமைக்கப்பட்ட உருவம் ஒரு தன்னிச்சையான பலகோணம்.

ஆதாரம்:

பலகோணம் ஒரு உச்சியிலிருந்து வரையப்பட்ட மூலைவிட்டங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான முக்கோணங்களாக பிரிக்கப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றிற்கும் தேற்றம் உண்மை. எனவே, அனைத்து முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கும் தேற்றம் உண்மையாக இருக்கும்.

கருத்து: நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றம் எதற்கும் செல்லுபடியாகும் தட்டையான உருவம், ஒரு மூடிய வளைவு மூலம் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது.

பயிற்சிகள்:

1. ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும், அதன் விமானம் ஒரு கோணத்தில் ப்ராஜெக்ஷன் விமானத்திற்குச் சாய்ந்திருக்கும், அதன் ப்ராஜெக்ஷன் ஒரு பக்கத்துடன் வழக்கமான முக்கோணமாக இருந்தால்.

2. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும், அதன் விமானம் 10 செ.மீ பக்கமும் 12 செ.மீ அடிப்பகுதியும் கொண்ட சமபக்க முக்கோணமாக இருந்தால், ஒரு கோணத்தில் ப்ரொஜெக்ஷன் விமானத்திற்குச் சாய்ந்திருக்கும் விமானம்.

3. 9, 10 மற்றும் 17 செமீ பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணமாக இருந்தால், ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

4. ஒரு ட்ரேப்சாய்டின் பகுதியைக் கணக்கிடவும், அதன் விமானம் ஒரு கோணத்தில் ப்ரொஜெக்ஷன் விமானத்திற்குச் சாய்ந்திருக்கும், அதன் ப்ராஜெக்ஷன் ஐசோசெல்ஸ் ட்ரேப்சாய்டாக இருந்தால், அதன் பெரிய அடித்தளம் 44 செ.மீ., பக்கமானது 17 செ.மீ மற்றும் மூலைவிட்டமானது. 39 செ.மீ ஆகும்.

5. ஒரு வழக்கமான அறுகோணத்தின் ப்ராஜெக்ஷன் பகுதியை 8 செமீ பக்கத்துடன் கணக்கிடுங்கள், அதன் விமானம் ஒரு கோணத்தில் ப்ரொஜெக்ஷன் விமானத்திற்குச் சாய்ந்துள்ளது.

6. 12 செ.மீ பக்கமும் கடுமையான கோணமும் கொண்ட ஒரு ரோம்பஸ் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்துடன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த விமானத்தின் மீது ரோம்பஸின் திட்டத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்.

7. 20 செமீ பக்கமும் 32 செமீ மூலைவிட்டமும் கொண்ட ஒரு ரோம்பஸ் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்துடன் ஒரு கோணத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த விமானத்தின் மீது ரோம்பஸின் திட்டத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுங்கள்.

8. ஒரு கிடைமட்ட விமானத்தின் மீது ஒரு விதானத்தின் திட்டமானது பக்கங்கள் மற்றும் ஒரு செவ்வகமாகும். பக்க முகங்கள் ஒரு கோணத்தில் கிடைமட்டத் தளத்திற்குச் சாய்ந்த சம செவ்வகங்களாகவும், விதானத்தின் நடுப் பகுதி திட்டத் தளத்திற்கு இணையான சதுரமாகவும் இருந்தால், விதானத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

11. "விண்வெளியில் கோடுகள் மற்றும் விமானங்கள்" என்ற தலைப்பில் பயிற்சிகள்:

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் 20 செ.மீ., 65 செ.மீ., 75 செ.மீ., முக்கோணத்தின் பெரிய கோணத்தின் உச்சியில் இருந்து, 60 செ.மீ.க்கு சமமான செங்குத்தாக அதன் விமானத்தின் முனைகளிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டறியவும் முக்கோணத்தின் பெரிய பக்கம்.

2. விமானத்தில் இருந்து செ.மீ தொலைவில் அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளியில் இருந்து, இரண்டு சாய்ந்தவை வரையப்பட்டு, சமமான விமானத்துடன் கோணங்களை உருவாக்குகின்றன, மேலும் அவற்றுக்கிடையே ஒரு வலது கோணம். சாய்ந்த விமானங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

3. ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் பக்கம் 12 செ.மீ. புள்ளி M தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, இதனால் முக்கோணத்தின் அனைத்து முனைகளுடன் இணைக்கும் பகுதிகள் அதன் விமானத்துடன் கோணங்களை உருவாக்குகின்றன. புள்ளி M இலிருந்து முக்கோணத்தின் செங்குத்துகள் மற்றும் பக்கங்களுக்கு உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

4. சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்திற்கு ஒரு கோணத்தில் சதுரத்தின் பக்கத்தின் வழியாக ஒரு விமானம் வரையப்படுகிறது. சதுரத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் விமானத்தில் சாய்ந்திருக்கும் கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

5. ஐசோசெல்ஸ் கால் வலது முக்கோணம்ஒரு கோணத்தில் ஹைப்போடென்யூஸ் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் மீது சாய்ந்துள்ளது. விமானம் a மற்றும் முக்கோணத்தின் விமானம் இடையே உள்ள கோணம் சமம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

6. ஏபிசி மற்றும் டிபிசி முக்கோணங்களின் விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள இருமுனை கோணம் சமம். AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm என்றால் AD ஐக் கண்டறியவும்.

"விண்வெளியில் கோடுகள் மற்றும் விமானங்கள்" என்ற தலைப்பில் கேள்விகளை சோதிக்கவும்

1. ஸ்டீரியோமெட்ரியின் அடிப்படைக் கருத்துகளைப் பட்டியலிடுங்கள். ஸ்டீரியோமெட்ரியின் கோட்பாடுகளை உருவாக்கவும்.

2. கோட்பாடுகளிலிருந்து விளைவுகளை நிரூபிக்கவும்.

3. அது எப்படி இருக்கிறது? உறவினர் நிலைவிண்வெளியில் இரண்டு கோடுகள்? வெட்டும், இணையான மற்றும் வளைந்த கோடுகளின் வரையறைகளை வழங்கவும்.

4. வளைந்த கோடுகளின் அடையாளத்தை நிரூபிக்கவும்.

5. கோடு மற்றும் விமானத்தின் ஒப்பீட்டு நிலை என்ன? வெட்டும், இணையான கோடுகள் மற்றும் விமானங்களின் வரையறைகளை கொடுங்கள்.

6. ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானம் இடையே இணையான அடையாளம் நிரூபிக்கவும்.

7. இரண்டு விமானங்களின் ஒப்பீட்டு நிலை என்ன?

8. இணை விமானங்களை வரையறுக்கவும். இரண்டு விமானங்கள் இணையாக இருப்பதற்கான அடையாளத்தை நிரூபிக்கவும். இணை விமானங்கள் பற்றிய மாநில கோட்பாடுகள்.

9. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை வரையறுக்கவும்.

10. ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் செங்குத்து அடையாளத்தை நிரூபிக்கவும்.

11. ஒரு செங்குத்தாக அடித்தளம், ஒரு சாய்ந்த அடிப்படை, ஒரு விமானம் மீது சாய்ந்த திட்டம். ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு விமானத்தில் கைவிடப்பட்ட செங்குத்தாக மற்றும் சாய்ந்த கோடுகளின் பண்புகளை உருவாக்கவும்.

12. ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தை வரையறுக்கவும்.

13. மூன்று செங்குத்துகள் பற்றிய தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும்.

14. டைஹெட்ரல் கோணம், இருமுனைக் கோணத்தின் நேரியல் கோணம் ஆகியவற்றின் வரையறைகளை வழங்கவும்.

15. இரண்டு விமானங்களின் செங்குத்து அடையாளத்தை நிரூபிக்கவும்.

16. இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை வரையறுக்கவும்.

17. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தை வரையறுக்கவும்.

18. ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தை வரையறுக்கவும்.

19. ஒரு நேர் கோட்டிற்கும் அதற்கு இணையான விமானத்திற்கும் இடையிலான தூரத்தை வரையறுக்கவும்.

20. இணை விமானங்களுக்கு இடையிலான தூரத்தை வரையறுக்கவும்.

21. வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை வரையறுக்கவும்.

22. ஒரு புள்ளியின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனை ஒரு விமானத்தின் மீது வரையறுக்கவும்.

23. ஒரு விமானத்தின் மீது ஒரு உருவத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனை வரையறுக்கவும்.

24. ஒரு விமானத்தில் கணிப்புகளின் பண்புகளை உருவாக்கவும்.

25. பலகோணத்தின் திட்டப் பகுதியில் ஒரு தேற்றத்தை உருவாக்கி நிரூபிக்கவும்.

வடிவியல் சிக்கல்களில், வெற்றி கோட்பாட்டின் அறிவை மட்டுமல்ல, உயர்தர வரைபடத்தையும் சார்ந்துள்ளது.
தட்டையான வரைபடங்களுடன் எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளது. ஆனால் ஸ்டீரியோமெட்ரியில் நிலைமை மிகவும் சிக்கலானது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சித்தரிக்க வேண்டியது அவசியம் முப்பரிமாணஉடல் மீது தட்டையானதுவரைதல், மேலும் நீங்களும் உங்கள் வரைபடத்தைப் பார்க்கும் நபரும் ஒரே அளவான உடலைப் பார்ப்பீர்கள்.

இதை எப்படி செய்வது?
நிச்சயமாக, ஒரு விமானத்தில் ஒரு வால்யூமெட்ரிக் உடலின் எந்தப் படமும் நிபந்தனைக்குட்பட்டதாக இருக்கும். இருப்பினும், ஒரு குறிப்பிட்ட விதிகள் உள்ளன. வரைபடங்களை உருவாக்க பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட வழி உள்ளது - இணை கணிப்பு.

ஒரு வால்யூமெட்ரிக் உடலை எடுத்துக்கொள்வோம்.
தேர்வு செய்யலாம் திட்ட விமானம்.
வால்யூமெட்ரிக் உடலின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் நாம் ஒருவருக்கொருவர் இணையாக நேர் கோடுகளை வரைகிறோம் மற்றும் எந்த கோணத்திலும் திட்ட விமானத்தை வெட்டுகிறோம். இந்த கோடுகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு கட்டத்தில் திட்ட விமானத்தை வெட்டுகின்றன. மற்றும் அனைத்து ஒன்றாக இந்த புள்ளிகள் உருவாகின்றன கணிப்புஒரு விமானத்தில் ஒரு கனமான உடல், அதாவது அதன் தட்டையான படம்.

வால்யூமெட்ரிக் உடல்களின் கணிப்புகளை எவ்வாறு உருவாக்குவது?
உங்களிடம் ஒரு வால்யூமெட்ரிக் உடலின் ஒரு சட்டகம் இருப்பதாக கற்பனை செய்து பாருங்கள் - ஒரு ப்ரிஸம், பிரமிட் அல்லது சிலிண்டர். ஒளியின் இணையான கற்றை மூலம் அதை ஒளிரச் செய்வதன் மூலம், நாம் ஒரு படத்தைப் பெறுகிறோம் - சுவரில் அல்லது திரையில் ஒரு நிழல். வெவ்வேறு கோணங்கள் வெவ்வேறு படங்களை உருவாக்குகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், ஆனால் சில வடிவங்கள் இன்னும் உள்ளன:

ஒரு பிரிவின் கணிப்பு ஒரு பிரிவாக இருக்கும்.

நிச்சயமாக, பிரிவு திட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால், அது ஒரு கட்டத்தில் காட்டப்படும்.

ஒரு வட்டத்தின் முன்கணிப்பு பொது வழக்குநீள்வட்டமாக மாறிவிடும்.

ஒரு செவ்வகத்தின் கணிப்பு ஒரு இணையான வரைபடம் ஆகும்.

ஒரு கனசதுரத்தை விமானத்தின் மீது செலுத்துவது இப்படித்தான் இருக்கும்:

இங்கே முன் மற்றும் பின் முகங்கள் திட்ட விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளன

நீங்கள் அதை வித்தியாசமாக செய்யலாம்:

நாம் எந்த கோணத்தை தேர்வு செய்தாலும், வரைபடத்தில் இணையான பிரிவுகளின் கணிப்புகளும் இணையான பிரிவுகளாக இருக்கும். இது இணை திட்டக் கொள்கைகளில் ஒன்றாகும்.

பிரமிட்டின் கணிப்புகளை வரைதல்,

உருளை:

இணை ப்ரொஜெக்ஷனின் அடிப்படைக் கொள்கையை மீண்டும் ஒருமுறை மீண்டும் கூறுவோம். நாங்கள் ஒரு திட்ட விமானத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து, வால்யூமெட்ரிக் உடலின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் இணையான கோடுகளை வரைகிறோம். இந்த கோடுகள் எந்த கோணத்திலும் ப்ராஜெக்ஷன் விமானத்தை வெட்டுகின்றன. இந்த கோணம் 90° என்றால், நாம் பேசுகிறோம் செவ்வகத் திட்டம். செவ்வகத் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, தொழில்நுட்பத்தில் அளவீட்டு பகுதிகளின் வரைபடங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன. இந்த விஷயத்தில் நாம் மேல் பார்வை, முன் பார்வை மற்றும் பக்க பார்வை பற்றி பேசுகிறோம்.

பலகோண ஆர்த்தோகனல் ப்ராஜெக்ஷன் தேற்றத்தின் விரிவான ஆதாரம்

ஒரு பிளாட்டின் ப்ரொஜெக்ஷன் என்றால் n -கோன் ஒரு விமானம், பின்னர் பலகோணங்களின் விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மற்றும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு விமான பலகோணத்தின் திட்டப் பகுதியானது, திட்டமிடப்பட்ட பலகோணத்தின் பரப்பளவு மற்றும் ப்ரொஜெக்ஷன் விமானத்திற்கும் திட்டமிடப்பட்ட பலகோணத்தின் விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கும் சமம்.

ஆதாரம். ஐ மேடை. ஒரு முக்கோணத்திற்கான ஆதாரத்தை முதலில் செயல்படுத்துவோம். 5 வழக்குகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1 வழக்கு. திட்ட விமானத்தில் பொய் .

முறையே விமானத்தின் மீது புள்ளிகளின் கணிப்புகளாக இருக்கட்டும். எங்கள் விஷயத்தில். என்று வைத்துக் கொள்வோம். உயரமாக இருக்கட்டும், பின்னர் மூன்று செங்குத்துகளின் தேற்றத்தின் மூலம் நாம் முடிவு செய்யலாம் - உயரம் (- சாய்ந்த ப்ராஜெக்ஷன், - அதன் அடிப்படை மற்றும் சாய்ந்த அடிப்பகுதி வழியாக செல்லும் நேர் கோடு, மற்றும்).

கருத்தில் கொள்வோம். இது செவ்வகமானது. கொசைன் வரையறையின்படி:

மறுபுறம், வரையறையின்படி, விமானங்களின் அரை-தளங்கள் மற்றும் எல்லை நேர்கோட்டுடன் உருவாக்கப்பட்ட இருமுனைக் கோணத்தின் நேரியல் கோணம், எனவே, அதன் அளவீடும் இடையேயான கோணத்தின் அளவீடு ஆகும். முக்கோணம் மற்றும் முக்கோணத்தின் திட்ட விமானங்கள், அதாவது.

பகுதியின் விகிதத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

எப்பொழுதும் சூத்திரம் உண்மையாகவே இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இந்த வழக்கில்

வழக்கு 2. ப்ரொஜெக்ஷன் பிளேனில் மட்டுமே உள்ளது மற்றும் ப்ராஜெக்ஷன் பிளேனுக்கு இணையாக உள்ளது .

முறையே விமானத்தின் மீது புள்ளிகளின் கணிப்புகளாக இருக்கட்டும். எங்கள் விஷயத்தில்.

புள்ளியின் வழியாக ஒரு நேர்க்கோட்டை வரைவோம். எங்கள் விஷயத்தில், நேர்கோடு ப்ராஜெக்ஷன் விமானத்தை வெட்டுகிறது, அதாவது, லெம்மாவால், நேர்கோடு திட்ட விமானத்தையும் வெட்டுகிறது. புள்ளியில் இருக்கட்டும், பின்னர் புள்ளிகள் ஒரே விமானத்தில் உள்ளன, மேலும் அது ப்ராஜெக்ஷன் விமானத்திற்கு இணையாக இருப்பதால், கோட்டின் இணையான அடையாளத்தின் விளைவாக அது பின்பற்றும் விமானம். எனவே, இது ஒரு இணையான வரைபடம். மற்றும் கருத்தில் கொள்வோம். அவை மூன்று பக்கங்களிலும் சமமாக இருக்கும் (பொதுவான பக்கம் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் எதிர் பக்கங்களைப் போன்றது). ஒரு நாற்கரமானது ஒரு செவ்வகம் மற்றும் சமமானது (கால் மற்றும் ஹைப்போடென்ஸுடன்), எனவே, மூன்று பக்கங்களிலும் சமமாக இருக்கும். அதனால் தான்.

பொருந்தக்கூடிய வழக்கு 1: , அதாவது.

வழக்கு 3. ப்ரொஜெக்ஷன் பிளேனில் மட்டுமே உள்ளது மற்றும் ப்ரொஜெக்ஷன் பிளேனுக்கு இணையாக இல்லை .

ப்ரொஜெக்ஷன் விமானத்துடன் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கட்டும். மற்றும் கவனிக்கவும். 1 வழக்கில்: i. இதனால் நாம் அதைப் பெறுகிறோம்

வழக்கு 4 செங்குத்துகள் திட்ட விமானத்தில் பொய் இல்லை . செங்குத்தாகப் பார்ப்போம். இந்த செங்குத்துகளில் மிகச் சிறியதை எடுத்துக் கொள்வோம். அது செங்குத்தாக இருக்கட்டும். அது மட்டும் அல்லது மட்டும் என்று மாறிவிடும். பிறகு எப்படியும் எடுத்து விடுவோம்.

ஒரு பிரிவில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு புள்ளியை ஒதுக்குவோம், அதனால், மற்றும் ஒரு பிரிவில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து, ஒரு புள்ளி, அதனால். இது செங்குத்தாக சிறியதாக இருப்பதால் இந்த கட்டுமானம் சாத்தியமாகும். இது கட்டுமானத்தின் மூலம் ஒரு திட்டமாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. அதை நிரூபித்து சமமாக இருப்போம்.

ஒரு நாற்கரத்தைக் கவனியுங்கள். நிபந்தனையின் படி - ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக, எனவே, தேற்றத்தின் படி, எனவே. கட்டுமானத்தின் மூலம், ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பண்புகளின் அடிப்படையில் (இணை மற்றும் சமமான எதிர் பக்கங்களால்), இது ஒரு இணையான வரைபடம் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். பொருள், . இதேபோல், அது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, . எனவே, மற்றும் மூன்று பக்கங்களிலும் சமமாக இருக்கும். அதனால் தான். எனவே, இணையான வரைபடங்களின் எதிர் பக்கங்களாக, விமானங்களின் இணையான தன்மையின் அடிப்படையில், . இந்த விமானங்கள் இணையாக இருப்பதால், அவை திட்ட விமானத்துடன் ஒரே கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

முந்தைய வழக்குகள் பொருந்தும்:

வழக்கு 5. திட்ட விமானம் பக்கங்களை வெட்டுகிறது . நேர்கோடுகளைப் பார்ப்போம். அவை திட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளன, எனவே தேற்றத்தால் அவை இணையாக இருக்கும். புள்ளிகளில் தோற்றம் கொண்ட இணைதிசைக் கதிர்களில், நாம் முறையே சமமான பகுதிகளைத் திட்டமிடுவோம், இதனால் முனைகள் திட்டத் தளத்திற்கு வெளியே இருக்கும். இது கட்டுமானத்தின் மூலம் ஒரு திட்டமாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. சமம் என்று காட்டுவோம்.

இருந்து மற்றும், கட்டுமான மூலம், பின்னர். எனவே, இணையான அளவுகோலின் படி (இரண்டு சமம் மற்றும் இணையான பக்கங்கள்), ஒரு இணையான வரைபடம். இது இணையான வரைபடங்கள் என்று அதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. ஆனால் பின்னர், மற்றும் (எதிர் பக்கங்களாக), எனவே மூன்று பக்கங்களிலும் சமமாக இருக்கும். பொருள், .

கூடுதலாக, எனவே, விமானங்களின் இணையான தன்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த விமானங்கள் இணையாக இருப்பதால், அவை திட்ட விமானத்துடன் ஒரே கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

பொருந்தக்கூடிய வழக்கு 4:.

II மேடை. உச்சியிலிருந்து வரையப்பட்ட மூலைவிட்டங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு தட்டையான பலகோணத்தை முக்கோணங்களாகப் பிரிப்போம்: பின்னர், முக்கோணங்களுக்கான முந்தைய நிகழ்வுகளின்படி: .

கே.இ.டி.

ஜியோமெட்ரி
10 ஆம் வகுப்புக்கான பாடத் திட்டங்கள்

பாடம் 56

பொருள். பலகோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பகுதி

பாடத்தின் நோக்கம்: பலகோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பகுதியில் உள்ள தேற்றத்தைப் படிப்பது, சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் கற்றறிந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதில் மாணவர்களின் திறன்களை வளர்ப்பது.

உபகரணங்கள்: ஸ்டீரியோமெட்ரிக் தொகுப்பு, கனசதுர மாதிரி.

பாடம் முன்னேற்றம்

I. வீட்டுப்பாடத்தை சரிபார்க்கிறது

1. இரண்டு மாணவர்கள் பலகையில் எண் 42, 45 இல் உள்ள சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளை மீண்டும் உருவாக்குகின்றனர்.

2. முன்னணி கேள்வி.

1) வெட்டும் இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணத்தை வரையறுக்கவும்.

2) இடையே உள்ள கோணம் என்ன:

a) இணை விமானங்கள்;

b) செங்குத்தாக விமானங்கள்?

3) இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணம் எந்த எல்லைக்குள் மாறலாம்?

4) இணை விமானங்களை வெட்டும் விமானம் அதே கோணங்களில் அவற்றை வெட்டுவது உண்மையா?

5) செங்குத்துத் தளங்களை வெட்டும் ஒரு விமானம் சம கோணங்களில் அவற்றை வெட்டுவது உண்மையா?

3. பலகையில் மாணவர்கள் மறுஉருவாக்கிய எண். 42, 45 ஆகிய பிரச்சனைகளுக்கான தீர்வின் சரியான தன்மையை சரிபார்த்தல்.

II. புதிய பொருள் பற்றிய கருத்து மற்றும் விழிப்புணர்வு

மாணவர்களுக்கான பணி

1. ஒரு முக்கோணத்தின் ப்ராஜெக்ஷன் பகுதி, அதன் ஒரு பக்கம் ப்ராஜெக்ஷன் விமானத்தில் உள்ளது, அதன் பரப்பளவு மற்றும் பலகோணத்தின் விமானம் மற்றும் திட்டத் தளத்திற்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கு சமம் என்பதை நிரூபிக்கவும்.

2. ஒரு லட்டு முக்கோணமானது, அதில் ஒரு பக்கம் ப்ராஜெக்ஷன் பிளேனுக்கு இணையாக இருக்கும் போது, ​​வழக்குக்கான தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும்.

3. ஒரு லட்டு முக்கோணம், எந்தப் பக்கமும் ப்ராஜெக்ஷன் ப்ளேனுக்கு இணையாக இல்லாத ஒன்றாக இருக்கும் போது வழக்குக்கான தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும்.

4. எந்த பலகோணத்திற்கும் தேற்றத்தை நிரூபிக்கவும்.

சிக்கல் தீர்க்கும்

1. பலகோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும், அதன் பரப்பளவு 50 செ.மீ2, மற்றும் பலகோணத்தின் விமானத்திற்கும் அதன் திட்டத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம் 60° ஆகும்.

2. இந்த பலகோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பரப்பளவு 50 செ.மீ.2 ஆகவும், பலகோணத்தின் விமானத்திற்கும் அதன் திட்டத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம் 45° ஆகவும் இருந்தால் பலகோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

3. பலகோணத்தின் பரப்பளவு 64 செ.மீ., மற்றும் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பரப்பளவு 32 செ.மீ. பலகோணத்தின் விமானங்களுக்கும் அதன் திட்டத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

4. அல்லது பலகோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பரப்பளவு இந்த பலகோணத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்குமா?

5. கனசதுரத்தின் விளிம்பு a க்கு சமம். கனசதுரத்தின் குறுக்குவெட்டு பகுதியை ஒரு விமானம் அடித்தளத்தின் மேற்புறம் வழியாக 30° கோணத்தில் இந்த தளத்திற்குச் சென்று அனைத்து பக்க விளிம்புகளையும் வெட்டுகிறது. (பதில்.)

6. பாடப்புத்தகத்திலிருந்து (பக்கம் 58) சிக்கல் எண் 48 (1, 3).

7. பிரச்சனை எண். 49 (2) பாடப்புத்தகத்திலிருந்து (பக்கம் 58).

8. செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் 20 மற்றும் 25 செ.மீ. திட்டத்தின் சுற்றளவைக் கண்டறியவும். (பதில்: 72 செமீ அல்லது 90 செ.மீ.)

III. வீட்டுப்பாடம்

§4, பத்தி 34; பாதுகாப்பு கேள்விஎண் 17; சிக்கல்கள் எண். 48 (2), 49 (1) (பக்கம் 58).

IV. பாடத்தை சுருக்கவும்

வகுப்பிற்கான கேள்வி

1) பலகோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பரப்பளவில் ஒரு தேற்றத்தைக் குறிப்பிடவும்.

2) பலகோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பரப்பளவு பலகோணத்தின் பரப்பளவை விட அதிகமாக இருக்க முடியுமா?

3) வலது முக்கோண ABC இன் ஹைப்போடென்யூஸ் AB மூலம், ஒரு விமானம் α முக்கோணத்தின் விமானத்திற்கு 45° கோணத்திலும், α விமானத்திற்கு செங்குத்தாக CO லும் வரையப்படுகிறது. AC = 3 cm, BC = 4 cm பின்வரும் அறிக்கைகளில் எது சரியானது மற்றும் எது தவறானது என்பதைக் குறிக்கவும்:

a) ABC மற்றும் α விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் SMO கோணத்திற்கு சமம், இங்கு புள்ளி H என்பது ABC முக்கோணத்தின் உயரம் CMன் அடிப்பாகம்;

b) CO = 2.4 செ.மீ;

c) முக்கோணம் AOC என்பது ஏபிசியின் முக்கோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷன் ஆகும்.

ஈ) AOB முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 3 செ.மீ.

(பதில்: அ) சரியானது; b) தவறு; c) தவறானது; ஈ) சரி.)