Eşitsizlikler a › b biçimindeki ilişkilerdir; burada a ve b, en az bir değişken içeren ifadelerdir. Eşitsizlikler katı - ‹, › olabilir ve katı olmayan - ≥, ≤ olabilir.
Trigonometrik eşitsizlikler şu formdaki ifadelerdir: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, burada F(x) bir veya daha fazla trigonometrik fonksiyonla temsil edilir .
En basit trigonometrik eşitsizliğe bir örnek: sin x ‹ 1/2. Bu tür problemleri grafiksel olarak çözmek gelenekseldir, bunun için iki yöntem geliştirilmiştir.
Yöntem 1 - Bir fonksiyonun grafiğini çizerek eşitsizlikleri çözme
Sin x ‹ 1/2 eşitsizliği koşullarını karşılayan bir aralık bulmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:
- Koordinat ekseninde bir sinüzoid y = sin x oluşturun.
- Aynı eksende, eşitsizliğin sayısal argümanının bir grafiğini, yani OY ordinatının ½ noktasından geçen düz bir çizgiyi çizin.
- İki grafiğin kesişme noktalarını işaretleyin.
- Örneğin çözümü olan segmenti gölgeleyin.
Bir ifadede katı işaretler mevcut olduğunda kesişim noktaları çözüm değildir. Bir sinüzoidin en küçük pozitif periyodu 2π olduğundan cevabı şu şekilde yazıyoruz:
İfadenin işaretleri kesin değilse, çözüm aralığı köşeli parantez - içine alınmalıdır. Sorunun cevabı aşağıdaki eşitsizlik olarak da yazılabilir: 
Yöntem 2 - Birim çemberi kullanarak trigonometrik eşitsizlikleri çözme
Benzer problemler trigonometrik çember kullanılarak kolayca çözülebilir. Cevap bulma algoritması çok basittir:
- Öncelikle birim çember çizmeniz gerekiyor.
- Daha sonra dairenin yayındaki eşitsizliğin sağ tarafının argümanının yay fonksiyonunun değerini not etmeniz gerekir.
- Yay fonksiyonunun değerinden apsis eksenine (OX) paralel geçen düz bir çizgi çizmek gerekir.
- Bundan sonra geriye kalan tek şey trigonometrik eşitsizliğin çözüm kümesi olan daire yayının seçilmesidir.
- Cevabı gerekli forma yazın.
Sin x › 1/2 eşitsizliği örneğini kullanarak çözümün aşamalarını analiz edelim. Daire üzerinde α ve β noktaları işaretlenmiştir - değerler
Yayın α ve β'nın üzerinde bulunan noktaları, verilen eşitsizliği çözme aralığıdır.
Cos için bir örnek çözmeniz gerekiyorsa, cevap yayı OY'ye değil OX eksenine simetrik olarak yerleştirilecektir. Sin ve cos için çözüm aralıkları arasındaki farkı metinde aşağıdaki diyagramlarda düşünebilirsiniz.
Teğet ve kotanjant eşitsizliklerin grafik çözümleri hem sinüs hem de kosinüs çözümlerinden farklı olacaktır. Bu, fonksiyonların özelliklerinden kaynaklanmaktadır.
Arktanjant ve arkkotanjant trigonometrik daireye teğettir ve her iki fonksiyon için minimum pozitif periyot π'dir. İkinci yöntemi hızlı ve doğru bir şekilde kullanmak için sin, cos, tg ve ctg değerlerinin hangi eksende çizildiğini hatırlamanız gerekir.
Teğet teğet OY eksenine paralel uzanır. Arctan a'nın değerini birim çember üzerine çizersek, gerekli ikinci nokta köşegen çeyrekte yer alacaktır. Açılar
Bunlar fonksiyon için kırılma noktalarıdır, çünkü grafik onlara yönelir ancak asla onlara ulaşmaz.
Kotanjant durumunda, teğet OX eksenine paralel uzanır ve fonksiyon π ve 2π noktalarında kesintiye uğrar.
Karmaşık trigonometrik eşitsizlikler
Eşitsizlik fonksiyonunun argümanı sadece bir değişkenle değil, bilinmeyeni içeren bir ifadenin tamamıyla temsil ediliyorsa, o zaman zaten bahsediyoruz demektir. karmaşık eşitsizlik. Bunu çözme süreci ve prosedürü yukarıda açıklanan yöntemlerden biraz farklıdır. Aşağıdaki eşitsizliğe bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım:
Grafiksel çözüm, keyfi olarak seçilen x değerlerini kullanarak sıradan bir sinüzoid y = sin x oluşturmayı içerir. Grafiğin kontrol noktalarının koordinatlarını içeren bir tablo hesaplayalım:
Sonuç güzel bir eğri olmalıdır.
Çözüm bulmayı kolaylaştırmak için karmaşık fonksiyon argümanını değiştirelim
Birim çemberi kullanarak trigonometrik eşitsizlikleri çözme
Trigonometrik fonksiyonlardan biri olan formun trigonometrik eşitsizliklerini çözerken, eşitsizliğin çözümlerini en açık şekilde temsil etmek ve cevabı yazmak için trigonometrik daireyi kullanmak uygundur. Trigonometrik eşitsizlikleri çözmenin ana yöntemi, onları en basit türdeki eşitsizliklere indirgemektir. Bu tür eşitsizliklerin nasıl çözüleceğine dair bir örneğe bakalım.
Örnek Eşitsizliği çözün.
Çözüm. Trigonometrik bir daire çizelim ve üzerine koordinatın üstün olduğu noktaları işaretleyelim.
Bu eşitsizliği çözmek için orada olacağız. Ayrıca, belirli bir sayının herhangi bir sayıdan belirtilen aralıktan farklı olması durumunda, o zaman da daha az olmayacağı açıktır. Bu nedenle, bulunan segmentin uçlarına çözümler eklemeniz yeterlidir. Son olarak, orijinal eşitsizliğin tüm çözümlerinin öyle olacağını buluyoruz.
Teğet ve kotanjantlarla eşitsizlikleri çözmek için teğet ve kotanjantlardan oluşan bir çizgi kavramı faydalıdır. Bunlar düz çizgilerdir ve sırasıyla (Şekil (1) ve (2)'de) trigonometrik daireye teğettir.
Kökeni koordinatların orijininde olacak şekilde, apsis ekseninin pozitif yönü ile açı yapan bir ışın oluşturursak, o zaman bu ışının kesiştiği noktadan bu ışının kesiştiği noktaya kadar olan parçanın uzunluğunun ne olacağını görmek kolaydır. teğet çizgisi, bu ışının apsis ekseniyle yaptığı açının teğetine tam olarak eşittir. Kotanjant için de benzer bir gözlem meydana gelir.
Örnek Eşitsizliği çözün.
Çözüm. Gösterelim, o zaman eşitsizlik en basit şekli alacaktır: . Teğetin en küçük pozitif periyoduna (LPP) eşit uzunlukta bir aralık düşünelim. Bu parça üzerinde teğet çizgisini kullanarak bunu tespit ederiz. Şimdi nükleer santral faaliyete geçtiğinden beri nelerin eklenmesi gerektiğini hatırlayalım. Bu yüzden, . Değişkene dönersek şunu anlıyoruz
Ters trigonometrik fonksiyonların grafiklerini kullanarak ters trigonometrik fonksiyonlarla eşitsizlikleri çözmek uygundur. Bunun nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.
Trigonometrik eşitsizlikleri grafiksel olarak çözme
Şunu unutmayın ki --- periyodik fonksiyon eşitsizliği çözmek için, uzunluğu fonksiyonun periyoduna eşit olan bir parça üzerinde çözümlerini bulmak gerekir. Orijinal eşitsizliğin tüm çözümleri, bulunan değerlerden ve fonksiyonun herhangi bir tam sayıda periyodu tarafından bulunan değerlerden farklı olanlardan oluşacaktır.
Eşitsizliğin () çözümünü düşünelim.
O zamandan beri eşitsizliğin çözümü yok. Eğer öyleyse eşitsizliğin çözüm kümesi --- bir demet tüm gerçek sayılar.
İzin vermek. Sinüs fonksiyonu en küçük pozitif periyoda sahiptir, bu nedenle eşitsizlik ilk önce bir uzunluk bölümünde çözülebilir; Fonksiyonların ve () grafiklerini oluşturuyoruz.
Segmentte sinüs fonksiyonu artar ve denklemin bir kökü vardır. Segmentte sinüs fonksiyonu azalır ve denklemin bir kökü vardır. Sayısal bir aralıkta, bir fonksiyonun grafiği, fonksiyonun grafiğinin üzerinde bulunur. Bu nedenle, aralıktaki herkes için eşitsizlik geçerlidir. Sinüs fonksiyonunun periyodikliği nedeniyle eşitsizliğin tüm çözümleri şu formdaki eşitsizliklerle verilir: .
Teğetsel eşitsizlikleri birim çemberi kullanarak çözeceğiz.
Teğetsel eşitsizlikleri çözmek için algoritma:
- yukarıdaki şekilde gösterilen klişeyi yeniden çizin;
- teğet doğru üzerinde $a$ işaretliyoruz ve orijinden bu noktaya kadar düz bir çizgi çiziyoruz;
- bu çizginin yarım daire ile kesişme noktası, eşitsizlik katı değilse gölgeli olacaktır ve eşitsizlik katı ise gölgeli olmayacaktır;
- alan, eşitsizlik “$>$” işaretini içeriyorsa çizginin altında ve dairenin yukarısında, eşitsizlik “$>$ işaretini içeriyorsa çizginin altında ve dairenin yukarısında yer alacaktır.<$”;
- Kesişme noktasını bulmak için arktanjant $a$'ı bulmak yeterlidir, yani. $x_(1)=(\rm arctg) a$;
- yanıt olarak, ortaya çıkan aralık, uçlara $+ \pi n$ eklenerek yazılır.
Bir algoritma kullanarak eşitsizlikleri çözme örnekleri.
Örnek 1: Eşitsizliği çözün:
$(\rm tg)(x) \leq 1.$
Böylece çözüm şu şekli alacaktır:
$x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$
Önemli! Teğet noktasında $-\frac(\pi)(2)$ ve $\frac(\pi)(2)$ noktaları her zaman (eşitsizlik işaretine bakılmaksızın) oyulmuş!
Örnek 2: Eşitsizliği çözün:
$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$
Teğet doğrusu üzerinde $- \sqrt(3)$ noktasını işaretleyip orijinden ona doğru düz bir çizgi çiziyoruz. Eşitsizlik kesin olduğundan bu doğrunun yarım daire ile kesişme noktası gölgeli olmayacaktır. Eşitsizlik işareti $>$ olduğundan alan düz çizginin üzerinde ve daireye kadar yer alacaktır. kesişim noktasını bulalım:
$x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3).$
$t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right).$
Orijinal değişkene dönelim:
$\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\doğru).$
İkincisi eşitsizlik sistemine eşdeğerdir
$\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (3)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$
çözdükten sonra hangisinin cevabını alacağız. Gerçekten mi,
$\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$
$\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $
Ve sonunda şunu elde ediyoruz:
$x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\right), \n \in Z.$
Trigonometrik fonksiyonlar içeren eşitsizlikler çözülürken bunlar cos(t)>a, sint(t)=a ve benzeri formdaki en basit eşitsizliklere indirgenir. Ve zaten en basit eşitsizlikler çözüldü. Basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmenin çeşitli yol örneklerine bakalım.
örnek 1. Sin(t) > = -1/2 eşitsizliğini çözün.
Bir birim çember çizin. Sin(t) tanımı gereği y koordinatı olduğundan, Oy ekseninde y = -1/2 noktasını işaretliyoruz. Üzerinden Ox eksenine paralel düz bir çizgi çiziyoruz. Düz çizginin birim çember grafiğiyle kesiştiği noktada Pt1 ve Pt2 noktalarını işaretleyin. Koordinatların kökenini Pt1 ve Pt2 noktalarına iki parça ile bağlarız.
Bu eşitsizliğin çözümü birim çemberin bu noktaların üzerinde yer alan tüm noktaları olacaktır. Başka bir deyişle çözüm l yayı olacaktır.Şimdi keyfi bir noktanın l yayına ait olacağı koşulları belirtmek gerekir.
Pt1 sağ yarım dairede yer alır, ordinatı -1/2'dir, bu durumda t1=arcsin(-1/2) = - pi/6 olur. Pt1 noktasını tanımlamak için aşağıdaki formülü yazabilirsiniz:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Sonuç olarak t için aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz:
Eşitsizlikleri koruyoruz. Sinüs fonksiyonu periyodik olduğundan çözümlerin her 2*pi'de bir tekrarlanacağı anlamına gelir. Bu koşulu t için elde edilen eşitsizliğe ekliyoruz ve cevabı yazıyoruz.
Cevap: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Örnek 2. Cos(t) eşitsizliğini çözme<1/2.
Birim çember çizelim. Tanıma göre cos(t) x koordinatı olduğundan Ox eksenindeki grafikte x = 1/2 noktasını işaretliyoruz.
Bu noktadan Oy eksenine paralel düz bir çizgi çiziyoruz. Düz çizginin birim çember grafiğiyle kesiştiği noktada Pt1 ve Pt2 noktalarını işaretleyin. Koordinatların kökenini Pt1 ve Pt2 noktalarına iki parça ile bağlarız.
Çözümler birim çemberin l yayına ait tüm noktaları olacaktır. t1 ve t2 noktalarını bulalım.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
t için eşitsizliği bulduk: pi/3 Kosinüs periyodik bir fonksiyon olduğundan çözümler her 2*pi'de bir tekrarlanacaktır. Bu koşulu t için elde edilen eşitsizliğe ekliyoruz ve cevabı yazıyoruz. Cevap: pi/3+2*pi*n Örnek 3. tg(t) eşitsizliğini çözün< = 1. Teğet periyodu pi'ye eşittir. Sağ yarım dairenin (-pi/2;pi/2) aralığına ait çözümler bulalım. Daha sonra teğetin periyodikliğini kullanarak bu eşitsizliğin tüm çözümlerini yazıyoruz. Bir birim çember çizelim ve üzerine teğetlerden oluşan bir çizgi çizelim. Eğer t eşitsizliğin bir çözümü ise, o zaman T = tg(t) noktasının ordinatı 1'den küçük veya 1'e eşit olmalıdır. Bu tür noktaların kümesi AT ışınını oluşturacaktır. Bu ışının noktalarına karşılık gelecek Pt noktaları kümesi l yayındır. Üstelik P(-pi/2) noktası bu yaya ait değil.
