де λ – це інтенсивність надходження заявок до СМО.

приклад.

Обчислити показники обслуговування для одноканальної СМО, яку заявки надходять з інтенсивністю λ=1,2 заявки на годину, час обслуговування t обс =2,5 години. Обчислюємо показники обслуговування для одноканальної СМО:

Інтенсивність навантаження.

ρ = λ t обс = 1,2 2,5 = 3

Інтенсивність навантаження ρ=3 показує ступінь узгодженості вхідного та вихідного потоків заявок каналу обслуговування та визначає стійкість системи масового обслуговування.

t пр = 15 хв.

Частка заявок, які отримали відмову. p 1 = 1 - p 0 = 1 - 0.25 = 0.75

Отже, 75% з числа заявок, що надійшли, не приймаються до обслуговування.

Частка заявок, що обслуговуються, що надходять в одиницю часу:

Абсолютна пропускна спроможність.

A = Q λ = 0.25 1.2 = 0.3 заявок/хв.

Середній час простою СМО.

t пр = p отк t обс = 0.75 2.5 = 1.88 хв.

Середня кількість заявок, що обслуговуються..

L обс = ρ Q = 3 0.25 = 0.75 од.

Число заявок, які отримали відмову протягом хв: p 1 = 0.9 заявок у хв. Номінальна продуктивність СМО: 1/2.5 = 0.4 заявок за хв. Фактична продуктивність СМО: 0.3/0.4 = 75% від номінальної продуктивності.

Абсолютна пропускна здатність смо. Приклад рішення

На станцію технічного обслуговуваннянадходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю 1 автомобіль за 2 год. У дворі у черзі може бути трохи більше 3 машин. Середній час ремонту – 2 години. Дайте оцінку роботи СМО та розробіть рекомендації щодо покращення обслуговування.

Рішення:Визначаємо тип СМО. Фраза «На станцію» свідчить про єдиному пристрої обслуговування, тобто. для вирішення використовуємо формули для одноканальної СМО.Визначаємо вид одноканальної СМО. Оскільки є згадка про чергу, отже вибираємо «Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги». Параметр λ необхідно виразити у годиннику. Інтенсивність заявок 1 автомобіль за 2 години або 0,5 за 1 годину.

Інтенсивність потоку обслуговування μ не задана. Тут наводиться час обслуговування t об = 2 години.

Обчислюємо показники обслуговування для одноканальної СМО:

Інтенсивність потоку обслуговування:

Інтенсивність навантаження.

ρ = λ t обс = 0.5 2 = 1

Інтенсивність навантаження ρ=1 показує ступінь узгодженості вхідного та вихідного потоків заявок каналу обслуговування та визначає стійкість системи масового обслуговування.

Заявки не одержують відмову. Обслуговуються всі заявки, що надійшли, p отк = 0.

Відносна пропускна спроможність.

Частка обслуговуваних заявок, що надходять в одиницю часу: Q = 1 - p отк = 1 - 0 = 1

Отже, 100% з числа заявок, що надійшли, будуть обслужені. Прийнятний рівень обслуговування має бути вищим за 90%.

Число заявок, які отримали відмову протягом години: p 1 = 0 заявок на годину. Номінальна продуктивність СМО: 1/2 = 0.5 заявок на годину. Фактична продуктивність СМО: 0.5/0.5 = 100% від номінальної продуктивності.

Висновок: станція завантажена на 100%. При цьому відмов немає.

СМО з відмовами (одно - та багатоканальна)

Найпростішою одноканальною моделлю з імовірнісним вхідним потоком та процедурою обслуговування є модель, яка «може характеризуватись показовим розподілом тривалостей інтервалів між надходженнями заявок та розподілом тривалостей обслуговування». При цьому щільність розподілу тривалостей інтервалів між надходженнями вимог має вигляд:

f 1 (t) = л * e (-л * t) , (1)

де л - інтенсивність надходження заявок у систему (середня кількість заявок, які у систему за одиницю часу). Щільність розподілу тривалості обслуговування:

f 2 (t)=µ*e -µ*t , µ=1/t про, (2)

де µ-інтенсивність обслуговування, t про середній час обслуговування одного клієнта. Відносна пропускна спроможність обслужених заявок щодо всіх вступників обчислюється за такою формулою:

Ця величина дорівнює ймовірності, що канал обслуговування є вільним. Абсолютна пропускна спроможність (А) - середня кількість заявок, яку може обслужити система масового обслуговування в одиницю часу:

Ця величина Р може бути інтерпретована як середня частка необслужених заявок.

приклад. Нехай одноканальна СМО з відмовами є одним постом щоденного обслуговування для миття автомобілів. Заявка - автомобіль, що прибув у момент, коли пост зайнятий - отримує відмову в обслуговуванні. Інтенсивність потоку автомобілів л = 1,0 (автомобіль за годину). Середня тривалість обслуговування t =1,8 години. Потрібно визначити в режимі, що встановився, граничні значення: відносної пропускної здатності q;

• - Абсолютна пропускна здатність А;
• - Імовірності відмови Р.

Визначимо інтенсивність потоку обслуговування за формулою 2: .Обчислимо відносну пропускну здатність: q =.Величина q означає, що в режимі, що встановилася, система буде обслуговувати приблизно 35% автомобілів, що прибувають на пост. Абсолютну пропускну здатність визначимо за формулою: А = лЧq = 1Ч0,356 = 0,356. Це говорить про те, що система здатна здійснити в середньому 0,356 обслуговування автомобілів за годину. Імовірність відмови: Р отк = 1-q = 1-0,356 = 0,644. Це означає, що близько 65% автомобілів, що прибули на посаду ЕО, отримають відмову в обслуговуванні. Визначимо номінальну пропускну спроможність цієї системи А ном: А ном = (автомобілів на годину).

Однак у переважній більшості випадків система масового обслуговування багатоканальна, тобто паралельно може обслуговуватися кілька заявок. Процес СМО, описуваний даною моделлю, характеризується інтенсивністю вхідного потоку л, у своїй паралельно може обслуговуватися трохи більше n клієнтів. Середня тривалість обслуговування однієї заявки дорівнює 1/м. «Режим функціонування обслуговуючого каналу не впливає на режим функціонування інших обслуговуючих каналів системи, причому тривалість процедури обслуговування кожним каналом є випадковою величиною, підпорядкованою експоненційному закону розподілу. Кінцевою метою використання паралельно включених обслуговуючих каналів є підвищення швидкості обслуговування заявок за рахунок обслуговування одночасно n клієнтів.» Рішення такої системи має вигляд:

Формули обчислення ймовірностей називаються формулами Ерланга. Визначимо ймовірнісні характеристики функціонування багатоканальної СМО з відмовами у стаціонарному режимі. Ймовірність відмови P відкрита:

P отк = P n = * P 0 . (7)

Заявка отримує відмову, якщо надходить у момент, коли всі канали зайняті. Розмір Р отк характеризує повноту обслуговування вхідного потоку; ймовірність того, що заявка буде прийнята до обслуговування (вона ж - відносна пропускна здатність системи) доповнює Р відк до одиниці:

Абсолютна пропускна спроможність

Середня кількість каналів, зайнятих обслуговуванням ():

Розмір характеризує ступінь завантаження системи масового обслуговування. приклад. Нехай n-канальна СМО є обчислювальний центр з трьома (n=3) взаємозамінними комп'ютерами для вирішення завдань, що надходять. Потік завдань, що надходять на ПЦ, має інтенсивність л = 1 завдання на годину. Середня тривалість обслуговування t про = 1,8 год.

Потрібно обчислити значення:

• - ймовірність числа зайнятих каналів ВЦ;
• - ймовірність відмови в обслуговуванні заявки;
• - Відносної пропускної здатності ВЦ;
• - Абсолютна пропускна здатність ВЦ;
• - середньої кількості зайнятих ПЕОМ на ПЦ.

Визначимо параметр м потоку обслуговування:

Наведена інтенсивність потоку заявок:

Граничні ймовірності станів знайдемо за формулами Ерланга:

Ймовірність відмови в обслуговуванні заявки:

Відносна пропускна здатність ВЦ:

Абсолютна пропускна здатність ВЦ:

Середня кількість зайнятих каналів - ПЕОМ:

Таким чином, при режимі СМО, що встановився, в середньому буде зайнято 1,5 комп'ютера з трьох - решта півтора простоюватиме. Пропускну здатність ВЦ при даних лім можна збільшити тільки за рахунок збільшення числа ПЕОМ.

Найпростіша одноканальна модель.Такою моделлю з імовірнісним вхідним потоком і процедурою обслуговування є модель, що характеризується показовим розподілом як тривалостей інтервалів між надходженнями вимог, так і тривалостей обслуговування. У цьому щільність розподілу тривалостей інтервалів між надходженнями вимог має вигляд

(1)

де – інтенсивність надходження заявок до системи.

Щільність розподілу тривалостей обслуговування:

, (2)

де – інтенсивність обслуговування.

Потоки заявок та обслуговувань найпростіші.

Нехай система працює з відмовами.Необхідно визначити абсолютну та відносну пропускну здатність системи.

Представимо дану систему масового обслуговування у вигляді графа (рис.1), у якого є два стани:

S 0 -канал вільний (очікування);

S 1- канал зайнятий (йде обслуговування заявки).

Мал. 1.Граф станів одноканальної СМО із відмовами

Позначимо ймовірність станів:

P 0 (t) -ймовірність стану "канал вільний";

Р 1 (t)- ймовірність стану "канал зайнятий".

За розміченим графом станів (рис. 1) складемо систему диференціальних рівняньКолмогорова для ймовірностей станів:

(3)

Система лінійних диференціальних рівнянь (3) має рішення з урахуванням нормувальної умови = 1. Рішення даної системи називається невстановленим, оскільки воно безпосередньо залежить від t і виглядає так:

(4)

(5)

Неважко переконатися, що для одноканальної СМО з відмовами ймовірність Р 0 (t)є не що інше, як відносна пропускна спроможність системи q.

Справді, Р 0- ймовірність того, що в момент t канал вільний і заявка, що прийшла на момент t , буде обслужена, а отже, для даного моментучасу t середнє відношення числа обслужених заявок до тих, що надійшли також одно , тобто.

q = . (6)

Після закінчення великого інтервалу часу () досягається стаціонарний (встановлений) режим:

Знаючи відносну пропускну здатність легко знайти абсолютну. Абсолютна пропускна спроможність (А)- середнє число, яке може обслужити система масового обслуговування за одиницю часу:

Імовірність відмови в обслуговуванні заявки дорівнюватиме ймовірності стану «канал зайнятий»:

Ця величина може бути інтерпретована як середня частка необслуговуваних заявок серед поданих.

приклад 1.Нехай одноканальна СМО з відмовами є одним постом щоденного обслуговування (ЕО) для миття автомобілів. Заявка - автомобіль, який прибув у момент, коли пост зайнятий - отримує відмову в обслуговуванні. Інтенсивність потоку автомобілів = 1,0 (автомобіль за годину). Середня тривалість обслуговування – 1,8 години. Потік автомобілів та потік обслуговування є найпростішими.

Потрібно визначити в режимі, що встановився, граничні значення:

відносної пропускної спроможності q;

абсолютної пропускної спроможності А;

ймовірності відмови.

Порівняйте фактичну пропускну спроможність СМО з номінальною, яка була б, якби кожен автомобіль обслуговувався точно 1,8 години та автомобілі прямували один за одним без перерви.

Рішення

1. Визначимо інтенсивність потоку обслуговування:

2. Обчислимо відносну пропускну здатність:

Величина qозначає, що в режимі, що встановився, система обслуговуватиме приблизно 35% автомобілів, що прибувають на пост ЕО.

3. Абсолютну пропускну здатність визначимо за формулою:

1 0,356 = 0,356.

Це означає, що система (пост ЕО) здатна здійснити в середньому 0,356 обслуговування автомобілів за годину.

3. Імовірність відмови:

Це означає, що близько 65% автомобілів, що прибули на посаду ЕО, отримають відмову в обслуговуванні.

4. Визначимо номінальну пропускну спроможність системи:

(автомобілів за годину).

Виявляється, що у 1,5 разу більше, ніж фактична пропускна спроможність, обчислена з урахуванням випадкового характеру потоку заявок та часу обслуговування.

Одноканальна СМО з очікуванням.Система масового обслуговування має один канал. Вхідний потік заявок на обслуговування - найпростіший потік з інтенсивністю. Інтенсивність потоку обслуговування дорівнює (тобто загалом безперервно зайнятий канал видаватиме обслужених заявок). Тривалість обслуговування - випадкова величина, Підпорядкована показовому закону розподілу. Потік обслуговування є найпростішим пуасонівським потоком подій. Заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає на обслуговування.

Припустимо, що незалежно від того, скільки вимог надходить на вхід обслуговуючої системи, дана система(черга + клієнти, що обслуговуються) не може вмістити більше N-вимог (заявок), тобто клієнти, які не потрапили в очікування, змушені обслуговуватися в іншому місці. Нарешті, джерело, що породжує заявки обслуговування, має необмежену (нескінченно велику) ємність.

Граф станів СМО у разі має вигляд, показаний на рис. 2.

Мал. 2.Граф станів одноканальної СМО з очікуванням

(схема загибелі та розмноження)

Стани СМО мають таку інтерпретацію:

S 0 - канал вільний;

S 1 - канал зайнятий (черги немає);

S 2 - канал зайнятий (одна заявка стоїть у черзі);

……………………

S n -канал зайнятий (n – 1 заявок стоїть у черзі);

…………………...

S N -канал зайнятий (N- 1 заявок стоїть у черзі).

Стаціонарний процес у цій системі описуватиметься наступною системою алгебраїчних рівнянь:

п- Номер стану.

Рішення наведеної вище системи рівнянь (10) для нашої моделі СМО має вигляд

(11)

Слід зазначити, що виконання умови стаціонарності для даної СМО необов'язкове, оскільки кількість заявок, що допускаються в обслуговувальну систему, контролюється шляхом введення обмеження на довжину черги (яка не може перевищувати N- 1), а чи не співвідношенням між інтенсивностями вхідного потоку, т. е. не ставленням

Визначимо характеристики одноканальної СМОз очікуванням та обмеженою довжиною черги, що дорівнює (N- 1):

ймовірність відмови в обслуговуванні заявки:

(13)

відносна пропускна здатність системи:

(14)

абсолютна пропускна спроможність:

А = q 𝝀; (15)

середня кількість заявок, що знаходяться в системі:

(16)

середній час перебування заявки у системі:

середня тривалістьперебування клієнта (заявки) у черзі:

середня кількість заявок (клієнтів) у черзі (довжина черги):

L q= (1 - P N) W q.(19)

Розглянемо приклад одноканальної СМО з очікуванням.

приклад 2.Спеціалізований пост діагностики є одноканальною СМО. Число стоянок для автомобілів, що очікують проведення діагностики, обмежено і дорівнює 3 [ (N- 1) = 3]. Якщо всі стоянки зайняті, тобто в черзі вже три автомобілі, то черговий автомобіль, що прибув на діагностику, в чергу на обслуговування не стає. Потік автомобілів, що прибувають на діагностику, розподілений за законом Пуассона і має інтенсивність = 0,85 (автомобіля на годину). Час діагностики автомобіля розподілено за показовим законом і в середньому дорівнює 1,05 год.

Потрібно визначитиймовірнісні характеристики посту діагностики, що працює в стаціонарному режимі.

Рішення

1. Параметр потоку обслуговування автомобілів:

.

2. Наведена інтенсивність потоку автомобілів окреслюється відношення інтенсивностей 𝝀 і µ, тобто.

3. Обчислимо фінальні можливості системи:

4. Імовірність відмови в обслуговуванні автомобіля:

5. Відносна пропускна здатність посту діагностики:

6. Абсолютна пропускна здатність посту діагностики

А= 𝝀 q= 0,85 0,842 = 0,716 (автомобіля за годину).

7. Середня кількість автомобілів, що знаходяться на обслуговуванні та в черзі (тобто в системі масового обслуговування):

8. Середній час перебування автомобіля у системі:

9. Середня тривалість перебування заявки у черзі на обслуговування:

10. Середня кількість заявок у черзі (довжина черги):

L q= (1 - P N) W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.

Роботу розглянутого поста діагностики можна вважати задовільною, оскільки пост діагностики не обслуговує автомобілі в середньому у 15,8% випадків. (Рвідк = 0,158).

Одноканальна СМО з очікуванням без обмеження на місткість блоку очікування(Тобто). Інші умови функціонування СМО залишаються без змін.

Стаціонарний режим функціонування даної СМО існує при будь-якому n = 0, 1, 2,... і коли 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого п=0,1,2,…, має вигляд

Вирішення даної системи рівнянь має вигляд

Характеристики одноканальної СМО з очікуванням, без обмеження на довжину черги, такі:

середня кількість клієнтів (заявок) на обслуговування, що знаходяться в системі:

(22)

середня тривалість перебування клієнта у системі:

(23)

середня кількість клієнтів у черзі на обслуговуванні:

середня тривалість перебування клієнта у черзі:

приклад 3.Згадаймо про ситуацію, розглянуту у прикладі 2, де йдеться про функціонування посту діагностики. Нехай аналізований пост діагностики має в своєму розпорядженні необмежену кількість майданчиків для стоянки автомобілів, що прибувають на обслуговування, тобто довжина черги не обмежена.

Потрібно визначити фінальні значення наступних імовірнісних характеристик:

ймовірності станів системи (поста діагностики);

Середня кількість автомобілів, що знаходяться в системі (на обслуговуванні та в черзі);

Середню тривалість перебування автомобіля у системі (на обслуговуванні та в черзі);

Середня кількість автомобілів у черзі на обслуговуванні;

4. Середня тривалість перебування клієнта у системі:

5. Середня кількість автомобілів у черзі на обслуговування:

6. Середня тривалість перебування автомобіля у черзі:

7. Відносна пропускна спроможність системи:

т. е. кожну заявку, яка прийшла в систему, буде обслужена.

8 . Абсолютна пропускна спроможність:

A = q = 0,85 1 = 0,85.

Слід зазначити, що підприємство, яке здійснює діагностику автомобілів, насамперед цікавить кількість клієнтів, яка відвідає посаду діагностики при знятті обмеження на довжину черги.

Припустимо, в початковому варіанті кількість місць для стоянки автомобілів, що прибувають, дорівнювала трьом (див. приклад 2). Частота твиникнення ситуацій, коли автомобіль, що прибуває на посаду діагностики, не має можливості приєднатися до черги:

т= λP N .

У прикладі при N=3 + 1= 4 і ρ = 0,893,

т = λ Р 0ρ 4 = 0,85 0,248 0,8934 = 0,134 автомобіля на годину.

При 12-годинному режимі роботи посту діагностики це еквівалентно тому, що пост діагностики в середньому за зміну (день) втрачатиме 12 0,134 = 1,6 автомобіля.

Зняття обмеження на довжину черги дозволяє збільшити кількість обслужених клієнтів у нашому прикладі в середньому на 1,6 автомобіля за зміну (12 год. роботи) посту діагностики. Зрозуміло, що рішення щодо розширення площі для стоянки автомобілів, які прибувають на посаду діагностики, має ґрунтуватися на оцінці економічної шкоди, яка обумовлена ​​втратою клієнтів за наявності лише трьох місць для стоянки цих автомобілів.

Подібна інформація.

Абсолютна пропускна спроможністьхарактеризує інтенсивність вихідного потоку обслужених заявок.

Приклад. На станцію технічного обслуговування надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю 1 автомобіль за 2 год. У дворі у черзі може бути трохи більше 3 машин. Середній час ремонту – 2 години. Дайте оцінку роботи СМО та розробіть рекомендації щодо покращення обслуговування.

Рішення:
Визначаємо тип СМО. Фраза «На станцію» свідчить про єдиному пристрої обслуговування, тобто. для перевірки рішення використовуємо сервіс Одноканальні СМО.
Визначаємо вид одноканальної СМО. Оскільки є згадка про чергу, отже вибираємо «Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги».
Параметр λ необхідно виразити у годиннику. Інтенсивність заявок 1 автомобіль за 2 години або 0,5 за 1 годину.
Інтенсивність потоку обслуговування μ не задана. Тут наводиться час обслуговування t об = 2 години.

Обчислюємо показники обслуговування для одноканальної СМО:
Інтенсивність потоку обслуговування:

1. Інтенсивність навантаження.
ρ = λ t обс = 0.5 2 = 1
Інтенсивність навантаження ρ=1 показує ступінь узгодженості вхідного та вихідного потоків заявок каналу обслуговування та визначає стійкість системи масового обслуговування.

3. Імовірність, що канал вільний(частка простою каналу).


Отже, 20% протягом години канал буде зайнятий, час простою дорівнює t пр = 12 хв.

4. Частка заявок, які отримали відмову.
Заявки не одержують відмову. Обслуговуються всі заявки, що надійшли, p отк = 0.

5. Відносна пропускна спроможність.
Частка заявок, що обслуговуються, що надходять в одиницю часу:
Q = 1 - p отк = 1 - 0 = 1
Отже, 100% з числа заявок, що надійшли, будуть обслужені. Прийнятний рівень обслуговування має бути вищим за 90%.

6. Абсолютна пропускна спроможність.
A = Q λ = 1 0.5 = 0.5 заявок/година.

8. Середня кількість заявок у черзі(Середня довжина черги).

од.

9. Середній час простою СМО(Середній час очікування обслуговування заявки в черзі).
годину.

10. Середня кількість заявок, що обслуговуються..
L обс = ρ Q = 1 1 = 1 од.

12. Середня кількість заявок у системі.
L CMO = L оч + L обс = 1.2 + 1 = 2.2 од.

13. Середній час перебування заявки до СМО.
годину.

Число заявок, які отримали відмову протягом години: p 1 = 0 заявок на годину.
Номінальна продуктивність СМО: 1/2 = 0.5 заявок на годину.
Фактична продуктивність СМО: 0.5/0.5 = 100% від номінальної продуктивності.

Висновок: станція завантажена на 100%. При цьому відмов немає.

Як показники ефективності СМО з відмовими розглядатимемо:

1) A - абсолютну пропускну здатність СМО, тобто. середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу;

2) Q - відносну пропускну здатність, тобто. середню частку заявок, що обслуговуються системою;

3) P_(text(otk)) - ймовірність відмови, тобто. те, що заявка залишить СМО необслуженою;

4) \overline(k) - середня кількість зайнятих каналів(Для багатоканальної системи).

Одноканальна система (СМО) з відмовами

Розглянемо завдання. Є один канал, який надходить потік заявок з інтенсивністю \lambda . Потік обслуговування має інтенсивність \mu. Знайти граничні ймовірності станів системи та показники її ефективності.

Примітка.Тут і надалі передбачається, що всі потоки подій, що переводять СМО зі стану в стан, будуть найпростішими. До них відноситься і потік обслуговування - потік заявок, що обслуговуються одним безперервно зайнятим каналом. Середнє час обслуговування назад за величиною інтенсивності \mu, тобто. \overline(t)_(\text(ob.))=1/\mu.

Система S (СМО) має два стани: S_0 – канал вільний, S_1 – канал зайнятий. Розмічений граф станів подано на рис. 6.

У граничному, стаціонарному режимі система рівнянь алгебри для ймовірностей станів має вигляд (див. вище правило складання таких рівнянь)

\begin(cases)\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end(cases)

тобто. система вироджується на одне рівняння. Враховуючи нормувальну умову p_0+p_1=1 , знайдемо з (18) граничні ймовірності станів

P_0=\frac(\mu)(\lambda+\mu),\quad p_1=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,

які виражають середнє відносне час перебування системи може S_0 (коли канал вільний) і S_1 (коли канал зайнятий), тобто. визначають відповідно відносну пропускну здатність Q системи та ймовірність відмови P_(text(otk)):

Q=\frac(\mu)(\lambda+\mu)\,

P_(text(otk))=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,.

Абсолютну пропускну здатність знайдемо, помноживши відносну пропускну здатність Q на інтенсивність потоку відмов

A=\frac(\lambda\mu)(\lambda+\mu)\,.

Приклад 5.Відомо, що заявки на телефонні переговори в телевізійному ательє надходять з інтенсивністю \lambda, що дорівнює 90 заявок на годину, а середня тривалість розмови по телефону хв. Визначити показники ефективності роботи СМО (телефонного зв'язку) за наявності одного номера.

Рішення.Маємо \lambda=90 (1/год), \overline(t)_(\text(ob.))=2хв. Інтенсивність потоку обслуговування \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(2)=0,\!5(1/хв) = 30 (1/год). По (20) відносна пропускна здатність СМО Q=\frac(30)(90+30)=0,\!25, тобто. в середньому лише 25% заявок, що надходять, здійснять переговори по телефону. Відповідно ймовірність відмови в обслуговуванні становитиме P_(text(otk)) = 0, 75(Див. (21)). Абсолютна пропускна здатність СМО (29) A = 90 cdot0. 25 = 22, 5, тобто. в середньому за годину буде обслуговано 22,5 заявки на переговори. Очевидно, що за наявності лише одного телефонного номера СМО погано справлятиметься з потоком заявок.

Багатоканальна система (СМО) з відмовами

Розглянемо класичну завдання Ерланга. Є n каналів, куди надходить потік заявок з інтенсивністю \lambda . Потік обслуговування має інтенсивність \mu. Знайти граничні ймовірності станів системи та показники її ефективності.

Система S (СМО) має такі стани (нумеруємо їх за кількістю заявок, що знаходяться в системі): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n, де S_k - стан системи, як у ній перебуває k заявок, тобто. зайнято каналів.

Граф станів СМО відповідає процесу загибелі та розмноження та показаний на рис. 7.

Потік заявок послідовно переводить систему з будь-якого лівого стану в сусіднє праве з однією інтенсивністю \lambda . Інтенсивність потоку обслуговування, що переводять систему з будь-якого правого стану в сусідній лівий стан, постійно змінюється в залежності від стану. Справді, якщо СМО перебуває у стані S_2 (два каналу зайняті), вона може перейти у стан S_1 (один канал зайнятий), коли закінчить обслуговування або перший, або другий канал, тобто. сумарна інтенсивність їх потоків обслуговування буде 2\mu . Аналогічно сумарний потік обслуговування, що переводить СМО зі стану S_3 (три канали зайняті) в S_2 буде мати інтенсивність 3\mu , тобто. може звільнитися будь-який із трьох каналів і т.д.

У формулі (16) для схеми загибелі та розмноження отримаємо для граничної ймовірності стану

P_0=(\left(1+ \frac(\lambda)(\mu)+ \frac(\lambda^2)(2!\mu^2)+\ldots+\frac(\lambda^k)(k!\) mu^k)+\ldots+ \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)\right)\^{-1}, !}

де члени розкладання \frac(\lambda)(\mu),\,\frac(\lambda^2)(2!\mu^2),\,\ldots,\,\frac(\lambda^k)(k!\mu ^k),\,\ldots,\, \frac(\lambda^n)(n!\mu^n), являтимуть собою коефіцієнти при p_0 у виразах для граничних ймовірностей p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n. Величина

\rho=\frac(\lambda)(\mu)

називається наведеною інтенсивністю потоку заявокабо інтенсивністю навантаження каналу. Вона висловлює середню кількість заявок, що надходить за середній час обслуговування однієї заявки. Тепер

P_0=(\left(1+\rho+\frac(\rho^2)(2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac(\rho^2)(2\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}

Формули (25) та (26) для граничних ймовірностей отримали назви формул Ерлангана честь основоположника теорії масового обслуговування.

Імовірність відмови СМО є гранична ймовірність того, що всі канали системи будуть зайняті, тобто.

P_(text(otk))= frac(rho^n)(n\cdot p_0. !}

Відносна пропускна спроможність - ймовірність того, що заявку буде обслуговано:

Q=1- P_(text(otk))=1-frac(rho^n)(n\cdot p_0. !}

Абсолютна пропускна спроможність:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Середня кількість зайнятих каналів \overline(k) є математичне очікуваннячисла зайнятих каналів:

\overline(k)=\sum_(k=0)^(n)(k\cdot p_k),

де p_k - граничні ймовірності станів, що визначаються за формулами (25), (26).

Однак середня кількість зайнятих каналів можна знайти простіше, якщо врахувати, що абсолютна пропускна здатність системи A є не що інше, як інтенсивність потоку обслуженихсистемою заявок (в одиницю часу). Так як кожен зайнятий канал обслуговує в середньому заявок (в одиницю часу), то середня кількість зайнятих каналів

\overline(k)=\frac(A)(\mu)

Або, враховуючи (29), (24):

\overline(k)=\rho\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Приклад 6.В умовах прикладу 5 визначити оптимальну кількість телефонних номерів у телевізійному ательє, якщо умовою оптимальності вважати задоволення в середньому з кожних 100 заявок не менше 90 заявок на переговори.

Рішення.Інтенсивність навантаження каналу за формулою (25) \rho=\frac(90)(30)=3, тобто. за час середнього (за тривалістю) телефонної розмови \overline(t)_(\text(ob.))=2хв. надходить у середньому 3 заявки на переговори.

Будемо поступово збільшувати число каналів (телефонних номерів) n=2,3,4,\ldots і визначимо за формулами (25), (28), (29) для n-канальної СМО, що отримується характеристики обслуговування. Наприклад, при n=2 маємо

З_0=(\left(1+3+ \frac(3^2)(2)\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !}і т.д.

Значення показників СМО зведемо в табл. 1.

За умовою оптимальності Q\geqslant0,\!9 , отже, у телевізійному ательє необхідно встановити 5 телефонних номерів (у разі Q=0,\!9 - див. табл. 1). При цьому за годину обслуговуватимуться в середньому 80 заявок (A=80,\!1) , а середня кількість зайнятих телефонних номерів (каналів) за формулою (30) \overline(k)=\frac(80,\!1)(30)=2,\!67.

Приклад 7.До обчислювального центру колективного користування з трьома ЕОМ надходять замовлення від підприємств на обчислювальні роботи. Якщо працюють всі три ЕОМ, то знову надходить замовлення не приймається, і підприємство змушене звернутися до іншого обчислювального центру. Середній час роботи з одним замовленням становить 3 години. Інтенсивність потоку заявок 0,25 (1/год). Знайти граничні ймовірності станів та показники ефективності роботи обчислювального центру.

Рішення.За умовою n=3,~\lambda=0,\!25(1/год), \overline(t)_(\text(ob.))=3 (год). Інтенсивність потоку обслуговування \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(3)=0,\!33. Інтенсивність навантаження ЕОМ за формулою (24) \rho=\frac(0,\!25)(0,\!33)=0,\!75. Знайдемо граничні ймовірності станів:

– за формулою (25) p_0=(\left(1+0,\!75+ \frac(0,\!75^2)(2+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};

– за формулою (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac(0,\!75^2)(2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};

тобто. у стаціонарному режимі роботи обчислювального центру в середньому 47,6% часу немає жодної заявки, 35,7% є одна заявка (зайнята одна ЕОМ), 13,4% - дві заявки (дві ЕОМ), 3,3% часу - три заявки (зайняті три ЕОМ).

Імовірність відмови (коли зайняті всі три ЕОМ), таким чином, P_(\text(otk))=p_3=0,\!033.

За формулою (28) відносна пропускна спроможність центру Q=1-0,\!033=0,\!967, тобто. у середньому із кожних 100 заявок обчислювальний центр обслуговує 96,7 заявок.

За формулою (29) абсолютна пропускна спроможність центру A = 0, 25 cdot0, 967 = 0, 242, тобто. за одну годину в середньому обслуговується. 0,242 заявки.

За формулою (30) середня кількість зайнятих ЕОМ \overline(k)=\frac(0,\!242)(0,\!33)=0,\!725, тобто. кожна з трьох ЕОМ буде зайнята обслуговуванням заявок у середньому лише на \frac(72,\!5)(3)= 24,\!2%..

При оцінці ефективності роботи обчислювального центру необхідно зіставити доходи від виконання заявок із втратами від простою дорогих ЕОМ (з одного боку, ми маємо високу пропускну здатність СМО, з другого боку - значний простий каналів обслуговування) і вибрати компромісне рішення.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!