Тема 1. Матриці та системи
Поняття матриці
Визначення 1.Матрицею
.
Тут, a i j (i=1,2,...,m; j=1,2,...n) - елементи матриці, i- Номер рядка, j m=nматриця називається квадратнийматрицею порядку n.
i¹jрівні нулю, називається діагональної:
одиничною
нульовийта позначається θ.
- матриця рядок; - матриця стовпець.
визначник(або детермінант).
Визначники 2-го порядку
Визначення 2.
Про визначником другого порядкуматриці 
, тобто
. (3)
Інші позначення: , .
Таким чином, поняття визначника передбачає одночасно і спосіб обчислення. Числа називаються елементами визначника. Діагональ, утворена елементами, називається головною,а елементами - побічний.
приклад 1.Визначник матриці дорівнює
.
Визначники 3-го порядку
Визначення 2. Про визначником третього порядкуназивається число, що позначається символом
,
та визначається рівністю
Числа - елементивизначника. Елементи утворюють головнудіагональ, елементи - побічну.
При обчисленні визначника, щоб запам'ятати, які доданки у правій частині рівності (4) беруться зі знаком «+», а які зі знаком «-», користуються символічним правилом трикутників (правилом Саррюса):
Зі знаком «+» беруться добутки елементів головної діагоналі та елементів, що знаходяться у вершинах трикутників з основами, паралельними головній діагоналі; сл знаком «-» – твори елементів побічної діагоналі та елементів, розташованих у вершинах трикутників з основами, паралельними до побічної діагоналі.
Обчислення визначника за правилом приписування стовпців.
1. Приписуємо праворуч від визначника послідовно перший і другий стовпці.
2. Обчислюємо твори трьох елементів по діагоналі зліва – направо, зверху – вниз від а 11 до а 13 і беремо їх зі знаком "+". Потім обчислюємо твори трьох елементів по діагоналі зліва - направо, знизу вгору а 31 до а 13 і беремо їх зі знаком "-".
(-) (-) (-) (+) (+) (+)
Приклад 2. Обчислити визначник за правилом приписування стовпців.
3. Визначники n-ого порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення. Обчислення визначників розкладанням по рядку (стовпцю).
Розглянемо поняття визначника n-ного порядку. Визначником n-ного порядку називається число, що зіставляється матриці n-ного порядку та обчислюване за певним законом.
,
тут – елементи визначника. Щоб показати правило, яким розкривається визначник nного порядку, розглянемо деякі поняття.
Визначення 4. Міноромелемента визначника n-го порядку називається визначник ( n- 1) порядку, отриманого викресленням рядка та стовпця визначника, на перетині яких розташований цей елемент.
Визначення 5. Алгебраїчним доповненнямдеякого елемента визначника n-го порядку називається мінор цього елемента, помножений на , тобто 
.
У визначнику третього порядку можна розглянути, наприклад,
, .
, .
Визначення 6.Визначником n-ного порядку називається число, що дорівнює сумі творів елементів першого рядка визначника, помножених на їх додатки алгебри.
Це правило обчислення визначника називається розкладанням по першому рядку.
Теорема (про розкладання визначника).Визначник можна обчислити розкладанням за будь-яким рядком або стовпцем.
- Сума творів елементів 1-го стовпця на додатки алгебри 2-го стовпця.
Приклад 3. Обчислити визначник четвертого порядку 
.
Рішення.Помножуємо третій рядок на (-1) і додаємо його до четвертого, потім розкладаємо визначник по четвертому рядку:
Визначник третього порядку розклали за першим рядком.
Метод Гауса.
Метод Гаусаполягає в тому, що вихідну систему шляхом виключення невідомий перетворюють на східчастомувиду. При цьому перетворення виконуються над рядками розширеної матриці, так як перетворення, що виключають невідомі еквівалентні елементарним перетворенням рядків матриці.
Метод Гауса складається з прямого ходу і зворотного ходу. Прямим ходом методу Гауса є приведення розширеної матриці системи (1) до ступінчастого виду шляхом перетворень елементарних над рядками. Після чого відбувається дослідження системи на спільність та визначеність. Потім ступінчастою матриці відновлюється система рівнянь. Вирішення цієї ступінчастої системи рівнянь є зворотним ходом методу Гауса, в якому, починаючи з останнього рівняння, послідовно обчислюються невідомі з великим порядковим номером, та їх значення підставляються у попереднє рівняння системи.
Дослідження системи наприкінці прямого ходу відбуваємось за теоремою Кронекера-Капеллі порівнянням рангів матриці системи А та розширеної матриці А´. У цьому можливі такі випадки.
1) Якщо 
, то система несумісна (за теоремою Кронекера-Капеллі).
2) Якщо , то система (1) є певною, і навпаки (без підтвердження).
3) Якщо , то система (1) є невизначеною, і навпаки (без підтвердження).
Нерівність 
немає місця, оскільки матриця А є частиною матриці А´, нерівність немає місця, оскільки число стовпців матриці А дорівнює п. Крім того, для системи з квадратною матрицею, тобто якщо п = т, рівності рівносильні з того що .
Якщо система є невизначеною, тобто виконується , то деякі її невідомі оголошуються вільними, інші через них виражаються. Кількість вільних невідомих дорівнює 
. При виконанні зворотного ходу методу Гауса, якщо в черговому рівнянні після підстановки знайдених раніше змінних, невідомих залишилося більше одного, то вільними невідомими оголошуються будь-які невідомі, крім одного.
Розглянемо реалізацію методу Гауса на прикладах.
приклад 4. Вирішити систему рівнянь 
Рішення.Вирішимо систему методом Гаусса. Випишемо розширену матрицю системи та наведемо її до ступінчастого вигляду елементарними перетвореннями рядків (прямий хід).
~ 
~ 
~
~ 
~ 
.
Тому система спільна і має єдине рішення, тобто. є певною.
Складемо систему ступінчастого вигляду та вирішимо її (зворотний хід).
Перевірку легко зробити підстановкою.
Відповідь: .
Тема 2. Векторні алгебри.
Вектор проекції на вісь.
Визначення 2. Проекція векторана вісь lназивається число, що дорівнює довжині відрізка АВцієї осі, укладеного між проекціями початку і кінця вектора взяте зі знаком «+», якщо відрізок АВорієнтований (вважаючи від Адо У) в позитивний бікосі lі знаком «-» – інакше (див. рис.2).
Позначення: .
Теорема 1.Проекція вектора на вісь дорівнює добутку його модуля на косинус кута між вектором та позитивним напрямом осі (рис. 3):
. (1)
  Рис.3. Рис.4. |
Доказ. З (рис. 3) отримуємо . Напрямок відрізка збігається з позитивним напрямом осі, тому справедлива рівність. У разі протилежної орієнтації (рис.4) маємо . Теорему доведено.
Розглянемо властивості проекцій.
Властивість 1. Проекція суми двох векторів і вісь дорівнює сумі їх проекцій ту саму вісь, тобто .
 Рис.5. |
Доказ у разі одного з можливих розташування векторів випливає з малюнка 5. Дійсно, за визначенням 2
Властивість 1 справедливо для будь-якого кінцевого числа векторів.
Властивість 2. У разі множення вектора на число l його проекція множиться на це число
. (2)
Доведемо рівність (2). При векторі і утворюють з віссю той самий кут. За теоремою 1
При векторі і утворюють з віссю відповідно кути та . Потеоремі 1
При , отримуємо очевидну рівність
Наслідок із властивостей 1 і 2. Проекція лінійної комбінації векторів дорівнює такій лінійній комбінації проекцій цих векторів, тобто.
Тема 1. Матриці та системи
Поняття матриці
Визначення 1.Матрицеюрозміром називається прямокутна таблиця чисел або літерних виразів, записаних у вигляді
.
Тут, a i j (i=1,2,...,m; j=1,2,...n) - елементи матриці, i- Номер рядка, j- Номер стовпця. Матриці зазвичай позначаються великими літерами латинського алфавіту A, B, C і т.д., а також або . При m=nматриця називається квадратнийматрицею порядку n.
Квадратна матриця, яка має всі елементи з нерівними індексами i¹jрівні нулю, називається діагональної:
Якщо всі відмінні від нуля елементи діагональної матриці дорівнюють одиниці, то матриця називається одиничною. Поодиноку матрицю прийнято позначати буквою E.
Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовийта позначається θ.
Існують також матриці, що складаються з одного рядка або одного стовпця.
- матриця рядок; - матриця стовпець.
Числовою характеристикою квадратної матриці є визначник(або детермінант).
Визначники 2-го порядку та 3-го порядку, їх властивості.
Визначники 2-го порядку
Визначення 2.
Про визначником другого порядкуматриці (або просто визначником другого порядку) називається число, що позначається символом та визначається рівністю , тобто
. (3)
Інші позначення: , .
Щоб знайти визначник матриці, потрібно скористатися формулами, які дійсні для визначників 2 і 3 порядку.
Формула
Нехай задана матриця другого порядку $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $. Тоді її визначник обчислюється за такою формулою:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$
З добутку елементів, що стоять на головній діагоналі $ a_(11) \ cdot a_ (22) $, віднімається добуток елементів, розташованих на побічній діагоналі $ a_ (12) \ cdot a_ (21) $. Це правильне лише (!) для визначника 2-го порядку.
Якщо дана матриця третього порядку $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_ (33) \ end (pmatrix) $, то обчислити її визначник слід за формулою:
$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$
$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$
Приклади рішень
| Приклад 1 |
| Нехай задана матриця $A = \begin(pmatrix) 1&2\3&4 \end(pmatrix) $ Обчислити її визначник. |
| Рішення |
|
Як знайти визначник матриці? Звернемо увагу на те, що матриця квадратна другого порядку, тобто кількість стовпців дорівнює кількості рядків і вони містять по 2 елементи. Тому застосуємо першу формулу. Перемножимо елементи, що стоять на головній діагоналі і віднімемо з них добуток елементів, що стоять на побічній діагоналі: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача! |
| Відповідь |
| $$ \Delta = -2 $$ |
| Приклад 2 |
| Дана матриця $A = \begin(pmatrix) 2&2&1\1&-3&-1\3&4&-2 \end(pmatrix) $. Потрібно обчислити визначник. |
| Рішення |
|
Так як у задачі квадратна матриця 3-го порядку, то визначити визначник слід за другою формулою. Для простоти розв'язання задачі достатньо підставити замість $a_(ij) $ змінних, що стоять у формулі значення з матриці нашого завдання: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1) cdot 4 cdot 2 - 2 cdot 1 cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Варто відзначити, коли ми знаходимо твори елементів на побічній діагоналі і подібних до неї, то перед творами ставиться знак мінус. |
| Відповідь |
| $$ \Delta = 31 $$ |
Визначення 6. Визначником третього порядку, що відповідає матриці системи (1.4), назвемо число D , що дорівнює
Для того, щоб обчислити визначник третього порядку, застосовують дві обчислювальні схеми, що дозволяють обчислювати визначники третього порядку без особливих турбот. Ці схеми відомі як " правило трикутника(або "правило зірочки") та " правило Саррюса ".
За правилом трикутника спочатку перемножуються та складаються елементи, з'єднаними на схемі лініями
тобто. отримуємо суму творів: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32.
Зверніть увагу, що перемножуються елементи, з'єднані однією лінією, прямою або ламаною, а потім складаються складні.
Потім перемножуються та складаються елементи, з'єднані на схемі
тобто. отримуємо іншу суму творів a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32. І, нарешті, щоб обчислити визначник, з першої суми віднімають другу. Тоді остаточно отримуємо формулу обчислення визначника третього порядку:
D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).
За правилом Саррюса до визначника праворуч дописують два перші стовпці, а потім вважають суму творів елементів визначника в одному напрямку і віднімають від неї суму творів елементів в іншому напрямку (див. схему):
Можна переконатися, що результат буде таким самим, що і при обчисленні визначника за правилом трикутника.
приклад. Обчислити визначник
Рішення. Обчислимо визначник за правилом зірочки
І за правилом Саррюса
Тобто. отримуємо однаковий результат для обох обчислювальних схем, як і очікувалося.
Зауважимо, що це властивості, сформульовані для визначників другого порядку, справедливі для визначників третього порядку, у яких можна переконатися самостійно. З цих властивостей сформулюємо загальні властивості для визначників будь-якого порядку.
Визначником квадратної матриці називається число, яке обчислюється так:
а) Якщо порядок квадратної матриці дорівнює 1, тобто. вона складається з 1 числа, то визначник дорівнює цьому числу;
б) Якщо порядок квадратної матриці дорівнює 2, тобто. вона складається з 4 чисел, то визначник дорівнює різниці добутку елементів головної діагоналі та добутку елементів побічної діагоналі;
в) Якщо порядок квадратної матриці дорівнює 3, тобто. вона складається з 9 чисел, то визначник дорівнює сумітворів елементів головної діагоналі та двох трикутників паралельних цієї діагоналі, з якої відняли суму творів елементів побічної діагоналі та двох трикутників паралельних цієї діагоналі.
Приклади
Властивості визначників
1. Визначник не зміниться, якщо рядки замінити стовпцями, а стовпці – рядками
- Визначник, що має 2 однакові ряди, дорівнює нулю
- Загальний множник якогось ряду (рядки або стовпця) визначника можна винести за знак визначника
4. При перестановці двох паралельних рядів визначник змінює знак протилежний
5. Якщо елементи якогось ряду визначника є сумою двох доданків, то визначник може бути розкладений на суму двох відповідних визначників
6. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного ряду додати відповідні елементи паралельного ряду, помножені на будь-яке число
Мінор елемента визначника та його алгебраїчне доповнення
Мінором елемента IJвизначника n-го порядку називається визначник n-1 порядку, отриманий з вихідного за допомогою викреслення i-того рядка та j-того стовпця
Алгебраїчне доповнення елемента IJвизначника – це його мінор, помножений на (-1) i+ j
приклад
Зворотня матриця
Матриця називається невиродженоюякщо її визначник не дорівнює нулю, в іншому випадку, матрицю називають виродженою
Матриця називається союзноїякщо вона складається з відповідних алгебраїчних доповнень і транспонована
Матриця називається зворотнійдо даної матриці, якщо їх добуток дорівнює одиничній матриці того ж порядку, що і дана матриця
Теорема про існування зворотної матриці
Будь-яка невироджена матриця має зворотну, рівну союзної матриці, поділеної на визначник цієї матриці
Алгоритм знаходження зворотної матриці А
- Обчислити визначник
- Транспонувати матрицю
- Скласти союзну матрицю, обчислити всі доповнення алгебри транспонованої матриці
- Скористатися формулою:
Мінором матриціназивається визначник, що складається з елементів, що перебувають на перетині виділених k рядків і k стовпців даної матриці розміру mxn
Рангом матриціназивається найбільший порядок того мінору матриці, який відмінний від нуля
Позначення r(A), rangA
Рангдорівнює кількості ненульових рядків ступінчастої матриці.
приклад
Системи лінійних рівнянь.
Системою лінійних рівнянь, що містить m рівнянь та n невідомих, називається система виду
де числа a IJ - коефіцієнти системи, числа b i - вільні члени
Матрична форма записусистеми лінійних рівнянь
Рішенням системиназиваються n значень невідомих c 1 , c 2 ,…, c n , при підстановці що у систему всі рівняння системи перетворюються на правильні рівності. Рішення системи можна записати як вектор – стовпця.
Система рівнянь називається спільної, якщо вона має хоча б одне рішення, та несумісний, якщо рішень немає.
Теорема Кронекера – Капеллі
Система ЛУ спільна тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної
Методи вирішення системи ЛП
1. Метод Гауса(Розширену матрицю за допомогою елементарних перетворень звести до ступінчастої, а потім до канонічної)
До елементарних перетворень відносяться:
Перестановка рядків (стовпців)
Додаток до одного рядка (стовпця) іншого, помноженого на число, відмінне від 0.
Складемо розширену матрицю:
Виберемо провідний елемент, що стоїть у першому стовпці та першому рядку, елемент 1., назвемо його провідним. Рядок, в якому знаходиться провідний елемент, змінюватися не буде. Обнулили елементи під головною діагоналлю. Для цього додамо до другого рядка перший, помножений на (-2). Додамо до третього рядка перший, помножений на (-1), отримаємо:
Поміняємо другий і третій рядки місцями. Подумки викреслюємо перший стовпець і перший рядок і продовжуємо алгоритм для матриці, що залишилася. До третього рядка додаємо 2-й, помножений на 5.
Привели розширену матрицю до східчастого вигляду. Повертаючись до рівнянь системи, починаючи з останнього рядка та рухаючись вгору, по черзі визначаємо невідомі.
2. Матричний метод (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; матрицю, зворотну до основної матриці помножити на стовпець вільних членів)
3. Метод Крамер.
Рішення системи знаходиться за формулою:
Де -визначник зміненої основної матриці, в якій i-й стовпець змінений на стовпець вільних членів, а - головний визначник, що складається з коефіцієнтів при невідомих.
Вектор.
Вектор- Це спрямований відрізок
Будь-який вектор задається довжиною (модулем) та напрямком.
Позначення: або
де А – початок вектора, У – кінець вектора, – довжина вектора.
Класифікація векторів
Нульовий вектор– це вектор, довжина якого дорівнює нулю
Одиничний вектор– це вектор, довжина якого дорівнює одиниці
Рівні вектори– це два вектори, у яких збігаються довжина та напрямок
Протилежні вектори– це два вектори, у яких довжини рівні, а напрямки – протилежні
Колінеарні вектори– це два вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих
Сонаправленівектори – це два колінеарні вектори з однаковим напрямком
Протилежно спрямованівектори – це два колінеарні вектори з протилежним напрямком
Компланарнівектори – це три вектори, які лежать в одній площині або на паралельних площинах
Прямокутна системакоординат на площині – це дві взаємно перпендикулярні прямі з обраним напрямком та початком відліку, при цьому горизонтальна пряма називається віссю абсцис, а вертикальна – віссю ординат
Кожній точці у прямокутній системі координат поставимо у відповідність два числа: абсцису та ординату
Прямокутна системакоординат у просторі – це три взаємно перпендикулярні прямі з обраним напрямком та початком відліку, при цьому горизонтальна пряма, спрямована на нас, називається віссю абсцис, горизонтальна пряма, спрямована вправо від нас – віссю ординат, а вертикальна пряма, спрямована вгору – віссю аплікат
Кожній точці у прямокутній системі координат поставимо у відповідність три числа: абсцису, ординату та аплікату
