Як розв'язувати системи лінійних рівнянь методом гауса. Зворотний хід методу гауса

Тут ви зможете безкоштовно вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса онлайн великих розміріву комплексних числах із дуже докладним рішенням. Наш калькулятор вміє вирішувати онлайн як звичайну певну, так і невизначену систему лінійних рівнянь методом Гаусса, яка має безліч рішень. І тут у відповіді ви отримаєте залежність одних змінних через інші, вільні. Також можна перевірити систему рівнянь на сумісність онлайн, використовуючи рішення методом Гаусса.

Розмір матриці: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 88 8 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 8 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Про метод

При вирішенні системи лінійних рівнянь онлайн методомГауса виконуються такі кроки.

1. Записуємо розширену матрицю.
2. Фактично рішення поділяють на прямий та зворотний хід методу Гаусса. Прямим ходом методу Гаусса називається приведення матриці до східчастого вигляду. Зворотним ходом методу Гаусса називається приведення матриці до спеціального ступінчастого вигляду. Але на практиці зручніше відразу занулювати те, що знаходиться і зверху і знизу елемента, що розглядається. Наш калькулятор використовує цей підхід.
3. Важливо, що при вирішенні методом Гауса, наявність у матриці хоча б одного нульового рядка з НЕнульовим правою частиною(Стовпець вільних членів) говорить про несумісність системи. Рішення лінійної системиу разі немає.

Щоб найкраще зрозуміти принцип роботи алгоритму Гауса онлайн, введіть будь-який приклад, виберіть "дуже докладне рішення" і перегляньте його рішення онлайн.

Метод Гауса, званий також методом послідовного виключенняневідомих, полягає у наступному. За допомогою елементарних перетворень систему лінійних рівнянь призводять до такого виду, щоб її матриця з коефіцієнтів виявилася трапецієподібної (те ж саме, що трикутної або ступінчастої) або близькою до трапецієподібної (прямий хід методу Гаусса, далі – просто прямий хід). Приклад такої системи та її рішення – на малюнку зверху.

У такій системі останнє рівняння містить лише одну змінну та її значення можна однозначно знайти. Потім значення цієї змінної підставлять у попереднє рівняння ( зворотний хід методу Гауса , Далі - просто зворотний хід), з якого знаходять попередню змінну, і так далі.

У трапецієподібній (трикутній) системі, як бачимо, третє рівняння вже не містить змінних yі x, а друге рівняння - змінною x .

Після того, як матриця системи набула трапецієподібної форми, вже не важко розібратися в питанні про спільність системи, визначити число рішень і знайти самі рішення.

Переваги методу:

1. при вирішенні систем лінійних рівнянь з числом рівнянь і невідомих більше трьох метод Гауса не такий громіздкий, як метод Крамера, оскільки при вирішенні методом Гауса необхідно менше обчислень;
2. методом Гауса можна вирішувати невизначені системи лінійних рівнянь, тобто такі, що мають загальне рішення(і ми розберемо їх на цьому уроці), а використовуючи метод Крамера, можна лише констатувати, що система невизначена;
3. можна вирішувати системи лінійних рівнянь, у яких число невідомих не дорівнює кількості рівнянь (також розберемо їх на цьому уроці);
4. метод заснований на елементарних (шкільних) методах – методі підстановки невідомих та методі складання рівнянь, яких ми торкнулися у відповідній статті.

Щоб всі перейнялися простотою, з якою вирішуються трапецієподібні (трикутні, ступінчасті) системи лінійних рівнянь, наведемо рішення такої системи із застосуванням зворотного ходу. Швидке рішенняцієї системи було показано на зображенні на початку уроку.

приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь, застосовуючи зворотний хід:

Рішення. У цій трапецієподібній системі змінна zоднозначно з третього рівняння. Підставляємо її значення у друге рівняння та отримуємо значення зміною y:

Тепер нам відомі значення вже двох змінних - zі y. Підставляємо їх у перше рівняння та отримуємо значення змінної x:

Із попередніх кроків виписуємо рішення системи рівнянь:

Щоб отримати таку трапецієподібну систему лінійних рівнянь, яку ми вирішили дуже просто, потрібно застосовувати прямий хід, пов'язаний із елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь. Це також не дуже складно.

Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь

Повторюючи шкільний метод алгебраїчного складання рівнянь системи, ми з'ясували, що одного з рівнянь системи можна додавати інше рівняння системи, причому кожне з рівнянь може бути помножено деякі числа. В результаті отримуємо систему лінійних рівнянь, еквівалентну даній. У ній вже одне рівняння містило лише одну змінну, підставляючи значення якої інші рівнянь, ми приходимо до рішення. Таке додавання - одне із видів елементарного перетворення системи. При використанні методу Гауса можемо користуватися кількома видами перетворень.

На анімації вище показано, як система рівнянь поступово перетворюється на трапецієподібну. Тобто таку, яку ви бачили на першій анімації і самі переконалися в тому, що з неї просто знайти значення всіх невідомих. Про те, як виконати таке перетворення і, звичайно, приклади, йтиметься далі.

При вирішенні систем лінійних рівнянь з будь-яким числом рівнянь та невідомих у системі рівнянь та у розширеній матриці системи можна, можливо:

1. переставляти місцями рядки (це і було згадано на початку цієї статті);
2. якщо внаслідок інших перетворень з'явилися рівні або пропорційні рядки, їх можна видалити, крім одного;
3. видаляти "нульові" рядки, де всі коефіцієнти дорівнюють нулю;
4. будь-який рядок множити чи ділити на деяке число;
5. до будь-якого рядка додавати інший рядок, помножений на деяке число.

В результаті перетворень отримуємо систему лінійних рівнянь, еквівалентну даній.

Алгоритм та приклади вирішення методом Гауса системи лінійних рівнянь із квадратною матрицею системи

Розглянемо спочатку рішення систем лінійних рівнянь, у яких число невідомих дорівнює кількості рівнянь. Матриця такої системи - квадратна, тобто в ній число рядків дорівнює числу стовпців.

приклад 2.Розв'язати методом Гауса систему лінійних рівнянь

Вирішуючи системи лінійних рівнянь шкільними методами, ми почленно множили одне з рівнянь на деяке число, те щоб коефіцієнти за першої змінної у двох рівняннях були протилежними числами. При додаванні рівнянь відбувається виключення цієї змінної. Аналогічно діє метод Гауса.

Для спрощення зовнішнього виглядурішення складемо розширену матрицю системи:

У цій матриці зліва до вертикальної межі розташовані коефіцієнти при невідомих, а праворуч після вертикальної межі - вільні члени.

Для зручності розподілу коефіцієнтів при змінних (щоб отримати розподіл на одиницю) переставимо місцями перший і другий рядки матриці системи. Отримаємо систему, еквівалентну даній, оскільки в системі лінійних рівнянь можна переставляти місцями рівняння:

За допомогою нового першого рівняння виключимо змінну xз другого та всіх наступних рівнянь. Для цього до другого рядка матриці додамо перший рядок, помножений на (у нашому випадку на ), до третього рядка – перший рядок, помножений на (у нашому випадку на ).

Це можливо, оскільки

Якби в нашій системі рівнянь було більше трьох, то слід додавати і до всіх наступних рівнянь перший рядок, помножений на відношення відповідних коефіцієнтів, взятих зі знаком мінус.

В результаті отримаємо матрицю еквівалентну даній системі нової системи рівнянь, в якій усі рівняння, починаючи з другого не містять змінну x :

Для спрощення другого рядка отриманої системи помножимо її і отримаємо знову матрицю системи рівнянь, еквівалентної даній системі:

Тепер, зберігаючи перше рівняння отриманої системи без змін, за допомогою другого рівняння виключаємо змінну y із усіх наступних рівнянь. Для цього до третього рядка матриці системи додамо другий рядок, помножений на (у нашому випадку на ).

Якби в нашій системі рівнянь було більше трьох, то слід додавати і до всіх наступних рівнянь другий рядок, помножений на відношення відповідних коефіцієнтів, взятих зі знаком мінус.

В результаті знову отримаємо матрицю системи, еквівалентної даній системі лінійних рівнянь:

Ми отримали еквівалентну дану трапецієподібну систему лінійних рівнянь:

Якщо кількість рівнянь і змінних більше, ніж у прикладі, процес послідовного виключення змінних триває до того часу, поки матриця системи стане трапецієподібної, як і нашому демо-примере.

Рішення знайдемо "з кінця" - зворотний хід. Для цього з останнього рівняння визначимо z:
.
Підставивши це значення у попереднє рівняння, знайдемо y:

З першого рівняння знайдемо x:

Відповідь: розв'язання даної системи рівнянь - .

: у цьому випадку буде видана та сама відповідь, якщо система має однозначне рішення. Якщо ж система має безліч рішень, то такою буде і відповідь, і це вже предмет п'ятої частини цього уроку.

Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса самостійно, а потім переглянути рішення

Перед нами знову приклад спільної та певної системи лінійних рівнянь, у якій число рівнянь дорівнює числу невідомих. Відмінність від нашого демо-прикладу з алгоритму - тут уже чотири рівняння та чотири невідомі.

приклад 4.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

Тепер потрібно за допомогою другого рівняння виключити змінну з наступних рівнянь. Проведемо підготовчі роботи. Щоб було зручніше з відношенням коефіцієнтів, потрібно отримати одиницю у другому стовпці другого рядка. Для цього з другого рядка віднімемо третій, а отриманий в результаті другий рядок помножимо на -1.

Проведемо тепер власне виняток змінної з третього та четвертого рівнянь. Для цього до третього рядка додамо другий, помножений на , а до четвертого - другий, помножений на .

Тепер за допомогою третього рівняння виключимо змінну із четвертого рівняння. Для цього до четвертого рядка додамо третій, помножений на . Отримуємо розширену матрицю трапецієподібної форми.

Отримали систему рівнянь, якою еквівалентна дана система:

Отже, отримана та дана системи є спільними та певними. Остаточне рішеннязнаходимо «з кінця». З четвертого рівняння безпосередньо можемо виразити значення змінної "ікс четверте":

Це значення підставляємо у третє рівняння системи та отримуємо

,

,

Зрештою, підстановка значень

У перше рівняння дає

,

звідки знаходимо "ікс перше":

Відповідь: дана система рівнянь має єдине рішення .

Перевірити рішення системи можна і на калькуляторі, що вирішує методом Крамера: у цьому випадку буде видана та сама відповідь, якщо система має однозначне рішення.

Рішення методом Гауса прикладних задач на прикладі задачі на сплави

Системи лінійних рівнянь використовуються для моделювання реальних об'єктів фізичного світу. Вирішимо одне з таких завдань – на сплави. Аналогічні завдання - завдання на суміші, вартість або питома вага окремих товаріву групі товарів тощо.

Приклад 5.Три шматки сплаву мають загальну масу 150 кг. Перший сплав містить 60% міді, другий – 30%, третій – 10%. При цьому у другому та третьому сплавах разом узятих міді на 28,4 кг менше, ніж у першому сплаві, а у третьому сплаві міді на 6,2 кг менше, ніж у другому. Знайти масу кожного шматка металу.

Рішення. Складаємо систему лінійних рівнянь:

Помножуємо друге та третє рівняння на 10, отримуємо еквівалентну систему лінійних рівнянь:

Складаємо розширену матрицю системи:

Увага, прямий перебіг. Шляхом додавання (у нашому випадку - віднімання) одного рядка, помноженого на число (застосовуємо двічі) з розширеною матрицею системи відбуваються наступні перетворення:

Прямий хід завершився. Отримали розширену матрицю трапецієподібної форми.

Застосовуємо зворотний перебіг. Знаходимо рішення з кінця. Бачимо, що .

З другого рівняння знаходимо

Із третього рівняння -

Перевірити рішення системи можна і на калькуляторі, що вирішує методом Крамера : у цьому випадку буде видана відповідь, якщо система має однозначне рішення.

Про простоту методу Гауса говорить хоча б той факт, що німецькому математику Карлу Фрідріху Гауссу на його винахід знадобилося лише 15 хвилин. Крім методу його імені з творчості Гауса відомо вислів "Не слід змішувати те, що нам здається неймовірним і неприродним, з абсолютно неможливим" - свого роду коротка інструкціящодо здійснення відкриттів.

У багатьох прикладних завданнях може і не бути третього обмеження, тобто третього рівняння, тоді доводиться вирішувати методом Гауса систему двох рівнянь із трьома невідомими, або ж навпаки – невідомих менше, ніж рівнянь. Вирішення таких систем рівнянь ми зараз і приступимо.

За допомогою методу Гауса можна встановити, спільна чи несумісна будь-яка система nлінійних рівнянь з nзмінними.

Метод Гауса і системи лінійних рівнянь, що мають безліч рішень

Наступний приклад - спільна, але невизначена система лінійних рівнянь, тобто має безліч рішень.

Після виконання перетворень у розширеній матриці системи (перестановки рядків, множення та поділу рядків на деяке число, додатку до одного рядка інший) могли з'явитися рядки виду

Якщо у всіх рівняннях мають вигляд

Вільні члени рівні нулю, це означає, що система невизначена, тобто має безліч рішень, а рівняння цього виду – «зайві» та їх виключаємо з системи.

Приклад 6.

Рішення. Складемо розширену матрицю системи. Потім за допомогою першого рівняння виключимо змінну наступних рівнянь. Для цього до другого, третього та четвертого рядків додамо перший, помножений відповідно на :

Тепер другий рядок додамо до третього та четвертого.

В результаті приходимо до системи

Останні два рівняння перетворилися на рівняння виду. Ці рівняння задовольняються за будь-яких значень невідомих і їх можна відкинути.

Щоб задовольнити друге рівняння, ми можемо і вибрати довільні значення , тоді значення для визначиться вже однозначно: . З першого рівняння значення також знаходиться однозначно: .

Як задана, і остання системи спільні, але невизначені, і формули

за довільних і дають нам всі рішення заданої системи.

Метод Гауса та системи лінійних рівнянь, які не мають рішень

Наступний приклад - несумісна система лінійних рівнянь, тобто така, що не має рішень. Відповідь такі завдання так і формулюється: система немає рішень.

Як уже говорилося у зв'язку з першим прикладом, після виконання перетворень у розширеній матриці системи могли з'явитися рядки виду

відповідні рівняння виду

Якщо серед них є хоча б одне рівняння з відмінним від нуля вільним членом (тобто ), то дана система рівнянь є несумісною, тобто немає рішень і на цьому її рішення закінчено.

Приклад 7.Розв'язати методом Гауса систему лінійних рівнянь:

Рішення. Складаємо розширену матрицю системи. За допомогою першого рівняння виключаємо з наступних рівнянь змінну. Для цього до другого рядка додаємо перший, помножений на , до третього рядка - перший, помножений на , до четвертого - перший, помножений на .

Тепер потрібно за допомогою другого рівняння виключити змінну з наступних рівнянь. Щоб отримати цілі відносини коефіцієнтів, поміняємо місцями другий і третій рядки розширеної матриці системи.

Для виключення з третього і четвертого рівняння до третього рядка додамо другий, помножений на , а до четвертого - другий, помножений на .

Тепер за допомогою третього рівняння виключимо змінну із четвертого рівняння. Для цього до четвертого рядка додамо третій, помножений на .

Задана система еквівалентна таким чином наступній:

Отримана система несумісна, оскільки її останнє рівняння може бути задоволене ніякими значеннями невідомих. Отже, ця система не має рішень.

Метод Гаусачудово підходить для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Він має низку переваг у порівнянні з іншими методами:

• по-перше, немає потреби попередньо дослідити систему рівнянь на спільність;
• по-друге, методом Гаусса можна вирішувати не тільки СЛАУ, в яких кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих змінних та основна матриця системи невироджена, а й системи рівнянь, в яких кількість рівнянь не збігається з кількістю невідомих змінних або визначник основної матриці дорівнює нулю;
• по-третє, метод Гауса призводить до результату при порівняно невеликій кількості обчислювальних операцій.

Короткий огляд статті.

Спочатку дамо необхідні визначення та введемо позначення.

Далі опишемо алгоритм методу Гауса для найпростішого випадку, тобто, для систем лінійних рівнянь алгебри, кількість рівнянь в яких збігається з кількістю невідомих змінних і визначник основної матриці системи не дорівнює нулю. При розв'язанні таких систем рівнянь найвиразніше видно суть методу Гаусса, яка полягає у послідовному виключенні невідомих змінних. Тому метод Гауса також називають методом послідовного виключення невідомих. Покажемо докладні рішення кількох прикладів.

У висновку розглянемо рішення методом Гауса систем лінійних рівнянь алгебри, основна матриця яких або прямокутна, або вироджена. Вирішення таких систем має деякі особливості, які ми докладно розберемо на прикладах.

Навігація на сторінці.

Основні визначення та позначення.

Розглянемо систему з p лінійних рівнянь з n невідомими (p може дорівнювати n ):

Де – невідомі змінні, – числа (дійсні чи комплексні), – вільні члени.

Якщо , то система лінійних рівнянь алгебри називається однорідний, в іншому випадку - неоднорідний.

Сукупність значення невідомих змінних , у яких всі рівняння системи перетворюються на тотожності, називається рішенням СЛАУ.

Якщо існує хоча б одне рішення системи лінійних рівнянь алгебри, то вона називається спільної, в іншому випадку - несумісний.

Якщо СЛАУ має єдине рішення, вона називається певною. Якщо рішень більше одного, то система називається невизначеною.

Кажуть, що система записана у координатної формиякщо вона має вигляд
.

Ця система в матричній формізапису має вигляд , де - основна матриця СЛАУ; - матриця стовпець невідомих змінних; - матриця вільних членів.

Якщо до матриці А додати як (n+1)-ого ​​стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т , а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від інших стовпців, тобто,

Квадратна матриця А називається виродженоюякщо її визначник дорівнює нулю. Якщо , то матриця А називається невиродженою.

Слід зазначити наступний момент.

Якщо з системою лінійних рівнянь алгебри зробити наступні дії

• поміняти місцями два рівняння,
• помножити обидві частини будь-якого рівняння на довільне та відмінне від нуля дійсне (або комплексне) число k ,
• до обох частин якогось рівняння додати відповідні частини іншого рівняння, помножені на довільне число k ,

то вийде еквівалентна система, яка має такі ж рішення (або як і вихідна не має рішень).

Для розширеної матриці системи лінійних рівнянь алгебри ці дії означатимуть проведення елементарних перетворень з рядками:

• перестановку двох рядків місцями,
• множення всіх елементів будь-якого рядка матриці T на відмінне від нуля число k ,
• додавання до елементів якогось рядка матриці відповідних елементів іншого рядка, помножених на довільне число k .

Тепер можна переходити до опису методу Гаусса.

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих і основна матриця системи невироджена, методом Гаусса.

Як би ми вчинили у школі, якби отримали завдання знайти рішення системи рівнянь .

Деякі зробили б так.

Зауважимо, що додавши до лівої частини другого рівняння ліву частинупершого, а до правої частини - праву, можна позбутися невідомих змінних x 2 і x 3 і відразу знайти x 1 :

Підставляємо знайдене значення x 1 =1 у перше та третє рівняння системи:

Якщо помножити обидві частини третього рівняння системи на -1 і додати їх до відповідних частин першого рівняння, ми позбудемося невідомої змінної x 3 і зможемо знайти x 2 :

Підставляємо отримане значення x 2 =2 в третє рівняння і знаходимо невідому змінну x 3 :

Інші вчинили б інакше.

Дозволимо перше рівняння системи щодо невідомої змінної x 1 і підставимо отриманий вираз у друге та третє рівняння системи, щоб виключити з них цю змінну:

Тепер розв'яжемо друге рівняння системи щодо x 2 і підставимо отриманий результат у третє рівняння, щоб виключити з нього невідому змінну x 2 :

З третього рівняння системи видно, що х 3 =3. З другого рівняння знаходимо , та якщо з першого рівняння отримуємо .

Знайомі способи рішення, чи не так?

Найцікавіше тут те, що другий спосіб рішення по суті і є методом послідовного виключення невідомих, тобто методом Гауса. Коли ми висловлювали невідомі змінні (спочатку x 1 , наступному етапі x 2 ) і підставляли в інші рівняння системи, тим самим виключали їх. Виняток ми проводили до того моменту, поки в останньому рівнянні не залишилася єдина невідома змінна. Процес послідовного виключення невідомих називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходуу нас з'являється можливість обчислити невідому змінну, яка знаходиться в останньому рівнянні. З її допомогою з передостаннього рівняння знаходимо наступну невідому змінну тощо. Процес послідовного знаходження невідомих змінних під час руху від останнього рівняння до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Слід зазначити, що коли ми виражаємо x 1 через x 2 і x 3 у першому рівнянні, а потім підставляємо отриманий вираз у друге та третє рівняння, то до такого ж результату наводять такі дії:

Справді, така процедура також дозволяє виключити невідому змінну x 1 із другого та третього рівнянь системи:

Нюанси за винятком невідомих змінних за методом Гаусса виникають тоді, коли рівняння системи не містять деяких змінних.

Наприклад, у СЛАУ у першому рівнянні відсутня невідома змінна x 1 (іншими словами, коефіцієнт перед нею дорівнює нулю). Тому ми можемо дозволити перше рівняння системи щодо x 1 , щоб унеможливити цю невідому змінну з інших рівнянь. Виходом із цієї ситуації є перестановка місцями рівнянь системи. Так як ми розглядаємо системи лінійних рівнянь, визначники основних матриць яких відмінні від нуля, то завжди існує рівняння, в якому є потрібна нам змінна, і ми це рівняння можемо переставити на потрібну нам позицію. Для нашого прикладу достатньо поміняти місцями перше та друге рівняння системи , Далі можна дозволити перше рівняння щодо x 1 і виключити її з інших рівнянь системи (хоча в другому рівнянні x 1 вже немає).

Сподіваємося, що суть Ви вловили.

Опишемо алгоритм методу Гауса.

Нехай нам потрібно вирішити систему з n лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними видами і нехай визначник її основної матриці відмінний від нуля.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3 при цьому діємо аналогічно з зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x n з останнього рівняння як за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.

Розберемо алгоритм з прикладу.

приклад.

методом Гауса.

Рішення.

p align="justify"> Коефіцієнт a 11 відмінний від нуля, так що приступимо до прямого ходу методу Гаусса, тобто, до виключення невідомої змінної x 1 з усіх рівнянь системи, крім першого. Для цього до лівої та правої частин другого, третього та четвертого рівняння додамо ліву та праву частини першого рівняння, помножені відповідно на , і :

Невідому змінну x 1 виключили, переходимо до виключення x 2 . До лівих та правих частин третього та четвертого рівнянь системи додаємо ліву та праву частини другого рівняння, помножені відповідно на і :

Для завершення прямого ходу методу Гауса нам залишилося виключити невідому змінну x 3 з останнього рівняння системи. Додамо до лівої та правої частин четвертого рівняння відповідно ліву та праву частину третього рівняння, помножену на :

Можна розпочинати зворотний хід методу Гаусса.

З останнього рівняння маємо ,
з третього рівняння отримуємо ,
з другого,
з першого.

Для перевірки можна підставити отримані значення невідомих змінних вихідну систему рівнянь. Всі рівняння звертаються до тотожності, що говорить про те, що рішення за методом Гауса знайдено правильно.

Відповідь:

Нині ж наведемо рішення цього прикладу методом Гаусса в матричної формі записи.

приклад.

Знайдіть розв'язок системи рівнянь методом Гауса.

Рішення.

Розширена матриця системи має вигляд . Зверху над кожним стовпцем записані невідомі змінні, яким відповідають елементи матриці.

Прямий хід методу Гаусса тут передбачає приведення розширеної матриці системи до трапецеїдальний вид за допомогою елементарних перетворень. Цей процес схожий із винятком невідомих змінних, яке ми проводили із системою в координатній формі. Зараз Ви в цьому переконаєтесь.

Перетворимо матрицю так, щоб усі елементи в першому стовпці, починаючи з другого, стали нульовими. Для цього до елементів другого, третього та четвертого рядків додамо відповідні елементи першого рядка помножені на , і відповідно:

Далі отриману матрицю перетворимо так, щоб у другому стовпці всі елементи, починаючи з третього, стали нульовими. Це відповідатиме виключенню невідомої змінної x 2 . Для цього до елементів третього та четвертого рядків додамо відповідні елементи першого рядка матриці, помножені відповідно на і :

Залишилося виключити невідому змінну x 3 із останнього рівняння системи. Для цього до елементів останнього рядка отриманої матриці додамо відповідні елементи передостаннього рядка, помножені на :

Слід зазначити, що ця матриця відповідає системі лінійних рівнянь

яка була отримана раніше після прямого ходу.

Настав час зворотного ходу. У матричній формі запису зворотний хід методу Гауса передбачає таке перетворення отриманої матриці, щоб матриця, зазначена на малюнку

стала діагональною, тобто, набула вигляду

де – деякі числа.

Ці перетворення аналогічні перетворенням прямого ходу методу Гаусса, але виконуються не від першого рядка до останнього, а від останнього до першого.

Додамо до елементів третього, другого та першого рядків відповідні елементи останнього рядка, помножені на , на та на відповідно:

Тепер додамо до елементів другого та першого рядків відповідні елементи третього рядка, помножені на і відповідно:

На останньому кроці зворотного ходу методу Гауса до елементів першого рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на :

Отримана матриця відповідає системі рівнянь , звідки знаходимо невідомі змінні

Відповідь:

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ.

При використанні методу Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри слід уникати наближених обчислень, так як це може призвести до абсолютно невірних результатів. Рекомендуємо не округляти десяткові дроби. Краще від десяткових дробівпереходити до звичайним дробам.

приклад.

Розв'яжіть систему з трьох рівнянь методом Гауса .

Рішення.

Зазначимо, що в цьому прикладі невідомі змінні мають інше позначення (не x 1 x 2 x 3 а x, y, z). Перейдемо до звичайних дробів:

Виключимо невідому x з другого та третього рівнянь системи:

В отриманій системі у другому рівнянні відсутня невідома змінна y, а в третьому рівнянні y присутня, тому, переставимо місцями друге та третє рівняння:

На цьому прямий хід методу Гауса закінчено (з третього рівняння не потрібно виключати y, оскільки цієї невідомої змінної вже немає).

Приступаємо до зворотного ходу.

З останнього рівняння знаходимо ,
з передостаннього


з першого рівняння маємо

Відповідь:

X = 10, y = 5, z = -20.

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь не збігається з числом невідомих або основна матриця системи вироджена, методом Гаусса.

Системи рівнянь, основна матриця яких прямокутна або квадратна вироджена, можуть мати рішень, можуть мати єдине рішення, а можуть мати безліч рішень.

Зараз ми розберемося, як метод Гауса дозволяє встановити спільність чи несумісність системи лінійних рівнянь, а разі її спільності визначити всі рішення (чи одне єдине рішення).

У принципі процес виключення невідомих змінних у разі таких СЛАУ залишається таким самим. Однак слід докладно зупинитися на деяких ситуаціях, які можуть виникнути.

Переходимо до найважливішого етапу.

Отже, припустимо, що система лінійних рівнянь алгебри після завершення прямого ходу методу Гаусса набула вигляду і жодне рівняння не звелося до (у цьому випадку ми зробили б висновок про несумісність системи). Виникає логічне питання: Що робити далі?

Випишемо невідомі змінні, які стоять на першому місці всіх рівнянь отриманої системи:

У прикладі це x 1 , x 4 і x 5 . У лівих частинах рівнянь системи залишаємо лише ті доданки, які містять виписані невідомі змінні x 1 , x 4 і x 5 , решту доданків переносимо у праву частину рівнянь із протилежним знаком:

Надамо невідомим змінним, які перебувають у правих частинах рівнянь, довільні значення , де - довільні числа:

Після цього в правих частинах всіх рівнянь нашої СЛАУ знаходяться числа і можна починати зворотний хід методу Гауса.

З останнього рівнянь системи маємо, з передостаннього рівняння знаходимо, з першого рівняння отримуємо

Рішенням системи рівнянь є сукупність значень невідомих змінних

Надаючи числам різні значення, ми будемо отримувати різні рішення системи рівнянь. Тобто наша система рівнянь має безліч рішень.

Відповідь:

де - Довільні числа.

Для закріплення матеріалу докладно розберемо рішення ще кількох прикладів.

приклад.

Вирішіть однорідну системулінійних рівнянь алгебри методом Гауса.

Рішення.

Виключимо невідому змінну x з другого та третього рівнянь системи. Для цього до лівої та правої частини другого рівняння додамо відповідно ліву та праву частини першого рівняння, помножені на , а до лівої та правої частини третього рівняння - ліву та праву частини першого рівняння, помножені на :

Тепер виключимо y із третього рівняння отриманої системи рівнянь:

Отримана СЛАУ рівносильна системі .

Залишаємо в лівій частині рівнянь системи тільки доданки, що містять невідомі змінні x і y, а доданки з невідомою змінною z переносимо в праву частину:

Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо безліч їх рішень збігається.

Елементарні перетворення системи рівнянь – це:

1. Викреслення із системи очевидних рівнянь, тобто. таких, у яких всі коефіцієнти дорівнюють нулю;
2. Розмноження будь-якого рівняння на число, відмінне від нуля;
3. Додаток до будь-якого i-го рівняння будь-якого j-то рівняння, помноженого на будь-яке число.

Змінна x i називається вільною, якщо ця змінна не є дозволеною, а вся система рівнянь є дозволеною.

Теорема. Елементарні перетворення переводять систему рівнянь на рівносильну.

Сенс методу Гауса полягає в тому, щоб перетворити вихідну систему рівнянь та отримати рівносильну дозволену або рівносильну несумісну систему.

Отже, метод Гауса складається з наступних кроків:

1. Розглянемо перше рівняння. Виберемо перший ненульовий коефіцієнт і розділимо все рівняння нею. Отримаємо рівняння, яке деяка змінна x i входить з коефіцієнтом 1;
2. Віднімемо це рівняння з усіх інших, множачи його на такі числа, щоб коефіцієнти при змінній x i в інших рівняннях обнулилися. Отримаємо систему, дозволену щодо змінної x i і рівносильну вихідної;
3. Якщо виникають тривіальні рівняння (рідко, але буває; наприклад, 0 = 0), викреслюємо їх із системи. Внаслідок рівнянь стає на одне менше;
4. Повторюємо попередні кроки трохи більше n разів, де n - число рівнянь у системі. Щоразу вибираємо для «обробки» нову змінну. Якщо виникають суперечливі рівняння (наприклад, 0 = 8) система несумісна.

У результаті за кілька кроків отримаємо або дозволену систему (можливо, з вільними змінними), або несовместную. Дозволені системи розпадаються на два випадки:

1. Число змінних дорівнює числу рівнянь. Отже, систему визначено;
2. Число змінних більше числарівнянь. Збираємо всі вільні змінні праворуч – отримуємо формули для дозволених змінних. Ці формули так і записуються у відповідь.

От і все! Система лінійних рівнянь вирішена! Це досить простий алгоритм, і для його освоєння вам не обов'язково звертатися до репетитора з математики. Розглянемо приклад:

Завдання. Розв'язати систему рівнянь:

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого та третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Помножуємо друге рівняння на (−1), а третє рівняння ділимо на (−3) – отримаємо два рівняння, у яких змінна x 2 входить із коефіцієнтом 1;
3. Додаємо друге рівняння до першого, а з третього – віднімаємо. Отримаємо дозволену змінну x 2;
4. Нарешті, віднімаємо третє рівняння з першого - отримуємо дозволену змінну x 3;
5. Отримали дозволену систему, записуємо відповідь.

Загальне рішення спільної системи лінійних рівнянь – це нова система, рівносильна вихідної, в якій всі дозволені змінні виражені через вільні.

Коли може знадобитися рішення? Якщо доводиться робити менше кроків, ніж k (k – це скільки всього рівнянь). Однак причин, через які процес закінчується на деякому кроці l< k , может быть две:

1. Після l-го кроку вийшла система, яка містить рівняння з номером (l + 1). Насправді, це добре, т.к. дозволена система все одно отримана – навіть на кілька кроків раніше.
2. Після l -го кроку отримали рівняння, у якому всі коефіцієнти при змінних дорівнюють нулю, а вільний коефіцієнт відмінний від нуля. Це суперечливе рівняння, отже, система несовместна.

Важливо розуміти, що виникнення суперечливого рівняння методом Гаусса - це достатня підстава несумісності. При цьому зауважимо, що в результаті l-го кроку не може залишитися тривіальних рівнянь - всі вони викреслюються у процесі.

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння, помножене на 4, з другого. А також додаємо перше рівняння до третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо третє рівняння, помножене на 2, з другого – отримаємо суперечливе рівняння 0 = −5.

Отже, система несумісна, оскільки виявлено суперечливе рівняння.

Завдання. Дослідити спільність та знайти загальне рішення системи:

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого (попередньо помноживши на два) і третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо друге рівняння з третього. Оскільки всі коефіцієнти цих рівняннях збігаються, третє рівняння перетвориться на тривіальне. Заодно помножимо друге рівняння на (-1);
3. Віднімаємо з першого рівняння друге - отримаємо дозволену змінну x 2 . Вся система рівнянь тепер також дозволена;
4. Оскільки змінні x 3 і x 4 - вільні, переносимо їх праворуч, щоб висловити дозволені змінні. Це є відповідь.

Отже, система спільна і невизначена, оскільки є дві дозволені змінні (x 1 і x 2) і дві вільні (x 3 і x 4).