Метод гауса алгоритм вирішення. Метод Гауса (послідовного виключення невідомих)

Даний онлайн калькуляторзнаходить рішення системи лінійних рівнянь(СЛУ) методом Гауса. Надається докладне рішення. Для обчислення вибирайте кількість змінних та кількість рівнянь. Потім введіть дані в комірки та натискайте на кнопку "Обчислити."

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Подання чисел:

Цілі числа та (або) Звичайні дроби
Цілі числа та (або) Десяткові дроби

Число знаків після десяткового роздільника

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Метод Гауса

Метод Гауса - це метод переходу від вихідної системи лінійних рівнянь (за допомогою еквівалентних перетворень) до системи, яка вирішується простіше, ніж вихідна система.

Еквівалентними перетвореннями системи лінійних рівнянь є:

• зміна місцями двох рівнянь у системі,
• множення будь-якого рівняння у системі на ненульове дійсне число,
• додавання одного рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

(1)

Запишемо систему (1) у матричному вигляді:

Ax=b

(2)

(3)

A-називається матриця коефіцієнтів системи, b− права частина обмежень, x− вектор змінних, яку потрібно знайти. Нехай rang( A)=p.

Еквівалентні перетворення не змінюють ранг матриці коефіцієнтів та ранг розширеної матриці системи. Не змінюється безліч рішень системи при еквівалентних перетвореннях. Суть методу Гауса полягає у приведенні матраца коефіцієнтів Aдо діагонального чи ступінчастого.

Побудуємо розшрену матрицю системи:

На наступному етапі обнулюємо всі елементи стовпця 2 нижче елемента . Якщо цей елемент нульовий, то цей рядок міняємо місцями з рядком, що лежить нижче за цей рядок і має ненульовий елемент у другому стовпці. Далі обнулюємо всі елементи стовпця 2 нижче провідного елемента a 22 . Для цього складемо рядки 3, ... mз рядком 2, помноженим на − a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22 відповідно. Продовжуючи процедуру, отримаємо матрицю діагонального чи ступінчастого вигляду. Нехай отримана розширена матриця має вигляд:

(7)

Бо rangA=rang(A|b), то безліч рішень (7) є ( n−p) - Різноманітність. Отже n−pневідомих можна вибрати довільно. Інші невідомі із системи (7) обчислюються так. З останнього рівняння виражаємо x p через інші змінні та вставляємо у попередні вирази. Далі з передостаннього рівняння виражаємо x p−1 через інші змінні та вставляємо у попередні вирази тощо. Розглянемо метод Гауса на конкретних прикладах.

Приклади розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Приклад 1. Знайти загальне рішеннясистеми лінійних рівнянь методом Гауса:

Позначимо через a ij елементи i-ого рядка та j-ого стовпця.

a 1 1 . Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -2/3,-1/2 відповідно:

Матричний вид запису: Ax=b, де

Позначимо через a ij елементи i-ого рядка та j-ого стовпця.

Виключимо елементи 1-го стовпця матриці нижче елемента a 11 . Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -1/5,-6/5 відповідно:

Ділимо кожен рядок матриці на відповідний провідний елемент (якщо провідний елемент існує):

де x 3 , x

Підставивши верхні вирази у нижні, отримаємо рішення.

Тоді векторне рішення можна так:

де x 3 , x 4 − довільні дійсні числа.

Одним із універсальних та ефективних методів вирішення лінійних алгебраїчних систем є метод Гауса , що перебуває у послідовному виключенні невідомих.

Нагадаємо, дві системи називаються еквівалентними (рівносильними), якщо множини їх рішень збігаються. Іншими словами, системи еквівалентні, якщо кожне рішення однієї з них є рішенням іншої та навпаки. Еквівалентні системи виходять при елементарні перетворення рівнянь системи:

множення обох частин рівняння на число відмінне від нуля;

додавання до деякого рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на число відмінне від нуля;

перестановка двох рівнянь.

Нехай дана система рівнянь

Процес вирішення цієї системи за методом Гауса складається із двох етапів. На першому етапі (прямий хід) система за допомогою елементарних перетворень наводиться до східчастому , або трикутному виду, але в другому етапі ( зворотний хід) йде послідовне, починаючи з останнього за номером змінного визначення невідомих з отриманої ступінчастої системи.

Припустимо, що коефіцієнт цієї системи
, в іншому випадку в системі перший рядок можна поміняти місцями з будь-яким іншим рядком так, щоб коефіцієнт при був відмінний від нуля.

Перетворимо систему, виключивши невідоме у всіх рівняннях, крім першого. Для цього помножимо обидві частини першого рівняння на і складемо почленно з другим рівнянням системи. Потім помножимо обидві частини першого рівняння на та складемо з третім рівнянням системи. Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему

Тут
– нові значення коефіцієнтів та вільних членів, які виходять після першого кроку.

Аналогічно, вважаючи головним елементом
, виключимо невідоме із усіх рівнянь системи, крім першого та другого. Продовжимо цей процес, поки це можливо, в результаті отримаємо східчасту систему

,

де ,
,…,- Головні елементи системи
.

Якщо в процесі приведення системи до ступінчастого вигляду з'являться рівняння, тобто рівності виду
, їх відкидають, тому що їм задовольняють будь-які набори чисел
. Якщо ж при
з'явиться рівняння виду, яке немає рішень, це свідчить про несумісності системи.

При зворотному ході із останнього рівняння перетвореної ступінчастої системи виражається перше невідоме через решту невідомих
, які називають вільними . Потім вираз змінної з останнього рівняння системи підставляється в передостаннє рівняння та з нього виражається змінна
. Аналогічно послідовно визначаються змінні
. Змінні
, виражені через вільні змінні, називаються базисними (Залежними). В результаті виходить загальне рішення системи лінійних рівнянь.

Щоб знайти приватне рішення системи, вільним невідомим
у загальному рішенні надаються довільні значення та обчислюються значення змінних
.

Технічно зручніше піддавати елементарним перетворенням не самі рівняння системи, а розширену матрицю системи

.

Метод Гауса - універсальний метод, який дозволяє вирішувати не лише квадратні, а й прямокутні системи, у яких кількість невідомих
не дорівнює числу рівнянь
.

Перевага цього методу полягає також у тому, що в процесі рішення ми одночасно досліджуємо систему на спільність, оскільки, навівши розширену матрицю
до ступінчастого вигляду, легко визначити ранги матриці та розширеної матриці
та застосувати теорему Кронекера - Капеллі .

Приклад 2.1Методом Гауса вирішити систему

Рішення. Число рівнянь
та кількість невідомих
.

Складемо розширену матрицю системи, приписавши праворуч від матриці коефіцієнтів стовпець вільних членів .

Наведемо матрицю до трикутного вигляду; для цього отримуватимемо «0» нижче елементів, що стоять на головній діагоналі за допомогою елементарних перетворень.

Щоб отримати «0» у другій позиції першого стовпця, помножимо перший рядок на (-1) і додамо до другого рядка.

Це перетворення запишемо числом (-1) проти першого рядка і позначимо стрілкою, що йде від першого рядка до другого рядка.

Для отримання «0» у третій позиції першого стовпця, помножимо перший рядок на (-3) і додамо до третього рядка; покажемо цю дію за допомогою стрілки, що йде від першого рядка до третього.

.

В отриманій матриці, записаній другий у ланцюжку матриць, отримаємо «0» у другому стовпці третьої позиції. Для цього помножили другий рядок на (-4) і додали до третього. В отриманій матриці другий рядок помножимо на (-1), а третій - розділимо на (-8). Всі елементи цієї матриці, що лежать нижче за діагональні елементи - нулі.

Бо , система є спільною та певною.

Відповідна останній матриці система рівнянь має трикутний вигляд:

З останнього (третього) рівняння
. Підставимо у друге рівняння та отримаємо
.

Підставимо
і
у перше рівняння, знайдемо


.

Продовжуємо розглядати системи лінійних рівнянь. Цей урок є третім на тему. Якщо ви невиразно уявляєте, що таке система лінійних рівнянь взагалі, почуваєтеся чайником, то рекомендую почати з азів на сторінці Далі корисно вивчити урок.

Метод Гауса – це просто!Чому? Відомий німецький математик Йоган Карл Фрідріх Гаусс ще за життя отримав визнання найбільшого математика всіх часів, генія і навіть прізвисько «короля математики». А все геніальне, як відомо просто!До речі, на гроші потрапляють не лише лохи, а ще й генії – портрет Гауса красувався на купюрі в 10 дойчмарок (до введення євро), і Гаус досі загадково посміхається німцям зі звичайних поштових марок.

Метод Гауса простий тим, що для його освоєння ДОСИТЬ ЗНАНЬ П'ЯТИКЛАСНИКА. Необхідно вміти складати та множити!Невипадково метод послідовного виключення невідомих викладачі часто розглядають на шкільних математичних факультативах. Парадокс, але у студентів метод Гауса викликає найбільші складнощі. Нічого дивного – вся річ у методиці, і я постараюся у доступній формі розповісти про алгоритм методу.

Спочатку трохи систематизуємо знання про системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь може:

1) Мати єдине рішення. 2) Мати безліч рішень. 3) Не мати рішень (бути несумісний).

Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якийсистеми лінійних рівнянь Як ми пам'ятаємо, правило Крамера та матричний методнепридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. А метод послідовного виключення невідомих у будь-якому випадкуприведе нас до відповіді! На цьому уроці ми знову розглянемо метод Гауса для випадку №1 (єдине рішення системи), під пунктами №№2-3 відведено статтю. Зауважу, що сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково.

Повернемося до найпростішою системіз уроку Як розв'язати систему лінійних рівнянь?і вирішимо її методом Гауса.

На першому етапі слід записати розширену матрицю системи: . За яким принципом записані коефіцієнти, гадаю, всім видно. Вертикальна характеристика всередині матриці не несе ніякого математичного сенсу - це просто накреслення для зручності оформлення.

Довідка : рекомендую запам'ятати терміни лінійної алгебри. Матриця системи - Це матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, в даному прикладі матриця системи: . Розширена матриця системи – це та сама матриця системи плюс стовпець вільних членів, у разі: . Будь-яку з матриць можна для стислості називати просто матрицею.

Після того, як розширена матриця системи записана, з нею необхідно виконати деякі дії, які також називаються елементарними перетвореннями.

Існують такі елементарні перетворення:

1) Рядкиматриці можна переставлятимісцями. Наприклад, у матриці можна безболісно переставити перший і другий рядки:

2) Якщо у матриці є (або з'явилися) пропорційні (як окремий випадок– однакові) рядки, то слід видалитиз матриці всі ці рядки крім одного. Розглянемо, наприклад, матрицю . У цій матриці останні три рядки пропорційні, тому достатньо залишити лише одну з них: .

3) Якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його слід також видалити. Малювати не буду, зрозуміло, нульовий рядок – це рядок, у якому одні нулі.

4) Рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля. Розглянемо, наприклад, матрицю. Тут доцільно перший рядок розділити на –3, а другий рядок – помножити на 2: . Ця дія дуже корисна, оскільки спрощує подальші перетворення матриці.

5) Це перетворення викликає найбільші труднощі, але насправді нічого складного також немає. До рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля. Розглянемо нашу матрицю з практичного прикладу: . Спочатку я розпишу перетворення дуже докладно. Помножуємо перший рядок на -2: , і до другого рядка додаємо перший рядок помножений на –2: . Тепер перший рядок можна розділити «назад» на –2: . Як бачите, рядок, який ПРИДБА ЧИ – не змінилася. Завждизмінюється рядок, ДО ЯКОГО ДОДАТИ ЮТ.

Насправді так докладно, звісно, ​​не розписують, а пишуть коротше: Ще раз: до другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. Помножують рядок зазвичай усно або на чернетці, при цьому уявний хід розрахунків приблизно такий:

«Переписую матрицю та переписую перший рядок: »

«Спочатку перший стовпець. Внизу мені потрібно отримати нуль. Тому одиницю вгорі множу на –2: , і до другого рядка додаю перший: 2 + (–2) = 0. Записую результат у другий рядок: »

«Тепер другий стовпець. Угорі –1 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: 1 + 2 = 3. Записую результат до другого рядка: »

«І третій стовпець. Угорі –5 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: –7 + 10 = 3. Записую результат до другого рядка: »

Будь ласка, ретельно осмисліть цей приклад і розберіться в послідовному алгоритмі обчислень, якщо ви це зрозуміли, то метод Гауса практично «в кишені». Але, звісно, ​​над цим перетворенням ми ще попрацюємо.

Елементарні перетворення не змінюють рішення системи рівнянь

! УВАГА: розглянуті маніпуляції не можна використовуватиякщо Вам запропоновано завдання, де матриці дано «самі по собі». Наприклад, при «класичних» діях з матрицямищось переставляти всередині матриць в жодному разі не можна! Повернемося до нашої системи. Вона практично розібрана по кісточках.

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до східчастого вигляду:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. І знову: чому перший рядок множимо саме на -2? Для того щоб внизу отримати нуль, а значить, позбавитися однієї змінної в другому рядку.

(2) Ділимо другий рядок на 3.

Ціль елементарних перетворень – привести матрицю до ступінчастого вигляду: . В оформленні завдання прямо так і відкреслюють простим олівцем «сходи», а також обводять кружальцями числа, які розташовуються на «сходах». Сам термін «ступінчастий вигляд» не цілком теоретичний, у науковій та навчальної літературивін часто називається трапецієподібний виглядабо трикутний вигляд.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентнавихідна система рівнянь:

Тепер систему потрібно «розкрутити» у зворотному напрямку – знизу нагору, цей процес називається зворотним ходом методу Гауса.

У нижньому рівнянні ми вже готовий результат: .

Розглянемо перше рівняння системи та підставимо в нього вже відоме значення «гравець»:

Розглянемо найпоширенішу ситуацію, коли методом Гауса потрібно вирішити систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.

Приклад 1

Розв'язати методом Гауса систему рівнянь:

Запишемо розширену матрицю системи:

Зараз я одразу намалюю результат, до якого ми прийдемо під час рішення: І повторюся, наша мета – за допомогою елементарних перетворень привести матрицю до східчастого вигляду. З чого розпочати дії?

Спочатку дивимося на ліве верхнє число: Майже завжди тут має бути одиниця. Взагалі кажучи, влаштує і –1 (а іноді й інші числа), але якось традиційно склалося, що туди зазвичай поміщають одиницю. Як організувати одиницю? Дивимось на перший стовпець – готова одиниця у нас є! Перетворення перше: міняємо місцями перший і третій рядки:

Тепер перший рядок у нас залишиться незмінним до кінця рішення. Вже легше.

Одиниця у лівому верхньому кутку організована. Тепер потрібно отримати нулі на цих місцях:

Нулі отримуємо саме за допомогою «важкого» перетворення. Спочатку знаємося з другим рядком (2, -1, 3, 13). Що потрібно зробити, щоби на першій позиції отримати нуль? Потрібно до другого рядка додати перший рядок, помножений на –2. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –2: (–2, –4, 2, –18). І послідовно проводимо (знову ж таки подумки або на чернетці) додавання, до другого рядка додаємо перший рядок, вже помножений на –2:

Результат записуємо у другий рядок:

Аналогічно розуміємося з третім рядком (3, 2, -5, -1). Щоб отримати на першій позиції нуль, потрібно до третього рядка додати перший рядок, помножений на –3. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –3: (–3, –6, 3, –27). І до третього рядка додаємо перший рядок, помножений на –3:

Результат записуємо у третій рядок:

Насправді ці дії зазвичай виконуються усно і записуються за один крок:

Не треба рахувати все відразу і одночасно. Порядок обчислень та «вписування» результатів послідовнийі зазвичай такий: спочатку переписуємо перший рядок, і пихкаємо собі потихеньку - НАСЛІДНО і Уважно:
А уявний хід самих розрахунків я вже розглянув вище.

У цьому прикладі це зробити легко, другий рядок ділимо на –5 (оскільки там усі числа діляться на 5 без залишку). Заодно ділимо третій рядок на –2, адже що менше числа, то простіше рішення:

На заключному етапі елементарних перетворень потрібно отримати ще один нуль:

Для цього до третього рядка додаємо другий рядок, помножений на -2:
Спробуйте розібрати цю дію самостійно - помножте другий рядок на -2 і проведіть додавання.

Остання виконана дія – зачіска результату, ділимо третій рядок на 3.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну вихідну систему лінійних рівнянь: Круто.

Тепер у дію вступає зворотний перебіг методу Гаусса. Рівняння розкручуються знизу вгору.

У третьому рівнянні ми вже готовий результат:

Дивимося друге рівняння: . Значення «зет» вже відоме, таким чином:

І, нарешті, перше рівняння: . «Ігрек» і «Зет» відомі, справа за малим:

Відповідь:

Як уже неодноразово зазначалося, для будь-якої системи рівнянь можна і потрібно зробити перевірку знайденого рішення, благо це нескладно і швидко.

Приклад 2

Це приклад для самостійного рішення, зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Слід зазначити, що ваш хід рішенняможе не збігтися з моїм ходом рішення, і це – особливість методу Гауса. Але відповіді обов'язково повинні вийти однаковими!

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Я вчинив так: (1) До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на –1. Тобто подумки помножили другий рядок на -1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер зліва вгорі "мінус один", що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додатковий рух тіла: помножити перший рядок на –1 (змінити у неї знак).

(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

(3) Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

(4) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

(5) Третій рядок поділили на 3.

Поганою ознакою, яка свідчить про помилку в обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на зразок, і, відповідно, , то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що припущена помилка під час елементарних перетворень.

Заряджаємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює, знизу нагору. Та тут подарунок вийшов:

Відповідь: .

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Це приклад для самостійного рішення, він дещо складніший. Нічого страшного, якщо хтось заплутається. Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку. Ваше рішення може відрізнятись від мого рішення.

В останній частині розглянемо деякі особливості алгоритму Гаусса. Перша особливість полягає в тому, що іноді в рівняннях системи відсутні деякі змінні, наприклад: Як правильно записати розширену матрицю системи? Про цей момент я вже розповідав на уроці Правило Крамер. Матричний метод. У розширеній матриці системи на місці відсутніх змінних ставимо нулі: До речі, це досить легкий приклад, оскільки в першому стовпці вже є один нуль, і виконати менше елементарних перетворень.

Друга особливість полягає ось у чому. У всіх розглянутих прикладах на «сходинки» ми поміщали або -1 або +1. Чи можуть там бути інші числа? У ряді випадків можуть. Розглянемо систему: .

Тут на лівій верхній сходинці у нас двійка. Але помічаємо той факт, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2 без залишку - й інша двійка та шістка. І двійка зліва нагорі нас влаштує! На першому кроці потрібно виконати такі перетворення: до другого рядка додати перший рядок, помножений на -1; до третього рядка додати перший рядок, помножений на -3. Таким чином, ми отримаємо потрібні нулі у першому стовпці.

Або ще такий умовний приклад: . Тут трійка на другому «сході» теж нас влаштовує, оскільки 12 (місце, де нам потрібно отримати нуль) ділиться на 3 без залишку. Необхідно провести наступне перетворення: до третього рядка додати другий рядок, помножений на -4, в результаті чого буде отримано потрібний нам нуль.

Метод Гауса універсальний, але є одна своєрідність. Впевнено навчитися вирішувати системи іншими методами (методом Крамера, матричним методом) можна буквально з першого разу - там дуже жорсткий алгоритм. Але щоб впевнено себе почувати в методі Гауса, слід «набити руку», і вирішувати хоча б 5-10 десять систем. Тому спочатку можливі плутанина, помилки у обчисленнях і в цьому немає нічого незвичайного чи трагічного.

Дощова осіння погода за вікном. Тому для всіх бажаючих складніший приклад для самостійного рішення:

Приклад 5

Вирішити методом Гауса систему 4-х лінійних рівнянь із чотирма невідомими.

Таке завдання практично зустрічається негаразд і рідко. Думаю, навіть чайнику, який докладно вивчив цю сторінку, інтуїтивно зрозумілий алгоритм розв'язання такої системи. Принципово так само – просто дій більше.

Випадки, коли система не має рішень (неспільна) або має безліч рішень, розглянуті на уроці. Несумісні системи та системи із загальним рішенням. Там можна закріпити розглянутий алгоритм методу Гаусса.

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду.
Виконані елементарні перетворення: (1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -1. Увага! Тут може виникнути спокуса від третього рядка відняти першу, вкрай не рекомендую віднімати - сильно підвищується ризик помилки. Тільки складаємо! (2) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Другий і третій рядки поміняли місцями. Зверніть увагу , Що на "сходинках" нас влаштовує не тільки одиниця, але ще й -1, що навіть зручніше. (3) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 5. (4) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Третій рядок поділили на 14.

Зворотний хід:

Відповідь : .

Приклад 4: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення: (1) До першого рядка додали другий. Таким чином, організована потрібна одиниця на лівій верхній сходинці. (2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 7. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 6.

З другою «сходинкою» все гірше , «Кандидати» неї - числа 17 і 23, а нам необхідна або одиниця, або -1. Перетворення (3) та (4) будуть спрямовані на отримання потрібної одиниці (3) До третього рядка додали другий, помножений на –1. (4) До другого рядка додали третій, помножений на –3. Потрібна річ на другій сходинці отримана . (5) До третього рядка додали другий, помножений на 6. (6) Другий рядок помножили на -1, третій рядок поділили на -83.

Зворотний хід:

Відповідь :

Приклад 5: Рішення : Запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення: (1) Перший і другий рядки поміняли місцями. (2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -2. До четвертого рядка додали перший рядок, помножений на -3. (3) До третього рядка додали другий, помножений на 4. До четвертого рядка додали другий, помножений на –1. (4) У другому рядку змінили знак. Четвертий рядок розділили на 3 та помістили замість третього рядка. (5) До четвертого рядка додали третій рядок, помножений на -5.

Зворотний хід:

Відповідь :

Нехай дана система , ∆≠0. (1)
Метод Гауса- Це метод послідовного виключення невідомих.

Суть методу Гауса полягає у перетворенні (1) до системи з трикутною матрицею , з якої потім послідовно (зворотним ходом) виходять значення всіх невідомих. Розглянемо одну з обчислювальних схем. Ця схема називається схемою єдиного поділу. Отже, розглянемо цю схему. Нехай a11 ≠0 (провідний елемент) розділимо на a11 перше рівняння. Отримаємо
(2)
Користуючись рівнянням (2), легко виключити невідомі x 1 з інших рівнянь системи (для цього достатньо від кожного рівняння відняти рівняння (2) попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при x 1), тобто на першому кроці отримаємо
.
Іншими словами, на 1 кроці кожен елемент наступних рядків, починаючи з другого, дорівнює різниці між вихідним елементом і добутком його «проекції» на перший стовпець і перший (перетворений) рядок.
Після цього залишивши перше рівняння у спокої, над іншими рівняннями системи, отриманої першому кроці, зробимо аналогічне перетворення: виберемо з їхньої рівняння з провідним елементом і виключимо з його допомогою з інших рівнянь x 2 (крок 2).
Після n кроків замість (1) отримаємо рівносильну систему
(3)
Отже, першому етапі ми отримаємо трикутну систему (3). Цей етап називається прямим перебігом.
На другому етапі (зворотний хід) ми знаходимо послідовно (3) значення x n , x n -1 , …, x 1 .
Позначимо отримане рішення за x0. Тоді різниця ε=b-A·x 0 називається нев'язкою.
Якщо ε=0, то знайдене рішення x0 є вірним.

Обчислення за методом Гауса виконуються у два етапи:

1. Перший етап називається прямим перебігом методу. У першому етапі вихідну систему перетворять до трикутному виду.
2. Другий етап називається зворотним ходом. З другого краю етапі вирішують трикутну систему, еквівалентну вихідної.

Коефіцієнти а 11 22 … називають провідними елементами.
На кожному кроці передбачалося, що провідний елемент відрізняється від нуля. Якщо це не так, то як ведучий можна використовувати будь-який інший елемент, як би переставивши рівняння системи.

Призначення методу Гаусса

Метод Гаусса призначений на вирішення систем лінійних рівнянь. Належить до прямих методів рішення.

Види методу Гауса

1. Класичний метод Гаусса;
2. Модифікації методу Гауса. Однією з модифікацій методу Гаус є схема з вибором головного елемента. Особливістю методу Гауса з вибором головного елемента є така перестановка рівнянь, щоб на k-му кроці провідним елементом виявлявся найбільший за модулем елемент k-го стовпця.
3. Метод Жордано-Гаусса;

Відмінність методу Жордано-Гаусса від класичного методу Гаусаполягає у застосуванні правила прямокутника, коли напрямок пошуку рішення відбувається по головній діагоналі (перетворення до одиничної матриці). У методі Гауса напрямок пошуку рішення відбувається по стовпцям (перетворення до системи з трикутною матрицею).
Проілюструємо відмінність методу Жордано-Гауссавід методу Гауса на прикладах.

Приклад рішення методом Гаусса
Вирішимо систему:

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го

Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го

З першого рядка виражаємо x 3:
З другого рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1:

Приклад рішення методом Жордано-Гаусса
Цю ж СЛАУ вирішимо методом Жордано-Гаусса.

Послідовно вибиратимемо роздільну здатність елемент РЕ, який лежить на головній діагоналі матриці.
Роздільний елемент дорівнює (1).



НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
РЕ - роздільна здатність елемент (1), А і В - елементи матриці, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Роздільний елемент дорівнює (3).
На місці роздільного елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта всіх елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Роздільний елемент дорівнює (-4).
На місці роздільного елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта всіх елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Відповідь: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Реалізація методу Гауса

Метод Гауса реалізований багатьма мовами програмування, зокрема: Pascal, C++, php, Delphi , і навіть є реалізація методу Гауса в онлайн режимі .

Використання методу Гауса

Застосування методу Гауса в теорії ігор

Теоретично ігор при знайденні максимальної оптимальної стратегії гравця складається система рівнянь, яка вирішується шляхом Гаусса.

Застосування методу Гаусса під час вирішення диференціальних рівнянь

Для пошуку приватного рішення диференціального рівняння спочатку знаходять похідні відповідного ступеня для записаного приватного рішення (y=f(A,B,C,D)), які підставляють вихідне рівняння. Далі, щоб знайти змінні A,B,C,Dскладається система рівнянь, що вирішується методом Гаусса.

Застосування методу Жордано-Гаусса у лінійному програмуванні

У лінійному програмуванні, зокрема в симплекс-методі перетворення симплексной таблиці кожної ітерації використовується правило прямокутника, у якому використовується метод Жордано-Гаусса.

Визначення та опис методу Гауса

Метод перетворень Гауса (також відомий як перетворення методом послідовного виключення невідомих змінних із рівняння або матриці) для вирішення систем лінійних рівнянь є класичний методом рішення системи алгебраїчних рівнянь(СЛАУ). Також цей класичний метод використовують для вирішення таких завдань, як отримання зворотних матрицьта визначення ранговості матриці.

Перетворення за допомогою методу Гауса полягає у скоєнні невеликих (елементарних) послідовних змін системи лінійних рівнянь алгебри, що призводять до виключення змінних з неї зверху вниз з утворенням нової трикутної системи рівнянь, що є рівносильною вихідної.

Визначення 1

Ця частина рішення має назву прямого ходурішення Гауса, оскільки весь процес здійснюється зверху донизу.

Після приведення вихідної системи рівнянь до трикутної здійснюється знаходження всіх змінних системизнизу вгору (тобто перші знайдені змінні займають саме на останніх рядках системи або матриці). Ця частина рішення відома також як зворотний перебіг рішення методом Гаусса. Полягає його алгоритм у наступному: спочатку обчислюється змінні, що знаходяться ближче до низу системи рівнянь або матриці, потім отримані значення підставляються вище і таким чином знаходиться ще одна змінна і так далі.

Опис алгоритму методу Гауса

Послідовність дій для загального розв'язання системи рівняння методом Гаусса полягає у почерговому застосуванні прямого та зворотного ходу до матриці на основі СЛАУ. Нехай вихідна система рівнянь має такий вигляд:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Щоб вирішити СЛАУ методом Гауса, необхідно записати вихідну систему рівнянь як матриці:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \dots \\ b_m \end(pmatrix)$

Матриця $A$ називається основною матрицею і є записані по порядку коефіцієнти при змінних, а $b$ називається стовпцем її вільних членів. Матриця $A$, записана через межу зі стовпцем вільних членів називається розширеною матрицею:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Тепер необхідно за допомогою елементарних перетворень над системою рівнянь (або над матрицею, тому що це зручніше) привести її до наступного виду:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Матриця, отримана з коефіцієнтів перетвореної системи рівняння (1) називається ступінчастою, так зазвичай виглядають ступінчасті матриці:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) a_(33) & b_3 \end(array)$

Для цих матриць характерний наступний набір властивостей:

1. Усі її нульові рядки стоять після ненульових
2. Якщо деякий рядок матриці з номером $k$ ненульовий, то в попередньому рядку цієї матриці нулів менше, ніж у цій, що володіє номером $k$.

Після отримання ступінчастої матриці необхідно підставити отримані змінні в рівняння, що залишилися (починаючи з кінця) і отримати значення змінних, що залишилися.

Основні правила та дозволені перетворення при використанні методу Гауса

У разі спрощення матриці або системи рівнянь цим методом потрібно використовувати лише елементарні перетворення.

Такими перетвореннями вважаються операції, які можна застосовувати до матриці або системи рівнянь без зміни її сенсу:

• перестановка кількох рядків місцями,
• додавання або віднімання з одного рядка матриці іншого рядка з неї,
• множення чи розподіл рядки на константу, не рівну нулю,
• рядок, що складається з одних нулів, отриману в процесі обчислення та спрощення системи, потрібно видалити,
• Також потрібно видалити зайві пропорційні рядки, обравши для системи єдину з них з більш підходящими та зручними для подальших обчислень коефіцієнтами.

Усі елементарні перетворення є оборотними.

Розбір трьох основних випадків, що виникають при вирішенні лінійних рівнянь, використовуючи метод простих перетворень Гауса

Розрізняють три випадки, що виникають при використанні методу Гауса для вирішення систем:

1. Коли система несумісна, тобто вона не має жодних рішень
2. Система рівнянь має рішення, причому єдине, а кількість ненульових рядків і стовпців у матриці дорівнює між собою.
3. Система має кілька чи безліч можливих рішень, а кількість рядків у ній менша за кількість стовпців.

Вихід рішення з несумісною системою

Для цього варіанта при вирішенні матричного рівнянняМетодом Гауса характерне отримання якогось рядка з неможливістю виконання рівності. Тому при виникненні хоча б однієї неправильної рівності отримана та вихідна системи не мають рішень незалежно від інших рівнянь, які вони містять. Приклад несумісної матриці:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

В останньому рядку виникла рівність, що не виконується: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Система рівнянь, яка має лише одне рішення

Дані системи після приведення до ступінчастої матриці та видалення рядків з нулями мають однакову кількість рядків та стовпців в основній матриці. Ось найпростіший прикладтакої системи:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Запишемо її у вигляді матриці:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Щоб привести перший осередок другого рядка до нуля, домножимо верхній рядок на $-2$ і віднімемо його з нижнього рядка матриці, а верхній рядок залишимо у вихідному вигляді, в результаті маємо таке:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Цей приклад можна записати у вигляді системи:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

З нижнього рівняння виходить таке значення $x$: $x_2 = 3 \ frac (1) (3) $. Підставимо це значення у верхнє рівняння: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, отримуємо $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Система, що має безліч можливих варіантів рішень

Для цієї системи характерно менше значущих рядків, ніж кількість стовпців у ній (враховуються рядки основної матриці).

Змінні у такій системі діляться на два види: базисні та вільні. При перетворенні такої системи основні змінні, що містяться в ній, необхідно залишити в лівій області до знака “=”, а інші змінні перенести в праву частинурівності.

Така система має лише якесь загальне рішення.

Розберемо наступну системурівнянь:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Запишемо її у вигляді матриці:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Наше завдання – знайти загальне рішення системи. Для цієї матриці базовими змінними будуть $y_1$ і $y_3$ (для $y_1$ - оскільки він стоїть першому місці, а разі $y_3$ - розташовується після нулів).

Як базисні змінні вибираємо саме ті, які перші в рядку не дорівнюють нулю.

Змінні, що залишилися, називаються вільними, через них нам необхідно висловити базисні.

Використовуючи так званий зворотний хід, розбираємо систему знизу вгору, для цього спочатку виражаємо $y_3$ з нижнього рядка системи:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Тепер у верхнє рівняння системи $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ підставляємо виражене $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Висловлюємо $y_1$ через вільні змінні $y_2$ і $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 - 0.1y_4 + 0.6 $

Рішення готове.

Приклад 1

Вирішити слау методом Гауса. приклади. Приклад розв'язання системи лінійних рівнянь заданих матрицею 3 на 3 використовуючи метод Гаусса

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(cases)$

Запишемо нашу систему у вигляді розширеної матриці:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\end(array)$

Тепер для зручності та практичності потрібно перетворити матрицю так, щоб у верхньому кутку крайнього стовпця була $1$.

Для цього до першого рядка необхідно додаємо рядок з середини, помножену на $-1$, а самий середній рядок записуємо як є, виходить:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0 \\\end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\end(array) $

Домножимо верхній та останній рядки на $-1$, а також поміняємо місцями останній та середній рядки:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\(array)$

І розділимо останній рядок на $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\(end) $

Отримуємо наступну систему рівнянь, рівносильну вихідній:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

З верхнього рівняння виражаємо $x_1$:

$ x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Приклад 2

Приклад рішення системи, заданої за допомогою матриці 4 на 4 методом Гаусса

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\end(array)$.

Спочатку міняємо місцями верхню досліджувальну за нею рядки, щоб отримати в лівому верхньому кутку $1$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\\end(array)$.

Тепер помножимо верхній рядок на $-2$ і додамо до 2-го і до 3-го. До четвертого додаємо перший рядок, домножений на $-3 $:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Тепер до рядка з номером 3 додаємо рядок 2, помножений на $4$, а до рядка 4 додаємо рядок 2, помножений на $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Домножуємо рядок 2 на $-1$, а рядок 4 ділимо на $3$ і ставимо місце рядка 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1&3&2&1&11 \\0&1&0&1&2\\0&0&1&0&2\\0&0&5& 1 & 10 \\ \end(array)$

Тепер додаємо до останнього рядка передостанній, примножений на $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1&3&2&1&11 \\0&1&0&1&2\\0&0&1&0&2\\0&0&0& 1 & 0 \\ \end(array)$

Вирішуємо отриману систему рівнянь:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\ y + m = 2\ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$