Матричний метод рішення СЛАУзастосовують до розв'язання систем рівнянь, які мають кількість рівнянь відповідає кількості невідомих. Метод найкраще застосовувати для вирішення систем низького порядку. Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь ґрунтується на застосуванні властивостей множення матриць.
Цей спосіб, іншими словами метод зворотної матриці,називають так, тому що рішення зводиться до звичайного матричного рівняння, для вирішення якого потрібно знайти зворотну матрицю.
Матричний метод вирішенняСЛАУ з визначником, який більший або менший за нуль полягає в наступному:
Припустимо, є СЛУ (система лінійних рівнянь) з nневідомими (над довільним полем):
Значить, її легко перевести в матричну форму:
AX=B, де A- Основна матриця системи, Bі X- Стовпці вільних членів та рішень системи відповідно:
Помножимо це матричне рівняння зліва на A −1- Зворотну матрицю до матриці A: A −1 (AX)=A −1 B.
Т.к. A −1 A=Eотже, X=A −1 B. Права частинарівняння дає стовпець рішень початкової системи. Умовою застосування матричного методу є невиродженість матриці A. Необхідним та достатньою умовоюцього є нерівність нулю визначника матриці A:
detA≠0.
Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто. якщо вектор B=0, Виконується зворотне правило: у системи AX=0є нетривіальне (тобто не рівне нулю) рішення лише коли detA=0. Цей зв'язок між рішеннями однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь називається альтернатива Фредґольму.
В.о., рішення СЛАУ матричним методомпроводиться за формулою 
. Або рішення СЛАУ знаходять за допомогою зворотної матриці A −1.
Відомо, що у квадратної матриці Апорядку nна nє зворотна матриця A −1тільки у тому випадку, якщо її визначник ненульовий. Таким чином, систему nлінійних алгебраїчних рівняньз nневідомими вирішуємо матричним методом лише у випадку, якщо визначник основної матриці системи не дорівнює нулю.
Незважаючи на те, що є обмеження можливості застосування такого методу та існують складності обчислень при великих значеннях коефіцієнтів та систем високого порядку, метод можна легко реалізувати на ЕОМ
Приклад розв'язання неоднорідної СЛАУ.
Для початку перевіримо, чи нулю не дорівнює визначник матриці коефіцієнтів у невідомих СЛАУ.
Тепер знаходимо союзну матрицю, транспонуємо її та підставляємо у формулу для визначення зворотної матриці.
Підставляємо змінні у формулу:
Тепер знаходимо невідомі, перемножуючи зворотну матрицю та стовпчик вільних членів.
Отже, x=2; y=1; z=4.
При переході від звичайного виду СЛАУ до матричної форми будьте уважними з порядком невідомих змінних рівнянь системи. Наприклад:
НЕ МОЖНА записати як:
Необхідно, для початку, упорядкувати невідомі змінні в кадом рівнянні системи і лише після цього переходити до матричного запису:
Крім того, потрібно бути уважними з позначенням невідомих змінних, x 1 , x 2 , …, x nможуть виявитися інші літери. Наприклад:
у матричній формі записуємо так:
Матричним методом краще вирішувати системи лінійних рівнянь, В яких кількість рівнянь збігається з числом невідомих змінних і визначник основної матриці системи не дорівнює нулю. Коли в системі більше 3-х рівнянь, на знаходження зворотної матриці потрібно більше обчислювальних зусиль, тому в цьому випадку доцільно використовувати для вирішення метод Гаусса.
Призначення сервісу. За допомогою даного онлайн-калькулятора обчислюються невідомі (x1, x2, ..., xn) в системі рівнянь. Рішення здійснюється методом зворотної матриці. При цьому:- обчислюється визначник матриці A;
- через алгебраїчні доповненнязнаходиться зворотна матриця A-1;
- здійснюється створення шаблону рішення в Excel;
Інструкція. Для отримання рішення шляхом зворотної матриці необхідно задати розмірність матриці. Далі у новому діалоговому вікні заповнити матрицю A та вектор результатів B .
також Розв'язання матричних рівнянь.Алгоритм рішення
- Обчислюється визначник матриці A. Якщо визначник дорівнює нулю, кінець рішення. Система має безліч рішень.
- При визначнику відмінному від нуля, через додатки алгебри знаходиться зворотна матриця A -1 .
- Вектор рішення X = (x 1, x 2, ..., x n) виходить множенням зворотної матриці на вектор результату B.
Алгебраїчні доповнення.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0/-21 = 0
x 3 = -21/-21 = 1
Перевірка:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Матричний метод дозволяє знаходити рішення СЛАУ (система лінійних рівнянь алгебри) будь-якої складності. Весь процес рішення СЛАУ зводиться до двох основних дій:
Визначення зворотної матриці на основі головної матриці:
Розмноження отриманої зворотної матриці на вектор-стовпець рішень.
Допустимо, дано СЛАУ наступного виду:
\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]
Почнемо розв'язання даного рівняння з виписування матриці системи:
Матриця правої частини:
Визначимо зворотну матрицю. Знайти матрицю 2-го порядку можна так: 1 - сама матриця повинна бути невиродженою; 2 - її елементи, які знаходяться на головній діагоналі, міняємо місцями, а у елементів побічної діагоналі виконуємо зміну знака на протилежний, після чого виконуємо розподіл отриманих елементів на визначник матриці. Отримаємо:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 матриці вважаються рівними, якщо дорівнюють їх відповідні елементи. У результаті маємо наступну відповідь рішення СЛАУ:
Де можна вирішити систему рівнянь матричним методом онлайн?
Вирішити систему рівнянь ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте.
Розглянемо систему лінійних рівнянь алгебри(СЛАУ) щодо nневідомих x 1 , x 2 , ..., x n :
Ця система в "згорнутому" вигляді може бути записана так:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Відповідно до правила множення матриць розглянута система лінійних рівнянь може бути записана в матричній формі Ax=b, де
,
,.
Матриця A, стовпцями якої є коефіцієнти за відповідних невідомих, а рядками - коефіцієнти за невідомих у відповідному рівнянні називається матрицею системи. Матриця-стовпець b, елементами якої є праві частини рівнянь системи, називається матрицею правої частини або просто правою частиною системи. Матриця-стовпець x , елементи якої - шукані невідомі, називається рішенням системи.
Система лінійних рівнянь алгебри, записана у вигляді Ax=b, є матричним рівнянням.
Якщо матриця системи невироджена, то вона має зворотна матриця і тоді рішення системи Ax=bдається формулою:
x=A -1 b.
прикладВирішити систему 
матричним способом.
Рішеннязнайдемо зворотну матрицю для матриці коефіцієнтів системи
Обчислимо визначник, розкладаючи по першому рядку:
Оскільки Δ ≠ 0 , то A -1 Існує.
Зворотна матриця знайдена правильно.
Знайдемо рішення системи 
Отже, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Перевірка: 
7. Теорема Кронекера-Капеллі про спільність системи лінійних рівнянь алгебри.
Система лінійних рівняньмає вигляд:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Тут а i j та b i (i = ; j = ) - задані, а x j - невідомі дійсні числа. Використовуючи поняття твору матриць, можна переписати систему (5.1) як:
де A = (а i j) - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих системах (5.1), яка називається матрицею системи, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - вектори-стовпці, складені відповідно з невідомих x j і з вільних членів b i .
Упорядкована сукупність nдійсних чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) називається рішенням системи(5.1), якщо в результаті підстановки цих чисел замість відповідних змінних x 1 , x 2 ,..., x n кожне рівняння системи перетворюється на арифметичну тотожність; інакше кажучи, якщо існує вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такий, що AC B.
Система (5.1) називається спільної,або можна розв'язати,якщо вона має принаймні одне рішення. Система називається несумісний,або нерозв'язноюякщо вона не має рішень.
,
утворена шляхом приписування праворуч до матриці A стовпця вільних членів, називається розширеною матрицею системи.
Питання про спільність системи (5.1) вирішується наступною теоремою.
Теорема Кронекера-Капеллі . Система лінійних рівнянь спільна і тоді, коли ранги матриць A іA збігаються, тобто. r(A) = r(A) = r.
Для безлічі М рішень системи (5.1) є три можливості:
1) M = (у цьому випадку система несумісна);
2) M складається з одного елемента, тобто. система має єдине рішення (у цьому випадку система називається певною);
3) M складається з більш ніж одного елемента (тоді система називається невизначеною). У третьому випадку система (5.1) має безліч рішень.
Система має єдине рішення лише у тому випадку, коли r(A) = n. При цьому число рівнянь - не менше від числа невідомих (mn); якщо m>n, то m-n рівняньє наслідками інших. Якщо 0 Для вирішення довільної системи лінійних рівнянь потрібно вміти розв'язувати системи, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих, - так звані системи крамерівського типу: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n. Системи (5.3) вирішуються одним із таких способів: 1) методом Гаусса, або методом виключення невідомих; 2) за формулами Крамера; 3) матричним способом. Приклад 2.12. Дослідити систему рівнянь та вирішити її, якщо вона спільна: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 – 3x 2 – 6x 3 + 5x 4 = 0. Рішення.Виписуємо розширену матрицю системи:
Обчислимо ранг основної матриці системи. Очевидно, що, наприклад, мінор другого порядку в лівому верхньому кутку = 7 0 0; містять його мінори третього порядку дорівнюють нулю: Отже, ранг основного матриці системи дорівнює 2, тобто. r(A) = 2. Для обчислення рангу розширеної матриці A розглянемо облямовуючий мінор отже, ранг розширеної матриці r(A) = 3. Оскільки r(A) r(A), то система несумісна. Рівняння взагалі, лінійні рівняння алгебри та їх системи, а також методи їх вирішення займають в математиці, як теоретичної, так і прикладної, особливе місце. Це з тим обставиною, що переважна більшість фізичних, економічних, технічних і навіть педагогічних завдань може бути описані і вирішені з допомогою різноманітних рівнянь та його систем. Останнім часом особливу популярність серед дослідників, науковців та практиків набуло математичне моделювання практично у всіх предметних галузях, що пояснюється очевидними його перевагами перед іншими відомими та апробованими методами дослідження об'єктів різної природи, зокрема, так званих складних систем. Існує велике різноманіття різних визначень математичної моделі, даних вченими у різні часи, але з погляду, найвдаліше, це таке твердження. Математична модель – ідея, виражена рівнянням. Таким чином, уміння складати та вирішувати рівняння та їх системи – невід'ємна характеристика сучасного фахівця. Для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри найчастіше використовуються методи: Крамера, Жордана-Гаусса і матричний метод. Матричний метод рішення - метод рішення за допомогою зворотної матриці систем лінійних рівнянь алгебри з ненульовим визначником. Якщо виписати коефіцієнти при невідомих величинах xi в матрицю A, невідомі величини зібрати у вектор стовпець X, а вільні члени у вектор стовпець B, то систему лінійних рівнянь алгебри можна записати у вигляді наступного матричного рівняння A · X = B, яке має єдине рішення тільки тоді, коли визначник матриці A не дорівнюватиме нулю. При цьому розв'язання системи рівнянь можна знайти наступним способом X = A-1 · B, де A-1 – зворотна матриця. Матричний метод рішення полягає в наступному. Нехай дана система лінійних рівнянь з nневідомими: Її можна переписати в матричній формі: AX =
B, де A- основна матриця системи, Bі X- стовпці вільних членів та рішень системи відповідно: Помножимо це матричне рівняння зліва на A-1 - матрицю, зворотну до матриці A: A -1 (AX) = A -1 B Так як A -1 A = E, отримуємо X= A -1 B. Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосування даного методу (як і взагалі існування рішення не однорідної системилінійних рівнянь з числом рівнянь, що дорівнює кількості невідомих) є невиродженість матриці A. Необхідною та достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A: det A≠ 0. Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0
, дійсно протилежне правило: система AX =
0 має нетривіальне (тобто не нульове) рішення тільки якщо det A= 0. Така зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь зветься альтернативи Фредгольма. приклад розв'язання неоднорідної системи лінійних рівнянь алгебри. Переконаємося в тому, що визначник матриці, складений з коефіцієнтів при невідомих системах лінійних рівнянь алгебри не дорівнює нулю. Наступним кроком буде обчислення додатків алгебри для елементів матриці, що складається з коефіцієнтів при невідомих. Вони знадобляться для знаходження зворотної матриці.
.
